авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:     | 1 || 3 |

«СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ На правах рукописи Кириллова Людмила Николаевна Развитие и ...»

-- [ Страница 2 ] --

fi 1, j =1 j =i + Укажем непосредственные формулы для вычисления yi(,m +1) 1 n aij y (jm ) + f i, yi(,m +1) = 1 a11 j = i +1 1, 1 n i + aij y (jm ) + f i + aij y (jm +1) (i = 2, n).

yi(,m +1) = 1 aii j = i +1 1,1, j = В случае метода Зейделя второго порядка имеем i +1 n = aij y (jm2) + yi(,m +1) aij y (jm +1) + f i (i = 1, (n 1), 2,2, j =1 j = i + (1.46) n ynm +1) = anj y (jm +1) + f n, (,2, j = т.е. имеем систему n уравнений с n известными yi(,m +1) (i = 1, n). Однако, решение этой системы не представляет особого труда, т.к. все переменные yi(,m +1) (i = 2, n), выражаются через y1,m +1), после чего получаем линейное ( 2 y1,m +1).

( уравнение, относительно Аналогично рассматривается методы Зейделя более высоких порядков.

Пример 1. Рассмотрим уравнение вида (1.26), где 0.1 0.2 0.3 0.01 0.2 0.3 0.4 0.1 A=, f =.

0.1 0.1 0.3 0.4 0.2 0.09 0.15 0.13 9. 14. Заметим, что в данном примере точное решение x =,а 13. 10. спектральный радиус r ( A) = 0.782. Для реализации классического метода Зейделя в качестве начального приближения выберем вектор xo =. Здесь 0 0 0.1 0.2 0.3 0. 0 0.2 0 0 0 0 0.3 0.4 0. A1 =, A2 =.

0 0 0.3 0. 0.1 0.1 0 0.2 0.09 0.15 0 0 0 0. Тогда 1 0 0.2 1 0 ( I A1 ) 1 =, 0.12 0.1 0.236 0.105 0.15 0.1 0.01 0.2 0. 0.02 0.34 0.46 0.102 2. D = ( I A1 ) 1 A2 =, ( I A1 ) f = 3.32.

0.012 0.054 0.376 0. 0.0236 0.0787 0.1578 0.20286 4. Используя формулу (1.44) получим приближения к вектору решения x. Соответствующие приближения представим в виде следующей таблицы:

Номер Приближения, сходящиеся к приближений,n соответствующим координатам вектора решения x.

5.35896)Т 1 (1.61;

3.122;

4.1732;

(3.09;

5.75996;

7.28063;

6.92534)Т (8.01;

13.18675;

12.63675;

9.93955)Т (8.86;

14.42690;

13.48295;

10.43591)Т (9.13;

14.82488;

13.75452;

10.59520)Т (9.17;

14.84295;

13.76685;

10.60243)Т (9.16;

14.84353;

13.76724;

10.60266)Т При этом на 42-м шаге точность вычислений составила 10-5.

Пример 2. Решим уравнение из примера 1 с помощью метода Зейделя первого порядка. Как и ранее в качестве начального приближения выберем вектор x0 =. Здесь 0.1 0 0 0.2 0.3 0. 0 0.2 0.3 0 0 0 0 0.4 0. A1 = A2 =,.





0 0. 0.1 0.1 0.3 00 0.2 0.09 0.15 0.13 0 0 1.1111 0 1. 0 0.3174 1.4285 0 0 3. ( I A1 ) 1 =, ( I A1 ) f = 4.89795918, 0.2041 0.2041 1.4285 0.3234 0.1829 0.2463 1. 6. 0 0.22222222 0.33333333 0. 0 0.06349206 0.66666667 0. ( I A1 ) 1 A2 =.

0 0.04081633 0.14285714 0. 0 0.06469101 0.17022441 0. Тогда используя формулу (1.45) получим приближения к вектору решения x. Соответствующие приближения представим в виде следующей таблицы:

Номер Приближения, сходящиеся к приближе соответствующим координатам ний, n вектора-решения x.

(1.6777;

4.05079;

5.67551;

6.38098)Т (3.9742;

8.14729;

9.66360;

8.02023)Т (9.0651;

14.7785;

13.7245;

10.5764)Т (9.1136;

14.8396;

13.7642;

10.6019)Т (9.1167;

14.8432;

13.7677;

10.6021)Т (9.116;

14.844;

13.7675;

10.60266)Т Здесь уже на 26-м шаге точность вычислений составляет 10-5. По сравнению с предыдущим примером, скорость сходимости приближений к точному решению x заметно возросла.

Пример 3. Воспользуемся методом Зейделя второго порядка для решения системы из примера 1. В качестве нулевого приближения выберем, как и ранее, вектор x0.

Здесь 0.1 0.2 0 0 0 0.3 0. 0.2 0.3 0.4 0 0 0 0 0. A1 =, A2 =.

0.1 0.1 0.3 0.4 00 0.2 0.09 0.15 0.13 0 0 0 1.2584 0. 0.4123 0. 0.6632 1.8556 1.1762 0. ( I A1 ) 1 =, 0. 0.5314 0.5411 1. 0.4495 1. 0.3801 0. 0 0.05382131 3. 0 0. 0 0 0.19897097 0.19219589 10. ( I A1 ) 1 A2 =, ( I A1 ) f = 10.94227664.

0 0 0.15942464 0. 8. 0 0 0.13486311 0. Тогда используя формулы (1.46) получим приближения к решению x.

Соответствующие приближения представим в виде таблицы:

Номер Приближения, сходящиеся к приближений,n соответствующим координатам вектора решения x (3.77947;

10.45764;

11.16119;

8.47270)Т (8.01799;

13.91563;

13.22518;

10.16067)Т (9.11614;

14.84318;

13.76704;

10.60249)Т (9.11656;

14.84354;

13.76725;

10.60266)Т На 10-м шаге точность вычислений составляет 10-5.

Из рассмотренных примеров видно, что чем выше порядок, тем выше скорость сходимости приближений к точному решению х*. При этом необходимо учитывать величину «зазора» между r (D ) и r ( A) : при незначительном отклонении r (D ) от r ( A) увеличивать порядок метода Зейделя становиться не целесообразно.

4.2. Синтез метода Зейделя с методом однопараметрического итеративного агрегирования.

Рассмотрим синтез метода Зейделя с методом однопараметрического агрегирования [40], [46], [74], [75]. Решение уравнения (1.26) можно записать в эквивалентном виде x = ( I A1 ) 1 A2 x + ( I A1 ) 1 f, (1.47) после чего к полученному уравнению применяем метод однопараметрического итеративного агрегирования (в классической интерпретации метода Зейделя к полученному уравнению применяют метод последовательных приближений). Т.е. по сути, метод однопараметрического итеративного агрегирования применяем для решения операторного уравнения вида x = Bx + h, где B = ( I A1 ) 1 A2, h = ( I A1 ) 1 f. (1.48) В итоге получается новый метод ускорения сходимости. Суть этого метода состоит в следующем.





Пусть x1 - какое-либо начальное приближение к решению x уравнения (1.26). Выберем функционал l0 ( x) такой, что n l0 ( x) = xi ( x = ( x1, x2,..., xn )), i = после чего перейдем от уравнения (1.47) к уравнению [ ][ ] tl0 ( x1 ) = tl0 ( I A1 ) 1 A2 x1 + l0 ( I A1 ) 1 f, где t - неизвестная скалярная величина.

Пусть [ ] l0 ( x1 ) l0 ( I A1 ) 1 A2 x1 0.

При выполнении условия r ( A1 ) 1 уравнение (1.47) имеет единственное решение t1 = t ( x1 ), при этом [ ] l0 ( I A1 ) 1 f t1 = [ ].

l0 ( x1 ) l0 ( I A1 ) 1 A2 x После определения числа t1 найдем элемент х2 по формуле:

x2 = t1Bx1 + h, где B и h определяются уравнениями (1.48).

По индукции положим xm +1 = tm Bxm + h (m = 1,2,...), (1.49) l0 (( I A1 ) 1 f ) где t m =.

l0 ( xm ) l0 (( I A1 ) 1 A2 xm ) Последовательность (1.49) определяет алгоритм метода однопараметрического итеративного агрегирования в случае линейного операторного уравнения.

Предложенный синтез методов Зейделя и однопараметрического итеративного агрегирования был реализован на большом количестве примеров. Интересно отметить тот факт, что в предложенном синтезе методов Зейделя и однопараметрического итеративного агрегирования выбор матрицы А1 не оказывает большого влияния на скорость сходимости получаемых приближений.

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие предложенный выше метод.

Пример 1. Рассмотрим уравнение вида (1.26), где:

0.12 0.1 0.14 0.1 0.1 0.18 0.26 0.17 0.11 0.12 A = 0.19 0.16 0.21 0.25 0.17, b = 1.

0.26 0.14 0.12 0.13 0.24 0.33 0.2 0.1 0.2 0.11 9. 21. Здесь r ( A) = 0.82, точное решение x = 16.556821944, а в качестве 16. 15. начального приближения выбран вектор x0 = (1;

1;

1;

1;

1). Полученные по T синтезу классического метода Зейделя и метода однопараметрического итеративного агрегирования приближения представим в виде следующей таблицы:

На 12-м шаге точность вычислений достигает 10 8. Отметим тот факт, что при построении приближений по методу Зейделя, в его классической интерпретации, точность 10 8 достигается только на 55-м шаге.

Теперь построим приближения, используя синтез метода Зейделя (порядок "1") и метода однопараметрического итеративного агрегирования.

Полученные результаты представим в виде следующей таблицы:

Как видно из таблицы ситуация кардинальным образом не изменилась.

Построим теперь приближения, используя синтез метода Зейделя (порядок "2") и метода однопараметрического итеративного агрегирования.

Полученные результаты представим в виде следующей таблицы:

Здесь уже после 7-й итерации точность вычислений составляет 10 8.

Таким образом, у предложенного синтеза метода Зейделя различных порядков и метода однопараметрического итеративного агрегирования заметно выше скорость сходимости приближений к точному решению по сравнению с другими итерационными методами (метод последовательных приближений, метод Зейделя в классической интерпретации и др.) при относительно больших значениях r ( A).

Рассмотренный выше пример, как и многие другие, был реализован при помощи разработанной автором программы на языке программирования TURBO PASCAL (приложение 2).

ГЛАВА РАЗВИТИЕ МЕТОДА ЗЕЙДЕЛЯ НА СЛУЧАЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ И ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПРИРОДЫ §1. Метод Зейделя для приближенного решения интегральных уравнений 1.1. Распространение метода Зейделя на класс интегральных уравнений.

Перейдем теперь от систем алгебраических уравнений к интегральным уравнениям вида b x(t ) = K (t, s ) x( s )ds + b(t ) (2.1) a с непрерывным по совокупности переменных t и s, неотрицательным ядром K (t, s ). Будем рассматривать метод последовательных приближений b xm +1 (t ) = K (t, s ) xm ( s )ds + b(t ) (m = 0,1,...) (2.2) a и метод Зейделя, который в данном случае может быть представлен в форме b b ym+1 (t ) = K1 (t, s ) ym+1 ( s )ds + K 2 (t, s ) ym ( s )ds + b(t ), (2.3) a a где K1 (t, s ) и K 2 (t, s ) таковы, что K (t, s ) = K1 (t, s) + K 2 (t, s ), (2.4) K1 (t, s ) 0, K 2 (t, s ) 0.

Тем самым метод (2.3) можно трактовать как достаточно полный аналог метода Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений.

При этом в представлении (2.4) в качестве ядра K1(t,s) удобно брать вырожденное ядро, так как при построении приближений по методу Зейделя (2.3) необходимо на каждом (m+1)-ом шаге решать интегральное уравнение (2.3) относительно неизвестной функции ym+1 ( s ), что достаточно просто реализовывать в случае интегрального уравнения с вырожденным ядром. Это связано с тем, что решение интегральных уравнений с вырожденным ядром можно свести [54] к решению линейной системы алгебраических уравнений.

Так как по теореме Вейерштрасса каждую непрерывную функцию можно аппроксимировать многочленом относительно аргументов t и s, то в качестве K1(t,s) удобно брать соответствующий многочлен.

Представим уравнение (2.1) в виде x = Ax + b. (2.5) Пусть оператор А, действующий в пространстве C[a,b ], представим в виде А = А1 + А2, где Ai - интегральный оператор с ядром K i 0 (i = 1,2), тогда уравнение (2.5) примет вид ( I A1 ) x = A2 x + b. (2.6) Предположим, что существует оператор ( I A1 ) 1, обратный оператору ( I A1 ) ( I A1 ), причем обратный оператор действует в том же пространстве C[a,b ]. Тогда уравнение (2.6) разрешимо относительно x = x(t ) и его решение может быть представлено в виде x = ( I A1 ) 1 A2 x + ( I A1 ) 1 b или x = Dx + ( I A1 ) 1 b, где D = ( I A1 ) 1 A2. (2.7) 1.2. Вспомогательные факты теории конусов.

Как и в случае систем линейных алгебраических уравнений, основой для сравнения методов последовательных приближений и Зейделя служит спектральный радиус интегрального оператора. Будем рассматривать [a, b] пространство С[a,b ] непрерывных на отрезке функций, полуупорядоченное относительно конуса K непрерывных, неотрицательных на [a, b] функций. Отметим, что в случае, если r ( A) 1 существует оператор ( I A) 1, а также для любого неотрицательного непрерывного ядра K1 (t, s ) такого, что 0 K1 (t, s ) K (t, s ), (2.8) выполняется неравенство:

r ( A1 ) r ( A), где А1 - оператор с ядром K1 (t, s ) [21]. Поэтому также существует оператор ( I A1 ) 1, причем этот оператор является положительным, т.е. для x K также ( I A1 ) 1 x K.

Укажем [13], [32] важные свойства конуса K в пространстве С[a,b ], существенно используемые в дальнейшем.

1о. Конус K телесен, при этом каждая из функций u0 (t ), принимающая на [a, b] положительные значения, является внутренним элементом K. В частности, K - воспроизводящий конус.

2о. Конус K нормален, это значит, что из неравенства вида yx y вытекает, что x y.

В полуупорядоченном при помощи конуса K пространстве Е элемент u называется supremumom{x,y} если u x, u y и для всякого элемента v, обладающего этим же свойством, т.е. v x, v y, следует, что v u.

Поэтому соответствующий элемент sup{x,y} называется точной верхней гранью элементов х и у. Понятие точной нижней грани, т.е. inf{x,y} вводится по аналогии.

3о. Конус K миниэдрален, т.е. для любых элементов x = x(t ), y = y (t ) из С[a,b ] существует sup{x,y} и inf{x,y}.

4о. K является сильно миниэдральным конусом. Это значит, что для любого множества M={x} элементов, ограниченного в смысле полуупорядоченности (т.е. для каждого x M выполняется при некотором u E соотношение x u ), существует точная верхняя грань supM и точная нижняя грань infM. Заметим, что в общем случае, не каждый миниэдральный конус обладает таким свойством. Некоторые достаточные условия сильной миниэдральности миниэдральных конусов приведены в [32], [61].

5о. В пространстве С[a,b ], в отличие от пространства Rn, не любые две нормы являются эквивалентными, в чем проявляется специфика бесконечномерных пространств. Важную роль в пространстве С[a,b ] играет u0 -норма элемента х, обозначаемая x u и определяемая по формуле o { } 0 x u = max a1, a2, где a10 и a2 соответственно a1 = sup{a1 : a1 0 x a1u0 }, и a2 = inf {a2 : a2 0 и x a2u0 }.

Для всякого х, для которого определена uo-норма, эта норма обладает свойствами обычной нормы. В пространстве С[a,b ] u0 -норма подчинена обычной норме x(t ) = max x(t ), a t b а в случае, когда u0 -внутренний элемент K, то u0 -норма и обычная норма в С[a,b ] являются эквивалентными.

Множество всех элементов х, для которых определена u0 -норма x u, o обозначается символом Euo.

60. Множество Euo является линейным многообразием и в случае, если конус K нормален, линейное многообразие Eu является полным o нормированным пространством относительно u0 -нормы, т.е. пространством Банаха.

70. Для интегральных операторов с неотрицательным ядром, являющихся вполне непрерывными операторами в пространстве С[a,b ], имеет место аналог теоремы Перрона [14]: число = r ( A) является собственным значением интегрального оператора А, и этому числу соответствует (не равная тождественно нулю) неотрицательная функция x = x (t ) 0 :

b ( s )ds = r ( A) x (t ), K (t, s) x a т.е. r(A) является собственным значением ядра K(t,s).

1.3. Сравнение спектральных радиусов r(A) и r(D) интегральных операторов А и D = ( I A1 ) 1 A2, где A1 + A2 = A.

Теорема 2.1. Пусть для ядер K1 (t, s ) и K (t, s) интегральных операторов A1 и A выполняется условие (2.8), а также условие: r(A)1, тогда метод Зейделя ym +1 = Dym + ( I A1 ) 1 b (m = 0,1,...), (2.9) где D – оператор вида (2.7), сходится и имеет место неравенство r ( D) r ( A). (2.10) Доказательство. Выберем произвольное 0 такое, чтобы 0 1 r ( A).

Пусть v (t ) - непрерывная функция, принимающая лишь положительные значения, для которой выполняется неравенство Av (t ) [r ( A) + ]v (t ). (2.11) Установим существование такой функции. Так как конус неотрицательных непрерывных на [а, b] функций телесен и нормален, то для любой функции (t [a, b]) u0 -норма эквивалентна обычной норме в C[a,b ] и, u = u0 (t ) учитывая, что lim n An = r ( A) 1, n имеем также = r ( A) 1, lim n Anuo uo n здесь u0 = u0 (t ). Поэтому для числа [r ( A) + ] найдется такой номер no, что An u0 (t ) [r ( A) + ] u0 (t ).

no o Положим v (t ) = [r ( A) + ] u0 (t ) + [r ( A) + ] Au0 (t ) +... + [r ( A) + ]An 1u0 (t ) + An u0 (t ).

no 1 no 2 o o v (t ) - непрерывная функция, принимающая только положительные значения, т.е. v (t ) 0 для всех t [a, b] и для v (t ) выполняется условие (2.11).

На основании (2.11) [r ( A) + ]A v (t ) + A v (t ) Av (t ) [r ( A) + ]v (t ), 1 2 откуда A2 v (t ) [r ( A) + ]( I A1 )v (t ).

По условиям выбора 0 r ( A) + 1 и, следовательно, ( I A1 ) 1 0, поэтому из последнего неравенства следует, что Dv (t ) = ( I A1 ) 1 A2v (t ) [r ( A) + ]( I A1 ) 1 v (t ), откуда, используя теорему Стеценко В.Я. [59] об оценке спектрального радиуса линейного интегрального оператора с неотрицательным ядром по поведению этого оператора на положительной непрерывной функции, заключаем, что r ( D) r ( A) +.

В силу произвольности 0 приходим к справедливости неравенства (2.10).

Теорема 2.1. доказана.

Для линейных интегральных уравнений с непрерывным неотрицательным ядром K (t, s) метод Зейделя (2.10), где A1 0, A2 0, A = A1 + A2 и r ( A) 1, сходится, при этом скорость сходимости не хуже, чем скорость сходимости метода последовательных приближений (2.2), т.е.

xm +1 = Axm + b (m = 0,1,...).

Естественно, что в этом случае, как и для случая линейных алгебраических систем, возникает вопрос о том, когда будет иметь место строгое неравенство r ( D) r ( A). (2.12) Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 2.2. Пусть интегральный оператор b A1 x(t ) = K1 (t, s ) x( s )ds a переводит каждую положительную функцию v0 (t ) в положительную функцию A1u0 (t ). Тогда справедливо неравенство (2.12) для спектральных радиусов интегральных операторов D и A.

Доказательство. Выберем такое 0, для которого r ( A) + (последнее возможно, т.к. по условию r ( A) 1 ).

Пусть u0 0, u0 (t ) C[a,b ] и Au0 (t ) [r ( A) + ]u0 (t ). (Такая функция обязательно существует. В самом деле, рассмотрим уравнение [r ( A) + ]x(t ) = Ax(t ) + v0 (t ), Ax(t ) + v0 (t ) 0.

где Это уравнение имеет положительное решение x (t ). Очевидно, Ax (t ) [r ( A) + ]x (t ), и в качестве u0 можно взять x (t ) ).

По условию функция A1u0 (t ) принимает только положительные значения, поэтому для некоторого A1u0 (t ) u0 (t ). (2.13) Имеем следующую цепочку неравенств:

[r ( A) + ]A u (t ) + A u (t ) = ( A + A )u (t ) [1 r ( A)]A u (t ) [r ( A) + ]u (t ) 10 2 0 1 2 0 10 [1 r ( A)]u (t ). Положим 1 = r ( A) + [1 r ( A)]. (2.14) Тогда на основании последнего неравенства имеем A2u0 (t ) 1 ( I A1 )u0 (t ) [r ( A) + 1 ]A1u0 (t ).

Применяя к обеим частям этого неравенства оператор ( I A1 ) 1 0, на основании (2.13) получим r ( A) + Du0 (t ) = ( I A1 ) 1 A2u0 (t ) 1u0 (t ) [r ( A) + 1 ] A1nu0 1 u0.

n = Подставляя в это неравенство значение 1 из (2.14), найдем, что r ( A) + Du0 (t ) u0 (t ).

Отсюда в силу теоремы [59] об оценке сверху спектрального радиуса положительного интегрального оператора по его поведению на внутреннем элементе конуса K неотрицательных непрерывных функций заключаем, что r ( A) + r ( D), и, в силу произвольности 0, r ( A) r ( A)(1 ) r ( D) = r ( A). (2.15) 1 Теорема 2.2 доказана.

Определение. Оператор А будем называть неразложимым в банаховом пространстве Е, если из неравенств x0 0, x0 0 x0 Ax хотя бы для некоторого 0 следует, что x0 - внутренний элемент конуса K.

Замечание 1. Если оператор А1 неразложим, то ограничения накладываемые условиями теоремы 2.2 на оператор А1, заведомо выполняются. Действительно, неразложимые операторы переводят внутренние элементы телесного конуса во внутренние же элементы этого конуса. При этом признаков и критериев неразложимости оператора известно достаточно много [57].

Замечание 2. Неравенство (2.15) позволяет оценить эффект ускорения сходимости метода Зейделя по сравнению с методом последовательных приближений. Этот эффект определяется величиной «зазора» между величинами r(D) и r(A). Согласно оценке (2.15) он не меньше, чем r ( A) r ( A), 1 и тем больше, чем больше. Величина определяется в соответствии с неравенством (2.13). Отсюда следует «качественный» вывод: чем большая часть А1 оператора А включена в обращаемую часть выражения ( I A1 ) 1, т.е.

в оператор D, тем заметнее будет эффект ускорения сходимости в методе Зейделя в сравнении с методом последовательных приближений.

1.4. Ускорение сходимости метода Зейделя.

Предложенный в §3 главы I метод ускорения сходимости двусторонних приближений к неизвестному решению x, полученных по методу Зейделя в случае систем линейных алгебраических уравнений, допускает дальнейшее развитие на случай решения линейных интегральных уравнений и систем таких уравнений.

Пусть множество функций v(t ), w(t ), состоящее из всех функций x(t ) таких, что v(t ) x(t ) w(t ), является инвариантом относительно преобразования def Bx(t ) Ax(t ) + f (t ), где b Ax(t ) = K (t, s ) x( s)ds a с неотрицательным непрерывным ядром K (t, s ), т.е.

v(t ) Av(t ) + f (t ), Aw(t ) + f (t ) w(t ).

Предположим, что A = A1 + A2, где A1 0 и A2 0, и r(A)1.

Здесь А1, А2 – интегральные операторы с ядрами K1(t,s), K2(t,s) соответственно.

Определим приближения vn(t) и wn(t) по методу Зейделя vn +1 (t ) = A1vn +1 (t ) + A2 vn (t ) + f (t ), wn +1 (t ) = A1wn +1 (t ) + A2 wn (t ) + f (t ), где v0 (t ) = v(t ), w0 (t ) = w(t ).

Тогда v(t ) v1 (t ) v2 (t )... vn (t )... wn (t )... w2 (t ) w1 (t ) w(t ). (2.16) Так как обе последовательности сходятся к единственному решению x (t ) уравнения x(t ) = Ax(t ) + f (t ), то из (2.16) следует, что для любого n vn (t ) x (t ) wn (t ).

В связи с тем, что в некоторых случаях сходимость последовательностей vn (t ), wn (t ) может оказаться не достаточно быстрой к x (t ), предложим следующий прием ускорения искомому решению сходимости приближений к решению.

Пусть неотрицательные числа p1, q1, удовлетворяют условиям v1 (t ) v0 (t ) p1 ( w0 (t ) w1 (t )), w0 (t ) w1 (t ) q1 (v1 (t ) v0 (t )).

В качестве таких чисел можно, в частности, взять v1 (t ) v0 (t ) w (t ) w1 (t ) p1 = min, q1 = min 0.

a t b w (t ) w (t ) a t b v (t ) v (t ) 0 1 1 С помощью этих чисел образуем новые элементы v1 + p1w1 (t ) w (t ) + q1v1 (t ) v1* (t ) =, w1* (t ) = 1. (2.17) 1 + p1 1 + q Тогда Av1* (t ) + f (t ) v1* (t ) 0, w1* (t ) Aw1* (t ) f (t ) 0. (2.18) Для доказательства заметим, что из равенства (2.17) следует, что (1 + p1 )( Av1* + f v1* ) = ( A2 v1 A2v0 ) p1 ( A2 w0 A2 w1 ) = = A2 (v1 v0 ) p1 ( w0 w1 ) 0.

Второе из соотношений (2.18) доказывается аналогично.

Из (2.18) имеем v1 (t ) v1 (t ) x (t ) w1 (t ) w1 (t ).

* (2.19) Формулы (2.17) можно рассматривать как шаг рекуррентного процесса построения последовательных приближений vn, wn к решению x = x (t ). В * * силу (2.19) этот процесс монотонен, он сходится не медленнее, чем метод последовательных приближений.

§2. Метод Зейделя для уравнений с абстрактным оператором, действующим в банаховом пространстве с телесным и нормальным конусом 2.1. Полуупорядоченное пространство.

Рассмотрим операторные уравнения вида x = Ax + b, где х - неизвестный элемент банахового пространства Е, А - линейный оператор произвольной природы, действующий в пространстве Е, b – произвольный элемент этого пространства. При этом предполагается, что в Е выделено множество K «неотрицательных» элементов, называемое конусом, и обладающее свойствами, называемыми аксиомами конуса [32]:

1) Из x K и t 0 следует, что tx K, 2) Из x K и y K следует, что x + y K, 3) множество K замкнуто в Е, 4) если x K и x 0, то x K.

С помощью введенного конуса K для некоторых пар (х,у) элементов Е определено отношение полуупорядоченности: говорят, что элемент х не меньше элемента у x y, если ( x y ) K. Введенное таким образом отношение полуупорядоченности удовлетворяет следующим свойствам:

10. Из x y вытекает, что tx ty при t 0 и tx ty при t 0.

20. Из x y и y x вытекает, что x = y.

30. Из x1 y1 и x2 y2 вытекает, что x1 + x2 y1 + y2.

40. Из x y и y z вытекает, что x z.

Соотношение x y называется отношением полуупорядоченности, так как с помощью знака "" можно сравнить элементы лишь некоторых пар.

Оператор А называется положительным (или положительным относительно конуса K), если AK K.

Ниже предполагается, что конус K содержит внутренние элементы, т.е. такие элементы, которые принадлежат конусу K вместе с некоторой окрестностью T (u0, ) с центром в u0 достаточно малого радиуса 0. Конус, содержащий внутренние элементы, называется телесным. Примерами телесных конусов являются конусы неотрицательных векторов R+n в пространстве Rn и неотрицательных непрерывных функций в пространстве С[ a,b ]. Конус неотрицательных функций в пространстве L p[ a,b ], измеримых на [a,b] и суммируемых с р-той степенью абсолютной величины, телесным не является.

2.2. Реализация метода Зейделя в случае абстрактного оператора.

Пусть Е - банахово пространство с телесным и нормальным конусом K.

Конус K называется нормальным, если существует такая постоянная С, что из неравенства yx y следует, что x C y.

Рассмотрим уравнение x = ( A1 + A2 ) x + b (2.20) с оператором A = A1 + A2, (2.21) у которого A1, A2 0, r ( A) 1. (2.22) Для решения уравнения (2.20) применим метод Зейделя ym +1 = A1 ym +1 + A2 ym + b (m = 0,1,...), (2.23) где y0 - начальное приближение, выбранное произвольно.

Обозначим D = ( I A1 ) 1 A2, тогда метод Зейделя запишется в виде уm = Dym 1 + b.

Для определения первого приближения y1 придется решать уравнение y1 = A1 y1 + A2 y0 + b, после чего на 2-м шаге, согласно (2.23), найдем y2 из нового уравнения y2 = A1 y2 + A2 y1 + b {ym }.

и т.д., в результате чего построим последовательность Последнее возможно, если на каждом шаге вспомогательное уравнение (2.23) будет иметь единственное решение ym +1. Естественно возникает вопрос о том, как {ym +1}, сходится ли она к решению x ведет себя последовательность уравнения x = Ax + b, (2.24) которое существует и единственно (в силу условия (2.22)), и обладает ли предложенный способ (2.23) решения уравнения (2.24) каким-либо преимуществом по сравнению с методом последовательных приближений xm +1 = Axm + b (2.25) для решения уравнения (2.24).

Теорема 2.3. При сделанных предположениях для каждого т (m=1,2,…) уравнение (2.23) имеет, и притом единственное решение ym +1, т.е.

метод Зейделя (2.23) реализуем.

Доказательство. Из (2.24) и условия неотрицательности операторов А1 и А2 следует, что 0 A1 A, (2.26) Так как конус K нормален и телесен (здесь, впрочем, вполне достаточно свойства воспроизводимости этого конуса), то из (2.26) следует [59] что r ( A1 ) r ( A), и согласно условию (2.22), r ( A1 ) 1. Это значит, что уравнение (2.23) однозначно разрешимо для каждого натурального т (m=0,1,2,…).

Теорема доказана.

Уравнение (2.23) однозначно определяет Следствие 1.

последовательность {ym +1}.

Следствие 2. Существует и положителен оператор D = ( I A1 ) 1 A2.

Доказательство этого следствия вытекает из свойства положительности оператора А2.

Теорема 2.4. Для каждого 0 существует такой элемент v, являющийся внутренним элементом конуса K, что Av [r ( A) + ]v.

Доказательство. Это утверждение можно было бы доказать, следуя схеме доказательства соответствующего фрагмента теоремы 1.11, содержащего способ «конструктивного» построения элемента v. Приведем другой способ доказательства.

Для выбранного 0 и выбранного внутреннего элемента конуса f (т.е. f 0 0 ) рассмотрим уравнение [r ( A) + ]x = Ax + f 0.

Так как = (r ( A) + ) r ( A) и f 0 K, то это уравнение будет иметь и притом единственное решение x = x ( f 0 ), которое может быть представлено сходящимся по норме пространства Е рядом Неймана An f 0 An f = f0 + x =.

n + n + n=0 i = Поэтому, учитывая, что 0 и A 0, f 0 0, имеем x 0.

При этом [r ( A) + ]x = Ax + f 0 Ax.

Для доказательства утверждения теоремы остается положить v = x.

Теорема доказана.

Следствие. Для элемента v 0 выполняется неравенство Dv [r ( A) + ]v фактически означающее, что r ( D) r ( A) 1, (2.27) а это значит, что метод Зейделя (2.23) сходится не медленнее, чем метод последовательных приближений (2.25).

2.3. Достаточные условия более быстрой сходимости метода Зейделя по сравнению с методом последовательных приближений.

Неравенство (2.27) означает, что приближения ym +1, построенные по методу Зейделя (2.23), сходятся к решению x уравнения x = ( A1 + A2 ) x + b не медленнее, чем приближения, полученные по методу (2.25) последовательных приближений. При этом остается открытым вопрос о том, будут ли эти приближения обладать более высокой скоростью сходимости, что в соответствии с ранее сказанным упирается в вопрос о том, имеется ли на самом деле строгое неравенство:

r ( D) r ( A).

Оператор А будем называть неразложимым в Определение.

пространстве Е, если из неравенств x0 0, x0 0, x0 Ax хотя бы для некоторого 0 следует, что x0 внутренний элемент конуса K.

Теорема 2.5. Пусть оператор А1 переводит множество K внутренних элементов K в себя:

A1 K K. (2.28) Тогда r ( D) r ( A).

Более того, если для u0 K выполняется неравенство A1u0 u0, где 0, то r ( A) r ( D) r ( A). (2.29) Доказательство. Так как r ( A) 1, то на основании рассуждений, проведенных при доказательстве теоремы 2.4 для всех 0 таких, что r ( A)+ 1, найдется такой элемент u0 0, что Au0 [r ( A) + ]u0.

По условию A1u0 0, это значит, что найдется такое 0, что A1u0 u0. (2.30) Очевидно, [r ( A) + ] A1u0 + A2u0 = ( A1 + A2 )u0 [1 r ( A)] A1u [r ( A) + ]u0 (1 r ( A))u0.

(2.31) Положим 1 = r ( A) + (1 r ( A)). (2.32) Тогда на основании (2.30), (2.31) и (2.32) A2u0 1 ( I A1 )u0 (r ( A) + 1 ) A1u0.

Применяя к обеим частям последнего неравенства положительный оператор ( I A1 ) 1 и учитывая, что в силу (2.30) ( I A1 ) 1 u0 = A1nu0 u0, n = получим (r ( A) + 1 ) Du0 = ( I A1 ) 1 A2u0 1u0 [r ( A) + 1 ] A1nu0 1 u0 = n = 1 r ( A) + 1 r ( A) =1 u0 = 1 u0.

1 Подставляя в последнее неравенство значение 1 из (2.32), получим r ( A) + + + r ( A) r ( A) r ( A) + Du0 u0 = u0.

1 Откуда на основании теоремы [59] об оценке сверху спектрального радиуса по поведению линейного положительного оператора на фиксированном внутреннем элементе и0 телесного нормального конуса K заключаем, что r ( A) + r ( D).

В силу произвольности 0 и того, что r ( A) 1, получим r ( A) r ( D) r ( A).

Теорема доказана.

Так как [56] всякий неразложимый оператор переводит каждый внутренний элемент телесного конуса в некоторый внутренний элемент K, то в случае, если А1 – неразложимый оператор выполняется неравенство r ( D ) r ( A).

Тем самым доказано следствие.

Следствие 1. Пусть в условиях теоремы 2.5 оператор А1 неразложим.

Тогда метод Зейделя (2.23) сходится быстрее, чем метод последовательных приближений (2.25).

Отметим, что свойства неразложимых операторов, и их применение при исследовании итерационных методов подробно изучены в работах Стеценко В.Я. [56, 57, 61].

Замечание. Неравенство (2.29), наряду с информацией качественного характера о более быстрой сходимости метода Зейделя, позволяет провести количественные исследования о том, насколько метод Зейделя сходится быстрее, чем метод последовательных приближений. Эффект ускорения при этом, очевидно, не меньше, чем величина r ( A) r ( A) r ( D) r ( A).

1 Следствие 2. Если A1 A1, то метод Зейделя ym +1 = A1 ym +1 + A2 ym + b (m = 0,1,...) сходится быстрее, чем метод Зейделя ym +1 = A1 ym +1 + A2 ym + b (m = 0,1,...) при одних и тех же начальных приближениях y0 = y0. Здесь A2 = A A1.

Утверждение следствия вытекает из следующих соображений: с возрастанием оператора A1 возрастает (по крайней мере, не убывает) постоянная, удовлетворяющая неравенству (2.30) и, одновременно с этим, r ( A) происходит уменьшение (по крайней мере, невозрастание) дроби, а, следовательно, и возрастание скорости сходимости метода Зейделя.

2.4. Ускорение сходимости метода Зейделя.

Перейдем к изучению вопроса о возможности ускорения сходимости метода Зейделя для уравнений с абстрактным оператором.

Пусть и, v – приближения к решению x уравнения x = Ax + b такие, что u0 = u x v = v0, и u0 Au0 + b = u1, v1 = Av0 + b v0, причем u1 u0 p(v0 v1 ), v0 v1 q (u1 u0 ).

Тогда для элементов u1 + pv1 v1 + qu u1 = v1 =,, 1+ p 1+ q выполняются неравенства u1 Au1 + b, Av1 + b v1, и значит u1 u1 x v1 v1.

Замечание. Переход от элемента u0 к элементу u1, v0 к элементу v1, осуществляется путем применения одного шага метода итераций, дальнейший переход от u1 к u1, соответственно от v1 к v1, осуществляется уже без итераций с помощью простой алгебраической формулы, однако этот переход, как правило, приближает u1 и v1 к решению заметно сильнее, чем применение нескольких итерационных шагов. В этом смысле этот переход можно трактовать, как ускорение сходимости метода.

x, Доказательство того факта, что u1 v1 находятся ближе к проводится тем же методом, что и доказательство соответствующего факта для систем линейных алгебраических уравнений (глава 1 §3).

§3. Развитие метода Зейделя на случай пространств с нетелесным конусом До сих пор в главе 1 и далее в главе 2 мы рассматривали метод Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений в пространстве Rn и интегральных уравнений в пространстве C[ a,b ]. Конусы неотрицательных векторов в R n и неотрицательных функций в C[ a,b ] обладают важным структурным свойством, а именно свойством телесности – они содержат внутренние элементы и многие построения и доказательства предыдущих утверждений опирались на этот факт.

Поэтому важно проследить, какие из полученных результатов, остаются в силе при переходе к другим пространствам, имея в виду прежде всего, интересы изучения интегральных уравнений в пространствах измеримых функций, суммируемых по абсолютной величине со степенью р, т.е. в пространствах Lp [a, b], или интересы изучения бесконечных систем линейных алгебраических уравнений в пространствах последовательностей l p, т.е. при переходе к бесконечным системам уравнений. При этом, прежде всего, имеются в виду пространства, в которых конус K не обладает свойством телесности.

Для пространств с нетелесным конусом важную роль играют уравнения с u0 -ограниченным снизу (соответственно, u0 -ограниченным сверху) оператором.

Оператор А называется u0 -ограниченным снизу, где u0 0 фиксированный ненулевой элемент конуса K, если для каждого x 0 можно указать такое натуральное m=m(x), и такое = ( x) 0, для которых выполняется неравенство Am x u0, и называется u0 -ограниченным сверху, если для каждого х 0 существует такое натуральное n = n(x) и такое = ( x) 0, что An x u0.

Оператор А называется u0-положительным, если для каждого x 0, и для некоторых p = p ( x), = ( x) 0, = ( x) 0, выполняется неравенство 1u0 A p x 1u0.

Каждый u 0 -ограниченный снизу и u0 -ограниченный сверху оператор А является u 0 -положительным оператором [59].

x0 K E Будем говорить, что является Определение.

квазивнутренним элементом конуса, если для каждого ненулевого функционала l K выполняется неравенство l ( x0 ) 0.

Следующая теорема является развитием теоремы 2.5 на пространства с нетелесным конусом.

Теорема 2.6. Пусть операторы А и А1 являются u0 -положительными вполне непрерывными операторами относительно нормального и воспроизводящего конуса K, пусть r ( A) 1.

Тогда r ( D) r ( A). (2.33) Доказательство. Можно считать, что r ( A) 0, в противном случае утверждение является беспредметным (так как, если r ( A) = 0, то нет смысла и возможности уменьшить его значение).

Рассмотрим для заданного 0 уравнение [r ( A) + ]x = Ax + u0.

Это уравнение имеет и притом единственное решение x, причем A n u0 u x = a1u0.

(2.34) n =0 [ r ( A) + ] r ( A) + n + В силу u 0 -положительности оператора А для некоторого b1 x b1u 0. (2.35) Тем самым, на основании (2.34) и (2.35) элемент x является u0 -измеримым элементом. Очевидно [r ( A) + ] A1 x + A2 x Ax [r ( A) + ]x, откуда A2 x [r ( A) + ]( I A1 ) x.

Применяя к последнему неравенству положительный оператор ( I A1 ) 1, получим Dx = ( I A1 ) 1 A2 x [r ( A) + ]x. (2.36) Оператор D является u0 -положительным оператором, при этом в силу (2.34) и (2.35) D будет являться и x -положительным оператором, поэтому из (2.36) на основании теоремы [59] об оценке спектра линейного положительного оператора заключаем, что r ( D) r ( A) +.

В виду произвольности 0 отсюда следует, что r ( D) r ( A).

Для доказательства строгого неравенства (2.33) допустим, что r ( D) = r ( A) w Пусть - собственный вектор оператора D, отвечающий r ( D) = r ( A) (его существование гарантируется теоремой Крейна-Рутмана [39]):

Dw = r ( A) w.

Тогда A2 w = r ( A) w r ( A) A1w, откуда r ( A) Aw + [1 r ( A)] A2 w = r ( A) w. (2.37) В частности, r ( A) Aw r ( A) w, т.е.

Aw w.

Из последнего неравенства и u0 -положительности оператора А следует, что w – квазивнутренний элемент K. Применяя к неравенству (2.37) положительный функционал l, являющийся собственным вектором оператора А, отвечающим r ( A) Al = r ( A)l, получим l[ A1w] = 0.

Последнее равенство противоречит u0 -положительности оператора.

Итак, r ( D) r ( A) и поэтому r ( D) r ( A).

Теорема доказана.

Естественно возникает желание выяснить, насколько величина r (D ) меньше, чем r ( A), т.е. выяснить величину «зазора» между этими величинами. Понятно, что величина этого «зазора» зависит от того, насколько «велик» оператор А1 (при малых А1 этот «зазор» вообще может быть близок к нулю).

Теорема 2.7. Пусть выполнены условия:

1) операторы А и D положительные и вполне непрерывные;

2) оператор А неразложимый, ( I A1 ) 1 существует и положителен;

3) для каждого квазивнутреннего элемента u конуса K A1u 0.

Тогда имеет место одно из трех соотношений:

а) r ( D) r ( A) 1, б) r ( D) = r ( A) = 1, в) r ( D) r ( A) 1.

Доказательство. Рассмотрим три случая:

10. r(A)1;

20. r(A)=1;

30. r(A)1.

Пусть выполнено 10. Обозначим через v K собственный вектор вполне непрерывного оператора А, отвечающий r(A):

Av = r ( A)v и существующий на основании теоремы Крейна – Рутмана [39].

Очевидно, что v – квазивнутренний элемент К и r ( A) A1v + A2 v = r ( A)v + [r ( A) 1] A1v, поэтому A2 v = r ( A)( I A1 )v + [r ( A) 1] A1v, откуда Dv = r ( A)v + [r ( A) 1]( I A1 ) 1 A1v. (2.38) Поэтому Dv r ( A)v, и, следовательно, r ( D) r ( A).

Докажем, что на самом деле r ( D) r ( A).

Предположим противное, тогда r ( D) = r ( A). Пусть w 0 - собственный вектор оператора D, отвечающий r ( A) = r ( D) :

Dw = r ( A) w.

Тогда A2 w = r ( A) w r ( A) A1w, поэтому r ( A) Aw + [1 r ( A)] A2 w = r ( A) w.

Из этого следует, что w Aw и в силу неразложимости А w – квазивнутренний элемент K. Применяя к последнему равенству положительный собственный функционал l, отвечающий r ( A) :

Al = r ( A)l, получим l ( A1w) = 0.

Последнее противоречит неразложимости оператора А1, т.к.

неразложимый оператор А1 преобразует каждый квазивнутренний элемент конуса K в квазивнутренний элемент K.

Итак, в случае 10 имеет место а).

Пусть теперь выполнено 20. Обозначим через х1 0 собственный вектор оператора А, соответствующий собственному значению = 1 :

Ах1 = х1.

Это равенство означает, что х1 является также собственным вектором оператора D = ( I A1 ) 1 A2 :

Dx1 = x1.

Применяя к этому равенству собственный функционал l K оператора D :

D l = r ( D)l, получим r ( D)l ( x1 ) = l ( x1 ), откуда r ( D) = 1, так как l ( x1 ) 0, а х1- собственный вектор из K неразложимого оператора А.

Наконец, пусть выполнено 30. Как и в случае 10, обозначим через v собственный вектор оператора А, отвечающий r(A)1. Тогда на основании (2.38) и условия 30 имеем Dv r ( A)v, откуда на основании теоремы об оценке спектрального радиуса положительного оператора имеем r ( D) r ( A).

r ( D) = r ( A), Если допустить, что то, повторяя рассуждения, проведенные при рассмотрении случая 10, получим:

l ( A1w) = 0, где l – положительный функционал оператора A, а w – собственный вектор оператора D. Однако равенство l ( A1w) = 0 противоречит неразложимости оператора А.

Теорема доказана.

Таким образом, получено достаточное условие, гарантирующее выполнение пункта а) т.е. более высокую скорость сходимости метода Зейделя по сравнению с методом последовательных приближений.

Теорема 2.8. Пусть операторы А и А1 являются u0 -положительными и для некоторого 0 выполняется условие A1u0 u0.

Тогда r ( A) r ( D).

Доказательство этого утверждения вполне аналогично доказательству утверждения теоремы 2.5, т.к. каждый u0 -положительный оператор является u 0 -ограниченным сверху оператором. Тем самым утверждение теоремы 2. позволяет оценить эффект ускорения скорости сходимости метода Зейделя по сравнению с методом последовательных приближений.

ГЛАВА ОЦЕНКИ СПЕКТРАЛЬНОГО РАДИУСА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА В этой главе рассматривается вопрос об оценке спектрального радиуса r ( A) линейного оператора А. Роль оценок спектрального радиуса с точки зрения линейных уравнений x = Ax + f (3.1) определяется следующим утверждением [31]: если r ( A), то уравнение (3.1) имеет единственное решение x = (I A) 1 f, (3.2) которое является пределом последовательных приближений xn +1 = Axn + f (n=0,1,2,..) (3.3) при любом начальном приближении x0 из рассматриваемого пространства.

x характеризуется При этом близость приближения хп к решению неравенством n r ( A) x x C ( ) + ( 0 ), где С( ) - некоторая функция (в общем случае С ( ) при 0).

Конечно, гораздо лучше было бы знать не оценки r(А), а точное значение r(А). Однако оценки, как правило, можно получить намного проще, а их знания в ряде случаев достаточно для получения ответа на интересующий исследователя вопрос. В связи со сказанным, обоснование многих приближенных методов решения линейных операторных уравнений (в том числе метода Зейделя), а также различные теоретические вопросы требуют эффективных оценок спектральных радиусов линейных операторов.

Основная идея метода получения оценок спектрального радиуса, развиваемая в этой главе и восходящая к П.С. Урысону, О. Перрону, М.Г. Крейну, М.А. Красносельскому и В.Я. Стеценко, состоит в том, что для достаточно широкого класса линейных положительных операторов оценку спектрального радиуса можно получить, исходя из характеристик поведения оператора на одном фиксированном элементе конуса K.

§1. Двусторонние оценки спектрального радиуса линейного оператора 1.1. Оценки спектрального радиуса интегрального оператора.

В теории матриц важную роль играет классическая теорема Перрона Фробениуса о замечательных спектральных свойствах положительных матриц.

Согласно этой теореме такие матрицы всегда имеют положительное собственное значение 0 = r ( A), совпадающее со спектральным радиусом этой матрицы. При этом данному собственному значению соответствует простой корень характеристического уравнения, а все остальные собственные значения такой матрицы строго меньше числа 0, собственному значению отвечает единственный, с точностью до нормы, положительный собственный вектор u0. Более того [59], из неравенства Au0 u0, 0, (3.4) где u0 - неотрицательный вектор (u0 0) следует, что r(A), (3.5) а из неравенства Ax0 x0, x0 0 (3.6) следует, что r ( A).

Последнее свойство позволяет оценить сверху и снизу спектральный радиус матрицы А, исходя из поведения этой матрицы на одном фиксированном ненулевом неотрицательном векторе из Rn. Соответствующие свойства матриц были развиты и усилены [33] в существенно более общих случаях, в том числе, и в случае интегральных операторов вида Ax(t ) = K (t, s)x( s)ds (3.7) с непрерывным или, в более общем случае, измеримым квадратично суммируемым неотрицательным ядром K(t,s). Здесь - ограниченное замкнутое множество в R 2, а интеграл понимается в смысле Лебега.

Ниже через r(А) обозначается спектральный радиус интегрального оператора А с ядром K(t,s), относительно которого предполагаются выполненными условия ma1 (t )b1 ( s) K (t, s ) Ma1 (t )b1 ( s), (3.8) где а 1 (t ),b 1 (s) L 2 (), причем а 1 (t),b 1 (s)0 (t,s), т и М – положительные постоянные. В этих условиях оператор (3.7), действующий в пространстве L 2 ( ), оставляет инвариантным конус K неотрицательных функций этого пространства и является и1-ограниченным сверху оператором, где u1 = a1 (t ). Действительно, для любой функции x(t)L 2 ( ), x(t) 0, имеем:

Ax(t ) Mа1 (t ) x( s )b1 ( s )ds, (3.9) Mа1 (t ) x( s )b1 ( s)ds 0, тогда A(x)au1(t), где a = M x( s )b1 ( s )ds.

Пусть теперь для некоторой функции и 0 ( t ) 0, и 0 ( t ) 0, и 0 ( t ) L 2 (), и 0 ( t ) a 1 (t), где 0, выполняется неравенство Au0 (t ) 0u0 (t ) и v0 (t ) = 0u0 (t ) Au0 (t ).

Тогда на основании результатов работы [33] имеет место неравенство r ( A) 0.

Перейдем к получению оценок сверху и снизу для величины [0 r ( A)], которые, в свою очередь, приводят к двусторонним оценкам для r(А), а, с другой стороны, позволяют уточнить ранее известные оценки для r(А).

Не ограничивая общности, можно считать, что r(А)0.

A Обозначим через оператор, сопряженный оператору А в пространстве L2(). Так как конус K неотрицательных функций в пространстве L2() воспроизводящий, а интегральный оператор (3.7) при сделанных относительно ядра K(t,s) предположениях, является вполне непрерывным в пространстве L2(), то на основании теоремы М.Г.Крейна и М.А.Рутмана [39] число 0r(А) является собственным значением сопряженного оператора A, если только r(А)0.

Докажем лемму, гарантирующую выполнение этого неравенства.

Лемма 3.1. Пусть выполнено условие 0 = b1 ( s)a1 ( s)ds 0.

Тогда r ( A) m 0, в частности, r ( A) 0.

Доказательство. Положим u0 = a1 (t ) L2 ().

Тогда на основании (3.7) и (3.8) имеем Au0 = K (t, s ) a1 ( s)ds m a1(t ) b1( s ) a1 ( s )ds = m 0u0, т.е.

Au0 m 0u0.

Отсюда следует, в частности, на основании теоремы об оценке снизу спектрального радиуса положительного оператора по его поведению на фиксированном элементе конуса K, что r ( A) m 0 0.

Лемма доказана.

Пусть u0 0 фиксированный элемент конуса K, фиксированное число, 1. Через K u 0, будем обозначать множество всех x K для которых существует константа a = a ( x) 0 такая, что a ( x)u0 x a ( x)u0.

Очевидно, что K u 0, удовлетворяет всем аксиомам конуса, при этом Ku0, K.

Определение 3.1. Оператор А называется фокусирующим на конусе K, x 0, y 0 существует если он u0 -положительный, и если для всех постоянная 2 такая, что ( Ax, Ay ) 2.

При этом число называется постоянной фокусирования. (По поводу определения функционала см. [38]).

Приведем критерий фокусирования [61].

Утверждение 3.1. Для того чтобы положительный оператор А был фокусирующим необходимо и достаточно, чтобы существовали такие u0 K и const, что для каждого x K выполнялось бы неравенство ( x)u0 Ax ( x)u0, здесь u0 фиксированный элемент конуса K, ( x) 0.

Это утверждение означает, что AK K u 0,.

Примерами фокусирующих операторов являются матрицы с положительными элементами.

Приведем теперь утверждение, при выполнении условий которого сопряженный с А оператор A является фокусирующим оператором и, более того переводит конус K в конус K u 0,.

Лемма 3.2. Пусть функция а1(s) почти при всех s принимает положительные значения. Тогда A K K u,, M где u0=b1(t), а =.

m Доказательство. Имеем для любого x(t ) L2 (), x(t ) 0, x(t ) A x(t ) m a1( s ) x( s )ds b1 (t ) = m ( x)b1 (t ), где (x)= a1 ( s) x( s)ds 0.

Аналогично a1( s ) x( s )ds b1 (t ) = M ( x)b1 (t ).

A x(t ) M Итак, m ( x)b1 (t ) A x(t ) M ( x)b1 (t ), т.е.

( x)b1 (t ) A x(t ) ( x)b1 (t ), M где =, ( x) = m ( x).

m Лемма доказана.

Следствие 1. Оператор A является фокусирующим оператором. Это следует из [61] и доказанной леммы 3.2.

При выполнении условия (3.9) согласно теореме Крейна-Рутмана число r(А) является собственным значением оператора A, которому отвечает собственная функция l = l (t ).

Ниже предполагается, что ядро K (t, s) - непрерывная по совокупности переменных t,s функция. Тогда функция l (t ) :

l ( A ) = A (t ) = r ( A)l (t ) (3.10) также непрерывная в, так как она является собственной функцией интегрального оператора с непрерывным ядром K (t, s).

Следствие 2. Для собственной функции l = l (t ) оператора A выполняется соотношение a (l ) b1 (t ) a (l ) b1 (t ) l (t ). (3.11) r ( A) r ( A) Это утверждение непосредственно следует из (3.10).

Теорема 3.1. В условиях пункта 1.1 справедлива двусторонняя оценка для спектрального радиуса r(А) оператора A:

b1(t ) 0 (t )dt b1(t ) 0 (t )dt 0 r ( A) 0, (3.12) b1(t ) u 0 (t )dt b1(t ) u 0 (t )dt где функция v0 = v0 (t ) определена формулой v0 (t ) = 0u0 (t ) Au0 (t ). (3.13) Доказательство. На основании (3.10) и (3.11) Al (u0 ) = r ( A)l (u0 ) = l ( Au0 ) = l (0u0 v0 ) = 0l (u0 ) l (v0 ), откуда l (v0 ) r ( A) = 0.

l (u 0 ) Согласно теореме [39] об общем виде линейного функционала в пространстве L2(), имеем l (v0 ) = l (t )v0 (t )dt, l (u0 ) = l (t )u0 (t )dt.

Из (3.11), (3.13) вытекает оценка (3.12). Теорема доказана.

1.2. Оценки спектрального радиуса абстрактного оператора.

Полученная оценка (3.12) допускает развитие на случай абстрактных операторов, т.е. операторов, действующих в банаховом пространстве.

Пусть А - вполне непрерывный линейный положительный оператор, действующий в банаховом пространстве Е, полуупорядоченном воспроизводящим конусом K, при этом мы предполагаем, что конус K содержит квазивнутренние элементы. Пусть далее r ( A) 0, а оператор A удовлетворяет условию: для каждого l1 = K существует такое = (l1 ), что l0 Al1 l0, (3.14) где - const, 0. Последнее означает что A K K u o,.

Пусть для некоторого квазивнутреннего элемента и0K выполнено неравенство Au0 0u0 ( Au0 0u0 ).

Тогда в силу теоремы [61] об оценке r(А) сверху, имеем r ( A) 0.

Оценим разность [0 r ( A)]. Положим v0 = 0u0 Au0 0. (3.15) Пусть l0 K - собственный вектор A, отвечающий собственному значению = r ( A) :

Al0 = r ( A)l0. (3.16) (Существование такого собственного вектора гарантировано теоремой М.Т.Крейна и М.А.Рутмана [39]).

Теорема 3.2. В условиях пункта 1.2 справедлива двусторонняя оценка для спектрального радиуса r(А) (v ) 1 (v ) 0 l 0 0 r ( A) 0 l 0 0. (3.17) l 0 (u0 ) l 0 (u0 ) Доказательство аналогично доказательству оценки (3.12). В самом деле, применяя к (3.15) функционал l и используя (3.16), получим ( Al0 )(u0 ) = r ( A)l (u0 ) = 0l (u0 ) l (v0 ), (3.18) откуда, учитывая (3.14), имеем для любого u 1l0 (u ) r ( A)l (u0 ) 1l0 (u ), где 1 = (l ). Из (3.18) следует, что l (v0 ) r ( A) = 0, (3.19) l (u0 ) и на основании (3.19) получаем оценку (3.17).

Приведем пример применения теоремы 3.2.

Пусть A = (aij ), где aij 0 (i, j = 1, n), m = min aij, M = max aij. Пусть i, j = 1,n i, j = 1,n u0 = (u1 0), u20),..., un0) ) R n - вектор с положительными координатами, причем ( ( ( 0u0 Au0 = v0 0.

Тогда для спектрального радиуса r(А) матрицы А справедлива двусторонняя оценка n n ( 0) ( 0) vi vi M i =1 m i = 0 r ( A) 0.

n n m u ( 0) M u (0) i i i =1 i = Эта оценка следует из (3.17), так как матрица А удовлетворяет условию (3.14) с вектором M = l0=(1,1,…,1),.

m В самом деле, для каждого вектора l0 = (1, 2,..., n ) с неотрицательными координатами и каждого номера i, 1iп имеем n n ( Al1 ) i = aij j M j j =1 j = и n ( Al1 ) i m j.

j = Поэтому Mn n m j l0 Al1 m j l0, m j = j = M т.е. (3.14) выполняется с вектором l0 = (1,1,...,1) при =.

m 1.3. Уточнение оценок спектрального радиуса.

Выше мы уже приводили оценку снизу для спектрального радиуса r(А) оператора А, исходя из условия вида ( x0 K ), Ax0 0 x где x0 - фиксированный элемент из Е. При этом условии гарантировалась оценка вида r ( A) 0.

Теорема 3.3. Пусть А - линейный вполне непрерывный положительный на воспроизводящем конусе K оператор, обладающий свойством: r ( A) 0, и для каждого элемента l1 K существует = (l1 ) 0 такое, что l0 Al1 l0, где l0 - фиксированный ненулевой элемент из K, а 0 постоянная.

Пусть для некоторого квазивнутреннего элемента x0 K выполняется неравенство w0 = Ax0 0 x0 0.

Тогда справедлива двусторонняя оценка для r(A) 1 l0 ( w0 ) l (w ) 0 + r ( A) 0 + 0 0. (3.20) l0 ( x0 ) l0 ( x0 ) Доказательство. Так как в условиях этой теоремы полугруппа K E, A - вполне непрерывный в E воспроизводящая в оператор и r ( A ) = r ( A) 0, то по теореме Крейна - Рутмана [39] существует ненулевой вектор l K такой, что Al = r ( A)l, откуда r ( A)l ( x0 ) = Al ( x0 ) = l ( Ax0 ) = l ( w0 ) + l0 ( x0 ), т.е.

l ( w0 ) r ( A) = 0 +. (3.21) l ( x0 ) Поэтому, учитывая условия теоремы, имеем для каждого x 1l0 ( x) r ( A)l ( x) 1 l0 ( x), где 1 = (l ) 0, - const. Откуда 1l0 ( w0 ) l ( w0 ) 1l0 ( w0 ), 1 l0 ( x0 ) l ( x0 ) 1l0 ( x0 ) т.е.

1 l0 ( w0 ) l ( w0 ) l (w ) 0 0.

(3.22) l0 ( x0 ) l ( x0 ) l0 ( x0 ) Неравенства (3.20) следуют из (3.21) и неравенств (3.22). Теорема доказана.

Из утверждений теорем 3.1 и 3.3 вытекает Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 3.3, а также неравенства v0 = 0u0 Au0 0, w0 = Ax0 0 x0 0, x0,u где фиксированные квазивнутренние элементы конуса K. Тогда справедливы оценки 1 l (v ) l (w ) r ( A) min 0 + 0 0, 0 0 0, l0 ( x0 ) l0 ( x0 ) l (v ) 1 l (w ) r ( A) max 0 + 0 0, 0 0 0.

l0 ( x0 ) l0 ( x0 ) Проиллюстрируем применение теорем 3.2 и 3.3.

Рассмотрим интегральный оператор (3.7) с неотрицательным измеримым на множестве ядром K(t,s), которое удовлетворяет неравенствам m (t ) ( s ) K (t, s) M (t ) ( s), (3.23) 1 1 где (t ) L p () ( p 1), ( s ) Lq () + = 1, т и М – положительные p q постоянные, (t ), ( s ) принимают почти всюду на неотрицательные значения.

В этих условиях интегральный оператор (3.7), действующий в Lр(), линейный и вполне непрерывный. Оператор А оставляет инвариантным конус K неотрицательных функций пространства L p (), который является и воспроизводящим и нормальным. Конус K содержит квазивнутренние элементы всякая функция и(t), принимающая почти всюду на положительные значения, является квазивнутренним элементом K. Сопряженный к А оператор A имеет вид A x(t ) = K ( s, t ) x( s)ds.

Ясно, что в силу (3.23) m ( x) (t ) K ( s, t ) M ( s) (t ), и поэтому для каждого элемента x(t ) Lq () m ( x) (t ) A x(t ) Ma( x) (t ), где a ( x) = ( s ) x( s )ds.

Тем самым оператор A удовлетворяет условиям теорем 3.2 и 3.3 при M =.

m Пусть, далее, для некоторых функций u0 (t ), x0 (t ) L p (), принимающих почти повсюду на, положительные значения, выполняются условия 0u0 (t ) K (t, s)u0 ( s )ds v0 (t ) 0, K (t, s) x0 ( s)ds 0 x0 (t ) w0 (t ) 0.

Тогда справедливы оценки ( s)v0 ( s)ds ( s) w0 ( s)ds, r ( A) min 0 +, ( s ) x0 ( s)ds ( s )u0 ( s)ds ( s)v0 ( s)ds ( s) w0 ( s)ds,0 r ( A) max 0 +.

( s ) x0 ( s)ds ( s)u0 ( s)ds §2. Новые оценки сверху спектрального радиуса интегрального оператора При использовании принципа Хикса для интегрального уравнения с неотрицательным ядром важную роль для его справедливости играет условие вида r ( A) 1, (3.24) где r ( A) - спектральный радиус интегрального оператора А с ядром K (t, s).

Естественно необходимо иметь признаки, обеспечивающие выполнение условия (3.24). Укажем соответствующие признаки для случая, когда А – интегральный оператор вида Ax(t ) = K (t, s) x( s)ds, (3.25) где - ограниченное замкнутое множество евклидова пространства R2, K(t,s) – n измеримая по s почти при всех значениях t функция, для которой при p некоторых p 1 и q = выполняется условие:

p q q K (t, s) ds dt +. (3.26) При выполнении условия (3.26) оператор (3.25), действующий в пространстве L p (), как известно [61], является вполне непрерывным оператором в этом пространстве.

Предварительно напомним определение неразложимости оператора.

Положительный линейный оператор A называется неразложимым, если из того, что x 0, x Ax ( 0), следует, что x 0.

Введем в рассмотрение следующие функции P(t ) = K (t, s ) ds, Q(t ) = K ( s, t ) ds.

Теорема 3.4. Пусть для некоторого [0;

1] выполняется следующее неравенство P (t )Q1 (t ) 1 (t ) (3.27) и, кроме того, выполняется одно из двух условий:

10) в неравенстве (3.27) равенство допускается лишь на множестве точек лебеговой меры нуль;

20) в неравенстве (3.27) строгое неравенство выполняется для всех t из некоторого множества w, mes w 0, оператор А – неразложим в пространстве L p ().

Тогда спектральный радиус r ( A) оператора А в пространстве L p () меньше, чем единица:

r ( A) 1.

Доказательство. В общем случае, будем считать, что K (t, s ) 0, т.к. в противном случае мы бы перешли от оператора А к оператору А+:

A+ x(t ) = K (t, s) x( s)ds, для которого выполняются все условия теоремы и ядро, которого неотрицательно. Если для этого оператора будет доказано утверждение теоремы, т.е. если докажем, что r ( A+ ) 1, то учитывая неравенство r ( A) r ( A+ ), получим утверждение теоремы.

Итак, можно сказать, что K (t, s ) 0, т.е. оператор А положителен в L p (). Положим A = A.

Очевидно A, а, следовательно, и r ( A ) непрерывно зависят от, а так как при = 0 A0 = 0 и r ( A0 ) = 0, то для всех достаточно малых выполнено неравенство r ( A ) 1.

Возможны два случая:

1) r ( A1 ) 1;

2) r ( A1 ) 1.

В первом случае теорема доказана, так как A1 = A. Во втором случае найдется хотя бы одно значение = 0 (0;

1], для которого r ( A0 ) = 1. В этом случае r ( A0 ) = 1 является собственным значением оператора A0, которому отвечает неотрицательная собственная функция x0 (t ) L p () :

A0 x0 (t ) = 0 (t ), откуда в силу (3.27) (t, s ) x0 ( s )ds P (t )Q1 (t )0 (t ), K где K 0 (t, s ) = 0 K (t, s ).

Установим, что в неравенстве (3.27) знак строгого неравенства имеет место на некотором множестве w1 : w1, mes w1 0 для каждого из случаев 10), 20).

При условии 10) это утверждение очевидно.

При условии 20) утверждение следует из того, что неотрицательная собственная функция положительного неразложимого оператора в пространстве L p (), как квазивнутренний элемент конуса неотрицательных функций пространства L p (), почти всюду в принимает положительные значения. Замечая, что K 0 (t, s ) = K 0 (t, s ) K (t, s ), и применяя к левой части в (3.27) неравенство Гельдера с показателями 1 p= q=,, получим 1 p q x0 (t ) P (t )Q1 (t ) x0 (t ).

K 0 (t, s )ds K 0 (t, s ) x0 ( s )ds q Так как при этом K 0 (t, s ) K (t, s ), то P (t )Q1 (t ) x0 (t ), K (t, s )ds K (t, s ) x0 ( s )ds q (3.28) причем здесь строгое неравенство выполняется для всех t w1, где w1 и mes w1 0.

Покажем, что для всех t, для которых x0 (t ) 0, выполняется также неравенство:

P(t ) 0.

Действительно, если для некоторого множества w1, w P (t ) = 0 (t w1 ), то в силу неотрицательности K (t, s) это означает, что при всех t w1, функция K (t, s ) как функция аргумента s на эквивалентна нулю для всех t w1. Тогда эквивалентна нулю для всех t w1 на множестве и функция K (t, s ) x0 (t ), поэтому для t w x0 (t ) = 0 K (t, s) x0 ( s)ds = 0, т.е. x0 (t ) 0 для t w1.

Сказанное означает, что из неравенства (3.28) следует неравенство Q1 (t ) x0 (t ), K (t, s ) x0 ( s )ds q (3.29) причем в (3.29) знак строгого неравенства имеет место, по крайней мере, для t w1. Извлекая из обеих частей неравенства (3.29) корень степени (1 ), а затем, интегрируя по t на множестве, получим dt K (t, s) x0 ( s)ds Q(t ) x0 (t )dt.

q q Меняя в левой части порядок интегрирования, найдем что Q(t ) x0 (t )dt Q(t ) x0 (t )dt.

q q Полученное противоречие доказывает невозможность неравенства r ( A1 ) 1.

Теорема доказана.

Аналогичный результат имеет место и в том случае, когда интегральный оператор (3.25) действует в пространстве С () и неразложим в этом пространстве относительно конуса неотрицательных функций пространства С ().

§ 3. Двусторонние оценки решения операторного уравнения Укажем одно из применений полученных в предыдущем параграфе результатов. Рассмотрим уравнение x = Ax + f (3.30) с линейным положительным и неразложимым оператором А, действующим в пространстве Е с телесным и нормальным конусом K.

Теорема 3.5. Пусть u0 - внутренний элемент конуса K, а 0 таково, что 0u0 Au0 0. (3.31) Тогда r ( A) 0 и уравнение (3.30) имеет и притом единственное решение x = x ( f ) для каждого : 0 при любом fЕ. Это решение представимо рядом Неймана Am x =, m + m= причем при 0 для решения x справедлива следующая априорная оценка fu fu (u0 v0 ) x (u0 v0 ).

0 (3.32) ( 0 ) ( 0 ) Доказательство. Положим v0 = 0u0 Au0. В силу (3.31) v0 0, поэтому A2u0 = 0 Au0 Av0 = 2u0 0 v0 Av0 0 (0u0 v0 ), A3u0 = 0 A2u0 A2 v0 = A(0 Au0 Av0 ) 0 A(0u0 v0 ) = = 0 (0 Au0 Av0 ) 2 (0u0 v0 ).

Методом математической индукции доказывается справедливость неравенства Amu0 m1 (0u0 v0 ) (m=1,2,…). (3.33) Пусть теперь 0. Так как u0 0, то Eu 0 = E, и для каждого fЕ f u0 f f u0.

u0 u Поэтому из (3.33) следует, что Am u0 m 1 (0u0 v0 ) f Am f f (m=1,2,…) u u 0 и, аналогично, Amu0 m 1 (0u0 v0 ) f Am f f.

u0 u Отсюда следует, что Am f u0 0 +1 (0u0 v0 ) u0 0u0 v0 0 m m x = m +1 f u + = = f u0 + m=0 m = m + m=0 u v u v = f u 0 + 0 2 0 = 0 0 0 f u ( 0 ) 0 и, аналогично, 0u0 v x f.

( 0 ) u Теорема доказана.

Замечание. Оценку (3.32) естественно сравнить с ранее известной [61] априорной оценкой решения уравнения (3.30) f f u0 u u0 x u0. (3.34) 0 Заметим, что (3.32) всегда лучше оценки (3.34) в силу того, что f f (u0 v0 ) u0 u u0, ( 0 ) так как последнее неравенство вытекает из неравенства v u0 u0.

Полученные оценки можно развить на тот случай, когда вместо условия 0u0 Au0, соответственно вместо условия Ax0 0 x0, выполняются условия 0u0 Amu0, соответственно Am x0 0 x0, где т - некоторое фиксированное натуральное число. В первом случае при естественных предположениях относительно оператора А и конуса K (эти условия вполне аналогичны тем, которые проведены для случая т=1) можно доказать справедливость следующей оценки, т.е. справедлива теорема.

Теорема 3.6. Пусть А - линейный вполне непрерывный положительный на воспроизводящем конусе K оператор, обладающий свойством: r ( A) 0, и для каждого элемента l1 K существует = (l1 ) 0 такое, что l0 Aml1 l0, где l0 - фиксированный ненулевой элемент из K, а 0 постоянная.

Тогда 1 ) ) l 0 ( 0 1 l 0 ( m m 0 ( ) r ( A) 0 ( ), l0 u0 l0 u где v0 = 0u0 Amu0.

§ 4. Алгоритм определения скорости сходимости метода Зейделя для уравнений в гильбертовом пространстве В работе С.Г. Крейна и О.И. Прозоровской [40] был предложен метод решения уравнения вида Bx = b, (3.35) где В – самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н.

Сущность этого метода заключается в том, что если оператор В допускает представление B = B1 + B2 + B2*, * где B2 - сопряженный оператор к оператору В 2, то уравнение (3.35) можно записать в виде ( B1 + B2 ) x = B2 x + b, и если существует обратный оператор ( B1 + B2 ) 1, то в виде x = ( B1 + B2 ) 1 B2 x + ( B1 + B2 ) 1 b.

* (3.36) Уравнение (3.36) эквивалентно уравнению (3.35).

В качестве примера приведем интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода b x(t ) + K (t, s ) x( s )ds = f (t ) (3.37) a с непрерывным симметричным ядром K(t,s).

Полагая B1 = I, t b * B2 x(t ) = K (t, s ) x( s )ds, B2 x = K (t, s ) x( s )ds, a t мы можем переписать исходное уравнение (3.37) в виде t b x(t ) + K (t, s ) x( s )ds = K (t, s ) x( s )ds + f (t ), a t при этом оператор В2 – оператор Вольтерра и поэтому существует ( B1 + B2 ) 1 = ( I + B2 ) 1.

Если после перехода от уравнения (3.35) к уравнению (3.36) окажется, что спектральный радиус r(C) оператора C = ( B1 + B2 ) 1 B * (3.38) меньше, чем 1, то к уравнению (3.36) применим метод последовательных приближений, быстрота сходимости которого определяется величиной r(C).

Работа [38] М.А. Красносельского, В.Я. Стеценко продолжает исследование статьи [40]. Здесь установлено, что для таких уравнений метод Зейделя, является сходящимся. Скорость сходимости метода определяется величиной спектрального радиуса оператора С, для которого установлена более точная оценка, сформулированная в следующей теореме.

Теорема 3.7 [38]. Пусть операторы В и В1 положительно определены, причем выполняются соотношения (Вx, x ) m( x, x), (B1 x, x ) m1 ( x, x), xH, (3.39) m, m1 0.

где Тогда спектральный радиус r (C ) оператора (3.38) удовлетворяет неравенству r (С ) 1, (3.40) B1 + B где 0 определяется соотношением { } 0 = sup ((B1 + B2 )x, x ) (B2 x, x ).

(3.41) x Однако последняя оценка не является эффективной в связи с тем, что 0 определено неявно. Мы поставили задачу установить фактическое значение величины r (C ) или, по крайней мере, ее фактическую оценку сверху по определенным характеристикам тех операторов, которые входят в выражение оператора С. Укажем способ, позволяющий это сделать.

Покажем, что число 0 положительно, если операторы В1 и В положительно определены.

Вначале отметим, что неравенство (B1 x, x )(( B1 + B2 + B2 ) x, x ) mm1 ( x, x) * можно записать в виде (( B + B ) x, x )(( B + B ) x, x ) ( B x, x)( B x, x) + mm ( x, x) * * 1 2 1 2 2 2 или, что то же, в виде (( B1 + B2 ) x, x ) 2 ( B2 x, x) * mm1 ( x, x) 2. (3.42) Пусть sup (( B1 + B2 ) x, x ) = 0, (3.43) x = тогда 0 sup{ : 2 2 mm1 ;

0 }.

Поэтому 0 0 02 mm1.

Заметим, что в силу (3.42) и (3.43) 02 mm1.

Из формулы (3.41) следует, что для любого фиксированного элемента x0 H { } 0 (( B1 + B2 )x0, x0 ) (B2 x0, x0 ).

Это значит, что если мы выберем любой конкретный элемент x0, и подсчитаем величину 0:

0 = ( B1 + B2 ) x0, x0 ) ( B2 x0, x0 ), * (x0, x0 ) = 1, и это число окажется положительным, т.к. 0 = sup где является положительным, то, 0 будучи точной верхней гранью всех чисел 0, будет не меньше, чем 0. Тем самым очевидно, что 0 0, и мы получаем возможность оценить снизу число 0 через элемент 0, а это позволяет оценить сверху «отрыв» числа r (C ) от числа 1. Этот «зазор» между 0 и будет не меньше, чем r (C ) 1, B1 + B т.е.

r (C ) 1.

B1 + B Вывод: в условиях теоремы 3.7 в неравенстве (3.40) постоянную можно заменить положительным числом 0, полученным по формуле 0 = ( B1 + B2 ) x0, x0 ) ( B2 x0, x0 ), где x0 - произвольный элемент конуса, * нормированный условием ( x0, x0 ) = 1.

§5. Метод построения приближений по недостатку и по избытку к положительному собственному вектору x, отвечающему ведущему собственному значению В этом параграфе рассматривается задача на собственные значения x = F (x), (3.44) где F- оператор, необязательно линейный, действующий в банаховом пространстве Е, полуупорядоченном конусом K, причем F ( x) K при x K, иными словами, F – положительный оператор. При определенных предположениях относительно F (или K) уравнение (3.44) имеет для некоторого = 0 решение x, принадлежащее K. К отысканию собственных векторов линейных или нелинейных операторов приводят важные физические, технические и экономические задачи. Собственный вектор может быть найден точно лишь в весьма частных случаях, поэтому возникает задача приближенного построения собственного вектора. При этом особый интерес представляют методы, позволяющие строить такие приближения u, v к x, которые удовлетворяют условию u x v.

В этом случае естественно рассматривать и, v как приближения к собственному вектору x, соответственно, по недостатку и по избытку.

Понятно, что особый интерес могут представлять методы построения u n x vn, последовательностей un, vn таких, что и при этом x u n 0, x vn 0.

5.1. Случай линейного положительного оператора.

Рассмотрим вначале случай линейного положительного оператора. Его, в отличие от случая нелинейного оператора, привычнее обозначать не буквой F, а буквой А. Уравнение (3.44) в этом случае перепишется в виде x = Ax.

Элементы x, y K называются эквивалентными, если tx y и ty x при некотором t 0. Конус K распадается на классы попарно эквивалентных элементов – компоненты эквивалентности. Для эквивалентных элементов x, y K определена величина inf {t : tx y} ( x, y ) =.

sup{t : tx y} Оператор А будем предполагать не только положительным, но и фокусирующим.

Лемма 3.3 [33]. Пусть x 0, y 0, и x ay, y bx, причем x u = y u = 1.

o o Тогда функционал ( x, у ) = ln ( x, y ) обладает свойством:

x e ( x, y ) y, y e ( x, y ) x.

Заметим, что ( x, y ) является полуметрикой на множестве всех сравниваемых между собой по конусу K элементов.

Теорема 3.8 [33]. Если А – фокусирующий оператор с постоянной фокусирования, тогда для всех x, y K u o ( Ax, Ay ) = ( x, y ), + т.е. в полуметрике ( x, y ) фокусирующий оператор является оператором сжатия на множестве K u o с постоянной q:

q 1. (3.45) + В случае, когда – линейный оператор с матрицей А из А положительных элементов постоянная фокусирования определяется следующей теоремой.

Теорема 3.9 [35]. Константа фокусирования относительно конуса K + R n линейного оператора А с матрицей А из положительных элементов aij определяется равенством ai a jq ( A, K + ) = max.

a j aiq i, j,, q Для всех x K u o определим оператор A :

Ax Ax =, Ax u o E1 = K uo S1, который рассмотрим на множестве где ( x, y ) S1 = {x : x Eu o, x u = 1}. Тогда рассматриваемая полуметрика o является метрикой в E1. В самом деле, из равенства ( х, у ) = 0 ( х, у Е1 ) следует, что x = y, 0, но так как xu = y = 1, uo o то = 1, т.е. x = y.

Оператор A является на E1 оператором сжатия этого метрического пространства [35]. В силу сказанного A имеет в E1 единственную неподвижную точку x :

Ax = x, т.е.

Ax = Ax x uo x и к сходится метод последовательных приближений x n + 1 = Ax n (n = 0,1,2,...) при любом начальном приближении x0 K u o, x0 0.

При этом на основании утверждения принципа сжатых отображений имеет место следующая оценка близости xn к x :

qn ( x, xn ) ( х1, х0 ). (3.46) 1 q Здесь ( х, у ) определяется следующим образом: пусть x t1 y, y t 2 x, тогда ( х, у ) = ln max{t1, t 2 }.

Тем самым установлена справедливость следующей теоремы.

Теорема 3.10. Пусть А – фокусирующий оператор с постоянной фокусирования. Тогда А имеет в K u o собственный вектор x, которому отвечает собственное значение 1 = r ( A). К этому вектору x сходится метод Axn xn +1 = (n = 0,1,2,...) Axn u o при любом x0 K u o, x0 0. При этом справедлива оценка близости (3.46), где q удовлетворяет неравенству (3.45). К собственному вектору x также сходятся последовательности un и vn, которые удовлетворяют следующему неравенству u n x vn, где n 1 a 2 + An x0, un = (3.47) b n 1 b 2 + An x0, vn = (3.48) a а постоянные a и b таковы, что ax0 Ax0 bx0.

При этом коэффициенты в правых частях (3.47) и (3.48) при n стремятся к единице. Как уже отмечалось в последней теореме, последовательность An x0 сходится к собственному вектору x, в силу чего un и vn по норме пространства Е сходятся к x.

Итак, мы получили возможность строить последовательности un и vn сходящиеся к x, при этом un сходится по норме пространства Е снизу, а vn сверху.

Если теперь вместо оператора А взять сопряженный оператор A то, учитывая, что он является положительным в E относительно полугруппы K, мы аналогичным образом получим способ построения приближений l1( n ), l2n ) к собственному функционалу оператора A :

( l1( n ) l0 l2n ).

( Приведем соответствующий пример.

Пример 1. Пусть 1 3 1 A=, u 0 =, x0 =.

2 1 1 Заметим, что в данном примере точное значение собственного вектора, отвечающего ведущему собственному значению 1 = r ( A) :

x = 0.816.

Используя метод, описанный в теореме 3.10, получим приближения к соответствующим координатам собственного вектора x, начиная с x0 = (1;

1).

Представим эти приближения в виде следующей таблицы:

Номер Приближения к соответствующим приближений, координатам собственного n вектора x 1 (1;

0.750000) 2 (1;

0.846154) 3 (1;

0.804348) 4 (1;

0.821656) 5 (1;

0.814338) 6 (1;

0.817405) 7 (1;

0.816115) Построим приближения к соответствующим координатам собственного вектора x «снизу» и «сверху». В данном примере а=3, b=4, =2.449. Эти приближения также представим в виде таблицы:

Номер приближений n un vn 1 0.91612 1. 0. 0. 2 0.966385 1. 0. 0. 3 0.98465 1. 0. 0. 4 0.99352 1. 0.81633 0. 6 0.99885 1. 0. 0. 7 0.99952 1. 0.81572 0. Используя формулу (3.46), оценим близость найденного приближения к точному решению х на 7-м шаге: ( х7, х ) = 0.00114.

Пример 2. Пусть 0.1 0.2 1 0.1 0.1 0. 0.2 0.3 0.2 0.1 0.5 1 A = 0.1 0.3, u0 = 1, x0 = 3.

0.1 0.1 0. 0.2 0.5 1 0.6 0.6 0. 0.6 1 0.1 0.3 0.2 0. В данном примере точное значение собственного вектора, отвечающего 0. 0. x = 0.467. Используя метод, ведущему собственному значению 1 :

0. описанный в теореме 3.10, получим приближения к соответствующим координатам собственного вектора х. Представим эти приближения в виде следующей таблицы.

Номер Приближения к соответствующим приближений, координатам собственного вектора( n x )Т 1 (0.487805;

0.560976;

0.414634;

1;

0.707317) 2 (0.517167;

0.706009;

0.491416;

1;

0.841202) 3 (0.476503;

0.695812;

0.464674;

1;

0.793159) 4 (0.483112;

0.693664;

0.467055;

1;

0.785725) 5 (0.483335;

0.692887;

0.466967;

1;

0.788263) 6 (0.483425;

0.693335;

0.466967;

1;

0.788628) 7 (0.483303;

0.693293;

0.466882;

1;

0.788491) 8 (0.483326;

0.693289;

0.466892;

1;

0.788472) 9 (0.483326;

0.693286;

0.466890;

1;

0.788480) 10 (0.483326;

0.693288;

0.466891;

1;

0.788481) А теперь на основании теоремы 3.10 получим приближения к соответствующим координатам собственного вектора x «снизу» и «сверху».

В данном примере a = 0.56, b = 2.9, = 6. Приближения также представим в виде таблицы:

Номер приближений, n un vn 1 0.02643 9. 0.03039 10. 0.02246 7. 0.05418 18. 0.03832 13. 2 0.06445 4. 0.08798 5. 0.06124 3. 0.12462 8. 0.10483 6. 3 0.10766 2. 0.15721 3. 0.10499 2. 0.22593 4. 0.17920 3. 4 0.16696 1. 0.23972 2. 0.16141 1. 0.34559 2. 0.27154 2. 5 0.22628 1. 0.32439 1. 0.21848 0. 0.46816 2. 0.36904 1. 6 0.28112 0. 0.40319 1. 0.27155 0. 0.58153 1. 0.45861 1. 7 0.32814 0. 0.47071 1. 0.31699 0. 0.67895 1. 0.53534 1. 8 0.36654 0. 0.52577 0. 0.35408 0. 0.75837 1. 0.59796 1. 9 0.39668 0. 0.56900 0. 0.38319 0. 0.82073 1. 0.64713 0. 10 0.41972 0. 0.60205 0. 0.40544 0. 0.86839 1. 0.68471 0. Ниже предлагается два алгоритма построения собственных векторов x и l операторов A и A, соответствующих значению 1 = r ( A).

A Пусть неразложимый вполне непрерывный положительный u0 фиксированный оператор, внутренний элемент K, n и n последовательности такие, что n = inf { : Anu0 u0, u0 0}, n = sup{ : Anu0 u0, u0 0}.

Построим последовательности:

1 2 1 n n 2u + An 1u0, un = n + n +... + nu n Au nA 0 0 1 2 1 n n 2u + An 1u0.

vn = n + n +... + nu n Au nA 0 0 Тогда согласно [66] последовательности un vn A, A Aun Avn сходятся к единственному с точностью до нормы вектору оператора A, отвечающего собственному значению r ( A).

Для отыскания l проводятся аналогичные построения применительно к сопряженному оператору A.

Пусть A – линейный положительный оператор, действующий в банаховом пространстве Е, полуупорядоченном конусом K, то есть AK K.

Как известно [33, 35, 63] в этом случае оператор A при некоторых x, дополнительных предположениях имеет в K собственный вектор отвечающий спектральному радиусу r ( A) оператора A:

Ax = r ( A) x.

Занумеруем собственные значения оператора А в порядке убывания их абсолютных величин, то есть r ( A) = 1 2... n. Тогда всякая точка спектра ( A) оператора А удовлетворяет неравенству r ( A) = 1 ( ( A)).

Для различных классов положительных операторов (сильно положительные, u0 положительные, фокусирующие, острые [32, 35, 63]) гарантировано строгое неравенство r ( A) ( ( A), 1 ). (3.49) Дополнительно предположим, что Е=Н – гильбертово пространство, А – самосопряженный положительный оператор, т.е. A = A.

Пусть y0 K, y0 0, l0 K, l0 0. Положим l0 ( Ay0 ) 1 = l0 ( y 0 ) и определим элементы l1 = y1 = 1 Ay0, l2 = y2 = 2 Ay1.

Вообще, пусть уже определены n 1, yn 1, ln 1. Положим ln 1 ( Ayn 1 ) n = ln = yn = n Ayn 1.

, ln 1 ( yn 1 ) Для определенности последовательностей { n }, {yn }, {ln } необходимо и достаточно выполнения условия ln ( yn ) 0 для любого n. Для этого, например, достаточно, чтобы оператор А был неразложим [33]. Наряду с последовательностью {yn } образуем последовательность xn = n = A n y 0 (n = 1,2,...).

Ясно, что для каждого n l1 = 1 x1 = 11, l2 = y2 = ( 2 1 ) x2 = ( 2 1 ) 2,..., n n ln = yn = i xn = i i.

i =1 i = Поэтому ln 1 ( Ayn 1 ) n 1 ( Axn 1 ) n = =.

n 1 ( xn 1 ) ln 1 ( yn 1 ) Положим xn = n = n1), xn1) = ( ( n xn тогда имеет место равенство n1)1 ( Axn1)1 ) ( ( n = (n = 1,2,...). (3.50) n1)1 ( xn1)1 ) ( ( { }{ } В силу (3.49) последовательности xn1) = n1) сходятся к собственному ( ( x = A = A, вектору оператора и поэтому в силу (3.50) последовательность { n } сходится к числу ( Ax ) 1 =.

( x ) Аналогичным свойством сходимости к 1 обладает последовательность l0 ( Ayn 1 ) tn =, l0 ( yn 1 ) n при этом разность t n 1 имеет порядок 2. Оказывается, что 1 { n } последовательность имеет более высокую скорость сходимости, а именно 2n n 1 = 2.

1 Распространим этом метод на операторы, действующие в банаховом y0 K, y0 0, l0 K, l0 0, пространстве Е с конусом K. Исходя из положим ln 1 ( Ayn 1 ) n = (n = 1,2,...), ln 1 ( yn 1 ) где ln = n Aln 1, yn = n Ayn 1 (n = 1,2,...).

Пусть x, l собственные векторы операторов A, A, соответственно, x K, l K такие, что x = l = 1. Тогда имеют место асимптотические оценки [33] 2n n 1 = 2, 1 n yn ln = 2.

x,l yn ln В отличие от самосопряженного оператора здесь, хотя объем работы возрастает в два раза, мы получаем приближения не только собственному значению 1 и собственному вектору x оператора А, но и к собственному вектору l сопряженного оператора A.

По предложенным выше алгоритмам, составлены программы на языке программирования TURBO PASCAL (приложение 3).

5.2. Случай нелинейного оператора.

В предыдущем пункте оператор А предполагался линейным оператором. Оказывается, что приближения, сходящиеся к вектору x, можно построить для некоторых классов нелинейных операторов F(x). Здесь мы выделим соответствующий класс нелинейных операторов F(x), действующих в полуупорядоченном банаховом пространстве, являющихся монотонным относительно нормального конуса K и таким, что F (x) F ( x) для всех x K и [1;

+], где 1, const.

Определение 3.2. Будем говорить, что x и y принадлежат одной составляющей C K (x) конуса K, если существуют такие конечные числа и, что x y, y x, а сами элементы x и y в этом случае будем называть связными.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.