авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |
-- [ Страница 1 ] --

В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть 11

АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

УДК 517.97

Ф.Т. Ишанкулов

Самаркандский Государственный Университет

г. Самарканд, Узбикистан

ОПИСАНИЕ p -ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НА ДЕРЕВЕ КЭЛИ

Дерево - это связанный граф без циклов. Одним из частных случаев дерева является дерево k Кэли = (V, L), т.е. бесконечное дерево, из каждой вершины которого выходит ровно k 1 рёбер (дерево Кэли порядка k 1 ), где V - множество вершин и L - множество рёбер.

Известно, что дерево Кэли представляется как группа Gk, являющаяся свободным произведением k 1 циклических групп второго порядка с образующими a1, a2,..., ak 1. Для x Gk обозначим S ( x) = { y Gk : y = xai, i = 1,..., k 1}.

k Если u - некоторая заданная функция на, то его градиент u есть векторное поле, определенное по формуле u ( x, y) = r ( x, y ) 1 u ( y) u ( x), где r : L R - некоторая функция с r ( y, x ) = r ( x, y ). Дискретный p -Лапласиан p u функции k u на определяются как | u ( x, y) | p2 u ( x, y).

pu = yS ( x ) Пусть D Gk. Если p u = 0 на D, то функция u называется p -гармонической в D.

Главная цель этой работы - продолжение p -гармонических функций с дерева Кэли меньшего порядка на дерево Кэли более высокого порядка. Фиксируем k1, k2 N с k2 k1.Пусть {a1, a 2,..., a k 1} - множество образующих группы Gk, {a1, a 2,..., a k 1} - множество 1 образующих группы Gk и e единичный элемент. Расмотрим отображение : {a1, a 2,..., a k 1} {e, a1, a 2,..., a k 1}, 2 a, если i k ( ai ) = i e, если i k1.

Пусть отображение g : Gk Gk определено по формуле 2 g ( x) = g (ai ai...ai ) = (a i )... (ai ).

1 2 m 1 m g R = {r ( x, y ) 0 : r ( x, y ) = r ( y, x ), ( x, y ) L} Пусть совокупность является периодической, т.е.

r ( g ( x ), g ( y )) = r ( x, y ) для всех рёбер ( x, y ) с g ( x) g ( y ).

ТЕОРЕМА. Пусть (x ) - p -гармоническая функция на дереве Кэли Gk. Пусть R является g -периодической на Gk, где k2 k1. Тогда сушествует p -гармоническая функция (x) на Gk такая, что ( x) = ( x), x Gk.

2 Список использованных источников 1. Н.Н. Ганихожаев. ДАН РУз, 1994, №4. с. 3- 2. Н.Н. Ганихожаев,У.А. Розиков. ТМФ, 1997, Т.111, № 1, с.109-117.



-9 В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть 3.U.A.Rozikov, F.T. Ishankulov. Description of periodic p-harmonic functions on Cayley tree.

Preprint ICTP IC/2008/ 4. U.A. Rozikov. Theor. Math. Phys. 1997,T112, №1, 170-175.

УДК 511.522. С.М. Вахтеров МГТУ им. Н.Э.Баумана г. Москва, Россия КРИПТОСИСТЕМА RSA ПРОТИВ ВТФ Мало какая теоретическая проблема математики представлена в Интернет так обширно и спорно, как Великая теорема Ферма (ВТФ). Попытки разных авторов в этом направлении небе зынтересны, т.к. накапливают доказательную базу по решению задач в математике.

Данное доказательство теоремы Ферма интересно тем, что для доказательства впервые используется криптографическая система RSA. Данный метод можно применить и для решения других уравнений.

Введение Данная атака на ВТФ делится на 2 части:

- в данной статье (часть 1) – “Криптосистема RSA против ВТФ”, доказывается случай, когда x, y, z, e: НОД(e, (x), (y), (z))=1;

- cтатья-продолжение (часть 2) – “Обобщение теоремы Лежандра”: для случая, когда x, y, z, e: НОД(e, (x), (y), (z))=e.

Здесь: e - простое положительное число - показатель степени, - функция Эйлера.

Арифметические свойства и возможные противоречия ++= Основные арифметические ограничения ВТФ для основного уравнения теоремы 0 (где,,, - целые числа) обобщены в работе Рибенбойма [1], а новые опубликованы в интер нет [2]. В данном доказательстве будут использованы следующие свойства основного уравнения Ферма: + и +. Будет доказано, что результат любого возведения в одну и ту же степень любых двух чисел, несравнимых между собой по модулю третьего числа, противоречит этим свойствам.

Обобщенный критерий существования решений в сравнениях Ферма [3] Теорема: “Для любого целого числа q и простого числа e, при НОД(e,(q))=1, где (q) - функ ция Эйлера от q, существуют целые числа,,, взаимно простые с q, такие, что + + 0 q.” Доказательство. По предположению НОД(e,(q))=1, а значит существуют такие целые числа d и b, что ed=b(q)+1. Пусть целые числа,,, не кратные q, такие, что + + 0 q.

, y, z (mod q). Поэтому, ( ) + ( ) + Тогда, согласно теоремы Эйлера [4]:

( ) 0 mod q.

5 26, 9 3, 16 4 : 26 + 3 + 4 0 ( 33), где:

Пример для =3*11;

=3;

=7. И, согласно теоремы: (26) + (3) + (4) 0 mod 33.

++ ++ Следствие. Если e d mod (q), тогда справедливо сравнение:

0, а также: + + 0 mod. Пример: 3 +14 +18 0 35, + + где: = 5*7;

= =5.

Создание ключей RSA, для доказательства ВТФ Рассмотрим основное уравнение + + = 0, как действующую криптосистему RSA [5]. В качестве ключей, для шифрования сообщений, можно рассматривать всевозможные пары чисел, например: (, ( ));

(, ( ));

(, ( ));

(, ( ));

(, (z + 1));

(, ( ));

(, ( ));

(, ( + + 1));

(, ( + 1)) и не только [6].

В доказательстве используются следующие термины RSA:

показатель степени (encrypted) – используется для шифрования чисел-сообщений.

показатель степени (decrypted) – используется для расшифрования чисел-криптограмм.

, и другие – модули (для шифрования и расшифрования сообщений).





Переменные уравнения будут “работать”, как криптосистема RSA, если значения функций Эйлера чисел, используемых в качестве модулей шифрования (,, или других) не будут кратны ми числу. (Замечание. Важно отметить, что здесь речь идёт о кратности значений функций Эйлера - ( ), ( ), ( ), а не кратности самих чисел,,.) - 10 В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть Также, для успешной работы криптосистемы RSA, имеются доказанные различными автора ми арифметические ограничения:

НОД (,, ) =1, [1].

В основу алгоритма RSA заложены свойства простых чисел, а более конкретно – значения функции Эйлера простых чисел. Для правильной работы данной криптосистемы необходимо, чтобы числа-сообщения, были взаимно простыми с модулем ключа шифрования. В нашем случае, это чис ла,,.

6, [2].

Шифрование чисел основного уравнения Ферма Допустим условия создания криптосистемы RSA выполнены и мы имеем ключи для шифро ), (, ).

вания: (, ), (, Выполним с их помощью шифрование исходных арифметических ограничений и, сразу же, отметим противоречия с гипотетически возможным решением уравнения.

Сначала рассмотрим результаты шифрования ключа (, ).

и Числа-сообщения:. Напомним, что, согласно исходных арифметических ограничений ВТФ:. НОД (,, )=1, 6.

и ( ) Криптограммы:.

Противоречие с арифметическими ограничениями ВТФ. Разные сообщения: и, зашифрованные одним и тем же ключом, дают разные криптограммы: и ( ) ( ) :. Сравнимость невозможна. (В общем-то, для криптосистемы было бы абсурдно, если бы два разных сообщения, зашифрованных одним и тем же ключом, давали бы одинаковые криптограммы.) По ключам (, )и (, ), для сообщений: и, также получаются различные криптограммы.

Результат атаки Таким образом, можно сделать вывод, что нет никаких решений у основного уравнения Фер ма, когда показатель степени не делит значения функции Эйлера чисел,,. Область значений чисел, для которых этот вывод справедлив, можно записать и так: НОД(e, (x), (y), (z))=1. В этом случае возможно создание криптосистемы RSA, хотя бы по одному числу из тройки (x, y, z), когда абсолютно все результаты шифрования противоречат известным арифметическим ограничениям.

Если хоть одно из чисел,, не имеет функцию Эйлера, которая не делится на e, то тео рема Ферма справедлива для всей тройки чисел, т.е. основное уравнение Ферма не имеет решений.

Например, если одного из чисел,, является простым вида 2 +1, то его функция Эйлера не кратна никаким значениям e [4].

Полученные условия позволяют завершить полное доказательство ВТФ в других работах, в частности работе, представляемой на II Всероссийской научной конференции "Научное творчество ХХI века": С.М. Вахтеров, “Обобщение доказательства Лежандра теоремы Софи Жермен”, а также продолжить исследования по другим возможным направлениям использования “ключей”, в том числе, для решения не только диафантовых уравнений… Список использованных источников 1. P. Ribenboim, Fermat's last theorem for amateurs, Springer-Verlag, New York, NY, 1999.

2. Арифметические ограничения для степени p в уравнении Ферма. [Научный форум dxdy http://dxdy.ru]. – Режим доступа: http://dxdy.ru/topic30942.html (дата обращения 28.03.2010).

3. Вахтеров С.М. Обобщение тривиального случая критерия Вендрта с помощью теоремы Эйлера для любых целых чисел // В мире научных открытий. – 2010. – №3(09). – Часть 1. – С. 119.

4. Euler's_theorem [Vikipedia - http://en.wikipedia.org]. – Режим доступа:

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_theorem (дата обращения 28.03.2010).

5. RSA [Vikipedia - http://en.wikipedia.org]. – Режим доступа: http://en.wikipedia.org/wiki/RSA (дата обращения 28.03.2010).

6. The RSA Cryptosystem against Last Fermat’s Theorem [2000.ru - http://www.2000.ru]. – Ре жим доступа: http:// www.2000.ru (дата обращения 28.03.2010).

- 11 В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть УДК 511.522. С.М. Вахтеров МГТУ им. Н.Э.Баумана г. Москва, Россия ОБОБЩЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ЛЕЖАНДРА ТЕОРЕМЫ СОФИ ЖЕРМЕН В работе перепроверяется доказательство соотношений Барлоу [1], выполненное другими авторами, и обобщается доказательство Лежандра теоремы Софи Жермен для Случая 2 ВТФ.

Полученный результат завершает доказательство Великой теоремы Ферма (ВТФ), нача тый в работе “Криптосистема RSA против ВТФ”, но требует перепроверки, как и любые другие доказательства по теории чисел.

Полное доказательство ВТФ для основного уравнения Ферма: x +y +z = 0 состоит из двух частей. Первая часть, на основе алгоритма RSA [2], доказывает справедливость ВТФ для чисел, хотя бы одно из которых, имеет значение функции Эйлера [3], не кратное простому числу. Вторая часть доказательства, представленная в этой работе, касается случая, когда все числа основного уравнения Ферма, имеют значения функции Эйлера, кратные.

В первой части доказательства, заявленного на II Всероссийскую научную конференцию "На учное творчество ХХI века" (С.М. Вахтеров, “Криптосистема RSA против ВТФ”), получен следую щий результат: “Для любого гипотетического решения основного уравнения ВТФ и любого нечетно го простого числа всегда найдутся такие простые числа,,, имеющие вид 2 + 1, при которых:

“Для любого гипотетического решения основного уравнения ВТФ и любого нечетного про стого числа всегда найдутся такие простые числа,,, имеющие вид 2 + 1, при кото рых:

( ) и e mod ( ) для любого значения z;

0 и e mod для любого значения y;

( ) и e mod ( ) для любого значения x.

Если хоть одно из чисел x, y, z не имеет такого вида, то теорема Ферма справедлива для та ких чисел, т.е. основное уравнение Ферма не имеет решений.” Любое из вышеперечисленных условий полностью соответствует условиям доказательства Лежандра теоремы Софи Жермен [1], а все вместе позволяют выполнить обобщение теоремы для Случая 2 ВТФ.

Обобщение теоремы Софи Жермен для Случая 2 ВТФ Чтобы избежать ошибок в доказательстве и упростить его перепроверку, оно максимально п од р о б н о повторяет метод Лежандра доказательства теоремы Софи Жермен [1] на основе соот ношений Барлоу.

Все переменные в основном уравнении ВТФ + + = 0 равноправны и нижеперечислен ные требования для теоремы условно закреплены за конкретными переменными (для удобства до казательства). Чтобы выбрать корректно модуль - число, для дальнейшего доказательства Случая 2 ВТФ, обусловимся, что кратно. В таком случае в уравнении + + = 0 остается два числа и, не кратные, т.к., согласно арифметическим ограничениям ВТФ: НОД(,, )=1. Для даль нейшего доказательства выбран делитель числа – число : 0. Если выполняются оп ределенные условия в теореме, с таким же успехом, доказательство проводится с помощью делите ля числа.

Теорема. Для показателя, где – нечетное простое число, ВТФ справедлива, если выполня ются условия:

1) взаимнопростые целые числа x, y, z, таковы, что + + 0 mod ( ), y к р ат н о e, z 0 mod ( ).

e mod ( ) для любого значения z.

2) Доказательство теоремы Предположим, что условия теоремы выполнены. Нужно доказать, что эти предположения ве дут к противоречию. Начнём с поиска гипотетического решения уравнения + + = 0, когда |. Сначала перепроверим соотношения Барлоу, полученные другими авторами [1]. Множители разложения ( ) = + = ( + )( +... + ) являются взаимно простыми числами в степени, т.е. НОД ( +, +...+ ) = 1.

- 12 В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть Доказательство взаимной простоты множителей + и +... +.

Если + и +... + оба кратны числу, то это противоречит ус ловию теоремы, т.к. только кратно.

+и + Предположим, оба числа кратны некоторому числу. Если...+ оба кратны числу, тогда + 0, +...+ 0( ),, 0( ). Рассмотрим, 0 или 0 ( ). 0 ( ) простое число, а вариант когда = и делит, рассмотрен. А невозможно, поскольку ) невозможно, поскольку s делило бы тогда, как, так и +, а значит и. Следовательно, ( оба множителя + и +...+ взаимнопросты.

Аналогичные выкладки получаются для = ( + )( ( ) = + +...+ ).

= ( + )( Теперь рассмотрим число уравнения кратное : ( ) = + +...+ ).

Согласно предварительному условию именно число кратно. Если только один из множи телей ( + )( +... + ) кратен или некоторому целому числу, то множители являются взаимно простыми числами, т.е. НОД ( +, +...+ ) = 1. Если число в степени имеет взаимнопростые множители, то каждый из множителей является числом в степени.

Допустим ( + ) кратно. В этом случае и +... + кратно числу, так как, если + 0, то x z и +...+ 0( ).

Таким образом, числа ( + ) и ( +...+ ) не являются взаимно простыми 0( ), т.к. e делило бы тогда, как, так и.

числами и оба кратны. При этом, Для любого числа. – Если +, +...+ оба кратны целому ( ), числу, тогда + 0, +...+ 0, 0( ). Рассмотрим : 0 или 0 ( ), 0 ( ) невозможно, т.к. число про стое и. 0 ( ) невозможно, т.к. s делило бы тогда, как, так и +, а значит и.

Учитывая, что ( + ) и ( +...+ ) имеют только один общий дели +...+ тель, а для делитель не выше первой степени, т.к, ) и не кратно. Т.о. множители ( + )/ 0( +...+ )/ и( являются взаимно простыми числами степени, где n – целое число.

Согласно выполненным выводам о взаимной простоте множителей, следует существование таких целых чисел:,,,,,, что:

: +=, +...+ =, т.о. =,, НОД (y,e)=e (Случай 2 ВТФ):

+= +... + =, =,,, НОД (y,e)=1 (Случай 1 ВТФ):

+=, +...+ =, =, :+=, +...+ =, т.о. =.

В условии 1 теоремы + + 0 было определено, что 0, т.е.:

= ( + )( ( ) = + +...+ ), 0.

Cгруппируем выборку малых множителей ( + )+( + )( + )=2.

2 + 0. (для Случая 2 ВТФ) 2 + 0. (для Случая 1 ВТФ) По предварительному условию число делит. В этом случае, и не сравнимы с ну лем, поскольку сравнение = 0 или = 0 вместе со сравне нием 0 противоречило бы требованию ВТФ (взаимной простоты чисел,, ). Этот же вывод можно сделать и так: поскольку не делит ни, ни, то должно делить, так как 2 0.

На самом деле, для Случая 1 ВТФ и подобного сравнения 2 + 0, справедливо утверждение: если любая сумма из трех целых чисел в степени сравнима с нулем по модулю, удовлетворяющему условиям теоремы Софи Жермен ( ), то одно из слагаемых кратно этому модулю, [4]. Поэтому + 0, тогда и только тогда, когда + 0. А это возможно, как минимум, только при 0 и.

Резюмируем: = 0, число + взаимно просто с, как доказано ранее, и 0. Следовательно,.

Так как 0 и + =, 0, то, всё как в оригинальном доказательстве Лежандра, - 13 В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть / ( + ) =( +...+ ) =, поэтому:

. Тогда:

= ( + )/( + ) = ( ) + ( ) +... +( ) +.

Так как 0 mod, то имеется такое число : 1 mod.

Умножаем левую часть и правую часть полученного сравнения на :

) ( ) ( )( ) mod, ( ) mod, ( ) ( 1 mod, что по условию 2 теоремы невозможно.

Данное доказательство можно признать верным только после перепроверки и положительном отзыве специалистов по теории чисел.

Список использованных источников 1. P. Ribenboim, Fermat's last theorem for amateurs, Springer-Verlag, New York, NY, 1999.

2. RSA [Vikipedia - http://en.wikipedia.org]. – Режим доступа: http://en.wikipedia.org/wiki/RSA (дата обращения 07.01.2010).

3. Euler's_theorem [Vikipedia - http://en.wikipedia.org]. – Режим доступа:

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_theorem (дата обращения 28.03.2010).

4. Larry Riddle. Sophie Germain and Fermat's Last Theorem [Agnes Scott College http://www.agnesscott.edu]. – Режим доступа: http://www.agnesscott.edu/Lriddle/WOMEN/germain FLT/SGandFLT.htm (дата обращения 28.03.2010).

УДК 514. И.В. Плотникова, М.А. Саквина ГОУ ВПО «Национальный исследовательский Томский политехнический университет»

г. Томск, Россия АФФИННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КАК МЕТОД РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В работе рассматривается решение задач с использованием аффинного преобразования как графически, так и математически. Показано решение задачи с использованием перспективно аффинного преобразования.

История развития геометрии дает пример того, как эта наука, материальные корни которой берут свое начало из жизненных потребностей человеческого общества (земледелие, живопись, строительство и т.д.), достигла такого высокого теоретического уровня, при котором стало возмож ным новое плодотворное применение геометрии и ее специфических методов к решению практиче ских вопросов.

Изучение окружающих предметов действительного мира привело к установлению геометри ческих закономерностей различного характера, в частности, связанных с изменением геометриче ских тел, «метрических» и «позиционных», закономерностей, зависящих от взаимного расположе ния тел и элементов, что привело к созданию «проективной геометрии».

Аффинная геометрия является вводной, наиболее простой частью геометрических преобразо ваний и их инвариантов, которые могут быть применены для решения графических задач, что и яв ляется целью настоящего сообщения.

Предположим, что геометрическая задача сводится к некоторой конструкции F. Если произ ведем аффинное преобразование плоскости чертежа, то конструкции F перейдет в конструкцию F. Может оказаться, что последняя намного проще конструкции F, и легко выполняется. Если решать задачу в преобразованном виде (выполняем конструкцию F ) и, произведя обратные дейст вия преобразования чертежа, получаем искомое решение задачи.

В частности, этот метод может быть с успехом применен в тех случаях, когда конструкции F участвуют эллипсы. Тогда производится такое преобразование, которое переводит эллипсы в круги. Благодаря этому задача упрощается. После ее решения производится обратное преобразова ние.

Произведем такое перспективно-аффинное преобразование плоскости чертежа (плоскость P ), которое переводит заданный эллипс в окружность. Проще всего это сделать так. Примем диаметр эллипса AB за ось перспективно-аффинного преобразования. Тогда отрезок AB переходит сам в - 14 В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть себя, то есть соответственный отрезок AB (диаметр окружности) совпадает с AB. Следователь но, данный эллипс (с сопряженными диаметрами AB и CD ) в окружность, для которой отрезок AB является диаметром, то есть окружность с центром в точке O и радиусом r OB OA (рис.1). Так как AB и CD - сопряженные диаметры эллипса, то соответственные диаметры AB и C D окружности должны быть сопряженными, а следовательно, перпендикулярными. Поэтому C D AB или C D AB.

В результате положение диаметра C D соответственной окружности определилось. Его концы обозначим буквами C и D : они являются точками C и D. На рис.1 точки C и C (или D и D ) представляют пару соответственных точек перспективно-аффинного соответствия. Это преобразование переводит данный эллипс (сопряженными диаметрами AB и CD ) в окружность (с сопряженными диаметрами AB AB и C D ). Произведем указанное перспективно-аффинное преобразование плоскости чертежа в себя.

Прямая g в этом преобразовании перейдет в прямую g, которую легко построить по точке X (неподвижной точке) и точке M (в точку пересечения прямой g и диаметром CD ) переходя щей в точку M (на диаметре C D ).

Благодаря выполненному преобразованию, задача построения точек пересечения прямой g с эллипсом переходит в задачу построения точек пересечения прямой g с окружностью, соответст венной данному эллипсу.

Точки пересечения прямой g с окружностью – точки P и Q. Тогда проводя проецирова ние PP Q Q C C найдем искомые точки P и Q.

Рис. 1. Пересечение прямой g с заданным эллипсом Таким образом, видно что благодаря перспективно-аффинному преобразованию эллипс пе решел в окружность, то есть аффинное преобразование плоскости в себя.

Это преобразование можно выразить в линейных координатах:

x ў= a1 x + b1 y + c y ў= a2 x + b2 y + c a1 b №0.

a2 b Oxhz Пусть имеем аффинную систему координат в пространстве (рис. 2).

- 15 В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть Рис. 2. Аффинная система координат M ( x, y, z ), а после Произвольную точку пространства до преобразования обозначим через M ў xў y ў z ў, причем координаты в обоих случаях берутся относительно (,,) преобразования – через системы Oxhz. Предположим, что координаты точки M ўвыражаются через координаты точки M следующим образом:

x ў= a1 x + b1 y + c1 z + d1, y ў= a2 x + b2 y + c2 z + d 2, (1) z ў= a3 x + b3 y + c3 z + d3 ;

a1 b1 c a2 b2 c2 №0.

a3 b3 c Это преобразование называется аффинным преобразованием пространства в себя.

Формула (1) показывает, что преобразование является взаимнооднозначным. Координаты x ў y ў z ў точки x, y, z точки M,, могут быть выражены линейными формулами через координаты M ў:

x = a 1 xў+ b1 y ў+ g1 z ў+ d1, y = a 2 x ў+ b 2 y ў+ g 2 z ў+ d2, (2) z = a 3 xў+ b 3 y ў+ g 3 z ў+ d3, a 1 b1 g a2 b2 g 2 №0.

a3 b3 g Делая несложные преобразования, легко можно убедиться, что плоскость пространства пре образуется в плоскость.

Пусть, например, имеем плоскость mx + ny + pz + q = 0. (3) Подставляя выражения x, y, z по формулам (2), и преобразуя получим (ma 1 + na 2 + pa 3 ) xў+ (mb1 + nb 2 + pb 3 ) y ў+ (4) (mg1 + ng 2 + pg3 ) z ў= 0, - 16 В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть т.е., снова получим плоскость.

Свойства взаимопринадлежности точки и плоскости не нарушаются в аффинном преобразо вании пространства. Если точка M ( x, y, z ) лежит на плоскости, описанной уравнением (3), то ее координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости. Координаты соответствующей точки M ў xў y ў z ў (,,) будут удовлетворять уравнению плоскости, соответствующей плоскости (4) в рас сматриваем аффинном преобразовании.

Таким образом, в ходе аффинных преобразований как математически, так и графически дока зано, что прямой линии в рассматриваемом преобразовании соответствует прямая линия. В любом преобразовании каждую прямую линию пространства можно рассматривать как линию пересечения a и b. Последние преобразуются в плоскости a ў и b ў. Тогда проходящих через нее плоскостей g ў пересечения плоскостей a ў и b ў. Эти плоскости должны пе прямой g соответствует линия ресекаться, в противном случае соответствие не было бы взаимно однозначным.

УДК 512. Г.В. Пастухова Пермский государственный педагогический университет г. Пермь, Россия ОБ ОДНОЙ ПРОБЛЕМЕ ИЗ КОУРОВСКОЙ ТЕТРАДИ Работа посвящена изучению конечной простой группы Янко 1 и решению проблемы из Ко уровской тетради для этой группы.

Рассмотрим проблему Ши Вуджи, которую озвучил Кондратьев А.С. в 12-ом издании Ко уровской тетради (вопрос 12.39) [1]:

Верно ли, что конечная группа и конечная простая группа изоморфны, если у них один и тот же порядок и одно и то же множество порядков элементов?

Если Н конечная группа, то через O r ( Н ) обозначим множество порядков элементов группы Н. Д оказана следующая теорема.

Теорема: Пусть G такая конечная группа, что |G |= |J1| и множества порядков элементов G и J1 совпадают. Тогда G J1.

Для доказательства воспользуемся теоремой о строении группы порядка p•q, где p и q – про стые числа [2, С.101-103]. Также необходимы теоремы Силова и лемма Фраттини. Общая идея тако ва: имея четкий список порядков элементов, используя метод от противного и вышеуказанные тео ремы перебрать всевозможные варианты нормальной подгруппы данной группы.

Доказательство. Возьмем группу J1, н а п о м н и м, ч т о э т о п е р в а я г р у п п а Я н к о, о д н а и з с п о р а д и ч е с к и х г р у п п и ее порядок |J 1 |=23•3•5•7•11•19. Имеем O r ( J 1 ) = { 1,2,3,5,6,7,10,11,15,19} [3]. Допустим, что G - непростая группа и N- минимальная нормальная подгруппа G. Тогда возможны два случая.

Случай 1. N = Z p Z p... Z p. Так как |G| делится только на первые степени нечетных простых чисел, то при р - нечетном N Zp и |N|= р.

Случай 1.1. Пусть |N |=19 и N = Р-силовская 19-подгруппа. Так как Р нормальна в G, то для любой силовской q - подгруппы Q имеем QР = РQ и тогда QР-подгруппа порядка 19q. При q=5, получаем, что |QР|=95 и, так как, 5 не делит 19-1=18, то по теореме о строении группы порядка pq имеем, что QP=a - циклическая порядка 95 и в G существует элемент порядка 95, что невозможно по условию.

Случай 1.2. Пусть |N| =11 и N = Р-силовская 11- подгруппа. Так как Р нормальна в G, то для любой силовской q - подгруппы Q имеем QР=РQ и тогда QР-подгруппа порядка llq. При q=3, полу чаем, что |QР | =33 и так как, 3 не делит 11-1= 10, то QP=a - циклическая порядка 33 и в G суще ствует элемент порядка 33, что невозможно по условию.

Случай 1.3. Пусть |N |=7 и N = Р-силовская 7- подгруппа. Так как Р нормальна в G, то для любой силовской q - подгруппы Q имеем QP=PQ и тогда QP - подгруппа порядка 7q. При q = 5, по лучаем что |QР | =35 и рассуждая аналогично получаем, что в G существует элемент порядка 35, что невозможно по условию.

- 17 В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть Случай 1.4. Пусть |N |=5 и N = Р - силовская 5 - подгруппа. Так как Р нормальна в G, то для любой силовской q - подгруппы Q имеем QP=PQ и тогда QP - подгруппа порядка 5q. При q = 3, по лучаем что |QР| =15 и в G существует элемент порядка 15, что невозможно по условию.

Случай 1.5. Пусть |N |=3 и N = Р - силовская 3 - подгруппа. Так как Р нормальна в G, то для любой силовской q - подгруппы Q имеем QP=PQ и тогда QP - подгруппа порядка 3q. При q = 5, по лучаем что |QР | =15 и в G существует элемент порядка 15, что невозможно по условию.

Случай 1.6. Пусть |N |=2. Тогда для t N\{e} и любого хG x -1 tx=t получаем xt=tx. Тогда для элемента х 7-порядка имеем o(xt) = o(x)o(t) = 2•7 =14, что невозможно по условию.

Случай 1.7. Пусть |N |=2•2, то есть N Z2 Z 2.Тогда рассмотрим полупрямое произведение N и S 19. Существует x S ]9 такой, что xt = tx, для t N\{e}. В противном случае S 19 разбивает N\{e} на орбиты длины 19 и 19 делит 2 2 -1, что невозможно, тогда xt = tx и (xt) = o(x)o(t) = 2•19 =38, что невозможно по условию.

Случай 1.8. Пусть |N |=2•2•2 и N = РPР - силовская подгруппа порядка 23. Рассмотрим под группу U = NQ порядка 23 • 19. Такая подгруппа существует, так как N-минимальная нормальная подгруппа G и NQ = QN, для любой Q G. Пусть хО\{е}, тогда существует t N\{e}, что xt = tx.

В противном случае 19 делит 2 3 - 1, а это невозможно. Тогда o(xt) = o(x)o(t) = 1 9 • 2 = 3 8 и в G су ществует элемент порядка 38, что опять же невозможно по условию.

Случай 2. N=A1A2...A5, то есть N есть прямое произведение простых неабелевых групп.

Заметим, что N - простая группа. Действительно, в противном случае, если N - прямое произ ведение нескольких, скажем, k простых неабелевых групп, то в силу того, что | А| делит |N |, в свою очередь |N | делит |J 1 |, получаем | А| делит |J1|, но | А| не делит |J1|. Значит, N - простая группа.

Рассмотрим всевозможные случаи, которые вытекают из того, что порядок простой группы N дол жен делить |J1|. А именно из списка простых неабелевых групп, порядки которых не превосходят |J1|, выбираем те, порядки которых делят |J1|. Этот список можно найти в [3, С. 146].

Случай 2.1. N А5, где |А5| =22•3•5. Применим лемму Фраттини. Пусть PSyl5(N), N А5. По лемме Фраттини G=A5•NG(P). С одной стороны 19 делит |G | другой стороны 19 не делит |А |.Следовательно, 19 делит | NG(P)| и в NG(P) существует подгруппа порядка 19. В NG(P) Р-нор мальная группа и если Q суть 19-подгруппа группы NG(P), то РQ = QP - циклическая подгруппа порядка 19•5=95 и в G существует элемент порядка 95, что невозможно по условию.

Случай 2.2. N L2(7), где |L2(7)|=22•3•7. Снова применим лемму Фраттини. Пусть PSyl7(N), N L2{7). По лемме Фраттини G=N•NG(P). С одной стороны 19 делит |G |, с другой стороны 19 не делит |N |. Следовательно, 19 делит | NG(P)| и в NG(P)существует подгруппа порядка 19. В NG(P) Р нормальная группа и если Q есть 19- подгруппа группы NG(P), то PQ=QP - циклическая подгруппа порядка 19•7=133 и в G существует элемент порядка 133, что невозможно по условию.

Случай 2.3. N L2(ll), где |L2(7)|=22•3•7.•11. Снова применим лемму Фраттини. Пусть P Syl11{N), N L2(ll). Как и выше, получаем, что в G существует элемент порядка 209 = 11•19, что не возможно по условию.

Таким образом, G - простая группа. Далее, снова из теореме о классификации конечных про стых групп [3, С.146] вытекает, что G = J1 так как среди простых неабелевых групп, только J1 имеет порядок 23•3•5•7•11•19, то теорема доказана.

Список использованных источников 1. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. - Новосибирск.: Институт мате матики СО АИ СССР,1998 г. – 75 с.

2. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп.- М.: Наука, 1982 г. – 288 с.

3. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию.- М.: Мир, г.- 352 с.

- 18 В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УДК 519. М.М. Бутовский Институт систем информатики им. А.П. Ершова СО РАН г. Новосибирск, Россия ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ Уже несколько лет ряд ученых в качестве альтернативы гипотезе эффективного рынка под держивают гипотезу фрактального рынка. Фракталы как следствие геометрии демиурга присутст вуют повсеместно в нашем мире и играют существенную роль, в том числе, и в структуре финансо вых рынков, которые локально случайны, но глобально детерминированы, по мнению определенно го ряда исследователей.

Современная задача по исследованию финансовых рынков в рамках гипотезы фрактального рынка заключается в модернизации методов фрактального анализа рынков акций, облигаций и ва лют, методов различения независимого процесса, нелинейного стохастического процесса и нели нейного детерминированного процесса, а также в исследовании влияния этих различий на пользова тельские инвестиционные стратегии и способности моделирования.

Существует два основных способа анализа ситуации на рынке – фундаментальный и техниче ский. Первый занимается оценкой ситуации с точки зрения политической, экономической и финан сово-кредитной политики. Второй основывается на методах графического исследования и анализа, основанного на математических принципах.

На сегодняшний день существует множество информационных систем технического анализа.

Некоторые из них – Windows on WallStreet, MetaStock Professional, Omega Research ProSuite, CQG.

Однако все они имеют определенные недостатки (высокая цена за право использования, неполный набор постоянно обновляемого инструментария технического анализа и т.п.).

На валютном рынке существует модель стандартного поведения цены, называемая цикл. Ко гда цена проходит многочисленные значимые уровни, выбирая путь наименьшего сопротивления, она делает это в виде определенной структуры. Свечи, которые отображают ход цены, имеют опре деленную структуру построения, следовательно совокупность данных свечей будет тоже иметь за кономерную структуру построения.

Статистический анализ требует нормального распределения или известной колоколообразной кривой. Известно, что рыночные прибыли не подвержены нормальному распределению, но эта ин формация была сглажена или рационализирована за многие годы, чтобы сохранить критическое предположение о том, что рыночные прибыли следуют модели случайных блужданий.

Большая часть стандартного анализа рынка предполагает, что рыночный процесс, по сущест ву, является стохастическим. При проверке гипотезы эффективного рынка (EMH) это предположе ние вызывает мало проблем. Однако для гипотезы фрактального рынка (FMH) многие из стандарт ных проверок теряют свою силу. Это не говорит о том, что они бесполезны. Большое количество исследований с использованием стандартной методологии указало на несогласованность между EMH и наблюдаемой конъюнктурой рынка;

однако новые методологии также необходимы, чтобы воспользоваться преимуществом рыночной структуры, намеченной в FMH. Для достижения этих целей разработаны многие методы. Один из них – это R/S-анализ. Рассмотрим его подробнее.

S (St ) t Пусть имеется последовательность котировок некоторой ценной бумаги (в об h (ht )t щем случае — временной ряд). Образуем из данного ряда последовательность, где S hi ln i - логарифмическая доходность в момент времени i.

S i n H n hk Для каждого натурального n составим величины и вычислим следующие чи k словые характеристики получившейся подпоследовательности.

- 19 В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть 1n hn hi Пусть – среднее арифметическое элементов подпоследовательно n i h (ht )tn1.

сти k k Rn max hi hn min hi hn ;

1. Размах накопленных сумм k 1n i k 1n i 1 1n Sn h h ;

2. Среднеквадратичное отклонение n i 1 i 3. Нормированный размах накопленных сумм Rn RS n (the adjusted range of cumulative sums).

Sn Вычисляя в соответствии с вышеприведенным алгоритмом значения RSk, образуем из них и соответствующих значений количества элементов n последовательность точек на плоско N сти xk, yk ln RS k, ln k k 1. Осталось применить метод наименьших квадратов (МНК) для определения углового коэффициента прямой, проходящей максимально близко к полученным точ кам.

По известной МНК-формуле, полагая n n n n c1 x 2, c2 x ;

g1 xy, g 2 y, i 1 i 1 i 1 i находим коэффициент Херста ng 1 c 2 g H.

nc1 c Персистентный временной ряд, определенный для 0,5 H 1,0 является фракталом, посколь ку может быть описан как обобщенное броуновское движение. В обобщенном броуновском движе нии существует корреляция между событиями на временной шкале. Вследствие этого вероятность двух событий, следующих одно за другим, не 50/50. Показатель Херста H описывает такую вероят ность, при которой два происходящих последовательно события могут быть одинаковыми.

Поскольку точки (события) временного ряда не равновероятны (ввиду того, что порождаются случайным блужданием), фрактальная размерность вероятностного распределения не равна 2, ее величина лежит в диапазоне от 1 до 2. Мандельброт показал, что величина, обратная H, есть фрак тальная размерность. Случайное блуждание при H = 0,5 должно иметь фрактальную размерность, равную 2. Если H = 0,7, фрактальная размерность равна 1/0,7 или 1,43. Заметим, что случайное блу ждание в действительности двумерно и целиком заполняет плоскость.

Для некоторых технических аналитиков анализ рынков синонимичен нахождению циклов.

Т.е. они полагают, что существуют регулярные рыночные циклы, скрытые шумом или нерегуляр ными возмущениями. Хотя статистические испытания, такие как спектральный анализ, находят только коррелированный шум.

Херст был первым, кто понял, что лежащий в основе периодический компонент мог быть об наружен с помощью R/S-анализа. Периодическая система соответствует предельному циклу или подобному типу аттрактора. По существу ее портрет фазового пространства является ограниченным множеством. Например, в случае синусоидальной волны временной ряд будет ограничен амплиту дой волны.

Непериодический цикл не имеет абсолютной частоты. Вместо нее он имеет среднюю частоту.

R/S-анализ может определить среднюю длину непериодических циклов для большого значения H.

Однако многие испытания очень хорошо работают в отсутствии шума, но при добавлении неболь шого количества шума процесс терпит неудачу. Примеры включают сечения Пуанкаре и реконст рукцию фазового пространства.

Для исследователей стал обычным поиск аномалий, или карманов неэффективности, где можно получить прибыль при небольшом риске. FMH говорит о том, что, поскольку информация на различных частотах обрабатывается по-разному, тренды и циклы будут на всех инвестиционных горизонтах. Некоторые будут стохастическими, некоторые будут нелинейными детерминирован - 20 В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть ными. В обоих случаях точная структура трендов изменяется во времени. Она предсказуема, но она никогда не будет совершенно предсказуема, и именно это сохраняет рынки устойчивыми. Теория хаоса и фрактальная статистика предлагают нам новый способ понимания того, как функционируют рынки и экономики. Это поможет аналитикам быть более приспособленными к разработке страте гий и оценке рисков.

В связи с вышеизложенным, стоит отметить, что модели проектирования алгоритмов фрак тальных методов анализа кривых в рамках анализа показателей валютных рынков не обрели «иде альной» формы и требуют внимания со стороны исследователей с целью увеличения эффективно сти работы этих алгоритмов и реализации их как готовых к использованию программных продук тов.

Список использованных источников 1. Алмазов А.А. Фрактальная теория. Как поменять взгляд на рынки. - Обнинск: Экономиче ская литература, 2006.

2. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

3. Вильямс Б. Торговый хаос: Экспертные методики максимизации прибыли. – М.: ИК Ана литика, 2000.

4. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: Применение теории хаоса в инвести циях и экономике. М.: Интернет-трейдинг, 2004.

5. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, це ны и изменчивость рынка: Пер. с англ. – М.: Мир, 2000.

УДК 519.854. И.С. Масич Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева г. Красноярск, Россия КОМБИНАТОРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И ЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ В ЗАДАЧАХ ДИАГНОСТИКИ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ Исследуется метод классификации данных, основанный на поиске и использовании логиче ских правил. Решающее правило классификации базируется на модели, получаемой в результате решения ряда задач комбинаторной оптимизации. Для решения этих задач разработаны и исследо ваны поисковые алгоритмы условной псевдобулевой оптимизации.

Большое количество задач распознавания, привлекающих внимание исследователей во мно жестве различных областей, может быть сформулировано следующим образом. Имеется выборка данных, которая состоит из двух непересекающихся множеств + и n-мерных векторов. Компо ненты векторов (называемые признаками, переменными, характеристиками или атрибутами) пред ставляют собой результаты определенных измерений, тестов, показаний. Эти компоненты могут быть численными, номинальными или бинарными. Задача состоит в том, чтобы на основании имеющейся выборки данных (классифицированных ранее наблюдений) извлечь информацию о «но вом» наблюдении, которое не содержится в выборке.

Для решения этой задачи исследуется метод анализа данных, в основе которого лежит прин цип вывода логических закономерностей или правил. Каждое правило должно покрывать достаточ но много объектов одного класса и практически не покрывать объекты другого класса. Взяв вместе некоторое количество правил, можно получить алгоритм (модель, решающее правило), который будет решать поставленную задачу классификации.

В основе предлагаемого подхода к классификации данных лежит метод, происходящий из теории комбинаторной оптимизации и называемый логическим анализом данных (Logical Analysis of Data – LAD) [1]. Этот метод успешно использовался для решения ряда задач из различных облас тей [1, 2]. Основная идея метода заключается в совместном использовании действий по «дифферен цированию» и «интегрированию», производимых на области пространства исходных признаков, содержащей заданные позитивные и негативные наблюдения. На шаге «дифференцирования» оп ределяется семейство малых подмножеств, обладающих характерными позитивными и негативны ми чертами. На шаге «интегрирования» формируемые определенным образом объединения этих - 21 В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть подмножеств рассматриваются как аппроксимации областей пространства признаков, содержащих позитивные и, соответственно, негативные наблюдения.

Ниже приведены последовательные элементы метода [3]:

а) Для исключения избыточных переменных в исходной выборке данных в множестве пере менных определяется некоторое подмножество S, используя которое можно различать позитивные наблюдения от негативных. Далее для работы метода используются проекции s+ и s множеств + и на S. Такая процедура используется во многих методах классификации и анализа данных.

Особенностью осуществления ее в LAD является то, что происходит выделение не только значимых по отдельности признаков, но и определение комбинаций признаков, которые оказывают коллек тивное влияние на результат.

б) Множество s+ покрывается семейством однотипных подмножеств уменьшенного про странства, каждое из которых имеет значительное пересечение с s+, но не пересекается с s. Та кие подмножества называются «позитивными паттернами». Аналогично множество s покрывает ся «негативными паттернами».

в) Определяется подмножество позитивных паттернов, объединение которых покрывает все наблюдения s+, и подмножество негативных паттернов, объединение которых покрывает все на блюдения s. Совокупность этих двух подмножеств называется «моделью».

г) Позитивный или негативный характер некоторого наблюдения, покрываемого объединени ем двух подмножеств модели, определяется с помощью решающего правила, основанного на этих подмножествах.

Отличительной особенностью предлагаемого метода является то, что вместо того, чтобы про сто ответить на вопрос, к какому из классов принадлежит новое наблюдение, он строит аппрокси мацию областей пространства признаков, содержащей наблюдения соответствующих классов. Наи более важные преимущества такого подхода – это возможность дать объяснение для любого реше ния, полученного методом, возможность выявления новых классов наблюдений, возможность ана лиза роли и природы признаков. А главной особенностью использования такого подхода является то, что в результате работы метода из базы данных извлекаются правила, с помощью которых мож но классифицировать объекты и без помощи компьютера и вычислительной системы.

Построение эффективных правил и модели классификации является сложной комбинаторной задачей. Результаты ее решения определяются видом сформированных критериев и ограничений, а также используемыми алгоритмами оптимизации.

Разработанный алгоритм классификации данных состоит из этапов, на каждом из которых требуется решение серии задач комбинаторной оптимизации. Критерий и ограничения в задачах заданы псевдобулевыми функциями, характеризующимися наличием свойств унимодальности и монотонности, что выделяет их в особенный класс задач, в которых допустимое множество является связным. Сложность заключается в том, что функции эти в общем случае задаются алгоритмически, т.е. вычисляются через определенную последовательность операций. От эффективности решения этих задач зависит точность и трудоемкость метода.

Для решения задачи оптимизации использовались алгоритмы оптимизации, основанные на поиске граничных точек допустимой области [4, 5]. Эти алгоритмы были разработаны специально для этого класса задач и основаны на поведении монотонных функций модели оптимизации в про странстве булевых переменных. Алгоритмы поиска граничных точек являются поисковыми, т.е. не требуют задания функций в явном виде, с помощью алгебраических выражений, а используют вы числения функций в точках. Разработанные поисковые алгоритмы, основанные на поиске гранич ных точек допустимой области, эффективно решают задачи рассматриваемого класса, повышая тем самым эффективность всего метода классификации данных.

Во многих реальных задачах диагностики и прогнозирования база данных может иметь неиз меренные значения (пропущенные данные), а сделанные измерения могут быть неточны либо оши бочны. Шумы и выбросы приводят к тому, что объекты различных классов «накладываются» друг на друга, попадая в «область» противоположного класса. Это затрудняет построение эффективной модели классификации с «хорошо интерпретируемыми» правилами (в которых участвует неболь шое число признаков) и с высокой точностью распознавания. Разработан способ повышения устой чивости метода классификации к выбросам, основанный на ослаблении ограничений оптимизаци онной модели, используемой для нахождения правил классификации. Это позволило находить бо лее эффективные паттерны (правила) – с меньшей степенью (числом используемых в правиле вы ражений) и с большим покрытием объектов. Из таких правил строится более точная модель распо знавания. Применение такого подхода необходимо при решении задач с наличием выбросов и шу мов и с большим количеством пропусков в выборке данных.

- 22 В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть Проводилось экспериментальное исследование разработанного алгоритма классификации на практических задачах прогнозирования. Задачи были решены с точностью, сопоставимой с точно стью решения посредством искусственных нейронных сетей. При этом логический анализ данных дает ряд преимуществ при практическом использовании. Прежде всего, в явном виде известны пра вила, по которым принимается решение о принадлежности к какому-либо классу. Кроме того, при применении модели классификации к новому объекту по тому, каким числом паттернов покрывает ся этот объект, можно судить о вероятности возможной ошибки при распознавании.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ № МК-463.2010. Список использованных источников 1. Hammer P.L., Bonates T. Logical Analysis of Data: From Combinatorial Optimization to Medi cal Applications – RUTCOR Research Report 10-2005, 2005.

2. Boros E., Hammer P.L., Ibaraki T., Kogan A., Mayoraz E., Muchnik I. An Implementaion of Logical Analysis of Data. IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering, 12(2): 292-306, 2000.

3. Масич И.С. Комбинаторная оптимизация в задаче классификации // Системы управления и информационные технологии. – 2009 – № 1.2(35). – С. 283-288.

4. Antamoshkin A.N., Masich I.S. Heuristic search algorithms for monotone pseudo-boolean func tion conditional optimization // Engineering & automation problems (Проблемы машиностроения и ав томатизации). – 2006. – V. 5, N. 1. – P. 55-61.

5. Antamoshkin A.N., Masich I.S. Pseudo-Boolean optimization in case of unconnected feasible sets / Models and Algorithms for Global Optimization. Series: Springer Optimization and Its Applications, Vol. 4., edited by A. Trn, J. ilinskas, Springer, 2007, XVI, p. 111-122.

УДК 536.3 + 519. И.А. Бучко Старооскольский технологический институт (филиал) ГОУ ВПО «Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС»

г. Старый Оскол, Россия АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ЗЕРКАЛЬНЫХ УГЛОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ В ДВУМЕРНОЙ ПОЛОСТИ Предложен алгоритм приближенного нахождения зеркального углового коэффициента в ви де суммы кусочно-непрерывных функций, основанный на применении метода изображений.

Актуальность метода Метод угловых коэффициентов позволяет при моделировании лучистого теплообмена учесть перераспределение температуры по нагреваемой и остывающей поверхностям системы. Это позво ляет более детально рассматривать влияние геометрии на энергетический баланс системы. (Важ ность практического применения метода угловых коэффициентов для зеркальных поверхностей по казана в статье [1]) Получение результата в виде кусочно-непрерывной аппроксимирующей функ ции позволит сократить время на расчеты с высокой точностью, особенно если неравномерность распределения температуры на излучающей поверхности существенна.

1. Постановка задачи.

На практике часто требуется определить распределение температуры по поверхностям систе мы в заданные моменты времени. Для учета теплообмена излучением необходимо знать, какая доля энергии, покидая элементарную площадку dA, попадает на элементарную площадку dB.

Долю энергии, переносимую напрямую лучом, не испытывающим отражений, называют диффузным угловым коэффициентом d dA dB. Зная координаты испускающей и поглощающей площадок, можно найти элементарный угловой коэффициент по формуле:

d dA dB cos 1 cos 2 dB / 2 r n dA r n dB r / 2 r 3 (1) где r – расстояние, пройденное лучом, r – вектор, соединяющий испускающую и погло щающую площадки;

1, 2 – углы между лучом и нормалями к площадкам, dA, dB – элемен тарные площадки;

ndA, n dB – единичные нормали к площадкам [2].

Вообще говоря, с каждым лучом, переносящим энергию от dA к dB, можно связать соответ ствующий угловой коэффициент. Если луч отражается от зеркал системы, коэффициент называют элементарным угловым коэффициентом.

- 23 В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть Отметим, что для любого луча, отраженного от нескольких зеркал, можно найти такую ис пускающую площадку dS, что с нее непосредственно на поглощающую площадку dB будет попа дать такое же количество энергии, которое переносит рассматриваемый луч с площадки dA на dB.

Назовем такую площадку dS образом испускающей площадки dA. Если пронумеровать все зеркала системы, то каждый образ будет однозначно определяться индексами зеркал, от которых отражался луч. Данный механизм используется в методе изображений (см., например, [2]) Отметим, что метод изображений практически применим только в случае плоских зеркал.

Суммарную долю энергии, переносимой с площадки dA на площадку dB всевозможными лучами, назовем зеркальным угловым коэффициентом d dAdB. Известно, что d dAdB можно представить в виде ряда, каждое слагаемое которого будет элементарным угловым коэффициентом для соответствующего образа испускающей площадки:

d dA dB f i k, (2) i 1 k где k – отражающая способность очередного зеркала, от которого отражался луч;

f i – диффузный угловой коэффициент теплообмена между i -м образом испускающей площадки и по глощающей площадкой. В частности f0 показывает прямой перенос энергии с dA на dB, последую щие члены – перенос с учетом одного или нескольких отражений. При этом каждое слагаемое соот ветствует единственному лучу и связано с последовательностью зеркал, от которых этот луч отра жается. Если известны координаты образа испускающей площадки, fi могут быть вычислены по формуле (1). В статье [3] была показана сходимость данного ряда.

2. Приближенный расчет разрешающего углового коэффициента.

Для некоторых конфигураций полости удается найти единую формулу для нахождения всех образов испускающей площадки и записать ряд d dAdB в явном виде [3, 4]. Для произвольной конфигурации полости можно найти координаты и параметры любого образа испускающей пло щадки, выполнив соответствующие построения или используя средства аналитической геометрии.

Проблема нахождения суммы ряда в этом случае связана с невозможностью устремления количест ва рассматриваемых слагаемых к бесконечности.

Отбрасывая остаток ряда, мы получаем дискретную задачу для расчета приближенной оценки d dAdB, она может быть решена за конечное число шагов с использованием ЭВМ. Если известно, что отражающая способность любого зеркала системы i max 1, то можно указать такое число отражений, после которого лучи будут переносить достаточно малую часть энергии, чтобы её рас пределением по поверхностям можно было пренебречь. Из этих соображений определяется отбра сываемый остаток искомого ряда.

Фиксируя координаты испускающей и поглощающей площадок, мы можем выполнить непо средственные построения и найти необходимые образы для данных площадок. Однако данный ме тод имеет существенный недостаток: он дает значение d dAdB только для выбранных нами поло жений площадок. Для исследования теплообмена придется рассматривать большое количество раз личных положений как испускающей, так и поглощающей площадки. Это связано с большими вы числительными затратами, затрудняющими практическое применение метода.

Предлагается усовершенствованный алгоритм, позволяющий приближенно находить зер кальный угловой коэффициент в виде суммы кусочно-непрерывных функций от координат испус кающей и поглощающей площадок. Бета-версия алгоритма позволяет найти зеркальный угловой коэффициент между элементарными площадками, расположенными на двух заданных поверхностях системы. В реальности имеется возможность сэкономить время, параллельно вычисляя зеркальные угловые коэффициенты между всеми парами поверхностей системы.

- 24 В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть dS U dA U U w v V dBA dA Рис. 1. dS dBA Рис. 2.

Пусть испускающая площадка dA лежит на заданной поверхности А и имеет координату w;

поглощающая площадка dB лежит на поверхности В и имеет координату v. Считая w и v парамет рами, рассмотрим dФdA-dB(w, v). Слагаемое f0(w,v) определяется формулой (1). Если полость невы пуклая, то, вообще говоря, прямой перенос лучистой энергии может отсутствовать для некоторых участков поверхностей А и В (см. рис. 1). Геометрически это означает, что можно выбрать точки А0(w0), B0(v0), такие что отрезок A0B0 пересекает какие-либо препятствия внутри системы (границы других поверхностей системы). В таком случае в ряде (2) данное слагаемое будет отсутствовать.

Если доопределить f0(w0,v0)=0, то данное слагаемое в ряде (2) сохранится.

Зафиксируем положение испускающей площадки dA в точке w0. Определим множество поло жений испускающей площадки dB, для которых прямой перенос энергии из dA отсутствует. Для этого найдем проекции каждого препятствия системы на поверхность А. Определим множество V как объединение этих проекций. V есть множество всех точек, для которых следует доопределить коэффициент f0(w,v)=0. В остальных точках f0 определяется формулой (1). Следует отметить, что на V и вне V функция f0 является непрерывной.

Определение коэффициента fi, отвечающего отражению луча от заданной последовательности зеркал, путем дополнительных построений сводится к определению f0 для новой полости. Для этого отразим исходную полость U0 от последнего зеркала, от которого отражается рассматриваемый луч.

Получим новую полость U1, симметричную исходной. В полости, полученной как объединение U0 и U1, можно построить луч, переносящий ту же энергию, что и исходный, но испытывающий на одно отражение меньше. Выберем последнее зеркало, от которого отражается построенный луч, и отра зим от него U1. Получим новую полость U2. В полости, образованной U0, U1, U2, луч, идентичный исходному, испытывает на два отражения меньше, чем в U0. Будем продолжать данные построения до тех пор, пока идентичный исходному луч не станет прямолинейным. Тогда коэффициент fi для исходного луча совпадает с коэффициентом f0 для полученного луча.

Для определения f0 требуется находить проекции препятствий из заданной точки на заданную поверхность. Учитывая, что все поверхности системы плоские, в двумерном случае проекция будет задана в виде границ отрезка [vR(w0), vL(w0)], определяющего участок рассматриваемой поверхности, закрываемый соответствующим препятствием. Для определения vR(w0), vL(w0) сформулируем Задачу (3):

Пусть из произвольной точки X заданного отрезка CD проводится луч, проходящий через за данную точку O. Требуется найти координаты точки пересечения данного луча с заданной прямой AB.

Алгоритм решения задачи (3) В качестве координат w и v удобно взять относительные координаты на прямой AB: точка А имеет координату 0, точка В – координату 1. Здесь и далее используется обозначение ABC для вычисления определителя:

- 25 В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть xA yA ABC x B y B 1, где A, B, C – точки на плоскости.

xC yC Предполагается, что точки полости обходятся против часовой стрелки. Нарушение этого тре бования не повлечет изменений в геометрической трактовке задачи, однако отразится на исполь зуемых аналитических формулах.

В приведенной выше терминологии можно сформулировать условие, что площадки ориенти рованы нормалями друг к другу:

ABC 0, BCD 0, CDA 0, DAB ABC 0, BCD 0, CDA 0, DAB 0 (4) ABC 0, BCD 0, CDA 0, DAB ABC 0, BCD 0, CDA 0, DAB Если любое из условий (4) не выполняются, то данную пару площадок можно не учитывать.

Блок-схема алгоритма приведена ниже.

Автор выражает признательность Богатову Е.М. за постановку задачи и полезные советы.

Работа выполнена в рамках реализации ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инно вационной России" на 2009 - 2013 годы.

Список использованных источников 1. С.В. Тихонов, В.В. Верховский. Теплообмен в зеркалах облегченной конструкции // Теп лопроводность и задачи оптимизации теплообмена. Т. 3, IV Минский международный форум по тепло- и массообмену. 22-26 мая 2000 г. С. 420-424.

2. Э.М. Спэрроу, Р.Д. Сесс. Теплообмен излучением. Л.: Энергия, 1971.

3. Е.М. Богатов, И.А. Бучко. Об определении зеркальных угловых коэффициентов в прямо угольной полости // Вестник факультета ПММ, 8. Воронеж, ВГУ, 4. Е.М. Богатов, И.А. Бучко. Об определении зеркальных угловых коэффициентов в тре угольной полости // Образование, наука, производство и управление: Сборник трудов научно практической конференции: Старый Оскол: СТИ МИСиС, 2008. – Т. - 26 В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть вычисление проекции O из CD на AB Нет AB CD AB CD Да ACD ACD BCD Да 0 Да ACD A A AB B A AB Да 0 Да СAB C C CD D C CD Блок проецирования точки O из точки Да X. X – любая точка отрезка АВ, O – Выполнены условия любая точка пространства. Блок может (4) быть выполнен многократно для раз личных пар точек (O, X) Да AOB AXB Да AB nCD AOX AOX BOX От AB к CD не идет ни один луч. Данную пару площадок далее не рассматривать.

выбор следующей площадки АВ - 27 В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть УДК 519. А.С. Чопчиян1, Е.Н. Коржов Старооскольский технологический институт г. Старый Оскол, Россия Воронежский государственный университет г. Воронеж, Россия КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ НЕРНСТА-ПЛАНКА И ПУАССОНА Представлены и проанализированы некоторые краевые задачи для уравнений Нернста Планка и Пуассона, а также методы их решения. Предложена краевая задача, описывающая про цесса переноса бинарного электролита около ионоселективной мембраны. Приближенное анали тическое решение сформулированной сингулярно возмущенной краевой задачи найдено методом пограничных функций А.Б. Васильевой.

Интерес к исследованию уравнений Нернста-Планка-Пуассона с прикладной точки зрения обусловлен применимостью этих уравнений к описанию явлений переноса в различных средах. На пример, в электрохимических процессах;


полупроводниках и полупроводниковых структурах;

био логических средах;

биофизике и биохимии;

теории процессов переноса в топливных ячейках и кол лоидных структурах;

мембранных системах. Как математические объекты, системы этих уравнений привлекают тем, что в случае приведения к безразмерному виду с использованием масштабов соот ветствующих величин они относятся к сингулярно возмущенным, для решения которых необходи мо использовать специальные методы.

Впервые, по всей видимости, решение уравнений Нернста-Планка было получено непосред ственно Планком в 1890 году [1]. Он изучил стационарный случай одномерного электродиффузи онного переноса двух одновалентных сортов ионов через мембрану. Для замыкания уравнений пе реноса использовалось «вырожденное уравнение Пуассона», называемое также «условием локаль ной электронейтральности». В качестве граничных условий задавались значения концентраций и потенциала с обеих сторон области.

К числу первых работ, в которых были получены решения уравнений Нернста – Планка со вместно с уравнением Гаусса, можно отнести работы Б.М. Графова и А.А. Черненко [2]. Граничные условия определяли только значения концентраций на одной из границ. С помощью декомпозиции (расщепления) системы уравнений авторы нашли выражения для распределения концентрации ио нов и напряженности электрического поля. Однако, эти решения содержат неизвестные константы, которые должны быть определены дополнительными условиями. Позже метод декомпозиции был использован в работах В.А. Бабешко, В.И. Заболоцкого, М.Х. Уртенова и др. [3] для решения той же системы уравнений, но граничные условия определяли значения напряженности и концентраций на обеих границах.

А.Б. Васильева с соавторами [4] на примере полупроводниковых приборов продемонстриро вали применение математического аппарата пограничных функций к сингулярно возмущенной сис теме, состоящей из уравнений Нернста- Планка и Пуассона.

I. Rubinstein, L. Shtilman [5] в 1979 году рассматривали эту систему уравнений, применяемую при исследовании мембранных систем. После приведения её к безразмерному виду авторами была получена сингулярно возмущенная система уравнений, приближенное аналитическое решение ко торой найдено методом сращиваемых асимптотических разложений, а также приведены результаты численного решения с помощью метода квазилинеаризации. Система уравнений замыкалась гра ничными условиями, определяющими значения концентраций и электрического потенциала на обе их границах.

А.В. Листовничим в [6] была рассмотрена краевая задача для уравнений Нернста-Планка и Гаусса. Отличительной особенностью полученной в безразмерном виде системы явилось наличие малого параметра перед производной в левых частях для всех трех уравнений.

Рассмотрим краевую задачу для уравнений НПП, описывающую процесс переноса заряжен ных компонентов в электромембранной системе.

Постановка задачи осуществляется в рамках приближения Нернста [7], когда вся область ре шения задачи разбивается на две подобласти – непосредственно примыкающую к поверхности мембраны и называемую диффузионным слоем, в котором пренебрегается конвективным движени ем раствора, а перенос заряженных компонентов осуществляется за счет двух механизмов - диффу зии и миграции, и область перемешиваемого раствора, в котором происходит прямолинейное дви жение однородного раствора.

- 28 В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть Пусть имеется система, образованная катионообменной мембраной и находящимся вблизи ее поверхности диффузионным слоем. Под действием внешнего электрического поля напряженностью E в системе возникает электрический ток, вектор плотности которого j ортогонален поверхно стям мембраны.

Соответствующая краевая задача для уравнений НПП в безразмерных переменных, введен ных с помощью масштабов соответствующих величин, имеет вид [8]:

dp d z1 p p J (1) dX dX dn d z2 n n J (2) dX dX d 2 p n. (3) dX Граничные условия определяют значения концентраций ионов и электрического потенциала на внешних границах диффузионного слоя и величину падения напряжения в -слое:

X 0 : p (0) 1, n (0) 1, (0) 0 (4) X 1 : (1) 1. (5) Здесь p ( X ), n ( X ) – нормированные на соответствующую величину в перемешиваемом растворе концентрации положительно и отрицательно заряженных ионов;

X - безразмерный электрический потенциал;

J - безразмерная величина плотности электрического тика в системе;

X 0,1 - безразмерная координата, отсчитываемая от внешней границы диффузионного слоя;

e X 1 соответствует границе раствор/мембрана;

p, n, - безразмерные параметры;

kT 0 - малый параметр.

z1C10 2 F Система (1) – (3) включает три нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной. Неизвестными являются функции p ( X ), n( X ), (X ), J, p, n X зависящие от координаты. Величины являются постоянными, определяются характеристиками мембраны и раствора. Малый параметр имеет величину поряд ка 10 17...10 2, а параметр в общем случае может быть как малым, так и большим или порядка единицы. Ограничимся последним случаем ~ 1.

Для нахождения решения краевой задачи (1) – (5) использован асимптотический метод по граничных функций, предложенный А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузовым [4]. Аналитическое решение краевой задачи (1) – (5) для нулевых приближений концентраций положительно и отрицательно заряженных компонентов и электрического потенциала было найдено в следующем виде [8]:

1 X 1 X S S p0 X 1 CX 1 C 1 K e /1 K e 1 ;

(8) z 1 X z 1 X S S n0 X 1 CX 1 C 1 1 K e / 1 K e ;

(9) 1 X 1 X S S 1 1 K e / 1 K e, 0 X G ln 1 CX ln (10) z1 - 29 В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть p n, S 2 z 1 C, n z1 p z J0, G где П 0 (0) 1 G ln 1 С, C n z1 p z z z 1 z1 П0 ( 0 ) z1П0 ( 0 ) 1 G K 1 e / 1 e, J 0 0, e 1.

2 C Полученное приближенное аналитическое решение позволяет учитывать влияние величины приложенной разности потенциалов, имеющий одинаковый порядок с величиной kT / e, на харак теристики электродиффузионного переноса около мембраны.

Список использованных источников 1. Planck M. Ueber die potantialdifferenz zwischen zwei verdunnten losungen binarer electrolyte. // Annalen der Physic und Chemie. Leipzig, 1890, 40, 561-570 (in German).

2. Графов Б.М., Черненко А.А. Теория прохождения постоянного тока через раствор бинар ного электролита. ДАН СССР, 1962, т.146, №1, с. 135-138.

3. Бабешко В.А., Заболоцкий В.И., Кириллова Е.В., Уртенов М.Х. Декомпозиция систем уравнений Нернста-Планка-Пуассона. Докл. РАН, 1995, т.344, №4, с. 485-486.

4. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возму щенных уравнений. М.: Наука, 1973, 272 с.

5. Rubinstein I., Shtilman L. Voltage against current curves of cation exchange membranes. J. Phys.

Chem., 1979, v.75, pp. 231-246.

6. Листовничий А.В. Прохождение токов больше предельного через систему электрод – рас твор электролита. Электрохимия, 1989, т.25, №12, с. 1651 – 1654.

7. Заболоцкий В.И., Никоненко В.В. Перенос ионов в мембранах. М.: Наука, 1996, 396 с.

8. Коржов Е.Н., Чопчиян А.С. Математическое моделирование электродиффузионного про цесса переноса около ионоселективной мембраны с учётом объёмного электрического заряда // Сорбционные и хроматографические процессы, 2007 - Т.7, №5, с.815-823.

УДК 004.891. Т.И. Горбунова Тульский государственный университет г. Тула, Россия КОМПЬЮТЕРНАЯ ПОДДЕРЖКА ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В МЕДИЦИНСКОЙ ДИАГНОСТИКЕ В данной работе представлена система интеллектуальной медицинской диагностики, отли чающаяся от существующих экспертных систем возможностью использования нечеткой логики для определения того или иного заболевания. Кроме того, в системе предусмотрена возможность предотвращения появления осложнений на начальных этапах лечения.

Процессы принятия решения лежат в основе любой целенаправленной деятельности. В тех нике они предшествуют выбору управляющих воздействий сложными агрегатами или системами. В медицине – постановке диагноза и выбору метода лечения. В медицинской диагностике состояние больного можно охарактеризовать следующими признаками: набором симптомов;

перенесенными ранее заболеваниями;

наследственностью;

условиями жизни и работы;

другими сопутствующими факторами (например, группа крови, особенности характера).

Все эти признаки не могут быть оценены только в количественных шкалах. Большинство из них оценивается в номинальных, ранговых или нечетких шкалах. Поэтому использование каких либо классических математических методов (построение математической модели, использование методов оптимизации или выбора решений) не может быть использовано. В то же время наиболее точные и эффективные решения не могут быть получены без использования строгих методов логи ческого вывода.

Это противоречие может быть разрешено путем построения интеллектуальной системы под держки принятия решений на основе применения нечетких множеств, нечеткой логики и вывода.

В докладе рассматривается задача медицинской диагностики, которую можно сформулиро вать следующим образом: каждому заболеванию d k D соответствует набор признаков (сим - 30 В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть X xi, xi x j. Задача интеллектуальной системы заклю xi X птомов), таких что чается в соотнесении тех или иных симптомов определенному заболеванию: d i z1, z 2,..., z n.

Для решения поставленной задаче необходимо:

1. Решить задачу классификации:

xl x j X 2. Для полученного набора классов определяется соответствующие заболевания:

d k z i xl Предлагается использовать следующую процедуру для определения заболевания в зависимо сти от представленных у больного симптомов:

1. На основе обучающей выборки данных формируется n-мерное пространство, вклю чающее в себя текущее значения функций принадлежности in, i 1,..., m ( m - величи на выборки) всех представленных симптомов ( x1 x n ). Для последующих построений введем следующее обозначение: in u i.

ui 2. В образованном таким образом пространстве значений строятся гиперповерхно сти, которые разделяют пространство на подобласти m ui, по признаку близости точек определяющемуся с помощью следующей метрики [1]:

(ui, u j ), ui, u j m - значения функций принадлежности i-го и j-го сим где - пороговое значение, птомов, которые могут быть отнесены к той или иной подобласти.

Для обеспечения оптимального количества подобластей, необходимо выполнение следующе го критерия:

M m min m m Таким образом, на данном этапе формируются подобласти, соответствующие конкретному заболеванию, которое присутствует у больного в зависимости от проявления тех или иных симпто мов.

3. На основе экспериментальной выборки данных можно выяснить зависимость перехода системы из одного состояния в другое. То есть можно выяснить заболевания, которыми больной может заболеть в будущем (например, осложнения). На данном этапе формируются подобласти 'l, включающие в себя подобласти m, описывающие состояния системы, между которыми до пустимы переходы:

'l { s t } Для оценки работоспособности и эффективности приведенной процедуры исследована систе ма, направленная на диагностирование следующих заболеваний: «Грипп» ( d1 ), «Простуда» ( d 2 ), «Ангина» ( d 3 ), «Бронхит» ( d 4 ) и «Пневмония» ( d 5 ).

Набор симптомов, характеризующих то или иное заболевание следующий: «Температура» ( x1 ), «Кашель» ( x 2 ), «Головная боль» ( x3 ), «Боль в мышцах» ( x 4 ), «Недомогание, упадок сил» ( x5 ), «Боль в грудной клетке» ( x 6 ), «Заложенность носа» ( x 7 ), «Чихание» ( x8 ), «Боль в горле» ( x9 ), «Отдышка» ( x10 ), «Налет на небных миндалинах» ( x11 ), «Покраснение слизистой оболочки глотки» ( x12 ).

Так как система нацелена на работу с нечеткой информацией, то входные параметры рас сматриваются как лингвистические переменные. Для оценки значений лингвистических перемен ных будем использовать единую шкалу качественных термов: Н - низкий, НС - ниже среднего, С средний, ВС - выше среднего, В - высокий. Каждый из этих термов представляет нечеткое множест во, заданное с помощью функции принадлежности.

- 31 В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть Для построения функций принадлежности для термов, соответствующих определенному симптому, предлагается использовать модифицированный метод парных сравнений Саати [2].

Для упрощения представления данных решено ограничиться построением двух функций при надлежности (представлены на рисунке 1): функция принадлежности для термов, характеризующих параметр «Температура» x1 (диапазон изменения: 36 - 40С);

функция принадлежности для термов, характеризующих параметры x 2 x12 (данные параметры оцениваются по 10-ти бальной шкале:

0 соответствует наименьшему проявлению симптома, 10 – наибольшему).

1 0,8 0, Высокий Выше среднего 0,6 0, Средний 0,4 0, Ниже среднего Низкий 0,2 0, 0 36 37 38 39 40 2 4 6 8 Рис. 1. Функции принадлежности термов В, ВС, С, НС, Н для симптома «Температура» и для симптомов x 2 x На рисунке 2 приведен пример формирования подобластей, соответствующих диагнозам «Простуда», «Грипп» и «Ангина», в зависимости от проявления симптомов «Налет на небных мин далинах» и «Боль в горле». Таким образом, если больной испытывает сильную боль в горле и неб ные миндалины все прокрыты налетом, то можно утверждать, что, при изображении данных сим птомов на приведенном выше рисунке, они окажутся в области, соответствующей диагнозу «Анги на». Также из рисунка 2 видно, что если больной получил диагноз «Грипп», то он может заболеть ангиной через какое-то время. Т.е. диагноз «Ангина» может быть поставлен, если у больного воз никли осложнения после болезни «Грипп».

Боль в горле 0, 0, 0, 0, 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Налет на небных миндалинах Рис. 2. Формирование подобластей, соответствующих симптомам «Простуда», «Грипп» и «Ангина»

Для проверки работоспособности системы были привлечены десять больных, которые испы тывали описанные симптомы. Система показала довольно высокие результаты в определении забо левания у конкретного больного по сравнению с установлением заболевания, поставленного высо коквалифицированным врачом.

Такая процедура может быть использована для диагностики достаточно сложных заболева ний, поскольку процесс установления заболевания осуществляется с использованием нечеткой ло гики. В этом состоит основное преимущество системы по сравнению с существующими эксперт - 32 В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть ными системами медицинской диагностики, в которых база знаний содержит продукционные пра вила, использование которых “усредняет” симптомы, то есть приводит их к тем симптомам, кото рые имеются в базе. В связи с этим установление заболевания для больного становится не эффек тивным.

Список использованных источников 1. A.K. Jain, M.N. Murty, P.J. Flynn. Data Clustering: A Review.

2. Ротштейн А.П. "Интеллектуальные технологии идентификации: нечеткая логика, генети ческие алгоритмы, нейронные сети." - Винница: УНИВЕРСУМ-Винница, 1999. - 320 с.

УДК 519. М.И. Шерыкалова СФУ Институт математики г. Красноярск, Россия РАСШИРЕНИЕ МЕТОДА ЭВЕНТОЛОГИЧЕСКОГО СКОРИНГА И ЕГО ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ Автором предложена адаптация метода эвентологического скоринга к задачам оценки рис ка банкротства предприятия. В связи с чем, возникла необходимость расширения уже сущест вующего метода эвентологического скоринга на случай наличия совокупности анкетных мнений, а также необходимость синтеза ранее определенных методов.

Задачи оценки риска банкротства предприятия были актуальны во все времена. В настоящее время существует множество различных способов и методов для оценки риска банкротства. В силу несовершенствования существующих методов, наличия нечеткой информации о предприятии и присутствия разума при оценках риска банкротства предприятия, была совершена попытка приме нения эвентологической теории (а в частности – метода эвентологического скоринга) к рассматри ваемому классу задач.

При разработке модели метода эвентологического скоринга для задачи оценки риска бан кротства предприятия была осознанна необходимость получения формул метода эвентологического скоринга при условии наличия нечеткого события, интерпретирующего анкетное.

В работе [3] представлены вновь полученные автором формулы, позволяющие вычислять эвентологические распределения целевых событий при условии наличия нечеткого события, интер претирующего анкетное (рассмотрены классический, расширенный, обобщенный метод эвентоло гического скоринга). В данной работе представлены формулы, применимые к более широкому классу задач, обобщающие уже существующие методы.

Метод эвентологического скоринга Метод эвентологического скоринга представляет собой математическую (статистическую) модель, с помощью которой по имеющейся базе данных опреде ляются вероятности наступления того или иного, заранее определенного (целевого), события.

Постановка задачи Пусть банкротство предприятия происходит в пределах вероятностного пространства (, F, ). Все события, которые могут потребоваться для оценки риска банкротства предприятия, делятся на два класса: анкетные события (происходят во время анкетирования) и ба зовые события (не происходят во время анкетирования, но о них идет речь в вопросах анкеты).

Выберем F – конечное множество случайных событий из алгебры F. Представим как {x1, x 2,..., x n } – множество избранных факторов, описывающих состояние предприятия, о которых пойдет речь в вопросах анкеты, предоставленной экспертам. Пусть {,,..., } – множество экспертов, оценивающих состояние предприятия.

В качестве множества базовых случайных событий и будет рассмотрено множество, в ко p 1 тором каждый вопрос анкеты о факторе x i ( i 1,..., n ) представим в виде x i {x i, x i,..., x i i }, k где x i – k –ый вариант–ответ на вопрос x i, который представляет собой определенный уровень k значения фактора x i ( k 1,..., p i ). Отметим, что в данной задаче события x i, при фиксированном k, могут иметь различную структуру зависимости. Множество {x1, x 2,..., x n }, также имеет опре деленную структуру зависимости.

- 33 В мире научных открытий, 2010, №4 (10), Часть Определим множество целевых событий s F (множество некоторых случайных событий).

Каждое определенное s представляет собой некоторое утверждение о риске банкротства предпри ятия (например, s = «Предприятие обанкротится в ближайшие 3 года»).

Таким образом, получена информация, которую необходимо оценить: по имеющимся резуль татам оценок экспертов уровней факторов, характеризующих состояние предприятия, необходимо вычислить эвентологическое распределение целевых событий [1].

Частная постановка задачи может быть различной, в зависимости от нескольких факторов (подробнее в [3]).

Обобщенный метод эвентологического скоринга для нелокальных структур зависимо стей для анкеты расширенного типа Предлагается построить обобщенный метод эвентологиче ского скоринга (который позволяет вычислять условные вероятности наступления множества целе вых событий) для расширенной анкеты (на каждый вопрос анкеты предлагается не менее двух вари антов ответов, причем возможно наличие различных шкал вариантов ответов у вопросов). Нетрудно заметить, что данный метод применим к наиболее широкому классу задач, нежели каждый из мето дов, рассматриваемых ранее (классический метод эвентологического скоринга [1, 2, 3], обобщенный метод [2,3], классический метод, применимый к анкетам расширенного типа [2, 3]). Данный факт объясняется тем, что оценщик не привязан не только к паре целевых событий, дополняющих друг друга, но и к вопросам, предполагающим наличие только пары целевых событий. До настоящего времени построение подобного метода не проводилось.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |
 

Похожие работы:





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.