авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
-- [ Страница 1 ] --

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. Алексеева

На правах рукописи

Малахов

Василий Алексеевич

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИСПЕРСИОННЫХ ЗАДАЧ

ДЛЯ СВЧ, КВЧ СТРУКТУР, ОПИСЫВАЕМЫХ

НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

Специальность 05.12.07 – Антенны, СВЧ устройства и их технологии

Диссертация на соискание учёной степени

доктора технических наук

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Раевский Алексей Сергеевич Нижний Новгород – 2013 2 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ..................................................................................................................... Глава ОСОБЕННОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ РЕШЕНИЙ ДИСПЕР-СИОННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СТРУКТУР, ОПИСЫВАЕМЫХ НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ.............................................. 1.1 Введение.................................................................................................................. 1.2 Виды краевых задач электродинамики................................................................ 1.2.1 Самосопряженные и несамосопряженные краевые задачи................... 1.2.2 Присоединенные краевые задачи электродинамики............................. 1.3 Определение типа оператора для структур, рассматриваемых в диссертации........................................................................................................ 1.3.1 Определение типа оператора для экранированных направляющих структур............................................................................ 1.3.2. Определение типов операторов, описывающих открытые направляющие структуры......................................................................... 1.4 Особенности методов поиска комплексных решений дисперсионных уравнений............................................................................................................... 1.4.1 Использование метода бисекции для поиска комплексных решений............................................................................... 1.4.2 Использование метода Мюллера для поиска комплексных решений дисперсионных уравнений....................................................................... 1.4.3 Использование метода вариации фазы для поиска комплексных решений дисперсионных уравнений....................................................... 1.4.4 Комбинированный метод поиска комплексных решений дисперсионных уравнений...................................................................................





................ 1.5 Оценка корректности найденных решений краевых задач прикладной электродинамики с использованием комбинированного метода поиска комплексных корней............................... 1.6 Особенности программы поиска комплексных решений дисперсионных уравнений.............................................................................................................. 1.7 Выводы.................................................................................................................... Глава РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НАПРАВЛЯЮЩИХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СТРУКТУР БЕЗ ПОТЕРЬ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЧО............................................................................... 2.1 Введение................................................................................................................. 2.2 Экранированная микрополосковая линия........................................................... 2.2.1 Постановка и решение краевой задачи..................................................... 2.2.2 Критерии корректности алгоритма расчета дисперсионных характеристик ЭМПЛ................................................................................ 2.2.3 Графический метод построения структуры электромагнитного поля на основе алгоритма Эйлера.......................................................................... 2.2.4 Согласующая нагрузка для прямоугольного волновода......................... 2.3 Волноводно-щелевая линия................................................................................ 2.3.1 Постановка и решение краевой задачи................................................... 2.3.2 Оценка корректности постановки и решения краевой задачи по нулевому потоку мощности комплексных волн ВЩЛ................. 2.3.3 Расчет фильтра на основе нерегулярной ВЩЛ...................................... 2.4 Круглый экранированный двухслойный диэлектрический волновод............ 2.5 Выводы................................................................................................................... Глава НАПРАВЛЯЮЩИЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ С РЕЗИСТИВНЫМИ ПЛЕНКАМИ......................................................................... 3.1 Введение................................................................................................................. 3.2 Экранированная микрополосковая линия с резистивными пленками........... 3.2.1 Постановка краевой задачи...................................................................... 3.2.2 Экранированная МПЛ с резистивной пленкой расположенной между слоями диэлектрической подложки....................................................... 3.2.3 Расчет характеристик аттенюатора на базе экранированной МПЛ с резистивными пленками............................... 3.3 Круглый открытый диэлектрический волновод, покрытый резистивной пленкой................................................................................................................ 3.4 Выводы.................................................................................................................. Глава ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ПРИСОЕДИНЕННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДВУХСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ НАПРАВЛЯЮЩИХ СТРУКТУР................................................................................................................ 4.1 Введение................................................................................................................. 4.2 Первый вариант решения краевых задач для двухслойных цилиндрических направляющих структур.................................................................................... 4.3 Второй вариант решения краевой задачи.





Присоединенная краевая задача....................................................................... 4.3.1 Круглый экранированный двухслойный волновод............................... 4.3.2 Круглый открытый диэлектрический волновод.................................... 4.4 О кратности собственных значений одного из видов краевых задач на уравнении Гельмгольца..................................................................................... 4.5 Выводы.................................................................................................................. Глава ПЛАЗМОН-ПОЛЯРИТОННЫЕ ВОЛНЫ В МЕТАЛЛИЧЕСКИХ НАНОСТРУКТУРАХ НА ОПТИЧЕСКИХ ЧАСТОТАХ................................ 5.1 Введение................................................................................................................. 5.2 Плазмон-поляритонные волны в тонкой металлической пленке..................... 5.3 Плазмон-поляритонные волны в структуре металл-диэлектрик-металл................................................................................ 5.4 Плазмон-поляритонные волны в цилиндрических направляющих структурах................................................................................ 5.4.1 Плазмон-поляритонные волны в круглом металлическом наностержне.................................................................................................................... 5.4.2 Плазмон-поляритонные волны в круглом открытом диэлектрическом волноводе с металлической нанопленкой............................................. 5.5 Выводы................................................................................................................... Глава ОПТИЧЕСКИЕ УСТРОЙСТВА НА БАЗЕ БРЕГГОВСКИХ ВОЛОКОННЫХ РЕШЕТОК................................................. 6.1 Введение................................................................................................................ 6.2 Постановка задачи расчета характеристик брэгговских волоконных решеток............................................................................................................................... 6.3 Аналитический синтез полосно-заграждающего фильтра на основе неоднородной БВР............................................................................................. 6.4 Синтез полосно-заграждающего фильтра и компенсатора дисперсии на основе неоднородной БВР с использованием метода Мюллера............................... 6.5 Расчета характеристик распространения волн волоконных световодов произвольного профиля показателя преломления.......................................... 6.6 Выводы.................................................................................................................. Глава РЕШЕНИЕ ДИФРАКЦИОННЫХ ЗАДАЧ ПРОЕКЦИОННЫМИ МЕТОДАМИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ БАЗИСА ГАУССА-ЛАГЕРРА 7.1 Введение................................................................................................................ 7.2 Постановка дифракционной задачи на торцевой границе полубесконечного ОДВ со свободным пространством.................................................................. 7.3 Результаты расчета дифракционной задачи...................................................... 7.4 Результаты расчета дифракционной задачи на открытом конце серебряного наностержня........................................................................................................ 7.5 Выводы.................................................................................................................. ЗАКЛЮЧЕНИЕ......................................................................................................... СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ....................................................................................... ПРИЛОЖЕНИЕ........................................................................................................ ВВЕДЕНИЕ Современная техника предъявляет повышенные требования к компонентам, входящим в состав отдельных узлов и блоков радиоаппаратуры СВЧ и КВЧ диа пазонов. Создание надежных узлов, удовлетворяющих низким массогабаритным показателям, с расширенными функциональными возможностями, непосред ственно связано с необходимостью разработки новых методов и алгоритмов чис ленного расчета, которые позволят не только улучшить характеристики приборов, но и откроют новые возможности в освоении более высокочастотных диапазонов частот в частности терагерцового и оптического диапазонов, которые интенсивно осваиваются в настоящие время[1-3].

Актуальность и степень разработанности темы исследования. Широкое освоение СВЧ и КВЧ диапазонов [4] ставит перед разработчиками задачи созда ния новой функциональной базы, использующей неоднородные по поперечному сечению и продольно-нерегулярные направляющие структуры. Физические явле ния, происходящие в таких структурах, представляют собой довольно сложные процессы, для математического описания которых необходимо составлять кор ректные математические модели и алгоритмы с привлечением точного электро динамического подхода, основанного на уравнениях Максвелла. Сложность ма тематического аппарата, адекватно описывающего физические процессы в иссле дуемых структурах, приводит к тому, что решение поставленных задач невоз можно без привлечения современных компьютерных технологий с использовани ем получивших широкое распространение персональных компьютеров. С этой целью необходимо создавать пакеты программ расчета базовых элементов, ори ентированных на работу с имеющимися персональными компьютерами.

Одним из основных вопросов, решаемых при исследовании любой электро динамической структуры, является получение информации о спектре ее волн. Ис черпывающая информация о спектре волн необходима для решения дифракцион ных задач, на которых, как правило, основывается строгий расчет всех СВЧ и КВЧ устройств [1, 5–10]. Если для регулярных однородно заполненных направ ляющих структур на основе достаточно простого математического аппарата по лучена исчерпывающая информация о спектральном составе собственных волн [11–14], то в неоднородных по поперечному сечению и продольно-нерегулярных направляющих структурах хорошо изучены свойства лишь распространяющихся и реактивно-затухающих волн[15–20].

В силу того, что краевые задачи для таких структур являются, как правило, несамосопряженными[21], в спектре должны присутствовать волны с комплекс ными волновыми числами – комплексные волны(КВ)[22–24], которые существу ют в системах без диссипации энергии. Данный класс волн является наиболее об щим [25], поэтому исследование свойств комплексных волн (КВ) должно дать новый толчок к пониманию моделирования физических процессов, происходя щих в электродинамических структурах, и созданию функциональных узлов, действующих на новых физических принципах. Кроме того, информация о нали чии в рабочем диапазоне частот комплексных волн необходима для корректной постановки дифракционных задач, т.к. не учет КВ при решении указанных задач может приводить к получению неверных результатов[26, 27].

Наряду с распространяющимися, реактивнозатухающими и комплексными волнами в электродинамических структурах, описываемых несамосопряженными операторами, в точках жордановой кратности волновых чисел нормальных волн могут возникать так называемые присоединенные волны[23]. Наличие присоеди ненных решений в точках жордановой кратности восстанавливает полноту спек тра волн, рассматриваемой структуры.

Из всего выше сказанного можно сделать вывод, что исследование струк тур, направляющих волны с комплексными волновыми числами, создание алго ритмов и программ для расчета этих структур с использованием вычислительной техники, является актуальным, что не раз подчеркивалось в печати, отмечалось на научных конференциях и семинарах. Актуальность исследования неоднородных по поперечному сечению и продольно-нерегулярных электродинамических струк тур возрастает с развитием интегральной СВЧ и КВЧ техники и технологии объемных и планарных интегральных схем [28], а так же в связи разработкой принципиально новых устройств, например на основе плазмы [29, 30].

Цель работы и программа исследований. Цель диссертации – создание ме тодов решения дисперсионных задач волн электродинамических структур СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов;

исследование трансформации спектров волн с комплексными волновыми числами неоднородных и нерегулярных электродина мических структур, получивших достаточно широкое распространение при про изводстве СВЧ, КВЧ устройств, разработка программных пакетов для машинного проектирования СВЧ, КВЧ компонентов, используемых в радиоэлектронике (ап паратура связи, радиоизмерительная и диагностическая аппаратура и др.), что приведет к сокращению материально-временных затрат на производство указан ных компонентов.

Программа исследований состоит из следующих этапов, необходимых для достижения поставленной цели:

формулировка теоретических положений, необходимых для определения типов решаемых краевых задач;

априорное определение возможности су ществования в исследуемых структурах комплексных и присоединенных волн путем анализа краевых задач, описывающих эти структуры;

разработка метода поиска комплексных решений дисперсионных задач, а также метода проверки корректности составленных алгоритмов расчета характеристик электродинамических структур, описываемых несамосо пряженными операторами[31–32];

разработка метода поиска решений дисперсионной задачи присоединен ных волн;

разработка графического метода построения электромагнитных полей;

исследование численных результатов решения дисперсионного уравнения, полученного в результате постановки присоединенной краевой задачи для цилиндрических направляющих структур;

расчет спектра волн базовых электродинамических структур таких как:

волноводно-щелевая линия (ВЩЛ), экранированная микрополосковая ли ния (ЭМПЛ), круглый экранированный двухслойный диэлектрический волновод, а также направляющие структуры с резистивными и металличе скими пленками;

анализ трансформации спектра плазмон-поляритонных волн (включая КВ) рассматриваемых в диссертации направляющих структур при изменении параметров и частоты;

создание основы для разработки программного пакета машинного проек тирования;

приложение полученных результатов к расчету функциональных узлов СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов;

Научная новизна. В результате выполнения работы:

разработан комбинированный метод поиска комплексных корней диспер сионного уравнения на основе метода Мюллера и метода «Вариации фа зы»[32];

предложены критерии оценки корректности результатов полученных с использованием МЧО, предложен новый критерий оценки корректности математических моделей, использующих МЧО, по потоку мощности КВ;

получены численные решения дисперсионного уравнения, соответствую щие присоединенным волнам;

разработан графический метод построения силовых линий электрического и магнитного полей на основе алгоритма Эйлера.

исследованы особенности собственных волн, включая КВ, базовых элек тродинамических структур: ЭМПЛ, ВЩЛ экранированный двухслойный ДВ, рассмотрены особенности их трансформации при изменение парамет ров структуры, рассчитан поток мощности комплексной волны;

показано существование комплексной волны в структуре с металлической нанопленкой без диссипации энергии в металле;

исследована трансформация дисперсионных характеристик плазмон поляритонных волн в направляющих электродинамических структурах с металлическими нанопленками с учетом комплексности диэлектрической проницаемости металла;

разработаны алгоритмы и программы для расчета ряда базовых электро динамических структур, широко применяемых при разработке радиоэлек тронной аппаратуры.

Методы исследования При расчете характеристик исследуемых в диссертации электродинамиче ских структур использовались строго обоснованные методы расчета такие как:

метод частичных областей (МЧО) и метод поверхностного тока (МПТ) 21,28, 30-35.

Практическая значимость. Исследования, проведенные при выполнении ра боты, и полученные результаты позволили получить информацию о поведении распространяющихся, реактивно затухающих и комплексных волн ряда базовых направляющих структур, необходимую для решении дифракционных задач, свя занных с расчетом СВЧ устройств;

были созданы модели, алгоритмы и програм мы для проектирования функциональных узлов СВЧ и КВЧ техники.

Результаты, полученные при выполнении диссертационной работы внесены в библиотеки стандартных программ ОАО «ФНПЦ «ННИПИ «Кварц»

им. А.П. Горшкова», ФГУП «ФНПЦ НИИИС им. Ю.Е. Седакова», «ИХВВ РАН им. Г.Г. Девятых», ФГБОУ ВПО «НГТУ им. Р.Е. Алексеева».

Обоснованность и достоверность результатов работы. Теоретические ре зультаты, представленные в диссертации, получены на основе строгого электро динамического подхода с применением метода частичных областей и метода по верхностного тока. Проверка корректности полученных результатов осуществля лась: исследованием внутренней сходимости разработанных алгоритмов;

с помо щью предельных переходов, на основе которых полученные результаты, сравни вались с тестовыми, приведенными в литературе;

контролем выполнения гранич ных условий и закона сохранения энергии;

сравнением с результатами экспери мента.

Публикации и апробация работы. По результатам диссертации опубликова но 80 печатных работ, в том числе 18 в журналах, рекомендованных ВАК и 6 сви детельств о государственной регистрации программы для ЭВМ. Сделаны докла ды: на Всероссийской конференции «Высокие технологии в радиоэлектронике», посвященной 100-летию Нижегородской промышленно-художественной выстав ки 1896 года;

на научно-технической конференции факультета информационных систем и технологий НГТУ «ФИСТ–99», Н.Новгород, 1999 год;

на Международ ных конференциях: «Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ», Самара, 1999 год, «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, 2001, 2008, 2011), «Информационные системы и технологии» (Н. Новгород, 2000, 2001, 2003, 2004, 2005, 2010, 2011, 2012, 2013), «Физика и технические приложения волно вых процессов» (Челябинск, 2010), «Физика и технические приложения волновых процессов» (Екатеринбург, 2012), «Излучение и рассеяние электромагнитных волн» (2013, Дивноморское, Краснодарский край).

Положения, выносимые на защиту 1. Модифицированный метод поиска комплексных корней дисперсионных уравнений.

2. Метод оценки корректности результатов решения дисперсионных задач, поставленных в незамкнутой форме, по нулевому среднему потоку мощ ности собственной комплексной волны.

3. Графический метод расчета структуры электромагнитного поля на основе алгоритма Эйлера.

4. Доказательство существования и метод поиска присоединенных решений несамосопряженных краевых задач.

5. Метод поиска глобального минимума целевой функции на основе метода Мюллера в применении к расчету устройств на основе БВР.

6. Проекционный метод решения дифракционной задачи в неограниченном пространстве с использованием базиса Гаусса-Лагерра.

7. Разработка основы для создания пакета программ для расчета характери стик базовых электродинамических структур.

8. Результаты исследования трансформации полного спектра волн(включая комплексные волны) экранированных направляющих структур: ЭМПЛ, ВЩЛ.

9. Результаты исследования трансформации полного спектра волн электродинамических структур с резистивными анизотропными пленка ми:

а) ЭМПЛ с двухслойной подложкой и резистивной пленкой между слоями;

б) Круглый открытый диэлектрический волновод, покрытый резистивной пленкой.

10. Результаты расчета характеристик плазмон-поляритонных волн(включая КВ) в электродинамических структурах с металлическими слоями в опти ческом диапазоне частот.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении определена цель диссертационной работы, показаны ее акту альность и практическая значимость, определена новизна полученных результа тов, сформулирована программа исследований, обоснована достоверность полу ченных результатов, представлены основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе формулируется общий подход к определению типа электро динамического оператора краевой задачи. Обозначаются условия, при которых краевая задача будет самосопряженной или несамосопряженной, что позволяет получить априорную информацию о существовании в структурах описываемых, несамосопряженными операторами, различных типов волн.

Производится определение типов операторов краевых задач для исследу емых в диссертационной работе электродинамических структур. Делается вывод о наличии в спектрах ВЩЛ, ЭМПЛ, круглых открытого и экранированного двух слойных ДВ, волн с комплексными волновыми числами.

Приводится постановка присоединенной краевой задачи на примере цилин дрических направляющих структур. Делается предположение о наличие в элек тродинамических структурах, описываемых несамосопряженными операторами решений соответствующих присоединенным волнам.

Предлагается новый модифицированный метод поиска комплексных реше ний дисперсионной задачи на основе метода Мюллера и метода «Вариации фа зы». Предлагаемый метод обладает быстродействием метода Мюллера и коррект ностью идентификации корней дисперсионного уравнения метода «Вариации фа зы» [32].

Описывается методика проверки физичности решении дисперсионного уравнения, полученного на основе МЧО. Вводится новый метод оценки кор ректности математических моделей, использующих МЧО, по среднему за период потоку мощности собственной КВ через поперечное сечение направляющей структуры.

Описываются структурная и функциональная схемы программы, разрабо танной с использованием языка С++, для расчета базовых электродинамических структур. Разбираются особенности построения и работы данной программы.

Во второй главе диссертации решаются краевые задачи для электродина мических структур без потерь(ЭМПЛ, ВЩЛ, экранированный и открытый круг лые двухслойные диэлектрические волноводы) с использованием метода частич ных областей, и приводятся результаты исследования спектра волн направляю щих структур. Описывается методика поиска решений дисперсионного уравнения для краевых задач, поставленных в незамкнутой форме. Проводится анализ пове дения дисперсионных кривых собственных волн (включая комплексные) при различных параметрах исследуемых структур.

Показывается, что в таких структурах при определенных параметрах, име ются частотные диапазоны существования комплексных волн, дисперсионные ха рактеристики которых образуются в точках слияния дисперсионных кривых ги бридных волн, а их средний поток мощности через поперечное сечение структуры равен нулю.

На примере расчета дисперсионных характеристик МПЛ и ВЩЛ, для ко торых краевые задачи ставятся в незамкнутой форме, демонстрируется процедура оценки корректности решений поставленных задач.

Предлагается графический метод построения картины силовых линий элек тромагнитных полей электродинамических структур на основе метода Эйлера.

Приводятся результаты расчета характеристик согласующего устройства для прямоугольного волновода на базе прямоугольного коаксиального волновода и волноводного фильтра нижних частот, выполненного на основе продольно нерегулярной ВЩЛ.

В третьей главе исследуются характеристики поперечно-неоднородных структур с резистивными пленками: ЭМПЛ с двухслойной подложкой и рези стивными пленками между слоями диэлектрической подложки и в области мик рополоска и круглый открытый ДВ с резистивной пленкой. В записи граничных условий для тангенциальных компонент магнитного поля проводимость пленок во взаимно перпендикулярных направлениях в рассматриваемых структурах бе рется различной по значению, то есть, вводится анизотропия.

В главе исследовано влияние пленок с различной проводимостью и анизо тропией на частотные характеристики собственных волн исследуемых электроди намических структур. Показано, что резистивные пленки с различной анизотро пией оказывают селективное влияние на определенные моды направляющей структуры в зависимости от величины тангенциальной составляющей электриче ского поля на границе двух областей между которыми расположена анизотропная резистивная пленка.

В данной главе делается вывод о возможности создания фильтров мод на базе исследуемых структур с анизотропными резистивными пленками.

В третьей главе также производится расчет характеристик аттенюатора на базе экранированной МПЛ с резистивными пленками.

В четвертой главе приводится постановка присоединенной краевой задачи для цилиндрических направляющих структур: экранированный круглый двух слойный ДВ и открытый круглый ДВ. Описывается метод решения дисперсион ной задачи присоединенных волн путем совместного решения трех детерминант ных уравнений.

Решения присоединенной краевой задачи на однородном уравнении Гельм гольца 2 Пe,m 1 Пe,m 1 2 Пe,m 2 П e,m 2 Пe,m 0, z 2 z z z r r r z z 2 2 r где r,, z – цилиндрические координаты, могут быть найдены в виде:

cos n Пe,m R r f z R r f z sin n, z где R r и f r присоединенные решения.

Функции, входящие в решение присоединенной краевой задачи, должны удовлетворять уравнениям:

n r R r r 2 2 R r 0 ;

R r n r R r r 2 2 R r R r ;

R r f z 2 f z f z ;

f z 2 f z 0, где поперечное и продольное волновые числа связаны соотношениями:

1,21, 22 1, 2 2.

Объединяя решения четырех дифференциальных уравнений, окончательно получаем векторы Герца в виде:

cos n iz e, e, e, iz e, П e,m Cnqm Rnqm q r Dnqm Rnqm q r nq q r e.

sin n zq Подстановка полученного решения в выражения для тангенциальных ком понент магнитного и электрического полей, а затем в граничные условия приво дит к получению двух систем линейных алгебраических уравнений(СЛАУ) отно сительно неизвестных амплитудных коэффициентов: однородной и неоднород ной. Однородная СЛАУ получается путем приравнивания в выражениях, полу ченных из граничных условий, членов, пропорциональных z. Она имеет нетри виальные решения, если главный определитель системы равен нулю. Неоднород ная СЛАУ получена путем приравнивания в выражениях, полученных из гранич ных условий, членов не пропорциональных z. Главный определитель неоднород ной СЛАУ совпадает с главным определителем однородной системы. Неоднород ная СЛАУ имеет совместные решения с однородной системой, если равны нулю два дополнительных определителя неоднородной СЛАУ.

Решения дисперсионной задачи, соответствующие присоединенным вол нам, находятся при совместном решении трех детерминантных уравнений (первое получено из условия равенства нулю главного определителя однородной СЛАУ, два других уравнения, получены из равенства нулю дополнительных определите лей неоднородной СЛАУ) и уравнений, связывающих волновые числа.

Совместные решения трех детерминантных уравнений были найдены и представлены в четвертой главе диссертации. Доказано, что решения дисперси онного уравнения, соответствующие присоединенным волнам, находятся в точках жордановой кратности волновых чисел нормальных волн.

В четвертой главе было также показано существование кратных собствен ных значений краевых задач на однородном уравнении Гельмгольца.

В пятой главе рассматриваются особенности характеристик поверхностных плазмон-поляритонных волн (ППВ). Поверхностные ППВ образуются при взаи модействии фотонов с коллективными колебаниями свободных электронов в ме таллической нанопленке толщиной, сравнимой с величиной скин-слоя в металле, из которого изготовлена пленка. Например, для серебра толщина скин-слоя в оп тическом диапазоне порядка 20-30 нм.

В главе рассматриваются особенности дисперсионных характеристик по верхностных ППВ, возникающих в металлической нанопленке, окруженной ди электриком, в структуре металл-диэлектрик-металл, в металлическом нано стержне и в открытом диэлектрическом волноводе с металлической нанопленкой.

Показано, что без учета потерь в металлической пленке в таких структурах суще ствуют решения дисперсионной задачи, соответствующие четным и нечетным ППВ, а также имеются комплексные решения, соответствующие КВ.

В оптическом диапазоне частот действительная и мнимая часть диэлектри ческой проницаемости металла выглядят следующим образом[36]:

r r 0 2 p i i 0 2 p где p 4nee2 / me 1.43 1016 c 1 – плазменная частота электронного газа, r 0 – константа, учитывающая межзонные переходы в металле, обычно варьиру ется от 1 до 10, Г – коэффициент затухания учитывающий радиационные потери ( 1014 с 1 ), i 0 0. Особенностью металлов в оптическом диапазоне частот явля ется то, что действительная часть диэлектрической проницаемости будет меньше нуля.

В пятой главе диссертационной работы было показано, что дисперсионные характеристики поверхностных ППВ, рассчитанные с учетом комплексности ди электрической проницаемости металлов, имеют существенные отличия от дис персионных характеристик поверхностных ППВ рассчитанных без учета потерь в металле. В частности, наблюдается наличие максимумов дисперсионных характе ристик поверхностных ППВ, рассчитанных с учетом комплексности диэлектриче ской проницаемости металла. У дисперсионных характеристик ППВ, рассчитан ных без учета потерь в металле, максимумы отсутствуют.

В данной главе также был произведен расчет и сравнение спектров ППВ металлического наностержня и открытого ДВ с металлической нанопленкой. Бы ло показано, что в металлическом наностержне и в открытом ДВ с металлической нанопленкой существуют объемные и поверхностные ППВ.

В шестой главе диссертации рассматриваются алгоритмы расчета функцио нальных узлов оптического диапазона на основе брегговских волоконных реше ток (БВР). БВР являются базовым элементов для различных устройств, работаю щих в оптическом диапазоне частот таких как: мультиплексоры и демультиплек соры, компенсаторы дисперсии, датчики физических величин, узкополосные фильтры и т.д[37-41].

В настоящей главе, используя методику расчета спектральных характери стик БВР с применением теории связанных мод[37], предлагается метод поиска оптимального набора параметров функциональных узлов по заданным характери стикам на базе метода Мюллера. Применяя метод оптимизации на основе метода Мюллера, в главе были рассчитаны частотные характеристики полосового филь тра и компенсатора дисперсии на основе БВР.

Для записи БВР применяют ультрафиолетовое излучение, которое воздей ствует на фоточувствительную сердцевину и изменяет ее показатель преломле ния[42, 43]. Для получения требуемых характеристик БВР необходимо знать ха рактеристики волоконного световода, из которого будут изготавливать БВР. В шестой главе описывается алгоритм расчета дисперсионных характеристик воло конного световода, получаемого из заготовки, профиль показателя преломления которой измерен на установке “Р-102” фирмы York Technology.

В седьмой главе рассматривается дифракционная задача на открытом конце полубесконечного круглого открытого диэлектрического волновода (ОДВ), излу чающего в свободное пространство. В качестве дифракционного базиса открытого пространства предлагается использовать функции Гаусса-Лагерра[44]. Известно, что если распространяющийся волновой пучок имеет узкий угловой спектр, спра ведливо параболическое приближение теории дифракции, в котором медленно меняющаяся амплитуда волны А удовлетворяет уравнению[45] A A 0.

2ik z Здесь оператор Лапласа по поперечным координатам;

k 0.

Решение данного уравнения представляет набор гауссовых мод, образую щих гауссовой пучок, характеризующий излучаемое с торца электромагнитное поле.

В настоящей главе рассмотрена дифракция волны HE11 на стыке полубеско нечного круглого ОДВ со свободным пространством и дифракция плазмон поляритонной волны на стыке круглого серебряного наностержня со свободным пространством. Результаты исследования сходимости коэффициента отражения основной волны и коэффициента основной гауссовой моды показали, что расчет дифракционного поля на торце полубесконечного ОДВ и серебряного наностерж ня может быть произведен с использованием базиса мод Гаусса-Лагерра в сво бодном пространстве. Поле излучения было рассчитано по известному полю на торце ОДВ с использованием метода Гюйгенса-Кирхгофа[13].

Приведены распределения электрических полей на торце рассматриваемых структур и на некотором расстоянии от торца.

В заключении к диссертации перечислены основные результаты, получен ные в процессе ее выполнения.

Глава ОСОБЕННОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ РЕШЕНИЙ ДИСПЕРСИОННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СТРУКТУР, ОПИСЫВАЕМЫХ НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ 1.1 Введение С развитием функциональной базы радиоэлектронной аппаратуры (РЭА) СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов, а также в связи с огромным интересом к тонкопленочным технологиям, позволяющим минимизировать размеры узлов РЭА, большое внимание уделяется изучению неоднородных электродинамиче ских структур, которые составляют основу современных СВЧ и КВЧ узлов, дат чиков, антенн, интегральных схем планарного и объемного типов [9, 46–51].

Если при проектировании однородно заполненных направляющих структур и устройств на их основе ограничиваются рассмотрением характеристик распро страняющихся и реактивно затухающих волн, то при анализе неоднородно за полненных структур приходится учитывать наличие в них комплексных волн(КВ) - волн с комплексными волновыми числами при отсутствии диссипации энергии [9, 21, 23, 32, 52–55].

Полная информация о спектре волн базовых направляющих структур РЭА СВЧ и КВЧ диапазонов позволяет правильно ставить и решать дифракционные задачи, к которым, как правило, приводит расчет различных СВЧ устройств. По скольку волны с комплексными волновыми числами соответствуют наиболее общему классу решений краевых задач[55], их всестороннее изучение необходи мо для получения исчерпывающей информации о физических процессах, проис ходящих в исследуемых электродинамических структурах. Неучет комплексных волн может привести к неадекватному моделированию создаваемых СВЧ узлов.

Поэтому при разработке функциональных узлов РЭА необходимо иметь инфор мацию о возможном существовании КВ в рабочем диапазоне частот создаваемой аппаратуры. Априорно такую информацию можно получить из анализа оператора краевой задачи. Если краевая задача описывается несамосопряженным операто ром[56], то можно говорить о наличии в исследуемой структуре КВ [31, 32, 57,58], если краевая задача описывается самосопряженным оператором, то КВ в исследуемой структуре быть не может. Под электродинамическим оператором понимается совокупность дифференциального уравнения и системы граничных условий. Наличие в рассматриваемых электродинамических структурах КВ необ ходимо учитывать в дифракционных задачах[59, 60].

Широкое изучение за последние десятилетия свойств материалов и созда ние адекватных математических моделей, учитывающих их свойства, а также раз витие компьютерных технологий позволяют создавать алгоритмы расчета тех или иных узлов РЭА, в которых используются реальные характеристики материалов, применяемых в том или ином устройстве. В общем случае электродинамические свойства материалов описываются комплексными диэлектрической и магнитной проницаемостями, поэтому решения краевых задач будут также лежать на плос кости комплексных чисел.

Совершенствование технологии производства элементов РЭА, открытие новых физических явлений, развитее вычислительной техники и программного обеспечения ставят перед разработчиками РЭА следующие задачи:

1. Всестороннее использование новых физических эффектов;

2. Создание адекватных моделей, описывающих свойства структур и мате риалов, используемых при создании тех или иных узлов РЭА;

3. Расчет узлов и компонентов РЭА, в частности, использующих нанопленки [61, 62] и содержащие области с комплексной диэлектриче ской проницаемостью[63], с использованием современных средств раз работки программного обеспечения и систем автоматизированного про ектирования;

4. Использование современной экспериментально-измерительной базы, необходимой для проверки полученных результатов расчетов и измере ния характеристик материалов с комплексной диэлектрической и маг нитной проницаемостями.

В первой главе дается формулировка прямой краевой задачи и задачи ей сопряженной. Формулируются условия, которые должны выполняться для того, чтобы оператор был самосопряженным.

Для рассматриваемых в диссертации экранированных и открытых электро динамических структур определяются тип оператора и классы ожидаемых реше ний, на основании чего делается вывод о возможности существования в той или иной структуре комплексных волн.

Приводится постановка и решение присоединенной краевой задачи на при мере двухслойных цилиндрических направляющих структур. Делается вывод о кратности собственных значений краевой задачи на уравнении Гельмгольца.

Так как комплексные решения дисперсионных уравнений соответствуют наиболее общим решениям несамосопряженных краевых задач, в главе рассмат риваются их особенности и методы поиска.

1.2 Виды краевых задач электродинамики Виды решений дисперсионной задачи напрямую зависят от того, является краевая задача самосопряженной или несамосопряженной. Решения дисперсион ного уравнения, полученного в результате постановки несамосопряженной крае вой задачи, в общем случае будут комплексными. Комплексные решения диспер сионного уравнения для направляющих электродинамических структур без дис сипации энергии соответствуют комплексным волнам, которые возникают в точ ке жордановой кратности волновых чисел, и их средний за период поток мощно сти через поперечное сечение электродинамической структуры равен нулю[23, 31, 32, 57].

Кроме решений, соответствующих нормальным волнам электродинамиче ских структур, описываемых несамосопряженными операторами, существуют так называемые присоединенные решения. Присоединенные решения – это особый вид решений краевых задач, которые соответствуют присоединенным волнам, имеющим линейную зависимость поля от продольной координаты[23]. Характе ристики присоединенных волн более подробно будут рассмотрены в параграфе 1.2.2 настоящей главы.

Для присоединенных волн решения дисперсионного уравнения находятся в точках жордановой кратности решений дисперсионного уравнения[64], которые одновременно являются точками возникновения комплексных волн. Два решения краевой задачи на уравнении Гельмгольца, для электродинамических направля ющих структур, соответствующих одним и тем же собственным значениям, гово рят о кратности собственных значений несамосопряженных краевых задач. Мож но утверждать, что существование присоединенных решений является достаточ ным условием наличия в данной структуре комплексных волн.

Следовательно, определение вида краевой задачи дает нам информацию о наличие тех или иных решений, в том числе и решений присоединенной краевой задачи.

1.2.1 Самосопряженные и несамосопряженные краевые задачи В понятие оператора любой краевой задачи входят дифференциальное уравнение и система граничных условий, конкретизирующих особенности физи ческого процесса, описываемого этим уравнением.

Однородная краевая задача задается дифференциальным выражением вида [56]:

n Lu f u 0 (1.1) и системой граничных условий Uq=0;

q=1,2, …, N;

n – порядок дифференци ального уравнения, f – функции независимых переменных.

При решении задач, связанных с расчетом электромагнитных полей в направляющих структурах, оператор образуется уравнением Гельмгольца, кото рое можно записать как 2u Ai xi,k x 2 Cu 0, (1.2) i 1 i,к где i=1,2,3;

k=1,2, …, n – индексы, обобщающие координаты в k частичных об ластях поперечного сечения направляющей структуры (в общем случае различные области поперечного сечения вписываются в различ ные системы координат), и –граничными условиями: где N Uq=0, q=1,2, …, N.

Таким образом, оператор краевой электродинамической задачи, описываю щий взаимную направляющую структуру, образуется дифференциальным урав нением второго порядка и определенным числом граничных условий, количество которых зависит от особенностей рассматриваемой структуры.

Сопряженная краевая задача задается в общем случае [56] дифференциаль ным выражением n L u 1 f u v 0, (1.3) где черта над f означает комплексную сопряженность, и системой граничных условий:

Uk=0;

k=1,2, …, N*;

N * 2qn N, где q число интервалов, на которое разбивается область определения функции u.

Задача, сопряженная краевым задачам, связанным с расчетом электромаг нитных полей в направляющих структурах (1.2), образуется уравнением:

2 Ai* xi,k v * x 2 C v 0 (1.4) i 1 i,k и N* граничными условиями: V * 0, где * 1,2,...,N*.

Произведя деление поперечного сечения структуры на частичные области, представим, в общем случае, решение краевой задачи и задачи, ей сопряженной, в виде:

uk ui xi,k ;

vk vi xi,k.

3 (1.5) i 1 i Подставляя, решения (1.5) краевой задачи и ей сопряженной в выражение (1.2) и (1.4), получаем уравнения вида:

2ui Ai xik Pik x 2 Cui 0 ;

(1.6) i 1 ik 2 Ai* xik vi * Qik C vi 0, (1.7) xik i где Pi,k=u1(x1k) u2(x2k) u3(x3k);

Qi= v1(x1k) v2(x2k) v3(x3k);

(ki).

Если коэффициенты С и С представимы в виде: C Ci xik ;

* i C * Ci* xik, то в уравнениях (1.6) и (1.7) можно произвести разделение пе i ременных, после чего получаем дифференциальные уравнения:

L(ui ) Ai ( xi )ui [Ci ( xi ) i ]ui 0 ;

(1.8) L* (vi ) [ Ai* ( xi )vi ] [Ci* ( xi ) i ]vi 0, (1.9) где вид коэффициентов: Ai, Ai зависит от системы координат, в которую вписы * вается конкретная частичная область поперечного сечения.

Однородная краевая задача называется [21, 23] самосопряженной, если вы полняются условия:

1)L(ui)=L*(ui);

(1.10) 2)N=N*. (1.11) Для одномерной краевой задачи, определенной на целом интервале число краевых условий для сопряженной задачи N* находится [21, xi[a,b], 23] по формуле:

N * 2n N.

Для краевой задачи, определенной на интервалах xi[a,b1],[b1,b2],… …, [bq-1,bq] число N* следует находить [21] как:

N * 2qn N. (1.12) Если хотя бы одно из условий (1.10) и (1.11) не выполняются, то однород ная краевая задача является несамосопряженной.

В регулярных и периодически-нерегулярных направляющих структурах под u и v можно понимать продольные компоненты векторов Герца.

В поперечно- неоднородной направляющей структуре, при использовании МЧО для решения краевой задачи для каждой частичной области поперечного се чения можно в уравнениях типа (1.6), (1.7) произвести разделение переменных в одной из ортогональных систем координат. Далее, используя рассмотренную вы ше методику, можно установить тип оператора одномерной краевой задачи для каждой области и определить, является ли краевая задача несамосопряженной.

Если краевая задача является несамосопряженной то, как было сказано выше, можно поставить присоединенную краевую задачу и найти соответствую щие ей решения дисперсионного уравнения.

1.2.2 Присоединенные краевые задачи электродинамики В качестве примера присоединенная краевая задача будет рассмотрена для цилиндрических направляющих структур. В дальнейшем в главе 4 для этих структур будут приведены присоединенные решения дисперсионного уравнения.

Для краевых задач:

L(u)=0;

U=0 (1.13) (L – дифференциальный оператор, U=0 – система граничных условий, =1,2,3 … n), к которым приводит разделение переменных в уравнении Гельмгольца, можно [23] сформулировать присоединенные краевые задачи, состоящие из дифферен циальных уравнений:

1 L 1 q L L q q 1 q 0 0, 1! q !

(1.14) где q=1,2 …k, и краевых условий 1 U 1 qU U q q 1 0 0.

1! q ! q (1.15) Функции q в (1.14), (1.15) называются присоединенными к функции 0.

Они удовлетворяют уравнениям (1.14) и граничным условиям (1.15) при соб ственном значении =0. 0 – решение краевой задачи (1.13).

Решения присоединенных краевых задач описывают так называемые присо единенные волны [64]. В [65] отмечалось, что эти решения возникают в точках жордановой кратности волновых чисел нормальных волн. Их возникновение вос станавливает полноту системы нормальных волн, нарушающуюся в указанных точках. Характерной особенностью присоединенных волн является наличие ли нейной зависимости их амплитуд от продольной координаты.

Восстановление полноты системы нормальных волн играет решающую роль при решении дифракционных задач, связанных с расчетом функциональных узлов СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов волн. Полнота дифракционных бази сов определяет корректность решения краевых дифракционных задач проекцион ными и прямыми вариационными методами.

Присоединенные волны, по всей видимости, влияют на характеристики комплексного резонанса [21, 23, 66], возникающего в направляющих структурах при парном возбуждении в них комплексных волн. В полосовых фильтрах [67], работающих на основе явления комплексного резонанса(КР), присоединенные волны могут играть определяющую роль в обеспечении заданной крутизны фрон тов частотных характеристик фильтров.

В [68-70] приведены, по-видимому, первые конкретные сведения о резуль татах решения краевых задач для присоединенных волн в слоистых цилиндриче ских направляющих структурах.

Рассмотрим двухслойную цилиндрическую направляющую структуру с со осными слоями. Это либо двухслойный экранированный волновод (рисунок 1.1, а), либо круглый диэлектрический волновод(ДВ) в неограниченной однородной среде (рисунок 1.1, б). Такие структуры составляют технологическую базу для построения широкого класса функциональных устройств СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов волн. Современное проектирование этих устройств осно вано на решении различных дифракционных задач, алгоритмизация которых тре бует полной информации о спектрах волн базовых структур.

а) б) Рисунок 1.1.

Поля волн рассматриваемых направляющих структур описываются про дольными компонентами электрического и магнитного векторов Герца, которые удовлетворяют уравнению Гельмгольца, записываемому в данном случае в ци линдрической системе координат:

2 Пe,m 1 Пe,m 1 2 Пe,m 2 П e,m 2 Пe,m 0, z 2 z z z (1.16) r r r z z 2 2 r где r,, z – цилиндрические координаты.

Решение уравнения (1.16), описывающее присоединенные волны, ищем в виде:

cos n R r f z R r f z П e,m sin n. (1.17) z Функции, входящие в (1.17), удовлетворяют уравнениям:

2 n R r R r r 2 R r 0 ;

(1.18) r n R r R r r 2 2 R r R r ;

(1.19) r f z 2 f z f z ;

(1.20) f z 2 f z 0, (1.21) где поперечное и продольное волновые числа связаны соотношением:

2 2 2.

Уравнения (1.19) и (1.20) являются [56] присоединенными к уравнениям (1.18) и (1.21), соответственно.

В рассматриваемом случае функция R(r) – либо функция Бесселя, если она описывает радиальную зависимость поля во внутреннем слое направляющей структуры, либо комбинация цилиндрических функций 1-го и 2-го рода, обеспе чивающая удовлетворение граничных условий задач Дирихле или Неймана на экране, для двухслойного экранированного волновода, либо функция Ханкеля, если она описывает поле во внешней области открытого ДВ.

Векторы Герца (1.17) записываются [23] в виде:

cos n i z e, e, e, e,m Пe,m Cnqm Rnqm q r Dnqm Rnq q r nq q r sin n e, (1.22) iz zq где q – номер слоя;

Rnq q r - соответствующие решения уравнения (1.18);

e,m 1r 2Yn (1r ) J n1 (1r ) J n1 (1r ) n1 1r J n (1r ) J n 1 (1r )Yn 1 (1r ) J n (1r ) J n 1 (1r )Yn 1 (1r ) ;

2 r J n ( 2 r ) J n 1 ( 2 r )Yn 1 ( 2 r ) n 2 2 r J n 1 ( 2 r )Yn 1 ( 2 r ) Yn 2 r J n 1 ( 2 r ) J n 1 ( 2 r ) i iJ n 2 r Yn 1 ( 2 r )Yn 1 ( 2 r ) Yn 2 r J n 1 ( 2 r )Yn 1 ( 2 r ) J n 1 ( 2 r )Yn 1 ( 2 r ).

Функция r Cnqm Rnqm q r nq q r e, e, является присоединенным общим решением уравнения (1.19);

J и Y - цилиндри ческие функции 1-го и 2-го рода.

Функция (1.22) является решением присоединенного уравнения Гельмголь ца, в правой части которого стоит выражение:

cos n iz 1 D R e, m e, m e.

sin n nq nq Она удовлетворяет обычному уравнению Гельмгольца при условии, что nq q r является решением присоединенного уравнения:

функция 2 n q r q r 2 nq q r Dnqm Rnqm q r. (1.23) 1 e, e, nq nq r r Из граничных условий:

E z1 r a E z 2 r a ;

H z1 r a H z 2 r a ;

E1 r a E 2 r a ;

H1 r a H 2 r a (1.24) получаем систему функциональных уравнений, в которые входят функции, зави сящие от продольной координаты. Приравнивая в них члены, имеющие линейную зависимость от координаты z, получаем систему линейных однородных алгебраи ческих уравнений:

12 Dn1 J n (1a) 2 Dn 2 Rn 2 ( 2 a) 0 ;

e 2e e (1.25а) 12 Dn1 J n (1a) 2 Dn 2 Rn 2 ( 2 a) 0 ;

m 2mm (1.25б) ne Dn1 J n (1a) Dn 2 Rn 2 ( 2 a) 11Dn1 J n (1a) 2 2 Dn 2 Rn 2 ( 2 a) 0 ;

(1.25в) e e m mm a nm 11Dn1 J n (1a) 2 2 Dn 2 Rn 2 ( 2 a) Dn1 J n (1a) Dn 2 Rn 2 ( 2 a) (1.25г) e e e mm a e m относительно коэффициентов: Dn1,2 ;

Dn1,2.

Члены в указанных функциональных уравнениях, не имеющие координат ной зависимости, при условии (1.23) дают систему линейных неоднородных ал гебраических уравнений:

1 Cn1 J n (1a ) 2Cn 2 Rn 2 (2 a ) 2 Dn 2n 2 2 a 1 Dn1n1 1a Dn1 J n (1a ) Dn 2 Rn 2 (2 a ) ;

(1.26а) 2e e e e 2 e e e e 2 1 Cn1 J n (1a ) 2Cn 2 Rn 2 (2 a) 2 Dn 2n 2 2 a 1 Dn1n1 1a Dn1 J n (1a) Dn 2 Rn 2 (2 a) ;

(1.26б) 2m m m e 2e m m m 2 Cn1 J n ( 1a ) Cn 2 Rn 2 ( 2 a ) 11Cn1 J n (1a ) 2 2Cn 2 Rn 2 ( 2 a ) ne e e m m m a Dn 2 n 2 ( 2 a ) Dn1 n1 (1a ) 2 2 Dn 2 n 2 ( 2 a ) 11 Dn1 n1 ( 1a ) ne e e e (1.26в) a ;

n Dn 2 Rn 2 ( 2 a ) Dn1 J n (1a ) e e e 2a 11Cn1 J n ( 1a ) 2 2Cn 2 Rn 2 ( 2 a ) Cn1 J n ( 1a ) Cn 2 Rn 2 ( 2 a ) nm e e e m m a Dn 2 n 2 ( 2 a ) Dn1 n1 ( 1a ) 2 2 Dn 2 n 2 ( 2 a ) 11 Dn1 n1 ( 1a ) ne e e e (1.26г) a n Dn1 J n ( 1a ) Dn 2 Rn 2 ( 2 a ) m m m 2a e m относительно коэффициентов: Cn1,2 и Cn1,2.

Главные определители систем (1.25) и (1.26) совпадают. Будучи приравнен ными нулю, они дают дисперсионные уравнения нормальных волн двухслойных цилиндрических направляющих структур: круглого двухслойного экранированно го волновода и открытого ДВ.

Нетривиальные решения системы уравнений (1.25) (коэффициенты Dn1,2 ) e,m подставляются в систему уравнений (1.26), которая решается относительно коэф e,m фициентов Cn1,2.

Поскольку для присоединенных волн должны выполнятся граничные усло вия (1.24), необходимо, чтобы системы уравнений (1.25) и (1.26) имели совмест ные решения. Система уравнений (1.25) имеет нетривиальные решения только при равенстве нулю ее определителя. Поскольку главный определитель системы (1.26) совпадает с определителем системы (1.25), система уравнений (1.26) может иметь решения, соответствующие присоединенным волнам, только при равенстве нулю ее дополнительных определителей.

Таким образом, волновые числа присоединенных волн определяются как совместные решения трех уравнений:

уравнения a11 a 0, (1.27) a21 a совпадающего с дисперсионным уравнением нормальных волн рассматриваемых направляющих структур, и двух дополнительных c1 a 0;

(1.28а) c2 a a11 c (1.28б).

a21 c В уравнениях (1.27), (1.28) использованы обозначения:

n a11 1 2 J n (1a) a22 ;

a Rn 2 ( 2 a) 1 m a12 1 1 J n (1a) 2 J ( a) 2 n 1 Rnm2 ( 2 a) ;

Rn 2 ( 2 a) 1 e a21 1 1 J n (1a) 2 J ( a) e 2 n 1 Rn 2 ( 2 a) ;

d 4 Rn 2 ( 2 a) m n d c1 d1 2 2 m a 2 2 Rn 2 ( 2 a) ;

d3 Rn 2 ( 2 a) e n d c2 d 2 2 2 e a 2 2 Rn 2 ( 2 a) ;

ne d1 Dn 2n 2 ( 2a ) Dn1n1 (1a ) e a ;

D m ( a ) D m ( a ) n D e R e ( a ) D e J ( a ) 2 2 n2 n2 2a n 2 n 2 1 1 n 1 n1 1 n1 n nm d2 Dn 2n 2 ( 2a ) Dn1n1 ( 1a ) m a ;

22 Dn 2n 2 ( 2a ) 11Dn1n1 ( 1a ) n Dn 2 Rn 2 (2a ) Dn1 J n ( 1a ) e e mm m 2a d 3 2 Dn 2 n 2 2 a 1 Dn1 n1 1a Dn1 J n (1a ) Dn 2 Rn 2 (2 a ) ;

e 2 e e e e d 4 2 Dn 2 n 2 2 a 1 Dn1 n1 1a Dn1 J n (1a ) Dn 2 Rn 2 (2 a ).

m 2 m m m m Каждое из уравнения (1.27), (1.28а) и (1.28б) решается совместно с уравне ниями:

11 2 12 2 ;

2 2 2 2 2.

(1.29) Присоединенным волнам соответствуют решения, удовлетворяющие одно временно всем трем уравнениям: (1.27), (1.28а), и (1.28б).

Из граничных условий (1.24) получаем:

1 Rn1 (1a ) e D e e D ;

(1.30а) 2 Rn 2 ( 2 a ) n2 n1 e 1 Rn1 (1a ) e hD m e D ;

(1.30б) 2 Rn 2 ( 2 a ) n2 n1 e Dn 2 hDn1, m e (1.30в) n 1 2 J n 1a a h где. (1.30г) m 11 J n 1a 2 J n 1a Rn 2 2 a Rn 2 2 a m Соотношения (1.30) при условии (1.23) позволяют исключить из уравнений Dn1m и привести эти уравнения к трансцендентному e, (1.28 а,б) коэффициенты, виду. В результате поиск волновых чисел, соответствующих присоединенным волнам, сводится к совместному решению трех трансцендентных уравнений:

(1.27) и (1.28 а,б). При этом волновые числа связаны соотношением (1.29).

h 0 коэффициенты Dn1,2 0. Если при этом Как видно из (1.30), при m Dn1 Dn 2 1, решение (1.21) удовлетворяет обычному уравнению Гельмгольца.

e e Как показывают численные исследования, результаты которых будут приведены в четвертой главе диссертации, такой вариант может иметь место.

Необходимо также отметить, что одной из основных особенностей присо единенных волн, как и комплексных волн, является равенство нулю среднего за период потока мощности через поперечное сечение электродинамической струк туры[23], что будет численно показано в главе 4. Кроме того в настоящей главе равенство нулю среднего потока мощности за период через поперечное сечение электродинамической структуры комплексных и присоединенных волн будет предложено как один из критериев оценки корректности решений электродина мических задач.

1.3 Определение типа оператора для структур, рассматриваемых в диссертации 1.3.1 Определение типа оператора для экранированных направляющих структур В настоящей диссертации рассматриваются следующие экранированные электродинамические структуры: экранированная микрополосковая линия (рисунок 1.2 а), экранированная микрополосковая линия с двухслойной подлож кой резистивной пленкой между слоями подложки (рисунок 1.2 б), круглый экра нированный двухслойный волновод (рисунок 1.3 а), волноводно-щелевая линия (рисунок 1.3 б). Чтобы обозначить виды ожидаемых решений для рассматривае мых экранированных структур, необходимо определить тип оператора (краевой задачи) для каждой из указанных структур.

а) б) Рисунок 1.2.

y b b III II x IV I a3 a -a -a1 a -b -b а) б) Рисунок 1.3.

Рассмотрим экранированную микрополосковую линию с резистивной плен кой (рисунок 1.2 б). В силу симметрии структуры относительно оси оy (полагая, что этой плоскости соответствует магнитная стенка) рассматриваем только об ласть поперечного сечения ЭМПЛ в интервале x[0, a]. В качестве частичных об ластей выделенной части поперечного сечения выбираются области, находящиеся в интервале y[0, b1] – 1-я область ( слой с диэлектрической проницаемостью 1), в интервале y[ b1, b2] – 2-я область (слой с диэлектрической проницаемо стью 2), в интервале y[ b2, b3] – 3-я область, которая представляет собой часть микрополоска x[0, a1] и воздушный слой x[a1, a], и 4-я область – область с воздушным заполнением y[ b3, b]. Принимая во внимание, что толщина рези стивной пленки много меньше толщины скин-слоя, ее наличие учитывается введением разрывных граничных условий для тангенциальных компонент маг нитного поля (метод поверхностного тока (МПТ)) [34, 35]. Покажем, что краевая задача для ЭМПЛ даже в отсутствие резистивной пленки является несамосопря женной.

Краевая задача образуется дифференциальным уравнением Гельмгольца относительно электрических и магнитных векторов Герца П e,m k 2 П e,m 0, (1.31) и системой граничных условий:

при y=b1:

Ez1 = Ez2;

Ex1 = Ex2;

Hz2 = Hz1;

Hx2 = Hx1, (1.32) при y= b2:

0, x 0, a1 ;

Ez2 (1.33) E z 3, x a1, a ;

0, x 0, a1 ;

Ex E x 3, x a1, a ;

H z 2 H z 3, x a1, a ;

H x 2 H x 3, x a1, a ;

при y= b3:

0, x 0, a1 ;

Ez4 (1.34) E z 3, x a1, a ;

0, x 0, a1 ;

Ex E x 3, x a1, a ;

H z 3 H z 4, x a1, a ;

H x 3 H x 4, x a1, a.

Представим неизвестное решение П, используя метод разделения перемен ных, в виде произведения функций декартовых координат.

П(x,y,z)=u1(x)u2(y)u3(z) (1.35) Учитывая, что u1-3 – функции разных аргументов, приходим к трем незави симым уравнениям.

2u1 ( x ) 2 u1 ( x ) 0 ;

x x 2u2 ( y ) 2 u2 ( y ) 0 ;

(1.36) y y 2u3 ( z ) 2u3 ( z ) 0 ;

z Постоянные разделения связаны соотношением k 2 2 2 2.

x y Анализ показывает, что для наиболее распространенных систем координат (прямоугольной, цилиндрической, эллиптической), используемых при расчете направляющих электродинамических систем, при отсутствии потерь (и дей ствительные числа) условие самосопряженности оператора (1.10) выполняется.

Действительно, для сопряженной краевой задачи в нашем случае на основании (1.3) можно записать дифференциальное уравнение в виде:

V (C * )2V 0. (1.37) Представим неизвестное решение V в виде произведения функций завися щих от декартовых координат V(x,y,z)=v1(x)v2(y)v3(z), а (C * ) 2 C x2 C y C z2. При меняя процедуру разделения переменных, аналогично рассмотренной выше, по лучаем следующие независимые уравнения:

2 v1 ( x ) Cx2 v1 ( x ) 0 ;

x 2 v2 ( y ) C y2 v2 ( y ) 0 ;

(1.38) y 2 v3 ( z ) Cz2 v3 ( z ) 0.

z Сравнивая (1.36) и (1.38) и принимая во внимание, что в рассматриваемой электродинамической структуре диэлектрическая и магнитная проницаемости слоев являются чисто действительными величинами, приходим к выводу, что условие (1.10) выполняется. В случае комплексных иусловие (1.10) выпол нятся не будет.

В подавляющем большинстве случаев для систем без диссипации энергии исследование оператора краевой задачи на его самосопряженность или несамо сопряженность сводится к проверке выполнения равенства (1.11). Проверим вы полнение этого равенства для анализируемой структуры.

Условие (1.11) может быть выполнено только в том случае, когда на грани це раздела между областями на вектор Герца налагается лишь два граничных условия. Рассматриваемая ЭМПЛ имеет три границы раздела между слоями, на каждой из которых компоненты электромагнитного поля, связаны с векторами Герца выражениями:

Ez 2 П e ;

H z 2 П m ;

z z П e П m E x i1 i z ;

z y x П e П m E y i 2 i z ;

z (1.39) x y П e П m H x i1 i z ;

z y x П e П m H y i 2 i z, z x y где 2 2 2, П e и П m – продольные составляющие электрического и магнитно x y z z го векторов Герца, должны удовлетворять граничным условиям (1.14–1.16). Та ким образом, на любой границе, на один вектор Герца накладывается три гранич ных условия. Следовательно, принимая во внимание выражения (1.12), приходим к выводу, что условие (1.11) не выполняется, и краевая задача является несамосо пряженной даже без резистивной пленки. При введении резистивной пленки меж ду областями 1 и 2 граничные условия для тангенциальных компонент магнитно го поля становятся разрывными:

Hz2 – Hz1 = –jx пов = Ex1;

Hx2 – Hx1 = jz пов = – Ez1, и краевая задача остается несамосопряженной из-за невыполнения условия (1.12).

На рисунке 1.3 изображена волноводно-щелевая линия, в которой диэлек трическая пластина 2 расположена параллельно узкой стенке прямоугольного волновода, ширина щели равна 2b1. Данная структура обладает симметрией по перечного сечения относительно оси ох, в результате чего можно рассматривать только область в интервале y[ 0, b2], которая разбивается на четыре частичные области.

Краевая задача образуется уравнением Гельмгольца(1.31) относительно векторов Герца и системой граничных условий. Для сопряженной краевой задачи получаем уравнение вида (1.37).

Производя в дифференциальных уравнениях прямой и сопряженной крае вых задач процедуру разделения переменных, приходим к уравнениям вида (1.36, 1.38). В том случае, когда в данной структуре и действительные величины (отсутствует диссипация энергии), условие (1.10) выполняется.

ВЩЛ имеет три границы раздела между слоями, на каждой из которых выражения для компонент электромагнитного поля, записываемых в виде (1.39), должны удовлетворять граничным условиям:

при x = –a2 :

E y 1 E y 2 ;

Ez1 Ez 2 ;

H y1 H y 2 ;

H z1 H z 2, (1.40) при x = a3:

E, y b1, b1 ;

E y2 y 0, y b2,b1,b1, b2 ;

E, y b1, b1 ;

Ez 2 z 3 (1.41) 0, y b2,b1,b1, b2 ;

H y 2 H y 3 ;

H z 2 H z 3 y b1;

b1, при x = a4:

E, y b1, b1 ;

E y4 y 0, y b2,b1,b1, b2 ;

E, y b1, b1 ;

Ez4 z 0, y b2,b1,b1, b2 ;

(1.42) H z 4 H z 3 y b1;

b1.

H y4 H y3 ;

Таким образом, на каждой границе, на один вектор Герца накладывается три граничных условия. Учитывая выражение (1.12) приходим к выводу, что условие (1.11) не выполняется и краевая задача является несамосопряженной.

Таким образом для рассмотренных экранированных структур электродина мические операторы являются несамосопряженными, следовательно, в них наравне с распространяющимися и реактивно затухающими волнами могут суще ствовать комплексные волны.

1.3.2 Определение типов операторов, описывающих открытые направляющие структуры Краевую задачу для открытых направляющих цилиндрических структур (рисунок 1.1 б) удобно решать в цилиндрической системе координат. Прямая кра евая задача задается дифференциальным уравнением:

1 П 1 2 П 2 П r r r r 2 2 z 2 k П (1.43) r или 2 П 1 П 1 2 П 2 П 2 2 k 2П 0. (1.44) r r r r z 2 и системой граничных условий, рассмотренных далее.

Решение дифференциального уравнения можно представить в виде П(x,y,z)=u1(r)u2()u3(z). Подставляем решение в выражение (1.44), производим разделение переменных, получаем два независимых уравнения:

2 u3 ( z ) 2 u3 ( z ) 0;

(1.45) z 1 2u1 ( r ) 1 1 u1 ( r ) 1 1 2u2 () 2 2 0, (1.46) u1 ( r ) r u1 ( r ) r r r u2 () 2 где k2 –2.

Уравнение (1.46) в свою очередь, разделяется на два независимых уравнения 2u2 () n 2u2 () 0;

(1.47) 2u1 ( r ) 1 u1 ( r ) 2 n 2 u1 ( r ) 0. (1.48) r 2 r r r Сделав в (1.48) замену u1 ( r ) u* ( r ) / r, окончательно получаем:

2u1 ( r ) 1 u (r) n 2 1 2 2u1 ( r ) 0. (1.49) r 2 4 r Для сопряженной краевой задачи вид дифференциального уравнения будет следующий:

1 V 1 2V 2V r r r r 2 2 z 2 C V 0.

(1.50) r Выполняя разделение переменных, приходим к уравнениям вида:

2 v3 ( z ) C z2 v3 ( z ) 0;

(1.51) z 2 v2 () C v2 () 0;

(1.52) 2 v1 ( r ) 1 v (r) Сr2 1 2 Сr2 v1 ( r ) 0. (1.53) r 4 r Анализируя выражения (1.45, 1.47, 1.49) и (1.51,1.52,1.53), видим, что в рассмотренном случае равенство (1.10) так же, как и в случае с ЭМПЛ и ВЩЛ, выполняется. Проверим выполнение равенства (1.11). Выражения для компонент поля записываются в виде:

Ez 2 П e ;

H z 2 П m ;

z z i1 П e П m Er i z ;

z r r П e i П m E i 2 z z ;

(1.54) r r i1 П e П m Hr i z ;

z r r П e i П m H i 2 z z.

r r Для круглого открытого диэлектрического волновода можно сформулиро вать несколько краевых задач[21]. Рассмотрим их.

Если поле не имеет угловой зависимости (симметричные волны) и не стре 0 при r, учитывая, что система мится к нулю на бесконечности, т.е. n=0;

u состоит из двух областей r a и r a, получаем следующие граничные условия:

непрерывность тангенциальных компонент поля на поверхности волновода и ограниченность поля при r=0. Таким образом, число граничных условий N для прямой краевой задачи равно трем, а число граничных условий для сопряженной задачи N*=5. Следовательно, краевая задача является несамосопряженной.

Если поле не имеет угловой зависимости(симметричные волны), но ограни чено на бесконечности: n=0, u 0 при r, на границе раздела сред имеем два граничных условия для вектора Герца и условия ограниченности поля при r= r, т.е. на основании (1.12) имеем N=4 и N*=4. В результате краевая за и дача является самосопряженной.

В случае несимметричных волн с неограниченным на бесконечности полем имеем пять граничных условий для каждого вектора Герца N=5. На основании (1.12) число граничных условий для сопряженной задачи N*=3. Таким образом, условие (1.11) не выполняется и краевая задача является несамосопряженной.

Для несимметричных волн с ограниченным на бесконечности полем полу чаем шесть граничных условий: четыре граничных условия для тангенциальных составляющих поля при r=a, условие ограниченности при r=0 и условие ограни ченности поля на бесконечности. Следовательно, для векторов Герца число гра ничных условий N=6, а N*=2. Условие (1.11) не выполняется, краевая задача явля ется несамосопряженной.

1.4 Особенности методов поиска комплексных решений дисперсионных уравнений Для поиска решений дисперсионных задач используют всевозможные чис ленные методы, позволяющие получить приближенное решение дисперсионного уравнения с заданной точностью.

В настоящем параграфе рассматриваются методы, которые наиболее часто используются для поиска комплексных корней дисперсионного уравнения, про водится их сравнительный анализ и предлагается новый метод поиска, обладаю щий быстротой и точностью обнаружения комплексного корня.

1.4.1 Использование метода бисекции для поиска комплексных решений Дисперсионное уравнение представляет собой уравнение вида:

F()=0, которое решается относительно продольного волнового числа. Поиск чисто действительных или чисто мнимых решений дисперсионного уравнения, при ко тором осуществляется перебор параметра поиска только по действительной или только по мнимой оси может осуществляться методом половинного деления (ме тод бисекции). При использовании метода половинного деления[71] производится изменение с определенным шагом h параметра поиска, продольного волнового числа i+1=i+h и определение перехода функции F() через ноль (рисунок 1.4.), где i – действительная или мнимая часть продольного волнового числа. Далее шаг уменьшается в n – раз и снова осуществляется поиск решения. Вычисления производятся до тех пор, пока не будет выполнено условие h, где - необходи мая точность поиска.

F() Искомое решение (+) h/n (-) h Рисунок 1.4.

Как было показано ранее, если краевая задача является несамосопряженной, то даже при отсутствии диссипации энергии в направляющей электродинамиче ской структуре, решения дисперсионного уравнения наряду с действительными и мнимыми, могут быть комплексными. В структурах с потерями все решения дис персионного уравнения комплексные.

В случае комплексных волновых чисел i=i1+ii2 (1, i2 – действительная и мнимая части волновых чисел) перебор осуществляется с определенными ша гами h1 и h2 по действительной и мнимой частям того или иного волнового числа.

Использование метода половинного деления при поиске комплексных решений имеет ряд недостатков:

1. Нахождение ложных корней (полюсов);

2. Существенное увеличение времени поиска комплексных решений;

3. Значительное усложнение алгоритма поиска комплексных решений.

Эти недостатки при нахождении и уточнении корня присущи также методу хорд, в котором используется пропорциональное деление интервала, и методу Ньютона(метод касательных) – наиболее популярному из итерационных методов.

Рассмотрим эти недостатки более подробно. Функция дисперсионного уравнения F()=0 во многих случаях имеет сложный вид(особенно для задач, ре шаемых в незамкнутой форме[23]), и в интервале поиска корней уравнения F()=0 присутствуют особые точки (полюса) – а (рисунок 1.5.), для которых lim F (). Применение метода половинного деления даст нам в этих точках a ложные корни.

Истинное Ложное F() решение решение a Рисунок 1.5.

Вторым недостатком метода бисекции является увеличение времени поиска решений на комплексной плоскости так как в этом случае перебор с шагом h осу ществляется по двум параметрам: действительной и мнимой частями волнового числа. Перебор осуществляется несколько раз, пока не произойдет смена знака действительной и мнимой частей функции F() одновременно.

Третьим недостатком метода половинного деления является усложнение алгоритма расчета. Приходится отслеживать изменение знака как действительной, так и мнимой частей функции F(). Одновременно с этим необходимо отслежи вать поведение функции для исключения полюсов(расчет производных) с помо щью дополнительных программных модулей. Такой подход не всегда приводит к положительному результату из-за сложного и непредсказуемого поведения функ ции F(), которая во многих случаях выражается в неявном виде.

Из всего выше сказанного можно сделать вывод, что метод бисекции реко мендуется применять только для поиска либо чисто действительных, либо чисто мнимых решений. Для поиска комплексных корней этот метод применять неже лательно. Другие методы локализации корня (метод хорд, секущих, Ньютона) [34] имеют те же недостатки при поиске комплексных корней, что и метод бисекции и отдельно в диссертации не рассматриваются.

1.4.2 Использование метода Мюллера для поиска комплексных решений дисперсионных уравнений Метод Мюллера [73] представляет собой развитее метода секущих. В ме тоде секущих необходимо задавать два начальных приближения xk, xk-1, далее че рез точки f(xk) и f(xk-1) проводится прямая линия и пересечение ее с осью х даст следующее приближение к корню xk+1.

f(x) xk- xk+1 xk x Метод Мюллера в отличии от методов: секущих, хорд и Ньютона использу ет не линейную, а квадратичную аппроксимацию функции. В нем для нахождения очередного приближения xk+1 необходимы три предыдущие точки: xk, xk-1, xk-2. Этот метод, также как и метод хорд, метод Ньютона и метод секущих используют для уточнения корня, когда известен интервал, на котором находится нуль функции F().

Метод Мюллера обладает большим быстродействием при нахождении комплексного корня в заданной области поиска с требуемой точностью, но наряду с истинными решениями находит ложные корни.

Рассмотрим алгоритм поиска комплексных корней методом Мюллера:

xk xk (1.55) xk 1 xk A f xk 1 f xk 1 2 f xk 2 (1.56) B 2 1 f xk 1 f xk 1 2 f xk (1.57) C 1 f xk (1.58) xk 1 xk xk xk 2C (1.59) B B 4 AC В качестве начального приближения выбираем три значения переменной поиска xk-2, xk-1, xk вблизи предполагаемого корня. Рассчитываем значения функ ции в этих точках f(xk-2), f(xk-1), f(xk), а далее, используя алгоритм (1.55) –(1.59), по лучаем следующее приближение xk+1.

Знаки в знаменателе(1.59) выбираем в зависимости от величины модуля знаменателя. Если величина модуля знаменателя с «плюсом» больше величины модуля знаменателя при выборе «минуса», то берется «плюс», если нет – «ми нус».

В настоящее время метод Мюллера благодаря высокому быстродействию широко используется для поиска комплексных корней в различных прикладных пакетах, предназначенных для расчета электродинамических структур. Однако, наряду с истинными нулями комплексной функции F() (точка А, рисунок 1.6.) при использовании этого метода может быть получено решение, соответствующее локальному минимуму (точка В, рисунок 1.6.), что приводит к появлению ложных корней.

Рисунок. 1.6.

Чтобы избежать нахождения ложных корней, необходимо выбирать три начальные точки как можно ближе к истинному решению, то есть уменьшать шаг поиска, а это приводит к значительному увеличению времени, тем самым нивели руется преимущество данного метода(быстрота поиска). Кроме того для этого ме тода важно также начальное расположение исходных точек: xk, xk-1, xk-2.

Таким образом, метод Мюллера является достаточно хорошим методом по иска комплексных корней в ограниченной области комплексной плоскости в не большом частотном диапазоне, где отсутствуют локальные минимумы. В против ном случае необходимо проверять истинность полученных решений другими ме тодами.

1.4.3 Использование метода вариации фазы для поиска комплексных решений дисперсионных уравнений Метод вариации фазы, разработанный в [23, 74] позволяет получить истин ные комплексные решения дисперсионного уравнения F()=0 для широкого круга электродинамических задач.

Метод вариации фазы основан на принципе аргумента[75]:

1 F F d 2 vararg F L.

2i L При обходе заданной области (рисунок 1.7, а) поиска на комплексной плос кости по контуру L одного из волновых чисел по часовой стрелке с заданным ша гом h (например, по действительной части продольного волнового числа =1+i2, участки АВ, СD, и мнимой части, участки ВС, DА) определяется количество нулей и полюсов исследуемой функции по числу оборотов годографа исследуемой функции вокруг начала координат. Если годограф на комплексной плоскости об ходит начало координат, делая полный оборот против часовой стрелки (рисунок 1.7, б), то в точке М находится корень, если по часовой стрелке, то по люс. Количество оборотов годографа определяет количество корней, находящих ся внутри контура L. Если не происходит ни одного полного оборота, то корень внутри исследуемой области отсутствует.

D C Imag(F()) М L А B Real(F()) а) б) Рисунок 1. Этот метод обладает свойством точной идентификации наличия или отсут ствия корня в заданной области, но имеет малое быстродействие, и для более точ ного определения корня желательно максимально сжать область поиска к месту нахождения предполагаемого корня.

Поэтому в настоящей диссертации предлагается комбинированный метод поиска комплексных решений, лишённый недостатков метода Мюллера и метода вариации фазы.

1.4.4 Комбинированный метод поиска комплексных решений дисперсионных уравнений Комбинированный метод поиска корней[76–78] является комбинацией ме тода Мюллера и метода вариации фазы, что позволяет использовать только луч шие стороны обоих методов, а именно: быстроту метода Мюллера и возможность идентификации ложных корней методом вариации фазы.

Одновременное использование метода Мюллера и метода вариации фазы, позволило создать подпрограмму поиска комплексных корней, обладающую хо рошим быстродействием. Эта подпрограмма была включена в программы расчета дисперсионных характеристик электродинамических структур, рассматриваемых в настоящей диссертации.

На рисунке 1.8 приведена блок схема алгоритма расчета комплексных кор ней комбинированным методом.

Задание границ частот ной области поиска комплексных корней Задание комплексной области поиска решений дисперсион ного уравнения Поиск комплексных корней на данной частоте методом Мюллера Проверка найденных ком плексных решений методом вариации фазы Исключение ложных корней Переход на следующую частоту Рисунок 1.8.

Рассмотрим более подробно суть комбинированного метода поиска ком плексных корней. На определенной частоте fi область поиска по комплексному волновому числу =1+i2 разбивается на K N M подобластей (рисунок 1.9.) на интервале [нач, кон]. На рисунке 1.9 кружками показаны подобласти в которых существуют решения.

Рисунок 1.9.

В каждой прямоугольной подобласти последовательно выбираются три начальные точки, например, как показано на рисунке 1.10, а далее методом Мюл лера проверяется наличие корня.

k- k k- Рисунок 1.10.

Если предполагаемое решение в исследуемой подобласти найдено, то обхо дом по контуру (рисунок 1.7, а), используя метод вариации фазы, проверяется, яв ляется ли найденное решение истинным корнем или локальным минимумом. Если методом вариации фазы подтверждается истинность найденного решения, оно за писывается в память. Возможен также вариант поиска, когда сначала методом ва риации фазы определяется наличие в данной подобласти решения, которое затем уточняется методом Мюллера и записывается в память. После этого происходит переход к следующей подобласти.

Когда анализ всех K подобластей закончен, происходит переход на следу ющую частоту fi+1= fi+hi и описанные выше действия повторяются, до тех пор, по ка не пройден заданный частотный диапазон.

Комбинированный метод поиска лишен недостатков, присущих методу Мюллера и методу вариации фазы. Он позволяет использовать быстроту нахож дения комплексных корней методом Мюллера и однозначность идентификации комплексного корня методом вариации фазы.

В таблице 1.1. приведены результаты замеров времени при поиске ком плексных корней одного и того же дисперсионного уравнения различными мето дами на персональном компьютере с процессором Intel® i7 950 с тактовой часто той 3.07 ГГц, размер ОЗУ – 6 Гб. Результаты были округлены в большую сторону.

Для каждого метода в определенном частотном диапазоне найдено одинаковое количество комплексных корней дисперсионного уравнения волн экранированной микрополосковой линии с резистивной пленкой.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.