авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. Алексеева На правах рукописи Малахов ...»

-- [ Страница 2 ] --

Таблица 1. Время расчета, Название метода Точность расчета мин Метод половинного деления 17 0, Метод Мюллера 5 0, Метод вариации фазы 21 0, Комбинированный метод 7 0, Из таблицы 1.1 видно, что наилучшие быстродействие показал метод Мюллера, но наравне с истинными решениями были получены ложные корни, ко торые метод Мюллера не исключает. Наибольшее время было затрачено при рас чете методом вариации фазы, однако этот метод обладает свойством точной иден тификации наличия или отсутствия корня в заданной области.

Метод половинного деления обладает достаточно большим временем по иска комплексных корней и кроме истинных решений выдает ложные(полюса).

Комбинированный метод показал быстродействие близкое к методу Мюл лера, но в отличие от него, благодаря использованию метода вариации фазы, он выдает только истинные решения.

На основе комбинированного метода поиска комплексных корней была со здана подпрограмма расчета дисперсионных характеристик исследуемых в дис сертации направляющих структур в интегрированной среде разработки Microsoft Visual Studio 2010, на языке C++, и получено свидетельство о государственной ре гистрации программ для ЭВМ[79]. Подпрограмма поиска комплексных корней включена в авторскую программу расчета характеристик волн различных элек тродинамических структур. Принцип работы разработанной программы будет рассмотрен в параграфе 1.6 данной главы. Листинг подпрограммы поиска ком плексных корней дисперсионного уравнения приведен в приложении А.

1.5 Оценка корректности найденных решений краевых задач прикладной электродинамики с использованием комбинированного метода поиска комплексных корней Основной проверкой корректности решений краевых задач является экспе римент, который может подтвердить или опровергнуть полученные результаты.

Однако не всегда имеется возможность быстро и недорого создать эксперимен тальную установку и найти требуемую измерительную аппаратуру для проведе ния экспериментальных исследований. Часто требуется провести проверку и оценку полученных результатов расчетов с меньшими материальными и времен ными затратами. Особенно это важно, если дисперсионное уравнение получается в неявном виде24, 81, 82.

Рассмотрим корректность решений дисперсионного уравнения полученных комбинированным методом на примере ВЩЛ (рисунок 1.3 б). Общее решение краевой задачи для рассматриваемой структуры представляется бесконечными суммами. Такие задачи называются, поставленными в незамкнутой форме[82].





Используя процедуру метода частичных областей, разбиваем структуру на четыре области, как показано на рисунке 1.3 б. Векторы Герца в выделенных об ластях, удовлетворяющие уравнению Гельмгольца и граничным условиям Дирих ле и Неймана на экране, записываются в виде:

m A1m sin( 1m ( x a1 )) sin ( y b2 )e iz П z1 m e 2b2 ;

(1.60) m П z1 A1m cos(1m ( x a1 )) cos ( y b2 )e iz m 2b m n e A2 n sin 2 n x B2 n cos 2 n x sin ( y b2 ) e iz П z 2 n 2b ;

(1.61) n П z 2 A 2 n cos 2 n x B2 n sin 2 n x cos ( y b2 ) e iz m 2b n k e П z 3 A3k sin 3k x B3k cos3k x sin 2b ( y b1 ) e iz k ;

(1.62) k П z 3 A 3k cos 3k x B3k sin 3k x cos ( y b1 ) e iz m 2b k A4 sin( 4 ( x a5 )) sin ( y b2 )e iz П z 4 e 2b. (1.63) П z 4 A 4 cos( 4 ( x a 5 )) cos ( y b2 )e iz m 2b На границе раздела областей записываем условие непрерывности тангенци альных компонент электрического и магнитного полей, из которых получаем си стему функциональных уравнений. Применяя условие ортогональности собствен ных функций краевых задач для выделенных частичных областей, приходим к си стеме линейных однородных алгебраических уравнений(СЛАУ) бесконечно вы сокого порядка относительно неизвестных коэффициентов разложения полей в частичных областях, которую решаем методом редукции. Порядок системы по нижаем, выразив амплитудные коэффициенты разложений полей в областях I, II и IV через A3k, A3k, B3k, B3k,. В результате, получаем СЛАУ относительно ампли тудных коэффициентов разложений поля в области III.

A3k P1k Q1nk A3k P1k Q1nk B3k S1k V1nk B3k S1k V1nk 0;

n 1 k 0 n 1 k 1 n 1 k 0 n 1 k A P Q A P Q B S V B S V 0;

3k 2 k 2 nk 3k 2 k 2 nk 3k 2 k 2 nk 3k 2 k 2 nk n 1 k 0 n 1 k 1 n 1 k 0 n 1 k A3k P3k Q3nk A3k P3k Q3nk B3k S 3k V3nk B3k S 3k V3nk 0;

n 1 k 0 n 1 k 1 n 1 k 0 n 1 k A3k P4 k Q4 nk A3k P4 k Q4 nk B3k S 4 k V4 nk B3k S 4 k V4 nk 0, n 1 k 0 n 1 k 1 n 1 k 0 n 1 k (1.64) где Pk, Sk, – функции, зависящие только от параметра внешней суммы k, а Qnk, Vnk – функции, зависящие как от параметра внутренней суммы n, так и от параметра внешней суммы k. Решаем систему при конкретном конечном значении k, опреде ляющем число собственных функций области III и, следовательно, номер при ближения. Более подробно краевая задача для ВЩЛ будет рассмотрена в главе 2.

Число собственных функций, представляющих поля в областях I, II и IV и образующих внутренние суммы в матрице дисперсионного уравнения, берем рав ным N=50. Достаточность этого числа функций показало исследование сходимо сти внутренних сумм во всем рассматриваемом частотном диапазоне при интере сующих нас параметрах ВЩЛ.

Условие нетривиальности решений полученной СЛАУ (1.64) дает диспер сионное уравнение, которое решается совместно с уравнениями, связывающими волновые числа m 2b 1m ;

2 n 2 2 2b 2 n ;

2 k 3 3 3k 2 ;

2 2b 4 4 2 2, 2b являющимися в общем случае комплексными величинами.

Прежде всего для проверки адекватности используемой математической модели исследуем сходимость по продольному волновому числу.





На рисунке 1.11 приведены результаты расчета для ВЩЛ, имеющей следу ющие параметры: а1=2,3 мм;

b2 = 1 мм;

а5 = а1;

а2 = 0,085а1;

a3 = a2;

b1 = 0,5b2;

a4 - a = 0,005a1;

~ = 6.

Рисунок 1.11.

В таблице 1.2 приведены результаты расчета продольного волнового числа, соответствующие частоте 67 ГГц (рисунок 1.11), для волн HE(1), HE(2), HE(3).

Таблица 1. n 1 2 3 4 5 HE(1) 1. 69538 1. 69002 1. 68994 1. 68989 1. 68981 1. HE(2) 0.50102 0.49993 0.49983 0.49975 0.49969 0. HE(3) 0.47113 0.45384 0.43568 0.42985 0.42925 0. На указанной частоте в рассматриваемой ВЩЛ существует 3 распростра няющихся волн НЕ(1) - НЕ(3). Для них в таблице 1.2 приведены значения норми рованного продольного волнового числа 1 / k0. Собственные волны ВЩЛ яв ляются гибридными. В настоящей работе они классифицируются как НЕ(m), где индекс m определяет порядок следования волн по нарастанию значения мнимой части в области реактивного затухания. Классификация волн по предельному переходу к частично заполненному прямоугольному волноводу не используется, поскольку, как показали исследования, структуры полей в таком волноводе при введении металлизации на диэлектрической подложке претерпевают принципи альные изменения. Не удается классифицировать волны и по порядку следования критических частот: при изменении параметров ВЩЛ этот порядок не сохраняет ся, т.е. имеет место инверсия. Из таблицы 1.2 видно, что с ростом приближения k наблюдается достаточно хорошая сходимость по продольному волновому числу.

Для волны НЕ(1) проводилось сравнение полученных результатов с результатами, приведенными в [83]. Отличие не превышает 0,5%.

Следующим этапом проверки корректности составленного алгоритма явля ется проверка непрерывности тангенциальных компонент магнитного и электри ческого полей. Для примера рассмотрим распределение компоненты электриче ского поля Ey на границе x=a3(рисунок 1.3 б) между областями II и III для основ ной волны HE(1).

На рисунке 1.12 точками приведены значения компоненты электрического поля Ey2(область II), а окружностями – Ey3(область III).

Рисунок 1.12.

Величины компонент электрического поля совпадают с точностью равной 0,001. Аналогично проверяются остальные тангенциальные компоненты электри ческого и магнитного полей на всех границах частичных областей.

Также оценить корректность составленного алгоритма расчета можно по предельному переходу к структурам, для которых задачи решаются в замкнутой форме. Для данной структуры такой переход может быть осуществлен к однород но заполненному волноводу. Устремляя b1 к b2 и принимая во всех областях 1,4=1, получаем характеристики замедления и затухания, приведенные на рисунке 1.13. На этом рисунке введено обозначение волн, принятое для одно родно заполненного прямоугольного волновода.

Рисунок 1.13.

Таким образом можно сказать, что волны ВЩЛ при осуществлении пре дельного перехода трансформируются в Н-волны прямоугольного волновода.

Из рисунка 1.11. видно, что в широком частотном диапазоне существуют комплексные волны (их характеристики даны пунктиром). Они возникают в точ ках объединения характеристик запредельных волн.

Известно [21, 23], что комплексные волны имеют нулевой средний за пери од поток мощности через поперечное сечение направляющей структуры.

* P E, H dS 0.

S Можно утверждать, что чем точнее мы определим из дисперсионного урав нения значения волновых чисел, тем точнее рассчитаем поток мощности, который должен быть равен нулю в случае комплексных волн. Эту принципиальную осо бенность комплексных волн можно использовать в качестве критерия корректно сти математического моделирования направляющих структур, краевые задачи для которых ставятся в незамкнутой форме[23, 81, 82]. В таблице 1.3. приведены зна чения потока мощности волны НЕк(1) ВЩЛ при 2 6, а1=2.3мм, b2=1.мм, a5=a1, a2=0.085a1, a3=0.085a1, b1=0.5b2, a4–a3=0.005a1;

на частоте f=80 ГГц.

Из таблицы 1.3. видно, что суммарный поток мощности через поперечное сечение ВЩЛ в среднем за период с увеличением номера приближения стремится к нулю (P1,2,3,4 – потоки мощности через области I, II, III и IV, P – суммарный по ток мощности через все поперечное сечение электродинамической структуры).

Таблица 1.3.

n~ 1 b Re(P1) Re(P2) Re(P3) Re(P4) Re(P) 0.23494 -i1.71229 2. 1 0.19759 -0.08351 -2.40037 0. 0.18701 -i1.73511 2. 2 0.17051 -0.07052 -2.59730 -0. 0.18697 -i1.73593 2. 3 0.18502 -0.08621 -2.54536 0. 0.16277 -i1.73651 2. 4 0.16934 -0.06993 -2.41811 0. На основании вышеизложенного можно сделать следующий вывод. В направляющих электродинамических структурах, описываемых несамосопряжен ными краевыми задачами, при определенных параметрах, существуют собствен ные комплексные волны, поток мощности которых через поперечное сечение структуры в среднем за период равен нулю. Поэтому, найдя ветвь комплексных решений дисперсионного уравнения, можно рассчитать значение потока мощно сти, переносимой комплексной волной через поперечное сечение электродинами ческой структуры в среднем за период. Стремление к нулю с увеличением номера приближения, в котором решается тем или иным методом задача, потока мощно сти комплексной волны можно считать физическим критерием корректности ис пользуемой математической модели: правильности формулировки краевой зада чи, верности алгоритма поиска корней дисперсионного уравнения, обоснованно сти сходимости полученных результатов к истинным, что особенно важно в тех случаях, когда сходимость используемого метода строго не доказана. Таким обра зом можно сказать, что если поток мощности комплексной волны с увеличением номера приближения стремится к нулю, то в задаче, решаемой в незамкнутой форме, имеет место сходимость к физически верному результату.

1.6 Особенности программы поиска комплексных решений дисперсионных уравнений Для расчета дисперсионных характеристик волн исследуемых электроди намических структур была разработана программа Structures на языке С++, кото рая осуществляет поиск действительных, мнимых и комплексных корней диспер сионного уравнения в заданном частотном диапазоне методами поиска, рассмот ренными ранее.

На рисуноке 1.14 представлена структурная схема проекта Windows Forms, который выполнен в интегрированной среде разработки Microsoft Visual Studio 2010. Проект представляет собой набор файлов, используемых для создания при ложения, динамической библиотеки, setup-файла и т.д.

Каждая часть проекта представляет собой отдельно компилируемые про граммы, которые имеют точки входа в основную программу в исходном файле.

Эти программы расположены в следующих файлах(рисунок 1.14.): файл с описа нием графического интерфейса;

файлы с описанием исследуемой структуры;

файл поиска комплексных корней;

файл вывода результатов на экран;

файлы с допол нительными блоками программы. Рассмотрим функциональное назначение фай лов, входящих в проект.

Исходный файл (рисунок 1.14) содержит стартовую функцию main(), кото рая служит точкой входа в программу, осуществляет запуск стандартного окна операционной системы Windows, передачу данных между отдельными частями программы, а также содержит обработчик событий, который реагирует на посту пающие из отдельных частей программы служебные сигналы(события) такие, как аварийный выход из программы, остановка программы, возникновение исключе ния, и др.

Файл, содержащий описание графического интерфейса программы, осу ществляет ввод необходимых для работы параметров из файлов входных данных и выделяет память для динамических массивов, в которых эти данные хранятся.

Память выделяется динамически в зависимости от количества вводимых парамет ров, число которых может меняться, и определяется геометрическими размерами и электромагнитными параметрами электродинамической структуры.

Созданные массивы данных используются различными частями программы по мере необходимости. Такой подход дает возможность для разных базовых структур использовать один и тоже файл загрузки входных данных, меняя только содержание текстового файла, в котором хранятся сведения о конфигурации и геометрических размерах исследуемой структуры.

Пользовательский интерфейс (рисунок 1.15) предоставляет собой графиче ские компоненты (окна редактирования, кнопки, меню и т.д.), которые позволяют осуществить выход из программы, задать режим работы программы, произвести изменение данных, выполнить расчеты, построить графики, сохранить получен ные результаты в файле и т.д.

Файл с описанием гра фического интерфейса программы Файлы, содержащие описание исследуемых структур Исходный файл проекта Файлы поиска ком плексных корней раз личными методами Файл вывода результа тов на экран в виде гра фиков Дополнительные блоки Рисунок 1.14.

Рисунок 1.15.

Файлы, содержащие описания исследуемых электродинамических структур, представляют собой программы, в которых заложены алгоритмы расчета диспер сионных уравнений, распределения полей, среднего потока мощности через попе речное сечение волн исследуемой направляющей структуры. На вход данного блока программы поступает массив входных данных, на выходе программа выда ет результаты расчета. Исследуемые структуры подключаются с помощью эле мента Choice of a structure (рисунок 1.15).

Файлы поиска комплексных корней содержат алгоритмы, использующие метод Мюллера, метод «Вариации фазы» или «Комбинированный метод» для по иска c заданной точностью решений дисперсионных уравнений заданной элек тродинамической структуры. Выбор метода осуществляется с помощью «Радиок нопок» в разделе «Methods of the search» (рисунок 1.15).

Файл вывода результатов на экран содержит программный код, предназна ченный для вывода результатов расчетов в виде графиков, где по горизонтальной оси откладывается частота, а по вертикальной значения действительной(левый график) и мнимой (правый график) частей комплексного волнового числа (рисунок 1.16).

Рисунок 1.16.

В дополнительных блоках содержаться коды, предназначенные для расчета распределения компонент полей, плотностей потоков мощности волн и т.д. Эти блоки добавляются в основную программу по мере необходимости.

Таким образом, данный проект представляет собой универсальную про грамму, которую можно применять для расчета характеристик волн различных направляющих электродинамических структур. При использовании программы необходимо менять или добавлять к проекту файлы, содержащие программы расчета характеристик той или иной исследуемой структуры, остальные блоки программы изменять не требуется. Это значительно экономит время при переходе от расчетов одной электродинамической структуры к другой. Кроме того, можно присоединять дополнительные блоки для расчета и построения структуры полей, для расчета плотностей потоков мощности волн и т.д. без переделки программы.

На рисунке 1.17 представлена блок схема, поясняющая последовательность и принцип работы программы.

Блок ввода данных Дополнительные блоки Блок управления программой 7 Блок поиска ком Блок обработки плексных решений событий Блок определения корня Блок вывода результатов расчета на экран монитора Блок завершения программы Блок сохранения данных Рисунок 1.17.

Первый блок осуществляет ввод данных, необходимых для работы про граммы, а именно, вводятся следующие параметры:

геометрические размеры исследуемой структуры, электрические и магнитные параметры структуры;

интервал частот, в котором осуществляется поиск корней и количе ство точек на этом интервале;

размеры области на комплексной плоскости продольного волнового числа, в которой осуществляется поиск корней, и точность, с которой эти кор ни находятся;

приближение, в котором осуществляется решение системы однород ных алгебраических уравнений бесконечно высокого порядка.

Полученные данные заносятся в три массива и передаются во второй блок.

Данный блок осуществляет вывод данных в окнах редактирования главного окна программы(рисунок 1.15). Выбирая те или иные пункты меню или используя функциональные кнопки и другие элементы управления, можно завершить про грамму, задать новый режим работы программы, изменить начальные данные, выбрать исследуемую структуру и т.д.

Далее данные поступают в третий блок, который совместно с четвертым осуществляет поиск решений дисперсионного уравнения, и проверку истинности найденных решений. После окончания расчетов, выдается сообщение о заверше нии с помощью окна сообщений и звукового сигнала. Далее найденные результа ты расчетов могут быть выведены на экран монитора в виде графика(блок 5, ри сунок 1.16.).

При выводе на экране монитора нескольких графиков, например, рассчи танных в разных приближениях, они выводятся различным цветом для их нагляд ного сравнения. Если полученные результаты необходимо сохранить управление передается в блок 6. Результаты расчетов могут быть сохранены в формате раст ровых изображений (с расширением bmp) или в текстовом формате. Результаты, сохраненные в текстовых файлах можно использовать для построения графиков с помощью программы Microsoft Excel или OpenOffice Calc.

При выходе из программы блок завершения программы(блок 8) осуществ ляет закрытие всех открытых окон и файлов, а также очищает память от динами чески созданных массивов и компонентов.

Разработанная программа была использована для расчета рассматриваемых в диссертации электродинамических структур и может служить основой для со здания универсальной программы, способной производить расчеты характеристик различных базовых электродинамических структур.

Результаты исследований, представленные в данной главе, опубликованы в [68, 69, 70, 76, 78, 79, 88].

1.7 Выводы 1. Показана связь между типом краевой задачи и видами получаемых решений.

2. Приведена постановка присоединенной краевой задачи.

3. Сделаны выводы о кратности собственных значений краевой задачи на урав нении Гельмгольца.

4. Определен тип электродинамических операторов краевых задач для экрани рованных и открытых неоднородных в поперечном сечении направляющих структур.

5. Сделаны выводы о возможности существования в экранированных и откры тых направляющих структурах, описываемых несамосопряженными опера торами комплексных и присоединенных волн.

6. Рассмотрены недостатки и преимущества методов поиска комплексных кор ней и предложен комбинированный метод поиска комплексных корней ли шенный этих недостатков.

7. Приведены критерии оценки корректности решений краевых задач, постав ленных в незамкнутой форме, для структур, описываемых несамосопряжен ными операторами.

8. Предложен критерий оценки корректности комплексных решений дисперси онного уравнения по нулевому потоку мощности комплексной волны.

9. Разработана программа расчета характеристик волн направляющих электро динамических структур Глава РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НАПРАВЛЯЮЩИХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СТРУКТУР БЕЗ ПОТЕРЬ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЧО 2.1 Введение Вторая глава диссертации посвящена рассмотрению вопросов, связанных с расчетом и исследованием спектра собственных волн экранированных направляющих структур без потерь, включая комплексные волны (КВ), которые, как было показано в первой главе, могут существовать в таких структурах.

Исследования, проводимые ранее, показали, что наряду с распространяющимися и реактивно затухающими волнами[84], в структурах описываемых несамосопряженными операторами существуют при определенных параметрах направляющей структуры КВ [23], что аналитическими методами было показано в работах [85-87].

В настоящей главе с использованием комбинированного метода поиска получены комплексные решения дисперсионного уравнения, соответствующие КВ. Рассмотрена трансформация спектра КВ. Представлены результаты расчета дисперсионных характеристик волн экранированных направляющих структур (ВЩЛ, экранированной МПЛ, двухслойного экранированного волновода) и открытого диэлектрического волновода, полученные с использованием строгого электродинамического подхода (применялся метод частичных областей(МЧО) при учете конечной толщины металлического полоска). Исследована трансформация полного спектра волн(включая КВ) при изменении параметров электродинамических структур без потерь в широком диапазоне частот.

При решении электродинамических задач проекционными методами принципиальную роль в оценке физичности полученных результатов играет исследование сходимости алгоритма. Существуют такие стандартные методы проверки сходимости: по волновым числам;

по выполнению условий на границах частичных областей(при использовании МЧО);

по осуществлению предельного перехода к хорошо изученным структурам.

В главе предлагается новый подход к оценке сходимости алгоритма: по стремлению к нулю потока мощности собственных КВ в среднем за период через поперечное сечение недиссипативной направляющей структуры, что является их основным признаком [23, 82].

При решении задач дифракции полезно знать картины силовых линий электромагнитных полей волн в рассматриваемых структурах. Расчет силовых линий электромагнитного поля волн сводится к решению дифференциального уравнения первого порядка. Окончательную запись данного решения не всегда удается выразить в аналитической форме, поэтому обычно используются численные методы решения с применением ЭВМ, в частности, метод Рунге – Кутты[72]. Использование этого метода приводит к значительной загрузке ЭВМ, особенно при расчете полей в задачах, решаемых в незамкнутой форме. В данной главе предлагается графический метод построения электромагнитных полей, иллюстрируемый на примере полей волн МПЛ, требующий значительно меньших затрат машинного времени по сравнению с методом Рунге-Кутты.

2.2 Экранированная микрополосковая линия 2.2.1 Постановка и решение краевой задачи Для проектирования и создания функциональных узлов СВЧ и КВЧ диапазона большое значение имеет четкое представление о физических процессах, происходящих в различных направляющих структурах, на основе которых выполняются эти узлы. Чтобы обеспечить полноту спектра решений дисперсионного уравнения, необходимо правильно учитывать электромагнитные характеристики и геометрию электродинамической структуры, в частности конечную толщину микрополоска в экранированной микрополосковой линии(ЭМПЛ, рисунок 2.1).

ЭМПЛ является одним из базовых элементов, используемых при создании функциональных узлов СВЧ и КВЧ диапазонов, она получила широкое распространенние в интегральных технологиях планарного и объемного типов[9, 46, 90-93].

Рисунок 2.1.

Расчет характеристик ЭМПЛ проводился ранее как в квазистатическом приближении для длинноволновой части СВЧ диапазона [94], так и с использованием различных строгих электродинамических подходов [9, 15, 95, 96] в широком частотном диапазоне. Несмотря на то, что были получены исчерпывающие сведения об обычных волнах, оставался открытым вопрос о спектре КВ, которые должны существовать в ЭМПЛ, как и во всех неоднородно заполненных структурах, описываемых несамосопряженными операторами [23–25, 85, 97].

Успешное решение дифракционных задач, связанных с расчетом СВЧ узлов, возможно лишь при наличии полной информации о спектре волн базовых структур, на основе отрезков которых они построены. Поэтому исследование спектра комплексных волн – один из принципиальных вопросов, рассматриваемых в настоящей главе диссертации.

Рассмотрим ЭМПЛ, поперечное сечение которой показано на рисунке 2.1.

Для постановки дисперсионной задачи используем МЧО[9, 23]. Система решений краевых задач на однородном уравнении Гельмгольца относительно продольных компонент электрического и магнитного векторов Герца в выделяемых частичных областях выглядит следующим образом:

П z1 A1m cos 2m 1 x sin( 1m y )e iz e 2a m 0, (2.1) 2m 1 x cos( y )e iz П z1 B sin m 1m 1m 2a m e n x a1 e iz A2 n cos 2 n y A2 n sin 2 n y sin z (2.2) d, n m B sin 2 n y B cos 2 n y cos n x a1 e iz z 2 n 0 2n 2n d 2k 1 x sin( y )e iz e z 3 A cos 3k 2a k 0 3k 2k 1 x cos( y )e iz, (2.3) z 3 B sin m 3k 2a k 0 3k где d=a–a1;

y/=b-y.

На границе 1 и 2 областей записываем условия непрерывности для тангенциальных компонент:

0, x 0, a1 ;

E z E z 2, x a1, a ;

0, x 0, a1 ;

E x E x 2, x a1, a ;

(2.4) H z1 H z 2, x a1, a ;

H x1 H x 2, x a1, a, между 2 и 3 областями:

0, x 0, a1 ;

Ez E z 2, x a1, a ;

0, x 0, a1 ;

Ex E x 2, x a1, a ;

(2.5) H z 3 H z 2, x a1, a ;

H x 3 H x 2, x a1, a.

Выражаем компоненты электрического и магнитного полей через векторы Герца и подставляем их в граничные условия (2.4), (2.5). Получаем систему функциональных уравнений, содержащую неизвестные амплитудные коэффициенты разложения полей. Использование условий ортогональности собственных функций краевых задач для выделенных частичных областей приводит к однородной системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) бесконечно высокого порядка относительно неизвестных коэффициентов разложений полей в областях 1,2,3.

Понижаем порядок однородной СЛАУ, выразив амплитудные коэффициенты A1m, B1m, A3k, B3k, разложений полей в областях 1 и 3, через амплитудные коэффициенты A1m, B1m, A2 n, A2 n, B2 n, B 2 n – области 2.

Задачу решаем методом редукции в различных приближениях. Номер приближения определяется количеством n собственных функций краевой задачи для области 2. Предельные значения индексов суммирования m и k, определяющие число учитываемых собственных функций в областях 1 и 3, брали исходя из критерия сходимости сумм в представлениях полей при каждом n автоматически. Применялся критерий сходимости: последующий член суммы должен отличаться от предыдущего не более, чем на 0,01%.

К дисперсионному уравнению приводит запись условия нетривиальности решений полученной однородной СЛАУ. Решается оно совместно с уравнениями, связывающими волновые числа в частичных областях:

2m 2 2 11 1m ;

2a n 2 2 2 n 2 ;

(2.6) d 2k 33 3k, 2 2 2a где – продольное волновое число (фазовая постоянная), выражения в квадратных скобках и 1,2,3 – поперечные волновые числа.

Поскольку краевая задача для данной структуры относится к классу несамосопряженных из-за невыполнения равенства числа граничных условий для прямой и сопряженной краевых задач, то собственные значения краевой задачи являются в общем случае комплексными [23], что приводит к комплексности продольного волнового числа =1+i2. Следовательно, наряду с распространяющимися и реактивно затухающими волнами в ЭМПЛ существуют комплексные волны [24, 97].

В таблице 2.1 приведены результаты сходимости решений краевой задачи по продольному волновому числу. Для распространяющихся волн указаны ~ 1 k 0, для реактивно значения коэффициента(постоянной) замедления затухающей – значения нормированного затухания 2 b 1.

Данные таблицы 2.1 соответствуют следующим значениям параметров ЭМПЛ: ~1 = 9.6;

а1=0.3а;

толщина полоска 0.01b. Расчеты b1= 0.4b;

производились при k0b1 = 1.3, n – число членов ряда во второй области.

Таблица 2. HE(1) HE(2) HE(3) HE(4) HE(6) квази-Т n 1 2,9993 2,4169 2,1449 1,8675 0,7380 -i1, 2 2,9893 2,4161 2,1511 1,8689 0,7428 -i1, 3 2,9868 2,4157 2,1536 1,8684 0,7436 -i1, 4 2,9850 2,4154 2,1550 1,8678 0,7439 -i1, 5 2,9859 2,4153 2,1559 1,8674 0,7440 -i1, Из таблицы 2.1 видна равномерная сходимость решений задачи по продольному волновому числу и, начиная с номера приближения n=4, для всех представленных волн его значение получается с точностью до третьего знака после запятой.

Проводилось сравнение полученных результатов с результатами, приведенными в [52], отличия составляют менее 0.1%, и с результатами, приведенными в [58, 83], отличия составляют менее 0.01%.

На рисунках 2.2 – 2.8 приведены характеристики дисперсии и затухания волны квази-Т и первых шести волн высших типов, которые классифицировались как НЕ(1),... НЕ(6) по порядку следования критических частот.

Такая классификация введена в силу того, что спектр волн ЭМПЛ принципиально отличается от спектра волн двухслойного прямоугольного волновода [98], поэтому терминология «квази-LE» и «квази-LМ»[9] не использовалась, а учитывалось только то, что волны в ЭМПЛ гибридные. КВ обозначены как HEк(n) [24].

Характеристики, приведенные на рисунке 2.2, получены для следующих параметров структуры: ~1 = 9.6;

а1=0.3а;

b1= 0.4b;

толщина полоска – 0.01b.

Из рисунка 2.2 видно, что значительную часть частотного диапазона занимает комплексная волна (обозначенная HEк(1)), которая образуется в точке, где происходит соединение в запредельной области характеристик волн HE(3) и HE(4). Волны HE(5) и HE(6) также образуют КВ (HEк(2)), но область частот в которой она существует, значительно уже по сравнению с предыдущей парой волн. КВ являются быстрыми: для них 1/ k0 1. В таблице 2.2 приведены результаты сходимости решений задачи по продольному волновому числу для КВ HEк(1), характеристика которой начинается в точке слияния характеристик волн HE(3) и HE(4) (рисунок 2.2), для k0b1 = 0.8.

Рисунок 2.2.

Таблица 2. 1/ k0 b n 1 0.153584 -1. 2 0.135645 -1. 3 0.103945 -1. 4 0.090455 -1. 5 0.090290 -1. Далее приводятся результаты, полученные при изменении одного из параметров ЭМПЛ (ширины полоска, толщина подложки, поверхностная проводимость резистивной пленки и т.д.). При этом остальные параметры остаются теми же, при которых рассчитаны дисперсионные кривые, приведенные на рисунке 2.2.

Рисунок 2.3.

Уменьшении ширины полоска приводит к уменьшению диапазона существования комплексной волны HEк(1) (а1= 0.2а, рисунок 2.3). При дальнейшем уменьшении ширины полоска (а1=0.1а;

рисунок 2.4) характеристика волны HE(3) в запредельной области «удаляется» от характеристики волны HE(4) и, сближаясь с характеристикой волны HE(2) в точку соединения, дает начало HEк(1), характеристике комплексной волны показанной пунктиром (рисунок 2.4).

Рисунок 2.4.

Рисунок 2.5.

КВ HEк(1), При увеличении ширины полоска, диапазон существования показанной на рисунке 2.2, сужается (а1 = 0.4а, рисунок 2.5) и при определенных его значениях (а1 = 0.7а, рисунок 2.6) исчезает совсем. Другой характер при увеличении ширины полоска носит трансформация характеристик волн НЕ(5), НЕ(6) в запредельной области. При увеличении ширины полоска (а1=0.4а) происходит образование комплексной волны HEк(3), при этом КВ HEк(2) не волн НЕ(5), НЕ(6) исчезает, и образуется участок, на котором характеристики замкнуты с обоих концов и образуют петлю (рисунок 2.5.) Такое же явление наблюдается в круглом двухслойном волноводе и в ВЩЛ, как будет показано в параграфе 2.2. При дальнейшем увеличении ширины полоска диапазоны существования комплексных волн HEк(1), HEк(2), HEк(3) сужаются и исчезают совсем (а1 =0.7а, рисунок 2.6).

Рисунок 2.6.

Рисунок 2.7.

Уменьшение толщины подложки (b1=0,25b) ведет к тому, что критические частоты волн НЕ(2), НЕ(3), НЕ(4) значительно расходятся и смещаются в область более низких частот. Наблюдается эффект объединения через ветви комплексных волн волны НЕ(3) с волной НЕ(4) и НЕ(6) с волной НЕ(7) в местах соединения характеристик в области затухающих волн образуются КВ HEк(1) HEк(2) и (b1=0,25b, рисунок 2.7). При дальнейшем уменьшении толщины подложки происходит сближение в запредельной области характеристик волн НЕ(5) и НЕ(4), и при b1=0,16b образуется волна HEк(3) в точке соединения характеристик волн НЕ(5) и НЕ(4), при этом КВ HEк(1), образованная характеристиками волн НЕ(3) и НЕ(4), не исчезает (b1=0.16b, рисунок 2.8).

Рисунок 2.8.

Рисунок 2.9.

Характеристики волн НЕ(6) и НЕ(7) ведут себя при уменьшении толщины подложки следующим образом: в запредельной области происходит сближение в КВ HEк(4), далее при характеристик и переход в точке их соединения понижении частоты характеристика КВ разветвляется на две затухающие, которые, в свою очередь, на более низкой частоте замыкаются и переходят в КВ HEк(2), образуя петлю(рисунок 2.8). Дальнейшее уменьшение толщины подложки приводит к тому, что диапазоны существования КВ HEк(1), HEк(2), HEк(3), HEк(4) уменьшаются и при b1=0.08b (рисунок 2.9) эти комплексные волны исчезают.

Увеличение диэлектрической проницаемости приводит к тому, что все волны высших типов, за исключением НЕ(1), на определенных частотах переходят в КВ ( ~1 45, рисунок 2.10). Это соответствует общей тенденции усложнения спектра волн с ростом ~ слоев неоднородно заполненных электродинамических структур, описываемых несамосопряженными операторами. Критические частоты волн НЕ(1),... НЕ(6) смещаются в область более низких частот и сближаются друг с другом.

Рисунок 2.10.

Рисунок 2.11.

Уменьшение диэлектрической проницаемости подложки приводит к HEк(1) исчезновению комплексной волны и уменьшению диапазона существования комплексной волны HEк(2) ( ~1 7, рисунок 2.11). Из этого можно сделать вывод, что диэлектрическая проницаемость подложки оказывает существенное влияние на существование КВ в ЭМПЛ.

Приведенные результаты показывают, что только для волн квази-Т и НЕ(1) имеет место непрерывный ход частотных зависимостей продольного волнового числа во всем диапазоне от k0=0 до k0.

Для других волн переход от режима реактивного затухания к режиму распространения происходит во многих случаях через диапазон КВ. При этом не удается найти соответствие реактивно затухающих и распространяющихся волн, которое бы сохранялось при любом изменении параметров ЭМПЛ. Это говорит о принципиальном отличии спектра волн ЭМПЛ от спектра волн экранированного прямоугольного волновода с плоскопараллельными диэлектрическими слоями.

2.2.2 Критерии корректности алгоритма расчета дисперсионных характеристик ЭМПЛ Выполнение внутренней сходимости можно рассматривать как необходимое, но не достаточное условие корректности составленного алгоритма, так как хорошая сходимость по таблица 2.1), еще не гарантирует такой же сходимости по амплитудным коэффициентам в записи векторов Герца (2.1)-(2.3).

Кроме того, хорошая сходимость по интегральным характеристикам еще не гарантирует физической достоверности получаемого результата.

Другой проверкой корректности алгоритма, составленного с использованием метода частичных областей, является контроль точности "сшивания" тангенциальных компонент поля на границах частичных областей.

Выражения для компонент поля содержат бесконечные суммы, поэтому для получения значения компоненты поля с определенной точностью необходимо, чтобы бесконечные ряды в выражениях (2.1) – (2.3) сходились, а следовательно, значения амплитудных коэффициентов Am, Bm (в соответствующих областях) должны стремится к нулю при m.

В таблице 2.3, для примера приведены результаты расчета амплитудных коэффициентов A1m для 1-ой области. Таблица содержит значения 0-го, 10-го, 20-го … 60-го амплитудного коэффициентов при общем числе членов суммы Поскольку СЛАУ решается относительно неизвестных m=60.

амплитудных коэффициентов векторов Герца 2-й области, результаты расчетов амплитудных коэффициентов приведены для различных приближений по n.

Из таблицы 2.3 видно, что с ростом m при каждом фиксированном n значения амплитудных коэффициентов уменьшаются и условие сходимости амплитудных коэффициентов lim A1m 0 выполняется.

m Таблица 2. m n 0 10 20 30 40 50 1 i1.63e-01 i2.21e-11 -i8.15e-20 i4.05e-28 -i1.31e-36 -i1.34e-44 i4.18e- 2 i1.86e-01 i3.54e-11 -i1.28e-19 i6.39e-28 -i2.06e-36 -i2.11e-44 i6.59e- 3 i1.94e-01 i4.72e-11 -i1.67e-19 i8.29e-28 -i2.66e-36 -i2.73e-44 i8.52e- 4 i1.99e-01 i5.12e-11 -i2.03e-19 i9.32e-28 -i3.20e-36 -i3.28e-44 i1.02- Аналогичные результаты имеют место для амплитудных коэффициентов B1m, A3k, B3k.

Поведение амплитудных коэффициентов во 2-й области A2n, A2 n, B2n, B2 n, по сравнению с амплитудными коэффициентами 1-й и 3-й областей, как видно из таблицы 2.4, имеет другой характер. Дело в том, что n, являясь чисто мнимым, растет по модулю с увеличением n. При этом в записи (2.2) векторов Герца в области 2: cosny=ch|n|y, sinny=ish|n|y. Если |n|y1, то 1 ch 2 n y e, sh 2 n y y y e.

2n 2n 2 Таблица 2. A 2n B2n n A2n B2n – – 0 -i5.225449e-03 -5.100636e- 1 1.0 i0.9997839 -i8.991484e-03 -8.972346e- 2 3.218260 i3.218245 -i3.106251e-02 -3.106175e- 3 19.14498 i19.14498 -i1.851672e-01 -1.851671e- 4 146.8804 i146.8804 -i1.382205 -1. В результате для обеспечения сходимости представлений полей с увеличением n должны стремиться к нулю выражения ( A2 n i A2 n ), ( iB2 n B 2 n ), что обеспечивает сходимость сумм в записи векторов Герца, а, следовательно, и представлений компонент поля. При этом, несмотря на то, что каждый из амплитудных коэффициентов с увеличением n растет по абсолютной величине (таблица 2.4), в целом в области 2 решение сходится, т.к. значения амплитудных коэффициентов A2n и A2 n, и B2 n, по модулю равны между собой, а B2n ( A2 n i A2 n ) 0 и (iB2 n B 2 n ) 0.

На рисунках 2.12, 2.13 приведены результаты проверки выполнения граничных условий, соответственно, для составляющих Ez1,2 и Ex1,2 на границе у = b областей 1 и 2 ( ~ = 9.6;

а =0.3а;

b = 0.4b;

k b = 0.5). По вертикальной оси 1 1 1 на рисунках отложено относительное расхождение компонент поля по разные стороны от границы. Сплошная кривая построена в приближении n=2, а пунктирная – при n=4. Из рисунков 2.12, 2.13 видно, что максимальная погрешность “сшивания” не превышает 0,15 % для Ez1,2 и 0,5 % для Eх1,2.

Вблизи полоска для Eх1,2 "сшивание" несколько хуже. Это можно объяснить по аналогии с известным явлением Гиббса. Дело в том, что при х [ 0;

а1 ] Eх 0 с увеличением числа m собственных функций области I, а Eх2 в точке х = а заведомо не равно нулю (это следует из аналитической записи данной компоненты поля). С увеличением номера приближения погрешность «сшивания»

уменьшается.

Таким образом, можно сделать вывод, что в данной постановке задача дает равномерную сходимость как по постоянным распространения волны, так и по амплитудным коэффициентам векторов Герца. В итоге наблюдается хорошее выполнение граничных условий.

Рисунок 2.12.

х Рисунок 2.13.

Наличие комплексных решений дисперсионной задачи, дает дополнительную возможность проверки корректности полученных результатов.

Предлагается следующий дополнительный критерий оценки адекватности используемой математической модели физическому процессу.

Как было показано в главе 1 одним из признаков КВ является то, что ее суммарный поток мощности через поперечное сечение рассматриваемой структуры в среднем за период равен нулю[23]:

* P E, H dS 0. (2.7) S Полный поток мощности складывается из потоков мощности в областях 1, 2, 3 в отдельности.

* * * * E, H dS E, H dS E, H dS E, H dS.

S S1 S2 S Продольный поток мощности в каждой из областей записывается как:

dS E X H Y* EY H X dSi P i 1,2,3.

* (2.8) Zi i i i i Si Si Подставляя компоненты поля в (2.8), получаем следующие выражения для PZ, PZ, PZ – продольных потоков мощности, соответственно, в 1-ой, 2-ой, 3-ей 1 2 областях поперечного сечения:

ab PZ 1 Q1mV5m Q5mV1m sin 21mb1 Q5mV1m Q1mV5m ;

2 2 41m d b2 1 b1 2 4 sin 22 n b2 2 4 sin 22 n b1 Q2 nV6 n Q7 nV3n PZ 2 2n 2n b 1 b1 2 4 sin 22 n b2 2 4 sin 22 n b1 Q6 nV2 n Q3nV7 n 2 (2.9) 2n 2n sin 2 2 nb2 sin 2 2 nb1 Q3nV6n Q2 nV7 n Q7 nV2 n Q6nV3n ;

22 n a b b2 2 Q4 kV8k Q8 kV4 k 4 sin 2 3k (b b2 ) Q8 kV4 k Q4 kV8k.

PZ 2 3k В (2.9) использованы обозначения:

2m 1 A Q1m 11m B1m ;

1m 2a 2m 1 B V1m 11m A1m ;

1m 2a (2m 1) Q5m 1mA1m 1 B1m ;

2a V5m 1 A1m 1m B1m ;

n Q2 n A2 n 2 2 n B2 n ;

d n Q3 n A2 n 2 2 n B2 n ;

d n V2 n 2 2 n A2 n B2 n ;

d n V3n 2 2 n A2 n B2 n ;

d n Q6 n 2 n A2 n 2 B2 n ;

d n Q7 n 2 n A2 n 2 B2 n ;

d n V6 n 2 A2 n 2 n B2 n ;

d n V7 n 2 A2 n 2 n B2 n ;

d 2k 1 A Q4 k 33k B3k ;

3k 2a 2k 1 B V4 k 33k A3k ;

3k 2a (2k 1) Q8 k 3k A3k 3 B3k ;

2a V8k 3 A3k 3k B3k, где d=a–a1.

В таблице 2.5 приведены значения продольного волнового числа =1+i ~ для комплексной волны ( 1 1 и 2 b1 ), величина действительной части потока k мощности для каждой из областей и суммарное значение потока мощности через поперечное сечение ЭМПЛ при следующих параметрах: 1= 9.6;

а1=0.3а;

b1= 0. b;

при k0b1 = 0.8.

Таблица 2. ~ b n Re(P1) Re(P2) Re(P3) Re(P) 1 0.153584 -1.552001 2.715404 -0.131402 -0.728360 1. 2 0.135645 -1.521897 1.919057 -0.187984 -1.754911 -0. 3 0.103945 -1.490750 1.583096 -0.143279 -1.412465 0. 4 0.090455 -1.47994 1.380878 -0.127193 -1.249630 0. Из таблицы 2.5 видно, что поток мощности в первой области – положительный, а потоки мощности во второй и третей областях – отрицательные. Это объясняется распределенным разворотом мощности комплексной волны [23, 25]. Суммарный поток мощности через поперечное сечение ЭМПЛ с увеличением номера приближения стремится к нулю, что является подтверждением корректности полученных комплексных решений.

Таким образом, для электродинамических структур, в которых могут существовать КВ, предлагается использовать дополнительный критерий оценки корректности постановки задачи: по равенству нулю потока мощности, переносимого КВ в среднем за период.

2.2.3 Графический метод построения структуры электромагнитного поля на основе алгоритма Эйлера При исследовании характеристик направляющих и колебательных электродинамических систем полезно знать структуры электромагнитных полей их собственных волн(колебаний). Для построения силовых линий электрического и магнитного полей волн(колебаний) используются уравнения вида:

dx dy для электрических полей, EX EY dx dy для магнитных полей, HX HY где Еx,y и Hx,y – тангенциальные к плоскости поперечного сечения компоненты электрического и магнитного полей.

Расчет силовых линий электромагнитного поля сводится, таким образом, к решению дифференциальных уравнений первого порядка. Окончательную запись данного решения не всегда удается выразить в аналитической форме, поэтому используются численные методы, в частности метод Рунге – Кутты[72]. В данном параграфе рассмотрен графический метод построения полей на основе алгоритма Эйлера[72]. Метод Эйлера является частным случаем метода Рунге – Кутты.

Метод Эйлера и метод Рунге – Кутты относятся к одношаговым методам расчета.

Многошаговые методы расчета, такие как метод Адамса[72], неудобны тем, что невозможно начать расчеты по одному известному начальному значению функции.

Метод Эйлера является методом первого порядка точности решения обыкновенных дифференциальных уравнений, а метод Рунге – Кутты и его модификации могут иметь более высокий порядок точности: второй, третий и так далее. Наиболее часто используется метод Рунге – Кутты четвертого порядка.

Использование этого метода приводит к значительной загрузке ЭВМ, особенно при расчете полей в задачах, решаемых в незамкнутой форме (например, с бесконечными суммами в представлении векторов Герца (2.1) – (2.3) для ЭМПЛ).

В большинстве случаев для построения картины электромагнитного поля не требуется большой точности и достаточно бывает применения метода Эйлера с некоторыми изменениями, что значительно повышает быстродействие при построении картины поля.

Предлагаемый в данной главе графический метод основан на замене всех производных их конечноразностными аналогами, то есть на переходе [99, 100] от dx E X dx H X выражений и к выражениям:

dy H Y dy E Y E X x 2 x1 x k1 для силовых линий электрического поля;

(2.10) E Y y 2 y1 y H X x x1 x k 2 для силовых линий магнитного поля. (2.11) H Y y y1 y Решая дисперсионное уравнение, получаем значение продольного волнового числа Используя его, находим в определенной точке (x, y) значениякомпонент поля Ex, Ey, Hx, Hy, и, подставляя их в выражения (2.10), (2.11), получаем значения коэффициентов k1 и k2. Приняв x=x*=1, находим значения x и y x.

y k1 k Координаты следующей точки, в которой производится расчет компонент поля, определяются выражениями:

x x x ;

y y y - для Е–поля, i 1 i i i x*i x*i 1 x*;

y*i y*i 1 y* - для Н–поля.

Силовая линия проводится между точками с координатами (x i;

yi) и (xi–1;

yi–1) для электрического поля или x * ;

y * и x ;

y * 1 для магнитного поля * i i i i соответственно (рисунок 2.14).

Отличие данного метода от метода Эйлера заключается в том, что нам априорно известны величины и направления электрических и магнитных составляющих полей, что позволяет при построении линий на экране выбирать шаг смещения по координатам в зависимости от соотношения компонент поля, что является важным фактором, для ускорения построения картины полей. Кроме того, знание величины компонент поля позволяет избежать неопределенности при нахождении коэффициентов k1 и k2 при равенстве нулю одной из составляющих.

В этом случае, если, например, Ex=0, Ey0, то принимается x=0, y =1, т.е.

силовая линия идет горизонтально. y и x, равные 1, взяты для определенности:

в ходе построения силовой линии они могут быть любыми, исходя из её(линии) кривизны.

xi= xi-1 + x y yi= yi-1 + y xi- x yi- Рисунок 2.14.

На основе данного метода была составлена программа на языке С++, которую можно использовать для построения картин электромагнитных полей в различных электродинамических структурах. Данная программа построения картины полей входит в виде дополнительного блока в основную программу расчета экранированной микрополосковой линии.

Силовые линии магнитного и электрического поля строятся отдельно друг от друга, а именно, перемещая указатель мыши по экрану (на экране находится изображение поперечного сечения исследуемой электродинамической структуры), определяется, с какого места необходимо строить электрическую или магнитную силовую линию.

После этого нажатием правой клавиши мыши начинается построение магнитной силовой линии, а нажатием левой клавиши мыши осуществляется построение электрической силовой линии. Силовая линия строится сначала в одну сторону (сплошная линия рисунок 2.14 ), а затем при достижении ею экрана направляющей структуры или границы специально заданной области (например, области, где находится микрополосок) силовая линия строится в другую сторону(пунктирная линия рисунок 2.14). Значение x выбирается автоматически в зависимости от кривизны силовой линии. Минимальное значение, которое принимает x, в ходе выполнения программы, задается в начальных данных, в зависимости от того, с какой точностью мы хотим построить картину электромагнитного поля. Направление силовых линий на экране компьютера отображается их цветом.

Для проверки работоспособности подпрограммы построения полей с использованием метода Эйлера на рисунке приведена картина 2. электромагнитного поля волны Н11 прямоугольного волновода, построенная с применением данного метода.

На рисунках 2.16, 2.17, 2.18 приведены картины электромагнитных полей квази-Т волны ЭМПЛ при следующих параметрах 1= 9.6;

а1=0.3а;

b1= 0.4b;

толщина полоска 0.02 мм (при k0b1=0.05, k0b1=0.2, k0b1=0.5, соответственно). Из рисунков видно, что с увеличением частоты происходит втягивание поля в подложку и концентрация его в подполосочной области, а при k0b1=0.5 возникает продольная составляющая электрического поля (точка А, рисунок 2.18).

Рисунок 2. Рисунок 2. Рисунок 2. Рисунок 2. 2.2.4 Согласующая нагрузка для прямоугольного волновода Прямоугольные волноводы являются одной из основных базовых структур для функциональных узлов СВЧ и КВЧ диапазонов[11-13, 15, 101]. На их основе выполняются такие устройства, как направленные ответвители, смесители, умножители частоты, аттенюаторы и т.д. Одним из важнейших вопросов, которые приходится решать при построении на основе прямоугольных волноводов различных функциональных узлов указанных диапазонов, является вопрос их согласования на конечных участках тракта. Широко распространенным видом согласующих нагрузок являются экранированные полосковые линии (рисунок 2.19, а), нагруженные диссипативными вставками. В настоящем параграфе рассматривается согласующая нагрузка, образуемая стыком прямоугольного волновода с прямоугольной коаксиальной линией (рисунок 2.19, б) в которую вырождается экранированная полосковая линия при симметричном расположении внутреннего проводника и при однородном диэлектрическом заполнении.

а) б) Рисунок 2.19.

В качестве согласованной нагрузки для прямоугольного волновода предлагается использовать прямоугольный коаксиал (рисунок б), 2.19, нагруженный на диссипативную вставку[102].

Чтобы оценить согласованность прямоугольного волновода с прямоугольным коаксиалом, необходимо рассчитать коэффициент стоячей волны (КСВ) стыка этих электродинамических структур в рабочем диапазоне основной волны прямоугольного волновода H10.

Для расчета КСВ стыка в одноволновом приближении необходимо знать волновые сопротивления прямоугольного волновода на волне и H прямоугольного коаксиала на основной волне.

Волновое сопротивление прямоугольного волновода на волне H рассчитывается[102] по формуле:

Z0 (2.12) 0 2a Для нахождения волнового сопротивления прямоугольного коаксиала, используется алгоритм расчета характеристик дисперсии и затухания экранированной микрополосковой линии рассмотренный ранее в параграфе 2.2. настоящей главы. Для моделирования прямоугольного коаксиала – полосок помещается в центре, а относительная диэлектрическая проницаемость подложки приравнивается к единице.

Полученные из дисперсионного уравнения волновые числа, входящие в соотношения (2.6), используются для нахождения амплитудных коэффициентов, зная которые находим электрические и магнитные компоненты поля. Найденные компоненты поля используются для расчета напряжения и продольного потока мощности через поперечное сечение прямоугольного коаксиала. Формулы для расчета мощности приведены в параграфе 2.2.2 настоящей главы.

Напряжение рассчитывается интегрированием напряженности электрического поля по координате у (рисунок 2.19) при х=0:

b U E y dy. (2.13) Полученные значения напряжения и мощности подставляем в формулу для расчета волнового сопротивления прямоугольного коаксиала U Z. (2.14) 2P Корректность предложенного алгоритма расчета волнового сопротивления прямоугольного коаксиала была проверена с помощью «предельного» перехода от экранированной микрополосковой линии к прямоугольному волноводу. Этот переход осуществлен уменьшением высоты и ширины полоска, когда относительная диэлектрическая проницаемость всех слоев устремляется к единице.

Полученные результаты (рисунок 2.20) показали, что волновое сопротивление ЭМПЛ(черные треугольники), рассчитанное по формуле (2.14), совпадает с волновым сопротивлением прямоугольного волновода (прямоугольники), рассчитанные по формуле (2.12), с точностью 0,5% (размер экрана 5.2 2.6 мм, =1).

Рисунок 2.20.

На рисунке приведены результаты теоретического расчета 2. КСВ(кружочки) и экспериментальные данные(квадратики) для стыка прямоугольного волновода, размером 5.2 2.6 мм, с прямоугольным коаксиалом с размерами центральной жилы 2.3 0.48 мм. Из рисунка 2.21 видно, что различие между теоритическими и экспериментальными данными в частотном диапазоне 35 - 55 ГГц составляет от 1.25% до 8.2%.

Рисунок 2.21.

На рисунке приведены экспериментальные (треугольники) и 2. теоретические (квадраты) характеристики для размеров экрана 115.5 мм и размеров центральной жилы прямоугольного коаксиала 80.95 мм (нижние графики) и для размеров центральной жилы 81.5 мм (верхние графики). Расчеты, выполненные при измененных параметрах электродинамических структур показали, что различие между экспериментальными и теоретическими характеристиками составляет не более 4%.

Рисунок 2.22.

Из анализа результатов исследования, проведенного в одноволновом приближении, можно заключить, что при соответствующем выборе геометрических параметров прямоугольного коаксиала следует ожидать его достаточно хорошего согласования с прямоугольным волноводом. При совпадении волновых сопротивлений двух указанных направляющих структур получается малый коэффициент отражения от их стыка, что обеспечивает, при хорошем согласовании прямоугольного коаксиала с оконечной поглощающей нагрузкой, КСВ, близкий к единице.

2.3 Волноводно-щелевая линия 2.3.1 Постановка и решение краевой задачи Большое распространение в последнее время получили волноводные структуры, обладающие селективными свойствами и представляющие собой цепочки связанных отрезков регулярных волноведущих структур с различными параметрами [103-106], в частности, фильтры на основе нерегулярных волноводно-щелевых линий(ВЩЛ) [81, 107-110].

Для расчета характеристик данных устройств необходима предварительная информация о спектре собственных волн регулярной ВЩЛ при различных параметрах структуры.

Поперечное и продольное сечения ВЩЛ изображены на рисунке 2.23.

Диэлектрическая подложка расположена параллельно узкой стенке прямоугольного волновода(в Е-плоскости). Ширина щели равна 2b1.

а) б) Рисунок 2.23.

Краевая задача для рассматриваемой структуры решается методом частичных областей. Для выделенных областей (рисунок 2.23 а) решения краевых задач Дирихле и Неймана на уравнении Гельмгольца относительно продольных составляющих электрического e и магнитного m векторов Герца z1 z записываются в виде:

m П z1 A1m sin( 1m ( x a1 )) sin 2b ( y b2 )e iz e ;

m 1 (2.15) m П m iz A1m cos(1m ( x a1 )) cos 2b2 ( y b2 )e ;

z m e n A2 n sin 2 n x B2 n cos 2 n x sin ( y b2 ) e iz ;

П z 2b n (2.16) n П m ( y b2 ) e iz ;

cos 2 n x B2 n sin 2 n x cos A 2n z 2b n e k П z 3 A3k sin 3k x B3k cos 3k x sin 2b ( y b1 ) e ;

iz k 1 (2.17) k П m iz A 3k cos3k x B3k sin 3k x cos 2b1 ( y b1 ) e ;

z k A4 sin( 4 ( x a5 )) sin ( y b2 )e iz ;

П z 4 e 2b (2.18) Пm iz A 4 cos(4 ( x a5 )) cos 2b2 ( y b2 )e ;

z Граничные условия для тангенциальных компонент электрического и магнитного полей на границах раздела частичных областей имеют вид при x = –a2 :

Ey1 =Ey2;

Ez1 =Ez2;

Hy1 =Hy2;

Hz1 =Hz2, (2.19) при x = a3:

Е, y b2,b1;

E y2 y y b2,b1, b1, b2 ;

0, E, y b1, b1 ;

Ez2 z 3 (2.20) 0, y b2,b1 b1, b2 ;

, y b1 ;

b1.

Hy2 =Hy3;

Hz2 =Hz3, при x = a4:

E, y b1, b1 ;

E y4 y 0, y b2,b1, b1, b2 ;

E, y b1, b1 ;

Ez4 z 0, y b2,b1 b1, b2 ;

(2.21), y b1 ;

b1.

Hy4 =Hy3;

Hz4 =Hz3, Подставляя компоненты электрического и магнитного поля, выраженные через векторы Герца (2.15–2.18), в граничные условия(2.19–2.21), получаем систему двенадцати функциональных уравнений, содержащих неизвестные амплитудные коэффициенты разложения полей. Используя условия ортогональности собственных функций краевых задач для частичных областей, приходим к системе однородных алгебраических уравнений бесконечно высокого порядка относительно коэффициентов: A1m, A1m, A 2n, A 2n, B2n, B2n, A3k, A3k, B3k, B3k, A 4, A 4. Выражая коэффициенты разложения полей областей 1,2,4, через амплитудные коэффициенты области 3, и приходим к однородной системе линейных алгебраических уравнений СЛАУ:

nk nk k nk nk A3k I 2 N 4 kk b11k A3k 5k I 2 I1 Ф23n kk n 1 n 1 k 0 k n nk n k B3k I 2 k N 4 kk b1 6k B3k 2 k I 2 k I1nkФ23n kk 0;

n 1 n 1 k 0 k nk nk A3k I1 N 5 A3k 5k I1nk I1nkФ24n kk k b n 1 k 0 n 1 k nk B3k I1nk N 5 B3k 2 k I1nk I1nkФ24n kk k b13 0;

n 1 k 0 n 1 k (2.22) k k 1 N I2 b f 2b 3 I 2k k 2k f1k A3k f1k 2 3 1 b2 4 kk 1 1k 2 k 4 b k 1 I 1k I 2 k 2b kk b1 f 2 k k A3k 5k 1 b2 2b k k k N 1 I 2 2b b f f 2k B3k 3 I 2k I 2k f 2 k 2 1 b2 4 kk 1 6k 1k 4 b k 1 I k I 2 k 2b kk b1 f1k 0;

k B3k 2 k 1 b2 2b k N k I k 2 I k I k 1 1 4 A3k f1k 5k 1 1 4 kk k 3 b1 f 2 k A3k f1k b 1 b2 2 4 k 0 k N k I k 2 I k I k B3k f 2 k 1 1 4 B3k f 2 k 2 k 1 1 4 kk k 3 b1 f1k 0.

b 1 b2 1 2 4 k k В выражениях (2.22) использованы обозначения:

sin 3k a4 cos3k a f 1k f2k ;

;

cos3k a sin 3k a sin 2 n a3 cos2 n a f 3n f4n ;

;

cos2 n a sin 2 n a k1 2 1 ;

d1=a1–a2;

d2=a5–a1;

Ф1n 2 2n tg 2n a 2 11n tg1n d1 2 ;

11n tg1n d1 2 2 2n ctg 2n a 2 ;

Ф2n 11n ctg1n d1 2 2 2n ctg 2n a 2 ;

Ф 3n 2 2n tg 2n a 2 11n ctg1n d1 2 ;

Ф 4n n k1 2b Ф 3n ;

Ф 5n Ф 2n n k1 2b 2 Ф1n Ф ;

Ф6n 2b 2 2n n k1 2b Ф 4n ;

Ф7n Ф 2n n 1 Ф 5n ;

Ф8n k1 2b 2 Ф 2 n Ф 7 n Ф 2 n Ф n Ф6n Ф9n 1n k1 ;

Ф 2b 2 Ф 7 n Ф 2 n 2n Ф5n Ф6n Ф10n Ф11n ;

;

Ф7n Ф7n n f3n f 4n Ф10n 2n 2n a 2f 4n ctg 2n a 2Ф8n ;

Ф12n b 2b 2 n f 4n Ф11n 2 2n f3n tg 2n a 2 f 4n Ф9n tg 2n a 2 ;

Ф13n b 2 n 2b 2 Ф14n b 2 2 f3n f 4n Ф10n ;

Ф15n b 2 2f 4n Ф11n ;

n f 3n Ф8n 2 2n f 4n –tg 2n a 2 f 3n Ф10n tg 2n a 2 ;

Ф16n 2b 2 n f 4n f3n Ф9n 2 2n f3n Ф11n tg 2n a 2 ;

Ф17 n 2b 2 Ф18n 2f3n Ф8n ;

Ф19n 2 Ф9n f3n f 4n ;

Ф12n Ф15n Ф 20n Ф13n ;

Ф14n Ф16n Ф15n Ф 21n Ф17 n ;

Ф14n Ф18n Ф15n Ф 22n Ф19n ;

Ф14n Ф 21n Ф 22n Ф 23n Ф 24n ;

;

Ф 20n Ф 20n k I1k N1k I 2k ;

4 2b 2b k 2Ф I1nk 3 12n I 2nk ;

N 2nk 2b1 Ф14n 3 I 2nk Ф15n N3nk N 2nk ;

Ф14n Ф14n Ф 20n Ф17 n N 4nk Ф16n N3nk N 2nk ;

Ф 20n Ф19n N5nk Ф18n N3nk N 2nk ;

Ф 20n 1k 33k ctg3k a 3 ;

2k 33k ctg3k a 3 ;

3 4 4ctg 4d 2 ;

4 4 4 tg 4d 2 ;

5k 33k tg3k a 3 ;

6k 33k tg3k a 3 ;

n (b1 b 2 ) n (b 2 b1 ) (1) k sin sin n 2b 2 2b 2 ;

I1nk 2 2b 2 n k 2b 2b 2 при n=k=0 I1nk=2b1;

n (b1 b 2 ) n (b 2 b1 ) (1) k sin sin n 2b 2 2b I 2 nk 2 2b1 n k 2b 2b 2 при n=k=0 I2nk=0;

Решение СЛАУ осуществляется методом редукции: заменой бесконечного определителя системы – конечным размерность которого определяется количеством функций в (2.17), область 3. Для того, чтобы система (2.22) имела нетривиальное решение, необходимо, чтобы ее определитель равнялся нулю, что приводит к дисперсионному уравнению собственных волн ВЩЛ. Полученное дисперсионное уравнение решается совместно с уравнениями, связывающими волновые числа:

m 112 2 2b 1m ;

n 2 2 2 2b 2 n ;

k 2 2 2b 3k ;

(2.23) 2 2, 4 2b в комплексной плоскости продольного волнового числа.

В таблице 2.6 приведены результаты сходимости решения дисперсионной задачи по продольному волновому числу, в общем случае комплексному:

~ ~ 1 i2 ( 1 1 / k0 – для распространяющихся, 2 =b2– для реактивно затухающих волн) для собственных волн ВЩЛ на частоте 80 ГГц, при следующих параметрах структуры: а1=2.3мм, b2=1.мм, a5=a1, a2=0.085a1, a3=0.085a1, b1=0.5b2, a4–a3=0.005a1, 2=6.

Таблица 2. n 1 2 3 4 5 HE(1) 1.77715 1.76016 1.76070 1.75558 1.75520 1. 1.22020 1.22229 1.22186 1.22187 1.21936 1. HE(2) 0.75037 0.72336 0.72067 0.71568 0.71547 0. HE(3) 0.60945 0.61322 0.61695 0.61677 0.61578 0. HE(4) 0.37791 0.37721 0.41597 0.41502 0.41176 0. HE(5) 0.31097 0.31101 0.30687 0.30685 0.30534 0. HE(6) -i0.64593 -i0.64601 -i0.66691 -i0.66691 -i0.67420 -i0. HE(7) -i1.43617 -i1.45065 -i1.46144 -i1.46308 -i1.46647 -i1. HE(8) 0.23494 0.18701 0.18697 0.16277 0.16262 0. НЕк(3) -i1.71229 -i1.73511 -i1.73593 -i1.73651 -i1.73654 -i1. Из таблицы 2.6 видно, что с ростом приближения n наблюдается хорошая сходимость продольного волнового числа, уже при n=3 абсолютное приращение составляет менее 1%. В силу того, что волны ВЩЛ являются гибридными, они обозначены как НЕ(n), где n =1,2,3…. по порядку следования критических частот, комплексные волны обозначены как НЕк(n).

Для волны НЕ(1), производилось сравнение полученных результатов с результатами, приведенными в [83]. Отличие не превышает 0.5%.

На рисунке 2.24 приведены дисперсионные кривые волн ВЩЛ, при следующих параметрах структуры: а1=2.3мм, b2=1.мм, a5=a1, a2=0.085a1, a3=0.085a1, b1=0.5b2, a4–a3=0.005a1, 2=6. Из рисунка видно, что в широком частотном диапазоне существуют: КВ – НЕк(4), образующаяся в точке слияния характеристик гибридных волн НЕ(4) и НЕ(5), и НЕк(3), образующаяся в точке слияния характеристик гибридных волн НЕ(9) и НЕ(10). Волна НЕ(4) образует КВ – НЕк(3), объединяясь с волнами НЕ(5) и НЕ(7), аналогичным образом возникает КВ – НЕк(2), в результате объединения характеристики волны НЕ(9) с характеристиками волн НЕ(10) и НЕ(11).

Рисунок 2.24.

Наличие комплексных решений дисперсионного выражения подтверждает выводы, сделанные в главе 1, о том, что, если структура описывается несамосопряженным оператором, то в ней могут существовать КВ.

При увеличении ширины щели до размера b1=0.75b2 происходит уменьшение диапазонов частот, в которых существуют КВ. Волны, обозначенные на рисунке 2.24 как НЕк(1), НЕк(2), НЕк(4), исчезают, возникает КВ в точке слияния характеристик НЕ(2) и НЕ(4) (НЕк(1), рисунок 2.25), и происходит увеличение частотного диапазона существования КВ, образованной в точке слияния характеристик волн НЕ(9) и НЕ(10) (НЕк(2), рисунок 2.25).

Рисунок 2.25.

При дальнейшем увеличении ширины щели происходит уменьшение диапазона частот, в котором существуют КВ НЕк(1) и НЕк(2) (рисунок 2.25), а при остается лишь КВ НЕк(2). При такой ширине щели b1=0.99b2 (рисунок 2.26) ширине щели полученную структуру можно рассматривать как прямоугольный волновод с диэлектрической пластиной. Краевая задача для такой структуры является самосопряженной [23]. В структурах, описываемых самосопряженными операторами, КВ не существуют. Однако, поскольку ширина щели все же не равна ширине экрана (b1=0.99b2), оставшиеся небольшие металлические выступы оказывают влияние на спектр волн направляющей структуры. Этим можно объяснить существование КВ – НЕк(2).

При уменьшении диэлектрической проницаемости второй области, влияние металлических выступов ослабевает и диапазон существования КВ НЕк(2) уменьшается. На рисунке 2.27 приведены характеристики для ~ =2, b =0.99b, 2 1 a2=0.085a1, a3=0.085a1, b1=0.5b2, a4–a3=0.005a1, a5=a1, а1=2.3мм, b2=1.0мм.

Рисунок 2.26.

Рисунок 2.27.

При дальнейшем уменьшении диэлектрической проницаемости КВ НЕк(2) исчезает, а дисперсионные характеристики обычных волн приближаются к дисперсионным характеристикам, соответствующим волнам однородно заполненного прямоугольного волновода с воздушным заполнением.

На рисунке 2.28 представлены характеристики собственных волн при следующих значениях параметров структуры: ~ =1.1, b =0.99b, a =0.085a, 2 1 2 2 a3=0.085a1, b1=0.5b2, a4–a3=0.005a1, a5=a1, а1=2.3мм, b2=1.0мм. При данных значениях параметров характеристики волн НЕ(9) и НЕ(10) сливаются, что соответствует вырожденным волнам Н31, Е31 в прямоугольном волноводе.

Дальнейшие уменьшение ~2 до 1 приводит к тому, что кривые волн НЕ(4) и НЕ(5), а также НЕ(7) и НЕ(8) сливаются, и их характеристики соответствуют вырожденным волнам прямоугольного волновода Н11, Е11 и Н21, Е21 (рисунок 2.29).

Рисунок 2.28.

Рисунок 2.29.

Обозначения волн (рисунок 2.29) приняты аналогично волнам однородно заполненного прямоугольного волновода. Проведенный предельный переход к однородно заполненному волноводу с воздушным заполнением и полученные при этом результаты могут служить подтверждением корректности разработанного алгоритма и правильности работы созданной программы.

Уменьшение ширины щели приводит к тому, что волна, обозначенная на рисунке 2.24, как НЕ(4), смещается в область более высоких частот и становится шестой по порядку следования критических частот при ширине щели b1=0.2b2(рисунок 2.30, другие параметры те же, что для рисунка 2.24).

В точке слияния характеристик данной волны с характеристикой волны НЕ(7) образуется КВ НЕк(1). Другая КВ, обозначенная на рисунке 2.30 как НЕк(2), образуется в точке слияния дисперсионных характеристик гибридных волн НЕ(10) и НЕ(11).

Рисунок 2.30.

Области существования комплексных волн при уменьшении ширины щели смещаются в сторону более высоких частот. При дальнейшем уменьшении ширины щели происходит уменьшение диапазона частот, в котором существуют КВ НЕк(1) и НЕк(2) (рисунок 2.31, b1=0.05b2). ВЩЛ трансформируется в два прямоугольных волновода, один с воздушным заполнением, а другой двухслойный. Так как щель оказывает влияние на спектр волн, КВ, по всей видимости, могут существовать до момента полной трансформации ВЩЛ в прямоугольный волновод. Кроме того, при уменьшении ширины щели наблюдается эффект вырождения некоторых волн. Так характеристики волны НЕ(8) и НЕ(9) сближаются (рисунок 2.30) и при b1=0.05b2 (рисунок 2.31), полностью совпадают. Данное вырождение, по всей видимости, также связано с тем, что происходит переход от ВЩЛ к двум прямоугольным волноводам.

Рисунок 2.31.

Большое влияние на спектр волн ВЩЛ оказывает толщина диэлектрического слоя. Так уменьшение толщины этого слоя до a2+а3=0.086a приводит к тому, что КВ, образовавшиеся в точке слияния гибридных волн НЕ(4), НЕ(5) и НЕ(9), НЕ(10) (см. рисунок 2.24) исчезают. При этом возникает КВ в точке слияния характеристик НЕ(7) и НЕ(8) (рисунок 2.32). Дальнейшее уменьшение толщины диэлектрического слоя до a2+а3=0.04a1 приводит к тому, что КВ – НЕк(1) (рисунок 2.33) исчезает, и ни одна из первых десяти волн высших типов не переходит в комплексную волну.

Рисунок 2.32.

Рисунок 2.33.

При увеличении толщины диэлектрического слоя a3+a2=0.5a (рисунок 2.34, a5=a1, b1=0.5b2, a4–a3=0.005a1, ~2 =6, а1=2.3мм, b2=1.0мм), многие характеристики волн в запредельной области приобретают продолжение в виде участков комплексных волн. Следовательно, увеличение толщины диэлектрической подложки приводит к увеличению числа КВ в спектре ВЩЛ.

Увеличение диэлектрической проницаемости также дает увеличение числа комплексных решений дисперсионного уравнения. При этом возникают участки, на которых волны переходят из реактивно затухающих в комплексные, образуя характеристики в виде петли (рисунок 2.35: ~ =30, a =a, a =0.085a, a =0.085a, 2 5 1 2 1 3 b1=0.5b2, a4–a3=0.005a1, а1=2.3мм, b2=1.0мм). Аналогичное этому явление наблюдается в круглом двухслойном экранированном волноводе [23, 111], и можно ожидать, что такое же явление будет наблюдаться и в других неоднородных в поперечном сечении электродинамических структурах.

Рисунок 2.34.

Рисунок 2.35.

Приведенные результаты показывают, что несмотря на отсутствие диссипации энергии, дисперсионные характеристики гибридных волн при тех или иных параметрах в запредельной области имеют ветви комплексных решений, которые существуют в значительной части частотного диапазона.

Наличие их в рабочем диапазоне частот может оказать существенное влияние на функциональные возможности СВЧ узлов.

2.3.2 Оценка корректности постановки и решения краевой задачи по нулевому потоку мощности комплексных волн ВЩЛ Одним из признаков КВ является то, что ее суммарный поток мощности через поперечное сечение направляющей структуры в среднем за период равен нулю[23]:

E, H dS 0.

* P (2.24) S Это свойство было предложено использовать в качестве физического критерия корректности постановки и решения краевых задач, формулируемых в незамкнутой форме[82, 112].

Полный поток мощности, переносимой волной ВЩЛ, складывается из потоков мощности в областях 1, 2, 3,4 в отдельности:

* * * * * E, H dS E, H dS E, H dS.

E, H dS E, H dS S S1 S2 S3 S Продольный поток мощности в каждой из областей записывается как:

E * E Yi H* i dSi PZi dS i 1,2,3,4.

X i H Yi X (2.25) Si Si Компоненты поля, выраженные через векторы Герца (2.15-2.18), записываются в виде:

для области 1 (рисунок 2.23):

m E x1 i Q1m cos 1m ( x a1 ) sin ( y b 2 ) ;

2b m m E y1 i Q 2m sin 1m ( x a1 ) cos ( y b 2 ) ;

2b m m H x1 i V1m sin 1m ( x a1 ) cos ( y b 2 ) ;

2b m m H y1 i V2m cos 1m ( x a1 ) sin ( y b 2 ), 2b m где m Q1m 1m A1m 1 A1m ;

2b m Q2m A1m 11m A1m ;

2b m V1m 1 A1m 1m A1m ;

2b m V2m 11m A1m A1m, 2b для области 2:

n E x 2 i Q3n cos 2n x Q 4n sin 2n x sin ( y b 2 ) ;

2b n n E y 2 i Q5n sin 2n x Q 6n cos 2n x cos ( y b 2 ) ;

2b n n H x 2 i V3n sin 2n x V4n cos 2n x cos ( y b 2 ) ;

2b n n H y 2 i V5n cos 2n x V6n sin 2n x sin ( y b 2 ), 2b n где n Q3n 2n A 2n 2 A 2n ;

2b n Q 4n 2n B2n 2 B2n ;

2b n Q5n A 2n 2 2n A 2n ;

2b n Q6n B2n 2 2n B2n ;

2b n V3n 2 A 2n 2n A 2n ;

2b n V4n 2 B2n 2n B2n ;

2b n V5n 2 2n A 2n A 2n ;

2b n V6n 2 2n B2n B2n, 2b для области 3:

k E x 3 i Q 7 k cos 3k x Q8k sin 3k x sin ( y b1 ) ;

2b k k E y3 i Q9k sin 3k x Q10k cos 3k x cos ( y b1 ) ;

2b k k H x 3 i V7 k sin 3k x V8k cos 3k x cos ( y b1 ) ;

2b k k H y3 i V9k cos 3k x V10k sin 3k x sin ( y b1 ), 2b k где k Q7 k 3k A3k 3 A 3k ;

2b k Q8k 3k B3k 3 B3k ;

2b k Q9 k A3k 33k A3k ;

2b k Q10k B3k 33k B3k ;

2b k V7 k 3 A3k 3k A3k ;

2b k V8k 3 B3k 3k B3k ;

2b k V9k 33k A3k A 3k ;

2b k V10k 33k B3k B3k, 2b для области 4:

E x 4 i Q11 cos 4 ( x a 5 ) sin ( y b 2 ) ;

2b E y 4 i Q12 sin 4 ( x a 5 ) cos ( y b 2 ) ;

2b H x 4 i V11 sin 4 ( x a 5 ) cos ( y b 2 ) ;

2b H y 4 i V12 cos 4 ( x a 5 ) sin ( y b 2 ), 2b где Q11 4 A 4 4 A 4 ;

2b Q12 A 4 4 4 A 4 ;

2b V11 4 A 4 4 A 4 ;

2b V12 4 4 A 4 A 4.

2b Подставляя компоненты поля в (2.25), получаем выражения для вычисления потоков мощности комплексной волны в областях 1,2,3,4:

1 P1 b 2 a1 a 2 Q 2 m V1m Q1m V2m 2 m Q1m V2 m Q 2 m Vm1 sin 21m a1 a 2 ;

41m b2 a 3 a 2 Q 6n V4n Q3n V5n Q 4n V6n Q5n V3n P 2n sin 2 2n a 3 sin 2 2n a 2 Q 6n V4n Q3n V5n Q 4n V6n Q5n V3n 4 2 n sin 2 2 n a 3 sin 2 2 n a 2 Q 3n V6 n Q 4 n V5n Q 5n V4 n Q 6 n V3n ;

2 2 n b1 a 4 a 2 Q10k V8k Q 7 k V9k Q8k V10k Q9k V7 k P 2k sin 2 3k a 4 sin 2 3k a 3 Q10k V8k Q 7 k V9k Q8k V10k Q5k V3k 4 3k sin 2 3k a 4 sin 2 3k a 3 Q 7 k V10 k Q8k V9 k Q 9 k V8k Q10 k V7 k ;

2 3k 1 P4 b 2 a 5 a 4 Q12 V11 Q11 V 2 Q11 V12 Q12 V11 sin 2 4 a 5 a 4.

4 В таблице 2.7 приведены значения нормированных составляющих ~ комплексного продольного волнового числа для КВ 1 1 и 2 b1, величина k действительной части потока мощности для каждой из областей и суммарное значение потока мощности через поперечное сечение ВЩЛ при следующих параметрах: ~2 = 6;

а1=0.3а;

b1= 0.2b;

b1= 0.4b;

на частоте 80 ГГц.

Таблица 2. ~ b n Re(P1) Re(P2) Re(P3) Re(P4) Re(P) 1 0.23494 -i1.71229 2.58331 0.19759 -0.08351 -2.40037 0. 2 0.18701 -i1.73511 2.46286 0.17051 -0.07052 -2.59730 -0. 3 0.18697 -i1.73593 2.49753 0.18502 -0.08621 -2.54536 0. 4 0.16277 -i1.73651 2.32075 0.16934 -0.06993 -2.41811 0. Из таблицы 2.7 видно, что суммарный поток мощности через поперечное сечение ВЩЛ с увеличением номера приближения стремится к нулю, что отражает один из основных признаков КВ недиссипативной направляющей структуры и является подтверждением корректности полученных комплексных решений.

2.3.3 Расчет фильтра на основе нерегулярной ВЩЛ Расчет характеристик фильтра осуществляется на основе строгого электродинамического подхода, использующего аппарат обобщенных матриц рассеяния. Фильтр выполнен в виде каскадного соединения отрезков регулярных ВШЛ с различными значениями ширины щели (рисунок 2.36), поэтому необходимо решить задачу нахождения S–матрицы стыка двух ВЩЛ.

Используя метод частичных областей, представим поле в каждой области в виде суперпозиции падающих и отраженных волн:

N N C 1em e i1 z R 1e,m e i1 z ;

П e1m,, z 1 N N e, m i z e, m i z П e,2m T 2 e 2 R 2 e 2, z (2.26) 1 где – количество волн, учитываемых в каждой области;

N 1e2m 1e2m (x, y), 1e2m 1e2m (x, y) – потенциальные функции;

C и R, T и R –,,,,,,,, амплитудные коэффициенты падающей и отраженной волн 1-ой и 2-ой областях, соответственно;

и – индексы волн областей 1 и 2, 1 и – продольные волновые числа волн первой и второй областей полученные при решении дисперсионной задачи, рассмотренной в параграфе 2.2.1.

Записываем граничные условия для тангенциальных компонент электрического и магнитного полей на стыке первой и второй области:

E, y 0;

b1 ;

E x 2 x 0, y b1 ;

b1 ;

(2.27) E, y 0;

b1 ;

E y2 y2 (2.28) 0, y b1 ;

b1 ;

H x 2 H x1, y 0;

b1 ;

(2.29) H y2 H y1, y 0;

b1. (2.30) Подставляя в граничные условия (2.27–2.30) выражения для компонент поля, приходим к системе функциональных уравнений относительно неизвестных амплитуд падающих и отраженных волн областей 1 и 2.

С целью исключения координатной зависимости по x и y применяем метод энергетической ортогональности[13, 113]. Уравнения, полученные из ~ ~ граничных условий (2.27), (2.28), домножаем на H y 2 и H x 2, соответственно, а затем интегрируем по поперечному сечению S2 2-ой области, а затем вычитаем из первого уравнения второе.

Рисунок 2.36.

Уравнения, полученные из граничных условий (2.29), (2.30), домножаем, ~ ~ соответственно, на Е y1 и Е x1, интегрируем по поперечному сечению S1 1-ой области, а затем вычитаем из одного уравнения другое. В результате получаем следующие уравнения:

1 E x1H y 2 E y1H x 2 dxdy E x 2 H y 2 E y 2 H x 2 dxdy ;

N ~ ~ ~ ~ (2.31) S2 S dxdy H dxdy, N ~ ~ ~ H x 2 E y1 (2.32) H y1 E x1 H x1 E y1 y 2 E x S1 S ~ ~ ~ ~ где H y 2 и H x 2, Е y1 и Е x1 – компоненты поля с единичными амплитудами.

Подставляем компоненты поля в выражения (2.31) и (2.32) и, производя интегрирование по площадям поперечного сечения S1 и S2, получаем систему из двух уравнений относительно амплитудных коэффициентов C и Rпадающих и отраженных волн первой области, T – амплитудных коэффициентов падающих волн области 2. Считая амплитуды падающих волн первой области заданными, решаем систему неоднородных алгебраических уравнений и составляем обобщенную S – матрицу стыка. S – матрицу фильтра получаем, используя формулу для S – матрицы каскадного соединения.

Полученные при решении дисперсионной задачи для ВЩЛ значения волновых чисел использовались для расчета S – параметров фильтра, позволивших построить амплитудно-частотные характеристики(АЧХ), приведенные на рисунке 2.37. АЧХ построена при следующих параметрах фильтра а2=а3=1мм;

а1=а5=11,5а2;

а4–а3=0.05а2;

~2 2.0 ;

(рисунок 2.23) 1= 2= … n =3.5мм;

b1=0.2b2;

b1 0.81b2 ;

b2=5мм(рисунок 2.36).

-А(дБ) V= V= V= 4 8 12 16 20 f, ГГц Рисунок 2.37.

Из рисунка 2.37 видно, что величина ослабления в полосе заграждения (ПЗ) и крутизна фронта АЧХ увеличиваются с увеличением числа ячеек V.

Однако при данных параметрах характеристики устройства в полосе пропускания (ПП) неудовлетворительны: ослабление ~ (-2 – -3) дБ;

КстU 3. Ослабление в ПЗ также недостаточно хорошее. Поэтому была проведена оптимизация параметров с использованием методов оптимизации, основанных на нахождении экстремума целевой функции [114–116], характеризующей степень отклонения расчетной АЧХ от заданной. С помощью программы поиска глобального экстремума определены оптимальные параметры фильтров на базе прямоугольного волновода сечением 23х10 мм.

На рисунке 2.38 представлены АЧХ фильтров при разных значениях V.

Видно, что с увеличением числа ячеек ослабление в ПЗ возрастает и при V= становится ~30 дБ. В ПП ослабление не превышает 0,2 дБ. Максимальное значение КстU=1,6.

-А(дБ) V= V= f, ГГц 4 8 12 16 20 Рисунок 2.38.

Для проверки результатов расчета АЧХ фильтра был проведен эксперимент. ВЩЛ, изготовленная на базе прямоугольного волновода сечением 23х10 мм, имела следующие параметры: плата из фторопласта ( ~ 2.0 ), расположенная в Е-плоскости, толщиной 2 мм с металлизацией (рисунок 2.39), b1=1мм, b1 =3.5мм, 1= 4.5мм, 2=4.35мм, 3=3.9мм,4= 3.95мм, 5=3.8мм, 6=3.8, 7=4.1 мм, 8=4 мм,9= 4.05мм, 10=3.9мм, 11=4 мм.

Измерения АЧХ проводились на панорамном измерителе ослабления и К стU по схеме «на проход» (рисунок 2.40). Погрешность измерений вычисленная по формуле: А изм А пр А в ПП, составила 0.67 дБ при измерении на рас приборе Р2-108А. А пр – погрешность прибора, А рас – погрешность из-за рассогласования.

Рисунок 2. Рисунок 2.40.

Погрешность рассогласования определяется[117] по формуле:

А рас (дБ ) 8,7 Гс Гг К 2 1 Гг Г1 Гс Г2, где Гг – коэффициент отражения тракта со стороны генератора, Гс – коэффициент отражения тракта со стороны нагрузки;

Г1,2 – коэффициенты отражения исследуемого объекта со стороны генератора и нагрузки, соответственно;

(А) К 10 20 – коэффициент передачи исследуемого объекта.

Общая погрешность эксперимента обусловлена погрешностью установки А изм и погрешностью разброса параметров ячеек А доп. Формула для нахождения общей погрешности эксперимента имеет следующий вид:

А общ А изм А доп Используя программу расчета фильтра, можно оценить влияние разброса параметров ячеек. Так отклонение параметров на 1% дает отклонение в расчете ослабления в ПП, равное 2,3%, в ПЗ – 4%.

Следовательно, при данном разбросе параметров погрешность ослабления в ПП составляет 0,2 дБ, в ПЗ 1 дБ. Общая погрешность эксперимента в ПП составит 0,7 дБ, ПЗ 2.8 дБ.

На рисунке 2.41 приведены АЧХ описываемого фильтра: пунктиром измеренная характеристика, сплошная линия – расчетная.

-А(дБ) Эксп Теор.

f, ГГц 4 8 12 16 20 Рисунок 2.41.

Из рисунка 2.41 видно, что ширина ПП и ПЗ и их местоположение на теоретической и расчетной характеристиках совпадают с точностью до 1%.

Измеренное ослабление фильтра несколько выше расчетного.

Это, по-видимому, можно объяснить следующим образом:

1. Не учитывались активные потери;

2. Не учитывалось отражение на стыках прямоугольного волновода и ВЩЛ, т.к. в реальном устройстве вводился трансформатор согласования Т (рисунок 2.39).



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.