авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. Алексеева На правах рукописи Малахов ...»

-- [ Страница 3 ] --

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод, что отличие теоретических и экспериментальных результатов лежит в пределах обоснованной погрешности измерений. При расчете фильтра комплексные волны не учитывались, так как при данных параметрах структуры в интересующем нас частотном диапазоне их нет.

2.4 Круглый экранированный двухслойный диэлектрический волновод Круглый экранированный двухслойный диэлектрический волновод – направляющая структура, которая давно нашла широкое применение в различных узлах РЭА[21]. Кроме того достаточно хорошо изучены и представлены в печати характеристики собственных волн(в том числе и комплексных) экранированного двухслойного, а также многослойных диэлектрических волноводов[23]. Целью данного раздела является подтверждение существования частотных участков комплексных волн в данной структуре, как структуре, описываемой несамосопряженным оператором, и возможности существования присоединенных решений краевой задачи для рассматриваемого волновода. Также проверяется корректность комплексных решений в точке образования КВ путем проверки одного из признаков КВ, а именно равенство нулю потока мощности через поперечное сечение направляющей структуры в среднем за период E, H dS 0.

* P (2.33) S Эти сведения необходимы для представления целостной картины нахождения комплексных решений для структур разного вида, рассматриваемых в данной работе.

Рассмотренная в данном параграфе краевая задача – это первый вариант решения краевой задачи для рассматриваемых (классический) двухслойных цилиндрических направляющих структур, который подробно описан в [21, 23, 57]. В четвертой главе диссертации будет приведен второй вариант постановки краевой задачи для данной структуры, и будут введены новых понятия: «присоединенная краевая задача» и «присоединенные волны».

На рисунке 2.42 изображен двухслойный экранированный волновод, радиус внутреннего слоя – a, радиус экрана – b, диэлектрические проницаемости слоев 1, 2 соответственно.

Рисунок 2.42.

Решения краевых задач на однородном уравнении Гельмгольца относительно продольных компонент электрического и магнитного векторов Герца для областей (рисунок 2.42) имеют вид:

П e A1 J n 1r cosne iz ;

z (2.34) П z1 B1 J n 1r sin ne iz m ;

П e A2 Rn 2 r cos ne iz ;

e z П z1 B1Rn 2 r sin ne iz m m, где 1,2 – поперечные волновые числа первой и второй области, связанные с продольным волновым числом соотношением:

1,21,22 1,2 2 ;

(2.35) J n 2 r Yn 2 b J n 2 bYn 2 r R e 2 r J n 2 a Yn 2 b J n 2 bYn 2 a ;

J n 2 r Yn2b J n 2bYn 2 r R m 2 r J n 2a Yn2b J n 2bYn 2a, Jn и Yn – функции Бесселя и Неймана, а J n 2 b и Yn2b – их первые производные, взятые по всему аргументу.

Выражая компоненты поля через векторы Герца (2.34) и подставляя их в граничные условия, получаем систему 4-х линейных однородных алгебраических уравнений относительно коэффициентов: A1,2, B1,2. Записывая условие нетривиальности ее решений (приравнивая нулю главный определитель), получаем [23] дисперсионное уравнение волн рассматриваемых направляющих структур:

J a R e a J a R m a 1 n 1 2 1 n 1 2 2 1 J n 1a 2 R 2 a 1 J n 1a 2 R 2 a 2 2 e 2 2 m (2.36) n 11 2 2 1 2 2 2 2, a 2 1 2 1 которое решается совместно с уравнениями, связывающими волновые числа (2.35).

На рисунке 2.43 приведены дисперсионные характеристики высших типов волн двухслойного экранированного волновода для следующих параметров b 4 15.

структуры:, a Рисунок 2.43.

b 3, На рисунке 2.44 изображены дисперсионные характеристики для a 9,6.

Рисунок 2.44.

На рисунках 2.43, 2.44 буквами К1 и К2 обозначены комплексные волны, образующиеся в точках соединения дисперсионных характеристик собственных волн двухслойного экранированного волновода (точки: А, В). Наличие комплексных решений подтверждает существование КВ в многослойных круглых экранированных структурах без диссипации энергии.

Проверим выполнение критерия (2.33). Средний за период поток мощности волны HE11 (рисунок 2.43) через поперечное сечение направляющей структуры.

В таблице приведены результаты такого расчета. Изменение по 2.8.

частоте(первая колонка таблицы происходит вдоль дисперсионной 2.8) характеристики волны HE11 к точке В образования комплексной волны(последняя строка). Во второй колонке приведены значения нормированного продольного волнового числа, в третей, четвертой и пятой колонках – действительной части среднего потока мощности в первом(центральном) слое, во втором и суммарный, соответственно.

Таблица 2.8.

k0b Re(P1) Re(P2) Re(P) k 1,5 1,285001 2,754861 -1,065501 1, 1,49 1,209832 2,653247 -1,378432 1, 1,48 1,125102 2,231248 -1,524670 0, 1,47 1,061226 2,137175 -1,744425 0, 1,46 0,903096 2,016351 -1,829543 0, 1,45 0,715218 1,942006 -1,939826 0, 1,446327 0,511148 1,941752 -1,941002 0, Видно, что при движении вдоль дисперсионной характеристики волны HE к точке В суммарный средний поток мощности(P=P1+P2) стремится к нулю. В работе [23] равенство нулю суммарного среднего потока мощности было доказано аналитически. В главе 4 будет показано, что в этой точке могут быть найдены решения присоединенной краевой задачи.

Результаты исследований, представленные в данной главе, опубликованы в [24, 81, 82, 88, 99, 102, 112].

2.5 Выводы 1. Подтверждено наличие КВ в структурах без потерь, описываемых несамосопряженными операторами.

2. Произведены исследования влияния параметров экранированной МПЛ на полный (включая комплексные волны) спектр собственных волн.

3. Сформулированы критерии оценки корректности результатов полученных с использованием МЧО.

4. Предложен графический метод построения электромагнитных полей.

5. Произведен расчет характеристик согласующего устройства для прямоугольного волновода.

6. С применением МЧО решена задача о расчете спектра собственных волн ВЩЛ.

7. Осуществлен анализ трансформации спектра собственных волн ВЩЛ в зависимости от параметров структуры.

8. Показано, что в спектре ВЩЛ существуют волны с комплексными постоянными распространения – комплексные волны.

9. Произведен расчет характеристик фильтра на основе нерегулярной ВЩЛ.

10. Показано, что в спектре круглого экранированного двухслойного диэлектрического волновода при определенных параметрах структуры существуют комплексные волны.

Глава НАПРАВЛЯЮЩИЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ С РЕЗИСТИВНЫМИ ПЛЕНКАМИ 3.1 Введение Исследования направляющих структур, покрытых поглощающими пленками, проводятся достаточно давно [6, 21, 34, 118-120]. Устройства с резистивными пленками используются при создании аттенюаторов [118], согласованных нагрузок [119], направленных ответвителей [6], фильтров типов мод [120]. Устройства с фоточувствительными диэлектрическими пленками могут быть использованы как элементы датчиков излучений [121]. На оптических частотах сверхтонкие металлические пленки поддерживают около себя поверхностные (плазмонные) волны [122]. Пленки (в основном, жидкостей) могут выпадать на поверхности волноводов в результате изменения параметров среды (например, температуры). При этом изменяются передающие свойства направляющей структуры [123]. На таком принципе работают датчики температуры точки росы [124].

Созданию устройств на основе тонких поглощающих пленок, как правило, предшествует расчет, позволяющий получить априорную информацию о потенциальных возможностях проектируемого изделия в диапазоне частот.

Таким образом, задачи о расчетах характеристик направляющих структур, покрытых поглощающими пленками, являются актуальными.

Описание параметров пленки может быть произведено двумя способами:

1)точно, с учетом ее как слоя с комплексной диэлектрической проницаемостью;

2)приближенно, используя метод поверхностного тока (МПТ)[21]. Второй подход справедлив в случае, когда толщина пленки много меньше толщины скин-слоя материала пленки d.

В данной главе для расчета структур с резистивными пленками используется МПТ, а в главе 5 диссертации для расчета структур с металлическими нанопленками на оптических частотахбудет применен первый способ.

3.2 Экранированная микрополосковая линия с резистивными пленками В настоящее время в функциональных узлах СВЧ диапазона широкое распространение получили различные электродинамические структуры с резистивными включениями[118-120, 125, 126], в том числе МПЛ с резистивными пленками[127-129]. На основе структур с резистивными пленками создаются такие функциональные узлы СВЧ и КВЧ диапазонов, как поглощающие аттенюаторы, согласованные нагрузки, фильтры паразитных мод и т.д.

В качестве модели рассмотрим экранированную микрополосковую линия(ЭМПЛ) с двухслойной диэлектрической подложкой и резистивной пленкой между слоями и пленкой на границе между второй и третьей областями (рисунок 3.1). Данная электродинамическая структура представляет собой достаточно общую модель в семействе экранированных микрополосковых линий.

В настоящей главе будут исследованы характеристики дисперсии и затухания волн ЭМПЛ, имеющих только одну из пленок: либо между слоями подложки, либо только пленку на границе между второй и третьей областями.

Изменяя параметры ЭМПЛ, на основе составленного общего алгоритма расчета можно рассчитывать характеристики как ЭМПЛ без резистивной пленки, так и с резистивной пленкой, как с однослойной, так и с двухслойной подложками.

3.2.1 Постановка краевой задачи Рассмотрим постановку краевой задачи для экранированной микрополосковой линии с двумя резистивными пленкам (рисунок 3.1).

Рисунок. 3.1.

Подложка микрополосковой линии состоит из диэлектрических слоев 1 и с диэлектрическими проницаемостями исоответственно. Между слоями находится тонкая резистивная пленка, которая имеет гальванический контакт с экраном. Толщина резистивной пленки, где – толщина скин-слоя резистивного материала.

Области 3 и 4 в общем случае имеют диэлектрическое заполнение с исоответственно.

диэлектрическими проницаемостями Структура симметрична относительно оси y.

Решения краевых задач для однородного уравнения Гельмгольца относительно продольных компонент электрического и магнитного векторов Герца, полученные для областей 1-4 поперечного сечения данной структуры выглядят, следующим образом:

z1 A1m cos 2m 1 x sin( 1m y )e iz ;

e 2a m m z1 B sin 2m 1 x cos(1m y )e iz ;

1m 2a m A A2 cos 2 y cos e (2 1) z 2 x e iz ;

sin 2 y (3.1) 2a n ( 2 1) iz m B 2 cos 2 y B 2 sin 2 y sin 2a x e ;

z2 n e n x a1 e iz ;

A3n cos 3n y A3n sin 3n y sin z d n B sin 3n y B cos 3n y cos n x a1 e iz ;

m z 3 n 0 3n 3n d 2k 1 x sin( y )e iz e z 4 A cos 4k 2a k 0 4 k 2k 1 x cos( y )e iz, z 4 B sin m 4k 2a k 0 4 k где d = a – a1, y y b.

Используя метод поверхностного тока (МПТ) [21], записываем граничные условия для тангенциальных компонент электрического и магнитного полей на границе раздела областей 1 и 2, в виде:

Ez1 = Ez2;

Ex1 = Ex2;

(3.2) Hz2 – Hz1 = jx пов = Ex1;

1 Ez1, Hx2 – Hx1 = –jz пов = – Условия непрерывности для тангенциальных компонент поля на границе и 3 областей записываются в соответствие с методом частичных областей (МЧО) [28, 130, 131]:

0, x 0, a Ex E x 3,x a1, a (3.3) H z 3 H z 2 jx пов 12 E x2, x a1, a H x 3 H x 2 jz пов 22 E z2, x a1, a, 1, где 1, 2 – поверхностные проводимости пленок [/Ом] (произведение толщины пленки на удельную проводимость ее материала ).

– поверхностная проводимость вдоль оси x;

– поверхностная проводимость вдоль оси z.

При этом могут быть рассмотрены следующие варианты:

1) 1 2 0 (изотропная пленка);

2) 1 0;

2 0 (пленка, проводящая вдоль оси х);

3) 1 0;

2 0 (пленка, проводящая вдоль оси z).

Аналогичным образом, используя метод частичных областей, на границе между областями 3 и 4 записываем условия непрерывности для тангенциальных компонент поля:

0, x 0, a1 ;

Ez E z 3, x a1, a ;

0, x 0, a1 ;

Ex E x 3, x a1, a ;

(3.4) H z 3 H z 4, x a1, a ;

H x 3 H x 4, x a1, a.

Выражаем компоненты электрического и магнитного полей через векторы Герца (3.1) и подставляем их в граничные условия (3.2–3.4). Получаем систему функциональных уравнений, содержащую неизвестные амплитудные коэффициенты векторов Герца. Использование условий ортогональности собственных функций краевых задач для выделенных частичных областей приводит к системе линейных однородных алгебраических уравнений бесконечно высокого порядка относительно неизвестных коэффициентов векторов Герца в областях 1,2,3,4.

A1m, B1m, A2m, A2m, B2m, B 2m, Выражая амплитудные коэффициенты A4k, B4k, разложений полей в областях 1,2 и 4, через амплитудные A3n, A3n, B3n, B3n – коэффициенты области 3, получаем окончательную систему однородных алгебраических уравнений бесконечно высокого порядка:

2 bmn rm Z mn sm H mn cos 2 m b2 tm Z mn g m H mn sin 2 m b m0 n A 3n cos 3n b2 A3n sin 3n b2 2 bmn bmm rm Dmn sm Dmn cos 2 m b (3.5) m 0 n bmmtm Dmn g m Dmn sin 2 m b2 B3n cos 3n b2 B 3n sin 3n b B b 0;

sin 3n b2 B 3n cos 3n 3n amn km Z mn Lm H mn A3n cos 3nb2 A3n sin 3n b m0 n (3.6) amn bmmkm Dmn Lm Dmn B3n cos3n b2 B 3n sin 3nb m 0 n nB3n 3n 3dA3n sin 3n b2 1 n B 3n 3n 3d A3n cos 3n b2 0;

2 2 rk bkn Skn A3n cos 3n b3 A3n sin 3n b n k (3.7) 2 3 3n bkn B3n cos 3n b3 B 3n sin 3n b3 cos 4 k b b n 3 n B3n sin 3n b3 B 3n cos 3n b3 0;

akn U kn A3n cos 3n b3 A3n sin 3n b n k (3.8) cos 2k b b rk 3n bkn B3n cos 3n b3 B 3n sin 3n b 2 3 4k 2a n n d 3 3n A3n cos 3n b3 A3n sin 3n b3 B3n sin 3n b3 B 3n cos 3n b3 0.

2 При записи выражений (3.5–3.8) использованы обозначения:

Km 22 m (am cos2 mb2 cm sin 2 mb2 ) (2m 1) ( rm cos2 mb2 tm sin 2 mb2 );

2a Lm 22 m (bm cos2 mb2 bmtg2 mb1 sin 2 mb2 ) (2m 1) ( sm cos2 mb2 gm sin 2 mb2 );

2a n Tm a mn bmn d H mn ;

Rm 3 3n bmn Dmn ;

Rm n a mma mn Rm bmm Tm a mn bmn ;

d Z mn Rm a (2m 1) Rm ( ambmm sin( 2 mb2 ) bm sin( 2 mb2 ) cmbmm cos(2 mb2 ) 2 2a bm tg 2 mb1 cos2 mb2 ) 2 2 m ( rmbmm sin( 2 mb2 ) sm sin( 2 mb2 ) tmbmm cos(2 m b2 ) g m cos(2 mb2 ) ;

a (2m 1) Tm ( a m sin( 2 m b2 ) cm cos( 2 m b2 ) 2 2a ;

2 2 m ( rm bmm sin( 2 m b2 ) t m cos( 2 m b2 ) a mm bm tg 2 m b1 cos 2 m b2 sin 2 m b bmm ;

am sin 2 m b2 cm cos 2 m b amm ;

2 a am sin 2 m b2 cm cos 2 m b 2k 1 s ;

2 4 4 k 2 a kn rk ukn a sin 4 k (b b3 ) kn 2a rk ;

4 4 k a sin 4 k (b b3 ) (2k 1) 3 n a kn 2 2 bkn ;

skn a d 2 2m 2a dm sin 2 m b1 sin 1m b 2 2 m(2m 1) 2a ;

2 2 2 m cos 2 m b1 cos 1m b1 11m i 2 1 sin 1m b rm d m am qm cm hm ;

sm pm bm qm bm hm tg2m b1 ;

i1 sin 1m b1 (2m 1) t m rm ctg 2 m b1 ;

2 sin 2 m b1 2a 1 cos1m b1 i1 sin 1m b g m s m ctg 2m b1 2 11m ;

2 sin 2m b1 sin 2m b 2 2m 1 2 a hm sin 2 2 m b1 2 2 2 2 m sin 2 2 m b1 ;

2 2 m2m 1 2a 2 ( 2m 1) 2a qm 2 2 2 m cos 2 m b1 sin 2 2 m b1 ;

22 2 2 m(2m 1) 2a 11m sin 1m b1 sin 2m b1 2 2m cos 1m b1 cos 2m b1 ;

pm 2 2m 2 ( 2m 1) 2a dm sin 2 m b1 sin 1m b 2 2 m(2m 1) 2a ;

2 2 2 m cos 2 m b1 cos 1m b1 11m i2 1 sin 1m b 1 sin 1m b Cm 2 am tg 2 m b1 ;

2 cos 2 m b am 11m cos1mb1 22 m sin 1mb1 tg2 mb1 i2 1 ( 2m 1) sin 1mb1 i2 1 sin 1mb 2a 2 22m cos2mb1 sin 2mb1 tg2mb1 ;

2m 1 1 cos i 11m sin 1mb cos1mb bm 1m b 2 2 2a 22m cos2mb1 sin 2mb1 tg2mb1.

Задача решается методом редукции в различных приближениях. Номер приближения определяется количеством n собственных функций краевой задачи для области 3. Предельные значения индексов суммирования mиk соответствуют числу учитываемых собственных функций в областях 1, 2 и 4. Они определяются из критерия сходимости сумм в представлениях полей при каждом n автоматически. Критерий сходимости: последующий член суммы должен отличаться от предыдущего не более, чем на 0,01%.

К дисперсионному уравнению приводит запись условия нетривиальности решений полученной системы линейных однородных алгебраических уравнений.

Решается оно совместно с уравнениями, связывающими волновые числа:

2m 11 1m 2 ;

2 2a 2m 2 2 2m ;

2 2 2a n 3 3 3n 2 ;

2 (3.9) d 2k 4 4 2k 2.

2a 3.2.2 Экранированная МПЛ с резистивной пленкой расположенной между слоями диэлектрической подложки Рассмотрим ЭМПЛ с одной резистивной пленкой, расположенной между слоями подложки. Проводимость пленки между второй и третьей областями 2 (рисунок 3.1.) принимается 1 2 0.

Краевая задача для данной структуры относится к классу несамосопряженных из-за невыполнения равенства граничных условий для прямой и сопряженной краевых задач даже в отсутствие резистивной пленки.

Поэтому собственные значения краевой задачи являются в общем случае комплексными [23].

Для проверки корректности алгоритма расчета экранированной микрополосковой линии с резистивной пленкой проводились сравнения полученных результатов с результатами полученными во второй главе диссертационной работы для экранированной микрополосковой линии (рисунок Дисперсионные характеристики и характеристики 2.1).

затухания(рисунок 3.2.) для ЭМПЛ с двухслойной подложкой полученные при следующих значениях параметров: ~1 = ~2 = 9.6;

~3 = 1.0;

а1=0.3а;

b1= 0.25b;

толщина полоска 0.01b;

резистивные пленки отсутствуют b2=0.4b;

1,2 1, ( 1 2 0 с графической точностью совпадают с характеристиками ЭМПЛ со сплошной подложкой(рисунок 2.2).

Рисунок 3.2.

В таблице 3.1 приведены результаты сходимости решений краевой задачи по продольному волновому числу 1 i 2. Для распространяющихся волн ~ 1 k0, для реактивно затухающей - значения 2 b1.

указаны значения Данные таблицы 3.1 соответствуют следующим значениям параметров ЭМПЛ: ~ = 9.6;

~2 = 9.6;

а1=0.3а;

b1= 0.25b;

b2= 0.4b;

толщина полоска 0.01b;

резистивная 1,2 1, отсутствуют( 1 2 0.

пленки Расчеты производились при k0b1 = 1.3, n – число членов ряда в третьей области. Эти параметры соответствуют параметрам экранированной микрополосковой линии, для которых были рассчитаны значения, приведенные ранее в таблице 2.1.

Таблица 3.1.

HE(1) HE(2) HE(3) HE(4) HE(6) кв-Т n 1 2,9947 2,4209 2,1519 1,8681 0,7394 -i1, 2 2,9880 2,4195 2,1511 1,8679 0,7411 -i1, 3 2,9868 2,4158 2,1535 1,8677 0,7433 -i1, 4 2,9852 2,4155 2,1542 1,8676 0,7437 -i1, 5 2,9837 2,4153 2,1558 1,8674 0,7441 -i1, Из сравнения результатов приведенных в таблице 3.1. и таблице 2.1., видно, что имеет место совпадение с точностью до третьего знака после запятой(при n=5). В обоих случаях расчеты производились комбинированным методом поиска комплексных корней, описанным в первой главе.

Краевая задача для рассматриваемой структуры имеет решения, записываемые в незамкнутом виде (3.1), поэтому как было предложено в параграфе 1.5, следует проверить корректность составленного алгоритма при помощи введенного критерия оценки корректности по равенству нулю среднего за период потока мощности комплексной волны через поперечное сечение направляющей структуры.

В таблице 3.2 приведены значения продольного волнового числа для комплексной волны HEк(1) (рисунок 3.2), величина действительной части потока мощности для каждой из областей и суммарное значение потока мощности через поперечное сечение ЭМПЛ при следующих параметрах: ~ = 9.6;

а =0.3а;

b = 1 1, 0.25b;

b2= 0.4b;

при k0b1 = 0.8.

Таблица 3.2.

~ b n Re(P1) Re(P2) Re(P3) Re(P4) Re(P) 1 0.1535 -1.5520 1.697127 1.018276 -0.131402 -0.728134 1. 2 0.1357 -1.5219 1.199410 0.719646 -0.187984 -1.754534 -0, 3 0.1039 -1.4907 0,989433 0,593661 -0.143279 -1.412908 0, 4 0.0904 -1.4798 0,863048 0,517829 -0.127193 -1.249145 0, Из таблицы 3.2, видно, что с увеличением номера приближения суммарный средний поток комплексной волны мощности комплексной волны стремится к нулю, что может служить показателем корректности составленного алгоритма.

При введении резистивной пленки, все решения дисперсионного уравнения становятся комплексными. На рисунках 3.3, 3.4 приведены дисперсионные характеристики и характеристики затухания волны квази-Т и первых шести волн высшего типа при значениях поверхностной проводимости 11 21 0,008 /Оми 11 21 0,02 /Ом, соответственно На рисунках характеристики для разных волн изображены разным типом линий.

Рисунок. 3.3.

Рисунок. 3.4.

Для того чтобы определить, какое влияние на дисперсию и затухание волн ЭМПЛ оказывает резистивная пленка, расположенная между слоями подложки, произведем сравнение результатов, полученных при расчете характеристик волн ЭМПЛ с двухслойной подложкой и резистивной пленкой между слоями (рисунки 3.3, 3.4). Вычисления производились при суммарной толщине подложки b2 (рисунок 3.1) равной толщине подложки ЭМПЛ без пленки, рассмотренной во 2 главе (рисунок 2.2). Диэлектрические проницаемости подложек ЭМПЛ с пленкой и без пленки равны =9.6, толщина металлических полосков 0.01b. При расчетах дисперсионных характеристик волн ЭМПЛ с пленкой и без пленки одинаковыми также брались ширина полоска и размеры экранов.

Сравнение характеристик волн ЭМПЛ без пленки(рисунок 2.2) и с пленкой (рисунок 3.3) показало, что в месте существования комплексных волн ЭМПЛ без пленки присутствует пересечение в запредельной области (/Ом характеристик волн HE(3) и HE(4) (КВ HEк(1), рисунок 3.3), а в месте существования комплексной волны HEк(2), характеристики волн HE(5) и HE(6) расходятся.

11 21 0, При увеличении поверхностной проводимости качественных изменений в спектре не происходит, рисунок 3.4.

Основные отличия характеристик дисперсии и затухания ЭМПЛ с резистивной пленкой:

1) У всех волн отсутствуют критические частоты;

2) У квази-Т волны более сильная дисперсия;

3) Затухание значительно проявляется у волн HE(1) и HE(4).

Можно сделать вывод, что такая пленка увеличивает диапазон одномодового режима, так как значительно увеличивается затухание первой волны высшего типа HE(1).

y y x x jz пов jx пов z z а) б) Рисунок. 3.5.

При рассмотрении резистивной пленки, проводящей вдоль оси z, 11 0 21 0,008 /Ом(рисунок а) вид дисперсионных 3. характеристик меняется (рисунок 3.6). Видно, что значительно уменьшаются HE(1), HE(2), HE(5) потери квази-Т волны, а характеристики гибридных волн стремятся к характеристикам тех же волн в структуре без потерь (рисунок 2.2), следовательно, такая анизотропия пленки оказывает слабое влияние на эти волны.

Влияние анизотропной пленки на затухание волн HE(3), HE(4), такое же, как однородной.

Рисунок. 3.6.

На рисунке 3.7. приведены характеристики дисперсии и затухания волн ЭМПЛ с резистивной пленкой, проводящей вдоль оси x, 1 0,008 /Ом 21 0 /Ом (рисунок 3.5 б). Видно, что затухание квази-Т волны уменьшается, затухание волн HE(1), HE(2), HE(5), особенно в районе критических частот, увеличивается.

Рисунок. 3.7.

Для того чтобы понять, почему волны ЭМПЛ по-разному взаимодействуют с резистивной пленкой, рассмотрим структуры силовых линий полей волн, построенных с помощью программы, описанной в главе 2.

На рисунке 3.8 приведены силовые линии электрического и магнитного полей (черной линией Е-поле, серой H-поле) волны HE(1), а на рисунке 3. структуры электрического и магнитного полей волны HE(2).

Картины полей построены графическим методом построения полей на основе алгоритма Эйлера, который был предложен и описан во второй главе диссертации.

Из рисунков 3.8. и 3.9. видно, что имеются составляющие силовых линии электрического поля, направленные вдоль оси х, особенно у волны HE(2) (рисунок 3.9.), поэтому возникают токи проводимости в резистивной пленке, проводящей вдоль оси х, а, следовательно, увеличиваются тепловые потери волн HE(1), HE(2) в пленке с проводимостью вдоль оси х по сравнению с пленкой проводящей токи вдоль оси z.

Рисунок 3.8.

Рисунок 3.9.

Влияние такой пленки на волны HE(3), HE(4) уменьшается (по сравнению с однородной пленкой), и из рисунка 3.7. видно, что в запредельной области характеристики волн сближаются в частотном диапазоне существования комплексной волны в структуре без пленки, а действительные части продольных волновых чисел в диапазоне существования комплексной волны имеют небольшие максимумы дисперсионной характеристики.

При уменьшении проводимости пленки характеристики волн HE(3), HE(4) в диапазоне существования комплексной волны сближаются еще больше, а при отсутствии пленки сливаются, и образуется комплексная волна.

Таким образом, можно сделать вывод, что рассмотренную в данном параграфе структуру с изотропной резистивной пленкой между диэлектрическими слоями подложки можно использовать в качестве базового элемента аттенюатора или согласованной нагрузки. ЭМПЛ с резистивной пленкой проводящей токи вдоль оси x, можно использовать в качестве базового элемента фильтра мод для увеличения частотного диапазона одномодового режима.

3.2.3 Расчет характеристик аттенюатора на базе экранированной МПЛ с резистивными пленками Рассмотрим ЭМПЛ с резистивной пленкой, нанесенной на границу раздела областей 2 и 3 (рисунок 3.1.). Таким образом, рассматривается структура только с резистивными пленками на границе между диэлектрической подложкой и частичной областью микрополоска (между 2 и 3 областями, рисунок 3.1), расположенными по обе стороны микрополоска и сплошной подложкой.

На рисунке 3.10. приведены дисперсионные характеристики и характеристики затухания для квази-Т волны и четырех волн высшего типа для следующих параметров структуры с резистивной пленкой:

2a1 / b2 1,0;

a 3,5a1;

b 2,5b2 ;

b3 1,02b2 ;

~1 ~2 9,6, – толщина b подложки. Пунктирными линиями обозначены характеристики волн, рассчитанные без резистивной пленки. Сплошными линиями изображены дисперсионные характеристики и характеристики затухания волн для двух значений 12 2 0,008 См и 12 2 0,02 См. Видно, что в 2 области одномодового режима затухание волны квази-Т несколько больше, чем при тех же значениях поверхностной проводимости пленки, диэлектрической проницаемости и толщины подложки в ЭМПЛ с пленкой между слоями подложки (рисунки 3.3, 3.4). Это можно объяснить, рассмотрев структуры электрических полей квази-Т волны, приведенных на рисунках 2.16-2.18. Видно, что с приближением к границе подложки и области микрополоска увеличивается составляющая электрического поля волны квази-Т, направленная вдоль оси х, следовательно резистивная пленка расположенная между 2 и 3 областями сильнее взаимодействует с квази-Т волной чем пленка расположенная между слоями подложки. Учитывая, что такая ЭМПЛ значительно проще в изготовлении, произведем проектирование аттенюатора на ее основе.

Рисунок 3.10.

Расчеты характеристик производились для ЭМПЛ параметры которой имеют следующие значения: 2a1 b2 =1 мм;

а=2,5 мм;

b=2,5 м;

толщина микрополоска 0,02 мм;

~1 ~2 9,6. Волновое сопротивление такой ЭМПЛ без пленки будет Z в =50 Ом.

В таблице 3.3 приведены результаты проверки сходимости решений дисперсионной задачи по продольному волновому числу для квази-Т, HE(1) и HE(2) волн. Расчеты производились при k0b2 0,2, n – число членов ряда в третьей ~ области. В таблице 3.3. приведены значения 1 1 и 2b2 комплексного k продольного волнового числа 1 i 2.

Таблица 3.3.

HE(1) HE(2) квази-Т (см) ~ ~ ~ n 1 1 1 1 1 2b2 2b2 2b k0 k0 k 0 2,7225 0 0 -0,8047 0 -1, 0,008 2,4901 -0,2063 0,0335 -0,8005 0,5521 -1, 0 2,7161 0 0 -0,8551 0 -1, 0,008 2,6022 -0,2322 0,0367 -0,8139 0,5333 -1, 0 2,7149 0 0 -0,8641 0 -1, 0,008 2,6280 -0,2404 0,0371 -0,8153 0,5342 -1, 0 2,7151 0 0 -0,8659 0 -1, 0,008 2,6310 -0,2421 0,0373 -0,8162 0,5347 -1, С уменьшением частоты коэффициент замедления квази-Т волны увеличивается и стремится к бесконечности, с увеличением частоты – сначала ~ 9,6. С увеличением уменьшается, а потом увеличивается и стремится проводимости резистивной пленки затухание квази-Т волны увеличивается.

Для волн высших типов влияние резистивной пленки в основном сказывается вблизи критических частот волн ЭМПЛ без резистивной пленки. На частотах ниже критической в запредельной области характеристики волн ЭМПЛ без резистивной пленки и с пленкой совпадают.

Так как решения краевой задачи получаются в незамкнутой форме, то решение строгой дифракционной задачи представляет определенные трудности, поэтому для расчета аттенюатора(рисунок 3.11) ниже используется одноволновое приближение.

Приведенный на рисунке 3.11 аттенюатор изготавливается на основе ЭМПЛ с резистивной пленкой длиной имеющей гальванический контакт l, с микрополоском и экраном. В корпусе 1 монтируется МПЛ на поликоровой плате ( ~ 9,6 ) с резистивными пленками 4. Корпусные контакты 5 обеспечивают гальванический контакт резистивных пленок с экранирующей поверхностью.

Размеры устройства: w=0,92 мм;

b1=1,0 мм;

а=3,5 мм;

b=2,5 мм;

толщина микрополоска t=0,02 мм.

а) б) Рисунок 3.11.

На рисунке 3.12. представлена эквивалентная схема ЭМПЛ с резистивной пленкой, где Rn, Gn, Cn, Ln – погонные параметры.

LП RП CП GП Рисунок 3.12.

Погонные параметры линии передачи в общем случае связаны с ее комплексной постоянной распространения соотношением132:

Rn iLn Gn iCn, 2 i1 (3.10) где 1 - фазовая постоянная, 2 - коэффициент затухания.

Волновое сопротивление линии передачи:

Rn iLn Z в ei, Zв (3.11) Gn iCn Gn R n R L 2 2 Cn Ln где Z в 4 arctg n n ;

.

G 2C 2 Gn Rn 1 n n Ln Cn Так как проводимость резистивных пленок значительно меньше проводимости полоска и экрана МПЛ, продольные токи в резистивных пленках можно полагать пренебрежимо малыми по сравнению с продольными токами в Rn 0.

полоске и экране, следовательно, можно положить Погонная проводимость определяется поверхностным сопротивлением резистивных пленок rпов Ом/ и расстоянием d от полоска до экрана:

Gn. (3.12) rпов d Тогда значения Ln и C n из уравнения (3.10) получаем в виде:

212 1 2 Gn Ln ;

Cn. (3.13) Gn Эквивалентная схема аттенюатора представляет собой каскадное соединение четырехполюсников (рисунок четырехполюсник 3.13): 1– образованный стыком регулярной экранированной МПЛ с волновым сопротивлением =50 Ом и МПЛ с резистивными пленками, 2 – отрезок МПЛ с резистивными пленками длиной l, 3 – четырехполюсник, образованный стыком МПЛ с резистивными пленками и регулярной экранированной МПЛ с =50 Ом.

1 Рисунок 3.13.

Определим сначала элементы волновой нормированной Т-матрицы 1-ого четырехполюсника (рисунок 3.13):

1 Z ;

Z 1 Z b ;

Z b T1 Z Z, 2 Z b Z b ;

Z b 2 Z 1 ;

Z Z Z где Z Z в /.

Для отрезка МПЛ с резистивными пленками длины l:

e l ;

T2.

0;

e l Для третьего четырехполюсника:

1 Z ;

Z T3 1 Z Z.

1 2 Z ;

Z Z Z Результирующая Т-матрица каскадного соединения четырехполюсников находится как132:

Т Т1 Т 2 Т 3.

Выполняя преобразования получим:

1 4chl Z 2shl ;

Z 2shl Z Z Т.

1 Z 2shl ;

Z 2shl 4chl Z Z Используя связь между S и Т-матрицами 132:

1 t12 detT S.

t 22 1 t После преобразований получаем элементы матрицы рассеяния аттенюатора:

Z sh l Z S11 ;

(3.14) Z sh l 2chl Z S12, (3.15) 2chl Z shl Z где Z Z в /.

Рассчитав по формуле (3.11) волновое сопротивление Zв, подставляем его в формулы (3.14, 3.15) находим S-параметры каскадного соединения(рисунок 3.13).

На рисунках приведены характеристики ослабления и 3.14, 3. коэффициент стоячей волны по напряжению (КСВН) аттенюаторов на базе ЭМПЛ с резистивными пленками при различных значениях поверхностного сопротивления и различных длинах резистивной пленки l, поверхностные сопротивления rпов =20 Ом/ и 50 Ом/. Пунктирной линией показаны экспериментальные кривые, сплошной – теоретические. Расчеты производились при следующих параметрах МПЛ: 2a1 b1 =1 мм;

а=2,5 мм;

b=2,5 мм;

t=0,02 мм;

~ =9,6, (рисунок 3.11) поверхностные сопротивления r =20 Ом/ и 50 Ом/.

1 пов При этих параметрах МПЛ без пленки имеет волновое сопротивление Z в =50 Ом, что необходимо для согласования ее со стыком регулярной экранированной МПЛ с волновым сопротивлением =50 Ом.

Отличия теоретических и экспериментальных значений ослабления и КСВН аттенюаторов в исследуемом частотном диапазоне не превышают 10 %. Это говорит о том, что расчет в одноволновом приближении достаточно точен.

Рисунок 3.14.

Рисунок 3.15.

При всех рассмотренных значениях rпов ослабление плавно нарастает с ростом частоты, достигает максимума при f 79 (ГГц), а затем плавно уменьшается.

Проведенные исследования показали, что для изготовления аттенюаторов целесообразно применять МПЛ с резистивными пленками, имеющими большие значения поверхностного сопротивления. Это обеспечит широкополосность устройства и наименьшее значение КСВН. Результаты, представленные в данном разделе, опубликованы в 129.

3.3 Круглый открытый диэлектрический волновод, покрытый резистивной пленкой Применяя МПТ, рассмотрим открытый диэлектрический волновод (ОДВ) круглого сечения радиусом r=a, покрытый резистивной пленкой (рисунок 3.16).

Резистивная пленка Рисунок 3.16.

Для рассматриваемой структуры ставится краевая задача на уравнении Гельмгольца:

П e1m 2 П e1m 0,,, (3.16) z,2 z, где П e,m – продольные составляющие электрического и магнитного векторов z1, Герца в области 1 (диэлектрический стержень) и области 2 (окружающая среда).

Решения краевой задачи для однородного уравнения Гельмгольца относительно продольных компонент электрического и магнитного векторов Герца выглядят, следующим образом:

П e A1 J n 1r cos ne iz ;

z (3.17) П z1 B1 J n 1r sin ne iz m ;

П e A2 H n2 ) 2 r cos ne iz ;

( z, П z1 B1 H n 2 r sin ne iz m ( 2), где 1,2 – поперечные волновые числа первой и второй области, связанные с продольным волновым числом соотношением:

1,21,22 1,2 (3.18) H n2 ) – функции Ханкеля второго рода.

( Выражая через вектора Герца компоненты электрического поля, получаем I область:

Ez1 1 A1J n 1r cosneiz ;

H z1 1 B1 J n 1r sin ne iz ;

i1n Er1 i1 A1J n 1r B1J n 1r cosne iz ;

r i1n A1J n 1r i1B1J n 1r sin neiz ;

H r r in A1J n 1r i11B1J n 1r sin ne iz ;

E r in H 1 i11 A1J n 1r B1J n 1r cosne iz ;

r II область:

E z 2 2 A2 H n2 2 r cosne iz ;

H z 2 2 B2 H n2 2 r sin ne iz ;

i 2n Er 2 i2 A2 H n2 2 r B2 H n2 2 r cosneiz ;

r i 2n A2 H n2 2 r i2 B2 H n2 2 r sin neiz ;

H r r in A2 H n2 2 r i 22 B2 H n2 2 r sin neiz ;

E r in H 1 i 22 A2 H n2 2 r B2 H n2 2 r cosneiz.

r Накладываем граничные условия для тангенциальных компонент электрического и магнитного полей:

1) Ez1|r=a = Ez2|r=a;

2) E1|r=a = E2|r=a;

(3.19) 3) H1|r=a – H2|r=a = –jzпов= –1 Ez1|r=a;

4) Hz1|r=a – Hz2|r=a =jпов=2 E1|r=a, где 1 – продольная проводимость вдоль координаты z, 2 – поперечная проводимость пленки Современные технологии напыления металлических пленок позволяют создавать анизотропное напыление: продольно-проводящее (в виде узких продольных полосок) и азимутально-проводящее (в виде узких проводящих 1=20, то это изотропная пленка. Если 10;

2=0 – колец). Если 1=0;

20 – азимутально продольно-проводящая (рисунок 3.17 а) если проводящая пленка (рисунок 3.17 б).

а) б) Рисунок 3.17.

Подставляем компоненты поля в граничные условия(3.19) и получаем систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитудных коэффициентов векторов Герца. Условие нетривиальности решений системы дает дисперсионное уравнение волн структуры.

Краевая задача для рассматриваемой структуры является несамосопряженной [32], кроме случаев, рассмотренных в первой главе, даже в отсутствие РП. При наличии РП волновые числа поверхностных волн становятся комплексными благодаря наличию тепловых потерь, связанных с протеканием токов проводимости в пленке. Дисперсионное уравнение решается на комплексной плоскости одного из волновых чисел.

На рисунке 3.18 а приведены дисперсионные характеристики волн, а на рисунке 3.18 б характеристики затухания в структуре без резистивной пленки ( ~ 9.6, ~ 1., = =0). По горизонтальной оси на рисунке 3.18 отложен 1 ~ V k0 a ~1 ~2, по вертикальной 1 1 k параметр – коэффициент замедления (рисунок 3.18 а) и 2а – нормированная на радиус ОДВ (рисунок 3.18 б) мнимая часть комплексного продольного волнового числа =1+i2.

В такой структуре существуют симметричные E0m и H0m и гибридные EHnm и HEnm волны. С увеличением частоты дисперсионные характеристики ~ ~. При симметричных и гибридных волн стремятся к величине 1 1 k0 уменьшении частоты характеристики поверхностных волн EHnm, E0m и H0m переходят сначала в вытекающие, а затем в медленные несобственные волны[23, 133]. При больших значениях относительной диэлектрической проницаемости первой области ~1 на характеристиках EHnm существуют участки, соответствующие собственным комплексным волнам[23]. На рисунке 3.18 такой ~ участок существует у характеристики волны EH11( 1 1 k0 0) в диапазоне частот V 1.3 1.8.

а) Рисунок 3.18.

б) Рисунок 3.18.

В волноводе с резистивной пленкой продольное волновое число становится комплексным во всем диапазоне частот =1+i2. Все расчеты производились при ~ =9.6, в СВЧ – диапазоне, где для пленок достаточно хорошо выполняется условие · [21]. Влияние пленки будет рассматриваться только в области поверхностных волн, которые представляют наибольший интерес для разработчиков РЭА. Влияние пленки на волны ОДВ, где они являются вытекающими, не рассматривается.

На рисунке 3.19 приведены характеристики дисперсии и затухания симметричных поверхностных волн (n=0), а на рисунке 3.20 с индексам n=1 при значении 1,2=0,002 /Ом.

Рисунок 3.19.

Видно, что затухание волн высших типов с уменьшением частоты возрастает, достигая максимумов около критических частот. Однако, четкие критические частоты у волн при наличии пленки исчезают – наблюдается ~ при V 0. Это медленное стремление постоянной замедления к соответствует слабонаправленным волнам, возникающим благодаря поглощающей пленке. Такое поведение в ОДВ без пленки характерно при V 0 только для основной волны HE11.

Рисунок 3.20.

Рассмотрим влияния изменения величины от 5·10-7 до 1,0 /Ом на характеристики дисперсии и затухания волн. Практически изменение можно изменять путем изменения толщины пленки при неизменном ее химическом составе. Для всех волн наблюдается увеличение затухания с ростом. Тепловые потери, вызываемые токами проводимости в пленке, растут. Реальная часть при различных малых значениях у волн высших типов почти не изменяется. При увеличении до 1 /Ом для всех рассматриваемых волн наблюдается эффект экранирования – трансформации характеристик дисперсии и затухания поверхностных волн в соответствующие характеристики волн круглого ~ =9,6.

экранированного волновода, заполненного диэлектриком с Остановимся подробнее на взаимодействии с резистивной пленкой основной волны ОДВ HE11. На рисунке 3.21 приведены характеристики дисперсии и затухания при изменении от 5·10-7 до 0,007 /Ом.

На рисунке 3.22 отдельно приведены характеристики затухания для небольших значений. Видно, что с увеличением затухание неуклонно растет. Постоянная замедления вплоть до =0,002 /Ом практически не меняется. Далее с ростом вплоть до 0,007 /Ом наблюдается эффект «замедления» волны в низкочастотной области. Объяснить это можно тем, что толстая пленка «запирает» поле поверхностной волны в диэлектрике.

Рисунок 3.21.

Рисунок 3.22.

При дальнейшем увеличении волна в низкочастотной области становится быстрой и при =1 /Ом возникает эффект экранирования – волна трансформируется в основную волну H11 круглого волновода (рисунок 3.23).

Рисунок 3.23.

Рассмотрим влияние различной проводимости пленки на спектр волн ОДВ.

Очевидно, в продольно проводящих пленках(рисунок 17 а) будут иметь потери волны, имеющие отличную от нуля компоненту Ez при r=a, в азимутально проводящих(рисунок 17 б) – пленки, имеющие при r=a ненулевую компоненту E. На рисунках 3.24 а-д представлены радиальные распределения компонент Ez и E волн HE11, E01, H01, EH11 и HE12 волновода без пленки радиусом 1мм.

Из рисунков 3.24 б,в видно, что у симметричных волн E01 и H01 на поверхности волновода отличны от нуля, соответственно, компоненты Ez и E, касательные к пленке, и, следовательно, создающие в ней токи проводимости.

У волн HE11 и HE12 обе компоненты (Ez и E) на границе r=a весьма значительны (рисунки 3.24 а,д) а у волны EH11 E заметно преобладает по модулю над Ez (рисунок 3.24 г). Подпись Im(E) на рисунках означает, что при действительном значении Ez значение E – чисто мнимое за счет сдвига фаз компонент поля между максимальными значениями. Из рассмотрения можно сделать вывод, что волны будут иметь различные потери в анизотропных пленках.

а) Рисунок 3. б) в) Рисунок 3. г) д) Рисунок 3.24.

Численные расчеты показали, что с продольно проводящей пленкой активно взаимодействуют волны E0n и HE1n ( рисунок 3.25, рисунок 3.26).

/k 2, H H E 1, E 0, V 2 3 4 5 6 7 -0, a E01 E Рисунок 3.25.

Рисунок 3.26.

С азимутально проводящей активно взаимодействуют волны H0n и EH1n (рисунок 3.27, рисунок 3.28).

Рисунок 3.27.

/k 3, HE 2, EH HE 1, 0, V 0 2 4 6 -0, a EH Рисунок 3.28.

Из полученных результатов расчета можно сделать вывод об избирательном влиянии анизотропной пленки на характеристики поверхностных волн. Данный эффект может быть использован для создания на основе ОДВ с такими пленками, например, селективных фильтров волн.

Результаты исследований, представленные в данной главе, опубликованы в [77, 129].

3.4 Выводы 1. Решена краевая задача для ЭМПЛ с резистивными пленками с использованием МПТ.

2. Исследовано влияние пленок с различной анизотропией на спектр волн ЭМПЛ.

3. Рассчитаны характеристики аттенюатора на базе ЭМПЛ с резистивной пленкой с использованием эквивалентной схемы устройства.

4. С использованием МПТ решены краевые задачи для ОДВ с анизотропно проводящими резистивными пленками.

5. Исследовано влияние пленок с различной анизотропией на спектр поверхностных волн ОДВ Глава ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ПРИСОЕДИНЕННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДВУХСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ НАПРАВЛЯЮЩИХ СТРУКТУР 4.1 Введение В первой главе диссертации было введено понятие присоединенной краевой задачи, показана возможность существования решений, соответствующих присоединенным волнам. В данной главе диссертации приводятся два возможных варианта записи решений краевых задач, описывающих волны в двухслойных цилиндрических структурах (рисунки 4.1. а, б), удовлетворяющих одной и той же системе граничных условий. Краевые задачи для круглого экранированного двухслойного волновода (рисунок 4.1. а) и круглого открытого диэлектрического волновода (рисунок 4.1. б) относятся в общем случае к классу несамосопряженных [21, 23, 134–136], в результате чего собственные значения краевых задач являются(в общем случае) комплексными величинами При отсутствии диссипации энергии действительные [56].

собственные значения соответствуют обычным волнам (распространяющимся и запредельным), комплексные собственные значения –комплексным волнам [21, 23, 137, 138]. Эти решения соответствуют первому варианту краевой задачи.

Решения второго варианта краевой задачи (присоединенная краевая задача) соответствуют присоединенным волнам.

В настоящей главе диссертации показано, что два варианта записи решений краевых задач, приводящие к различным дисперсионным уравнениям, могут давать одни и те же решения последних, что говорит о вырожденности собственных значений рассматриваемых краевых задач на уравнении Гельмгольца.

4.2 Первый вариант решения краевых задач для двухслойных цилиндрических направляющих структур Первый вариант решения краевой задачи для двухслойных цилиндрических направляющих структур (рисунок 4.1. подробно исследован в [97, 134-138]. Для сравнения с постановкой присоединенной краевой задачи приведем его в сокращенном виде в настоящем параграфе.

а) б) Рисунок 4.1.

Поля волн, рассматриваемых структур описываются продольными компонентами электрического и магнитного векторов Герца:

П e1 A1e J n 1r cosn e iz ;

z П m1 A1m J n 1r sin e iz ;

(4.1) z П e 2 B2e R e 2 r cos n e iz ;

z П m2 B2m R m 2 r sin n e iz, (4.2) z где 1,2 – поперечные волновые числа в первом(центральном) и во втором слоях, связанные с продольным волновым числом соотношением:

1,21,22 1,2 2.

(4.3) В круглом двухслойном экранированном волноводе (рисунок 4.1, а):

J n 2 r Y 2b J n 2b Y 2 r R e 2 r J n 2 a Y 2b J n 2b Y 2 a ;

J n 2 r Y 2b J n 2b Y 2 r R m 2 r J n 2 a Y 2b J n 2b Y 2 a ;

в круглом диэлектрическом волноводе (рисунок 4.1, б) R e 2 r R m 2 r H n2 2 r, r r где J n и Yn - цилиндрические функции 1-го и 2-го рода;

1, 2 1, H n2 2 r - функция Ханкеля 2-го рода.

Векторы Герца (4.1) описывают поле в первом слое с диэлектрической проницаемостью 1, векторы Герца (4.2) – во втором слое с диэлектрической проницаемостью 2.

Выражая компоненты поля через векторы Герца (4.1) и (4.2) и подставляя их в граничные условия, получаем систему 4-х линейных однородных алгебраических уравнений относительно коэффициентов: A1,2, B1,2. Записывая условие нетривиальности ее решений (приравнивая нулю главный определитель), получаем дисперсионное уравнение волн [21, 23] рассматриваемых направляющих структур:

J a R e a J a R m a 12 n 1 22 e 2 1 n 1 2 m 1 J n 1a 2 R 2 a 1 J n 1a 2 R 2 a 2 (4.4) n 11 2 2 1 2 2 2 2, a 2 1 2 1 которое решается совместно с уравнениями (4.3) в пространстве волновых чисел: 1,2,.

При n=0 (симметричные волны) уравнение (4.4) распадается на два дисперсионных уравнения волн E0m и H0m. При этом в случае экранированного волновода краевая задача становится [23] самосопряженной. Как следствие, волновые числа симметричных волн экранированного волновода либо действительные, либо чисто мнимые (собственные значения краевой задачи – действительные величины).

Вопрос о возможности существования решений краевой задачи, имеющих те же собственные значения, но отличающиеся от (4.1), (4.2), до настоящего времени не поднимался. В работах [70, 139, 140] был поставлен вопрос о существовании так называемых присоединенных волн [64, 65, 141] и кратности собственных значений краевой задачи рассматриваемого вида.

4.3 Второй вариант решения краевой задачи.

Присоединенная краевая задача 4.3.1 Круглый экранированный двухслойный волновод Рассмотрим постановку и решения присоединенной краевой задачи для круглого экранированного двухслойного волновода. Для однородного уравнения Гельмгольца:

2 Пe,m 1 Пe,m 1 2 Пe,m 2 П e,m 2 Пe,m 0, z 2 z z z (4.5) r r r z z 2 2 r где r,, z – цилиндрические координаты, могут быть найдены решения, вида:

cos n Пe,m R r f z R r f z sin n. (4.6) z Функции, входящие в (4.6), удовлетворяют уравнениям:

2 n R r R r r 2 R r 0 ;

(4.7) r n R r R r r 2 2 R r R r ;

(4.8) r f z 2 f z f z ;

(4.9) f z 2 f z 0, (4.10) где поперечное и продольное волновые числа связаны соотношениями:

1,21, 22 1, 2 2.

(4.11) Уравнения (4.8) и (4.9) являются [23, 70] присоединенными к уравнениям (4.7) и (4.10), соответственно.

В случае круглого экранированного волновода решения уравнения (4.7) в области 0 r a (рисунок 4.1) имеют вид:

R e, m r Ae,m J n 1r ;

(4.12) n в области a r b :

J n 2 r Y 2b J n 2bY 2 r R e 2 r ;

J n 2 a Y 2b J n 2bY 2 a n J n 2 r Y 2b J n 2bY 2 r R m 2 r.

J n 2 a Y 2b J n 2bY 2 a n Присоединенные решения уравнения (4.8):

в первой области R e, m r n1 1r Cne1,m J n 1r ;

(4.13) n во второй области R e, m r n 2 2 r Cne2m Rne2m 2 r,,, (4.14) n где 1r 2Yn (1r ) J n1 (1r ) J n1 (1r ) n1 1r J n (1r ) J n 1 (1r )Yn 1 (1r ) J n (1r ) J n 1 (1r )Yn 1 (1r ) ;

2 r J n ( 2 r ) J n 1 ( 2 r )Yn 1 ( 2 r ) n 2 2 r J n 1 ( 2 r )Yn 1 ( 2 r ) Yn 2 r J n 1 ( 2 r ) J n 1 ( 2 r ) i iJ n 2 r Yn 1 ( 2 r )Yn 1 ( 2 r ) Yn 2 r J n 1 ( 2 r )Yn 1 ( 2 r ) J n 1 ( 2 r )Yn 1 ( 2 r ).

Решение уравнения (4.9) имеет вид iz iz f z e 2 e iz C1e iz, (4.15) 2 уравнения (4.10) f z C1eiz. (4.16) Подставляя – в и выполняя алгебраические (4.12 4.16) (4.6) преобразования, получаем векторы Герца в виде:

cos n iz e e, e iz e П e,m Cnq,m Rnqm q r Dnq,m Rnq,m q r nq q r e, (4.17) sin n zq где q – номер слоя.

Через электрический и магнитный вектора Герца выражаем компоненты полей:

2 iz Ez1 1 Cne1 J n 1r n1 1r Dne1 J n 1r 2 Dne1 J n 1r cosne iz ;

1 iz Ez 2 2 Cne2 Rne 2 r n 2 2 r Dne2 Rne 2 r 2 Dne2 Rne 2 r cosne iz ;

1 2 iz H z1 1 Cnm1 J n 1r n1 1r Dnm1 J n 1r 2 Dnm1 J n 1r sin ne iz ;

1 iz H z 2 2 Cnm2 Rnm 2 r n 2 2 r Dnm2 Rnm 2 r 2 Dnm2 Rnm 2 r sin ne iz ;

1 n E1 i Cne1 J n 1r n1 1r i11 Cnm1 J n 1r 1 1r n r iz n e in e i Dn1 J n 1r i11 Dnm1 J n 1r Dn1 J n 1r sin ne iz ;

2 r 2r n E 2 i Cne2 Rne2 1r n 2 2 r i 2 2 Cnm2 Rnm2 2 r 2 2 r n r iz n e e in e e i Dn 2 Rn 2 2 r i 2 2 Dnm2 Rnm2 2 r Dn 2 Rn 2 2 r sin ne iz ;

2 r 2r H 1 i Cnm1 J n 1r n1 1r i11 Cne1 J n 1r 1 1r n n r iz n m in m i Dn1 J n 1r i11 Dne1 J n 1r Dn1 J n 1r cosne iz ;

2 r 2r H 2 i Cnm2 Rnm2 1r n 2 2 r i 2 2 Cne2 Rne2 2 r 2 2 r n n r iz n m m in m m i Dn 2 Rn 2 2 r i 2 2 Dne2 Rne2 2 r Dn 2 Rn 2 2 r cosne iz.

2 r 2r Подставляем полученные компоненты полей в граничные условия:

E z1 r a E z 2 r a ;

H z1 r a H z 2 r a ;

E1 r a E 2 r a ;

H1 r a H 2 r a, (4.18) Приравнивая в граничных условиях члены, пропорциональные z, получаем систему уравнений (I):

(I) m m n e Dn1 J n 1a Dn 2 Rn 2 2 a 11Dn1 J n 1a 2 2 Dn 2 Rn 2 2 a 0;

e e m a D e J a D e R e a n D m J a D m R m a 0;

1 1 n1 n 1 2 2 n2 n2 n1 n 1 n2 n2 a 1 Dn1 J n 1a 2 Dn 2 Rn 2 2 a 0;

2e e e 1 Dn1 J n 1a 2 Dn 2 Rn 2 2 a 0.

2m mm Приравнивая в граничных условиях остальные члены, получаем вторую систему уравнений (II):

(II) m m n e Cn1 J n 1a Cn 2 Rn 2 2 a 11Cn1 J n 1a 2 2Cn 2 Rn 2 2 a d1;

e e m a C e J a C e R e a n C m J a C m R m a d ;

1 1 n1 n 1 2 2 n2 n2 n1 n 1 n2 n2 2 a 1 Cn1 J n 1a 2Cn 2 Rn 2 2 a d 3 ;

2e e e 1 Cn1 J n 1a 2Cn 2 Rn 2 2 a d 4, 2m mm где n n 2 ( 2 a) n1 (1a) d a n 2 2 n 2 ( 2 a) 11 n1 (1a) ;

Dn 2 Rn 2 ( 2 a) Dn1 J n (1a) e e e 2 a n n 2 ( 2 a) n1 (1a) d a n ;

2 2 n 2 ( 2 a) 11 n1 (1a) Dn 2 Rn 2 ( 2 a) Dn1 J n (1a) m m m 2 a d3 2 n 2 2 a 12 n1 1a Dn1 J n (1a) Dn 2 Rn 2 ( 2 a) ;

2 e e e d 4 2n 2 2a 1 n1 1a Dnm1 J n (1a) Dnm2 Rnm2 (2a).

Главные определители систем (I) и (II) совпадают. Чтобы система (I) имела нетривиальные решения необходимо, чтобы её главный определитель был равен нулю.

a11 a 0. (4.19) a21 a Выражение (4.19) соответствует дисперсионному уравнению нормальных волн рассматриваемой направляющей структуры.

Система (II) будет иметь совместные с системой (I) решения только при условии обращения в нуль дополнительных определителей:

c1 a (4.20 а) ;

c2 a a11 c 0. (4.20 б) a21 c В уравнениях (4.19), (4.20) использованы обозначения:

n a11 1 2 J n (1a) a22 ;

a Rn 2 ( 2 a) 1 m a12 1 1 J n (1a) 2 J ( a) 2 n 1 Rnm2 ( 2 a) ;

R e ( a) (1a) 2 1 J n (1a) ne2 2 ;

a21 1 1 J n 2 Rn 2 ( 2 a) d 4 Rn 2 ( 2 a) m n d c1 d1 2 2 m a 2 2 Rn 2 ( 2 a) ;

d3 Rn 2 ( 2 a) e n d c2 d 2 2 2 e a 2 2 Rn 2 ( 2 a).

Решения дисперсионной задачи, соответствующие присоединенным волнам, находятся при совместном решении трех уравнений (4.19, 4.20а,б) и уравнений, связывающих волновые числа (4.11).

На рисунке 4.2 показана область параметров существования в данной структуре комплексных волн (КВ) [112, 137]. Численные исследования показали, что комплексные и присоединенные решения краевой задачи для рассматриваемой направляющей структуры существуют в заштрихованной области ее параметров.

Рисунок 4.2.

На рисунке 4.3. приведены дисперсионные характеристики волн круглого двухслойного экранированного волновода с параметрами: 1/2=15, b/a=2,6.

Решения присоединенной краевой задачи находятся в месте соединения дисперсионных характеристик распространяющихся НЕ11 и ЕН11 (рисунок 4.3), если параметры структуры принадлежат области, ограниченной снизу участком b a 1 до кривой (выделена жирной линией, рисунок 4.2) в пределах от b a 2,7. В точках, где соединяются указанные ранее максимума при дисперсионные характеристики, возникают также [137] КВ (точки А, В рисунок 4.3).

Рисунок 4.3.

На рисунке 4.4. приведены дисперсионные характеристики волн круглого двухслойного экранированного волновода с параметрами: 1/2=9,6, b/a=3,85.

Присоединенные решения могут быть найдены в точке соединения характеристик волн НЕ12 и ЕН12 в запредельной области, в точке Жордановой кратности (рисунок 4.4.), при параметрах структуры, принадлежащих области b a 2,7.

(рисунок 4.2.) ограниченной снизу сплошной кривой для 1/k HE HE EH k0b 0 1 2 3 4 5 6 HE - B EH - A K - - 2b Рисунок 4.4.

При приближении значений параметров 1/2 и b/a, описывающих круглый экранированный двухслойный волновод, к границе заштрихованной области (рисунок 4.2) частотный участок существования КВ уменьшается (пунктирная линия между точками А и В рисунок 4.3, рисунок 4.4), а при выходе за пределы этой области решения краевой задачи, соответствующие комплексным и присоединенным волнам, исчезают.

Характеристики, приведенные на рисунке 4.3. и рисунке 4.4, получены в результате решения уравнения (4.19). Уравнение (4.19) совпадает с дисперсионным уравнением (4.4), полученным при постановке первого варианта краевой задачи, следовательно, и значения волновых чисел, полученные при решении обоих уравнений, будут одинаковые. Решения уравнений (4.4) и (4.19) соответствуют нормальным волнам круглого экранированного двухслойного волновода(распространяющимся, реактивно-затухающим и комплексным).

Для нахождения присоединенных решений краевой задачи осуществлялось совместное решение трех трансцендентных уравнений(4.19, 4.20а,б). Присоединенным волнам соответствуют на плоскости (,) точки, являющиеся совместными решениями уравнений (4.19), (4.20а,б). Численные исследования показали, что решения этих уравнений располагаются вблизи друг относительно друга и совпадают в точке возникновения комплексной волны.

На рисунке 4.5 приведены решения указанных уравнений в волноводе с 1/2=15, параметрами: b/a=2,6, расположенные вблизи дисперсионной характеристики комплексной волны К1, показанной на рисунке 4.3.

Сплошной линией представлено решение уравнения (4.19), пунктирной – (4.20, а), точечной – (4.20, б). Из рисунка 4.5 видно, что кривые решений близки друг к другу (действительные части продольного волнового числа), но не совпадают (мнимые части продольного волнового числа различаются более существенно). Соединение всех трех кривых происходит лишь в точке возникновения комплексной волны. Масштаб рисунка 4.5, на котором представлены результаты расчетов, может создать видимость совпадения корней уравнений (4.19), (4.20а,б) вдоль всей дисперсионной характеристики комплексной волны, при увеличении масштаба (рисунок 4.6) видно, что решения не совпадают(кроме точки 4, рисунок 4.6).

Рисунок 4.5.

Рассмотрим точку перехода комплексной волны в распространяющиеся волны по действительной части продольного волнового числа (рисунок 4.6) и по мнимой (рисунок 4.7).

На рисунке 4.6, изображены действительные части продольных волновых чисел волн вблизи точки возникновения присоединенной волны (1/2=15, Цифрами обозначено: 1– волна HE11, 2 – комплексная волна К1, b/a=2,6).

образованная волнами HE11 и EH11, 3 –EH11, 4 – точка образования присоединенной волны.

Рисунок 4. На рисунке 4.7, изображены мнимые части продольных волновых чисел волн вблизи точки возникновения присоединенной волны (1/2=15, b/a=2,6).

Цифрами обозначено: 1– волна HE11, 2 – комплексная волна К1, образованная волнами HE11 и EH11, 3 –EH11, 4 – точка образования присоединенной волны Точные расчеты вблизи точки перехода комплексной волны в распространяющуюся показали совпадение решений уравнений (4.19), (4.20а,б) в точке образования комплексной волны. При удалении от этой точки решения трех трансцендентных уравнений расходятся как при движении по ветви решений, соответствующих распространяющейся волне НЕ11, так и по ветви решений, соответствующих комплексной волне К1. Аналогичная картина наблюдается в мнимой области (рисунок 4.7): все три решения совпадают, когда мнимая часть стремится к нулю.

Рисунок 4.7.

~ В таблице 4.1 приведены нормированные действительные 1 1 и k ~ 2 2 b части продольного волнового числа 1 i2, жирным мнимые шрифтом выделена строка, в которой содержатся решения дисперсионной задачи присоединенных волн экранированного ДВ, определяющие частотную локализацию присоединенной волны.

В столбцах разделенных двойной линией содержатся решения уравнений 4.19, 4,20 а,б соответственно. Приближение к месту локализации присоединенной волны происходит по характеристике комплексной волны.

Таблица 4. Нормирован Уравнение (4.19) Уравнение (4.20а) Уравнение (4.20б) ная частота real (1 imag (2 real (1 imag (2 real (1 imag ( k0*b 1,445952 0,512007 -0,097164 0,511999 -0,097234 0,512007 -0, 1,445990 0,512059 -0,092479 0,512128 -0,092423 0,512059 -0, 1,446057 0,511989 -0,083101 0,511931 -0,083180 0,511989 -0, 1,446087 0,511838 -0,078476 0,511821 -0,078477 0,511838 -0, 1,446117 0,511900 -0,073775 0,511848 -0,073652 0,511900 -0, 1,446170 0,511765 -0,064312 0,511771 -0,064309 0,511765 -0, 1,446192 0,511813 -0,059626 0,511820 -0,059645 0,511813 -0, 1,446215 0,511617 -0,054901 0,511615 -0,054880 0,511617 -0, 1,446237 0,511715 -0,050043 0,511854 -0,049799 0,511715 -0, 1,446252 0,511607 -0,045537 0,511613 -0,045563 0,511607 -0, 1,446320 0,511559 -0,021412 0,511575 -0,021354 0,511513 -0, 1,446327 0,511148 -0,016006 0,511148 -0,016000 0,511148 -0, 1,446342 0,504068 -0,000002 0,504066 -0,000002 0,504068 -0, Из таблицы 4.1 видно, что наилучшее совпадение мнимой и действительной частей продольных волновых чисел, получаемых из уравнений наблюдается при значении нормированной частоты (4.19), (4.20а,б), равном выделена жирным шрифтом), это значение 1,446327(строка соответствует присоединенной волне. Решение, записанное в следующей строке для уравнения (4.19), является волновым числом распространяющейся волны ЕН11, у которой мнимая часть нулевая.

Таким образом, можно утверждать, что присоединенное решение находится в точке возникновения комплексных волн, где мнимая часть продольного волнового числа стремится к нулю (точка 4 на рисунках 4.6, 4.7).

Действительная часть характеристики комплексных решений дисперсионного уравнения становится вблизи точки возникновения присоединенных волн перпендикулярной частотной оси, то есть групповая скорость d d 0, что говорит об отсутствии переноса энергии, то есть средний поток мощности за период через поперечное сечение направляющей структуры равен нулю.

E, H dS * P S В таблице 4.2. приведены результаты расчета среднего за период потока мощности комплексной волны при приближении к присоединенному решению по характеристике комплексной волны. Средний за период поток мощности рассчитывался через компоненты поля комплексной волны(строки таблицы 4.2, показанные обычным шрифтом).

Жирным курсивом выделено присоединенное решение (совместное решение трех уравнений 4.19, 4.20а,б). Средний поток мощности для присоединенного решения рассчитывался через компоненты поля присоединенной волны для z=0. Р1, Р2 – потоки мощности через частичные области 1, 2 (рисунок 4.1 а), Р – суммарный средний поток мощности через поперечное сечение круглого экранированного двухслойного волновода.

Таблица 4. 2 b k0b Re(P1) Re(P2) Re(P) k 1,446215 0,511617 -0,054901 2,145827 -2,145987 -0, 1,446237 0,511715 -0,050043 2,145947 -2,145932 0, 1,446252 0,511607 -0,045537 2,146180 -2,146167 0, 1,446320 0,511559 -0,021412 2,146182 -2,146163 0, 1,446327 0,511148 -0,016006 8,934257 -8,934379 -0, Из таблицы 4.2. следует, что средний поток мощности Р за период через поперечное сечение направляющей структуры, как для комплексной волны, так и для присоединенной волны равен нулю.

На рисунке 4.8 приведены решения уравнений (4.19, сплошная линия) и (4.20, а,б пунктирная и точечная линии соответственно) вблизи характеристики комплексной волны К2 (рисунок 4.4). Цифрами 1 и 2 обозначены решения соответствующие характеристикам экспоненциально затухающих волн НЕ12 и ЕН12 в запредельной области (рисунок 4.4.), 3 – комплексной волне, 4 – решение дисперсионной задачи, соответствующее присоединенной волне.

Рисунок 4. Видно, что наиболее значительно корни расходятся в области мнимых значений продольного волнового числа. Кривые решений трех уравнений сходятся в месте образования комплексной волны (в данном случае в точке соединения запредельных волн).

Уравнения (4.20, а,б) могут быть преобразованы в одно путем выражения одних амплитудных коэффициентов через другие, что приводит к поиску совместных решений только для двух уравнений. Подстановка решений, соответствующих присоединенным волнам, в эти уравнения подтвердило эквивалентность двух вариантов поиска собственных значений, соответствующих присоединенным волнам. Полученные в этом случае решение удовлетворяют уравнениям(4.19, 4.20, а,б) 4.3.2 Круглый открытый диэлектрический волновод Постановка присоединенной краевой задачи для круглого открытого диэлектрического волновода осуществляется аналогично постановке краевой задачи для экранированного двухслойного волновода. Для однородного уравнения Гельмгольца:

2 Пe,m 1 Пe,m 1 2 Пe,m 2 П e,m 2 Пe,m 0, z 2 z z z (4.21) r r r z z 2 2 r где r,, z – цилиндрические координаты, могут быть найдены решения, описывающие присоединенные волны, вида:

cos n Пe,m R r f z R r f z sin n. (4.22) z Функции, входящие в (4.6), удовлетворяют уравнениям:

2 n R r R r r 2 R r 0 ;

(4.23) r 2 n R r R r r 2 R r R r ;

(4.24) r f z 2 f z f z ;

(4.25) f z 2 f z 0, (4.26) где поперечное и продольное волновые числа связаны соотношением:

1,21, 22 1, 2 2.

(4.27) Уравнения (4.24) и (4.25) являются присоединенными к уравнениям (4.23) и (4.26), соответственно.

В случае круглого открытого волновода решения уравнения (4.23) в области 0 r a имеют вид:

Rne,m r Ae,m J n 1r ;

(4.28) во второй области r a :

Rne,2m r B e,m H n( 2 ) 1r.

Произведя алгебраические преобразования, описанные в параграфе 4.2.1, получаем три уравнения вида (4.19, 4.20, а, б). Волновые числа соответствующие присоединенным волнам, находим из совместного решения трех уравнений.

На рисунке 4.9 изображены участки дисперсионных характеристик волн круглого открытого диэлектрического волновода (ДВ) вблизи критической частоты (т. A) поверхностных волн: EH11, HE12 [21]. В эту точку сходятся ветви решений всех трех уравнений: (4.19) – сплошные линии, (4.20, а) – кривая 1, (4.20, б) – кривая 2. Номером 3 обозначен участок дисперсионной 9.6, характеристики вытекающей волны EH11. Параметры ДВ:

V k0 a 1 2.

1/k 2, EH 1, 2 HE A 0, V 3 3,5 4 4,5 5 5, Рисунок 4. Таким образом, в т. A совпадают собственные значения, соответствующие двум вариантам решений краевой задачи: первый вариант – обычные волны круглого открытого ДВ(поверхностные и вытекающие сплошные линии), описываемые обычным дисперсионным уравнением (4.4), и второй вариант – волна, описываемая совместным решением уравнений: (4.19), (4.20, а) и (4.20, б), которую в силу представления решения краевой задачи в виде (4.6), следует называть присоединенной.

4.4 О кратности собственных значений одного из видов краевых задач на уравнении Гельмгольца В предыдущем параграфе было рассмотрено решение присоединённой краевой задачи, которое удовлетворяет уравнениям (4.7-4.10).

Функция (4.17) будет удовлетворять обычному уравнению Гельмгольца nq q r является решением присоединенного (4.5) при условии, что функция уравнения Бесселя вида:

2 n q r q r 2 nq q r Dnqm Rnqm q r 1 e, e, (4.29) nq nq r r При этом в уравнениях (4.19), (4.20а,б) запись элементов будет следующей:

n a11 1 2 J n (1a) a22 ;

a R m2 ( a) (1a) 2 1 J n (1a) nm 2 ;

a12 1 1 J n 2 Rn 2 ( 2 a) Rn 2 ( 2 a) 1 e a21 1 1 J n (1a) 2 J ( a) e ;

2 n 1 Rn 2 ( 2 a) d 4 Rn 2 ( 2 a) m n d c1 d1 2 2 m ;

a 2 2 Rn 2 ( 2 a) d3 Rn 2 ( 2 a) e n d c2 d 2 2 2 e ;

a 2 2 Rn 2 ( 2 a) ne d1 Dn 2n 2 ( 2a ) Dn1n1 (1a ) e a ;

22 Dn 2n 2 ( 2a ) 11Dn1n1 (1a ) n Dn 2 Rn 2 (2a ) Dn1J n ( 1a ) m m e e e 2a nm d2 Dn 2n 2 ( 2a ) Dn1n1 ( 1a ) m a ;

22 Dn 2n 2 ( 2a ) 11Dn1n1 ( 1a ) n Dn 2 Rn 2 (2a ) Dn1 J n ( 1a ) e e mm m 2a d 3 2 Dn 2 n 2 2 a 1 Dn1 n1 1a Dn1 J n (1a) Dn 2 Rn 2 (2 a) ;

e 2 e e e e d 4 2 Dn 2 n 2 2 a 1 Dn1 n1 1a Dn1 J n (1a ) Dn 2 Rn 2 (2 a ).

m 2 m m m m e,m Главным отличием является появление амплитудного коэффициента Dn1, nq q r в выражениях для d1-d4. В формулах для с1-с4 все перед функциями Dnm2, выражаются через коэффициент Dne1. В m e коэффициенты Dn1, Dn 2, результате дополнительные определители а,б) сокращаются на (4.20, e коэффициенты Dn1.

На рисунке 4.10. изображены решения уравнений: (4.19) – сплошная линия(нормальные волны) и штрих-пунктирная (комплексные волны), (4.20а) – пунктирная и (4.20б) – точечная. Для следующих параметров структуры b 2.6, a 15.

Рисунок 4.10.

Dn1m e, При произвольных в значениях решения трех (4.21), трансцендентных уравнений сходятся, как показано на рисунке 4.10, не в точках дисперсионных характеристик образования комплексных волн (точки А и В рисунки 4.3, 4.4) [21, 23, 142, 143], а в произвольной точке дисперсионной характеристики нормальных волн (т. С, рисунок 4.10). Волновые числа также как и в рассмотренном выше случае являются решениями трех трансцендентных уравнений: (4.19), (4.20а) и (4.21б).

На рисунке 4.11 в увеличенном масштабе приведен участок рисунок 4.10 в области совместного решения уравнений (4.19), (4.20а) и (4.20б).

Рисунок 4.11.

Совместные решения уравнений (4.19), (4.20а) и (4.20б) так же существуют при других параметрах структуры.

На рисунке 4.4 в параграфе 4.1. были представлены ветви решений b 9.6.

уравнения (4.19) для параметров структуры: Сплошная 3.85, a линия соответствует дисперсионным характеристикам распространяющихся и запредельных волн, пунктирная – характеристикам комплексных волн.

На рисунке 4.12 для структуры с теми же параметрами приведены решения уравнений: (4.19) – сплошная линия(нормальные волны) (4.20а) – пунктирная и (4.20б) – точечная, при выполнении условия 4.29.

Рисунок 4. Полученные в настоящем параграфе решения удовлетворяют обычному уравнению Гельмгольца (4.5.), следовательно, можно сделать вывод о существовании кратных собственных значений краевых задач на уравнении Гельмгольца. Кратность собственных значений указывает на возможность существования в направляющих структурах волн с принципиально различными свойствами (с различной продольной зависимостью поля) в частности, присоединенных волн, имеющих линейную зависимость поля от продольной координаты, которые необходимо учитывать, например, при расчете и построении устройств, использующих явление комплексного резонанса[21].

Результаты исследований, представленные в данной главе, опубликованы в [68, 69, 70, 139-143].

4.5 Выводы Приведены постановки присоединенных краевых задач для 1.

двухслойных цилиндрических направляющих структур.

Найдены решения присоединенных краевых задач, в результате 2.

совместного решения трех трансцендентных уравнений.

Показано, что решения присоединенной краевой задачи находятся в 3.

точках жордановой кратности, а именно в точках образования комплексных волн Сделан вывод о существовании кратных собственных значений краевых 4.

задач на однородном уравнении Гельмгольца.

Глава ПЛАЗМОН-ПОЛЯРИТОННЫЕ ВОЛНЫ В МЕТАЛЛИЧЕСКИХ НАНОСТРУКТУРАХ НА ОПТИЧЕСКИХ ЧАСТОТАХ 5.1 Введение Интенсивное развитие технологий напыления и измерения характеристик тонких металлических пленок а также стремительное [144-149], усовершенствование компьютерных технологий открывает возможность создания на их основе широкого спектра устройств. Известно, что при сверхмалой толщине (меньше 10 нм) металлическая пленка приобретает «островковую» структуру[149]. В данной главе будут рассмотрены пленки толщиной от 10 нм до 400 нм, которые можно считать сплошными, будем называть их нанопленками. Разработки узлов с применением нанопленок ведутся в терагерцовом[148-151] и оптическом[152-154] диапазонах частот. Особое внимание уделяется устройствам, использующим свойства поверхностных плазмонов таким, как элементы интегральных схем[154], оптические модуляторы и переключатели[155], элементы интерферометров и лазеров[156]. Активное изучение свойств плазмон-поляритонных волн началось в середине прошлого века[157-163] и продолжается до сегодняшних дней.

Известно, что металлы на оптических частотах обладают комплексной диэлектрической проницаемостью с отрицательной действительной частью и положительной мнимой частью[157,162-168].

() r ii (5.1) Зависимость диэлектрической проницаемости металла от частоты, описанная формулой Друде[169], хорошо совпадает с полученными экспериментальными данными. В оптическом диапазоне для металлов эта формула получается исходя из плазменной модели свободных электронов[149, 165, 166], в которой совокупность электронов представляется как электронный газ, движущейся относительно неподвижных ионов. Зависимости действительной и мнимой частей диэлектрической проницаемости металлов в оптическом диапазоне в соответствии с теорией Друде-Зоммерфельда выглядят следующим образом[164, 165]:

r r 0 2 2 (5.2а) p i i 0 2 3 (5.2б) p r0 – где p 4nee / me 1.43 10 c – плазменная частота электронного газа, 16 константа, учитывающая межзонные переходы в металле, обычно варьируется от 1 до 10, Г – коэффициент затухания, учитывающий потери ( 1014 с 1 ), i 0 0.

На границе раздела двух сред, диэлектрическая проницаемость одной из которых отрицательна, могут возникать поверхностные плазмон-поляритонные (ППП) волны[158, 159, 165, 166, 170-172]. Плазмон поляритонные волны образуются при взаимодействии фотонов с электронным газом в металле. Самым важным свойством этих волн является сильная локализация поля вблизи поверхности раздела, возникающая из-за того, что перпендикулярные к границе раздела составляющие волнового вектора являются мнимыми величинами, в результате чего поля спадают экспоненциально при удалении от границы раздела.

Волны с таким поведением поля в радиочастотном диапазоне называют волнами Зоммерфельда [173, 174] и Ценнека [175, 176].

Наиболее простые схемы возбуждения ППП волн была предложена Кречманом и Отто[158,159,165]. В схеме предложенном Кречманом (рисунок 5.1 а), пленка напыляется на поверхность призмы, световая волна падает на пленку под углом большим чем угол полного внутреннего отражения.

Излучение приникает сквозь пленку, взаимодействует с электронным газом и возбуждает ППП волну на границе металл-воздух. Толщина пленки сравнима с толщиной скин-слоя, материала пленки.

В схеме, предложенной Отто, (рисунок 5.1 б) призма отделена от пленки воздушным слоем. Полное внутреннее отражение происходит на границе призма воздух. Световая волна за счет туннельного эффекта проникает через воздушный слой и возбуждает ППП волну. Данная схема может применяться, когда необходимо изучить свойства пленки, так как отсутствует прямой контакт призмы и пленки.

Световая волна Световая волна Металлическая пленка Металлическая пленка Плазмон-поляритонная волна а) б) Рисунок 5.1.

Существуют и другие способы возбуждения[165]: решеточный ввод, с использованием фокусированных оптических пучков, возбуждение в ближнем поле и др.

В большинстве работ, посвященных расчету характеристик ППП волн результаты приводились, в основном, без учета комплексности диэлектрической проницаемости металлов[50, 164-166]. В записи (5.1.) использовалась только действительная часть диэлектрической проницаемости. Информация, приводимая в работах, в которых учитывается комплексность диэлектрической проницаемости металлов, носит отрывочный характер в ограниченном диапазоне частот существования плазмон-поляритонных волн, и не исследуется влияние комплексности диэлектрической проницаемости на характеристики ППП волн.

В настоящей главе диссертации проведен всесторонний анализ характеристик ППП волн без учета потерь в металлической пленке и с учетом комплексности диэлектрической проницаемости металлов в оптическом диапазоне. Рассмотрена трансформация дисперсионных характеристик, изучено влияние характеристик электродинамических структур на распределение компоненты Ez напряженности электрического поля, как основной компоненты, определяющей свойства ППП, показано существование комплексной волны в структуре без потерь и трансформация характеристики комплексной волны при введении потерь. Проведен сравнительный анализ характеристик ППП в различных структурах.

5.2 Плазмон-поляритонные волны в тонкой металлической пленке Основным элементом многих устройств, работающих в диапазоне существования поверхностных плазмонов, является структура[170-172], представляющая собой тонкий металлический слой, окруженный бесконечным диэлектриком (рисунок 5.2).

Для анализа такой структуры, примем, что металлические слои имеют бесконечные размеры по осям oz и oy.

Рисунок 5.2.

Действительная и мнимая части комплексной диэлектрической проницаемости металлической пленки 2 описываются формулами (5.2а) и (5.2б) соответственно.

На рисунке 5.3 а,б изображены зависимости действительной и мнимой частей диэлектрической проницаемости серебряной пленки 2 от длины волны, рассчитанные по формулам (5.2а) и (5.2б). Расчеты электродинамической структуры будут производиться в диапазоне длин волн, в котором действительная часть диэлектрической проницаемости меньше нуля и значения, полученные по формулам (5.2а), (5.2б), совпадают с экспериментальными данными[164, 165].

а) б) Рисунок 5.3.

Поскольку пленка в 2-х измерениях бесконечная (рисунок 5.2.), уравнение Гельмгольца вырождается, для данной структуры (для волны Е-типа) в обыкновенное уравнение 2-го порядка относительно магнитной составляющей Hy электромагнитного поля:

d 2H y 2 H y 0. (5.3) dx Волновые числа 1,2 и 3 областей(рисунок 5.2.) связаны соотношениями:

1,2,31,2,3 2 12,2,3 2. (5.4) Компоненты вектора напряженности магнитного поля получаем из решения уравнения (5.3.):

H y1 A1e i1 x a e iz ;

H y 2 A2 cos2 x B2 sin2 x e iz ;

H y 3 A3ei 3 x a eiz ;

Из уравнений Максвелла находим компоненты вектора напряженности электрического поля:

H y1,2, i Ez1,2,3 ~ ;

1,2,30 x A Ez1 ~ 1 e i 1 x a e iz ;

1 i Ez 2 ~ 2 A2 sin 2 x B2 cos 2 x e iz ;

2 A3 E z 3 ~ 3 ei3 x a e iz.

Используя граничные условия:

при y=a: Ez1 Ez 2, H y1 H y 2 ;

при y=-a: Ez 2 Ez 3, H y 2 H y 3, получаем систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитудных коэффициентов A1, A3. Из A2, B2, условия нетривиальности решений системы линейных однородных алгебраических уравнений получаем дисперсионное уравнение:

1 cos 2 a i 2 sin 2 a i 2 cos 2 a 3 sin 2 a 2 1 1 sin 2 a i 2 cos 2 a i 2 sin 2 a 3 cos 2 a 2 1 Для начала рассмотрим структуру без учета мнимой части диэлектрической проницаемости металла i 0. Примем в (5.2 а) r 0 6, для серебряной пленки на оптических частотах [166].

В такой структуре существуют, как показано в [165,177], симметричные и антисимметричные поверхностные плазмон-поляритонные волны.

На рисунке изображены дисперсионные характеристики 5. четной (симметричной) 1 и нечетной (антисимметричной) 2 поверхностных плазмон-поляритонных волн для структуры с серебряной пленкой толщиной 1 3 2.84 (Al2O3). В работах посвященных исследованию свойств нм, плазмон-поляритонных волн используется следующая терминология: волна 1 – называется симметричной, а волна 2 – антисимметричной. В настоящей работе будут использоваться более привычные для радиотехники термины: четная и нечетная волны.

Рисунок. 5.4.

На рисунке 5.4 помимо характеристик, соответствующих четным и нечетным волнам, представленных в работе[166], приведены решения дисперсионного уравнения, соответствующие комплексной волне 3(пунктирная линия). Расчеты, приведенные на рисунке 5.4 и в работе[166], производились для действительного значения диэлектрической проницаемости металла.

Четными (симметричными) называются волны, у которых значения максимумов компоненты Ez напряженности электрического поля на границах металлической пленки и диэлектрика имеют одинаковые знаки.

Распределение вдоль оси х компоненты электрического поля Ez для четной волны показано на рисунке пунктиром обозначено расположение 5.5, металлической пленки.

Рисунок. 5.5.

Нечетными (антисимметричными) называются волны, у которых значения максимумов компоненты Ez напряженности электрического поля на границах металлической пленки и диэлектрика имеют противоположные знаки.

Распределение вдоль оси х компоненты электрического поля Ez для нечетной волны показано на рисунке 5.6, пунктиром обозначено расположение металлической пленки.

Рисунок 5.6.

При увеличении толщины металлической пленки дисперсионные характеристики четной и нечетной волн сближаются, но не сливаются (рисунок 5.7).

Рисунок 5.7.

Распределение для четной волны при увеличении толщины Ez металлического слоя до а=200 нм изображено на рисунке 5.8, а для нечетной волны на рисунке 5.9.

Рисунок 5.8.

Рисунок 5.9.

При достаточно большой толщине пленки значение Ez для четной волны успевает уменьшиться к центру пленки до нуля. Волны, распространяющиеся вдоль противоположных границ металл-диэлектрик, теряют связь друг с другом.

Максимальные значения Ez на границе пленки для четной и нечетной волн становятся равными по величине. Затухание Ez вдоль оси х происходит по одному и тому же закону для обеих волн, и если найти модуль компоненты электрического поля Ez, то распределение модуля |Ez| для нечетной волны будет совпадать с графической точностью с распределением вдоль оси x компоненты четной волны(рисунок Этим можно объяснить сближение их Ez 5.8).

дисперсионных характеристик при увеличении толщины пленки.

Уменьшение толщины пленки приводит к нарушению целостности пленки и возникновению участков, гальванически не связанных друг с другом. В этом случае необходимо учитывать туннельный эффект, возникающий между отдельными островками пленки [149]. Такие пленки в настоящей работе не исследовались.

На рисунке показан двузначный участок дисперсионной 5. характеристики нечетной волны вблизи точки 3, где групповая скорость обращается в ноль. Двузначный участок является частью дисперсионной характеристики нечетной волны, приведенной на рисунке 5.4.

В точках, где групповая скорость обращается в нуль, как показано в работах[178, 179], должна существовать комплексная волна. Характеристики дисперсии и затухания этой волны были рассчитаны. На рисунке 5.4. они показаны пунктирными линиями.

Рисунок 5.10.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |
 



 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.