авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. Алексеева На правах рукописи Малахов ...»

-- [ Страница 4 ] --

Рассматриваемая структура описывается самосопряженной краевой задачей. С позиции теории несамосопряженных операторов комплексные волны в ней существовать не должны. Однако в диапазоне частот, где диэлектрическая проницаемость серебра отрицательна(рисунок 5.3а), вектор Умова-Пойнтинга в пленке направлен в сторону противоположную направлению распространения волны. В точке образования комплексных волн наблюдается выравнивание по модулю потоков мощности в пленке и окружающих средах, а полный поток мощности становится равным нулю.

На рисунке 5.11 изображена частотная зависимость дисперсии и затухания комплексной волны, возникающей в точке 3(рисунок 5.10), в структуре без учета потерь в металле(1 и 2 – действительная и мнимая часть продольного волнового числа).

Рисунок 5.11.

Одним из свойств комплексной волны является то, что средний за период поток мощности через поперечное сечение электродинамической структуры равен нулю. На рисунке 5.12 изображена зависимость модуля среднего за период потока мощности от частоты. Модуль среднего за период потока мощности через поперечное сечение металлической пленки изображен сплошной линией, а суммарный модуль потока мощности через внешнюю среду пунктирной линией.

Значения потоков мощности в пленке и в окружающей среде имеют противоположные знаки.

Расчеты проводились для значений продольных волновых чисел при движении вдоль дисперсионной характеристики нечетной волны от точки (рисунок 5.10) через точку 3 к точке 2. В точке 3 суммарный поток мощности через поперечное сечение становится равным нулю, эта точка является точкой образования комплексной волны. Нулевой суммарный поток мощности через поперечное сечение электродинамической структуры в среднем за период сохраняется во всем диапазоне существования комплексной волны.

Рисунок 5.12.

Распределение Ez для комплексной волны вблизи частотной точки ее возникновения 1 2,872 мкм аналогично распределению поля для нечетной волны (рисунок 5.13). Компонента поля Ez для нечетной волны чисто мнимая величина. В точке образования комплексной волны мнимая часть продольного волнового числа равна нулю (продольное волновое число чисто действительное k0 2,61 ), поэтому компонента поля Ez комплексной волны так же как и у нечетной волны чисто мнимая величина.





В общем случае продольное волновое число комплексной волны – комплексное 1 i2, а, следовательно, компонента поля Ez – комплексная величина, поэтому в дальнейшем приводится зависимость модуля |Ez| от координаты х.

Рисунок 5.13.

На рисунке 5.14 приведена зависимость модуля |Ez| от координаты х, 1 2,872 мкм1, для распределения Ez толщина серебряной пленки 10 нм, показанного на рисунке 5.13.

Рисунок 5.14.

С увеличением частоты увеличивается расстояние, на которое проникает поле комплексной волны во внешнюю среду. На рисунке 5.15 приведена зависимость модуля |Ez| от координаты х, толщина серебряной пленки 10 нм, 1 2,98 мкм1, 1 k0 1,43, 2 a -0,09.

Рисунок 5.15.

Рассмотренные выше характеристики рассчитаны для структуры без учета потерь в пленке. В реальности, как было показано выше (5.2 а, б), диэлектрическая проницаемость металла комплексная.

На рисунке приведены дисперсионная характеристика и 5. характеристика затухания с учетом мнимой части диэлектрической проницаемости серебряной пленки толщиной 10 нм, 1 3 2.84. Видно, что дисперсионная характеристика принципиально отличается от дисперсионной характеристики, полученной для данной структуры без учета потерь в металле(рисунок 5.4). На частоте 1 2,5 мкм, наблюдается явно выраженный максимум 1 k0 20,7.

Рисунок 5.16.

Данный максимум наблюдается на частоте, где диэлектрическая проницаемость металла по модулю равна диэлектрической проницаемости внешней среды 2 1 2.84. В этой частотной точке поверхностная плазмон поляритонная волна становится наиболее замедленной и происходит резкое уменьшение постоянной затухания.

Распределение мнимой части (рисунок 5.17) и действительной части компоненты Ez (рисунок 5.18) волны на частоте 1 2,5 мкм1 вблизи максимума 1 k0 20,7, 2 a -0,8. соответствуют распределению Ez нечетной волны в структуре без потерь(рисунок 5.6), граница металл-диэлектрик показана пунктирной линией.

Рисунок 5.17.

Рисунок 5.18.

В дальнейшем для комплексных волновых чисел также как и для комплексной волны в структуре без потерь (рисунок 5.14) будем анализировать зависимость модуля компоненты поля |Ez| от координаты х(рисунок 5.19).

Рисунок 5. Из рисунка 5.19 видно, что существуют максимумы поля на поверхности металлической пленки, а с удалением от границы металл-диэлектрик поле убывает.

На дисперсионной кривой (рисунок 5.16), в отличие от дисперсионной характеристики нечетной волны в среде без потерь (рисунок 5.4), отсутствует двузначный участок, то есть нет точки, где групповая скорость обращается в нуль.

Участок, соответствующий диапазону комплексной волны, существует, но не выполняется условие равенства нулю среднего потока мощности через поперечное сечение электродинамической структуры из-за наличия потерь в металле.

На рисунке 5.20 изображено распределение модуля компоненты поля |Ez| от координаты х в диапазоне существования комплексной волны на частоте 1 2,87 мкм1, 1 k0 2,41, 2 a -0,1.

Рисунок 5.20.

На рисунке 5.21 изображено распределение модуля компоненты поля |Ez| от координаты х в диапазоне существования комплексной волны на частоте 1 2,98 мкм1, 1 k0 1,81, 2 a -0,12.





Из сравнения рисунков 5.20 и 5.21 видно, что с увеличением частоты увеличивается проникновение поля во внешнюю среду, также как и в случае структуры без потерь (рисунки 5.14, 5.15).

Рисунок 5.21.

Для разработчиков представляет интерес структура, в которой один из 1 1.

диэлектрических слоев воздух с На рисунке приведена 5. дисперсионная характеристика, полученная с учетом мнимой части диэлектрической проницаемости серебряной пленки толщиной 10 нм, 1 1, 3 2.84, а на рисунке 5.23 – характеристика затухания. Максимумы образуются на частотах, на которых диэлектрическая проницаемость металлической пленки по модулю равна диэлектрической проницаемости одной из сред. Больший максимум дисперсионной характеристики (рисунок 5.22) находится на частоте 1 2.5 мкм1, при этом |2|=|3|=2.84, а меньший максимум на частоте 1 2.8 мкм при этом |2|=|3|=1.

Рисунок 5. Рисунок 5.23.

На рисунке 5.24. изображено распределение модуля компоненты поля |Ez| от 1 2,5 мкм1, 1 k0 12,3, координаты х на частоте большего максимума 2 a -1,09. Из рисунка 5.24. видно, что максимум |Ez|, приходящийся на границу металл-диэлектрик |2|=|3|=2.84, выражен более сильно, чем максимум на границе с воздушной средой.

Рисунок 5.24.

На рисунке 5.25 изображено распределение модуля компоненты поля |Ez| от координаты х на частоте, соответствующей локальному минимуму |Ez| (между двумя максимумами) 1 2,68 мкм1, 1 k0 7,9, 2 a -0,79. Из рисунка 5.25.

видно, что более выражен максимум |Ez|, приходящийся на границу металл воздух.

Рисунок 5.25.

Можно также заметить, что поле все больше вытесняется во внешнюю среду, так как диэлектрическая проницаемость металлической пленки уменьшается по модулю с увеличением частоты.

На рисунке 5.26 изображено распределение модуля компоненты поля |Ez| от координаты х на частоте меньшего максимума 1 2,8 мкм1, 1 k0 9,34, 2 a -0,45.

Рисунок 5.26.

Из рисунка 5.26 видно, что максимум |Ez| приходится на границу металл воздух |2|=|1|=1, и его величина значительно превосходит величину максимума на границе металл-диэлектрик. Возможно это связано с существенным нарушением условия полного внутреннего отражения 3 2 на границе металл диэлектрик вследствие уменьшения модуля диэлектрической проницаемости металла с увеличением частоты.

5.3 Плазмон-поляритонные волны в структуре металл-диэлектрик-металл Большой практический интерес для разработчиков представляют структуры с двумя металлическими нанопленками, размещенными по разные стороны диэлектрической подложки (рисунок 5.27.). Такие элементы, в частности, применяются в оптических сенсорах[171,172,180], которые работают на поверхностных плазмон-поляритонных волнах.

x b a 3 z 0y -a -b Рисунок 5.27.

Учитывая симметрию электродинамической структуры относительно плоскости yoz, краевую задачу решаем, размещая на ней магнитную стенку (рисунок 5. 28).

x I b 2 II a III 0y z Рисунок 5.28.

Ищем решения краевой задачи для однородного уравнения Гельмгольца относительно магнитной составляющей Hy электромагнитного поля:

d 2H y 2 H y dx. (5.5) Волновые числа 1, 2 и 3 областей связаны соотношениями:

1,2,31,2,3 2 12,2,3 2.

(5.6) Компоненты электрического и магнитного полей записываются следующим образом:

H y1 A1ei 1 x b eiz ;

(5.7а) H y 2 A2 cos2 x B2 sin2 x eiz ;

(5.7б) H y 3 B3 sin 3 x eiz ;

(5.7в) A Ez1 ~ 1 e i1 xb e iz 1 0 ;

(5.8а) i Ez 2 ~ 2 A2 sin 2 x B2 cos 2 x e iz ;

2 0 (5.8б) B3 ~ sin 3 x e.

iz Ez 30 (5.8в) Диэлектрическая проницаемость металлической пленки 2 для оптических частот описывается формулой Друде[165]:

real ( 2 ) r p 2 ;

(5.10) imag ( 2 ) i p 3.

(5.11) На рисунке 5.29 изображены дисперсионные характеристики четной и нечетной ППП волн для рассматриваемой электродинамической структуры (рисунок 5.28) при =10 нм;

для значений 2a=30 нм ( кривая 4, изображена точками,), 2a =70 нм (кривые 3) и 2a =130 нм (кривая 2 – сплошными линиями) и для сравнения дисперсионные характеристики(кривая 1– пунктирные линии) четной и нечетной ППП волн в металлической пленке, окруженной диэлектриком (рисунок 5.2), с той же толщиной пленки. Кривая 5 соответствует комплексной волне, которая образуется в точке А при толщине диэлектрического слоя 2a= нм. Диэлектрические проницаемости сред, окружающих металлические пленки, одинаковые 1= 3=2,84 (Al2O3). Диэлектрическая проницаемость серебряной пленки рассчитывается для серебра без учета потерь в пленке (r=6, p 4nee2 / me 1.43 1016 c 1, 1014 с 1 ).

Рисунок 5.29.

На рисунке приведено распределение мнимой части 5.30 z-ой составляющей напряженности электрического поля imag(Ez) для четной ППП волны вдоль координаты x ( 1 2.2 мкм, 1 k0 8,55 ), а на рисунке 5.31 – нечетной ППП волны ( 1 2.6 мкм, 1 k0 12,9 ). Толщина диэлектрического слоя 2a=30 нм. При такой толщине пленок существует взаимодействие волн, распространяющихся вдоль верхней и нижней пленки через диэлектрический слой между пленками. На рисунках положение пленок показано пунктирными линиями. Классификация волн на симметричную и антисимметричную волны введена с учетом вида распределения поля в одной пленке. В случае четной ППП волны по разные стороны пленок расположены максимумы поля одного знака(рисунок 5.30), в случае нечетной ППП волны – разного знака(рисунок 5.31).

Рисунок 5.30.

Рисунок 5.31.

Как видно из рисунка 5.29, при увеличении толщины диэлектрического слоя между двумя пленками (рисунок 5.27) дисперсионные характеристики четной и нечетной ППП волн приближаются к дисперсионным характеристикам(пунктирные линии на рисунке 5.29) соответствующих волн одиночной металлической пленки, окруженной диэлектриком (рисунок 5.1). Это связано с тем, что взаимодействие друг с другом волн, распространяющихся вдоль верхней и нижней пленки, уменьшается, так как поле в центре диэлектрической подложки уменьшается до нуля (рисунки 5.32, 5.33).

На рисунке приведено распределение мнимой части z-ой 5. составляющей напряженности электрического поля imag(Ez) для четной волны вдоль координаты x, ( 1 2.15 мкм, 1 k0 8,06 ), а на рисунке 5.33 – нечетной волны ( 1 2.63 мкм, 1 k0 9,8 ). Толщина диэлектрического слоя 2a=130 нм.

Рисунок 5.32.

Рисунок 5.33.

При уменьшении толщины диэлектрического слоя между двумя пленками взаимодействие волн, распространяющихся в металлических пленках, увеличивается. Дисперсионные характеристики четной и нечетной ППП волн смещаются в сторону более коротких длин волн (рисунок 5.29, точечная линия).

На рисунке приведено распределение мнимой части z-ой 5. составляющей напряженности электрического поля imag(Ez) для четной ППП волны вдоль координаты x, ( 1 2.18 мкм, 1 k0 5,87 ), а на рисунке 5.35 – нечетной волны ( 1 2.67 мкм, 1 k0 10,85 ). Толщина диэлектрического слоя между пленками 10 нм. Из рисунка 5.34 видно, что явно выраженные максимумы поля возникают только на внешней стороне пленок. Таким образом, полученная структура(для четной ППП волны, рисунок 5.34) ведет себя подобно сплошной металлической пленке толщиной 30 нм, с максимумами поля на поверхностях.

Рисунок 5.34.

Рисунок 5.35.

На рисунке 5.36 показаны характеристики дисперсии и затухания комплексной волны в увеличенном масштабе(толщина диэлектрического слоя нм). Дисперсионная характеристика комплексной волны начинается в точке дисперсионной характеристики нечетной волны, в которой групповая скорость равна нулю. На рисунке 5.29 дисперсионная характеристика комплексной волны показана только для диэлектрического слоя толщиной 30 нм, пунктирная линия в области высоких частот.

Рисунок 5.36.

На рисунке 5.37 приведен график распределения мнимой части компоненты поля Ez комплексной волны (вблизи пленок). Для структуры со следующими характеристиками: толщина металлических пленок 10 нм, толщина 1 3 м к 1 1 k0 0, 8, 5 1=3=2,84, м диэлектрического слоя 30 нм.

2 a 0,058.

Рисунок 5.37.

На рисунке 5.38 приведен график распределения мнимой части компоненты поля Ez комплексной волны при тех же параметрах в удалении от структуры.

Рисунок 5.38.

Рассмотрим, как изменится вид дисперсионных характеристик и распределения полей, если внешняя среда воздух с 1=1 (рисунок 5.28).

На рисунке 5.39 приведены дисперсионные характеристики четной и нечетной ППП волн при 1=1, 3=2,84, толщина металлических пленок 10 нм, толщина диэлектрического слоя 30 нм.

Отличие дисперсионных характеристик волн для структуры с воздухом 1= в качестве внешней среды от дисперсионных характеристик ППП волн для структуры с одинаковыми диэлектрическими проницаемостями подложки и окружающей среды 1=3=2,84, заключается в том, что постоянные замедления четной и нечетной волн (рисунок 5.4) стремятся к бесконечности 1 k 0 при частоте 1 2.5 мкм. В случае структуры с воздушной приближении к средой, постоянные замедления четной и нечетной волны стремятся к 1 k 0, на разных частотах(показано вертикальными бесконечности пунктирными линиями рисунок 5.39). Эти частоты соответствуют случаям, когда диэлектрическая проницаемость металлической пленки по модулю равна 3, кривая 1 и 1, кривая 2(рисунок 5.39).

Рисунок 5.39.

Постоянная замедления четной ППП волны (кривая 1, на рисунке 5.39) стремится к бесконечности на частоте 1 2.5 мкм, при этом |2||3|=2.84, а постоянная замедления нечетной ППП волны (кривая 2, на рисунке 5.39) стремится к бесконечности на частоте 1 2.8 мкм при этом |2||1|=1.

Точечной линией 3, показана дисперсионная характеристика комплексной волны.

Распределение мнимой части компоненты поля Ez нечетной ППП волны показано на рисунке 5.40 для структуры со следующими характеристиками:

толщина металлических пленок 10 нм, толщина диэлектрического слоя 30 нм.

1=1, 3=2,84, 1 2.85 мкм, значение постоянной замедления 1 k0 7,485.

Рисунок 5.40.

На рисунке 5.41, приведено распределение мнимой части компоненты поля Ez нечетной ППП волны. Для структуры со следующими характеристиками:

толщина металлических пленок 10 нм, толщина диэлектрического слоя 30 нм.

1 2,994 мкм1 1 k0 1,188, 1=1, 3=2,84, вблизи точки образования комплексной волны (вертикальный участок дисперсионной кривой) Рисунок 5.41.

На рисунке 5.42, приведено распределение мнимой части компоненты поля Ez нечетной волны на 1 2,992 мкм для значений постоянной замедления 1 k0 1,00348 вблизи точки образования комплексной волны (горизонтальный участок дисперсионной кривой). Из рисунка 5.42, видно, что поле втягивается в диэлектрик и слабо затухает при удалении от пленок вдоль оси х.

Рисунок 5.42.

На рисунке 5.43 изображено то же поле, что и на рисунке 5.42, но рассчитанное до значений х=500 нм.

Рисунок 5.43.

На рисунке 5.44, приведено распределение мнимой части компоненты поля Ez четной ППП волны(внешняя среда – воздух), 1 2,2 мкм 1 k0 4,41. Из рисунка видно, что максимум со стороны воздуха на краю пленки меньше чем максимум со стороны диэлектрического слоя.

Рисунок 5.44.

Рассмотрим изменения характеристик плазмон-поляритонных волн при учете комплексной диэлектрической проницаемости.

На рисунке 5.45, показана дисперсионная характеристика, а на рисунке 5. – характеристика затухания ППП волны, возникающей в рассматриваемой структуре при учете потерь в серебряной пленке. Диэлектрическая проницаемость 2 находится по формулам (5.2а) и (5.2б). Для серебра r=6, i=0, 1=1(внешняя среда – воздух), 3=2,84(Al2O3), толщина металлических пленок 10 нм, толщина диэлектрического слоя 30 нм.

p 4nee2 / me 1.43 1016 c 1, 1014 с 1.

Рисунок 5.45.

Рисунок 5.46.

Также как и в случае одной пленки с разными диэлектрическими проницаемостями слоев, окружающих металлическую пленку (дисперсионная характеристика, рисунок 5.22), на дисперсионной кривой ППП волны в структуре метал-диэлектрик-металл (рисунок 5.45) при учете потерь имеются два максимума. Максимумы образуются на частотах, к которым приближались с увеличением 1 k 0 дисперсионные характеристики ППП в структуре без потерь (рисунок 5.39), то есть частотах, на которых диэлектрическая проницаемость металлической пленки по модулю равна диэлектрической проницаемости одной из сред.

Больший максимум (рисунок 5.45) находится на частоте 1 2.5 мкм, при этом |2|=|3|=2.84, а меньший максимум на частоте 1 2.8 мкм, при этом |2|=|1|=1. Наименьшие потери приходятся на область частот (рисунок 5.46), в которой в структуре без потерь (рисунок 5.39) существовала комплексная волна.

В большинстве работ по изучению ППП волн как раз этот участок и не рассматривается.

Рассмотрим трансформацию распределения мнимой части поля Ez при увеличении частоты, если двигаться по дисперсионной кривой вправо от наибольшего максимума.

На рисунке 5.47, приведен график распределения мнимой части поля Ez.

Для структуры со следующими характеристиками: толщина металлических 1=1, 3=2,84, пленок 10 нм, толщина диэлектрического слоя 30 нм.

1 2.6 мкм1, 1 k0 8,94, 2 a 2,59.

Рисунок 5.47.

На рисунке 5.48 приведен график распределения мнимой части поля Ez. Для структуры со следующими характеристиками: толщина металлических пленок 1 2.8 м к нм, толщина диэлектрического слоя 30 нм. 1=1, 3=2,84, м 1 k0 9, 2 5 2 a 1,67 (вблизи меньшего максимума дисперсионной, характеристики).

На рисунке 5.49 приведен график распределения мнимой части поля Ez для структуры со следующими характеристиками: толщина металлических пленок 1 2.85 мкм1, нм, толщина диэлектрического слоя 30 нм, 1=1, 3=2,84, 1 k0 5,16, 2 a 0,38.

Рисунок 5. Рисунок 5.49.

Рассмотрим трансформацию распределения мнимой части поля Ez при уменьшении частоты, если двигаться по дисперсионной кривой в сторону большего максимума. При сравнении распределения полей (рисунок 5.49, с учетом потерь) и (рисунок 5.40, без учета потерь), рассчитанных в одной частотной точке, 1 2.85 мкм1, можно сделать вывод о том, что распределение полей практически одинаковое, это можно объяснить тем, что мнимая часть диэлектрической проницаемости металлической пленки с увеличением частоты уменьшается (рисунок 5.3б) и оказывает слабое влияние на распределение поля ППП волны.

Из рисунков 5.47-5.49 по характеру распределения поля мнимой части компоненты в пленках волну можно идентифицировать как Ez антисимметричную. Так как диэлектрическая проницаемость металлов комплексная величина, то правильней будет рассматривать распределение модуля компоненты электрического поля Ez.

На рисунке 5.50, приведен график распределения модуля электрической компоненты поля Ez для структуры со следующими характеристиками: толщина металлических пленок 10 нм, толщина диэлектрического слоя 30 нм;

1=1, 3=2,84, 1 2.6 мкм1 1 k0 8,94, 2 a 2,59. Распределение мнимой части Ez для аналогичных параметров структуры было приведено на рисунке 5.47. Как видно из рисунка 5.50, на обоих краях пленки максимумы |Ez| одинаковые, и поле монотонно убывает с удалением от пленки, в отличие от осциллирующего характера зависимости от х мнимой части Ez (рисунок 5.47).

Рисунок 5.50.

С уменьшением частоты максимум электрического поля |Ez| на границе металл-воздух меньше, чем на границе металл-диэлектрический слой (рисунок 5.51), проникновение поля в диэлектрические слои уменьшается, поле втягивается в металл, так как с уменьшением частоты увеличивается модуль диэлектрической проницаемости металлической пленки (рисунок 5.3).

На рисунке 5.51, приведен график распределения модуля компоненты электрического поля Ez. Для структуры со следующими характеристиками:

толщина металлических пленок 10 нм, толщина диэлектрического слоя 30 нм.

1 2.5 м к 1 (в районе первого максимума дисперсионной 1=1, 3=2,84, м характеристики, рисунок 5.44), 1 k 0 12,75, 2 a 3,49.

С увеличением частоты уменьшается максимум |Ez| на границе металл диэлектрик (рисунок 5.52), так же как и в случае одинарной металлической пленки (рисунок 5.26.).

Рисунок 5.51.

На рисунке 5.52, приведен график распределения |Ez|, для структуры со следующими характеристиками: толщина металлических пленок 10 нм, толщина диэлектрического слоя 30 нм, 1=1, 3=2,84, 1 2.8 м к м1 (в районе меньшего 5.45), 1 k0 5, максимума дисперсионной характеристики, рисунок, 2 a 0,38.

Рисунок 5.52.

На рисунке изображена зависимость модуля компоненты 5. электрического поля Ez от координаты х для электродинамической структуры с серебряными пленками толщиной 10 нм, диэлектрическим слоем толщиной 75 нм с диэлектрической проницаемостью 3 2.84 (Al2O3), и диэлектрической 1 2,91 мкм1, 1 5 1 (воздух), проницаемостью внешней среды 1 k0 1,343, 2 a -0,716.

На распределении |Ez| от координаты х наблюдается явно выраженный максимум в среде между двумя пленками(показаны пунктирной линией), являющейся, по-видимому, результатом взаимодействия двух ППП волн, распространяющихся в пленках.

Во внешней среде поле монотонно убывает с удалением от пленок, на границах пленок наблюдаются максимумы. Вид зависимости мнимой части компоненты электрического поля как было показано выше imag(Ez), в металлической пленке соответствует аналогичной зависимости компоненты поля нечетной волны.

Рисунок 5.53.

На рисунке изображена зависимость модуля компоненты 5. электрического поля Ez от координаты х для электродинамической структуры с серебряными пленками толщиной 10 нм, диэлектрическим слоем толщиной нм с диэлектрической проницаемостью 3 2.84 (Al2O3), и диэлектрической 1 2,91 мкм1, 1 5 1 (воздух), проницаемостью внешней среды 1 k0 1,259, 2 a -1,235. С увеличением толщины слоя происходит увеличение вариаций модуля компоненты поля Ez между металлическими пленками.

Рисунок 5.54.

При дальнейшем увеличении толщины диэлектрического слоя между металлическими пленками сказывается влияние затухания электрического поля вдоль оси х при удалении от пленок. Происходит уменьшение взаимодействия двух волн, волны могут существовать в каждой пленке независимо друг от друга.

Явно выраженной картины максимумов и минимумов |Ez| в среде между пленками не наблюдается (рисунок 5.55).

Рисунок 5. 5.4 Плазмон-поляритонные волны в цилиндрических направляющих структурах Поверхностные плазмон-поляритонные волны (ПППВ) могут возникать на границе сред, имеющих противоположные по знаку значения диэлектрических проницаемостей. Важным признаком этих волн является то, что они должны обязательно обладать продольной составляющей вектора напряженности электрического поля, максимум которой находится на границе раздела сред. Их также отличает отсутствие продольной составляющей напряженности магнитного поля, то есть это волны Е-типа (или ТМ – волны).

Хорошо изучены свойства ППВ в планарных многослойных структурах с металлическими нанопленками [153,165, Изучение плазмон 166, 177].

поляритонных волн в цилиндрических металлических структурах началось сравнительно недавно[181,182]. В диссертации приведены результаты исследований свойств волн, по-видимому, имеющих сходное происхождение, распространяющихся в двух цилиндрических направляющих структурах: круглый металлический наностержень (рисунок 5.56 а) и круглый диэлектрический волновод с металлической нанопленкой (рисунок 5.56 б). Такие структуры могут быть использованы, например, в качестве элементов наносенсоров и наноантенн[183-185]. Однако, как будет показано в настоящем параграфе, исследование полей указанных волн приводит к выводу, что их следует называть просто плазмон-поляритонными волнами (ППВ), не употребляя к ним термин «поверхностные».

а) б) Рисунок 5.56.

5.4.1 Плазмон-поляритонные волны в круглом металлическом наностержне Рассмотрим круглый металлический наностержень (рисунок 5.56 а).

Дисперсионное уравнение волн Е-типа для такой структуры, полученное из общего дисперсионного уравнения ОДВ [23] при n=0:

1 J 0 1a 2 H 0 ( 2 ) 2 a 0, (5.12) 1 J 0 1a H 0( 2 ) 2 a (2) где J 0 - функция Бесселя;

H 0 - функция Ханкеля 2-го рода, 1,2 – поперечные волновые числа первой и второй, которые связаны с продольным волновым числом 1 i 2 соотношением:

1, 21, 2 2 1, 2 2.

(5.13) Как известно [165], в металлическоv наностержне ППВ существуют на частотах ниже частоты плазмонного резонанса. Выше этой частоты металл по своим свойствам близок к обычному диэлектрику. При этом в рассматриваемой структуре существуют обычные поверхностные волны.

Из совместного решения уравнений (5.12, 5.13) могут быть найдены волновые числа волн электрического типа E0m. Особенностью решения уравнения (5.12) для ППВ является то, что в результате расчета обнаруживается бесконечное множество волн, отличающихся друг от друга степенью замедления и затуханием.

На рисунке 5.57 а приведены дисперсионные характеристики первых шести ППВ, а на рисунке 5.57 б – характеристики затухания. Индексы для характеристик ППВ проставлены по порядку увеличения затухания, что также соответствует и порядку увеличения замедления. Чем больше порядковый номер волны, тем больше ее затухание и коэффициент замедления.

Важной особенностью дисперсионных характеристик ППВ, рассчитанных при учете потерь в металле, является то, что коэффициент замедления имеет характерный максимум, а не стремится к бесконечности, как при неучете потерь[165]. Характеристики приведены для следующих параметров круглого металлического наностержня: нм, константа для комплексной a= диэлектрической проницаемости металла в формуле (5.2 а) – r 0 6 (материал серебро) [166], 2 1, k0 – волновое число электромагнитной волны в свободном пространстве. Максимумы дисперсионных характеристик находятся на частоте, для которой выполняется равенство |1|=|2|=1.

а) б) Рисунок 5.57.

Порядковый номер волны (рисунок 5.57) определяет число вариаций поля в наностержне вдоль радиальной координаты, так для волны с порядковым номером 1, существует один максимум модуля компоненты поля |Ez| внутри металлического стержня, для волны с номером 2 – два максимума, для волны 3 – три максимума и так далее. Максимум на границе металл-диэлектрик существует для всех волн, что является необходимым признаком ППВ [165].

На рисунке 5.58 изображено распределение модуля компоненты поля |Ez| от координаты r для волны с индексом 1 в точке 1 2,9 мкм1, 1 k0 4,19, 2 k0 19,5. Общим для ППВ с любым индексом является то, что максимальное значение находится на оси металлического стержня |Ez| при r=0.

Рисунок 5.58.

На рисунке 5.59 изображено распределение модуля компоненты поля |Ez| от 1 2,9 мкм1, 1 k0 5,51, координаты r для волны с индексом 3 в точке 2 k0 56,1.

Рисунок 5.59.

С увеличением радиуса металлического стержня замедление уменьшается и ППВ становятся быстрыми. На рисунке 5.60 а приведены дисперсионные характеристики, а на рисунке 5.60 б – характеристики затухания шести первых ППВ волн для металлического стержня, радиус которого a=110 нм.

а) б) Рисунок 5.60.

Видно, что затухание волн в стержне такого радиуса значительно (почти на порядок) меньше, чем для стержня радиуса a=10 нм. Отмеченное уменьшение затухания связано, видимо, с тем, что при большем радиусе стержня поле более медленно убывает во внешней среде, то есть в меньшей степени сконцентрировано в металле, материал которого обладает потерями.

На рисунке 5.61 для примера приведено распределение модуля компоненты 1 2,9 мкм1 ;

поля |Ez| от координаты r для волны с индексом 1 в точке 1 k0 0,26 ;

2 k0 1,83.

Рисунок 5.61.

Из рисунка 5.61 видно, что зависимость количества максимумов внутри металла от индекса волны сохраняется, то есть у волны с индексом 1 внутри металла один максимум, у волны с индексом 2 – два и так далее.

5.4.2 Плазмон-поляритонные волны в круглом открытом диэлектрическом волноводе с металлической нанопленкой Рассмотрим круглый открытый диэлектрический волновод с металлической нанопленкой (рисунок 5.56 б).

Для рассматриваемой структуры ставится краевая задача на уравнении Гельмгольца:

П e,m 2 П e,m 0. (5.14) z z Решения уравнения Гельмгольца для каждой из трех областей запишем в виде:

I область(диэлектрический стержень) П e1 A1 J n 1 r cos ne iz ;

m z (5.15) П z1 B1 J n 1 r sin ne ;

iz II область(металлическая пленка) П e 2 A2 J n 2 r B2Yn 2 r cos ne iz ;

m z П z 2 A2 J n 2 r B2Yn 2 r sin ne ;

(5.16) iz III область(внешняя бесконечная среда) П e 3 A3 H n 2 ) 3 r cos ne iz ;

( m z, (5.17) B3 H n 2 ) 3 r sin ne iz, П z ( где 1,2,3 – поперечные волновые числа первой, второй и третьей областей, которые связаны с продольным волновым числом соотношением:

1, 2,31, 2,3 2 1, 2,3 2, (5.18) H n 2 ) – функции Ханкеля ( Jn, Yn – функции Бесселя первого и второго рода, второго рода.

Диэлектрическая проницаемость 2 второй области для металлической пленки в оптическом диапазоне расчитывается по формуле (5.2).

Выражая через вектора Герца компоненты электрического и магнитного поля, получаем I область:

Ez1 1 A1 J n 1r cos ne iz ;

H z1 1 B1 J n 1r sin ne iz ;

i1n Er1 i1 A1 J n 1r B1 J n 1r cos ne iz ;

r i1n A1 J n 1r i1 B1 J n 1r sin ne iz ;

H r1 r in A1 J n 1r i11 B1 J n 1r sin ne iz ;

E r in H 1 i11 A1 J n 1r B1 J n 1r cos ne iz ;

r II область:

Ez 2 2 A2 J n 2 r B2Yn 2 r cosneiz ;

H z 2 2 A2 J n 2 r B2Yn 2 r sin neiz ;

2 n A2 J n 2 r B2Yn 2 r cosneiz ;

Er 2 i 2 A2 J n 2 r B2Yn2 r r n H r 2 i 2 A2 J n 2 r B2Yn 2 r 2 A2 J n 2 r B2Yn2 r sin ne iz ;

r n E 2 i A2 J n 2 r B2Yn 2 r 2 2 A2 J n 2 r B2Yn2 r sin ne iz ;

r n H 2 i 2 2 A2 J n 2 r B2Yn2 r A2 J n 2 r B2Yn 2 r cos ne iz ;

r III область:

E z 3 3 A3 H n2 3 r cos ne iz ;

H z 3 3 B3 H n2 3 r sin ne iz ;

i 3n Er 3 i3 A3 H n2 3r B3 H n2 3r cos ne iz ;

r i 3n A3 H n2 3r i3 B3 H n2 3r sin ne iz ;

H r r in A3 H n2 3r i 33 B3 H n2 3r sin ne iz ;

E r in H 3 i 33 A3 H n2 3r B3 H n2 3r cos ne iz ;

r Подставляем компоненты поля в граничные условия:

1) Ez1|r=a = Ez2|r=a 2) E1|r=a = E2|r=a 3) H1|r=a =H2|r=a;

4) Hz1|r=a = Hz2|r=a (5.19) 5) Ez2|r=b = Ez3|r=b 6) E2|r=b = E3|r=b 7)H1|r=b =H2|r=b;

8) Hz1|r=b = Hz2|r=b Получаем систему из восьми уравнений относительно неизвестных амплитудных коэффициентов. Чтобы система имела нетривиальные решения, её определитель должен быть равен нулю.

Расчеты дисперсионных характеристик так же как и в предыдущих r 0 параграфах данной главы, производились при для серебряной пленки[166].

На рисунке 5.62 изображены дисперсионные характеристики четной 1 и нечетной 2 поверхностных плазмон-поляритонных волн и комплексной волны для структуры без учета потерь в пленке со следующими параметрами: радиус диэлектрического стержня а=100 нм, толщина пленки 10 нм, 1 2.84, 3 1.

Рисунок 5.62.

Аналогично структурам, рассмотренным выше, на дисперсионной характеристике нечетной волны имеется двузначный участок, а в точке А образуется комплексная волна.

На рисунке изображена зависимость модуля компоненты 5. электрического поля Ez от координаты х для электродинамической структуры с пленкой толщиной 10 нм, радиусом диэлектрического слоя а=100 нм, 1 3,01 мкм1, на участке комплексной волны. Максимумы модуля компоненты электрического поля Ez приходятся на границы металл-диэлектрик, металл воздух. Максимум на границе металл-воздух больше максимума |Ez| на границе металл-диэлектрик в диапазоне существования комплексной волны также как в случае структур: диэлектрик-металл-воздух (рисунок 5.26) и структуры металл диэлектрик-металл в воздушном окружении (рисунок 5.52). Это можно объяснить уменьшением модуля диэлектрической проницаемости металлической пленки при увеличении частоты (рисунок 5.3) и существенным нарушением условия полного внутреннего отражения 1 2 на границе металл-диэлектрик.

Рисунок 5.63.

При дальнейшем увеличении частоты до 1 3,1 мкм1 (рисунок 5.64) распределение |Ez| по своему характеру близко к распределению поля волны E круглого ОДВ (рисунок 3.24 б). Это можно объяснить тем, что уменьшается влияние пленки (рисунок 5.56 б), и поле втягивается в диэлектрик в силу уменьшения модуля диэлектрической проницаемости стержня (5.2.).

Рисунок 5.64.

С учетом комплексности диэлектрической проницаемости металла дисперсионные характеристики и характеристики затухания для структуры со следующими параметрами: радиус диэлектрического стержня а=100 нм, толщина 3 1, приведены пленки 10 нм, (общий радиус 110 нм) 1 2.84, на рисунке 5.65.

Рисунок 5.65.

Аналогично структурам, рассмотренным в предыдущих параграфах, дисперсионная характеристика ППП волны имеет два максимума, когда металлическая пленка окружена диэлектриками с разными диэлектрическими проницаемостями. Больший максимум (рисунок 5.65) расположен на частоте, на которой |2|=|1|=2.84, а меньший максимум на частоте когда |2|=|3|=1. Разрывов в характеристике нет, а участок, соответствующий комплексной волне в среде без потерь, является продолжением дисперсионной характеристики ППП волны на высоких частотах. Такая трансформация наблюдалась и в рассмотренных выше структурах.

На рисунке изображена зависимость модуля компоненты 5. электрического поля Ez от координаты r для электродинамической структуры с пленкой толщиной 10 нм, радиусом внутреннего слоя а=100 нм, 1 2,54 мкм1, вблизи большего максимума.

Рисунок 5.66.

Распределение от координаты соответствует распределению |Ez| r компоненты электрического поля |Ez| нечетной ППП волны. Так же как и в рассмотренных в данной главе структурах вблизи главного максимума поле со стороны границы металл-диэлектрик больше, чем поле со стороны границы металл-воздух.

На рисунке а приведены дисперсионные характеристики, 5. а на рисунке 5.67. б – характеристики затухания ППВ в диэлектрическом стержне с металлической нанопленкой: а=5 нм, b=10 нм, 1 2.84, 3 1, для нанопленки r 0 6 (материал серебро), соотношение размеров слоев составляет ba 0,5. Внешний радиус структуры выбран равным радиусу сплошного b металлического стержня, характеристики ППВ которого приведены на рисунке а, б. Характеристики, обозначенные цифрами 5. от 1 до 6, соответствуют характеристикам плазмон-поляритонных волн металлического стержня с номерами 1 – 6 (рисунок 5.57).

а) б) Рисунок 5.67.

Для этих волн, также как и для аналогичных волн круглого металлического наностержня, существует связь между номером волны и количеством максимумов модуля компоненты поля |Ez| в металлическом слое. Для первой волны имеется один максимум в металлическом слое, для второй – два и так далее.

На рисунке 5.68 приведено распределение модуля компоненты поля |Ez| для волны с индексом 3 для структуры с указанными выше параметрами. Видно, что в металлическом слое существуют три максимума |Ez| ППВ с номером – 3, то есть связь между номером волны и количеством максимумов сохраняется как в наностержне.

Рисунок 5.68.

Кроме рассмотренных волн, существующих в однородном металлическом наностержне, в структуре с диэлектрическим внутренним слоем существует волна, дисперсионная характеристика которой изображена пунктиром. Эта волна условно обозначена нулевым индексом. Максимальное замедление этой волны больше замедления волн с индексами 1, 2, 3…. Больший максимум дисперсионной характеристики ППВ с нулевым порядком (рисунок 5.67 а) расположен на частоте, на которой |2|=|1|=2.84, а меньший максимум на частоте, когда |2|=|3|=1.

На рисунке приведено распределение модуля компоненты 5. электрического поля |Ez| вдоль координаты r волны с индексом – 0 для указанных параметров. Видно, что максимумы электрического поля этой волны привязаны к границам металлического слоя, аналогично волнам в плоской металлической пленке. Внутри металлического слоя максимумы поля отсутствуют.

Рисунок 5.69.

При увеличении толщины металлического слоя, при постоянном внешнем радиусе b, затухание волны с индексом 0 увеличивается, а максимум дисперсионной характеристики растет, затухание ППВ с индексами 1 – уменьшается и уменьшается величина максимумов дисперсионных характеристик.

На рисунке приведено распределение модуля компоненты 5. электрического поля |Ez| вдоль координаты, r волны с индексом – 0, для структуры имеющей следующие параметры: а=1 нм, b=10 нм, 1 2.84, 3 1, для нанопленки r 0 6, 1 2,9 мкм1, соотношение размеров слоев составляет ba 0,9.

b Рисунок 5.70.

При уменьшении толщины пленки максимум дисперсионной характеристики волны с индексом 0 уменьшается, а максимумы дисперсионных характеристик ППВ с индексами 1 – 6 увеличиваются, дисперсионные характеристики всех ППВ начинают сближаться и при соотношении размеров ba слоев 0,1 практически сливаются в одну зависимость(рисунок 5.65) b Затухание волны с индексом 0 уменьшается, а затухание ППВ с индексами 1 – увеличивается. Характеристики затухания всех ППВ расходятся. Фактически можно говорить о том, что в диэлектрическом волноводе с металлической пленкой очень малой толщины преобладает одна ППВ, имеющая индекс 0.

Существованием других волн можно пренебречь в связи с их большим затуханием.

Сравнивая характеристики дисперсии и затухания ППВ круглого металлического наностержня (рисунок 5.57) и характеристики ППВ круглого диэлектрического волновода с металлической нанопленкой (рисунок 5.67), можно утверждать, что в металлическом стержне в отличие от диэлектрического волновода с металлической пленкой отсутствует волна с номером – 0, а существуют только волны с номерами 1 – 6 и выше. Плазмон-поляритонную волну с нулевым индексом можно идентифицировать как «пленочную»

(максимумы поля привязаны к краям пленки), а волны с номерами 1,2,3 и т.д. как объемные, дополнительные (максимум поля расположены внутри объема электродинамических структур). По результатам, приведенным в главе, опубликованы работы [163, 179].

5.5 Выводы 1. Найдены комплексные решения дисперсионного уравнения, соответствующие комплексным волнам в электродинамических структурах без учета потерь, содержащих металлическую нанопленку.

2. Исследовано влияние комплексной диэлектрической проницаемости металлического слоя в оптическом диапазоне частот на дисперсионные характеристики и характеристики затухания плазмон-поляритонных волн в структурах:

а) Металлическая нанопленка, окруженная диэлектриком;

б) Структура металл-диэлектрик-металл;

в) Металлический наностержень;

г) Открытый диэлектрический волновод с металлической нанопленкой.

3. Показано принципиальное отличие дисперсионных характеристик волн электродинамических структур с нанопленками, рассчитанных с учетом комплексности диэлектрической проницаемости металла в оптическом диапазоне, от характеристик, полученных без учета ее комплексности.

4. Приведены картины распределения электрического поля ППВ в электродинамических структурах с нанопленками.

5. Определена взаимосвязь порядкового номера плазмон-поляритонных волн в цилиндрических структурах (металлический наностержень, ОДВ с металлической нанопленкой) с количеством максимумов электрического поля в металлическом слое вдоль радиальной координаты.

Глава ОПТИЧЕСКИЕ УСТРОЙСТВА НА БАЗЕ БРЕГГОВСКИХ ВОЛОКОННЫХ РЕШЕТОК 6.1 Введение При разработке РЭА одной из важнейших задач является расчет по заданным техническим характеристикам параметров тех или иных узлов, то есть осуществление параметрического синтеза того или иного устройства. В настоящей главе приводится метод оптимизации параметров разработанный на основе метода Мюллера, примененного ранее для поиска комплексных решений дисперсионных задач. Как было показано в первой главе диссертационной работы, этот метод обладает высоким быстродействием, что является важным критерием в задачах многопараметрического синтеза. В главе рассматривается методика расчета брегговских волоконных решеток и предлагается метод оптимизации параметров, основанный на методе Мюллера.

Брегговские волоконные решетки (БВР) в настоящее время являются одним из ключевых элементов в различных устройствах волоконной оптики. Они, в частности, применяются в качестве составных частей мультиплексоров и демультиплексоров [186], полосовых фильтров[187], компенсаторов дисперсии [188, 189] в волоконно-оптических линиях связи, зеркал волоконных и полупроводниковых лазеров[190-193], чувствительных элементов волоконно оптических датчиков физических величин[194-196] и т.д.

Для получения требуемых характеристик устройств на базе БВР необходимо создать решетку с требуемыми параметрами. Брегговская волоконная решетка изготавливается из легированного волокна путем облучения сердцевины ультрафиолетом. Запись БВР осуществляется в интерферометрах с амплитудным или пространственным разделением пучка ультрафиолетового излучения[197, 198]. От профиля показателя преломления и дисперсионных характеристик волокна зависят свойства получаемой БВР, поэтому желательно заранее выбрать заготовку, из которой будет изготовлено волокно для БВР с определенными параметрами.

Для этих целей была разработана программа дисперсионных характеристик волоконного световода по профилю показателя преломления заготовки, измеренному с помощью анализатора заготовок “Р-102” фирмы York Technology.

Структура программы будет рассмотрена в параграфе 6.4. настоящей главы.

6.2 Постановка задачи расчета характеристик брэгговских волоконных решеток Однородная БВР представляет собой одномодовый волоконный световод (ВС), показатель преломления сердцевины которого изменяется по закону, показанному на рисунке 6.1.

Принцип действия БВР основан на взаимодействии моды НЕ11, распространяющейся в прямом направлении, и аналогичной моды, имеющей противоположное направление распространения.

Расчет спектральных характеристик БВР обычно выполняют с применением теории связанных мод, в рамках которой предполагается, что заданной длине волны лишь для двух определенных мод выполняется условие фазового синхронизма, и только эти моды могут обмениваться энергией друг с другом[199].

Связь основных мод, распространяющихся в противоположных направлениях, осуществляется на брегговской длине волны Бр, определяемой уравнением nэф Бр.

(6.1) Рисунок 6.1.

Расчет эффективного показателя nэф преломления nэф основной моды ВС с записанной в его сердцевине БВР будет производиться с помощью методики, описанной в [200] для круглого открытого диэлектрического волновода. При этом считаем распределение наведенного показателя преломления nнав постоянным по радиальной координате в сердцевине. Его связь с изменением эффективного показателя преломления основной моды nэф [197, 198]:

nэф nнав, (6.2) где 2 a E H E H rdrd rdrd * * – (6.3) r r 00 доля мощности основной волны, приходящейся на сердцевину ВС;

Er, H – поперечные компоненты электромагнитного поля волны HE11 в цилиндрической системе координат.

Наведенное при записи решетки изменение показателя преломления в сердцевине световода вдоль его оси может быть описано следующим образом:

2z nнав ( z ) nср nмод cos, (6.4) o где nср и nмод – среднее значение и амплитуда модуляции наведенного показателя преломления, соответственно. Усредненный период решетки удобно выбирать соответствующим центральной длине волны 0 в спектре отражения решетки:

0 2nэф nср 0. (6.5) На определенной длине волны взаимодействие мод, распространяющихся в противоположных направлениях, на брегговской решетке описывается системой уравнений связанных мод [197-199, 201]:

Rz iz R( z ) ik ( z ) S ( z ) ;

z S z iz S ( z ) ik ( z ) R( z ), (6.6) z где R(,z) и S(,z) – медленно меняющиеся на масштабе длины волны амплитуды волн, распространяющихся в прямом и обратном направлениях, соответственно.

Спектральная отстройка от строгого резонанса:

2nэф ( z ) ( z ) (6.7), где nэф определяется с учетом поправки (6.2). k(z) – коэффициент связи решетки:

nмод ( z ) k ( z). (6.8) Для случая однородных БВР (z)==const и k(z)=k=const. Система линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка (6.6) имеет постоянные коэффициенты. Ее решение[197, 198, 201]:

k R( z ) k C1 exp( в z ) C i exp( в z ), S ( z) i (6.9) в в где в k, С1,2 – произвольные постоянные.

2 Систему (6.9) решаем[198] при граничных условиях: R(,0)=1 и S(,L)=0, что соответствует падающей на БВР волне с единичной амплитудой и отсутствию излучения, падающего на решетку с обратной стороны.

Неизвестными являются комплексный коэффициент отражения S(,0) и коэффициент передачи R(,L) решетки длиной L, которые в случае неучета потерь в материале связаны через закон сохранения энергии:

R(, L) S (,0) 1.

2 Для определения этих констант достаточно задать граничное условие, R R( z ) 0.

например, на входе в решетку S ( z ) z 0 S Удобно рассмотреть два ортогональных граничных условия R( z ) 1 R( z ) S ( z) z 0 0 и S ( z ) z 0 1. Частными решениями уравнений (6.9), i chz в shz в в R( z ) S ( z) соответствующими этим условиям, являются ik shz и в в ik shz в R( z ) в S ( z) chz i shz соответственно. Линейная комбинация этих в в в решений позволяет записать общее решение (6.9) в следующем виде:

R( z ) R(0) M ( z ) S (0), S ( z) (6.10) где матрица M(z) определяется соотношением i chz в shz в shz в ik в в M ( z).

ik i (6.11) shz в chz в shz в в в Соотношение (6.10) позволяет вычислить амплитудные и фазовые характеристики полей основной моды, в том числе их спектральные зависимости R(, L) – пропускание и S (,0) – отражение для брэгговской решетки длиной L.

Для этого ставятся следующие граничные условия: амплитуда основной моды, распространяющейся в прямом направлении, R(,0) 1 (падающая на решетку волна единичной интенсивности);

амплитуда основной моды, распространяющейся в обратном направлении, S (, L) 0 (отсутствие излучения, падающего на решетку с противоположной стороны). В частности, с указанными граничными условиями для коэффициента отражения по мощности r S (,0) из (6.10) имеем:

sh 2 в L r 2 (6.12).

ch в L 2 k В случае, когда параметры волоконной решетки не являются постоянными по ее длине, существует два подхода к решению системы уравнений (6.6)[198].

Первый подход состоит в прямом численном интегрировании уравнений связанных мод. В рамках другого подхода волоконная решетка длиной L рассматривается как последовательность N однородных решеток, рисунок 6.2, с i длиной li и периодом каждая. Несмотря на такое приближение, при выборе достаточно большого количества однородных частей решетки 100, второй подход позволяет с высокой точностью рассчитать спектральный отклик неоднородной волоконной решетки со скоростью, значительно превышающей прямое интегрирование исходной системы уравнений.

l l1 l2 li L Рисунок 6.2.

В соответствии с методом разбиения неоднородных решеток на N однородных участков амплитуды полей на определенной длине волны до и после неоднородной решетки связаны следующим соотношением:

R( L) R(0) MN S (0), S ( L) (6.13) где M N M N M N 1... M1, M i - матрица пропускания i -го однородного участка решетки.

Спектральная зависимость интенсивности отраженного (прошедшего) излучения вычисляется возведением в квадрат зависимости I ( ) S (,0) ( R(,0) ).

Групповая задержка отраженного/прошедшего излучения связана с фазой ( ) комплексных значения S (,0) и R(, L) следующим соотношением[198]:

d 2 d. (6.14) d 2c d Дисперсия решетки D( ), в свою очередь, определяется следующим выражением:

d 2 2 d D (6.15).

d 2c d На рисунке 6.3, представлена зависимость коэффициента отражения однородной БВР от длин волны при параметрах решетки: L=510-3 м, nмод=510-5, =0.8, nэф=1.444763, =5.188910-7 м.

Рисунок 6.3.

На рисунке 6.4, представлена аналогичная зависимость при тех же параметрах БВР, но с nмод=7.510-4. Видно, что увеличение nмод повышает коэффициент отражения, уширяет полосу отражения, однако, возрастает отражение в боковых максимумах, обусловленных многократными переотражениями волны на неэквидистантных неоднородностях.

Рисунок 6.4.

Очевидно, что подавить боковые «всплески» коэффициента отражения можно лишь в неоднородных решетках, меняя по определенному закону либо период, либо nмод, либо то и другое одновременно.

Из вышесказанного можно сделать выводы:

1) Получить заданную характеристику r S (,0) узкополосного волоконного фильтра можно путем изменения основных параметров решетки по ее длине.

2) Закон изменения параметров можно определить, применяя методы:

аналитического синтеза;

параметрического синтеза, основанного на различных методах оптимизации узкополосных БВР-фильтров:

- метод покоординатного спуска[72];

- метод градиентного спуска[72];

- методы математического программирования [203 – 206];

В качестве базовой структуры фильтра при выполнении оптимизации выбрана форма каскадного соединения N регулярных звеньев (рисунок 6.2) с параметрами nmod i и li и с общим коэффициентом отражения N S (,0) si (,0), (6.16) i где si (,0) - коэффициентом отражения i-го звена.

Задачу параметрического синтеза БВР-фильтра можно записать так:

F o ( X o ) min F ( X ) (6.17) X E 2 N 5e 5 n mod i 7.5e 4 i 1, N, (6.18) 70.0 l i, мкм 200.0 i 1, N i 536,1826 нм i 1, N, (6.19) F ( X ) n f n ( X ) – целевая функция, F o ( X o ) – оптимальное значение где n целевой функции.

Таким образом, минимизация целевого функционала (6.17) осуществляется на многомерном пространстве параметров фильтра (6.18).

Наиболее простой реализацией обладает метод аналитического синтеза, который и будет первым рассмотрен в следующем параграфе.

6.3 Аналитический синтез полосно-заграждающего фильтра на основе неоднородной БВР Пользуясь методикой, изложенной в параграфе 6.1, выполним расчёт АЧХ полосового фильтра на основе БВР, который должен иметь следующие характеристики:

центральная частота 1060 нм;

ширина полосы по уровню -20 дБ 3 нм;

коэффициент прямоугольности фильтра не более 1,1;

уровень боковых максимумов меньше -20 дБ;

эффективный показатель преломления 1. Исходя из технического задания, находим период однородной решетки на центральной длине волны 0 по формуле:

2nэф nср, (6.20) где nэф – эффективный показатель преломления основной моды, – период решетки, – доля мощности основной моды, nср – величина среднего наведенного показателя преломления.

Для центральной длины волны 1060 нм период однородной решетки будет равен 3.670510-7 м;

Нормированная ширина полосы заграждения фильтра рассчитывается по формуле:

0 n м од, (6.21) nэф где nм од –амплитуда переменной составляющей наведенного показателя преломления.

Чтобы обеспечить требуемую полосу по формуле (6.21) находим, что nм од должна быть не меньше 0,0041.

Для первого приближения рассчитаем АЧХ коэффициента отражения для следующих параметров однородной БВР: длина L=4 мм, nср nм од 0,005, период однородной решетки – 3.670510-7 м.

На рисунке 6.5 показана АЧХ коэффициента отражения однородной БВР.

Из рисунка видно, что уровень боковых максимумов значительно превышает допустимые значения, то есть однородная решетка не дает требуемых по техническому заданию результатов.

Расчеты показали, что для подавления боковых максимумов необходимо nм од вдоль решетки близкое к закону, показанному задать изменение на рисунке 6.6. Величина среднего наведенного показателя преломления остается постоянной и равной 0.005( nср nм од). Максимум nм од не должен превышать nср. Моделируемую неоднородную БВР, представим состоящей из N=50 однородных решеток.

Рисунок 6.5.

Рисунок 6.6.

АЧХ коэффициента отражения такой решетки показана на рисунке 6.7.

Видно, что боковые максимумы значительно уменьшились, это связано с тем, что амплитуда наведенного показателя преломления увеличивается до максимума не скачком, а постепенно, что приводит к уменьшению коэффициента отражения на длинах волн отличных от брэгговской длины волны.

Однако такое изменение амплитуды наведенного показателя преломления оказывает влияние и на отражение энергии на длинах волн вблизи границы полосы фильтра, что приводит к ухудшению коэффициента прямоугольности, который рассчитывается по формуле:

f p, (3.3) f 0, где f 20 – полоса пропускания по уровню -20 дБ, f 0,7 – полоса пропускания по уровню -3 дБ (уровень 0,707).

Попробуем описать изменение nм од в пределах длины неоднородной БВР гладкой функцией (что, кстати, более технологично).

Рисунок 6.7.

Искомая зависимость амплитуды модуляции наведенного показателя преломления для i – однородной решетки, может быть описана или гауссовой огибающей профиля показателя преломления (рисунок 6.8 а):

2 z L ni, м од nmax L exp (6.22) или косинусом с постоянной составляющей (рисунок 6.8 б):

ni, м од n0 м од1 m cos i, (6.23) N где n0 м од – среднее значение амплитуды модуляции наведенного показателя преломления, m – определяет амплитуду косинуса, L – длина решетки, – количество однородных решеток из которых моделируется N неоднородная решетка. На рисунке 6.9 показана зависимость наведенного показателя преломления определяемого по формуле:

2 nнав z nср z nм од( z ) cos z z. (6.24) а) б) Рисунок 6.8.

Рисунок 6.9.

Если задать изменение амплитуды модуляции наведенного показателя преломления гауссовым законом с максимальным значением равным среднему наведенному показателю преломления (рисунок 6.9) и число однородных участков N=50, то при общей длине решетки 4 мм получается АЧХ, показанная на рисунке 6.10. Полученная характеристика коэффициента отражения полностью удовлетворяет заданным требованиям. Коэффициент прямоугольности равен 1,02.

Уменьшение общей длины решетки до 2 мм, при сохранении гауссовой огибающей профиля показателя преломления, приводит к значительному ухудшению коэффициента прямоугольности до 1,3, но при этом уменьшается величина боковых максимумов (рисунок 6.11). Это связано с тем за счет уменьшения длины БВР уменьшается взаимодействие распространяющейся волны с решеткой и меньшее количество энергии отражается.

Рисунок 6.10.

Рисунок 6.11.

Увеличение общей длины решетки до 6 мм при сохранении гауссовой зависимости амплитуды модуляции наведенного показателя преломления приводит к незначительному увеличению коэффициента прямоугольности до 1.015, но увеличивается размер боковых максимумов (рисунок 6.12), так как за счет увеличения длины БВР увеличивается взаимодействие прямой волны с решеткой, а, следовательно, увеличивается количество отраженной энергии.

Если уменьшить в два раза максимум гауссовой зависимости амплитуды nм од,max 0,5nср модуляции наведенного показателя преломления (рисунок 6.13) происходит уменьшение полосы пропускания до 1.5 нм, коэффициент прямоугольности по уровню 20 дБ равен 1,06 (рисунок 6.14).

Аналогичные результаты получаются, если в качестве закона изменения амплитуды модуляции наведенного показателя преломления использовать косинус с постоянной составляющей.

Рисунок 6.12.

Рисунок 6.13.

Рисунок 6.14.

Оценим влияние длин однородных участков БВР.

Зададим закон изменения длин однородных участков по формуле:

L li 1 m cos i, (6.25) N N где L – общая длинна решетки, N – число звеньев, m –амплитуда косинуса.

Такая зависимость (рисунок 6.15) выбрана исходя из того, что наибольшее влияние на волну, распространяющуюся в БВР, оказывают участки с nм од, близкой к максимальному значению. На этих участках увеличивается взаимодействие с решеткой излучения, имеющего длину волны, близкую к брэгговской длине волны. Длину этих участков делаем большей, чем участков с меньшим значением nм од.

Для БВР, АЧХ коэффициентов отражений, которых приведены на рисунках 6.10 – 6.14, зависимость длины участков однородных решеток от номера участка менялась по закону, показанному на рисунке 6.15. Из рисунка 6. видно, что длины однородных участков больше там, где больше величина наведенного показателя преломления(рисунок 6.8).

Если сделать все участки одинаковой длины, то произойдет незначительное ухудшение коэффициента прямоугольности до 1,03 и увеличится величина боковых максимумов (рисунок 6.16) подтверждая тем самым влияние на боковые максимумы участков БВР с меньшими значениями nм од.

Рисунок 6.15.

Следовательно, можно сделать вывод, что на вид характеристики коэффициента отражения можно влиять, меняя закон изменения длины однородных участков БВР, и лучшие результаты получаются при синусоидальном законе изменения длин однородных участков БВР.

Рисунок 6.16.

Изменение величины среднего наведенного показателя преломления nср в соответствии с формулой:

0 2nэф nср (6.26) приводит к смещению центральной длинны волны. На рисунке 6. пунктирной линией показана АЧХ коэффициента отражения при nср 0,005, а сплошной линией – при nср 0,006.

Рисунок 6.17.

изменения nм од можно Таким образом, варьируя параметры закона добиться необходимой АЧХ коэффициента отражения БВР.

6.4 Синтез полосно-заграждающего фильтра и компенсатора дисперсии на основе неоднородной БВР с использованием метода Мюллера Приведенный в предыдущем параграфе аналитический синтез имеет один существенный недостаток – большие временные затраты при подборе тех или иных параметров неоднородной БВР, особенно если варьируемых параметров достаточно много, а также невозможность подобрать законы изменения варьируемых параметров, при синтезе устройств имеющих сложную частотную характеристику.

Поэтому был разработан метод поиска оптимальных параметров, использующий в качестве минимизирующего целевую функцию метода алгоритм, основанный на методе Мюллера.

Целевая функция может быть записана в виде[204]:

1 1 M mm 1 N n n F X ai R X, f i R0 f i bi S X, f i S 0 f i N i 1 M i 1 где X - вектор оптимизируемых параметров {x1, x2, x3, … xi …xN}, f i - фиксированный набор частот, ai и bi - весовые коэффициенты, М и N – количество частотных точек, R0- оптимальное значение коэффициента отражения по основной волне, S0- оптимальное значение коэффициента передачи.

Все многомерное параметрическое пространство поиска {x1, x2, x3, … xi …xN} разбивается на подобласти размером x1, x2, x3, … xN. На рисунке 6.18, для примера, показано пространство поиска оптимального решения по двум параметрам.

x x2end x x2start x x1start x1end x Рисунок 6.18.

Поиск оптимального решения ведется в каждой подобласти размером x1, x2 всего пространства поиска ограниченного x1start- x1end по x1 и x2start- x2end по x2.

Из найденных в каждой подобласти локальных экстремумов целевой функции выбирается величина экстремума, имеющая наименьшие значение. В многомерном пространстве поиска оптимального решения размеры подобластей x1, x2, x3,… xi,…xN.

Поиск минимального значения целевой функции в каждой подобласти ведется с использованием алгоритма, основанного на методе Мюллера. Полагаем, что если экстремум в подобласти существует, то в силу небольших размеров подобласти он один.

Сначала переменным считаем параметр x1, а все остальные параметры принимают заданные начальные значения, которые остаются постоянными на данном этапе поиска. Используя формулы x1,k x1,k ;

(6.27) x1,k 1 x1,k A f x1,k, x2, x3,..xN 1 f x1,k 1, x2, x3,..xN 2 f x1,k 2, x2, x3,..xN ;

(6.28) B 2 1 f x1,k, x2, x3,..xN 1 f x1,k 1, x2, x3,..xN 2 f x1,k 2, x2, x3,..xN ;

(6.29) C 1 f x1,k, x2, x3,..xN ;

(6.30) x1,k 1 x1,k x1,k x1,k 2C, (6.31) B B 2 4 AC находим Fmin1(X1, x2, x3, … xN). В формулах (6.27) – (6.31) для поиска следующего приближения по текущему параметру поиска х1,к+1 используются три предыдущих значения параметра поиска х1,к-2, х1,к-1 и х1,к. Далее одно из предыдущих значений отбрасывается и итерация повторяется до тех пор пока не достигнуто требуемое минимальное значение целевой функции.

Найденное значение целевой функции Fmin1(X1, x2, x3, … xN) и соответствующий ему параметр X1 запоминается. На следующем этапе изменяется параметр x2, x1= X1, а все остальные параметры имеют начальные значения.

Формулы (6.27 – 6.31) принимают следующий вид:

x2,k x2,k ;

(6.32) x2,k 1 x2,k A f X 1, x2,k, x3,..xN 1 f X 1, x2,k 1, x3,..xN 2 f X 1, x2,k 2, x3,..xN ;

(6.33) B 2 1 f X 1, x2,k, x3,..xN 1 f X 1, x2,k 1, x3,..xN 2 f X 1, x2,k 2, x3,..xN ;

(6.34) C 1 f X 1, x2,k, x3,..xN ;

(6.35) x2,k 1 x2,k x2,k x2,k 2C. (6.36) B B 2 4 AC Найденное значение целевой функции Fmin2(X1, X2, x3, … xN) и соответствующий ему параметр X2 запоминаются. Аналогично повторяется поиск для других параметров. Из найденных значений Fmin1, Fmin2, … FminN выбираем наименьшее и запоминаем его как FMIN. Найденное в каждой подобласти минимальное значение целевой функции Fmin сравниваем с FMIN и если оно меньше присваиваем FMIN текущее значение Fmin. Выполнив поиск по всем подобластям, получаем параметры структуры соответствующие найденному минимальному значению целевой функции, которое и будем считать o o оптимальным – F ( X ). Полученные результаты X1, X2, X3, … XN подставляем в блок анализа и проверяем, удовлетворяют ли полученные характеристики заданным при постановке задачи. Если не удовлетворяют, то расчеты повторяем заново, но начинаем поиск минимума целевой функции F ( X ) в подобласти не с параметра x1, а с параметра x2, потом с x3 и так далее.

С использованием описанного выше алгоритма, основанного на методе Мюллера, была создана программа параметрического синтеза устройств на основе БВР. Программа написана на языке программирования C++ в среде MS Visual Studio.

Произведем расчет полосового фильтра с характеристиками, приведенными в предыдущем параграфе.

Количество однородных решеток составляющих неоднородную БВР выберем N=50, чтобы сравнить с результатами, полученными аналитическим методом. Результаты расчета частотных характеристик выводятся во встроенном графопостроителе (рисунок 6.19) а параметры БВР в таблице (рисунок 6.20).

Рисунок 6.19.

Рисунок 6.20.

Полученные результаты также сохраняются в файле, который можно открыть в любом текстовом редакторе, а частотные характеристики построить в программе MS Excel или в пакете Open Office.

На рисунке 6.21 приведена АЧХ, полученная с помощью разработанной программы и построенная в среде MS Excel. Исходные данные, взятые для расчета АЧХ, аналогичны приведенным в параграфе 6.2.

Сравнивая АЧХ, полученную с помощью метода аналитического синтеза (рисунок 6.10) и АЧХ приведенную на рисунке 6.21 полученную с помощью метода основанного на методе Мюллера, видим, что величина боковых максимумов меньше на рисунке 6.21.

Таким образом, можно сделать вывод, что предложенный метод может использоваться при многопараметрическом синтезе устройств на базе БВР.

Метод синтеза, основанный на методе Мюллера, обладает хорошим быстродействием и дает решения, удовлетворяющие требуемым характеристикам.

Рисунок 6.21.

Рассмотренная выше программа позволяет также рассчитывать дисперсию БВР по формуле (6.15). Используя приведенный в настоящем параграфе метод поиска оптимального решения, можно осуществить параметрический синтез компенсатора дисперсии на основе БВР. Такая задача достаточно актуальна в настоящее время в связи с широким развитием сверхпротяженных волоконно оптических линий связи. В таких линиях остро стоит вопрос о компенсации хроматической дисперсии волн, возникающей на протяженных участках волоконных линий связи. В качестве базового элемента компенсаторов дисперсии широко используются БВР, имеющие малые размеры и вес [207, 208].

Компенсатор дисперсии на БВР может работать как на отражение, так и на прохождение[208].

В качестве примера рассмотрим расчет компенсатора дисперсии для волоконно-оптической линии связи, использующей волокно SMF28, работающего на длине волны 1310 нм, длиной 50 км, если ширина спектра источника 1 нм.

Компенсатор работает на отраженном сигнале.

На рисунке 6.22. приведены частотные зависимости дисперсии волокна длиной 50 км (пунктирная линия) и требуемая частотная зависимость компенсатора дисперсии сплошная линия.

Частотную зависимость дисперсии волокна SMF28 в этом диапазоне длин волн можно считать линейной, поэтому компенсатор дисперсии должен иметь характеристику как можно более близкую к линейной.

Рисунок 6.22.

На рисунке 6.23. приведена частотная зависимость дисперсии, рассчитанная с помощью разработанной программы с использованием алгоритма поиска оптимального набора параметров, описанного выше(пунктирной линией изображена идеальная линейная характеристика, сплошной линией расчитанная).

На рисунке 6.24. приведена частотная зависимость коэффициента отражения БВР в рассматриваемом диапазоне частот.

Рисунок 6.23.

r, дБ 0, -0, -0, -0, -0, -0, -0, -0, -0, -0,, нм -1, 1309,2 1309,6 1310,0 1310,4 1310, Рисунок 6.24.

Максимальное отклонение от линейности дисперсионной характеристики БВР составляет 0,5 %. Приведенные расчета показывают возможность использования разработанной программы на основе метода Мюллера для расчета компенсаторов дисперсии на базе БВР. Программа расчета компенсатора дисперсии на основе БВР защищена свидетельством на программный продукт[209].

6.5 Расчет характеристик распространения волн волоконных световодов произвольного профиля показателя преломления Эффективный показатель преломления сердцевины оптического волокна оказывает существенное влияние на характеристики создаваемой БВР, поэтому имеет смысл заранее выбрать заготовку для вытяжки волоконно-оптического световода с заданными параметрами.

Для анализа характеристик заготовки, была создана программа расчета дисперсионных характеристик волн волоконного световода по профилю преломления заготовке, полученному с использованием установки “Р-102” фирмы York Technology(рисунок 6.25).

Рисунок 6.25.

На рисунке 6.26. изображена схема измерительного узла анализатора “Р-102”. Принцип измерения профиля показателя заготовки состоит в следующем: луч He-Ne лазера с рабочей длиной волны 0.63 мкм отражается от поворотного зеркала и пересекает преформу. Преформа помещается в прямоугольную кювету, заполненную иммерсионной жидкостью, оптическая плотность которой такая же, как у оболочки. Сердцевина преформы образует цилиндрическую линзу, которая отклоняет луч. Пройдя измерительный объектив, измеритель отклонений, поворотное зеркало, луч через собирающую цилиндрическую линзу попадает на детектор. Заготовка может перемещаться в направлении перпендикулярном оси с шагом от 5 до 400 мкм. Точность определения абсолютной величины показателя преломления не хуже, чем 510-4.

Рисунок 6.26.

Данные получаемые с детектора обрабатываются компьютерным блоком и распределение показателя преломления вдоль радиальной координаты записывается в отдельный файл: в первом столбце радиальная координата, во втором разность между величиной показателя преломления сердцевины и оболочки.

На рисунке 6.27 приведена структурная схема программы расчета частотных характеристик. Данные по профилю показателя преломления заготовки считываются программой из файла, созданного установкой “Р-102”.

Измерение профиля Установка показателя преломления с Р помощью установки Р Запись результатов измерений в файл Считывание данных программой расчета Программа расчета Определение вида профиля показателя преломления Расчет концентрации примеси в слоях Расчет дисперсионных характеристик Рисунок 6.27.

Исследуемая структура(заготовка) представляется как многослойный диэлектрический волновод.

Для учёта материальной дисперсии в каждом аппроксимирующем слое используется формула Зельмеера[210]:

, (6.37) здесь C - концентрация примесей в кварцевом стекле, выраженная в Ai li молекулярных процентах. Коэффициенты и определяются экспериментально для определённого значения концентрации примесей C.

Для сердцевины, легированной оксидом германия GeO2, формула выглядит следующим образом:

SA X GA SA 2 i i i n Sl X Gl Sl (6.38), i 1 i i i где SAi и Sli – коэффициенты Зельмеера для чистого кварцевого стекла SiO2, а GAi и Gli – коэффициенты Зельмеера для чистого германиевого стекла GeO2.

В таблице 6.1 приведены значения коэффициентов Зельмеера для GeO2[210] и SiO2[211].

Таблица 6.1.

SA1 Sl1 SA2 Sl2 SA3 Sl SiO 0.6961663 0.0684043 0.40794260 0.11624140 0.89747940 0. GA1 Gl1 GA2 Gl2 GA3 Gl GeO 0.80686642 0.068972606 0.71815848 0.15396605 0.85416831 0. По полученным с помощью установки “Р-102” данным определяем закон изменения концентрации примесей. В программе заложены следующие законы:

C (r ) Cmax 1 r / a,0 r a ;

линейный закон C (r ) Cmax 1 r / a,0 r a;

параболический закон r 2 2r / a 2Cmax 1 2 a, 0 r a.

C (r ) Cmax степенной закон Вычисляем в каждом слое концентрацию примесей и определяем с помощью формул (6.37, 6.38) величину показателя преломления в каждом слое.

Зная показатели преломления ni в каждом слое для ( i 1, 2,..., N ) фиксированной длины волны, мы определяем нормированные поперечные волновые числа ui на заданной частоте для каждого из слоёв по формуле:

ne = /k0, k0 =2/.

ui ni2 ne2, (6.39) Далее находим решения дисперсионного уравнения на разных длинах волн.

Для составления дисперсионного уравнения[212]:

det Am 0, (6.40) где N C miCmi1 CmN mN ;

Am 1C 1 m m1 mi i Am - матрица размера (2x2), u r1Lm u12, r1 12 Lm u12, r1 Lm u12, r ne m 1Cm1 n n1 ;

m n mL u 2, r r1Lm u12, r1 u1 Lm u1, r 2 e m 1 1 xy / k m y k ! m k ! ;

m / Lm ( x, y ) x y x Jm 2 k J m y x - функция Бесселя индекса m ;

m Lm ( x, y) Lm ( x, y) x11 / 2 Lm1 ( x, y) ;

y 1 0 n ne m 0 i ui u Cmi ;

i 0 0 n m e2 0 u ui i r r Vm i 1, (ui ri) 2 S m i 1, (ui ri) 2 0 ri ri ri 1 r, (ui ri) 2 S m i 1, (ui ri) Vm 0 ri ri mi ;

r r Vm i 1, (ui ri) 2 S m i 1, (ui ri) 0 ri ri r r, (ui ri) Sm, (ui ri) Vm i 1 i 0 ri ri 1 0 ui2 ne m 0 Cmi1 ;

ni2 ni 0 0 n m 0 ui e Nm y Jm y S m ( x, y ) ;

N x y J xy ydN m y ydJ m y Vm ( x, y ) 2 m m dy dy S m ( x, y ) S m ( x, y ) x ;

x Vm ( x, y) Vm ( x, y ) Nm y Jm y S m ( x, y ) J x y.

N x y x y m ydN m y ydJ m y m Vm ( x, y ) dy dy Здесь J m y и N m y - функции Бесселя и Неймана индекса m. Здесь штрих в N m x y и J m x y означает дифференцирование по всему аргументу.

K m u N rN u N nN rN 1 K m u N rN 1 K m u N rN ne m 2 uN uN.

CmN mN K m u N rN ne m uN K m u N rN 1 rN 1K m u N rN 2 uN uN Здесь K m x - это функция Макдональда индекса m, dK m x m Km x K m x K m1 x dx x Во всех матрицах i - номер области, i 1,..., N. N - число слоёв. ni показатель преломления слоя с номером i. Слой с номером i имеет размеры ri 1 r ri, при этом r0 0, rN.

i ui k 2 2 ;

ne = /k0, k0 =2/ ui ni2 ne2, r’=k0r;

ri’=k0ri.

Найденные зависимости распределения концентрации примеси и дисперсионные характеристики выводятся в виде графиков в окне интерфейса программы(рисунок 6.28) или сохраняются в отдельном файле. По данным, сохраненным в файле, можно построить графики с помощью программы MS Excel.

Рисунок 6.28.

По полученным зависимостям можно судить, подходит данная заготовка по требуемым параметрам для производства БВР или необходимо выбрать другую.

На данную программу расчета выдано свидетельство о государственной регистрации программного продукта для ЭВМ[213].

Используя программу, получим дисперсионные характеристики градиентных световодов, профили показателя преломления(ППП) заготовок которых изменяются по параболическому и линейному законам. Графики для наглядности были построены с помощью MS Excel по результатам расчетов, сохраненных в файле программой (рисунок 6.28).

Рассмотрим световод c параболическим ППП, приведённым на рисунке 6.29. Для него nmax 1.48 и nmin 1.45. Радиус сердцевины равен r = 5 мкм. Возьмём для определённости m 1, то есть будем рассматривать волны типа HE1n и EH1n.

Дисперсионные характеристики первых пяти волн данного световода при N= аппроксимирующих слоях изображена на рисунке 6.30.

1, 1, 1, 1, n(r) 1, 1, 1, 1, 1, 0 1 2 3 4 5 6 7 r, мкм Рисунок 6.29.

Рисунок 6. Рассмотрим теперь световод, имеющий треугольный ППП, приведённый на рисунке 6.31. Для него nmax 1.48 и nmin 1.45. Радиус сердцевины равен r = 5 мкм.

Дисперсионная характеристика волн типа HE1n и EH1n данного световода при N=40 аппроксимирующих изображена на рисунке 6.32.

n(r) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, r, мкм 1, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Рисунок 6.31.

b/k 1, 1, 1, 1, 1, 1, k0a 1, 0 10 20 30 40 Рисунок 6.32.

На рисунке 6.32. по оси ординат откладывается нормированное продольное волновое число (коэффициент замедления), то есть ne = /k0, а по оси абсцисс – нормированная частота, то есть k0a, где k0 - волновое число плоской волны в свободном пространстве, a - радиус сердцевины градиентного световода.

Сплошной линией изображена дисперсионная характеристика волны НЕ11, пунктирной ЕН11, штрихпунктирной НЕ12.

Для произвольного профиля показателя преломления волоконного световода по данным, полученным с установки Р-102 (рисунок 6.33), для параметров световода: максимальная концентрация оксида германия GeO2 – Cmax = 10.94%, диаметр сердцевины – 6.4 мкм, диаметр оболочки –13.2 мкм, дисперсионная характеристика волны НЕ11 в одномодовом режиме приведена на рисунке 6.34. В данном случае полагаем, что концентрация оксида германия GeO2 в сердцевине изменяется линейно от радиальной координаты.

n(r) 1, 1, 1, 1, 1, 1, r, мкм 1, 0 2 4 6 8 10 12 Рисунок 6.33.

k k0a Рисунок 6.34.

На рисунке 6.34 так же, как и на рисунке 6.32, по оси ординат откладывается нормированное продольное волновое число (коэффициент замедления), то есть ne = /k0, а по оси абсцисс – нормированная частота, то есть k0a, где k0 - волновое число плоской волны в свободном пространстве, a - радиус сердцевины градиентного световода.

По результатам расчетов можно априорно судить, подходит данный световод по характеристикам для производства БВР, или необходимо выбрать другой, с более подходящими характеристиками.

Результаты, представленные в данной главе, были опубликованы в [187, 199, 206].

6.6 Выводы Предложен метод поиска глобального минимума целевой функции на 1.

основе метода Мюллера.

Произведен расчет характеристик полосового фильтра и компенсатора 2.

дисперсии на основе БВР с применением метода оптимизации на базе метода Мюллера Предложено использовать формулу Зельмеера для расчета характеристик 3.

волн волоконных световодов произвольного профиля показателя преломления с использованием установки Р-102.

Создана программа расчета характеристик волн волоконных световодов 4.

произвольного профиля показателя преломления.

Рассчитаны дисперсионные характеристики для различных профилей 5.

показателя преломления волоконного световода.

Глава РЕШЕНИЕ ДИФРАКЦИОННЫХ ЗАДАЧ ПРОЕКЦИОННЫМИ МЕТОДАМИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ БАЗИСА ГАУССА-ЛАГЕРРА 7.1 Введение Расчет электродинамических устройств СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов: аттенюаторы, фазовращатели, антенны, направленные ответвители, полосовые фильтры, согласующие устройства и т.д. сводится к решению дифракционных задач[9, Для корректного решения 23, 67, 214-217].

дифракционной задачи необходимо определить базис, по которому производится разложение полей на границе между сшиваемыми областями. В настоящей главе рассматриваются полубесконечные цилиндрические структуры (рисунок 7.1), излучающие с открытого торца в свободное пространство. В качестве дифракционного базиса открытого пространства предлагается использовать функции Гаусса-Лагерра[218-219].

Рисунок 7.1.

Набор мод Гаусса-Лагерра в цилиндрической системе координат составляет базис гауссова пучка, который широко применяется для математического описания поля излучения световой волны в свободное пространство.

7.2 Постановка дифракционной задачи на торцевой границе полубесконечного ОДВ со свободным пространством Задача об излучении с торца открытого диэлектрического волновода (ОДВ) (рисунок 7.1) является важной в теории диэлектрических антенн[220]. Такая электродинамическая структура может быть использована в качестве излучающих элементов в интерферометрах миллиметрового диапазона, предназначенных для исследования быстропротекающих процессов[221] Строгий электродинамический расчет диэлектрической антенны может быть разбит на два этапа [222]:

1) возбуждение полубесконечного ОДВ отрезком металлического волновода;

2) дифракция поверхностной волны на открытом конце полубесконечного диэлектрического волновода.

В [223] был представлен расчет амплитудно-фазового распределения (АФР) поля излучения полубесконечного круглого ОДВ, полученный методом Гюйгенса-Кирхгоффа[224], в предположении, что поле на торце совпадает с полем распространяющейся в бесконечном ОДВ волны HE11. В данной работе вопрос рассматривается в более строгой постановке: поле на торце ОДВ представляется как результат решения дифракционной задачи.

Рассмотрим задачу дифракции волны HE11 на стыке полубесконечного круглого ОДВ со свободным пространством. Проекционные методы решения задачи дифракции подразумевают использование в качестве векторных базисных функций полей собственных волн стыкуемых структур. В настоящей работе в области I (рисунок 7.1) будут учитываться наряду с падающей на стык z = волной HE11 отраженные волны HE1m, имеющие такой же тип симметрии поля по азимутальной координате. Волны EH1m, как было показано, например, в [225], возбуждаются с малыми амплитудами и практически не влияют на результат решения дифракционной задачи. В области II в качестве базиса возьмем набор мод Гаусса-Лагерра, используемый в оптике, в частности, при моделировании поля излучения с торца волоконного световода [44].



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.