авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
-- [ Страница 1 ] --

Учебно-практическое

пособие

по математике

для студентов педагогических вузов

нематематических специальностей

Челябинск

2006

Федеральное агентство по образованию РФ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Челябинский государственный педагогический университет»

Учебно-практическое

пособие

по математике

для студентов педагогических вузов нематематических специальностей Челябинск 2006 УДК 51(021) ББК 22.1 Я 73 Г 69 Т. В. Горкунова, Е. В. Коробейникова. Учебно-практическое пособие по математике для студентов педагогических вузов нематематических специальностей. – Челябинск: издательство ЧГПУ, 2006. – 166 с.

Учебно-практическое пособие направлено на закрепление студентами будущими учителями теоретических знаний по дисциплине «Математика» в рамках курса «Математика и информатика», на выработку у них умений и навыков по решению практических задач по темам: «Математическая логика», «Теория множеств», «Системы счисления», «Комбинаторика», «Теория вероятностей», «Математическая статистика».

Рецезенты: А. С. Макаров, к. ф.-м. н., профессор ЧГПУ В. Л. Дильман, к. ф.-м. н., доцент ЮУрГУ ©Издательство Челябинского государственного педагогического университета, СОДЕРЖАНИЕ Введение............................................................................................................... Тема 1. Логика и исчисление высказываний............................................... Общие теоретические сведения................................................................ Практические задания. Примеры решений............................................. Задачи для самостоятельного решения.......................................... Домашнее задание............................................................................ Контрольные вопросы............................................................................... Библиографический список....................................................................... Тема 2. Множества и операции над ними.................................................... Общие теоретические сведения............................................................... Практические задания. Примеры решений.





............................................ Задачи для самостоятельного решения.......................................... Домашнее задание............................................................................ Контрольные вопросы............................................................................... Библиографический список....................................................................... Тема 3. Системы счисления............................................................................. Общие теоретические сведения............................................................... Практические задания. Примеры решений............................................. Задачи для самостоятельного решения.......................................... Домашнее задание............................................................................ Контрольные вопросы............................................................................... Библиографический список....................................................................... Тема 4. Комбинаторика..................................................................................... Общие теоретические сведения................................................................ Практические задания. Примеры решений.............................................. Задачи для самостоятельного решения........................................... Домашнее задание............................................................................. Контрольные вопросы................................................................................ Библиографический список......................................................................... Тема 5. Теория вероятностей............................................................................ Общие теоретические сведения................................................................ Практические задания. Примеры решений.............................................. Задачи для самостоятельного решения........................................... Домашнее задание............................................................................. Контрольные вопросы................................................................................ Библиографический список......................................................................... Тема 6. Математическая статистика............................................................... Общие теоретические сведения................................................................ Практические задания. Примеры решений.............................................. Задачи для самостоятельного решения........................................... Домашнее задание............................................................................. Контрольные вопросы................................................................................ Библиографический список......................................................................... Введение Развитие общества, рост конкуренции на рынке труда, разнообразие образовательных программ и учреждений, введение новых методик обучения, управления, контроля и оценки качества образования на основе математических методов с использованием современных технологий предъявляют новые требования к математической компетенции будущего учителя.





В естественнонаучный компонент образовательных стандартов второго поколения был введен комплексный курс «Математика и информатика».

Данное пособие направлено на закрепление студентами-будущими учителями теоретических знаний по дисциплине «Математика» в рамках данного курса, на выработку у них умений и навыков по решению практических задач по разделам: «Математическая логика», «Теория множеств», «Системы счисления», «Комбинаторика», «Теория вероятностей», «Математическая статистика».

Материалы пособия могут быть использованы студентами, как для аудиторной работы, так и для самостоятельного усвоения вышеуказанных тем.

Также издание может применяться преподавателями для подготовки и проведения практических занятий, организации самостоятельной работы студентов и контрольных и зачетных мероприятий по математике.

Практикум разбит на шесть тем, структура каждой из них представлена следующим образом: краткий теоретический обзор темы, примеры решения задач, практические и домашние задания, контрольные вопросы, список литературы.

Авторы рекомендуют следующую технологию работы студентов при самостоятельном изучении разделов.

1. Повторить теоретический материал по соответствующей теме, используя лекции или указанную литературу.

2. Ознакомиться с примерами решения задач.

3. Решить и оформить в соответствии с образцом задачи для самостоятельной работы, обозначенные *, затем **, затем ***.

4. Правильное решение задач, обозначенных *, означает усвоение темы на оценку «удовлетворительно», задач, обозначенных ** и *** – соответственно «хорошо» и «отлично».

5. Решить задачи одного варианта домашнего задания.

6. Ответить письменно на контрольные вопросы.

Тема 1. Логика и исчисление высказываний Цель: получить представление о методах и средствах формальной логики для решения практических задач.

Задачи:

1) определять простые и сложные высказывания, выявлять в сложных высказываниях логические связки;

2) осуществлять перевод с естественного языка на формальный и с формального на естественный язык;

3) определять значение истинности логической формулы, доказывать тождественную истинность или ложность формул, доказывать логические законы;

4) решать практические задачи с применением логических формул и таблиц истинности;

5) строить цепочки умозаключений с применением законов формальной логики.

Общие теоретические сведения Математическая логика – формальная теория, изучающая способы правильных рассуждений с помощью специального аппарата символов и исчислений (формализированных языков).

Основным объектом исследования математической логики является высказывание. Высказывание (простое высказывание) – это утвердительное повествовательное предложение, являющееся истинным или ложным. В математической логике высказывания обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, … Сложное высказывание состоит из ряда связанных простых высказываний. Каждой логической связке сложного высказывания соответствует логическая операция, имеющая свое символьное обозначение (см. табл. 1).

Таблица Условные обозначения логических связок Пример Правила чтения Обозначение А – Преподаватель Операция Связка читает лекции, В – Преподаватель ведет практику Не Отрицание Не А А – Преподаватель не А читает лекции, В – Преподаватель не ведет практику И Конъюнкция А В – Преподаватель АиВ А В читает лекции и (преподаватель) ведет практику Или Дизъюнкция А В – Преподаватель А или В А В читает лекции или (преподаватель) ведет практику А В Если…, то… Импликация Если А, А В – Если преподаватель читает то В лекции, то он (преподаватель) ведет практику А В …, тогда и Эквиваленция А В – Преподаватель А тогда только тогда, читает лекции, тогда и и когда… только тогда, когда он только (преподаватель) ведет тогда, практику когда В Истинное высказывание условимся обозначать латинской буквой T (true), ложное высказывание F (false).

Чтобы определить значение истинности для сложной формулы, необходимо знать значения истинности для операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции (см. табл. 2 - 6).

Таблица Таблица истинности для отрицания АА TF FT Таблица Таблица истинности для конъюнкции А В А В TT T TF F FT F FF F Таблица Таблица истинности для дизъюнкции А В А В TT T TF T FT T FF F Таблица Таблица истинности для импликации А В А В TT T TF F FT T FF T Таблица Таблица истинности для эквиваленции А В А В TT T TF F FT F FF T Формулы, имеющие все значения истинности при любых значениях переменных, называются тождественно-истинными. Тождественно-истинные формулы являются законами логики.

Логические законы доказываются с помощью таблиц истинности.

Алгоритм перевода высказываний с естественного языка на формальный 1. Выделить и обозначить простые высказывания.

2. Найти логические связки и заменить их на соответствующие логические операции.

3. Записать логическую формулу сложного высказывания.

4. Сделать проверку на соответствие полученной формулы исходному высказыванию.

Алгоритм перевода высказывания с формального языка на естественный 1. Заменить логическую переменную простым высказыванием.

2. Логические операции заменить соответствующими логическими связками.

3. Составить предложение.

Используя перевод естественной речи на язык математической логики, таблицы истинности, законы формальной логики в рассуждениях, а также теорию графов, можно решать текстовые задачи, встречающиеся в повседневной и профессиональной деятельности любого человека.

Практические задания Примеры решений I тип. Определение высказываний, выявление логических связок Задание. Определить, является ли предложение высказыванием:

«С утра идет дождь».

Решение а) Предложение является повествовательным.

б) Мысль выражена утвердительно.

в) Относительно данного предложения можно однозначно сказать, является оно ложным или истинным.

Ответ: Да, предложение является высказыванием.

Задание. Определить, является ли предложение высказыванием:

«Реши эту задачу».

Решение а) Предложение не является повествовательным (оно побудительное).

Ответ: Нет, предложение не является высказыванием.

Задание. Определить, является ли предложение высказыванием:

«Пробежал дистанцию».

Решение а) Предложение является повествовательным.

б) Относительно данного предложения невозможно однозначно сказать, истинно оно или ложно, так как не указано, кто пробежал дистанцию.

Ответ: Нет, предложение не является высказыванием.

Задание. Определить, является ли предложение высказыванием. Если является, то обозначить его и определить истинность: «В море соленая вода».

Решение а) Предложение повествовательное.

б) Относительно данного предложения можно однозначно сказать, является оно ложным или истинным.

в) Обозначим высказывание латинской буквой: А – В море соленая вода.

г) Высказывание истинное, т. е. А = T.

Ответ: да, предложение является высказыванием.

А – В море соленая вода, А = T.

Задание. Определить, из скольки простых высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку: «Добросовестный студент учится хорошо».

Решение а) В данном предложении два высказывания: «Студент добросовестный», «Студент учится хорошо».

б) Наиболее подходящая логическая связка «Если …, то…», так в предложении неявно выражена условная форма.

в) Получим предложение: «Если студент добросовестный, то он учится хорошо».

Ответ: предложение состоит из двух простых высказываний. «Если студент добросовестный, то он учится хорошо».

Задание. Определить, из скольки высказываний состоит предложение.

Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку: «В конце предложения надо обязательно поставить точку, многоточие, восклицательный знак или вопросительный знак».

Решение а) Предложение состоит из четырех простых высказываний:

В конце предложения надо обязательно поставить точку.

В конце предложения надо обязательно поставить многоточие.

В конце предложения надо обязательно поставить восклицательный знак.

В конце предложения надо обязательно поставить вопросительный знак.

б) Так как по смыслу исходного предложения возможен лишь один из вариантов знака препинания, то единственно подходящая логическая связка «или».

в) Получим предложение: «В конце предложения надо обязательно поставить точку или многоточие или восклицательный знак или вопросительный знак».

Ответ: Предложение состоит из четырех простых высказываний. «В конце предложения надо обязательно поставить точку или многоточие, или восклицательный знак, или вопросительный знак».

Задание. Подчеркнуть простые высказывания, обвести кружком логическую связку:

Если с утра пасмурно, то я беру зонтик.

За экзамен я получу «отлично» или за экзамен я получу «хорошо».

У зверя нет иголок тогда и только тогда, когда зверь не ежик или зверь не дикообраз.

Неверно следующее высказывание: небо пасмурное тогда и только тогда, когда идет дождь.

II тип. Перевод с естественного языка на формальный Задание. Представить высказывание в виде логической формулы: «Солнце светит тогда и только тогда, когда на небе нет туч».

Решение а) Простых высказываний в данном предложении два:

1. Солнце светит, 2. На небе есть тучи.

Обозначим их латинскими буквами:

А – Солнце светит, В – На небе есть тучи.

б) Логических связок в данном высказывании две: первая – тогда и только тогда, когда, вторая – нет. Первая соответствует операции эквиваленции ( ), вторая – операции отрицания ( ).

в) На основе пунктов а) и б) делаем вывод о том, что формула имеет следующий вид: A В.

г) Делаем проверку: А – Солнце светит, В – На небе есть тучи, операция эквиваленции (тогда и только тогда, когда), х - операция отрицания (нет). Следовательно, формулу A В можно прочитать следующим образом:

Солнце светит тогда и только тогда, когда на небе нет туч.

Ответ: высказывание соответствует формуле A В.

Задание. Представить высказывание в виде логической формулы:

«Неверно высказывание: книга интересная, если она дорогая, и ее скучно читать».

Решение а) Простых высказываний в данном предложении три:

1. Книга интересная, 2. Книга дорогая, 3. Книгу скучно читать.

Обозначим высказывания латинскими буквами:

А – Книга интересная, В – Книга дорогая, С – Книгу скучно читать.

б) В данном высказывании можно заметить две особенности: 1) посылка и заключение «поменялись местами» друг с другом, 2) частица то в данном предложении пропущена, но можно легко определить ее местоположение – после слова что.

Логических связок в данном высказывании три: первая – неверно высказывание, вторая – если, …то, третья – и.

Поскольку отрицание стоит в начале предложения, данная операция относится ко всей формуле.

Первая логическая связка соответствует операции отрицания ( ), вторая – операции импликации (=), третья – операции конъюнкции (/\).

в) На основе пунктов а) и б) делаем вывод, что формула имеет следующий вид: В С А.

г) Делаем проверку: А – Книга интересная, В – Книга дорогая, С – Книгу скучно читать, = - операция импликации (если, …то), х - операция отрицания (неверно высказывание), /\. - операция конъюнкции (и).

ВС А Следовательно, формулу можно прочитать следующим образом: Неверно высказывание: если книга дорогая и ее скучно читать, то она интересная.

Ответ: высказывание соответствует формуле В С А.

Задание. Представить высказывание в виде логической формулы: «В пустыне нет воды и нет растений тогда и только тогда, когда много песка или очень жарко».

Решение а) Простых высказываний в данном предложении четыре:

1. В пустыне есть вода, 2. В пустыне есть растения, 3. В пустыне много песка, 4. В пустыне очень жарко.

Обозначим высказывания латинскими буквами:

А – В пустыне есть вода, В – В пустыне есть растения, С – В пустыне много песка, D – В пустыне очень жарко.

б) Логических связок в данном высказывании пять: первая – нет, вторая – и, третья – нет, четвертая – тогда и только тогда, когда, пятая – или.

Первая и третья соответствуют операции отрицания ( ), вторая – операции конъюнкции (/\), четвертая – операции эквиваленции ( ), пятая – операции дизъюнкции (\/).

в) На основе пунктов а) и б) делаем вывод, что формула имеет следующий ( ) вид: А В (С D ).

г) Делаем проверку: А – В пустыне есть вода, В – В пустыне есть растения, С – В пустыне много песка, D – В пустыне очень жарко, х – операция отрицания (нет), /\ – операция конъюнкции (и), \/ – операции дизъюнкции (или), – операции эквиваленции (тогда и только тогда, когда).

( ) Следовательно, формулу А В (С D ) можно прочитать следующим образом: В пустыне нет воды и нет растений тогда и только тогда, когда много песка или очень жарко.

( ) Ответ: высказывание соответствует формуле А В (С D ).

III тип. Перевод с формального языка на естественный Повторите алгоритм перевода с формального языка на естественный из теоретической части занятия.

Задание. Представить логическую формулу в виде высказывания на ( ) русском языке: А В С.

Решение а) Присвоим логическим переменным А, В, С какое-либо высказывание:

А – Пушкин А. С. – поэт, В – Пушкин А. С. – дуэлянт, С – Пушкин А. С. доживет до 70 лет.

б) Логические операции заменим соответствующими логическими связками:

А – Пушкин А. С. – не поэт;

В – Пушкин А. С. – не дуэлянт;

– и;

– Если …, то … в) Составим предложение по формуле, заменяя логические переменные заданными высказываниями, а операции – логическими связками: «Если Пушкин А. С. – не поэт и Пушкин А. С. – не дуэлянт, то Пушкин А. С.

доживет до 70 лет».

В соответствии с правилами русского языка, избавимся от повторяющихся слов: «Если Пушкин А. С. – не поэт и не дуэлянт, то он доживет до 70 лет».

Ответ: «Если Пушкин А. С. – не поэт и не дуэлянт, то он доживет до 70 лет».

IV тип. Нахождение значения истинности формулы, доказательство логических законов, доказательство тождественной истинности или ложности формул Последовательность выполнения операций в логических формулах определяется старшинством операций. В порядке убывания старшинства логические операции расположены так: х,,,,. Кроме того, на порядок операций влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах.

Задание: вычислить значение логической формулы, предварительно указав порядок действий X X Y ;

Решение X X Y X - первое действие;

X Y - второе действие;

X X Y - третье действие.

XYX X X Y X Y 1. T T F T F 2. T F F T F 3. F T T T T 4. F F T F F Ответ: формула принимает истинное значение, когда Х – истина,Y – ложь. Во всех остальных случаях формула принимает значение ложь.

Задание: доказать логический закон исключенного третьего X X.

Решение XX X - первое действие;

X X - второе действие.

XX XX 1. T F T 2. F T T Ответ: формула является законом логики.

V тип. Решение задач с применением логических формул и таблиц истинности Задача. Три студента: Андрей, Владимир и Сергей собирались в кинотеатр. Известно, Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно Владимир и Сергей. Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей. В итоге выяснилось, что Сергей пошел в кинотеатр. Выяснить, кто пошел с Сергеем.

Решение а) Обозначим простые высказывания:

А – Андрей ходил в кинотеатр, В – Владимир ходил в кинотеатр, С – Сергей ходил в кинотеатр.

б) Представим известные факты в виде логических формул:

Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно Владимир и Сергей – А В С.

Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей – В С.

Сергей пошел в кинотеатр – С.

в) Из условия следует, что формулы А В С = Т и В С = Т и С = Т (истинны). Составим таблицу истинности для данных высказываний и найдем значения переменных А и В в тех строках, где данные формулы принимают истинное значение (они выделены темным цветом):

А В С В С ВС В С А ВС T T T T F F T T T F F T T F T F T F T T T T F F F T T T F T T T F T T F T F F T F F F F T F T F T F F F F T F T г) Так высказывания А В С и В С и С истинны в двух случаях:

когда А – истинно или когда В – истинно, то в кинотеатр Сергей пошел либо с Андреем, либо с Владимиром (варианты, что пошли все трое или Сергей один – отклоняются).

Ответ: Сергей пошел с Андреем или с Владимиром.

VI тип. Задачи на применение законов формальной логики Задача. У каждой из трех одноклассниц Синельниковой, Красновой и Зелениной есть по одной ручке: у кого-то с зеленым стержнем, у другой с красным, у третьей – с синим. Известно, что у каждой подружки ручка цветом, не соответствующим фамилии. Когда одноклассник попытался выяснить, у какой подружки какая ручка, Синельникова сказала, что у нее однозначно нет зеленой ручки. Какого цвета ручка у каждой из подружек?

Решение а) Решим задачу, используя двухмерную таблицу, в столбцах перечислим цвета стержней: с – синий, з – зеленый, к – красный;

в строках – фамилии: С – Синельникова, К – Краснова, З – Зеленина. На пересечении строк и столбцов будем ставить знак «+», если у школьницы есть стержень соответствующего цвета, знак «–» – если стержня нет (см. табл. 7.1.).

Таблица 7. Решение задачи с помощью двухмерной таблицы скз С К З б) Из условия следует, что у Синельниковой нет синей и зеленой ручки, у Красновой нет красной, у Зелениной отсутствует зеленая ручка. Поставим в соответствующих ячейках таблицы знаки «–» (табл. 7.2.).

Таблица 7. Решение задачи с помощью двухмерной таблицы (продолжение) скз С– – – К – З в) У Синельниковой нет ни зеленой, ни синей ручки, следовательно, у нее может быть только красная ручка. Поэтому у других подружек уже не может быть красной ручки. Отобразим это в таблице 7.3.

Таблица 7. Решение задачи с помощью двухмерной таблицы (продолжение) скз С–+– – К –– З г) Из таблицы 7.3 очевидно, что синяя ручка может быть только у Зелениной, а зеленая ручка может быть только у Красновой. Получим итоговую таблицу (табл. 7.4.).

Таблица 7. Решение задачи с помощью двухмерной таблицы (итог) скз С–+– К––+ З+–– Ответ: у Синельниковой красная ручка, у Красновой – зеленая, у Зелениной – синяя.

Примечание 1. Задачу можно решить и простым перебором вариантов, но фиксирование результатов рассуждений в таблице делает решение более наглядным и позволяет не упустить ни одну версию.

Примечание 2. Задача решается и с помощью графов. Рассмотрим подобное решение при тех же условиях задачи.

Графом на плоскости называется конечное множество точек плоскости, где некоторые из них соединены линиями. Точки – вершины графа;

соединяющие их линии – ребра. Степень вершины графа – количество ребер, исходящих из этой вершины.

Решение Таблица Решение задачи с помощью графа Граф Пояснение а) а) В задаче идет речь о двух множествах: множество фамилий (С – с С Синельникова, К – Краснова, З – К Зеленина) и множество цветов (с – к синий, з – зеленый, к – красный).

З з Построим граф с соответствующими вершинами б) Соответствующие элементы двух множеств будем соединять сплошным ребром (линией), а несоответствующие – пунктирной.

Граф Пояснение в) в) Прочитаем условие.

Так как у каждой подружки ручка с С цветом, не соответствующим К к фамилии, то соединим С и с, К и к, З и з пунктирной линией, как не З з соответствующие элементы г) г) Так как у Синельниковой нет зеленой ручки, то соединим С и з с С пунктирной линией, как не К к соответствующие элементы.

Единственным вариантом остается, З з что у Синельниковой ручка красного цвета. Соединим С и к сплошной линией как соответствующие элементы д) д) З и к соединим пунктирной с С линией, как не соответствующие элементы. Так как у Зелениной нет К к ни красной, ни зеленой ручки, то у З з нее синяя ручка. Соединим З и с сплошной линией как соответствующие элементы, и К и с – пунктирной, как не соответствующие элементы е) е) По графу видно, что у Красновой с С нет ни синей, ни красной ручки, следовательно, у нее может быть К к лишь зеленая ручка. Соединим К и з сплошной линией как З з соответствующие элементы Ответ: у Синельниковой красная ручка, у Красновой – зеленая, у Зелениной – синяя.

Примечание 3. Подобные задачи логического характера рационально решать с помощью таблиц, когда в условии фигурируют два множества с числом элементов более 2. Если в задаче участвуют три и более множества с несколькими элементами, то она решается с помощью графов.

Задачи для самостоятельного решения I тип Задача 1*. Определить, является ли предложение высказыванием.

Высказывания обозначить и определить их истинность:

а) Сегодня воскресенье.

б) Дисплей – это устройство ввода информации.

а) Проверь домашнее задание.

в) Математика – это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

г) День был дождливым?

д) 19 делится на 5 без остатка.

е) Какой красивый дом!

ж) Александр Сергеевич Пушкин – великий поэт серебряного века.

Задача 2*. Определить, из скольких высказываний состоит предложение.

Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку:

а) Купаясь в неположенном месте, человек может утонуть.

б) В повествовательном предложении ставится точка, а может быть многоточие.

в) Ленивому студенту трудно учиться.

г) Студента переводят на следующий курс, когда он не имеет задолженностей.

д) Чапаев – герой Гражданской войны, а также современных анекдотов.

е) Вода при температуре менее 0 градусов – лед.

ж) Проигравший теннисист выходит из соревнований.

Задача 3*. Для высказываний, сформулированных в задании 2, подчеркнуть простые высказывания, обвести кружком логическую связку.

Задача 4**. Определить, из скольких высказываний состоит предложение.

Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку:

а) Лампочка горит, когда есть электричество.

б) На яблоне растут яблоки.

в) У блондина белый цвет волос.

г) Спортсмен – олимпийский чемпион, следовательно, он победитель Олимпийских игр.

д) Студент, не сдавший всех зачетов, не допускается до экзаменов.

е) Зимой на улице холодно.

ж) Спортсмен вышел в полуфинал вследствие того, что выиграл четверть финала.

з) Встречаясь, люди приветствуют друг друга.

Задача 5**. В высказываниях, сформулированных в задании 4, подчеркнуть простые высказывания и обвести кружком логическую связку.

Задача 6***. Определить, из скольких высказываний состоит предложение.

Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку:

а) Чтобы сдать зачет, студенту необходимо: решить все домашние задания, написать контрольную работу на положительную оценку, посещать все лекции.

б) Порядочный человек извинится, а также постарается загладить вину в случае, когда он кого-то сильно обидел.

в) Спортсмен будет дисквалифицирован в случае, когда он нарушает правила либо некорректно ведет себя по отношению к сопернику.

Задача 7**. В высказываниях, сформулированных в задании 6, подчеркнуть простые высказывания и обвести кружком логическую связку.

II тип Задача 8*. Представить высказывания в виде логических формул:

а) Если пойдешь гулять, то возьмешь с собой зонт или наденешь плащ.

б) Человек голоден тогда и только тогда, когда он не умеет готовить.

Задача 9**. Представить высказывания в виде логических формул:

а) Студент не сдал сессию, следовательно, он будет отчислен.

б) Я буду отдыхать, если начнутся каникулы.

в) Неверно, что Земля плоская и вращается вокруг Солнца.

г) Можно будет кататься на роликах или велосипедах, когда наступит лето.

Задача 10***. Представить предложения в виде логических формул, если это возможно:

а) Прочитай книгу и сходи в кино.

б) Выучил уроки, если помыл посуду.

в) Если сдал экзамен или зачет, можешь отдохнуть с друзьями.

III тип Задача 11*. Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке:

а) A B б) X Z в) P Q г) A B д) O T е) Y W Задача 12**. Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке:

а) P Q T б) A B C в) D G H г) ( A B) C д) A B C е) ( X Y ) Z Задача 13***. Представить логический закон в виде высказывания на русском языке:

а) чисто условное умозаключение (( A B) ( B C )) ( A C ) б) закон де Моргана ( А В) А В в) закон Дунса Скотта А А В ( ) г) закон косвенного доказательства А ( В В ) А д) modus ponens (модус утвердительный) (( А В) А) В е) modus tollens (модус отрицательный) ( А В) В А ж) Разделительно-категорическое умозаключение (( А В) А) В з) Условно-разделительное умозаключение (конструктивная дилемма) (( А В) (С D) ( A C )) ( B D) и) Условно-разделительное умозаключение (деструктивная дилемма) (( А В) (С D) ( В D)) ( A C ) IV тип Задача 14*. Построить таблицы истинности для формул:

а) C A B б) A C A C в) X Z Y г) A B A C д) (X Y ) Z е) X Z Y Z Задача 15**. Определить, являются ли формулы тождественно истинными:

а) ( A B ) C A C B C б) A B A B в) A B A г) A B A B д) A (B C ) (A B ) (A C ) е) A B A B Задача 16***. Доказать с помощью таблиц истинности логические законы:

а) A B A B б) A B A B в) чисто условное умозаключение г) modus ponens (модус утвердительный) д) modus tollens (модус отрицательный) е) Условно-разделительное умозаключение (конструктивная дилемма) V тип Задача 17*. Три студента: Андрей, Владимир и Сергей собирались в кинотеатр. Известно, Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно Владимир и Сергей. Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей. В итоге выяснилось, что Андрей пошел в кинотеатр. Выяснить, кто пошел с Андреем?

Задача 18*. У сороки было трое птенцов: А, В, С. Кого сорока угостила кашей, если известно, что если она угостит А и С, то и В получит свою порцию. Также известно, что А не угостит тогда и только тогда, когда не угостит С.

Задача 19**. В кабинете работают начальник, секретарь и заместитель начальника. Вечером был сломан калькулятор. В кабинете установлена видеокамера, охранник выдал заведомо ложную информацию о том, что если в кабинете в момент поломки был заместитель и не было начальника, то в кабинете присутствовал секретарь. Кто сломал калькулятор?

Задача 20**. В картинной галерее украдено полотно. В момент кражи в галерее могли находиться три человека: охранник, смотритель и уборщица. В ходе допроса смотритель сказал: «Если в момент кражи в помещении был я, то не было уборщицы или был охранник». Затем следствие выяснило, что смотритель солгал. Кто украл полотно?

Задача 21**. С урока сбежали три ученицы Аня, Вика и Соня. Кто был инициатором, если Вика, желая защитить подруг, сказала заведомую ложь:

«Если я инициировала прогул, то Аня или Соня не были инициаторами»?

Задача 22***. Трех учеников учитель заподозрил в том, что они списали домашнее задание. Сидоров сказал: «Анохин списал, а Викторов нет». Анохин сказал: «Викторов не списывал и Синицын не списывал». Викторов заметил:

«Списал Анохин или Сидоров». Потом все три ученика признались, что сказали неправду. Кто списал на самом деле?

Задача 23***. Позвал отец трех сыновей и спросил, чью стрелу поймала царевна-лягушка. Младший молвил: «Стрелы старшего и среднего братьев попали в болото». Средний вторил: «Стрелы младшего или старшего оказались в болоте». Старший произнес: «Стрела среднего не очутилась в болоте или стрела младшего угодила туда». Кто женится на царевне-лягушке, если из братьев только один сказал правду?

Задача 24***. На рождество три подруги гадали на женихов. В результате они получили три предсказания. Первое: «Если Лена выйдет замуж, то Таня тоже выйдет». Второе: «Если Лена выйдет замуж, то Оля не выйдет». Третье: «Таня выйдет замуж в том и только том случае, когда выйдет Оля». Жизнь показала, что ни одно предсказание не сбылось. Кто вышел замуж?

Задача 25***. Куратор группы спросил у трех студентов о задолженностях за сессию. Татьяна сказала, что у Димы нет задолженностей и у Бориса нет. Дима сказал, что Борис имеет задолженности, а Татьяна нет. Борис сказал, что у него нет задолженностей, а у Татьяны есть. Потом студенты признались, что один из них сказал неправду. Кто на самом деле имеет долги за сессию?

VI тип Задача 26*. После угона четыре машины: «Жигули», «Волга», «Запорожец» и «Москвич» были перекрашены в один цвет. Известно, что до угона машины были разных цветов: желтого, зеленого, синего, красного. Показания свидетелей позволили выявить следующее. Во-первых, водитель «Жигулей»

возил владельца машины желтого цвета, и это был не водитель «Волги». Во вторых, пассажирами на синей машине видели водителей «Волги» и «Запорожца». В-третьих, водитель «Жигулей» не любит синий цвет, так же сильно, как водитель «Волги» не любит красный цвет. Какой цвет соответствовал каждой марке машины до угона?

Задача 27*. Один из друзей – Андрей, Борис, Владимир, Григорий – археолог, другой юрист, третий физик, четвертый художник. Определить, у кого какая профессия, если известно, что Владимир учился с археологом и юристом в одном вузе. Археолог с Андреем и Григорием ходили в экспедицию. Художник написал портреты Владимира и Григория.

Задача 28*. Сестры Лена, Настя, Даша поссорились с тремя подругами Викой, Машей, Олей. Когда родители попытались выяснить, кто с кем поссорился, Лена сказала: «Я не ссорилась с Викой». Настя призналась: «Я поругалась с Викой». Даша ответила: «Однозначно, что я до сих пор дружу с Машей». Кто с кем поссорился?

Задача 29**. Три брата: старший, средний, младший женились на трех сестрах другой семьи. Младший брат женился не на младшей сестре, средний не на средней, старший не на старшей. Какой брат на какой сестре женился, если известно, что старшая сестра вышла замуж не за младшего брата?

Задача 30***. Один из друзей-писателей пишет детективы, другой – комедии, третий – фантастику. Их жены не любят читать книги жанров, в которых пишут их мужья. Дети писателей не читают то, что пишут отцы, и то, что читают их матери. Какой жанр из этих трех жанров предпочитают жены и дети писателей, если жена фантаста не любит детективы?

Задача 31***. У трех подружек Черновой, Рыжовой, Беловой цвет волос не соответствует фамилии. Одна из них блондинка, другая рыжая, третья брюнетка. Девушки носят костюмы цвета, не соответствующего цвету волос и фамилии. У кого какой цвет волос, и какого цвета костюмы носят девушки, если Чернова не блондинка?

Задача 32***. У Петрова, Иванова, Максимова имена не соответствуют фамилиям, но при этом одного зовут Максимом, другого Иваном, третьего Петром. Отчества юношей не соответствуют ни их фамилиям, ни именам. Но их отчества: Петрович, Максимович и Иванович. У кого какое имя и отчество, если Максимова точно зовут не Иваном?

Задача 33***. У трех одноклассниц, зеленоглазой, кареглазой, синеглазой, сумочки и кофты зеленого, коричневого и синего цветов. Причем у каждой девушки цвет сумочки не совпадает с цветом глаз, а цвет кофты не совпадает ни с цветом сумочки, ни с цветом глаз. Кому, какого цвета принадлежит сумочка и кофта, если у зеленоглазой подружки не коричневая сумка?

Домашнее задание Вариант 1. Определить, из скольких высказываний состоит предложение.

Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку. Для сформулированного высказывания подчеркнуть простые высказывания, обвести кружком логическую связку: «Сегодня солнечный летний день, значит, на улице жарко, а также нет грозы».

2. Представить в виде логической формулы высказывание: «Если ты не заплатил за проезд, то неверно, что тебя оштрафуют или высадят из автобуса».

3. Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке: X Y Y X ;

A B C.

4. Доказать с помощью таблиц истинности логический закон Дунса Скотта А А В.

5. Три студента: Андрей, Владимир и Сергей собирались в кинотеатр.

Известно, Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно Владимир и Сергей. Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей. В итоге выяснилось, что Владимир пошел в кинотеатр. Выяснить, кто пошел с Владимиром.

6. Из трех друзей-меломанов один любит рок-музыку, другой – тяжелый рок, третий – поп-музыку. Их девушки также предпочитают одно из этих направлений, но они не любят слушать то, что слушает их друг. Чья девушка, какую музыку предпочитает, если подруга рокера не слушает поп-музыку?

Вариант 1. Определить, из скольких высказываний состоит предложение.

Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку. Для сформулированного высказывания подчеркнуть простые высказывания, обвести кружком логическую связку: «Студент допущен к экзаменам, следовательно, он сдал все зачеты, а также у него не было много пропущенных занятий».

2. Представить в виде логической формулы высказывание: «Будешь здоровым тогда и только тогда, когда будешь заниматься спортом».

3. Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке: A B B A ;

X Y Z.

4. Доказать закон косвенного доказательства (А ( В В) ) А.

5. Преподаватель должен выбрать из трех студентов участников для олимпиады. Известно, что если он выберет Иванова или Васильеву, то Синицын тоже будет участвовать. Иванова он возьмет в команду тогда и только тогда, когда он не возьмет Васильеву. В итоге выяснилось, что Васильева участвовала в олимпиаде. Участвовали ли другие претенденты? Кто?

6. Отличник, хорошист, троечник написали контрольную работу на оценку, не соответствующую их статусу. Кто какую оценку получил, если известно, что троечник не получил пятерку?

Вариант 1. Определить, из скольких высказываний состоит предложение.

Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку. Для сформулированного высказывания подчеркнуть простые высказывания, обвести кружком логическую связку: «В случае, когда спортсмен не пройдет допинг-контроль или квалификацию, он не будет допущен к соревнованиям».

2. Представить в виде логической формулы высказывание: «Можно будет кататься на роликах или велосипедах, когда наступит лето».

3. Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке: A ( B C ) ( A B) C ;

T Q.

4. Доказать условно-разделительное умозаключение (деструктивная дилемма).

5. В поход собрались три друга Смирнов, Козлов, Доронин. Руководитель сказал, что если Смирнов пойдет или Доронин не пойдет, то пойдет Козлов.

Козлов решил, что он пойдет в поход в том и только том случае, когда не пойдет Доронин. Смирнов отправится в поход в любом случае. Кто из трех друзей пойдет в поход?

6. Бегун, прыгун, метатель молота вытянули жребий для участия в «Веселых стартах». Одному из них выпало участие в беге, другому в прыжках, третьему – метание молота, но ни у одного жребий не совпал с их ведущим видом спорта. Какой спортсмен в каком виде соревнований примет участие, если известно, что бегун не будет прыгать?

Вариант 1. Определить, из скольких высказываний состоит предложение.

Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку. Для сформулированного высказывания подчеркнуть простые высказывания, обвести кружком логическую связку: «Когда я не выполнил домашнее задание и пропустил лекцию, мне стыдно идти на занятие».

2. Представить в виде логической формулы высказывание: «Неверно, что на Земле нет атмосферы или отсутствует жизнь».

3. Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке: A ( B C ) ( A B) C ;

Y X.

4. Доказать с помощью таблиц истинности разделительно-категорическое умозаключение (( А В) А) В.

5. В спортивную секцию решили записаться три одноклассника:

Синельников, Абрамов, Воронин. Отношения между одноклассниками складываются таким образом, что, если Воронин не пойдет, то Синельников и Абрамов будут заниматься вместе. Синельников не запишется в секцию тогда и только тогда, когда не запишется Воронин. Тренер сообщил, что Абрамов не подходит по медицинской справке. Кто из одноклассников записался в секцию?

6. Переводчики с французского, английского, немецкого языков поехали в командировку: один во Францию, другой в Германию, третий – в Англию. Ни один из переводчиков не попадает в страну, где говорят на языке, с которого он переводит. Какой переводчик, в какую страну поедет, если известно, что в Германию не попадает переводчик с английского языка?

Контрольные вопросы 1. Что изучает математическая логика?

2. Как определить, что предложение является высказыванием?

3. Каким союзам русского языка соответствуют операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции?

4. Какие обозначения соответствуют союзам русского языка: … тогда и только тогда, когда …;

и;

или;

если …, то…;

не?

5. Какие значения истинности принимают операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции в зависимости от значений переменных?

6. Как формулируется алгоритм перевода с естественного языка на формальный?

7. Каким образом осуществить перевод с формального языка на естественный?

8. Как доказать логический закон?

9. Какого типа задачи и каким образом решаются с помощью таблиц истинности?

10. Какие задачи логического характера удобно решать с помощью таблиц, а какие с помощью графов?

Библиографический список 1. Грес П. В. Математика для гуманитариев: учебное пособие / П.В.Грес. – М.: Логос, 2003. – С. 53–60.

2. Козлов В. Н. Математика и информатика / В.Н. Козлов. – СПб.:

Питер, 2004. – С. 34.

3. Турецкий В. Я. Математика и информатика / В.Я. Турецкий. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2002. – (Серия «Высшее образование»). – С. 60–75.

4. Математика для гуманитариев: конспект лекций / Авт. – сост.:

И.И. Клебанов, А. В. Дудин, Е. В. Коробейникова. – Челябинск: Изд-во Челяб. гос. пед. ун-та, 2003. – С. 4–11.

Тема 2. Множества и операции над ними Цель: овладеть навыками теоретико-множественного представления объектов реальной и абстрактной действительности.

Задачи:

1) научиться находить множества и их элементы в окружающей действительности и в абстрактных структурах;

2) осуществлять переход от одного способа задания множества к другому и распознавать возможность такого перехода;

3) определять мощность множеств;

4) определять отношения между множествами;

5) выполнять и определять операции над множествами;

6) доказывать свойства операций над множествами;

7) решать практические задачи с применением операций над множествами.

Общие теоретические сведения Понятие «множество» является одним из основных понятий математики, не определяемых через другие. Это понятие можно рассмотреть на примерах.

Пример множество яблок, растущих на яблоне;

множество студентов, обучающихся в ЧГПУ;

множество денежных знаков, находящихся в обороте у населения Российской Федерации;

множество прямоугольников;

множество двусложных слов в русском языке;

множество букв в английском алфавите, или множество согласных букв в русском алфавите;

множество натуральных чисел;

множество иррациональных чисел.

Определяющие признаки множества:

1) рассматривается некоторое собрание реально существующих или абстрактных объектов или явлений;

2) это собрание объектов или явлений может быть представлено как одно целое;

3) природа объектов или явлений, входящих в множество, может быть любая, но объекты или явления одного множества должны быть одной природы;

4) все объекты множества должны отличаться друг от друга.

5) Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, …, Z. Объекты, из которых образовано множество, называются элементами.

Элементы множества обозначаются строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z.

Принадлежность элемента к какому-либо множеству записывается с помощью символа. Математическое выражение a A означает, что объект а принадлежит множеству А, а выражение a A означает, что объект а не принадлежит множеству А.

Способы задания множества:

через характеристическое свойство: D = {y | P( y)}, где P(y) – 1) характеристическое свойство множества D;

2) перечислением всех элементов множества.

Элементы конечного множества можно перечислить, а элементы бесконечного множества даже теоретически нельзя собрать в законченную совокупность. Конечные множества можно задать как перечислением, так и с помощью характеристического свойства. Бесконечные множества задаются только с помощью характеристического свойства.

Мощность конечного множества – это количество элементов, которые принадлежат данному множеству, обозначается как m (A), что означает мощность множества А.

Пустое множество – это множество, не содержащее элементов.

Мощность пустого равна 0.

Отношения между множествами представлены в таблице 9.

Таблица Отношения между множествами Отношение. Определение Условная Условия Диаграмма Эйлера- запись проверки Венна В А 1) ( х В ) В строго включается в Если каждый А х А элемент множества 2) (у А) у В А В B является элементом х множества А, и в В подмножество А множестве А есть хотя бы один элемент, не принадлежащий В, то говорят, что множество В строго включается в множество А В А ( х В ) нестрого Если каждый В включается в А х А элемент множества А В B является элементом В подмножество А множества А, то говорят, что множество В нестрого включается в множество А Если В А и 1) ( х В ) А равно В А=В х А А В, то 2) ( y А ) А= множества А и В yВ называются равными.

Обозначаются как А =В (х А) х В В А А и В пересекаются Если множества А и В В имеют общие А элементы, то такие y x z множества называются пересекающимися В А= А и В не пересекаются Если два множества 1) (х А) х В В не имеют общих А элементов, то они у 2) х (у В) у A называются непересекающимися Из элементов нескольких множеств можно образовывать новые множества, такие преобразования называются операциями над множествами.

Основные операции над множествами представлены в таблице 10.

Таблица Операции над множествами Операция. Обозначение и Определение Диаграмма Эйлера- характеристическо Венна е свойство АВ = Пересечением множеств А и В Пересечение = {x | x A x называется множество, А В состоящее из тех и только тех B} элементов, которые принадлежат множеству А и А В множеству В А В = Объединением множеств А и В Объединение А В = называется такое множество, В {х | х А х В} А все элементы которого принадлежат множеству А или множеству В А\В = Разностью множеств А и В Разность = называется множество, А В {х | х А х В} содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат А/ В В В случае, когда В – подмножество А (В А), разность А\В называют дополнением множества В до множества А и обозначают САВ.

A СА В B Множество, объединяющее несколько множеств, называется универсальным для данных множеств. Универсальное множество – неоднозначно. Например, рассматриваемые множества А – множество кошек, В – множество собак, С – множество коров. Для множеств А, В, С универсальным являются множества U1 – множество домашних животных, U2 – множество млекопитающих, U3 – множество четвероногих.

Основные свойства операций над множествами 1. А В = В А 1’. А В = В А Коммутативное свойство операций пересечения и объединения соответственно.

2. ( А В) С = А ( В С ) 2’. ( А В) С = А ( В С ) Ассоциативное свойство операций пересечения и объединения соответственно.

3. А ( В С ) = ( А В) ( А С ) 3’. А ( В С ) = ( А В) ( А С ) Дистрибутивное свойство операции пересечения относительно объединения и операции объединения относительно пересечения соответственно.

4. А ( А В) = А 4’. А ( А В) = А Закон поглощения.

5. А А = А 5’. А А = А Законы идемпотентности.

6. (А\В)\С = (А\С)\В.

7. ( А В )\С = ( А \ С ) ( В \ С ).

8. ( А \ В) С = ( А С ) \ ( В С ).

9. А \ ( В С ) = ( А \ В) ( А \ С ).

10. А \ ( В С ) = ( А \ В) ( А \ С ).

Типы практических задач, для решения которых используется теория множеств Разбиение множеств. Классификация Классификация – действие распределения объектов по классам.

Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества. При этом считают, что множество разбито на классы Х1, Х2, …, Хn, …, если:

1) подмножества Х1, Х2, …, Хn, … попарно не пересекаются;

2) объединение подмножеств Х1, Х2, …, Хn, … совпадает с множеством Х.

Если одно из условий не выполнено, то классификация считается неправильной.

Классификация относится к такой операции над множествами как разбиение множеств. Наглядно эту операцию можно представить в виде разбитой тарелки.

Кусочки разбитой тарелки не пересекаются, и при соединении их вновь получается «целая» тарелка.

Переход от одного способа задания множества к другому От характеристического способа задания множества к перечислению элементов целесообразно переходить для конкретизации, уточнения полученной информации. Переход к характеристическому способу задания множества обычно осуществляют с целью обобщения, сокращения количества информации при передаче информационного сообщения.

Принадлежность элемента к множеству При выполнении различных тестов, при решении практических задач часто приходится отвечать на вопрос: «Какой элемент в данном ряде объектов является лишним». В данном случае используется проверка принадлежности элемента к какому-либо множеству.

В подобных задачах в первую очередь выясняется, к какому множеству принадлежат большинство элементов, затем проверяется принадлежность каждого элемента к выявленному множеству. Если элемент не принадлежит множеству, то он исключается из ряда предложенных объектов.

Отношения между множествами 1. Чтобы избежать двусмысленности, путаницы при изложении своих мыслей, часто приходится выяснять, в каких отношениях находятся различные множества.

2. Понятие подмножества является обобщением понятия части и целого.

3. При введении определений или описании понятий используются родовые и видовые отношения между понятиями.

Пусть a, b – понятия, a А, b B, А, В – соответственно объемы данных понятий (множество всех объектов, обозначаемых одним термином).

Если А В, то а – видовое понятие по отношению к в, в – родовое по отношению к а. Видо-родовые отношения понятий зависят от взаимного расположения множеств их объемов.

В случае, когда множества А и В пересекаются, об отношениях рода и вида для понятий а и в говорить нельзя. Но при пересечении объемов понятий часто образуется новое слово или словосочетание (студент-спортсмен, мать героиня, город-герой и т. д.).

Для объема любого определяемого понятия существует неопределяемое понятие (категория), в объем которого оно может быть включено. У категорий определения не может быть, они могут быть только описаны.

Подсчет количества элементов в объединении, пересечении и разности конечных множеств Число элементов в объединении двух непересекающихся множеств.

Правило 1. Если в множестве А содержится а элементов, а в множестве В – b элементов и множества А и В не пересекаются, то в объединении множеств А и В содержится а + b элементов, т. е. m( А В) = m( A) + m( B) = a + b.

Число элементов в объединении n непересекающихся множеств Правило 2. Множества А1, А2, …, Аn попарно не пересекаются, то m( А1 А2... Аn ) = m( А1 ) + m( А2 ) +... + m( Аn ).

Число элементов разности двух множеств Правило 3. Если в множестве А содержится а элементов, а в множестве В – b элементов и B A, то во множестве А\В содержится а - b элементов, т.

е. m( А \ В) = m( A) m( B) = a b.

Число элементов в объединении двух пересекающихся множеств Правило 4. Если в множестве А содержится а элементов, а в множестве В – b элементов и множества А и В пересекаются и в пересечении содержится с элементов, то в объединении множеств А и В содержится а + b - с элементов m( А В) = m(A) + m(B) – m( А В).

Данное правило обосновывается тем что, складывая элементы пересекающихся множеств А и В, мы дважды считаем элементы, принадлежащие их пересечению.

А В В А Практические задания Примеры решений I тип. Способы задания множеств. Принадлежность элементов множеству.

Мощность множеств Задача. Определить способ задания множества А = {а, б, в, г, д, е, ё, ж, з, и, й, к, л, м, н, о, п, р, с, т, у, ф, х, ц, ч, ш, щ, ь, ы, ъ, э, ю, я}. Перейти к другому способу, если это возможно. Определить мощность множества. Определить, принадлежат ли элементы: п, 1, L, л, д, g, s, 8, u, й, ж, i, ю, я, 1500 данному множеству.

Решение а) Перечислены все элементы множества А, следовательно, множество задано перечислением. Любое множество можно задать с помощью характеристического свойства.

б) Общим свойством элементов данного множества А является то, что все они буквы русского алфавита. Следовательно, с помощью характеристического свойства множество представимо как А = {x | x – буква русского алфавита}.

в) Общее число элементов множества А, множества букв русского алфавита, равно 33, поэтому его мощность m (A) = 33.

г) Чтобы определить, принадлежит ли элемент множеству А, достаточно проверить, перечислен ли он как его элемент.

Ответ: множество задано перечислением, характеристическое свойство А = {x | x – буква русского алфавита}, m (A) = 33, п А, 1 А, L А, л А, д А, g А, s А, 8 А, u А, й А, ж А, I А, ю А, я А, 1500 А.

Задача. Определить способ задания множества С – множества прямых.

Перейти к другому способу, если это возможно. Определить мощность множества. Определить, принадлежат ли горизонтальные прямые, окружность, кошки, вертикальные прямые, числа данному множеству.

Решение а) Множество С задано характеристическим свойством неявно. Явная форма задания С = {w | w – прямая}.

б) Прямых существует бесконечно много, поэтому множество С является бесконечным и задать его перечислением нельзя.

в) Если a – горизонтальные прямые, b – окружность, c – кошки, d – вертикальные прямые, e – числа, то так как параллельные и перпендикулярные прямые являются прямыми, а все остальные объекты ими не являются, следовательно, a C, b C, c C, d C, e C.

Ответ: Множество С задано характеристическим свойством, перечислением не задается, a C, b C, c C, d C, e C, где а – горизонтальные прямые, b – окружность, c – кошки, d – вертикальные прямые, e – числа.

II тип. Отношения между множествами Задача. Определить, о каком отношении между множествами идет речь. Записать отношения между множествами с помощью условной записи.

Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера Венна:

а) А – множество научных дисциплин, за достижения в которых вручается Нобелевская премия, B – множество всех научных дисциплин.

б) E – множество бегемотов, F – множество гиппопотамов.

в) G – множество людей, H – множество жилых домов.

г) I – множество студентов, J – множество людей, увлекающихся классической музыкой.

Решение При решении воспользуемся определениями отношений, приведенных в таблице 9.

а) Известно, что за достижения в математике Нобелевская премия не вручается. Получается, что не каждый элемент множества В содержится в множестве А, тогда как каждый элемент множества А принадлежит множеству В. То есть 1) ( х А ) х В и 2) ( у В ) у А. Исходя из определения отношения строго включения, приходим к выводу, что множество А строго включается в В. Условная запись А В.

В А у б) Каждый бегемот является гиппопотамом, и каждый гиппопотам является бегемотом, т. е. ( х E ) х F и ( y F ) y E, следовательно, E F и F E. По определению равенства множеств приходим к выводу, что множества E и F равны (совпадают). Условная запись E = F.

E=F в) Ни один человек не является жилым домом, также ни один дом не (х G) х H и (у H ) у G ), следовательно, является человеком (т. е.

множества G и H не имеют общих элементов ( z ( z B z A) ). Исходя из определения, можно сделать вывод, что множества G и H не пересекаются.

.

Условная запись G H = H G у х г) Существуют люди, являющиеся одновременно студентами и увлекающиеся классической музыкой х( x I x J ). Также есть студенты, не у ( y I у J ), увлекающиеся классической музыкой и есть люди, увлекающиеся классической музыкой, но не являющиеся студентами z ( z J z I ). Получается, что множества I и J имеют общие элементы, и имеют элементы, принадлежащие одному множеству, но не принадлежащие другому, следовательно, по определению пересекающихся множеств I и J пересекаются. Условная запись I J.

J I y x z Задача. Сравнить множество А с множествами B, C, D. Если множества пересекаются, найти их пересечения. Найти универсальное множество для данных множеств. Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-Венна.

А = {красный, желтый, синий, зеленый}.

B = {красный, желтый}.

С = {желтый, синий, черный, оранжевый}.

D = {коричневый, голубой, розовый}.

Решение. Все элементы множества В содержатся во множестве А, но не все элементы множества А являются элементами множества, поэтому В А.

.

А В = {красный, желтый}. А С = {желтый}. А D = U = {множество цветов}.

U A D C B Задача. Сравнить множество А с множествами B, C, D. Сравнить множества B, C, D. Найти попарно пересечение множеств В, С, D. Найти универсальное множество для данных множеств. Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-Венна.

А = {а | a – студент ЧГПУ}.

B = {b | b – студент - филолог ЧГПУ}.

С = {с | с – студент-историк ЧГПУ}.

D = {d | d – студент первого курса ЧГПУ}.

Решение.

В А, С А, D А, В С, В С = В D – студенты-филологи первого курса ЧГПУ. С D – студенты-историки первого курса ЧГПУ. U – множество всех студентов ЧГПУ.

А U В D С III тип. Операции над множествами Задача. Найти множество, являющееся пересечением множеств А = {1, 2, 5, 7, 10} и В = {2, 3, 5, 6, 7, 9}, и мощность найденного множества. Построить диаграммы Эйлера-Венна.

Решение По определению операции пересечения, искомое множество С будет состоять из тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству А и множеству В. То есть С = А В = {2, 5, 7}. m (C) = 3.

С 3 В А 10 Ответ: С = А В = {2, 5, 7}, m (C) = 3.

Задача. Найти множество, являющееся объединением множеств А = {1, 2, 5, 7, 10} и В = {2, 3, 5, 6, 7, 9}, и мощность найденного множества. Найти универсальное множество для множеств А и В.

Построить диаграммы Эйлера-Венна.

Решение По определению операции объединения, искомое множество С будет состоять из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А или В. То есть С = А В = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10}. m (C) = 8.

U – универсальное множество, то есть множество, объединяющее множества А и В. Например, это может быть множество первых 10 натуральных чисел, а именно U = {x | x 10, где x N }.

3 В 10 А С= А В U Ответ: С = А В = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10}, m (C) = 8, U = {x | x 10, где x N }.

Задача. Найти множество, являющееся разностью множеств А = {1, 2, 5, 7, 10} и В = {2, 3, 5, 6, 7, 9}, и мощность найденного множества.

Построить диаграммы Эйлера-Венна.

Решение По определению разности, искомое множество С будет состоять из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат В.

То есть С = А \ В = {1, 10}. m (C) = 2.

3 В А 10 1 С = А\В Ответ: С = А \ В = {1, 10}, m (C) = 2.

Задача. Даны множества R = {x | x – учитель химии}, E = {y | y – учитель биологии}. Найти R E, R E, R\E, E\R, U – универсальное множество для множеств R и E.

Решение Опираясь на определения соответствующих операций над множествами, найдем пересечение, объединение и разность данных множеств.

R E = {z | z – учитель химии и биологии} – учителя химии и биологии одновременно.

R E = {w | w –учитель химии или биологии} – все учителя химии, биологии и учителя одновременно химии и биологии.

R\E = {y | y – учитель химии} – только учителя химии.

E\R = {t | t – учитель биологии} – только учителя биологии.

Используя определение универсального множества, найдем U.

U = {u | u – учитель} – все учителя, и действительно, заданное подобным образом множество U включает в себя (объединяет) и множество R, и множество E, т. е. R U, E U.

Ответ: R E – учителя химии и биологии одновременно, R E все учителя химии, биологии и учителя одновременно химии и биологии, R\E – только учителя химии, E\R – только учителя биологии, U – все учителя.

Задача. Даны множества А = {a, e, f, d, k, l}, В = {b, c, e, d, k, m}. В результате какой операции над А и В получены множества C = {a, b, c, d, e, f, f, k, l, m}, D = {все буквы латинского алфавита}, E = {b, c, m}, F = {e, d, k}, G = {a, f, l}?

Решение Проанализируем, из каких элементов множеств А и В составлены множества C, D, E, F.

Во множество С включены элементы, принадлежащие и множеству А, и В, а также элементы, принадлежащие А и В одновременно, т. е. можно сказать, что к С отнесены элементы, принадлежащие множеству А или В. Исходя из определения операции объединения, приходим к выводу, что С = А В.

Элементы множества А полностью содержатся во множестве D, элементы множества В полностью содержатся во множестве D, но не все элементы множества D являются элементами А и В. Следовательно, по определению строгого включения множеств А D, B D. Таким образом, по определению универсального множества D является универсальным множеством для А и В, как множество, объединяющее их.

Во множество Е включены элементы, принадлежащие множеству B и не принадлежащие А. Исходя из определения разности множеств, приходим к выводу, что Е = В\А.

Во множество F включены элементы, принадлежащие множеству А и В одновременно. Исходя из определения операции пересечения, приходим к выводу, что F = А В.

Во множество G включены элементы, принадлежащие множеству A и не принадлежащие B. Исходя из определения разности множеств, приходим к выводу, что G = A\B.

Ответ: С = А В, D – универсальное множество для А и В, Е = В\А, F = А В, G = A\B.

IV тип. Доказательство свойств операций над множествами Задача. Доказать дистрибутивное свойство операции пересечения относительно объединения А ( В С ) = ( А В) ( А С ).

Доказательство Существует два способа доказательства равенства множеств:

аналитический и графический. Воспользуемся графическим способом, а именно, изобразим с помощью кругов Эйлера-Венна операции над множествами в левой и в правой частях равенства. Если полученные множества совпадают, то равенство верно, т. е. свойство доказано.

Таблица Графическое доказательство свойств множеств Шаг Левая часть равенства Правая часть равенства 1. В С В А С А В С А В 2. В В С А С А А (В С ) АC 3. В С А ( А В) ( А С ) Как видим, результат (диагональная штриховка на втором шаге) операций над множествами А, В, С из левой части равенства совпадает с результатом операций над этими же множествами (диагональная штриховка на третьем шаге). Следовательно, равенство верное, что и требовалось доказать.

V тип. Задачи на множества Разбиение множеств. Классификация Задача. Определить основание классификации. Проверить, является ли она правильной, если нет – найти, в чем ошибка:

а) меланхолик, флегматик, холерик;

б) файлы программ, служебные файлы и файлы данных;

в) естественные, искусственные, живые языки.

Решение а) Меланхолик, флегматик, холерик – это темпераменты человека.

Основание классификации – тип темперамента. Классификация неверная, так как она не полная: не хватает четвертого типа темперамента – сангвиника.

б) Файлы программ, служебные файлы и файлы данных – это типы файлов. Основание классификации – назначение файлов. Классификация правильная, так как она полная (нет файлов другого назначения и объединение этих типов файлов дает множество всех файлов) и множества файлов программ, служебных файлов и файлов данных попарно не пересекаются (например, служебный файл не может быть одновременно файлом данных и наоборот).

в) Естественные, искусственные – это классификация по происхождению языков. Живые языки относятся к другой классификации (по применению в настоящее время). Очевидно, что классификация неверная, так как она избыточна. И к тому же, множество живых языков пересекается с множествами естественных и искусственных языков (например, русский язык является естественным и одновременно живым).

Переход от одного способа задания множества к другому Задача. Каким способом следует задать множества в следующих ситуациях:

а) Мама говорит ребенку: «Собирай исключительно съедобные грибы»;

б) Студентам перед началом летней педагогической практики сообщают: «Подготовьтесь к работе с детьми младшего школьного возраста».

в) Рекомендация врачей: «При температуре -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, 10 градусов голову рекомендуется защищать тонкой шерстяной шапочкой».

Решение а) В данном случае множество задано характеристически, ребенку в лесу приходится задавать множество съедобных грибов перечислением: сыроежка, белый, подосиновик, подберезовик, масленок и т. д.

б) В данном случае множество так же задано характеристически, но студенты при подготовке к практике должны точно представлять, что речь идет о детях 6-, 7-, 8-, 9-, 10-летнего возраста (т. е. задают множество перечислением).

в) Множество задано перечислением, хотя для экономии времени и сокращения длины информационного сообщения множество проще было бы задать характеристическим свойством: «при температуре от -1 до -10».

Принадлежность элемента множеству Задача. Исключите лишние элементы:

а) Булгаков, Есенин, Лермонтов, Пушкин, Толстой, Шекспир.

б) Прыжки в длину, в высоту, с десятиметровой вышки, тройной прыжок.

в) Клубника, арбуз, вишня, яблоко, смородина.

г) 22, 17, 180, 25006, 6, 84.

Решение а) Представлены элементы множества А – русские писатели. Шекспир не принадлежит данному множеству.

б) Представлены элементы множества В – виды прыжков в легкой атлетике. Прыжки с десятиметровой вышки не принадлежат данному множеству.

в) Перечислены элементы множества С – ягодные культуры. Яблоко является фруктом, значит, оно не принадлежит данному множеству.

г) Общий признак у большинства чисел: они делятся на два, т. е.

принадлежат множеству D – четные числа. 17 – не является четным числом, значит, исключается из данного множества.

Ответ: Шекспир, прыжки с десятиметровой вышки, яблоко, 17.

Подсчет количества элементов в объединении, пересечении и разности конечных множеств Задача. Известно, что в некотором информационном сообщении содержится 578 согласных букв и 234 гласных (в сообщении отсутствуют ь и ъ).

Сколько всего букв в сообщении.

Решение Известно, что множества гласных и согласных букв не пересекаются, следовательно, по правилу 1, в сообщении 578+234 = 812 букв.

Ответ: 812.

Задача. Множество А - студенты ЧГПУ;

m(A) = 6000;

В преподаватели ЧГПУ;

m(B)=340;

C – непреподавательский состав ЧГПУ;

m(C) = 110. Из скольких человек состоит коллектив ЧГПУ?

Решение Данные множества попарно не пересекаются, поэтому по правилу m(A) + m(B) + m(C) = 6000 + 340 + 110 = 6450.

Ответ: 6450.

Задача. А – абитуриенты, поступавшие в ЧГПУ в 2004 году. m(A) = 2000.

В – студенты первокурсники ЧГПУ в 2004/2005 году, m(B) = 900. Сколько абитуриентов, не поступивших в 2004 году в ЧГПУ.

Решение B A, А/В – абитуриенты, не поступившие в ЧГПУ в 2004 году. По правилу 3 m(A/B) = 2000-900 = 1100.

Ответ: 1100.

Задача. В школьной библиотеке содержатся книги с русскими текстами, книги с английскими текстами, некоторые книги содержат как английские, так и русские тексты. Известно, что из 590 книг в 500 есть тексты на русском языке, и в 100 книгах – английские тексты. Сколько книг содержат тексты как на русском, так и на английском языке? Сколько книг содержат тексты только на русском языке? Сколько книг содержат тексты только на английском языке?

Решение Пусть А – множество книг, содержащие тексты на русском языке, В – на английском языке. Множества А В пересекаются, поэтому сумма книг на русском языке и книг на английском языке (500+100 = 600) больше общего числа книг (русско-английские книги подсчитаны в сумме дважды, т. к.

подсчитаны как книги с русскими текстами, так и книги с английскими текстами). Чтобы найти количество книг, содержащих как русские, так и английские тексты, нужно из суммы книг на русском языке и книг на английском языке (600) вычесть общее количество книг в библиотеке. Т. е. – 590 = 10. Таким образом, книг, содержащих как русские, так и английские тексты 10;

книг, содержащих только русские тексты 500 – 10 = 490;

книг, содержащих только английские тексты 100 – 10 = 90. Проверка: всего книг 490+10+100 = 590.

Ответ: книг, содержащих как русские, так и английские тексты 10;

книг, содержащих только русские тексты 490;

книг, содержащих только английские тексты 90.

Задача. В бухгалтерии мебельной фабрики было обнаружено расхождение в сведениях: за месяц общий объем изготовленных кроватей и кресел 780 единиц, но, по данным из кроватного цеха, кроватей выпущено 360, из кресельного цеха вышло 540 кресел. В чем причина расхождения данных, сколько на самом деле кресел и кроватей выпускают соответствующие цеха?

Решение Один из цехов или оба цеха выпускают кресла-кровати. В отчете кресельный цех их представляет как кресла, а кроватный цех – как кровати.

Пусть А – множество кроватей, В – множество кресел, А В – кресла-кровати.

Тогда по правилу 4 нахождения числа элементов в объединении двух пересекающихся множеств m( А В) = m(A) + m(B) – m( А В) найдем мощность множества А В, используя данные задачи. 780 = 360 + 540 m( А В). m( А В) = 120, т. е. кресел-кроватей произведено 120. Тогда обычных кресел произведено 540 – 120 = 420, а обычных кроватей 360 – 120 = 240. Таким образом, полученные данные устраняют расхождение в бухгалтерских сводках всего 780 единиц продукции, из них 420 кресел, кроватей и 120 кресло-кроватей (780 = 780).

Ответ: 660 кресел, 240 кроватей.

Задачи для самостоятельного решения I тип Задача 34*. Определить способ задания множества А = {x | x – буква английского алфавита}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно. Определить мощность множества. Определить, принадлежат ли элементы данному множеству: g, ж, 256, ~, =, t,q, ю, т, -5.

Задача 35*. Определить способ задания множества А = {x | x – натуральное число}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно.

Определить мощность множества. Определить, принадлежат ли элементы данному множеству: g, ж, 256, ~, =, t,q, ю, т, -5.

Задача 36*. Определить способ задания множества А = {Январь, Февраль, Март, Апрель, Май, Июнь, Июль, Август, Сентябрь, Октябрь, Ноябрь, Декабрь}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно.

Определить мощность множества. Определить, принадлежат ли элементы данному множеству: среда, Март, 165, *, ф, зима, Август, 3,14.

II тип Задача 37**. Определить, о каком отношении между множествами идет речь.

Записать отношения между множествами с помощью условных записей.

Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-Венна.

a) А – множество людей, живущих в Европе, В – множество европейцев;

b) С – множество голубоглазых людей, D – кареглазых млекопитающих;

c) G – множество атмосферных осадков, H – множество автомобилей;

d) I – множество студентов, J – множество спортсменов.

Задача 38**. Сравнить множество А со множествами B, C, D. Если множества пересекаются, найти их пересечение. Для данного множества найти универсальное множество. Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-Венна.

А – розы, фиалки, гладиолусы, камелии, B – георгины, лилии, C – гладиолусы, фиалки, D – гвоздики, розы, ирисы, тюльпаны.

III тип Задача 39**. Найти множество, являющееся пересечением множеств А={д, е, ф, ж, в, г, п, с} и В={а, б, г, и, к, л. ж о} и мощность найденного множества. Построить диаграммы Эйлера-Венна.

Задача 40**. Найти множество, являющееся объединением множеств А={h, l, m, p, q} и В={l, p, o, g, t, s, h} и мощность найденного множества. Найти универсальное множество для множеств А и В. Построить диаграммы Эйлера-Венна.

Задача 41**. Найти множество, являющееся разностью множеств А={a, b, c, d, e, f, g} и В={h, i, j, a, k, l, f} и мощность найденного множества.

Найти универсальное множество для множеств А и В. Построить диаграммы Эйлера-Венна.

Задача 42**. Даны множества А = {10, 26, 17, 34, 56, 84} и В = {2, 4, 28, 46}. В результате каких операций над множествами А и В получены множества С={10, 26, 17, 34, 56, 84, 2, 4, 28, 46}, D – все натуральные числа, E={}, F={10, 26, 17, 34, 56, 84},G = {2, 4, 28, 46}.

IV тип Задача 43**. Доказать следующие свойства операций над множествами, записать названия свойств:

а) А В = В А ;

б) А В = В А ;

в) ( А В) С = А ( В С ).

Задача 44**. Доказать следующие законы теории множеств, записать названия законов:

а) А ( А В) = А ;

б) А А = А.

Задача 45***. Доказать следующие свойства разности множеств:

а) (А\В)\С = (А\С)\В;

б) ( А В )\С = ( А \ С ) ( В \ С ) ;

в) ( А \ В) С = ( А С ) \ ( В С ) ;

г) А \ ( В С ) = ( А \ В) ( А \ С ) ;

д) А \ ( В С ) = ( А \ В) ( А \ С ).

V тип Задача 46***. Определить основание классификации. Проверить, является ли классификация правильной, если нет – найти ошибку.

а) Зима, весна, лето, осень б) Понедельник, вторник, четверг, суббота Задача 47***. Каким способом следует задать множество в следующих ситуациях:

а) Замечание тренера: «При температуре ниже -200С не следует кататься на лыжах».

б) Преподаватель сообщает студентам: «В течение педагогической практики вы должны будете провести внеклассное мероприятие для учащихся старших классов».

Задача 48***. Исключите лишние элементы:

а) Белка, утка, лебедь, пеликан б) Я, п, д, t, ъ,э в) Бег, плавание, езда на велосипеде, лыжи г) 126, 843, 711, 163, Задача 49 ***. В видеотеке ОРТ имеется 1000 фильмов российского производства и 2000 фильмов американского производства. А всего в видеотеке 2350 фильмов. Сколько фильмов только российского, только американского и совместного производства имеется в видеотеке ОРТ?

Домашнее задание Вариант 1. Определить способ задания множества А={x | x – символ арифметической операции}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно. Определить мощность множества. Определить, принадлежат ли элементы данному множеству: а, =, 12, +, h, t, :

2. Определить, о каком отношении между множествами идет речь.

Записать отношения между множествами с помощью условных записей.

Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-Венна:

А – множество спортсменов, В – множество бегунов.

3. Найти множество, являющееся пересечением множеств А = {,, =,, } и В = {,, \} и мощность найденного множества. Построить диаграммы Эйлера-Венна.

4. Доказать свойство операций над множествами, записать название свойства А ( В С ) = ( А В) ( А С ).

Вариант 1. Определить способ задания множества А={, U, \}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно. Определить мощность множества. Определить, принадлежат ли элементы данному множеству: б, д, 136, -28, =,,.

2. Определить, о каком отношении между множествами идет речь.

Записать отношения между множествами с помощью условных записей.

Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-Венна:

А – множество крокодилов, В – множество аллигаторов.

3. Найти множество, являющееся объединением множеств А = {рубль, доллар, евро} и В = {марка, йена, эскудо}, и мощность найденного множества.

Найти универсальное множество для множеств А и В. Построить диаграммы Эйлера-Венна.

4. Доказать следующий закон теории множеств, записать название закона:

А А = А.

Вариант 1. Определить способ задания множества А={x | x – операции между множествами}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно. Определить мощность множества. Определить, принадлежат ли элементы данному множеству: ~,, =, д, f, №, 248.

2. Определить, о каком отношении между множествами идет речь.

Записать отношения между множествами с помощью условных записей.

Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-Венна:

А – множество учителей, В – множество специалистов по географии.

3. Найти множество, являющееся разностью множеств А = {чашки, тарелки, блюдца} и В = {супницы, стаканы, чайники, блюдца}, и мощность найденного множества. Найти универсальное множество для множеств А и В.

Построить диаграммы Эйлера-Венна.

4. Доказать следующий закон теории множеств, записать название закона:

А ( А В) = А.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.