авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

XI Региональная

научно-практическая

конференция школьников

“Творчество юных”

Проекты и исследования

учащихся средней

школы №4

г. Нелидово

Тверской области

2 Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных»

XI Региональная

научно-практическая

конференция школьников

“Творчество юных”

Проекты и исследования учащихся средней школы №4 г. Нелидово Тверской области МИЭТ г. Зеленоград 2007г.

Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных» Группа учащихся средней школы №4 представивших свои работы на XI региональной научно-практической конференции школьников «Творчество юных» В Московском институте электронной техники в г. Зеленограде.

Богданова Ольга, Герасимова Татьяна, Нечаева Юлия, Рузевич Елена, Кобрин Евгений, Железников Даниил.

4 Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных»

Решение задач на построение сечений многогранников Автор: Нечаева Юлия Научные руководители:

Миловидова Алла Васильевна, учитель математики, Погодин Сергей Валериевич, учитель информатики Введение В огромном саду геометрии каждый может подобрать себе букет по вкусу… И ныне наглядное понимание играет первенствующую роль в геометрии.

Своеобразие геометрии, выделяющее её из других разделов математики, да и всех областей наук

и вообще, заключается в неразрывном, органическом соединении живого воображения со строгой логикой. Решение любых стереометрических задач требует не только вычислительных и логических умений и навыков, но и умений изображать пространственные фигуры на плоскости (например, на листке бумаги, классной доске), что по сути своей тесно связано с темой «Геометрические построения на плоскости». Плоский чертёж не вызывает ощущения пространственности, не даёт возможность определить отношение между отдельными элементами изображаемого объекта. Практическое понимание и логическое осмысление в большинстве видов деятельности играет важную роль, чтобы понять наглядность чертежа. Стереометрические задачи на вычисления и доказательства легко можно решать, используя правильный рисунок пространственной фигуры. В своей сущности и основе геометрия и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой.





Ещё в глубокой древности человек чертил и рисовал на скалах, камнях, стенах и предметах домашнего обихода изображения вещей, деревьев, животных и людей. Он делал это для удовлетворения своих потребностей, в том числе эстетических. При этом основное требование к таким изображениям заключалось в том, чтобы изображение вызывало правильное, зрительное представление о форме изображаемого предмета.

Римский архитектор Витрувий ещё в 1 в. до н.э. применял три проекции – план, фасад и профиль. Витрувий рассказывает в своем труде «Десять книг об архитектуре», что еще в V в.до н.э. Агафарх, Демокрит и Анаксагор пользовались элементами перспективы при создании декорации для театра, когда исполнялись «Прикованный Прометей» и другие трагедии великого древнегреческого драматурга Эсхила (525-456 гг. до н.э).

С ростом практических и технических применений изображений (в строительстве зданий и других гражданских и военных сооружений и т.п.) к ним стали предъявлять и такие требования, чтобы по изображению можно было судить о геометрических свойствах, размерах и взаиморасположении отдельных элементов определенного предмета. О таких требованиях можно судить по многим памятникам древности, уцелевшим до наших дней.

Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных» Однако строгие геометрические обоснованные правила и методы изображения пространственных фигур (с соблюдением перспективы) стали систематически разрабатывать художники, архитекторы и скульпторы в эпоху Возрождения: Леонардо да Винчи, Дюрер, Рафаэль, Микеланджело, Тициан и др.

Об изображениях, выполненных методами, близкими к аксонометрии, свидетельствуют русские фрески и иконописная живопись XIV-XVI вв. Отсутствие перспективы характеризуется многие русские миниатюры с технической тематикой.

Наиболее наглядное изображение пространственных фигур на плоскости даёт центральная проекция – перспектива, требующая, однако, дополнительных условий для решения обратной задачи.

Основы математической теории перспективы были впервые разработаны Ж. Дезаргом в 1630 г. В русских чертежах XVIII века применяются, кроме перспективных и аксонометрических, также ортогальные проекции. Последнее, в частности, использовались выдающимися русскими изобретателями И.И.Ползуновым и И.П.Кулибиным.

В настоящее время многие школьники испытывают трудности в изображении восприятия фигур в пространстве, в частности в построении сечений, а построение сечений многогранников и других фигур широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроение и во многих других областях науки и техники. Умение строить сечения поможет учащимся развить пространственное мышление, что во многом поможет им в дальнейшей жизни. Поэтому при написании работы я выдвинула перед собой следующие цели:

1. Познакомится более детально с основными методами решения задач на построение сечений многогранников;

2. На примере некоторых фигур показать основные методы построения сечений.

Для того чтобы выполнить поставленные цели мною была сформулирована следующая задача:

Используя изученный мною теоретический материал и новые информационные технологии разработать с помощью компьютера пособие на построение сечений, применение которого способствует осознанию понятия движения и тем самым даст возможность визуализировать построение на проекционном чертеже.

Существует много методов построения сечений многогранников, но я использовала, на мой взгляд, самые распространенные:

1. Метод следов;

2. Комбинированный.

Рассмотренные методы построения сечений можно привлекать к решению задач единого государственного экзамена, что значительно увеличит количество времени для решения других заданий.

Также при написании исследовательской работы я выдвинула перед собой следующую гипотезу:

Построение сечений методом следов является самым удобным и наглядным.

Основная часть 1.1. Понятие о чертеже и требование к нему Понятие о чертеже. «Чертеж — это язык техники» (Гаспар Монж). В самом деле, как бы могли инженеры, архитекторы, ученые передать другим свои идеи, не пользуясь чертежом?

Обычно чертежом называют изображение объекта на плоскости в параллельной или центральной проекции. Выбор плоскости проекций, центра проекций или направления проектирования, положения предмета относительно плоскости проекций зависит от це лей, которые ставит перед собой чертежник. Если же нет такой целевой установки, выбор 6 Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных»

произволен.

Верность чертежа. Чертеж верен, если S существуют такое положение предмета отно сительно плоскости проекций и такой способ проектирования, при которых его изображение подобно полученной проекции;

если же не существует такой проекции, которая была бы подобна рассматриваемому изображению, то чертеж неверен.

Рассмотрим примеры верных и неверных чертежей. Пусть на чертеже C D изображена правильная четырехугольная пирамида. Верен ли этот чертеж? C По определению чертеж следует считать верным. В самом деле, если взять пирамиду с основанием, равным квадрату АВCD, и поставить ее основанием на плоскость чертежа, совместив основание с А В квадратом ABCD, то прямая, соединяющая (рис.1) вершину S пирамиды с точкой S', определит направление параллельного проектирования, при котором проекция пирамиды совпадает с чертежом.(рис.2) Чертеж ненагляден — такое изображение для нас непривычно, но он верен.

На чертеже изображены шар, его сечение по большому кругу (А' В') и полюсы (N' и S'), лежащие на перпендикуляре к плоскости сечения. Покажем, что чертеж верен.

N' S A' B' D' C' S'S' C'(D') A' S' (рис.2) (рис.4) 1. Пусть изображаемый шар имеет диаметр, равный А'В'.

2. Поместим шар таким образом, чтобы плоскость изображаемого сечения ACBD была перпендикулярна плоскости II.(рис.3) 3. Проектируемый этот шар на плоскость II. В данном случае применено ортогальные проектирование. Получим проекцию, равную фигуре, заданной на чертеже.(рис.4) Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных» Наглядность чертежа. Второе требование, предъявляемое к чертежу, — наглядность.

Говорят, что чертеж нагляден, если он производит то же впечатление, что и изображаемый предмет. Такое требование выдвигает преподаватель и гораздо реже инженер.

Наглядность необходима, когда чертежом пользуются как иллюстрацией, то есть лишь с целью дать представление об изображаемом предмете, а не для решения на чертеже какой-либо задачи, когда чертеж используется как чертеж-модель.

Конечно, неверный чертеж не может быть наглядным. Такой чертеж дает ложное представление об изображенном, а нем предмете, наглядность его кажущаяся. Такой кажущейся наглядности необходимо избегать, так как она дает ошибочное представление б изображенном объекте.

Измеримость чертежа. Третье требование — измеримость чертежа. Это требование важно для того, кто выполняет чертеж, и особенно для тех, кто изготовляет по нему предмет. Под измеримостью чертежа понимают возможность судить по чертежу о величине отдельных частей изображаемого объекта, возможность в точности воспроизвести изображенный на чертеже предмет. Как достигается измеримость чертежа, будет выяснено в дальнейшем. Во многих случаях наложенные на чертеж условия, делающие его измеримым, мешают эффективно использовать его.

Простота в построении чертежа. Чертеж называют простым в построении, если, выполняя верные дополнительные построения, не приходится пользоваться сложными вспомогательными построениями. Ясно, что в аудитории, классе невозможно тратить время на такие вспомогательные построения, тем более что чаще всего они будут непонятны для слушателей. В качестве примера, выясняющего смысл этого требования, рассмотрим следующее построение.

8 Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных»

z' z' C' C' E3 ' O' P' P' B' O' E1 ' E2 ' y' A' B' A' y' (рис.6) (рис.5) x' x' Из начала прямоугольной, декартовой, системы координат опустить перпендикуляр на плоскость, заданную треугольником следов.

На чертеже не заданы единицы масштаба по осям координат, и он поэтому прост в построении. За изображение основания перпендикуляра, опущенного из О на плоскость ABC, можно принять любую точку внутри треугольника АВС, например Р'.

Как будет видно далее, после задания точки Р' чертеж становится измеримым (не простым в построении). Чертеж будет не простым в построении также, если задать на осях единичные точки, концы единиц масштаба. В этом случае точка Р' вполне определенна, и придется выполнить ряд вспомогательных построений, чтобы ее найти.

Из этого примера видно, насколько важно уметь определить, является ли чертеж измеримым или простым в построении. Метод такого определения разработан Н. Ф.

Четверухиным в книге «Изображения фигур в курсе геометрии».

Не имея возможности полностью раскрыть эту теорию, рассмотрим лишь то, что необходимо для построения сечений.

Рассмотрим введенное Н. Ф. Четверухиным понятие о полноте чертежа.

Полнота чертежа. Чертеж называют полным, если по принадлежности всех элементов на чертеже (или по их расположению) можно судить о принадлежности (или расположении) этих элементов в пространстве.

В школьной практике часто пользуются методом так называемых воображаемых построений;

это яркий пример использования неполных чертежей.

Этот метод сводит все построения в пространстве к следующим требованиям конструктивной геометрии:

1. Плоскость считается конструктивной, то есть может быть построена, еcли даны и построены три точки, не лежащие на одной прямой.

2. Конструктивна точка, определяемая данными или построенными плоскостью и прямой, не параллельной этой плоскости.

3. Конструктивная прямая, определяемая двумя данными или построенными, не параллельными между собой, плоскостями.

4. Считается, что всякое построение, выполнимое на плоскости циркулем и линейкой, можно выполнить на любой данной или построенной плоскости.

5. Конструктивна произвольная точка, взятая на любой данной или построенной прямой или вне этой прямой.

6. Конструктивна произвольная точка, взятая на любой данной или построенной плоскости или вне этой плоскости.

Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных» Метрическая определенность чертежа. Чертеж называют метрически определенным, если он определяет изображенный объект с точностью до подобия.

Следовательно, лишь метрически определенный чертеж будет измеримым.

Имеются различные способы обеспечить полноту чертежа или его метрическую определенность. Эти способы излагаются в начертательной геометрии.

«Если чертеж является языком техники, то начертательная геометрия служит грамматикой этого мирового языка...» (Курдюмов В. И.) 1.2. Способы проектирования Изображение (рисунок, чертеж, фотография) какого-либо пространственного предмета на плоскости представляет собой пространственную фигуру, состоящую из точек и линий, расположенных так, что при рассмотрении их мысленным взором можно представить изображенный предмет.

Изображение пространственного предмета на плоскости достигается при помощи отображения этого предмета путем проецирования. Чертежи (рисунок, эскиз), полученный по способу (методу) проецирования, называют проекционными.

Проецирование - процесс построения изображений (проекций) предмета на плоскости при помощи проецирующих лучей. Для построения проекции какой-либо фигуры необходимо через её наиболее характерные точки провести проецирующие лучи до пересечения их с плоскостью проекций. Полученные таким образом точки соединяют прямыми или кривыми линиями.

В зависимости от способа проведения проецирующих лучей проекции делятся на центральные и параллельные A A D C1 D C C B B Центральное проецирование S - центр проецирования;

АВСD – объект проецирования;

П – плоскость изображения;

(рис.7) А B С D – центральная проекция фигуры Если все проецирующие лучи, с помощью которых строиться проекция, проходят через одну точку – центр проецирования, то полученная проекция называется центральной, а само проецирование центральным. (рис.7) Достоинство центральной проекции – наглядность. Недостаток – степень искажения изображения зависит от расстояния центра проекций до плоскости проекций, поэтому центральное проецирование неудобно для простановки размеров.

Если же проецирующие лучи, проходящие через точки на предмете, параллельны друг другу, то проецирование называется параллельным, а полученная проекция параллельной. (рис.8) 10 Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных»

S A A D D C C B B Параллельное проецирование S – направление проецирования;

П – плоскость изображения;

A1 B1, C1, D1 – параллельная проекция (рис.8) фигуры ABCD Все свойства центрального проецирования справедливы для параллельного проецирования:

1. При задании аппарата параллельного проецирования каждая точка пространства имеет одну и только одну параллельную проекцию. Обратное утверждение не имеет места.

2. Для задания точки в пространстве необходимо иметь две её параллельные проекции.

Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального, у которого центр проецирования – бесконечно удаленная точка.

Центральные проекции положены в основу построения перспективных изображений, применяемых в рисовании, автофигурах, фотографиях и т.д. Параллельные проекции используются для построения чертежей и некоторых видов наглядных изображений (например, в аксонометрии).

Если направление проецирования составляет произвольный угол (но не 90°) с плоскостью проекций, то параллельное проецирование называется косоугольным.

Параллельное проецирование называют прямоугольным или ортогональным, если проецирующие лучи направлены под прямым углом (900) к плоскости проекций.

Прямоугольные проекции используются для построения чертежей и некоторых видов аксонометрии.

Аксонометрическая проекция (или сокращенно аксонометрия) представляет собой один из видов наглядного изображения предметов. Для построения аксонометрии предмет вместе с осями координат x, у и z проецируются параллельными лучами на произвольно выбранную плоскость, называемую аксонометрической плоскостью проекций. (рис.9) Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных» z F1 D C S z O x1 A1 B D y F C A x O B (рис.9) y В зависимости от направления проецирования аксонометрические проекции делятся на прямоугольные (проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций) и косоугольные (угол наклона проецирующих лучей отличен от 90°).

Отношение длины аксонометрической проекции отрезка к его истинной длине (натуральной величине) называется коэффициентом искажения.

В зависимости от расположения предмета в пространстве и наклона осей координат к аксонометрической плоскости проекций эти коэффициенты по всем трем осям (x,y, z) могут быть равны - тогда аксонометрическая проекция называется изометрической. Если они не равны между собой, то такая проекция называется триметрической. Если два ко эффициента равны между собой, но не равны третьему, аксонометрическая проекция называется диаметрической.

ВЫВОД. При построении изображений пространственных фигур на плоскости необходимо предварительно решить, какую из проекций удобнее выбрать с точки зрения наглядности.

1.3. Методы построения сечений Метод следов Следом называют прямую пересечения плоскости сечения и плоскости какой-либо грани многогранника. Чтобы построить след, достаточно знать две его точки, т. е. точки, лежащие одновременно в секущей плоскости и плоскости рассматриваемой грани. Если след построен, то отрезок (на рисунке 10 - РQ, по которому он пересекается с плоскостью, дает сторону сечения, лежащую в этой плоскости. Но еще важнее то, что каждая точка его пересечения со стороной грани или ее продолжением лежит и в плоскости другой грани;

например, точка Р на рисунке лежит в боковой грани ABS пирамиды, точка Q - в плоскости грани ВСS и т.д.

12 Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных»

S E A D Q P R V C (рис.10) B Поскольку эти точки, как и весь след, лежат также и в плоскости сечения, мы получаем, по крайней мере, одну точку сечения в каждой из граней.

Используя другие известные из условия или предшествующего построения точки сечения, лежащие в этих гранях, строим след в новой грани и т.д.

Этих, соображений достаточно для построения сечения пирамиды или призмы по двум точкам в плоскости основания и одной на боковой поверхности. В случае призм можно дополнительно использовать и то, что стороны сечения, лежащие в основаниях, параллельны (т.к. плоскости оснований параллельны).

Не всегда данные задачи позволяют сразу провести след в плоскости основания пирамиды или призмы. В этом случае построение следа, точнее, любых двух его точек, становится первым шагом решения. Основной элемент этого построения - нахождение точки, в которой прямая пересекает плоскость.

Рассмотрим пример (рис. 11), в котором требуется построить линию пересечения плоскости, проходящей через точки К, L, М, заданные на боковой поверхности призмы, с ее основанием. Сначала строим проекции К', Л', М' данных точек на плоскость основания (в данном случае взяты параллельные проекции вдоль боковых ребер призмы). Любые две из точек К, L, М лежат в одной плоскости со своими проекциями. Значит, прямая, соединяющая эти точки, пересекается - в пространстве! - с прямой, соединяющей их проекции (либо названные прямые параллельны). На рисунке 2 построены точки Р и Q пересечения прямых KL и K'L' LM и L'M'. Очевидно, что эти точки и есть точки пересечения прямых KL и LM плоскостью основания призмы, а прямая PQ - след плоскости сечения KLMна плоскости основания.

Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных» ' S K M K L M K' M’ P Q (рис.11) (рис.12) P Q М' Легко понять, что если одна из прямых KL и LM окажется параллельной своей проекции, то и след будет параллелен этой прямой. Могут ли обе рассматриваемые прямые оказаться параллельными своим проекциям, и что в таком случае (если он возможен) можно сказать о следе.

Практически так же решаются аналогичные задачи для пирамид, только вместо параллельной проекции надо рассмотреть центральную (с центром в вершине пирамиды).

Сравните построения на рисунках 11 и 12.

Задачи на построение следов, т. е., по сути дела, пересечений плоскостей, образуют второй раздел нашего небольшого «задачника на построение сечений».

Теперь можно сформулировать алгоритм построения сечений призм и пирамид по трем точкам (методом следов);

Шаг 1. Строим проекции К', L', М' данных точек К, L, M на плоскость основания (параллельно боковым ребрам в случае призм и из вершины пирамиды как из центра проекции в случае пирамид);

эту плоскость называют основной. Если какие-то из данных точек принадлежат основной плоскости, их проекция, конечно, строить не надо.

Шаг 2. Пересекая прямые (КL, LM, МК), соединяющие данные точки, с их проекциями, находим точки пересечения этих прямых с основной плоскостью. Проходящая через них прямая есть след сечения на основании. Чтобы ее провести, достаточно найти хотя бы две ее точки Шаг 3. Находим точки пересечения следа со сторонами основания или их продолжениями. Используя эти точки и те из данных точек, которые лежат на боковой поверхности многогранника, последовательно находим вершины сечения на боковых ребрах (как показано в примере), а в случае призмы - и на сторонах второго основания.

В последнем случае все заданные точки могут попасть на основания (как на рис. 13);

тогда след на одном из оснований (прямая LN на рисунке) строится непосредственно, а на другом проводится параллельно первому. В результате получаем точки (U и V) на боковых гранях и дальше действуем, как выше.

14 Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных»

K r U V l L U (рис. 13) Заметим, что если задача поставлена «правильно» (математики говорят «корректно»), то мы всегда сумеем выполнить первый шаг описанного алгоритма—нaйти нужные проекции данных точек K,L,M на некоторую (основную) плоскость. В частности, эти точки можно задавать на определенных гранях или ребрах многогранника или, например, на прямой, соединяющей две заданные точки на гранях. При выполнении второго шага алгоритма две из трех прямых KL, LM, МК пересекут свои проекции и тем самым определят след во всех случаях, кроме одного - когда плоскость сечения параллельна основанию призмы или пирамиды. Но в этом случае можно просто воспользоваться тем, что, по теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей, стороны сечения будут параллельны соответствующим сторонам основания.

Пример.

В Построить сечение тетраэдра ABCD плоскостью, проходящей через точки K, L и М M, которые лежат на его ребрах.

K Решение.

Проведем в плоскости АВD С прямую KL-«след» плоскости A АВD. Пусть KLВD=P. Проводим прямую PM, получаем точку N.

L N Достраиваем сечение.

D Комбинированный метод P построения сечений.

Суть комбинированного метода построения сечений, состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксонометрическим методом.

Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных» Приведем несколько примеров.

Пример № M R B' B C F’ D' P N А K Q ”// D На ребрах АВ и АD пирамиды МАВСD зададим соответственно точки P и Q – середины этих ребер, а на ребре МС зададим точку R. Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P, Q и R.

1. Ясно, что основным следом плоскости PQR является прямая PQ.

2. Найдем точку К, в которой плоскость МАС пересекает прямую РQ. Точки К и R принадлежат и плоскости PQR, и плоскости МАС. Поэтому, проведя прямую KR, мы получим линию пересечения этих плоскостей.

3. Найдем точку N=ACBD, проведем прямую MN и найдем точку F=KRMN.

4. Точка F является общей точкой плоскостей PQR и MDB,то есть эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку F.

5. Дальнейшие построения понятны из рисунка. В итоге мы получаем многоугольник PQD'RB' – искомое сечение.

Пример№ На ребрах ВС и МА пирамиды МАВС зададим соответственно точки P и Q, построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую PQ параллельную прямой AR, точку R, которую зададим следующим образом: а) На ребре МВ;

б) Она совпадает с точкой В в грани МАВ.

Решение:

а) 1. Плоскость, проходящая через вторую прямую, то есть прямую AR, и точку Q, взятую на первой прямой, на изображении уже есть. Это плоскость MAB.

2. В плоскости МАВ через точку Q проведем прямую QF параллельную AR.

3. Пересекающиеся прямые PQ и QF определяется плоскостью (эта плоскость PQF) – плоскость искомого сечения. Построим это сечение методом следов.

4. Точка В совпадает с точкой F'- проекцией точки F на плоскость АВС (из центра М), а точка А совпадает с точкой Q' – проекция точки Q на эту плоскость. Тогда точка S'=FQF'Q' лежит на основном следе секущей плоскости. Так как точка P лежит на основном следе 16 Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных»

секущей плоскости, то прямая S'P это основной след плоскости на грани ABC. Далее ясно, что точку P следует соединить с точкой F. В итоге получаем четырёхугольник PFQS'' – искомое сечение.

M F R Q B(F') P C A(Q') S" S' б) 1. Плоскость, проходящая через прямую АВ и точку Р прямой PQ, на изображении уже построена. Это плоскость АВС. Продолжим построение по вышеизложенному плану.

2. В плоскости АВС через точку Р проведем прямую PD, параллельную прямой АВ.

3. Пересекающимися прямыми PQ и PD определяется плоскость альфа (это плоскость PQD) – плоскость искомого сечения. Построим это сечение.

4. Ясно, что следом плоскости альфа на грани MAC является отрезок DQ.

5. Дальнейшее построение выполним, принимая во внимание следующие соображения. Так как прямая PD параллельна прямой AB, то прямая PD параллельна плоскости MAB. Тогда плоскость альфа, проходящая через прямую PD пересекает плоскость MAB по прямой параллельной прямой PD, то есть и прямой AB. Итак, плоскости MAB через точку Q проведём прямую QE параллельную AB. Отрезок QE – это след плоскости альфа на грани MAB.

6. Соединим точку P с точкой E. Отрезок PE – это след плоскости альфа на грани MBC. Таким образом, четырёхугольник PEQD – искомое сечение.

M E Q P B(R) C D A Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных» Пример № 3.

На ребрах AD и C'D' призмы ABCDA'B'C'D', зададим соответственно точки P и Q, а на ребре DD' зададим точку К. Построим сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно прямой PQ и прямой A'B.

C' В'' Q ' l А' D' S' C B K S D А L P 1. Чтобы через точку Q провести прямую, параллельную прямой A'B, сначала через прямую А' B и точку Q проведем плоскость гамма. Сделаем это так. Найдем точку Q' – проекцию точки Q на плоскость АВС и проведем прямую АQ'. Ясно, что АQ' параллельна АQ. Теперь через точку В в плоскости АВС проведем прямую l' параллельно AQ'.Пересекающимися прямыми А'В и l определяется плоскость гамма. В плоскости гамма через точку Q прoведем прямую параллельно.

2. Пересекающимися прямыми PQ и l'', определяется плоскость бета – плоскость вспомогательного сечения призмы. Построим это сечение. Находим для этого точку S'=l' пересекается l'', а затем прямую PS' – основной след плоскости бетта.

Находим далее точку s''=PS' пересекается CD и проводим прямую S''Q - след плоскости на плоскость CDD'. Получаем точку D'' – след плоскости бетта на прямой DD'. Точка D'' и точка P лежат в плоскости АDD'. Поэтому прямая PD'' – след плоскости бетта на плоскости АDD', а отрезок PF – след плоскости бетта на грани АDD' А'. Таким образом, сечением призмы плоскостью бетта является четырехугольник PS''QF.

3. Теперь строим сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно плоскости бетта. Это построение выполнить уже не сложно. В итоге получаем четырехугольник KLN – искомое сечение.

1.4. Исследование детали Мне захотелось применить изложенные мною методы на практике. Так как мои родители работают на нелидовском заводе «Гидропресс» у меня появилась реальная возможность рассмотреть деталь, которая непосредственно используется в производстве.

Придя на завод, я обратилась к сотруднику конструкторского бюро, где непосредственно конструируются детали. Моему вниманию был предложен «Винт грузовой», служащий для транспортировки отдельных узлов или деталей машины. Винт крепится посредством ввинчивания резьбы в транспортируемую деталь.

Перед собою я поставила задачу: измерить высоту конуса посредством построения сечений в отдельной части детали, которая представляет собой прямоугольную призму (рис.1). Первоначально я измерила расстояние от части детали, которая представляет 18 Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных»

собой призму до другой части детали, которая представляет собой цилиндр. Таким образом, я определила расстояние от края основания призмы до пересечения деталей.

Аналогично я измерила расстояние от нижнего основания также до линии пересечения деталей. На заводе мастер объяснил принцип построения отверстия. Проведя секущую плоскость, появилась возможность измерить образующую конуса, а радиус отверстия определить не представляет никакой проблемы. Так как образующие конуса равны между собой, то рассмотренный треугольник АВС является равнобедренным. А проведенная из вершины В высота разбивает данный треугольник на два прямоугольных. Так как целью моего исследования было найти высоту конуса, то дальнейшие расчеты не заняли много времени. По теореме Пифагора HB = BC 2 HC 2. В результате вычисления я получила ответ, равный 0.67мм, данная величина удовлетворяет требованию, предъявляемому в использовании детали в производстве.

Н С А В (Рис.1) Заключение Для создания видеоролика использовалась программа 3ds max. 7. Весь процесс создания видеоролика можно разделить можно разделить на несколько этапов. На первом этапе была построена полигональная модель исследуемых объектов. Следующий этап обусловлен расстановкой заданных точек в пространстве, расположенных на фигурах. На основе изложенных способов построения сечений была построена секущая плоскост. В Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных» процессе создания геометрических объектов каждому из них было присвоено своё уникальное имя. На последнем этапе индивидуально выбранным объектам были заданы траектории движения относительно других тел с течением времени. Таким образом, данная работа позволила наглядно увидеть построенное сечение, продемонстрировать модели с построенными сечениями.

Проведя исследование построения сечений несколькими методами на примере геометрических фигур, я установила, что метод следов легко объясним, но не всегда удобен в практике построения сечений. Таким образом, моя гипотеза не подтвердилась.

Приложение Пример № В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 провести плоскость через середины M и N боковых ребер AA1 b CC1 через точку E, делящую диагональ BD основания ABCD в отношении ВЕ:ЕВ=1:3 и построить сечение призмы проведенной плоскостью.

C D Е А B B C1 D А Пример № Построить сечение тетраэдра, проходящее через точки K, L и M, лежащих в плоскостях граней.

20 Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных»

B M K L C A D Пример № На ребрах AB и АD пирамиды MABCD заданы соответственно точки P и Q – середины этих ребер, а точка R лежит на ребре MC. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P, Q и R.

M R C B P Q D A Пример № Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных» Построить сечение тетраэдра ABCD плоскостью, проходящей через точки K, L и N, которые лежат на его ребрах. (При этом построение должно проходить «внутри многогранника») B L K M C A D Литература 1. Анатасян Л.С., Базылев В.Т.. Геометрия. М.: «Просвещение», 2. Чалый А.Т. Курс начертательной геометрии. М.: «Государственное научно техническое издательство машиностроительной литературы», 3. Базылев В.Т., Дуникеч К.И. Сборник задач по геометрии. М.: «Просвещение», 4. Веннинджер М.. Модели многогранников. М.: «Мир», 5. Фролов С.А. Начертательная геометрия. М.: «Просвещение», 6. Бубенков А.В., Громов М.Я.. Начертательная геометрия. М.: «Просвещение», 7. Липкин А,Е.. Начертательная геометрия в чертежах.: М.: «Просвещение», 8. Кольман Э.. Четвертое измерение. М.: «Наука», 9.Верстак В.А 3ds Max 8. М.: «Просвещение», ……ТТТ 22 Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных»

Теория вероятности:

совпадение или точный результат?

Автор: Рузевич Елена

Научный руководитель:

Миловидова Алла Васильевна, учитель математики Введение Случай играет в мире столь большую роль, что обыкновенно я стараюсь отвести ему как можно меньше места в уверенности, что и без моей помощи он позаботится о себе.

А. Дюма Великое множество событий и явлений совершается в окружающем нас мире. Каждое явление тесно связано с множеством других явлений. Всякая наука изучает лишь некоторое определенное количество связей. На любом этапе человеческого познания остаются неизученными бесконечное множество связей.

Все закономерности в природе выполняются неточно, с погрешностями. В результате таких неточностей рождаются множество связей, непринятые во внимание. Такие связи называют случайными. Таким образом, случайность существует в окружающем нас мире, вследствие невозможности проследить все возникающие связи с бесчисленным множеством других явлений.

По мере развития науки познаются все новые и новые закономерности- связи изучаемого явления с различными факторами. То, что было случайным на одном этапе науки, может стать закономерным на другом. И, наоборот, в явлениях, которые считались закономерными на одном этапе, вследствие совершенствования техники эксперимента обнаруживаются случайные отклонения от закономерности, и возникает необходимость учитывать их. Однако при большом числе наблюдений данного явления в самих случайных отклонениях обнаруживается закономерность. Т.о. открывается возможность изучения массовых случайных явлений, т.е. таких случайных явлений, которые можно наблюдать неограниченное количество раз в одинаковых условиях. Теория вероятностей и является наукой, изучающей закономерности массовых случайных явлений.

1 Абстракция событий В математике событие – это любой объект или явление, которое может появиться или не появиться при определенных условиях. Причем создание этих условий не является обязательной причиной появления ожидаемого явления.

Различают невозможные, возможные и достоверные события.

Невозможные события – никогда не появляются при данных условиях (правильнее говорить, что вероятность появления такого события бесконечно мала).

Достоверные события – появляются всегда, если имеют место соответствующие условия. В данном случае между условиями и событиями однозначная причинно – следственная связь.

Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных» Возможные события – события, которые при одних и тех же условиях могут появляться, а могут не появляться, то есть создание условий в данном случае не гарантирует наступления события, что свидетельствует о неоднозначных или не прямых причинно – следственных связях между условиями и ожидаемыми событиями.

При изучении возможных событий мне пришлось столкнуться с понятием частоты появления таких событий при многократном повторении наблюдений.

Частота события – это число случаев появления возможного события при определенных условиях. Очевидно, что это число f = 0,1,2,3…,n, где f – обозначение частоты, а n – ее максимально возможное значение. Также очевидно, что если f = n, то событие является достоверным, то есть наступает всегда.

Частота является простой малоточной мерой возможности. Более точной мерой возможности наступления события является относительная частоты (частость) – p=f/n Так как 0fn, то 0p1, в данном случае n – общее число наблюдений или испытаний (иногда говорят шансов), а f – число случаев наступления возможного события.

Я взяла монету и общее число бросков, которые я сделала – 5, то есть n = 5, при этом орел выпал 3 раза, то есть f = 3, тогда относительная частота выпадения орла p = f/n = 3/5.

2 Статистическое определение вероятности Наиболее точной мерой возможности является предел относительной частоты (частости) при неограниченном увеличении числа испытаний. Его называют статистической вероятностью.

Р = lim (m/n) n Такое определение является чисто теоретическим, так как на практике неограниченное увеличение числа испытаний не возможно.

3 Классическое определение вероятности Допустим мы производим некий опыт, результатом (исходом) которого могут быть равновозможные события А1, А2, …,Аn Таким примером может служить игра в кости, распространенная ранее среди феодалов и знати, число выпадений любой из его граней с количеством точек от 1 до 6 при большом количестве бросков оказывается приблизительно равным. То есть можно сказать о равновозможности выпадения любой из граней кубика. Тем не менее, понятие равновозможности не является строго математическим, поэтому при его использовании оказывается заложенной некорректность, приводящая к ошибкам при расчетах.

Если принять общее количество бросков кубика за n, а количество выпадений одной из его граней (например, с шестью точками) за m, то вероятность выпадения шестерки будет равна m/n.

То есть Вероятность события А – это отношение количества благоприятных исходов опыта результатом которых явилось событие А, к общему числу равновозможных событий.

Р (А) m/n зная, что mn, то 0Р(А) 4. Сложение вероятностей Рассмотрим пример. В мешке находится 15 шаров, различающиеся только по цвету( белых, 2 зеленых и 6 красных). Вы вытаскиваете наугад один шар. Какова вероятность того, что извлеченный из мешка шар окажется белым (красным, зеленым)?

24 Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных»

Извлечение белого шара, будем рассматривать как событие А, красного как событие В, зеленого как событие С. Число исходов, благоприятных для извлечения шара того или иного цвета, равно числу шаров соответствующего цвета:MA=7, MB=6, MC=2. Используя формулу вероятности и учитывая, что n=15, находим искомые вероятности: PA=MA/n=7/15;

PB=MB/n=2/5;

PC=MC/n=2/15. Но какова вероятность того, что наугад извлеченный шар окажется либо красным, либо зеленым? Число благоприятных исходов MB+MC=6+2=8, поэтому искомая вероятность равна PB+C=(MB+MC)/n=8/15. Мы видим, что PB+C=PB+PC. Но вероятность вытащить шар, цвет которого будет либо красным, либо зеленым, либо белым, есть сумма трех вероятностей: PA+PB+PC=1. Поскольку рассматриваемая вероятность есть вероятность достоверного события.

5. Умножение вероятностей.

Предположим, что подбрасывают одновременно два кубика. Какова вероятность того, что одновременно выпадут две четверки? Общее число возможных исходов n=6*6=36. Но имеется только один благоприятный исход (4;

4). Следовательно, искомая вероятность равна 1/36. Эта вероятность и есть произведение двух вероятностей;

вероятность выпадения четверки одного кубика и вероятность выпадения четверки другого кубика:P4;

4=P4*P4=1/6*1/6.

Отсюда можно вывести правило умножения вероятностей: вероятность того, что произойдет сразу несколько событий, равна произведению вероятностей данных событий.

6. Алгебра событий.

Аксиоматическое определение вероятности.

Более верным математически определением вероятности, чем классическое, является аксиоматическое определение. Здесь события рассматриваются как элементы некоего конечного или бесконечного множества. Для простоты я взяла конечное множество =(w1,w2,…,wn), где wi это элементы множества. Это множество называют пространством элементарных событий, а его элементы wi – элементарными событиями.

Я решила рассмотреть такое подмножество F(), которое обладает свойством ЄF.

Событие - пустое множество обозначим как невозможное событие ЄF(). Тогда несовместимые события А и В будут определяться как В= А - знак объединения множеств, – ( пресечение множеств) Тогда если ЄF, для любых событий АЄF и ВЄF верно следующее соотношение АВЄF, АUВЄF Такое множество F – называют алгебра событий.

Вероятностью события А называют такую числовую функцию Р(А), определенную на алгебре событий F, я выдвинула следующие аксиомы:

1. Для любого АЄF верно Р(А)0 – аксиома неотрицательности.

2. Р()=1 – аксиома нормированности.

3. Если АЄF и ВЄF несовместимы (то есть АВ=), то Р(АUВ)=Р(А)+Р(В) – аксиома аддитивности.

Подтверждение которых я обнаружила в научных книгах.

7. Полная группа событий.

Несовместимые события – события, наступление которых одновременно при одном и том же опыте (испытании) невозможно. Например, выпадение двух граней кубика при одном броске невозможное событие.

Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных» Полная группа событий – совокупность однородных несовместимых событий, наступление одного из которых обязательно. Для примера с игральным кубиком полная группа событий будет выпадение каждой из шести граней.

И по классическому и по аксиоматическому определению вероятности очевидно, что вероятность наступления любого случайного события А будет равна 0Р(А)1. Краевые значения 0 и 1 будут определять неслучайные события – их делят на:

невозможные – ( Р(А)=0 или Р()=0) – наступление которых при данных условиях невозможно достоверные – (Р(А)=1) – наступление которых при данных условиях обязательно.

Для несовместимых событий легко определить вероятность объединения (суммы) событий. Если Аi при i Є (1, n) несовместимые события, то вероятность суммы событий Аi равна сумме их частных вероятностей.

n n Р ( Аi) = Р(Аi) i=1 i= или Р(А1+А2+,…,+Аn) = Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn) 8. Независимость событий.

Событие А называется независимым от события В, если наступление события А не оказывает никакого влияния на вероятность наступления события В.

Вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Р(АВ) = Р(А)*Р(В) или в общей форме Р(А1,А2,…,Аn) = Р(А1)*Р(А2)*…*Р(Аn) Учитывая независимость событий и возможность появления двух событий одновременно тогда вероятность суммы двух независимых событий А и В более точно находят следующим образом:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ), где Р(АВ) – вероятность их одновременного появления 9. Условность событий.

Безусловные события рассматриваются вне конкретных условий и обозначаются просто буквами А,В,С и т.д.

Условные события – рассматриваются при наступлении других событий. Они обозначаются, например А/В – событие А при условии наступления события В и т.д.

Условную вероятность события А при наступлении события В находят следующим образом:

Р(А/В)=Р(АВ)/Р(В), если Р(В) С помощью условных и безусловных вероятностей можно корректно определить зависимость или независимость событий.

События А,В и С называют независимыми если их безусловные вероятности равны их условным вероятностям:

Р(А)=Р(А/В)=Р(А/С)=Р(А/ВС) Р(В)=Р(В/А)=Р(В/С)=Р(В/АС) Р(С)=Р(С/А)=Р(С/В)=Р(С/АВ) 26 Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных»

Это так называемое условие независимости событий. Если это условие нарушается, то события зависимы. Чем больше различия. Тем сильнее зависимость.

Если рассмотреть вероятность совмещения (произведения) двух событий с учетом условности, то есть если принять что событие А наступает при условии наступления события В, то вероятность совмещения можно записать двумя способами:

Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А) Р(АВ)=Р(В)*Р(А/В) Если брать три события, то количество способов, которыми можно записать вероятность их совмещения возрастает до двенадцати и т.д.

Теперь рассмотрим полную вероятность событий с учетом их условностей. Допустим, имеется полная группа безусловных событий Вi, где i Є(1,n), которые выступают в качестве условий появления события А, тогда полная вероятность события А равна:

n n Р(А)= Р(АВi)= Р(Вi)*Р(А/Вi) i=1 i= 10. Распределение вероятностей.

До сих пор мы рассматривали вероятности отдельных простых и сложных (сумма, произведение) событий однако для точности следует рассматривать вероятность всех событий входящих в полную группу. При рассмотрении полных групп вводят новое понятие распределение вероятностей событий- оно определяется в результате наблюдений повторяемости и подсчета частоты событий, образующих полную группу.

Распределение случайных величин описывается дифференциальной функцией.

Рассмотрим полную группу событий А=(Аi), где iЄ(1,n), а fi – соответствующие частоты событий, тогда функция распределения частот будет иметь вид:

F(А)=(А1*f1,А2*f2,…,Аn*fn)=(Аn*fn) Очевидно, что сумма частот событий равна числу наблюдений:

n fi=n i= Если разделить частоты распределения на число наблюдений, то получается распределение относительных частот событий, которое называют эмпирическим распределением вероятностей:

Р(А)=F(А)/n=(f1/n*А1,f2/n*А2,…,fn/n*Аn)=(Р1*А1,Р2*А2,…,Рn*Аn) Также очевидно, что сумма вероятностей полной группы равна:

n Рi= i= 11. Понятие случайной величины Случайная величина – величина, значение которой получается в результате пересчета или измерений и не может быть однозначно определено условиями его возникновения.

То есть случайная величина представляет собой числовые случайные события.

Случайные величины подразделяют на два класса:

Дискретные случайные величины – значения этих величин представляют собой натуральные числа, которым как отдельным событиям сопоставляются частоты и вероятности.

Непрерывные случайные величины – могут принимать любые значения из некоторого промежутка (интервала). Учитывая, что на промежутке от Х1 до Х2 числовых значений Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных» бесконечное множество, то вероятность того, что случайная величина ХiЄ(Х1,Х2) примет определенное значение, бесконечно мала. Учитывая, что невозможно перечислить все значения непрерывной случайной величины, на практике пользуются средним значением интервала (Х1,Х2).

Для дискретных случайных величин функция у=Р(х) - называется функцией распределения случайной величины и имеет график – его называют многоугольник распределения.

Р(Х) Хi рис. 12. Законы распределения дискретных случайных величин.

Биноминальный закон распределения (закон Берноулли) xi хi n-xi Р(Хi)=Сn * р * q где Р(Хi) – вероятность того, что случайная величина примет некоторое значение Хi n – количество опытов р – вероятность наступления события Хi в рамках одного опыта и имеет постоянное значение q – 1 – р – вероятность ненаступления события Хi или вероятность противоположного события хi хi Сn – число возможных комбинаций Сn = n!/n!*(n-хi)!, где знак ! – означает 1*2*…*n Этот закон используется для дискретных случайных величин в том случае, когда рассматривается заранее известное повторение опытов, при которых вероятность наступления события постоянно, то есть условия опыта не меняются (как в случае с кубиком или монетой).

Закон распределения Пуассона.

хi -(n*р) { (n*р) / хi! }*е где р 0, n, то есть вероятность стремиться к 0, а количество опытов к бесконечности. Распределение Пуассона является предельным для биноминального.

28 Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных»

13. Законы распределения непрерывных случайных величин.

Равномерное распределение.

(х) = {0, 1/(а - в)} при ХЄ[а,в] График равномерного распределения имеет вид 1/в-а хi а в рис. Показательное распределение.

-*хi (х) = *е при х График показательного распределения имеет вид:

хi рис. Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных» 14. Характеристики случайных величин.

Математическое ожидание m – некоторое усредненное значение случайной величины, которое она может принимать при повторении ряда опытов дисперсия D – мера отклонения (максимального) случайной величины от математического ожидания. Дисперсию можно рассматривать как степень рассеивания значений случайной величины.

среднеквадратичное отклонение – область наибольшего сгущения значений случайной величины.

Формулы Для дискретных величин n m=Xi*Pi i= D=(Xi-m) *Pi =D Для непрерывных величин m =х* (х)dх D =(х-m) * (х)dх =D При многократном бросании обычной монеты число выпадения, например, орла будет приблизительно равно выпадению решка. Таким образом можно построить график, характеризующий выпадения той или иной величины.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Где К-число выпадения решка, n-количество бросков(в десятках) 30 Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных»

Задача о звездочете.

Некий властитель рассердился на звездочета и повелел палачу отрубить ему голову.

Однако в последний момент властелин смягчился и решил дать звездочету возможность спастись. Он взял два черных и два белых шара и предложил звездочету произвольным образом распределить их по двум урнам. Палач должен выбрать наугад одну из урн и наугад вытащить из неё шар. Если шар окажется белым, то звездочет будет помилован, а если черным, казнен. Как должен звездочет распределить шары по двум урнам, чтобы иметь наибольшее число шансов спастись?

А В Б Г Допустим, что звездочет положит в каждую урну по одному белому и одному черному шару (риса). В этом случае безразлично, к какой урне подойдет палач. Из любой урны он с вероятностью 1/2 вынет белый шар. Значит, вероятность спастись звездочету равна1/2.

Такова же будет вероятность спастись, если звездочет положит в одну урну два белых шара, а в другую два черных (рис.б). Все решит выбор палача той или иной урны. Палач с равной вероятностью может подойти как к "белой", так и к "черной" урне.

Лучше всего, если звездочет положит в одну урну белый шар, а в другую белый и два черных (рис.в.). Если палач подойдет к первой урне, то звездочет наверняка спасется. Если же палач подойдет ко второй урне, то звездочет будет иметь вероятность спастись, равную 1/3. Так кА вероятность того, что палач подойдет к т ой или иной урне, равна 1/2, то полная вероятность звездочету спастись может быть вычислена следующим образом: (1/2*1 ) +(1/2*1,3)=2/3.

Если же звездочет положит в одну урну черный шар, а в другую черный и два белых шара (рис.г.), то вероятность спастись окажется наименьшей: (1/2*0)+(1/2*2/3)=1/3.

Итак, чтобы иметь наибольшие шансы спастись, звездочет должен избрать вариант распределения шаров по урнам, показанный на рисунке в.

Это есть наилучшая тактика. Наихудшая тактика отвечает варианту распределения шаров, показанному на рисунке г.

Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных» Заключение Итак, теория вероятности является инструментом для изучения скрытых и неоднозначных связей различных явлений во многих отраслях науки, техники и экономики.

Перед собой я ставила цель: можно ли просчитать(достоверно) вероятность того или иного события. В результате своего исследования, я выяснила что просчитать вероятность того или иного события нельзя, можно лишь сократить риск, но не избавиться полностью от него.

Список используемой литературы.

1. Пехелецкий И. Д. ”Математика учебник для студентов” - М. Академия, 2003г.

2. Корн Г.Корн Т. “Справочник по математике для научных работников и инженеров” СПБ.: Издательство “Лань”, 2003г.

3. Суходольский В.Г. “Лекции по высшей математике для гуманитариев” СПБ Издательство Санктпетербургского государственного университета. 2003г 4. Л.В. Тарасов “Мир, построенный на вероятности” 5. Б.А. Кордемский “Математика изучает случайности” 6. Д.К.Фаддеев, М.С. Никулин, И.Ф. Соколовский ”Элементы высшей математики” 7. Г.И. Глейзер “История математики в средней школе” 8. Б.В. Гнеденко “Наука о случайном” 32 Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных»

ТЕКУЧЕСТЬ ЖИДКОСТЕЙ.

СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ ГЕЛИЯ Кобрин Евгений Научный руководитель:

Цветков Анатолий Анатольевич, учитель физики Понятие текучести и её объяснение с точки зрения молекулярного строения жидкости.

Каждый из нас видел, как течёт вода, и любовался картиной течения реки. Для горных речек оно стремительное и бурное, с водоворотами и завихрениями. Для равнинных степенное и плавное. Но если внимательно присмотреться на течение наших рек, то можно заметить, что на середине реки скорость течения несколько больше чем у берегов. Иногда у берегов мы замечаем образование водных вихрей и вращение воды.

Я поставил перед собой цель, разобраться, в чём сущность текучести жидкости, чем она вызвана, от чего зависят параметры этого явления.

Итак, жидкость наряду со своими основными свойствами обладает еще и особым, отличительным свойством – текучестью. Теоретически это можно объяснить достаточно просто, используя теорию текучести. Это объясняется перескоками молекул из одного 10 8, 9 секунд. Это время называется места в другое через определённое время временем релаксации.

В стационарной жидкости этот хаотический процесс не приводит к перемещению слоёв жидкости в каком-то определённом направлении. Другое дело, когда на жидкость действует сила (медицинский или технический шприцы, и т.д.). В этом случае перескоки имеют однонаправленный характер, в направлении действия силы давления (F=p s) и жидкость течет. В зависимости от величины силы давления, зависит и скорость течения.

Течение реки, наличие порогов, водопада так же можно легко объяснить наличием избыточной потенциальной энергии воды в истоке реки над её величиной в устье и действием силы тяжести. Теоретически вроде всё довольно-таки просто и понятно, если речь идёт о течении «идеальной», если так можно сказать жидкости (то есть жидкости, в которой вязкостью и сжимаемостью можно пренебречь), о её ламинарном движении. А ламинарным движением называется такое движение жидкости, при котором её отдельные слои скользят друг относительно друга, не перемешиваясь.

Опыты, приводящие к понятию вязкости жидкости Однако в реальных условиях наблюдаются некоторые, на мой взгляд, довольно интересные явления, сопровождающие течение – это водовороты, турбулентные явления и т.д. Как объяснить эти процессы, в чем их суть и причина?

Я поставил перед собой задачи:

1. Исследовать текучесть жидкости и выяснить в чём причина её турбулентности.

2. Опытным путём теоретически обосновать основное свойство жидкости – вязкость.

3. Раскрыть механизм сверхтекучести гелия.

Исследования я начал с некоторых на первый взгляд простых опытов.

Возьмём трубку переменного сечения с небольшими отверстиями в стенке, в которые вставлены стеклянные открытые сверху измерительные трубки. При стационарном течении Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных» жидкость в каждой измерительной трубке поднимается до определённой высоты. По высоте столба жидкости в измерительных трубках можно судить о её давлении на стенки горизонтальной трубки. Опыт показывает, что в широких местах трубы давление больше, чем в узких. Но чем больше сечение трубы, тем меньше скорость течения жидкости.

Следовательно, можно сделать вывод:

При стационарном течении жидкости давление больше в тех местах, где меньше скорость течения, и, наоборот, меньше в тех местах, где скорость течения больше. Это подтверждает закон Бернулли.

Опыт по вращению жидкости в сосуде. На поверхность жидкости помещались частицы легкого полимерного вещества.

Наблюдал, что при вращении жидкости, частицы полимера через небольшой промежуток времени смещались к центру сосуда. Почему?

Как сила обеспечивает это явление в литературе. Я нашёл качественное объяснение.

Количественное решение данной задачи я попытался найти из следующих рассуждений.

Проследим за движением одной частицы. Она по спирали закручивается к центру окружности. Попробуем разобраться. Почему, перемещаясь таким образом, частица получает и касательное и центростремительное ускорения. Какие же силы являются причиной этих ускорений?

Анализируя процесс, я пришёл к выводу, что причиной касательного ускорения является сила трения, возникающая в результате скольжения слоёв воды друг относительно друга, а центростремительное ускорение создаётся в результате того, что соприкасающиеся слои жидкости движутся с различными скоростями. Тогда на основании опыта и закона Бернулли можно сделать вывод, что между слоями жидкости существует разность давления р, которая по подобию подъёмной силы крыла, и определяет силу F = pS, обеспечивающую центростремительное ускорение частиц в нашем опыте.

Если мои рассуждения верны, то можно сделать следующий вывод:

1)при своём течении жидкость перемещается слоями, причём скорость каждого различна, в результате чего возникает взаимодействие слоёв жидкости и, следовательно, и сила жидкого или вязкого трения;

2)сила нормального давления N создается, как я сказал выше, вследствие разности давлений жидкости в слоях;

3)движение жидкости отдельными зонами и объясняется образование турбулентности (вихрей).

Есть ещё интересный факт, который я наблюдал в данном опыте (при замедлении движения жидкости, частицы полимера практически рывком возвращались к стенке сосуда). Почему? Я думаю разобраться в этом в следующих исследованиях.

Чтобы подтвердить это я провёл опыт по наблюдению образования турбулентных потоков в другой упругой среде (воздухе) на следующем опыте. Направил поток воздуха большой скорости на лёгкие длинные тела (ёлочный дождик). Заметил, что отдельные полоски дождика, попадающие в воздушный поток, сближаются и образуют полоску в виде конуса. Когда на пути воздушного потока находятся препятствия, то полоски изменяют направления, чётко просматриваются вихревые потоки в пространстве за препятствием.

Эти явления в газе, а, следовательно, их можно рассмотреть и на жидкости ёще раз подтверждают то, что в различных её слоях разные давления, то есть возникает сила избыточного давления, которая и обеспечивает изменение скорости различных слоёв жидкости и образование вихрей, турбулентных потоков.

Анализируя эти опыты, я подтвердил свои выводы об особенностях течения жидкости и наличия в ней внутреннего трения – вязкости.


Практическое определение вязкости жидкости (по методу Стокса.) Следующим этапом моей работы стало определение опытным путём вязкости жидкости. Из всех способов я выбрал метод Стокса, хотя в наших условиях провести его 34 Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных»

оказалось затруднительно, так как в нём необходимо использовать ртуть, что небезопасно для здоровья.

Для определения вязкости я использовал: высокий цилиндрический сосуд, различные виды жидкости (воду, растительное масло, спирт, раствор поваренной соли), измерительную линейку, штангенциркуль, ареометр, секундомер.

Если шарик падает в жидкости, простирающейся безгранично по всем направлениям, не оставляя за собой никаких завихрений ( малая скорость падения, маленький шарик), то, как показал Стокс, сила сопротивления равна:

f = 6 r,где - коэффициент внутреннего трения жидкости, - скорость шарика, r - радиус шарика.

В случае падения шарика в жидкости все три силы направлены по вертикали:

сила тяжести – вниз, подъёмная сила и сила сопротивления – вверх. Сила сопротивления с увеличением скорости движения шарика возрастает;

шарик достигает такой скорости, при которой все три силы будут в сумме равны 0.

Такое движение шарика называется установившимся. При этом шарик движется по инерции с постоянной скоростью. Для этого случая имеем:

43 r g r 3 1 g 6 r = 3 Здесь - плотность вещества шарика, - плотность жидкости, g – ускорение силы тяжести. Решая это уравнение относительно коэффициента внутреннего трения, получаем:

2 g r = v А если шарик падает вдоль оси цилиндрического сосуда с радиусом R, то учёт наличия стенок приводит к следующему выражению для коэффициента вязкости:

r = gr v0 (1 + 2,4 ) R Именно по этой формуле я и считал коэффициент внутреннего трения различных веществ.

Вода. Спирт. Масло. Раствор соли.

Дано: Дано: Дано: Дано:

h=28,3 10 2 м. h=22,8 10 2 м h=25,6 10 2 м h=16 10 м t=1,075 c t=0,8 с t=1,4 с t=2,4 с R=2 10 2 м R=2 10 2 м R=2 10 2 м R=2 10 м m=10,55 10 3 кг m=10,55 10 3 кг m=10,55 10 3 кг m=10,55 10 3 кг Найти: Найти: Найти: Найти:

=? =? =? =?

Решение.

r = gr v0 (1 + 2,4 ) R Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных» Вода.

2 9,81 (12,6) 2 10 6 =1361,11 10 = Па с 9 26,33 10 2, Спирт.

2 9,81 (12,6) 2 10 6 =2273,27 10 = Па с 9 28,5 10 2 2, Масло.

2 9,81 (12,6) 2 10 6 =2861,13 10 = Па с 9 18,3 10 2 2, Раствор соли.

2 9,81 (12,6) 2 10 6 =1868,92 10 = Па с 9 6,67 2,512 10 Выводы из опытов (зависимость вязкости от плотности и температуры).

Получив эти результаты, меня заинтересовал вопрос: «А зависит ли вязкость от плотности вещества?» Тогда я попробовал построить график зависимости вязкости от плотности вещества. Никакой зависимости я не увидел.

Следующие исследования я провёл с целью изучения зависимости вязкости жидкости (воды) от температуры.

Проделал ещё опыт по определению вязкости воды, но температуру её измерил 20, (нагревание проводил на лабораторной электроплите).

через В результате опытов и расчётов получил следующие данные, построил график зависимости вязкости от температуры и сделал вывод:

В зависимости от температуры, вязкость измеряется в пределах линейной зависимости (при повышении t вязкость уменьшается, при понижении – растёт). Всё это хорошо объясняется с точки зрения молекулярного строения жидкости. Таким образом, проведённые опыты и исследования, а так же их анализ привели к следующим выводам:

1)текучесть жидкости хорошо объясняется с точки зрения её молекулярного строения.

2)жидкость течёт слоями с различной скоростью, в результате чего возникает жидкостное трение – вязкость жидкости.

3)наличие вязкости и определить её величину можно опытным путем.

4)вязкость жидкости не зависит от её плотности.

5)вязкость жидкости линейно зависит от температуры.

Свои опыты я проводил в интервале от 10 до 80 0 С. Передо мной встал вопрос: «Что будет происходить с жидкостью при расширении этого интервала?» При повышении температуры вязкость, я думаю, будет понижаться. А что будет при кипении? Это, наверное, надо исследовать.

А при понижении температуры? Вязкость должна повышаться. Но ведь и жидкость должна перейти в твёрдое состояние. Всё это так, но есть жидкости, которые переходят в твёрдое состояние при очень низких температурах. Как же они ведут себя при этом? На этот вопрос ответили замечательные советские физики П. Л. Капица и Л. Д. Ландау. Они открыли и объяснили замечательные свойство гелия – сверхтекучесть.

Меня естественно заинтересовало это свойство – это значит, исчезают те эффекты, которые я наблюдал в своих опытах, отсутствует вязкость, трение, и гелий проходит через капилляры без всякого трения. Что это за явление, как оно осуществляется? Это следующий этап моей работы.

36 Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных»

Понятие сверхтекучести. Опыты, подтверждающие наличие явление сверхтекучести.

Сверхтекучестью называется обнаруженное у жидкого гелия явление практически полного отсутствия вязкости при течении его сквозь очень узкие капиллярные трубки 10 5 см.). Коэффициент вязкости в этом случае меньше 10 11 пуаза (радиусом r (для сравнения отметим значения вязкости некоторых веществ: воды - 10 2 пуаз, водорода - 10 4 пуаз).

Гелий является единственным в природе веществом, не затвердевающим при обычном давлении вплоть до температуры, равной абсолютному нулю. Его часто называют квантовой жидкостью.

С точки зрения квантовой механики тела вовсе не обязаны затвердевать. При абсолютном нуле частицы не покоятся, а совершают так называемые «нулевые» коле бания. Если связанный с ними запас энергии достаточно велик, то кристаллизации тела не происходит. Гелий является единственным веществом, в котором затвердевание при обычных условиях не наблюдается. Это обусловлено слабым взаимодействием инертных атомов гелия. Кроме того, у гелия, который является одним из самых легких элементов, энергия нулевых колебаний достаточно велика (напомним, что их частота обратно пропорциональна корню квадратному из массы частиц). Благодаря этим особенностям гелия физики и получили в свое распоряжение квантовую жидкость - макроскопическое вещество, поведение которого описывается законами квантовой теории.

Искусственным путем гелий можно перевести в твердое состояние. Для этого требуется подвергнуть его высокому давлению, достаточному для того, чтобы при сбли жении атомов решающей оказалась роль сцепления.

Существует, как известно, два изотопа гелия: 2Не4, ядро которого состоит из двух протонов и двух нейтронов, и более легкий изотоп 2He3, состоящий из нечетного числа частиц. В естественном виде гелий представляет собой вещество, в основном состоящее из более тяжелого изотопа. Успехи ядерной физики позволяют в настоящее время получать в достаточном количестве и 2Не3, так что по существу имеются две квантовые жидкости, довольно сильно отличающиеся по своим свойствам. Мы ограничимся пока рассмотрением обычного изотопа 2Не4.

Гелий становится жидким при температуре T = 4,22 °К (при атмосферном давлении) и остается жидким вплоть до абсолютного нуля. При температуре T = 2,19 °К в гелии наблюдается фазовый переход 2-го рода. Еще в 1932 г. Кеезом и Клазиус обнаружили вблизи этой температуры аномалию теплоемкости. График теплоемкости в этой области напоминает греческую букву, и поэтому наблюдаемое явление получило название явления, а соответствующая температура - - точки. При повышении внешнего давления - точка смещается в сторону более низких температур.

Таким образом, жидкий гелий может находиться в одной из двух фаз, разделяемых - точкой. Эти фазы получили название He I (выше T = 2,19°К) и He II (ниже - точки).

He I представляет собой обычную жидкость. В низкотемпературной же фазе дело обстоит совершенно иначе. He II характеризуется резкой аномалией физических свойств.

В 1938 г. П. Л. Капица в Институте физических проблем в Москве обнаружил, что движение жидкого He II по узкому капилляру или протекание его через щель ха рактеризуется полным отсутствием вязкости. Точнее говоря, было установлено, что при переходе через - точку вязкость становится меньше 10-11 пуаз.

Капица сделал вывод о том, что в проведенном эксперименте имеет место точное равенство вязкости He II нулю. Открытое им явление получило название сверхтекучести.

Эффект сверхтекучести аналогичен явлению сверхпроводимости. В сверхпроводниках заряженная электронная жидкость движется сквозь решетку кристалла, не обмениваясь с Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных» ней энергией и не испытывая тем самым сопротивления. Жидкий He II также протекает по капилляру без сопротивления, отсутствие которого связано с равенством нулю сил трения.

Сверхтекучесть «моложе» сверхпроводимости на двадцать семь лет. Однако если между открытием сверхпроводимости (1911 г.) и созданием его теории (1958 г.) прошло почти полвека, то со сверхтекучестью дело обстояло иначе. Природа явления стала понятной уже через три года после его открытия, в 1941 г., когда Л. Д. Ландау построил теорию сверхтекучести.

Вязкость He I составляет 10-5 пуаз. Как мы уже отмечали, она в сотни тысяч раз превосходит вязкость He II, измеряемую при протекании его в узком капилляре.

Существует, однако, другой метод измерения вязкости, при котором наблюдается затухание крутильных колебаний маятника, погруженного в жидкость. Оба этих метода дают обычно один и тот же результат. Однако при исследовании гелия наблюдается совершенно иная картина. Оказалось, что второй метод дает при переходе через точку значения вязкости He II, мало отличающиеся от вязкости He I. Таким образом, в одном эксперименте He II ведет себя как сверхтекучее вещество, в другом - как нормаль ная жидкость с конечным значением коэффициента вязкости.

Если обычная жидкость вытекает из сосуда, то это не сопровождается сколько-нибудь заметными температурными изменениями. При вытекании же жидкого гелия оказывается, что температура внутри сосуда, в котором он первоначально находился, повышается (механокалорический эффект), а температура самого гелия понижается.

Наблюдается и обратный, так называемый термомеханический эффект, или, как его часто называют, «фонтан-эффект». Если подвести тепло, нагревая светом трубку, заполненную мелким порошком и опущенную в гелиевую ванну, то из ее верхнего конца бьет фонтан, высота которого достигает 30 см над уровнем жидкости в ванне.

Одной из основных особенностей He II является его сверхтеплопроводность.

Особенно наглядно это свойство обнаруживается при понижении температуры Не путем откачки его паров. При этом наблюдается интенсивное кипение He I, происходящее во всем его объеме. Но при переходе через - точку кипение полностью прекращается. He II - спокойная жидкость, температура которой понижается посредством поверхностного испарения. Внезапное прекращение кипения - самое наглядное проявление перехода гелия в сверхтекучее состояние. Объясняется оно высокой теплопроводностью He II, не допускающей образования в каком-нибудь месте объема жидкости газовых пузырьков.

Измерения показали, что теплопроводность He II приблизительно в 200 раз превышает теплопроводность меди, взятой при комнатной температуре. Она во много мил лионов раз превосходит теплопроводность He I.

Изучение свойств жидкого гелия привело к созданию двухжидкостной модели, сходной во многих отношениях с двухжидкостной моделью сверхпроводящего состояния. В этой модели He II рассматривается как совокупность двух компонентов — нормального и сверхтекучего. Такое представление, обоснованное в теории Ландау, позволяет весьма наглядно описать все основные свойства сверхтекучей жидкости. Плотность жидкости р записывается в виде = +, n s где - плотность нормального компонента, свойства которого совершенно n аналогичны свойствам He I, — плотность сверхтекучей составляющей. При Т 0, s 0 и вся жидкость становится сверхтекучей. При переходе же через - точку n обращается в нуль сверхтекучая компонента. В двухжидкостной модели предполагается, что оба компонента могут свободно перемещаться друг относительно друга, не испытывая никакого взаимного трения. Сверхтекучая составляющая обладает нулевой энтропией и при своем движении вообще не переносит теплоты. Именно она не испытывает трения о стенки цилиндра и отвечает за появление эффекта сверхтекучести.

В опытах, в которых гелий протекал сквозь щели или двигался в тонких капиллярах, 38 Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных»

обнаруживается свободно, без трения, протекающий сверхтекучий компонент. Нормальная составляющая, испытывающая действие сил трения, движется значительно медленнее сверхтекучего компонента. Свободное протекание последнего и соответствует нулевому значению вязкости, т. е. явлению сверхтекучести. В опытах же, где вязкость определяется с помощью крутильных колебаний, маятник останавливается благодаря трению о нормальную составляющую. Колебания его затухают, что и соответствует конечному значению коэффициента вязкости. Таким образом, проведенные эксперименты не противоречат друг другу. В первом из них проявляется сверхтекучий компонент жидкого гелия, во втором — нормальный.

Теоретические основы сверхтекучести гелия «Фонтан-эффект» связан с тем, что при повышении в каком-либо месте температуры увеличивается - относительная концентрация нормального компонента. При этом n возникает движение сверхтекучей составляющей. Оно продолжается до тех пор, пока относительные концентрации не выровняются. Обратный поток нормальной составляющей затруднен наличием сил трения.

Сверхтеплопроводность He II также объясняется с помощью двухжидкостных представлений. Если в сверхтекучей жидкости создается разность температур, то воз никает поток сверхтекучего компонента, движущегося к более нагретым областям жидкости. Навстречу ему начинает двигаться нормальная составляющая, не испы тывающая в достаточно широком сосуде большого трения. Наличие этих конвективных встречных потоков и приводит к быстрому выравниванию температур, к аномально большой теплопроводности.

Отметим еще один эффект, наблюдаемый только в квантовой жидкости. Опустим в ванну, наполненную жидким гелием, два сосуда, также содержащие He II. Уровни жидкости в сосудах расположены на неодинаковой высоте. Оказывается, что они через некоторое время выравниваются, несмотря на то, что сосуды не соединены между собой. Объясняется этот эффект тем, что на стенках сосуда образуется тонкая гели евая пленка, по которой и движется так, как показано на рисунке, сверхтекучий компонент. Даже в случае, когда дно сосуда оказывается поднятым над поверхностью наполняющего ванну гелия, движение гелия по пленке приводит к тому, что он попадает в ванну, каплями стекая туда с нижнего основания сосуда.

Непосредственные измерения концентрации и были осуществлены в 1964 г. Э. Л.

s n Андроникашвили. Идея его опытов заключается в следующем. Если цилиндр, заполненный жидким He II, привести во вращательное движение, то момент инерции при этом окажется меньшим значения, наблюдаемого при вращении обычной жидкости.

Это связано с тем, что сверхтекучий компонент гелия не увлекается вращением сосуда. Э.Л.

Андроникашвили изучал движение не цилиндра, а Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных» стопки металлических дисков, погруженных в жидкий гелий. Такой метод позволял увеличить площадь соприкосновения вращающегося тела и жидкости. Отмечалась связанное с ростом сверхтекучего компонента уменьшение момента инерции с понижением температуры. На рисунке приведена полученная при этом зависимость n /.

В основе теории сверхтекучести, развитой Л.Д. Ландау в 1941 г., лежит утверждение о том, что всякое слабовозбужденное состояние квантовой системы, состоящей из многих тел, можно представить себе как совокупность элементарных возбуждений или квазичастиц.

Элементарные возбуждения характеризуются определенными значениями энергии и импульса. Существует связь между энергией квазичастицы и значениями ее импульса.

Ландау постулировал следующий вид спектра элементарных возбуждений в He II.

Начальный участок спектра соответствует линейной зависимости энергии от импульса. Линейная зависимость означает, что мы имеем дело с обычной звуковой ветвью спектра. Ей соответствуют звуковые кванты, или фононы.

С ростом импульса p кривая (р),как это видно из рисунка, отклоняется от линейной зависимости и проходит через максимум.

При некотором значении импульса р = ро отмечается минимум функции (р).

Квазичастицы, соответствующие области импульсов, близких к ро, называются ротонами.

Энергия ротона может быть записана в виде:

( p p0 ) = +, где — 2µ µ минимальное значение энергии, — эффективная масса ротона. Экспериментальные,µ данные соответствуют следующим значениям параметров и p0:

p = 8,5 K, µ = 0,16m He, = 1,9 108 см- h ( mHe – масса атома гелия).

Опираясь на основные положения метода элементарных возбуждений и изложенные выше особенности энергетического спектра Не II, Ландау показал, что квантовая жидкость действительно обладает свойством сверхтекучести.

Рассмотрим сначала жидкий гелий, протекающий со скоростью v в капилляре при Т = 0°К. Трение привело бы, прежде всего, к потере кинетической энергии движущейся жидкости и к связанному с этим уменьшению скорости ее течения. Но энергия жидкого гелия не может изменяться непрерывным образом. Первоначальному возбуждению соответствует появление квазичастицы с энергией (р). Относительно же стенок капилляра, энергия жидкости изменится при рождении в ней элементарного возбуждения + pv. Для того чтобы такое изменение было энергетически выгодным, на величину + pv 0.Если векторы pиv должно выполняться неравенство антипараллельны, что соответствует минимуму выражения стоящего в левой части этого неравенства, то и при этом должно выполняться условие:

- pv 0 (1) оно не имеет места при скоростях 40 Доклады учащихся средней школы №4 на XI региональной конференции «Творчество юных»

( p) v (2) p Условие (1) выполняется для сколь угодно малых скоростей только в случае, когда кривая (р) касается в какой-нибудь точке оси абсцисс.

Теория Ландау обосновала, таким образом, двухжидкостную модель сверхтекучего гелия и произведенную на ее основе интерпретацию опытных данных. В дальнейшем появились исследования, среди которых, прежде всего, следует отметить работы И. М.

Халатникова, в которых развита точная количественная теория многих эффектов, наблюдаемых в He II.

На основе своей теории Ландау развил гидродинамику сверхтекучей жидкости.

Отметим одну существенную особенность гидродинамики He II, резко отличающую его от обычных жидкостей. Хорошо известно, что для того, чтобы охарактеризовать течение обычной жидкости, достаточно задать вектор скорости в каждой точке движущегося потока.

vn и Движение же квантовой жидкости характеризуется не одним, а двумя векторами vs, соответствующими нормальному и сверхтекучему движению.

Одним из крупнейших достижений теории сверхтекучести явилось предсказание Ландау нового физического явления, так называемого «второго» звука.

Ландау было указано, что в сверхтекучем гелии могут распространяться звуковые волны двух типов, причем каждая из них характеризуется своей скоростью. К первому типу относятся обычные звуковые колебания, присутствующие и в обычной жидкости. Скорость др u1 u1 = распространения таких колебаний выражается обычной формулой:

д (p - давление в жидкости, - ее плотность).



Pages:   || 2 | 3 |
 



Похожие работы:





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.