авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
-- [ Страница 1 ] --

Академии наук Республики Таджикистан

Институт математики

Вологодский государственный технический университет

Таджикский национальный университет

СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ

МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Материалы международной научной конференции,

посвященной 70–летию члена–корреспондента

АН Республики Таджикистан

Мухамадиева Эргашбоя Мирзоевича

(Душанбе, 28-30 июня 2011 г.)

Душанбе – 2011 2 УДК 511+512+519.4, 517.956, 517.927 Материалы международной научной конференции “Cовременные проблемы математики и ее приложения”, посвященной 70–летию члена–корреспондента АН Республики Таджикистан Мухамадиева Эргашбоя Мирзоевича(Душанбе, 28-30 июня 2011 г.) В сборнике включены материалы, принятые оргкомитетом для участия в международной научной конференции “Современные проблемы математики и ее приложения”, посвященной 70-летию члена–корреспондента Академии на ук Республики Таджикистан Эргашбоя Мирзоевича Мухамадиева (Душанбе, 28-30 июня 2011 г.) Тематика докладов охватывает широкий спектр проблем качественного исследования дифференциальных уравнений, математического анализа, алгебры,теории чисел, информационные технологий и информатики.

Организационный комитет 1. Илолов М.И., академик АН РТ(председатель) 2. Рахмонов З.Х., член-корреспондент АН РТ(зам. председателя) 3. Соколов Л.И, доктор физ-мат. наук(зам. председателя) 4. Нуров И.Д., доктор физ-мат. наук(ученый секретарь) 5. Байзаев С., доктор физ-мат. наук 6. Борздыко В.И., доктор физ-мат. наук 7. Горбунов В.А., доктор физ-мат. наук 8. Мирзоев С.Х., кандидат физ-мат. наук 9. Михайлов Л.,Г., академик АН РТ 10. Мустафокулов Р.М., доктор физ-мат. наук 11. Собиров М.,К., кандидат физ-мат. наук 12. Юмагулов М.Г., доктор физ-мат. наук.

Материалы международной научной конференции посвященной 70-летию Мухамадиева Э.М.

ГОРДОСТЬ ТАДЖИКСКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ НАУКИ 8 августа 1941 исполнится 70 лет со дня рождения доктора физико- математических наук, член- корреспондента Академии наук республики Таджикистан, профессора Мухама диева Эргашбоя. Э. Мухамадиев родился 8 августа 1941 года в кишлаке Понгоз Аштского района Таджикской ССР. В 1959 г. после окончания средней школы, поступил на матема тическое отделение физико- - математического факультета Таджикского государственного университета, которого закончил с отличием в 1964 году. Уже в студенческие годы про явились яркие математические способности Эргашбоя Мухамадиева, на которые обратил внимание молодой тогда кандидат наук Стеценко Владислав Яковлевич- ученик всемирно известного воронежского математика Красносельского Марка Александровича. Именно он рекомендовал Красносельскому М.А. его в качестве аспиранта. Красносельский Марк Алек сандрович - крупный советский математик, основатель известной в стране и за рубежом научной школы по нелинейному анализу согласился быть научным руководителем молодого аспиранта Эргашбоя Мухамадиева. Так начался воронежский этап жизни и деятельности Э.



Мухамадиева.

Отметим, что в это время в Воронеже находился еще один аспирант из Таджикистана Са биров Тимур Сафарович. Он уже был хорошо известен в математической среде как талантли вый, сформировавшийся математик с незаурядными способностями. Эргашбой Мухамадиев сам неоднократно признавался,что математику по настоящему стал понимать благодаря Са бирову Т.С. Будучи аспирантами одной школы они между собой много общались, говорили, спорили и осваивали азы математической науки. Именно поэтому Э. Мухамадиев считает Сабирова Т.С. по праву своим первым учителем. За сравнительно небольшой срок Э. Муха мадиев, также как и Т. Сабиров становится активным участником широко известных тогда в науных семинаров, которыми руководили известные ученые М.А. Красносельский и С.Г.

Крейн. Следует отметить, что благодаря своим огромным трудолюбием, дисциплинированно сти, назурядными математическими способностями и безусловно врожденным талантом, эти двое спискали уважение и авторитет среди воронежских ученых и благодаря этому в даль нейшем образовалась крепкая связь между Воронежским и Таджикским госуниверситетами.

Отметим лишь, что благодаря этой связи, за короткий промежуток времени в Воронеже бы ли подготовлены только по математическим наукам более 30 кандидатов и докторов наук из числа Таджикистанцев. Во всем этом положили основу Стеценко В.Я., Сабиров Т.С. и Мухамадиев Э.М.

В 1967 году, до завершения срока аспирантуры, Э. Мухамадиев защитил кандидатскую диссертацию на Специализированном совете при Воронежском госуниверситете на тему "Вы числения вращения некоторого класса векторных полей". Ему, как молодому талантливому и перспективному ученому, было предложено остаться на работу в Воронжском госуниверсите те.Так началась трудовая деятельность Э. Мухамадиева в Воронежском госуниверситете, где проработал с 1967 по 1973 годы, занимая должности ассистента и инженера кафедры функ ционального анализа, старшего преподавателя кафедры общей математики и топологии, до цента кафедры алгебры и топологических методов анализа.Основными направлениями его научной деятельности в этот период стали исследования линейных и нелинейных дифферен циальных уравнений в пространствах периодических, почти периодических и ограниченных функций, топологические методы исследования вариационных задач. В этот период им были получены весомые научные результаты, в том числе:

- разработана теория периодических и ограниченных решений нелинейных систем обык новенных дифференциальных уравнений с главной однородной частью;





Современные проблемы математики и ее приложения - обобщена теорема Фавара о разрешимости неавтономных систем линейных обыкновен ных дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами в простран ствах ограниченных функций;

теперь этот раздел неавтономных систем называется "теорией Фавара-Мухамадиева";

- разработана теория разрешимости систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа с переменными коэффициентами в простран ствах почти периодических и ограниченных функций.

На основе этих результатов в последующем была представлена и защищена доктор ская диссертация на тему "Исследования по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных уравнений", в специализированном совете при ЛОМИ имени В.А. Стек лова (г. Санкт- Петербург, 1980 г.).

В 1973 г. Э. Мухамадиева пригласили на работу в Таджикском государственном уни верситете. С этого года начинается почти тридцатилетний период активной и чрезвычайно плодотворной научной, педагогической и организационной работы Эргашбоя Мухамадиева в Таджикистане. Он работал в Таджикском государственном университете имени В.И. Ленина на должности доцента кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений (1973-1976 гг.), в Математическом институте с вычислительным центром Академии наук Таджикской ССР на должностях заместителя директора по научной части, заведующего отделом прикладной математики (1976-1994 гг.), в Худжандском научном центре Академии наук Республики Таджикистан на должности заведующего отделом математики и информа тики (1994-2002 гг.).

Основными направлениями его научной деятельности в этот период стали линейные и нелинейные дифференциальные уравнения в различных функциональных пространствах, топологические методы решения операторных уравнений, методы и алгоритмы регуляриза ции некорректных задач, качественные математические методы в численном анализе, небес ной механики, математическое программирование и исследовании операций, теория ограни ченных решений автономных систем и т.д. Результаты исследования опубликованы в более чем 80 научных статьях в докладах Академии наук СССР и Российской Академии наук, Успехи математических наук, Математические заметки, Дифференциальные уравнения, Ав томатика и телемеханика, Прикладная математика и механика, Космические исследования, Журнал вычислительной математики и математической физики, Записки научного семи нара ЛОМИ им. В.А.Стеклова, а также Таджикистана - Доклады АН Таджикской ССР, Известия АН Таджикской ССР, и России - Доклады РАН, Известия ВУЗов, Известия Рос сийской Академии естественных наук и др.

Он руководил научными семинарами при кафедре функционального анализа и диф ференциальных уравнений Таджикского госуниверситете, при отделе прикладной математи ки Математического института АН РТ, а также при Худжандском научном центре АН РТ. На этих семинарах обсуждались актуальные проблемы современной математики. За этот период Э. Мухамадиевым были подготовлены 2 доктора и 13 кандидатов физико- математических наук.

Именно в этот период он защищает докторскую диссертацию(1980г.), ему присваи вается ученое звание профессора кафедры(1985г.), избирается член- корреспондентом АН РТ(1994г.) С 2002 г. Эргашбой Мухамадиев работает в Вологодском государственном техниче ском университете на должности профессора кафедры информационных систем и техно логий.Здесь он читает лекции студентам и аспирантам по курсу высшей математики, руко водит дипломными работами студентов, аспирантами, является научным консультантом док торских диссертаций, оппонирует кандидатские и докторские диссертации.Научный семинар по актуальным проблемам современной математики и ее приложений, которым руководит Материалы международной научной конференции посвященной 70-летию Мухамадиева Э.М.

профессор Э. Мухамадиев вносить большой вклад в научно - исследовательской деятельно сти студентов, аспирантов и молодых ученых. На заседаниях этого семинара выступают с докладами соискатели кандидатских и докторских диссертаций из из учебных и научных заведений Ярославля, Воронежа, Твери, Дубны, Калуги, Швеции, Таджикистана, Египта и др. городов России.

Результаты научных исследований профессора Э. Мухамадиева опубликованы в 2-х монографиях, 2-х учебниках и более чем 180 научных статьях, опубликованных в престиж нейших научных изданиях мира на русском, английском, немецком, китайским, арабском, и др. языках мира. Свои научные результаты он докладывал на многих международных конференциях,симпозиумах и семинарах, которые проходили в различных странах мира.

Эргашбой Мухамадиев ведет большую работу по подготовке высококвалифициро ванных научных и научно- педагогических кадров. Хотя под его руководством официально защищены 16 кандидатских и 2 докторские диссертации,его по праву считают своим учи телем гораздо большее количество ученых. Например, будучи доцентом Воронежского го суниверситета, он активно привлекал к научной работе студентов и аспирантов, многие из которых впоследствии стали кандидатами и докторами наук, среди которых Сапронов Ю.И., Звягин В.Г.,Израилевич Я.А., Близняков Н.М. В Таджикистане также во многом благодаря помощи и поддержки Эргашбоя Мирзоевича стали докторами и кандидатов наук Джумаев С., Евтеев В.П., Мустафокулов Р,Икромов А., Алиакбаров С. и другие. Многие из учеников Э. Мухамадиева сейчас успешно занимается научно- исследовательской деятельностью в Та джикистане, России, Узбекистане,Египте, Швеции, США и др. стран, достойно представляя и проодолжая славную традицию научной школы профессора Э. Мухамадиева.

Э.Мухамадиев - крупный ученый в области математики и ее приложений, прекрас ный педагог и организатор науки. Он внес значительный вклад во многие разделы совре менной математики, создал признанную в мире научную школу.В яркой и многогранной личности Эргашбоя Мухамадиева гармонично сочетаются талант ученого и учителя, орга низатора науки, замечательные личные качества. Человек огромного трудолюбия, всегда увлеченный и увлекающий окружающих новыми научными задачами, профессор Эргашбой Мухамадиев является примером истинного ученого для своих учеников и коллег.

Свое 70- летии Э. Мухамадиев встречает новыми научными идеями и творческим задором. В этот знаменательный день пожелаем ему доброго здоровья, счастья, больших успехов в его научной и педагогической деятельности.

Илолов М.И., Горбунов В. А., Юмагулов М. Г., Нуров И.Д., Мустафокулов Р.

Современные проблемы математики и ее приложения УДК 517. Об одном способе построения математических моделей по сейсмоданным Абдувосиева З.С.

(Российско – Таджикский (славянский) университет) Сейсмические данные в виде суммы магнитуд землетрясений по годам использованы в предлагаемой работе для построения математических моделей. В сейсмологии существует большое количество разнообразных моделей. Здесь показан способ формирования матема тических моделей с использованием аппарата временных рядов. Суммы магнитуд земле трясений по годам являются временным рядом и представлены графически на рисунке 1 в логарифмическом масштабе. Можно предположить, что рассматриваемые данные землетря сений описываются моделью, содержащей тренд и случайную составляющую.

Рисунок Важной составляющей временного ряда является тренд или тенденция развития про цесса. Исходные данные "зашумлены поэтому для выявления тренда ряд следует сгладить, выровнять. Выравнивание выполнялось методом скользящих средних. Интервал сглажива ния равный пяти годам показывает, что структура ряда неоднородна(рисунок 2).

Рисунок Сначала следуют циклические колебания с периодом равным 11 годам и возрастающий тренд, взаимодействующие между собой мультипликативно. А затем область, которую мож но представить параболой. Численная обработка области циклов дает числовое выражение циклической компоненты, но тренд, который при этом выявляется, сложно описать матема тически. В случаях, когда определение математической модели тренда явно зависимой от Материалы международной научной конференции посвященной 70-летию Мухамадиева Э.М.

времени не дает удовлетворительных результатов, можно использовать авторегрессионную модель тренда. В авторегрессионной модели тренда отображается взаимосвязь одного значе ния ряда от предыдущих, то есть зависимость от времени неявная. Авторегрессионая модель первого порядка имеет следующий вид: yt = b0 +b1 yt1, где yt, yt1 значения временного ряда соответственно в моменты t и t 1, а b0 и b1 - параметры модели, оценки которых вычисляются с помощью метода наименьших квадратов. Исследовались авторегрессионые модели исходных данных и сглаженных данных ряда с интервалами усреднения три года, пять лет. Сформированные модели плохо соответствовали сейсмическим данным. Лучшая с точки зрения значимости авторегрессионая модель первого порядка для тренда получена для сглаженных значений ряда с интервалом равным 11 годам. Эта модель имеет следующий вид: yt = 123, 93 + 0, 92yt 1, Коэффициент детерминации R2, оценивающий значимость математической модели трен да, высок и равен 0,838. Коэффициент детерминации R2 вычислялся по формуле: R2 = 1 De/Do, где De - оценка дисперсии ошибки;

Do - оценка общей дисперсии. Сформиро ванная модель тренда дает возможность прогнозирования на один год вперед.

УДК 517. Об одной оптимизационной задаче для приближенного решения периодической краевой задачи Азизов М.

(Таджикский государственный педагогический университет) В пространстве C = C[0,2] непрерывных периодических функций с обычной нормой · C рассматривается периодическая краевая задача r Ly y + r pi (t)y (i) = f (t), (1) i= y (i) (0) = y (i) (2), i = 0, 1,..., r 1, (2) где r 1, а коэффициенты pi (t) и f (t) некоторые гладкие функции. Задача (1)-(2) заменой [1]:

[ ] Dr (t ) + C u(t)dt, y(t) = где Dr (t) – функция Бернулли, C – произвольная постоянная, находящаяся в нашем распо ряжении, сводится к интегральному уравнению [ ] r Cp0 (t) pi (t)Dri (t ) u( )d + f (t).

u(t) = (3) 2 i= В рамках прямого метода, при котором приближенное решение u2n+1 (t) уравнения (3) опре деляется из следующего уравнения с вырожденным ядром [ ] r Cp0 (t) pi (t)Vn Dri (t ) u2n+1 (t)dt + f (t), u2n+1 (t) = (4) 2 i= Современные проблемы математики и ее приложения где Vn – оператор, сопоставляющий каждой суммируемой на [0, 2] функции (t) ее сумму Валле-Пуссена порядка n. Cледуя [2], рассмотрим общую постановку задачи об оптимизации прямых методов.

Пусть C µ пространство 2 -периодических функций имеющих непрерывные на [0, 2] производные до порядка µ включительно. Обозначим через класс уравнений вида (3) для которых выполнены условия: prµ (t) 0, µ = 1, 2,..., s;

(I pr )1 CC r, r 1;

Hr – интегральный оператор из (3) и pi C i, i = 0, 1, 2,..., r s 1;

f C r+1, = {0, 1,..., r+1 }. Как и в [2] под прямым методом приближенного решения (3) будем понимать произвольное правило D, по которому интегральному оператору Hr, из (3) сопоставляется подпространство FN C размерности N и оператор HN из C в FN такие, что уравнение UD = HN UD + f (5) однозначно разрешимо и UD берется в качестве приближенного решения уравнения (3). При фиксированном N множество всевозможных прямых методов D обозначим через DN. Ве личина E(, D) = sup U UD C, r,s, r,s, где U и UD решения уравнения (3) и (5) соответственно, а точная грань берется по всем r,s, r,s, уравнениям класса, является погрешностью метода D на классе. В рамках общего r,s, подхода [2] рассмотрим оптимизацию прямых методов решения уравнении (3) из класса в смысле величины N ( ) = inf E(, D).

r,s, r,s, DDN Доказано следующая Теорема. При s = 0, 1, 2,..., r 1, = 0, 1, 2,..., s + 1, r = 2, 3,...

N ( ) N s1.

r,s, r,s, Оптимальный порядок для класса реализует прямой метод, при котором приближен ное решение u2n+1, n = [(n 1)/2], уравнения (3) определяется из уравнения(4).

Литература 1. Алексенко М.И Приближенное решение периодической задачи // Весцi Академii навук БCCР, сер.физ.мат.навук. 1981, №6, c.54-58.

2. Preversev S.V. Optimization of Methods for Approximate Solution of Operator Equations.

Novq Science Publishers, Jnc. 1996, 330p.

УДК 517.948. О нагруженной краевой задачи Гильберта с допольнительными заданиями граничных моментов Акбаров Р.

(Кулябский государственный университет имени А. Рудаки) В круге |z| 1 рассмотрим нагруженную краевую задачу Гильберта [ ] n (t) Re = c(t) + k k (t), (1) a + ib k= Материалы международной научной конференции посвященной 70-летию Мухамадиева Э.М.

с дополнительными заданиями граничных моментов 2 Re hj (t)(t)dt = qj, j = 1, 2,... p, (2) где k (t)–заданные вещественные линейно–независимые функции, k - некоторые веще ственные постоянные, подлежащие определению, hj (t)- заданные вещественные функции а qj - заданные вещественные постоянные.

Теорема 1.Нагруженная краевая задача Гильберта (1) с дополнительными условиями (2) сводится к вещественной линейной алгебраической системе (л.а.с.) n l j0 0 + jk jk + jk bk + jk jk = dj, (j = 1, 2,... p) (3) k=1 k=1 k= l где j0, jk, jk, jk, dj - вполне определенные функции, состоящей из p вещественных урав нений с (2j + 1) + n неизвестными вещественными постоянными 0, k, k (k = 1, 2,... j) Пусть 0. Тогда решение представимо:

1) если p (2+1)+n, то задача (1,2) безусловно разрешима и ее общее решение задается формулой.

n (z) = z ei(z) { k k ()]/f racei + zei zd + Q(z)}, 1 () e [c() + (4) 2 k= 2 i где = Ind(a + ib), (z) = (x, y) + i1 (x, y) = 2 0 [arctg a() j ] ei +z d, Q(z) = i0 + b() e z ), c = + i содержит (2 + 1) + n p произвольных вещественных =1 (c z c z постоянных:

2)если p = (2 + 1) + n и определитель системы (3) отличен от нуля, то задачи (1) и (2) имеют и притом единственное решение.

3)если p (2 + 1) + n, то для разрешимости задачи (1) и (2) необходимо и достаточно равенства ранга( обозначаемого через r расширенной матрицы из (3) рангу основной матри цы из (3), тогда общее решение задачи содержит (2+1)+nr произвольных вещественных постоянных.

Переходя к случаю 0, нужно взять в (4) Q(z) 0, так что л.а.с. (3) примет вид n jk k = dj, j = 0, 1,... p, (5) k= и, кроме того, для разрешимости задачи (1) необходимо и достаточно, чтобы 1, 2,... n удовлетворяли условиям n k k = f, = 0, 1,... || 1, (6) k= где, f вполне определенные функции.

Теорема 2.Нагруженная краевая задача Гильберта (1) сводится к двум системам (5) и (6) в совокупности состоящими из p+ |j| вещественных уравнений с n произвольными вещественными постоянными 1 2... n. Пусть 0 Тогда:

1)если p + 2 n то задача (1,2) разрешима и ее общее решение, задаваемое формулой (4), где Q(z) 0 содержит n p 2|j| произвольных вещественных постоянных;

Современные проблемы математики и ее приложения 2) если p + 2 = n и определитель системы (5,6) отличен от нуля, то задача (1,2) имеет и притом единственное решение.

3)если p + 2 n, то для разрешимости задачи (1,2) необходимо и достаточно чтобы были равны ранги(обозначаемые через r ) расширенной матрицы, расширенных матриц в (5) и (6) объединяющей (1,2): тогда общее решение задачи содержит n r произвольных комплексных постоянных.

Литература 1. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

2. Михайлов Л.Г., Акбаров Р. ДАН РФ, 2009, том 425, є5, с. 1-5.

УДК 517. Моделирование тепловых процессов в монокристаллах InP и GaAs при облучении тяжелыми ионами высоких энергий Амирханов И.В., Дидык А.Ю., Музафаров Д.З., Сархадов И., Тухлиев З.К., Шарипов З.А.

(Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Россия ) Одной из актуальных задач радиационной физики является исследование воздействия тяжелых заряженных частиц высоких энергий на элементы микроэлектроники. Важными полупроводниками, по масштабам использования в микроэлектронике после кремния и гер мания является арсенид галлия (GaAs) и фосфид индия (InP). Фосфид индия перспективен для разработки сверхбыстрых интегральных схем.

В [1] представлены экспериментальные результаты по изменению структуры поверхности и объемных свойств монокристаллического InP и GaAs при облучении различными тяжелы ми ионами высоких энергий.

В настоящей работе проведено исследование тепловых процессов в монокристаллах InP и GaAs при облучении различными тяжелыми ионами высоких энергий в рамках модели термического пика [2,3].

С учетом аксиальной симметрии система уравнений для определения решеточной и элек тронной температур в цилиндрической системе координат может быть записана в виде [3]:

( ) ( ) Te 1 Te Te Ce (Te ) = re (Te ) + e (Te ) t r r r z z g(Te )(Te Ti ) + A(r, z, t), (1) ( ) ( ) T 1 Ti Ti (Ti ) + g(Te )(Te Ti ).

C(Ti ) = ri (Ti ) + i t r r r z z Система уравнений (1) дополняется следующими начальными и граничными условиями:

Te,i (r, z, 0) = T0 = 300 K, (2) Te,i (r, z, t) Te,i (r, z, t) = 0, = 0, Te,i (Rmax, z, t) = Te,i (r, Zmax, t) = T0. (3) r z r=0 z= Функция Ae (r, z, t) - объемная плотность вносимой ионом мощности (источник) имеет вид: ( ) ( ) (t te0 )2 r Ae (r, z, t) = be Sinel0 exp exp µe (z). (4) 2et re Материалы международной научной конференции посвященной 70-летию Мухамадиева Э.М.

Параметры системы (1) - (4) подробно описаны в [3].

Для численного решения системы уравнений (1) - (4) была использована конечно разностная схема переменных направлений с порядком аппроксимации O(ht + h2 + h2 ) [4].

r z В работе получены результаты численного исследования температур электронного газа и решетки облучаемых материалов. Проведен численный анализ расчетных схем. Оценены размеры областей, где происходят процессы плавления и могут происходить структурные изменения в облучаемых материалах.

Литература 1. Дидык А.Ю., Халил А.С. Свойства фосфида индия и отдельных соединений при облу чении тяжелыми ионами высоких энергий (анг). Физика элементарных частиц и атом ного ядра (ЭЧАЯ). 2010. Т.41. Вып.2. С. 431-521.

2. Лифщиц И.М. Докл. АН СССР. 1956. Т.109. №6. С.1109-1111.

3. Амирханов И.В., Дидык А.Ю., Пузынин И.В. и др. Физика элементарных частиц и атомного ядра (ЭЧАЯ). 2006. Т.37. Вып.6. С.1592-1644.

4. Zhang Tao – Acta Math. Sinica, 1991, vol.7, №3, pp.259–272.

5. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1977. С.474-490.

УДК 511. О числе целых точек на некоторых поверхностях второго порядка Бабаева Р.

( Таджикский национальный университет) Пусть r(m) число представлений m в виде суммы двух квадратов целых чисел x и y, f (z) = az 2 + bz + c неприводимый квадратичный полином, (a, b, c) = 1, a 0, через S(T, a, b, c) обозначим количество целых точек (x, y, z) в поверхности x2 + y 2 = f (z), z T, то есть S = S(T, a, b, c) = r(f (z)).

1zT В работе [1] мы доказали следующую теорему улучшающую результаты работы [2].

Теорема 1. Если b2 4ac = µ2, µ- целое, µ = 0, то S(T, a, b, c) = AT log T + O(T ), где A– положительная постоянная.

В этой заметке мы исследуем задачу в общем случае неприводимого примитивного квад ратичного полинома f (z) = az 2 + bz + c. При этом, там, где это возможно, выделяем второй главный член. Наш основной результат следующий:

Теорема 2.Пусть D = b2 4ac, неравно полному квадрату целого числа. Тогда, если D = µ2, µ- целое, то при T S(T, a, b, c) = A1 T log T + B1 T + O(T 8/9 log3 T ).

Если же D = µ2, то S(T, a, b, c) = A2 T + O(T 8/9 log3 T ), где A– положительная постоянная, A2, B1 - постоянные.

Современные проблемы математики и ее приложения Литература 1. Р. Бабаева. Оценка количества целых точек на некоторых поверхностях второго поряд ка // Мат. заметки, вып.6, том 32, 1982, с. 853 – 868.

2. E.J. Scoureld // The divisors of a quadratic polynomials, Proc. Glasgow Math. Soc., (1961), 8 – 20.

УДК 517. О разрешимости одной двумерной эллиптической системы в пространстве S Байзаев С.

(ТГУ права, бизнеса и политики) В докладе для системы двух комплексных уравнений эллиптического типа на плоскости wz + Aw = 0 (1) с постоянной матрицей второго порядка A рассмотрены задачи о решениях из S пространства умеренно растущих распределений, а также решениях степенного роста.

Вторая задача для частных матриц A изучалась В.С. Виноградовым [1] и Д. Сафаровым [2]. Вышеуказанные задачи для случая произвольной комплексной матрицы порядка n полностью решены в [3, 4]. Условия нетривиальной разрешимости пишутся через собствен ные значения матрицы AA. Ниже для случая n = 2 приводятся частично опубликованные результаты, формулируемые непосредственно через элементы матрицы A.

Введем некоторые обозначения: B множество решений системы (1) из пространства S ;

PN множество решений системы (1), растущих на бесконечности не быстрее чем |z|N, N = ( b) 0, 1,...;

M класс комплексных матриц A = a d, удовлетворяющих условиям c ad = bc, |a| = |d|, |a2 | + bc 0, adbc 0.

Справедливы следующие утверждения:

Теорема.

PN, т. е. каждое решение системы (1) из S 1) Имеет место равенство B = N = растет на бесконечности не быстрее степенной функции;

2) Если A M, то каждое множество PN как линейное пространство является беско нечномерным, причем в каждом PN имеется континуум линейно независимых функций;

3) Если A M, то пространство PN для каждого N является конечномерным, причем / PN = {0}, если матрица A является невырожденной, dim PN = 4(N + 1), если A = 0, { 4N + 2 при a + b = 0, dim PN = 2N + 2 при a + b = 0, (a b) если A = a b, здесь комплексное число, |a| + |b| 0. ( ) Последняя формула справедлива и в случае, когда A = 0 d, |c| + |d| 0, но только c вместо a + b нужно взять d.

Материалы международной научной конференции посвященной 70-летию Мухамадиева Э.М.

Литература 1. Виноградов В.С. В сб.: Комплексный анализ и его приложения. М.: Наука, 1978. С. - 125.

2. Сафаров Д. Дифференциальные уравнения. 1979. Т.15, No. 1. С. 112 - 115.

3. Байзаев С. Доклады АН ТаджССР, 1991. Т. 34, No. 6. С. 329 - 332.

4. Байзаев С. Эллиптические системы с ограниченными коэффициентами на плоскости.

Новосибирск, 1999. 75 с.

УДК 517.937+519. Исследование линейных дифференциальных уравнений и операторов с неограниченными операторными коэффициентами методами спектральной теории разностных операторов и линейных отношений Баскаков А.Г.

(Воронежский государственный университет) Многие свойства решений (ограниченность, почти периодичность, устойчивость) линей ных дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коеффициентами тес но связаны с соответствующими свойствами дифференциального оператора, определяющего рассматриваемое уравнение и действующего в подходящем функциональном пространстве.

Его тсвойства обратимости, корректности, фредгольмовости, структура спектра зависят от размерности ядра, коразмерности образа, их дополняемости. Вводится понятие состояния ли нейного отношения (многозначного линейного оператора), с которым ассоциируется совокуп ность свойств его ядра и образа. Изучаемому дифференциальному оператору (соответству щему уравнению) сопоставляется линейный разностный оператор (разностное отношение) и получены утверждения о совпадении множества их состояний, необходимые и достаточ ные условия их фредгольмовости. При доказательстве основных результатов существенно используется свойство экспоненциальной дихотомии свойства эволюционных операторов и спектральная теория линейных отношений. Делается обзор результатов об оценке норм обратных операторов, по применению метода подобных операторов, спектральной теории дифференциальных операторов в весовых пространствах функций.

Литература 1. Баскаков А.Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограничен ными операторными коэффициентами, разностные отношения полугруппы разностнх отношений//Известия РАН. Сер. математика 73:2 (2009), 3-68.

2. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных дифференциальных операторов и полу группы разностнх операторов//Докл. РАН. 343:3 (1995), 295-298.

3. Баскаков А.Г. Полугруппы разностнх операторов в спектральном анализелинейных дифференциальных операторов//Функц. анализ и его прилоджения,30:3(1996), 1-11.

Современные проблемы математики и ее приложения УДК 517 Представление многообразия решений и краевые задачи типа линейного сопряжения для одного модельного уравнения четвертого порядка гиперболического типа с сингулярной линией Болтаев К.С.

(ТТУ им. акад. М.С. Осими) Рассмотрим уравнение вида L2 u Lµ Lµ u = 0, µ = const. (1) µ + + = {(x, y) : x, 0 y }, в области где = 2 2 µ = {(x, y) : x, y 0}, где Lµ 2.

|y| y x y Для уравнения (1) в области получено многообразия решений в виде степенных или обобщенных степенных рядов. На основе этих преставлений выяснена корректная постановка задач и найдено решение поставленных задач типа линейного сопряжения.

Введем новую функций v(x, y), пологая v(x, y) = Lµ u.

Тогда уравнение (1) приводится к виду Lµ v(x, y) = 0.

Через A ( ) обозначим класс функций u(x, y), представимых в виде u(x, y) = |y| uk (x) |y|k, = const k= где uk (x) бесконечно дифференцируемые функции.

Через B обозначим класс функций f (x), имеющих непрерывные производные любого порядка, все производные, которые ограниченны одной константой.

Решение уравнения (1) которое выражается линейно через m произвольные функции класса B, назовем решением класса WB ( ).

Доказаны следующие утверждения: Теорема 1. Любое решение уравнения (1) из класса W4 ( ), при = 0, µ = (2k 1), (y 0);

µ = 2k 1, (y 0);

µ = ±(2k 1), (y = 0), k = 1, 2,..., представимо в виде {+ y u1 (x, y), y 0, где u+ (x, y) = Dµ (1 ) + + D+ (f1 ), u(x, y) = u (x, y), y 0;

2(1 + µ) 2+µ y u (x, y) = Dµ (2 ) + D (f2 ), i (x), fi (x) B.

2(1 µ) 2µ f (2k) (x) ± y 2k.

D (f ) = f (x) + k 2k k! (2l + 1 + ) k= l= Материалы международной научной конференции посвященной 70-летию Мухамадиева Э.М.

Теорема 2. Любое решение уравнения (1) из класса W4 ( ), при = 1 µ, µ = 2k + 1, (y 0);

= 1 + µ, µ = (2k + 1), (y 0);

µ = ±(2k + 1), (y = 0);

k = 1, 2,...,представимо в виде {+ u2 (x, y), y 0, y 3µ где u+ (x, y) = y 1µ D2µ (l1 (x)) + + D+ (g (x)), u2 (x, y) = u (x, y), y 0;

2(3µ) 4µ (y)3+µ u (x, y) = (y)1+µ D2+µ (l2 (x)) + D (g2 (x)), li (x), gi (x) B i = 1, 2.

2(3 + µ) 4+µ Теорема 3. Любое решение уравнения (1) из класса W8 ( ), при µ = ±(2k ± 1), (y 0);

µ = ±(2k 1), (y 0);

µ = ±(2k 1), (y = 0);

k = 1, 2,..., {+ u+ (x, y) = u+ (x, y) + u+ (x, y), u (x, y), y 0, 1 представимо в виде u(x, y) = где u (x, y) = u (x, y) + u (x, y).

u (x, y), y 0;

1 Полученные представления многообразия решений уравнения (1) дают возможность в области решать следующие граничные задачи типа линейного сопряжения. Задача 1. Требуется найти решение уравнения (1) из класса W4 ( ), при µ = ±(2k 1), k = 1, 2,..., когда заданы условия () ( ) ( ) + ci (u )y=0 + di Lµ u ai u+ + bi Lµ u+ ) = i (x), i = 1, 4, y=+0 y=+0 y= где ai, bi, ci, di заданные постоянные числа, i (x) B. Задача 2. Требуется найти решение уравнения (1) из класса W4 ( ), при µ = ±(2k + 1), k = 1, 2,..., когда заданы условия ai (y µ1 u+ )|y=+0 + bi (y µ1 Lµ u+ )|y=+0 + ci ((y)µ+1 u )y=0 + di ((y)µ+1 Lµ u )|y=0 = = gi (x), i = 1, 4, ai, bi, ci, di заданные постоянные числа, gi (x) B Задача 3. Требуется найти решение уравнения (1) из класса W8 ( ), при 1 µ 1, удовлетворяющее условиям ( ) ( ) + µ u + li u |y= ai u |y=+0 + bi y + ci Lµ u+ |y=+0 + di y µ · y Lµ u+ + y ( ) y=+ ( ) y= µ u µ + ni (Lµ u )|y=0 + ki (y) · +mi (y) y Lµ u = i (x), i = 1, 8, y y=0 y= ai, bi, ci, di, li, mi, ni, ki заданные постоянные числа. g(x) B УДК 517. Об исследовании математических моделей в экологии и биологии на существование положительных периодических решений Борздыко В.И.

(Институт математики АН РТ) Рассмотрим в евклидовом пространстве Rn функционально- дифференциальное урав нение с запаздыванием dx(t) = F (t, xt ) (1) dt Современные проблемы математики и ее приложения Здесь символом xt обозначена вектор - функция x(s) со значениями в Rn, определенная при s t и принадлежащая некоторому классу вектор функций D, содержащему L, где L класс кусочно - непрерывных на (, ) вектор - функций со значениями в Rn, компоненты которых могут иметь разрывы только первого рода и только в точках sk = k, k = 0, ±1,...

F (t, xt ) : R1 D Rn.

Используя разработанный автором на основе "альтернативного принципа"М.А. Красносель ского метод доказательства существования нетривиальных неотрицательных относительно конуса K в Rn периодических решений для уравнений вида (1) с дискретным или непрерыв ным запаздыванием [1] проведено исследование ряда математических моделей в экологии [2,3] и математической модели управления синтезом фермента в биохимическом процессе.

Вот некоторые из этих моделей. Система "хищник - жертва"с непрерывным запаздыванием [3] dx1 (t) = a(t)x1 (t) b1 (t)x1 (t) x1 (t h)dh 1 (t, h) c1 (t)x1 (t) x2 (t h)dh 2 (t, h) + f (t) dt 0 dx2 (t) = e(t)x2 (t) b2 (t)x2 (t) + c2 (t) x1 (t h)dh 3 (t, h) x2 (t h)dh 4 (t, h) + g(t). (2) dt 0 Модель "хищник- жертва"с запаздыванием, модифицированная по схемам Лесли- Гоуве ра и II типу Холлинга [4] = x1 (t){a(t) b(t)x1 (t 1 (t)) mc(t)x2 (t2 (t)) } + f (t) dx1 (t) dt 1 (t)+x1 (t2 (t)), (3) = x2 (t)[r(t) m2 (t)+x1 (t2 (t)) ] + g(t) dx2 (t) d(t)x2 (t2 (t)) dt В (2), (3), x1 (t), x2 (t) плотности численности в момент времени t соответственно для популяций жертва и хищника.

Исследованная математическая модель управления синтезом фермента в биохимическом процессе имеет вид системы с запаздыванием [5].

dx1 (t)x1 (t), = 1 + x3 (t 1 (t)) dt dx = x1 (t 2 (t)) (t)x2 (t), dt dx = x2 (t) (t)x3 (t), (4) dt Коэффициенты в системах (2)- (4) предполагаются непрерывными периодическими и по ложительными (в некоторых случаях допускается их неотрицательность), функции f (t) 0, g(t) 0, i (t) 0, i = 1, 2 t (, +) непрерывные и периодические;

функции i (t, h) непрерывны по h при h [0, ), измеримы по t на 0 t ;

i (t +, h) i (t, h), dh i (t, h) 0, при t (, ), h [0, +). При некоторых дополнительных неограничи тельных предположениях о коэффициентах систем (2), (4), и функциях i (t, h) доказано Материалы международной научной конференции посвященной 70-летию Мухамадиева Э.М.

существование у каждой из систем (2)-(4) по крайней мере одного нетривиального неотрица тельного периодического решения. Отметим, что периодичность коэффициентов систем (2)-(4) по времени t отражает факт влияния циклических изменений со временем пара метров окружающей среды на возникновение периодических режимов у рассматриваемых экологических и химико- биологических систем.

Литература 1. Борздыко В.И. Изв. АН Тадж. СССР Отд. физ.мат. и геол.-хим. наук, 1982, 1, с. 27-36.

2. Борздыко В.И.Дифференциальные уравнения, 2002, т. 38, є 3, с. 291-297.

3. Борздыко В.И. - Украинский математический журнал, 2010, т. 62,є1, с. 15-28.

4. Chunyan J, Dajing Jiang Ningzhong Shi- j. Math. Anal., 2009, v.359, p. 482-498.

5. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983, 397 с.

УДК 512. Об алгебраических условиях локального экстремума функции двух переменных Близняков Н.М.

(Воронежский государственный университет) Рассматривается классическая задача нахождения условий локального экстремума (строгого) функций двух действительных переменных. Задача рассматривалась разными авторами. В работах П.П. Забрейко, А.В. Кривко-Красько [1], [2] дано полное исследова ние проблемы с градуировкой сложности по однородным составляющим и по диаграммам Ньютона функции (там же имеется история вопроса);

предложенный ими алгоритм требует решения алгебраических уравнений, вообще говоря, произвольных степеней, что является серьзным ограничением для использования алгоритма в прикладных задачах. Известно (см. напр. [3]), что задача о локальном экстремуме "почти всегда" может быть решена в результате конечного числа арифметических и логических операций над коэффициентами тейлоровского разложения функции в данной точке. Это утверждение, однако, не может быть использовано на практике в силу исключительной громоздкости алгоритма Тарского Зайденберга (см. напр. [4]), являющегося базовым при решении задач об алгебраической разрешимости.

В докладе предлагаются вполне обозримые необходимые и достаточные условия, позво ляющие выяснить, является ли данная точка плоскости точкой экстремума многочлена из R[x, y], в результате конечного числа арифметических операций и функции sign над коэф фициентами многочлена.

Не ограничивая степени общности будем формулировать условия экстремума в нулевой точке (0, 0) для функции, равной в этой точке нулю. Для удобства формулировок исключим из рассмотрения тривиальный случай отсутствия экстремума, когда исследуемый многочлен F (x, y) удовлетворяет условию F (x, 0) 0.

Введем необходимые обозначения. Пусть f (x) = a0 xk + a1 xk1 + · · · + ak и g(x) = b0 xk + b1 xk1 + · · · + bk — многочлены из R[x] и ak = 0. Для всякого i = 1,..., k Современные проблемы математики и ее приложения обозначим a0 a1......... a2i b0 b1......... b2i 0 a0......... a2i i (f, g) = 0 b0......... b2i2 (aj = bj = 0 при j k).

..........................

a0... a i b0... b i Для всякого многочлена h() = c0 s + c1 s1 + · · · + cs R[] обозначим las h() последнее отличное от нуля число в ряду его коэффициентов c0, c1,..., cs. Пусть µ0, µ1,..., µr — после довательность действительных чисел, причм µ0 = 0, µr = 0. Заменим в последовательности нули (если они имеются) на ненулевые числа по правилу: для всякой группы подряд идущих нулей µp+1 = · · · = µp+q (µp = 0, µp+q+1 = 0) заменим µp+i (1 q ) на (1)i(i1)/2 µp.

i Число знакоперемен в полученной последовательности обозначим V (µ0,..., µr ).

Теорема. Пусть F (x, y) — многочлен из кольца R[x, y] степени n и k его степень по переменной x. Пусть F (0,0) = 0 и F (x,0)0. Обозначим многочлены от переменной :

/ ( ) F (1) i () = i F (x, ), x (x, ), n+1 n+ x ( ) F (2) i () = i F (x +, ), x n+1 n+ (x +, ), x ( ) F (3) i () = i F (x, ), x (x, ), n+1 n+ x ( ) F (4) i () = i F (x +, ), x (x +, ), i = 1, 2,..., k.

n+1 n+ x (i) Пусть mi () — последний отличный от тождественного нуля многочлен в ряду (i) (i) (i) 1 (), 2 (),..., k (), i = 1, 2, 3, 4. Точка (0, 0) является точкой экстремума много члена F (x, y) тогда и только тогда, когда справедливо равенство (( ) (1) (1) m1 m2 + m3 m4 2 V 1, las 1 (),..., las m1 () ( ) ( ) (2) (2) (3) (3) V 1, las 1 (),..., las m2 () + V 1, las 1 (),..., las m3 () )) ( (4) (4) V 1, las 1 (),..., las m4 () = 0.

Если точка (0, 0) является точкой экстремума многочлена F (x, y), то при las F (x, 0) 0 она является точкой минимума, а при las F (x, 0) 0 — точкой максимума.

Метод позволяет также решать задачу о наличии экстремума в данной точке плоскости всякой бесконечно гладкой функции в этой точке во всех тех случаях, когда экстремум определяется конечным числом членов ряда Тейлора функции в данной точке.

Литература 1. Забрейко П.П. Общие условия локального минимума гладких функций двух перемен ных / П.П. Забрейко, А.В. Кривко-Красько // Докл. Национальной академии наук Беларуси. – 2007. – Т. 51, №5. – С. 11-16.

Материалы международной научной конференции посвященной 70-летию Мухамадиева Э.М.

2. Забрейко П.П. Условия локального минимума функций двух переменных и диаграмма Ньютона / П.П. Забрейко, А.В. Кривко-Красько // Докл. Национальной академии наук Беларуси. – 2007. – Т. 51, №6. – С. 30-34.

3. Арнольд В.И. О локальных задачах анализа / В.И. Арнольд // Вестник Московского университета. Сер. Математика. Механика. – 1970. – №2. – С. 52-56.

4. Горин Е.А. Об асимптотических свойствах многочленов и алгебраических функций от нескольких переменных / Е.А. Горин // Успехи математических наук. – 1961. – Т. 16, вып. 1(97). – С. 91-117.

5. Близняков Н.М. Индексы Коши и индекс особой точки векторного поля / Н.М. Близ няков // Применение топологии в современном анализе : сб. / Воронеж. гос. ун-т. – Воронеж, 1985. – С. 3-21.

УДК 517. О гомотопической классификации одного множества нелинейных краевых задачи на плоскости Быстрецкий М.В.

( Вологодский государственный педагогический университет) Рассмотрим краевую задачу z = (z )m + f (t, z, z ), z C, 0 t 1, (1) z (0) = z(0) + h0 (z), z (1) = Az(0) + h1 (z), (2) где C - комплексная плоскость, A : C C — линейное отображение, m — целое число, боль шее единицы, f : [0, 1] C C C, h0, h1 : C 1 ([0, 1];

C) C — непрерывные отображения, такие, что max |f (t, z1, z2 )|(|z1 | + |z2 |)m 0 при |z1 | + |z2 |, (3) 0t ||z||1 |hj (z)| 0 при ||z||C 1 = ||z||C + ||z ||C, j = 0, 1. (4) C Будем говорить, что задача (1), (2) допускает априорную оценку, если множество решений задачи либо пусто, либо ограничено по норме пространства C 1 ([0, 1];

C), т.е. существует M 0 такое, что для любого решения задачи верна оценка ||z||C 1 M. Из результатов работы [1] вытекает, что задача (1), (2) допускает априорную оценку, если выполнено следующее условие: Az0 = 0, arg(Az0 ) = 2k/(m + 1), k = 0, 1,..., m для любого ненулевого z0 C, arg z0 = (2n + 1)/(m + 1), n = 0, 1,..., m. Множество линейных отображений A : C C, удовлетворяющих этому условию, обозначим через Pm. На множестве Pm введем метрику (A1, A2 ) = max |A1 z A2 z|.

|z|= В каждой связной компоненте метрического пространства Pm согласно работе [1] свойство разрешимости краевой задачи (1), (2) при любых возмущениях f, h0, h1, удовлетворяющих условиям (3), (4), инвариантно.

Задачу описания связных компонент метрического пространства Pm называем задачей гомотопической классификации краевых задач вида (1), (2). В настоящей работе задача гомотопической классификации исследована при m = 2 и m = 3.

Обозначим { ( )} 2j 2(j + 1) Nj = a C \ {0} : arg a +,, j = 0, 1,..., m.

m+1 m+1 m+ Современные проблемы математики и ее приложения Каждому A P2 поставим в соответствие тройку (j1, j2, j3 ), j1, j2, j3 {0, 1, 2}, если Ae Nj1, Ae1 Nj2, A(e0 + e1 ) Nj3, где e0 = ei/3, e1 = e5i/3. Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Метрическое пространство P2 состоит из 24 связных компонент, где каж дая связная компонента однозначно определяется какой нибудь тройкой чисел (j1, j2, j3 ), j1, j2, j3 {0, 1, 2}, за исключением троек (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Обозначим f0 = ei/4, f1 = e7i/4. Каждому A P3 поставим в соответствие четврку (j1, j2, j3, j4 ), j1, j2, j3, j4 {0, 1, 2, 3}, если Af0 Nj1, Af1 Nj2, Af0 Nj3, Af1 Nj4.

Теорема 2. Метрическое пространство P3 состоит из 16 связных компонент, где каж дая связная компонента однозначно определяется какой нибудь из четврок (0, 0, 2, 2), (1, 1, 3, 3), (2, 2, 0, 0), (3, 3, 1, 1), (0, 1, 2, 3), (1, 2, 3, 0), (2, 3, 0, 1), (3, 0, 1, 2), (0, 2, 2, 0), (1, 3, 3, 1), (2, 0, 0, 2), (3, 1, 1, 3), (0, 3, 2, 1), (1, 0, 3, 2), (2, 1, 0, 3), (3, 2, 1, 0).

Литература 1. Наимов А.Н., Быстрецкий М.В. Об априорной оценке и разрешимости третьей двухто чечной краевой задачи // Дифференциальные уравнения. – 2010.–Т.46, №2.–С.280-284.

УДК 517. К задаче о бифуркациях циклов из резонансных точек покоя Владимирова Е.В., Карпова А.П., Сапронов Ю.И.

(Воронеж, ВорГУ) Имеется достаточно большое число публикаций, посвященных разработке и практиче ской апробации методов исследования зарождения периодических волн, вихревых структр и циклов динамических систем вблизи стационарных состояний со сложными вырождениями (см., например, [1] – [3] и литературу в этих источниках). Но все же проблема разработки методов исследования многомодового циклогенеза остается все еще актуальной.

Данное сообщение связано с многомодовым циклогенезом и посвящено вопросу прибли женного вычисление амплитуд циклов, бифурцирующих при наличии резонансов. Методоло гическую основу предложенной процедуры составляет теория гладких SO(2)эквивариант ных фредгольмовых уравнений в банаховых пространствах [3]–[5]. Для систем гидродинами ческого типа получено описание главной части ключевого уравнения в мало исследованных случаях резонансов 1:1, 1:1:1, 1:2:2, 1:2:3 и др.

Литература 1. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука. 1984.

432 с.

2. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла.

М.: Мир. 1985. 280 с.

3. Карпова А.П., Сапронов Ю.И. Приближенное вычисление амплитуд циклов, бифурци рующих при наличии резонансов// Вестник Удмуртского университета. Математика.

Механика. Компьютерные науки. 2008, вып. 3. С.12-22.

4. Красносельский М.А., Бобылев Н.А., Мухамадиев Э.М. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления// ДАН СССР. – 1978. – Т. 240, №3. – С. 530-533.

Материалы международной научной конференции посвященной 70-летию Мухамадиева Э.М.

5. Карпова А.П., Ладыкина У.В., Сапронов Ю.И. Бифуркационный анализ фредгольмо вых уравнений с круговой симметрией и его приложения// Математические модели и операторные уравнения. - Т. 5, ч. 1. Воронеж: ВорГУ, изд-во “Созвездие”, 2008. С.45-90.

6. Карпова А.П., Копытин Н.А., Сапронов Ю.И. Ключевые уравнения в динамических си стемах с 2-кратными резонансами// Математические модели и операторные уравнения.

Том 6. Воронеж: ВГУ, изд-во “Созвездие”, 2009. С.51-58.

УДК 517. Принцип максимума для одного класса эллиптических систем Воситова Д.А.

( Худжандский государственный университет им. академика Б.Гафурова) Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с частными производными, запи санную в матричной форме:

LU Ux + AUy + BU = 0, (1) (u ) ( a1 a2 ) ( b1 b2 ) где U = v, - искомая вектор-функция, A = a3 a4 и B = b3 b4, квадратные матрицы 2-го порядка. Предположим, что система (1) является эллиптической, т. е. выполнено условие (a1 a4 )2 + 4a2 a3 0.

Как известно [1], для эллиптических уравнений справедлив принцип максимума, что касается эллиптических систем, то для ряда таких систем принцип максимума имеет место в той или иной форме [2].

Оказывается для систем вида (1) имеет место следующее утверждение о принципе мак симума.

Теорема ) Пусть коэффициенты системы (1) являются постоянными. Пусть det B ( u 1.

0 и U = v, является решением системы (1). Тогда функции u и v не имеют локаль ных положительных максимумов и отрицательных минимумов, кроме случая, когда U является тождественно постоянной.

Рассмотрим частный случай системы (1), когда ( ) ( ) 0 1 cos m sin m A= ;

B = 2(x, y) sin m cos m где (x, y) функция класса C 1, причем 0 1, = 0 при x2 + y 2 2, = 1 при x2 + y 2 1.

Справедлива следующая Теорема 2. Пусть является решением системы (1). Пусть = u2 + v 2. Тогда при x2 + y 2 1 функция не имеет локальных максимумов.

Литература 1. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966, 351 с.

2. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений с частными производными. М.: Наука, 1981, 448 с.

Современные проблемы математики и ее приложения УДК 517. О разрешимости одной обобщенной однородной задачи Дирихле на отрезке Гадоев М.Г.

(МПТИ (филиал) СВФУ, г. Мирный, Россия ) Обобщенная задача Дирихле и соответствующие ей несамосопряженные дифференциаль ные операторы (д.о.) в случае некоэрцитивных форм изучались во многих работах (см.[1-3] и имеющуюся там библиографию).

Отметим, что аналогичные вопросы для одного класса несамосопряженных систем д.о.

второго порядка с граничными условиями типа Дирихле, изучены в [4], а в [5] рассмотрен случай одного уравнения, но заданного в неограниченной области n - мерного евклидового пространства.

В данной работе на основе полученных ранее результатов (см.[6,7]), исследована обобщен ная задача Дирихле с однородными граничными условиями, для некоэрцитивных билиней ных форм. Полученные результаты применяются для исследования спектральных свойств несамосопряженных д.о., порожденных некоэрцитивными формами.

Следуя [7], рассмотрим в пространстве L2 (J)l билинейную форму ( б.ф.) m A[u, v] = i (t)aij (t)u(i) (t), j (t)v (j) (t) Cl dt, (1) i,j=0 где di u(t) i (t) = {t(1 t)}+im u(i) (t) = (i = 0, m), m,, dti aij L (J;

End Cl ), J = (0, 1), (i, j = 0, m).

Символ, Cl обозначает скалярное произведение в Cl.

Обозначим через H+ замыкание линейного многообразия C0 (J) по норме 1/ ||+ = 2 (t)| (m) (t)|2 dt + |(t)|2 dt.

m J J Положим:

H = L2 (J), Hl = H · · · H (l раз), H+ = H+ · · · H+ (l раз).

l За область определения б.ф.(1) примем пространство H+.

l Обозначим через H пополнение пространства H по норме |(u, )| |u| = sup.

||+ 0=H+ Положим H = H · · · H (l - раз).

l Однородная обобщенная задача Дирихле ставится следующим образом (см.напр.[8]): Для F H найти u H+, такое что l l A[u, v] µ(u, v) = F, v, v C0 (J)l.

Материалы международной научной конференции посвященной 70-летию Мухамадиева Э.М.

Очевидно, что эта задача эквивалентна следующей задаче: для F H найти элемент l u H+ такой, что l A[u, v] µ(u, v) = F, v, v H+.

l (2) Разрешимость задачи (2) тесно связанa с разрешимостью сопряженной задачи: для G H найти u H+ такой, что l l A+ [u, v] µ(u, v) = G, v, v H+ l (3) Здесь билинейная форма A+ [u, v] определяется по формуле m i (t)a (t)u(i) (t), j (t)v (j) (t) C l dt, D[A+ ] = H+ A [u, v] = + l ij i,j=0 Заметим, что A+ [u, v] = A[v, u], u, v H+.

l Пусть A - несамосопряженный д.о. ассоциированный с б.ф. A[u, v]. Обозначим через спектр оператора A. Очевидно, что - чисто точечное множество с единственной возможной предельной точкой на бесконечности.

В [7] исследована разрешимость задачи (2), (3) в случае µ. В настоящей работе разрешимость задачи (2), (3) исследована в случае µ.

Будем писать F L, где F H, L H+, если F, v = 0, v L.

l l Можно показать что, если µ, то для существования решения задачи (2) необходимо выполнение условия F ker(A µE). (4) Пусть u H+, (A µE)u = F. Тогда для всех v D(A ), имеем l F, v = A[u, v] µ(u, v) = A+ [v, u] µ(v, u) = (A v µv, u).

Поэтому, если v ker(A µE), то выполняется равенство F, v = 0.

Теорема 1. Пусть выполнено (4), µ. Тогда задача (2) имеет решение u H+ l такое, что |u|+ Mµ |F | ;

число Mµ не зависит от F.

Теорема 2. Пусть Gker(A µE), µ. Тогда задача (3) имеет решение u H+.

l При этом выполняется неравенство |u|+ Mµ |G|, где число Mµ не зависит от G.

Замечание. Полученные ранее результаты (см.[6]), применяются также для исследова ния разрешимости неоднородной задачи Дирихле.

В заключение отметим, что некоторые результаты работы ранее анонсированы в [9].

Литература 1. Бойматов К.Х., Исхоков С.А. О разрешимости и спектральных свойствах вариационной задачи Дирихле, связанная с некоэрцитивной билинейной формой // Труды МИАН им.

В.А. Стеклова, 1997 г., т.214, с. 107 – 134.

Современные проблемы математики и ее приложения 2. Бойматов К.Х., Исхоков С.А. Вариационная задача Дирихле для эллиптического опе ратора вырождающегося на многообразиях различных измерений //Доклады АН Рес публики Таджикистан, 2000 г., т. XLIII. №3, с. 53 – 60.

3. Бойматов К.Х. Суммируемость в смысле Абеля - Лидского системы корневых вектор функций несамосопряженных дифференциальных операторов ассоциированных с неко эрцитивными формами //Доклады АН Республики Таджикистан, 2000 г., т. XLIII. №3, с. 47 – 51.

4. Гадоев М.Г. Об асимптотике спектра одного класса несамосопряженных систем //Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, г., с. 78 – 84.

5. Исхоков С.А. Вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов с несте пенным вырождением, порожденных некоэрцитивными билинейными формами // До клады РАН, 2003 г., т.392, №5, с. 606 – 609.

6. Гадоев М.Г. Некоторые спектральные свойства несамосопряженных вырождающих ся эллиптических дифференциальных операторов высокого порядка с сингулярными матричными коэфициентами //Материалы Респ. науч. конф."Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений посвящ. 75 - летию со дня рожд. ак. Джураева А.Д.,Душанбе: ИМ АН РТ, 2007 г., с. 9 – 10.

7. Гадоев М.Г. О разрешимости и спектральных свойствах обобщенной задачи Ди рихле, связанная с некоэрцитивной билинейной формой //Материалы междунар.

конф."Современные проблемы математического анализа и их приложений посвящ. - летию со дня рожд. ак. Бойматова К.Х.,Душанбе: ИМ АН РТ, 2010 г., с. 23 – 25.

8. Никольский С.М., Лизоркин П.И., Мирошин Н.В. Весовые функциональные простран ства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптиче ских уравнений //Известия ВУЗов. Математика, 1988 г., №8, с. 4 – 30.

9. Гадоев М.Г. Обобщенная задача Дирихле для систем вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов, ассоциированных с некоэрцитивными формами //Ма териалы междунар. конф. "Дифференциальные уравнения, функциональные простран ства, теория приближений посвященной 100-летию со дня рождения акад. С.Л. Собо лева. Новосибирск, 2008, с. 119.

УДК 532.517. Gait-based User Authentication Gafurov Davrondzhon (P.O. Box 112, N-1371 Asker, Norway) User authentication (i.e. verifying identity of the user) before granting access to the services or objects (e.g. computer, mobile phone etc.) is very important. Unlike password- or PIN- based approaches, biometric user authentication provides more reliable way of identity verication because biometrics are based on physiological or behavioral characteristics of individuals.

Examples of human biometric traits used for authentication include ngerprint, face, voice, gait (walking style) etc. Gait-based user authentication refers to verifying identity of the user based on his or hers walking style.

This paper presents a short overview of gait-based user authentication using wearable accelerometer sensors. Such sensors record motion (e.g. in terms of acceleration signals) of the body parts during walking. Then, recorded signals are analysed for identity verication. In our work, we conducted 4 sets of experiments to study acceleration signals from the foot, hip, pocket Материалы международной научной конференции посвященной 70-летию Мухамадиева Э.М.

and arm. In case of the pocket experiment, the sensor was merely put in the trousers pocket of the subjects. The sensors record acceleration of the motion in three orthogonal directions that is up down, forward-backward and sideways with a sampling frequency of 100 Hz. In the experiments, participants walked naturally on a level surface for about 20 meters in an indoor environment.

The number of participants in the experiments was in the range of 21-100 persons.

We applied dierent recognition methods to analyze acceleration signals from these body parts [1,2,3]. Our approach essentially is based on detecting gait cycles in the signals and using these cycles as feature vectors.

Performance of the methods was evaluated using a DET (Decision Error Trade-o) curve.

The DET curve is a plot of FAR (False Accept Rate) versus FRR (False Reject Rate) which shows performance of a biometric authentication system under various operating thresholds. To indicate performance of biometric system by a single value an EER (Equal Error Rate) is used. The EER is a point in the DET curve where FAR equals FRR. The EERs of the methods for foot-, pocket-, arm- and hip- based user authentication were 5%, 7%, 10% and 13%, respectively.

Application of gait-based user authentication can be applied in mobile (smart) phones for periodic re-verication of the user identity. More detailed analysis and descriptions of the results on our gait biometric research can be found in [1,2,3].

Литература 1. Davrondzhon Gafurov. Performance and Security Analysis of Gait-based User Authentication. PhD thesis, University of Oslo, 2008.

2. Davrondzhon Gafurov and Einar Snekkenes. Gait recognition using wearable motion recording sensors. EURASIP Journal on Advances in Signal Processing, 2009. Special Issue on Recent Advances in Biometric Systems: A Signal Processing Perspective.

3. Davrondzhon Gafurov, Einar Snekkenes, and Patrick Bours. Spoof attacks on gait authentication system. IEEE Transactions on Information Forensics and Security, 2007.

Special Issue on Human Detection and Recognition.

УДК 517. Об одном классе операторных уравнений с сюрьективными операторами Гельман Б.Д., Рыданова С.С.

(Воронежский государственный университет ) Пусть E1, E2 — банаховы пространства, A : D(A) E1 E2 — линейный сюръектив ный оператор.

Определение 1. Будем говорить, что оператор A является квазиобратимым, если существует непрерывное отображение p : E2 E1 такое, что A(p(y)) = y для любого y E2. В этом случае отображение p будем называть квазиобратным к отображению A.

Пусть V — ограниченное открытое множество в E1, f : V E2 — непрерывное отобра жение.

Рассмотрим уравнение:

A(x) = f (x) (1) Обозначим N (A, f ) — множество решений этого уравнения. Пусть отображение g : V Ker(a) E1 определено следующим условием:

g(x, u) = p(f (x)) + u, (2) Современные проблемы математики и ее приложения где отображение p квазиобратно к отображению A.

Определение 2. Будем говорить, что отображение f : D(f ) E1 E2 — (A, p) вполне непрерывно, если p f является вполне непрерывным отображением.

Теорема 1. Пусть dim(Ker(A)) 0. Пусть существует такое квазиобратное к опе ратору A отображение p, что:

1) отображение q = p f : V E1 является (A, p)-вполне непрерывным не имеет непо движных точек на V ;

2) топологическая степень (i q, V ) = 0. Тогда:

1) N (A, f ) = ;

2) N (A, f ) V = ;

3) топологическая размерность dim(N (A, f )) dim(Ker(A)).

Пусть E1, E2 — банаховы пространства, A : D(A) E1 E2 — замкнутый сюрьективный линейный оператор.


Определение 3. Число inf {||x|| | x E1, A(x) = y} ||A1 || = sup ( ) ||y|| yE называется нормой многозначного отображения A1.

Пусть E3 — банахово пространство, B : D(B) E2 E3 — также замкнутый линейный сюрьективный оператор.

Рассмотрим отображение C = B A. Областью определения этого отображения является множество D(C) = A1 (D(B)).

Пусть x0 E1 — некоторая точка, BR [x0 ] — замкнутый шар радиуса R с центром в x0, f : BR [x0 ] E2 — вполне непрерывное отображение.

Рассмотрим уравнение:

C(x) = f (x).

Как и раньше обозначим N (C, f ) множество решений этого уравнения.

Теорема 2. Если существует такое число k ||A1 || · ||B 1 ||, что для любой точки x BR [x0 ] справедливо неравенство:

R ||C(x0 ) f (x)||, k то:

1) N (C, f ) = 0;

2)N (C, f ) BR [x0 ] = ;

3)dim(N (C, f )) dim(Ker(C)).

Эта работа продолжает исследования начатые в работах [1], [2].

Литература 1. Гельман Б.Д. Об одном классе операторных уравнений // Математические заметки. – 2001. – Т. 70, №4. – С. 544-552.

2. Гельман Б.Д. Топологические свойства множества неподвижных точек многозначных отображений // Математический сборник. – 1997. – Т. 188, є12. – С. 33-56.

Материалы международной научной конференции посвященной 70-летию Мухамадиева Э.М.

УДК 517. Интегральное представление вектор – функций из весовых классов С.Л. Соболева Гоибов Д.С.

( Институт математики АН РТ ) Введем весовое пространство Wp (;

pµ, p ) вектор – функций y(t) = (y1 (t),..., yn (t)), 2m определенных на интервале = (0, 1) с конечной нормой 1/p 2m p l d |y, Wp (;

pµ, p )| = l (t) l y(t) dt 1 p +, 2m dt l=0 Здесь (t) C ((0, 1))– положительная функция, lim (t) = lim (t) = +, t0+ t dk (t) Ck 1+k (t), k = 0, 1, 2,....

dtk Число m– натуральное, µ, – вещественные, причем µ + 2m, 1 p +.

((2m l) + µl), l = l = 0, 1,... 2m.

2m Введем интегральный оператор F с ядром + ((t ) 1 ( )) eis(t ) (a(, s) + )1 ds, F (t, ) = (1) где C0 (R1 )– неотрицательная функция такая, что (t) = 1 при |t| 1, ( ) = q ( ), q( ) = B0 ( )0 ( ), = 1/2m, m s R1.

(1)l 2l ( )Bl ( )s2l, a(, s) =, t, 0, l= где Bl (t), l = 0, m – эрмитовые квадратные матрицы - функции порядка n с бесконечно дифференцируемыми элементами такие, что dk sup Bl (t) +, k = 1, 2,..., dtk t Далее требуется, что бы при некотором C 0 для всех t выполнялись неравенства B0 (t) CI, (1)m Bm (t) CI, (1)l Bl (t) 0, l = 1, 2,..., m 1, где I - единичная (n n)-матрица.

Символом Lp,l ()n обозначим пространство вектор-функций u(t) = (u1 (t), u2 (t),..., un (t)), определенных в с конечной нормой 1/p n uLp,l ()n = (l(t)|uj (t)|)p dt, j= Современные проблемы математики и ее приложения где l(t) C 1 ()– положительная весовая функция, для которой выполняется оценка l (t) = o(1)l(t)q (t), (t a+, t b), q(t) = B0 (t)0 (t), =.

2m Существуют достаточно малое число 0 и достаточно большое число 0 такие, что F : C0 () C0 (), = (0, 1).

При этом справедлива Теорема 1. Пусть 1 p +. Линейный оператор F : Lp, l()n Wp (;

pµ, p ) 2m является взаимно однозначным отображением. Для вектор – функций u(t) Wp (;

pµ, p ) 2m справедливо интегральное представление y Lp,l ()n, u(t) = F (t, )y( )d, и выполняются неравенства c1 yLp () |F y, Wp (;

pµ, p )| c2 yLp (), 2m где числа c1, c2 0 не зависят от y, u, p.

Теперь пусть = R+ = (0, +). C оператором A Am (R+ ;

(t)) свяжем весовое про µ, странство Wp (R+ ;

pµ, p ), 1 p +.

2m функций y(t) с конечной нормой:

1/p 2m + p l d y, Wp (R+ ;

pµ, p ) = l (t) l y(t) dt 1 p, 2m dt l=0 2m Через W p (R+ ;

pµ, p ) обозначим замыкание C0 (R+ ) в пространстве Wp (R+ ;

pµ, p ).

2m Теорема 2. При 1 p + выполняются равенства 2m D(Ap ) = Wp (R+ ;

pµ, p ) =W p (R+ ;

pµ, p ).

2m Wp (R+ ;

pµ, p ) 2m Для вектор – функций справедливо интегральное y(t) представление + u Lp (R+ )n, y(t) = F (t, )u( )d, где F (t, )– ядро вида (1). При этом выполняются неравенства c1 uLp (R+ ) |y, Wp (R+ ;

pµ, p )| c2 uLp (R+ ), 2m где числа c1, c2 0 не зависят от y, u, p.

Материалы международной научной конференции посвященной 70-летию Мухамадиева Э.М.

Литература 1. Трибеля Х. Теория интерполяции функциональные пространства, дифференциальный операторы.-М., Мир, 1980г.с.510.

2. Бойматов К.Х. Сильно вырождающиеся эллиптические дифференциальные операторы класса Трибеля. Известия ВУЗов, 1988, №8 с. 39-47.

3. Гаибов Д.С. Интегральное представление функций одного весового пространства С.Л.

Соболева. //Материалы Республиканской научно–практической конференции молодых ученых и специалистов Таджикистана. 18–21 апреля 1991 года, Курган-Тюбе – 1991, с.

136–137.

УДК 517.948. О сингулярных случаях нагруженной задаче сопряжения с дополнительными условиями.

Гулямов Дж.

(Кулябский государственный университет имени А. Рудаки) Пусть L односвязный гладкий замкнутый контур, разбивающий плоскость C на две односвязные области D+ - внутренюю и D - внешнюю.Требуется найти + (z) и (z) аналитические функции (а.ф.) в D+ и в D, если они непрерывны вплоть до контура L изнутри и извне соответственно, а на L они сопряжены условием n + (t) = G(t) (t) + g(t) + ak k (t), (1) k= где g(t) может иметь полосы только в точках i и порядки их не перевешают j, G(t) = µ (t k )mk G1 (t)/ (t j )i, i= k= ak (k = 1, µ) и i (i = 1, )-некоторые точки контура L, обращают G(t) в нуль или беско нечность целых порядков,mk, nj - целые положительные числа;

G1 (t) функция класса H и на L необращающаяся в нуль [и тогда вводится обозначение индекса задачи = lndL G1 (t)];

a1, a2,..., an -некоторые комплексные постоянные, остающиеся произвольными или подлежа щими определению так же, как а.ф. + (t) и (t), а под знаком суммы из (1), называемой нагрузкой, 1 (t), 2 (t),..., n (t)- заданные линейно-независимые комплексные функции клас са H. Более того, искомые функции ± (z) будем подчинять ещ дополнительными условиям типа заданных граничных моментов.

hj + (t) = j, j = 1, 2,..., m1 ;

(2) L h(t) (t) = j, j = m1 + 1, m1 + 2,..., m1 + m2 = m, (3) L где hj (t), j = 1, 2,..., m- задаваемые комплексные функции, а j, j = 1, 2,..., m - задава емые комплексные постоянные. Общим решением задачи (1)-(3) в классе а.ф. ограниченных на бесконечности, при 0, будет [1]-[2] n nj j ) ak + (z)] + + (z) + (z + (z)[+ (z) (z) = + (4) j=1 g k k= Современные проблемы математики и ее приложения n ak (z)] + (z), mk (z)[ (z) ak ) (z (z) = + k=1 g k k= где pj ;

(z) = (z) (z j )nj P (z), ak ) (z)µ (z + (z) + mr =,,, P (z), p = 0 0 j= k= j= Pp = c0 + c1 z +... + cp z p ;

ln[ G1 ( )]d + + (z) = exp (z), (z) = z exp (z), (z) = z 2i L k( ) 1 nj g( ) d 1 d ± ( j ) · ( j )nj + · g (z) =, k (z) = + ( ) z ( ) z 2i j=1 2i j= l l Находя из (4) ± (t) и вставляя в (2) и (3), получим две линейные алгебраические системы (л.а.с.) с двумя группами комплексных неизвестных c0, c1,..., ck и a1, a2,..., an ;

j n ± jk k = d±, j = 1, 2,... m ± jk ck + (5) j k=1 k= ± ± где jk, jk вполне определенные функции;

заметим, что при знаке + в (5) надо брать j = 1, 2,... m, а при обратном знаке надо брать j = m1 + 1, m1 + 2,... m1 + m2 = m.

Теорема 1.Нагруженная краевая задача (1) с дополнительными заданиями граничных моментов (2), (3) в сингулярном случае сводится к (л.а.с.) (5) состоящей из двух под систем, определяемых знаками (+) либо () с неизвестными c0, c1,... cxp ;

1, 2... n Пусть в (1) будет = IndL G1 (t) 0. Тогда:

1) если m p 1 + n, то задача (1)-(3) безусловно разрешима, а ее общее решение содержит p 1 + n m произвольных комплексных постоянных;

2) если m p 1 + n, и определитель системы (5) отличен от нуля, то задача (1)-(3) имеет и притом единственное решение;

3) если m j p 1 + n, и ранг основной и расширенной матрицы из (5) совпадают и обозначены r, тогда общее решение задачи, т.е. (4), содержит (jp1+n)r произвольных комплексных постоянных.

Литература 1. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1963, c. 639.

2. Михайлов Л.Г., Акбаров Р. ДАН РФ, 2009, том 425, №5, с. 1-5.

УДК 517. Распределение собственных значений эллиптических операторов Дадабаев А.Х.

(Таджикский национальный университет) Пусть M n– мерное C –многообразие без края. В качестве многообразие M можно, например, положить M =, где = Rn+1 неограниченная область с C границей. При этом рассматривается случай общих самосопряженных эллиптических дифференциальных операторов произвольного порядка.

Материалы международной научной конференции посвященной 70-летию Мухамадиева Э.М.

1. Покроем M системой открытых ограниченных множеств Mj M, j = 1, 2,..., ко нечной кратности так, что M = + Mj, и при этом найдутся функции j (µ), j (µ), j = j= 1, 2,..., обладающие следующими свойствами:

I. Функции j (µ), j = 1, 2,..., образуют разбиение единицы многообразия M, т.е.

(µ M ) j (µ) = j= II. 0 j (µ) 1, 0 j (µ) 1, µ M, j = 1, 2,..., III. j (µ) = 1 для µ sup j, j = 1, 2,...

Далее на M вводится положительная C - плотность dµ и предполагается, что при лю бом j = 1, 2,... существует C -гомеоморфизм j множества Mj на открытое ограниченное множество Vj Rn и для всех открытых множеств Mj выполняется неравенство C1 mesgj () dµ C2 mesgj () с константами C1, C2 0, не зависящими от j.

Пусть выполнено неравенство 1 D j (gj ()) + D j (gj ()) C где C3 - константа, не зависящая от j. Здесь и далее обозначает мултииндекс = (1, 2,..., n ), j Z+ j = 1, 2,..., n ( ) 1 ( ) n, || = 1 + 2 + · · · + n D =...

i1 in Для дифференциального оператора A с областью определения C0 (M ) можно построить операторы Aj, j = 1, 2,... такие, что для u C0 (Mj ) выполняется равенство Au = j Aj j u, где отображение j : C0 (Mj ) C0 (Vj ) задается по формуле Vj.

(j u)() = u(gj ()), При этом дифференциальный оператор Aj имеет вид v C0 (Vj ).

(Aj v)() = a,j ()D v() + Qj ()v(), ||2m Предполагается, что коэффициенты операторов бесконечно дифференцируемы и обладают производными равномерно ограниченными по J = 1, 2,... вплоть до порядка 2m, функции Qj () C 1 (Vj ), j = 1, 2,... удовлетворяют неравенствам 1+ 2m Qj () 1, | Qj ()| M · Qj ( Vj ) (), где число, M 0 от j не зависят. Условие равномерной эллиптичности формулируется в виде неравенства C4 · s2m a,j ()s, ( Vj ), (s Rn ) ||=2m Современные проблемы математики и ее приложения при этом числа C4 0 не зависят от j = 1, 2,....

Введем следующие обозначения:

a,j ()s + Qj (), j (x) = j (gj (x)), aj (x;

s) = ||=2m Nj (x;

) = mes{s Rn ;

aj (x;

s) } и рассмотрим функцию + n () = (2) j (x)Nj (x;

)dx Справедливы следующие теоремы:

Теорема 1. Пусть () = O(p ),, тогда оператор A имеет дискретный спектр.

Порядок резольвенты оператора A не превосходит числа.

Теорема 2. Предположим, что существует неубывающая функция L() C 1 (0;

+) такая, что () L(), L() = O(L()).

Тогда N ()- функция распределения собственных значений оператора A удовлетворяет асимптотической формуле N () (),.

Литература 1. Бойматов К.Х.Спектральная асимптотика дифференциальных операторов.Труды се минара им.И.Г. Петровского,вып. 7,1081,с.56-100.

УДК 517. Об улучшении оценки сходимости приближенного решения одной краевой задачи Джумаев Э.Х.

( Таджикский национальный университет) Пусть L полуокружность X 2 +Y 2 = 1, l отрезок (1, 1) оси Ox, а G полукруг в верхней полуплоскости. Полукруг и полуокружность, симметричные с G и L относительно оси Ox обозначим через G и L, а B = G G.

Через C2 (G) обозначим класс непрерывных функций в G l, имеющих непрерывные первые и вторые производные внутри G, а его подкласс функций, которые дополнительно u удовлетворяют условию lim y µ = 0, будем обозначать N2 (G);

y y – M2 (B) – класс функций, принадлежащих соответственно классам C2 (G) и C2 (G ) и u образующих в B единую непрерывную функцию с выражением |y|µ, 0 µ 1.

y Задача Д. Найти вещественную функцию u(x, y), непрерывную в замкнутой области B = B при 0 µ 1, удовлетворяющую в B уравнению 2 u 2 u µ u + 2 u = 0, µ = const 0, + + (1) x2 y 2 y y и на = L L граничному условию = g(),, u (2) Материалы международной научной конференции посвященной 70-летию Мухамадиева Э.М.

где – вещественное или мнимое число, g() – заданная непрерывная функция точек.

Используя метод аппроксимации тригонометрическими интерполяционными полиномами в [3] было получено приближенное решение краевой задачи (1), (2) и дана оценка погрешно сти этого решения в классе функций, удовлетворяющих условию Гельдера.

Дальнейшие исследования показали, что если при построении приближенного решения задачи аппроксимировать не некую функцию (g()) (как это было сделано в работах [1], [2]), а аналитически продолженную заданную функцию g(), то можно улучшить оценку погрешности получаемого приближенного решения.

Литература 1. Джумаев Э.Х. О приближенном решении краевых задач типов Дирихле и Неймана для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу//Деп. ВИНИТИ, 1989г., №2407-B89.

2. Джумаев Э.Х. Вестник Таджикского госуниверситета. 1990, №5, c. 17-20.

3. Джумаев Э.Х. О приближенном решении одной краевой задачи// Материалы научно теоретической конференции проф. преподавательского состава ТГНУ, Душанбе 2005, ч.I, с.22-23.

УДК 517.948. О структуре канонической матрицы решений задачи Римана для n пар функций в группе разложимых матриц.

Джураев О., Абдулазизов А.

(Филиал технологического университета Таджикистана в г. Кулябе) Обозначим через M GL(n, C) группу разложимых матриц над C, т.е. матриц вида [2]:

[ ] X ZY где X, Y, Z блоки. Через |M | обозначим порядок этой группы. Пусть L1, L2,... Ln раз личные контуры на C L = |m| L1. i= Рассмотрим, следующую задачу Римана для n пар функций: Найти все вектор- функ ции (z) = (1 (z), 2 (z),... n (z) (столбцы) аналитические в C L, ограниченные при Z, на контуре которой удовлетворяем условию:

[ ] Xi (t) + g(t), t L + (t) = (1) Zi Y Так как группа M разложима, то применяя преобразование (z) = S (t) получаем:

[ ] Xi (t) + g(t), t L + (t) = (2) 0 Yi Здесь Xi блок порядка и Yi -блок порядка n k.

Равенства (2) равносильны следующим равенствам:

+ 1 (t) 1 (t) h1 (t) 2 (t) 2 (t) h2 (t) k + = Xi,t... +... Li (3)...

i= + k (t) = k (t) hk (t) Современные проблемы математики и ее приложения + k+1 (t) k+1 (t) hk+1 (t) |M | + (t) (t) hk+2 (t) k+2 = Yi k+2 +,t Li......

...

j=k+ + n (t) = n (t) hn (t) Обозначим через 1 (t), 2 (t) канонические матрицы решений задачи (3) соответственно:

Справедлива следующая:

Теорема 1.Каноническая матрица решения задачи (1) выражается через канонические матрицы решения задач (3) следующим образом [ ] 1 (z) (z) = 0 2 (z) Литература 1. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

2. Белоногов В.А., Фомин А.Н. представления в теории конечных групп. М.: Наука, 1976.

3. Джураев О. Задача Римана для n пар функций с матрицами подстановочного типа.

Научные труды Кулябского госуниверситета Куляб 2002.

УДК 517. Линейное дифференциальное уравнение со случайными периодическими коэффициентами Задорожний В.Г.

(Воронежский госуниверситет) Одна из первых научных работ проф. Мухамадиева Э.М.[1] посвящена периодическим задачам. Операторный метод позволяет исследовать уравнения со случайными периодиче скими коэффициентами.

Рассмотрим дифференциальное уравнение dx = (t)x + f (t), (1) dt где t R, x : R R искомая функция,, f - случайные процессы. Для детерминирован ных уравнений хоршо известны условия, при которых уравнение (1) имеет периодические решения. В стохастическом случае задача оказывается много сложнее.

Пусть M(x(t)) - математическое ожидание случайного процесса. Случайный процесс x(t) называется -периодическим в среднем, если M(x(t + )) = M(x(t)). Пусть L1 - простран ство суммируемых на всей числовой оси функций, (s, t, ) = sign( s) при принад лежащем отрезку с концами s и, и равно нулю при других значениях и : L1 C.

Введем в рассмотрение отображение U (t, s)(u(·)) = (u(·) i(s, t, ·)) и оператор тождественного преобразования I.

Лемма 1. Оператор U (t, s) обладает свойствами:

1. U (t, t) = I, Материалы международной научной конференции посвященной 70-летию Мухамадиева Э.М.

2. U (t, )U (, s) = U (t, s), 3. U 1 (t, s) = U (s, t).

Характеристический функционал [2] для нормально распределенного случайного процес са имеет вид (s)u(s)ds (u(·)) = exp(i b(s1, s2 )u(s1 )u(s2 )ds1 ds2 ), (2) где - математическое ожидание случайного процесса, b - ковариационная функция, u :

L1 R, а для равномерно распределенного случайного процесса характеристический функционал имеет вид sin a(s)u(s)ds (u(·)) = exp(i (s)u(s)ds). (3) a(s)u(s)ds Лемма 2. Если характеристический функционал (u(·)) имеет вид (2) или (3), где a(·), (·) являются -периодическими функциями, а b(·) является -периодической функ цией по обеим переменным, то:

1.U (t +, 0) (u(·)) = U (, 0)U (t, 0) (u(·)) = U (t, 0)U (, 0) (u(·)), 2.U (0, t + ) (u(·)) = U (t, 0)U (0, ) (u(·)) = U (0,, )U (0, t) (u(·)).

(v(·)) f Ниже используется обозначение вариационной производной [2] v(s).

Теорема. Пусть выполняются следующие условия:

1. случайные процессы и f являются независимыми, 2. случайный процесс задан характеристическим функционалом (2) или (3), 3. случайный процесс f задан характеристическим функционалом f (u(·)), 4. a, являются -периодическими функциями, 5. b является -периодической функцией по обеим переменным, 6. f является -периодическим в среднем случайным процессом, f (v(·)) 7. 0 U (, 0) (u(·)) v(s) ds принадлежит области значений оператора I U (, 0) тогда уравнение (1) имеет -периодическое в среднем решение, математическое ожидание которого имеет вид t+ M(x(t)) = U (t, 0)(U (0, ) I) (i(0, s, ·))M(f (s))ds.

t Литература 1. Мухамадиев Э.М. К теории периодических вполне непрерывных векторных полей // Успехи мат. наук, 22:2(134), 1967, - С. 127-128.

2. Задорожний В.Г. Методы вариационного анализа // М.,- Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2006. - 316 с.

Современные проблемы математики и ее приложения УДК 517. Система эволюционных уравнений типа Дубровина – Трубовица для одномерного оператора Дирака Замонов М.З.

(Институт математики АН РТ ) Рассмотрим систему уравнений Дирака ( ) ( ) 0 1 d =, y p(x) q(x) x (;

), + y y 1 0 q(x) p(x) dx в которой p(x) и q(x) суть действительные непрерывные в каждом конечном отрезке функ ции.

Зададим последовательность вещественных чисел · · · n1 µn1 n µn n+1 µn+1 · · ·, n = 0, ±1, ±2, · · · удовлетворяющих следующим условиям:

(µn n ) = a1 ;

(1) n= (|µn | + |n |)(µn n ) = a2 ;

(2) n= + n = a3 ;

1 (3) n n= ( означает, что если под знаком суммы есть член со знаменателям n0 = 0, то полагаем n0 = 1).

(4) inf (n+1 n ) 0.

Определение.Потенциал u(x) = q(x) ip(x) называется бесконечнозонным, если опе ратор Дирака на всей оси с этим потенциалом имеет спектр E = R\ (n, µn ) n= где числа · · · n µn · · · 0 µ0 · · · n µn · · · удовлетворяют условиям (1)-(4), спектральную матрицу – функцию ( ) () () () =, () () имеющую аналитическую структуру.

Справедлива следующая Теорема. Если u(x) = q(x) ip(x)– бесконечнозонный потенциал, имеющий спектр E и спектральные параметры {n [n, µn ], n = ±1} n=, то для любого действительно го параметра t потенциал u(x + t) тоже будет бесконечнозонным и со спектральными параметрами (n (t), n (t)), удовлетворяющими системе эволюционных дифференциальных уравнений, типа Дубровина – Трубовица [1, 2].



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
 

Похожие работы:





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.