авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 11 |
-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования и науки Российской Федерации

Российская академия наук

Министерство образования и науки Республики Татарстан

Академия наук Республики Татарстан

Российский национальный комитет по теоретической и прикладной механике

Российский национальный комитет по автоматическому управлению

Научный совет по теории управляемых процессов и автоматизации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н. ТУПОЛЕВА-КАИ»

110-летию со дня рождения Н.Г. Четаева и памяти академиков РАН Н.Н. Красовского и В.М. Матросова посвящается АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА, УСТОЙЧИВОСТЬ И УПРАВЛЕНИЕ ТРУДЫ X МЕЖДУНАРОДНОЙ ЧЕТАЕВСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ ТОМ Секция 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 12 – 16 июня 2012 г.

Казань УДК 531, 517.958:532.546, 517.958:532.59, 517.958:539.3, 517.958:532/533, 517.925/.926;

517.938, 517.968. ББК Б Ан Ан 64 Аналитическая механика, устойчивость и управление:

Труды X Международной Четаевской конференции. Т.1. Секция 1.

Аналитическая механика. Казань, 12 – 16 июня 2012 г. – Казань:

Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2012. – 548 с.

ISBN 987-5-7579-1730- ISBN 987-5-7579-1731- Представлены доклады, посвященные актуальным проблемам аналити ческой механики, механики сплошных сред, численных методов динамики си стем, описываемых дифференциальными, алгебраическими и интегральными уравнениями. Доклады представляют интерес для научных работников, аспи рантов, инженеров, специализирующихся в области механики.

УДК 531, 517.958:532.546, 517.958:532.59, 517.958:539.3, 517.958:532/533, 517.925/.926;

517.938, 517.968. ББК Б Редакционная коллегия:

Васильев С.Н., академик РАН Козлов В.В., академик РАН, вице-президент РАН Дегтярев Г.Л., академик АН РТ, д.т.н., профессор Сидоров И.Н., д.ф.-м.н., профессор Губайдуллин Д.А., член-корреспондент РАН Ответственные секретари:

Хасанов А.Ю., к.т.н., доцент Лазарева П.А., к.ф.-м.н.

© Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, ISBN 987-5-7579-1730- © Авторы, перечисленные в содержании, ISBN 987-5-7579-1731- МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМЫХ МАССО- И ТЕПЛООБМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМЕ ПОДГОТОВКИ ПРИРОДНОГО ГАЗА К ТРАНСПОРТИРОВКЕ Абрамкин С.Е., Душин С.Е., Кузьмин Н.Н.

(СПбГЭТУ «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)) E-mail: abrsergey@yandex.ru, dushins@yandex.ru, nnkuzmin@mail.eltech.ru При разработке проекта обустройства газового или газоконденсатно го месторождения производится выбор технологического процесса, аппа ратурного оформления процесса и системы управления технологическим процессом.



Конкретные технологические схемы установок подготовки природно го газа к транспортировке выбираются в зависимости от принятых систем сбора и подготовки природного газа. Технологические схемы реализуются двумя способами: централизованным (например, Шатлыкское месторожде ние) и децентрализованным (Уренгойское, Ямбургское, Заполярное место рождения).

С точки зрения теории автоматического управления объектами управле ния на газовых промыслах являются, как сами технологические процессы, так и их аппаратурное оформление. К аппаратурному оформлению технологичес ких процессов относятся: газовые скважины, внутрипромысловый коллектор, установки предварительной подготовки газа (УППГ), установки комплексной подготовки газа (УКПГ), головные сооружения (ГС) и дожимные компрессор ные станции (ДКС). В основе технологических процессов лежат процессы гид родинамические, массо- и теплообменные.

Отметим, что в связи с тем, что объекты газовой промышленности явля ются опасными производственными объектами, то не всегда имеется возмож ность для проведения физических экспериментов с целью выявления оптималь ных режимов работы технологического оборудования и систем автоматическо го управления технологическим процессом осушки природного газа. В данном случае огромную помощь в исследовании предлагаемых технических реше ний может оказать аппарат математического моделирования.

Целью проводимого нами исследования является получение адекватной математической модели (ММ) системы автоматического управления процес сом абсорбционной осушки газа. Типовой технологический процесс абсорб ционной осушки природного газа был нами выбран, так как он применяется на большинстве УКПГ месторождений Крайнего Севера.

В настоящее время при исследовании технологических процессов абсор бционной осушки газа рассматриваются как статические, так и динамические модели [1-4].

На первом этапе исследования были определены основные задачи, тре бующие решения:

1. Построение обобщенной функционально-технологической схемы ком плекса технологических систем «АБСОРБЦИЯ-ДЕСОРБЦИЯ».

2. Построение структурной схемы комплекса технологических систем «АБСОРБЦИЯ-ДЕСОРБЦИЯ».

4. Определение допущений принимаемых при разработке ММ КТС.

3. Разработка линейных и нелинейных ММ отдельных технологических процессов (абсорбция, ректификация, испарение, охлаждение).

4. Определение начальных и граничных условий для ММ.

5. Анализ нестационарных режимов технологического процесса.

6. Разработка линейных и нелинейных ММ управляемых массо и теплообменных процессов.

Исследование поставленных задач изложено в [5-7].

Технологический процесс абсорбционной осушки направлен на дости жение заданного качества природного газа, который выражается значением температуры точки росы по влаге. Температура точки росы по влаге, является определяющим параметром при создании системы управления газовым про мыслом. Температура точки росы по влаге напрямую зависит от производи тельности промысла. Эти два фактора определяют общий уровень автоматиза ции газового промысла, число параметров контроля и регулирования, структу ру и конструктивные особенности АСУ ТП.





Технологический процесс подготовки природного газа методом абсор бционной осушки на УКПГ, осуществляется по замкнутому циклу (по жидкой фазе). Его можно представить как комплекс технологических систем «АБСОРБЦИЯ – ДЕСОРБЦИЯ», в который входят две взаимосвязанные систе мы «АБСОРБЦИЯ газа» и «ДЕСОРБЦИЯ абсорбента» [5].

Система «АБСОРБЦИЯ газа» включает в себя подсистему сепарации, в которой происходят процессы отделения от газа механических примесей и капельной жидкости, и непосредственно подсистему абсорбции, в которой из газа выделяется влага при помощи поглощающего абсорбента, а также под систему разделения фаз. При этом подсистема абсорбции входит в состав зам кнутого контура абсорбционной осушки и определяет в нем основные фазовые потоки.

Система «ДЕСОРБЦИЯ абсорбента» также состоит из ряда подсистем, основными из которых являются: подсистема «Ректификация» (колонна реге нерации), подсистема «Выпаривание» (испаритель) и подсистема «Воздушное охлаждение», предназначенная для охлаждения флегмы (рефлюкса) в аппара те воздушного охлаждения. Такой выбор обусловлен доминирующим влияни ем этих подсистем комплекса на процесс осушки.

Статические модели широко применяются при составлении материаль ных и тепловых балансов в установившихся режимах. Эти режимы являются равновесными. Они, по существу, определяют основные потоки субстанций в режимах нормальной эксплуатации установок. Расчет статических режимов достаточно хорошо известен в научной литературе.

При составлении адекватных ММ процессов абсорбционной осушки газа важная роль отводится динамическим моделям, которым свойственны неста ционарные (переходные) режимы.

Решение 5-й задачи позволило выделить три вида нестационарных про цессов, возникающих при работе комплекса технологических систем «АБСОРБЦИЯ-ДЕСОРБЦИЯ»:

1. Переходные процессы, связанные с установлением стационарного ра бочего режима;

2. Нестационарные процессы, обусловленные изменением внешних ус ловий (например, состояния газового пласта, климатических и погодных воз мущений и т.п.);

3. Собственные колебания гидродинамических процессов в результате потери устойчивости равновесия или движения.

Нестационарные процессы первого вида возникают во время подачи аб сорбента в абсорберы, при настройке систем «ДЕСОРБЦИИ абсорбента» и «АБСОРБЦИИ газа» на рабочие параметры, а также при пуске комплекса тех нологических систем в работу.

Так же нестационарные процессы первого вида возникают при переходе во время нормальной работы УКПГ с одной технологической линии на дру гую. Следует отметить, что в непрерывно действующих теплообменных аппа ратах нестационарный перенос тепла возникает кратковременно в периоды пуска, остановки или изменения режима их работы.

Нестационарные процессы второго вида можно наблюдать при измене нии отбора природного газа (снижение или увеличение), что влечет за собой изменение режима работы всего комплекса технологических систем. При этом происходит перенастройка локальных систем автоматического регулирования с целью устранения полученного возмущения, так как изменение расхода газа влечет за собой изменение расхода абсорбента, что в свою очередь ведет к изменению параметров тепловых и массообменных процессов в системе «ДЕСОРБЦИЯ абсорбента».

В рассматриваемых условиях функционирования комплекса при установ ленных ограничениях и правильной его эксплуатации, нестационарные про цессы, вызванные неустойчивостью движений, не возникают. Хотя исследова ние системы в условиях нарушения режимов эксплуатации, несомненно, мо жет вызывать научный интерес.

Разработка линейных и нелинейных ММ управляемых массо и теплообменных процессов, обусловлена в первую очередь возникновением нестационарных процессов.

Рассмотрим полученные при исследовании ММ управляемых массо и теплообменных процессов комплекса технологических систем «АБСОРБЦИЯ ДЕСОРБЦИЯ»

1. Основным объектом моделирования в системе «АБСОРБЦИЯ газа»

является абсорбционная колонна, в которой происходит массообменный про цесс. Полученная в процессе исследования нелинейная динамическая ММ уп равляемого массообменного процесса в абсорбере представлена системой диф ференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП):

Сцг С zг цг Rг [Сцг Cцг (Сца )];

р t z Сца Сца р f u Rа [Сцг Cцг (Сца )], (1) t z 0 z lа, t 0, где Сцг, Сца – концентрации целевого компонента в газе и жидкости (абсор р бенте);

Сцг – равновесная концентрация целевого компонента в газе;

zг – скорость газа, которая не меняется по высоте абсорбера;

la – высота абсор бера. Постоянные коэффициенты Rг и Rа определяются физическими свойства ми фаз и геометрическими особенностями аппарата. Управление процессом абсорбции осуществляется изменением подачи жидкого компонента в абсор бер, что отражено в модели введением сомножителя f(u). Соответствующая ММ структурная схема приведена на рис. 1.

При выполнении закона Генри система уравнений (1) приобретает вид:

Сцг С zг цг Rг Сцг Eр Cца ;

t z (2) Сца Сца Rа Сцг Eр Cца, f (u ) t z где Ep – коэффициент фазового равновесия, пропорциональный коэффициенту Генри, для массовых концентраций. В силу присутствия управляющего воз действия во втором уравнении модель (2) сохраняет нелинейный характер.

Рис. 1. Структурная схема ММ управляемого массообменного процесса в абсорбере ММ управляемого массообменного процесса в абсорбционной колонне дополняется граничными условиями первого рода на входах аппарата, а также начальными профилями концентраций газа и жидкости по высоте абсорбера.

2. Объектом моделирования в подсистеме «Выпаривание» является ис паритель. К топочной трубе испарителя подсоединяется газовая горелка, при помощи которой происходит управление тепловыми процессами в ап парате. В топочную трубу испарителя подается пламя от газовой горелки, которое нагревает трубное пространство и, в результате нагрева, образуют ся дымовые газы, поступающие затем в жаровые трубы. Далее дымовые газы через дымовую трубу отводятся в атмосферу. В межтрубное простран ство испарителя из насадочной секции ректификационной колонны стекает частично регенерированный абсорбент. Дымовые газы нагревают стенки жаровых труб. В свою очередь за счет отдачи тепла от стенок жаровых труб осуществляется нагревание абсорбента до заданной температуры. В резуль тате нагревания абсорбента происходит выпаривание из него паров воды.

В испарителе теплообмен между фазами происходит при движении по про тивоточной схеме, так как абсорбент течет в одном направлении, а дымо вые газы – в противоположном.

В процессе исследования была разработана нелинейная ММ управляе мого теплообменного процесса в испарителе:

дг f u дг Rдг дг cт ;

t x а а Rа ст а ;

а t x (3) ст Rдгст дг ст Rаст ст а, t f u Gтг, где Gтг – управляемый расход топливного газа.

ММ управляемого теплообменного процесса в испарителе дополняется граничными условиями и начальными профилями [6].

Исследование полученной ММ (3) показало, что управляемый тепло обменный процесс в испарителе, позволяет поддерживать температурный режим и концентрацию абсорбента на заданном уровне [6]. А поддержание концентрации абсорбента на заданном уровне является конечной целью тех нологического процесса в системе «ДЕСОРБЦИЯ абсорбента».

3. Перейдем к подсистеме «Воздушное охлаждение», которая так же является важной в системе «ДЕСОРБЦИЯ абсорбента». Объектом исследо вания в данной подсистеме является аппарат воздушного охлаждения (АВО), который предназначен для конденсации паров, выходящих с верхней наса дочной секции колонны регенерации. На выходе АВО, после конденсации, образуется флегма (или рефлюкс), которая возвращается для орошения вер хней насадочной части колонны. Одновременно с процессом конденсации в рабочем пространстве АВО происходит накопление воздуха и других не конденсирующихся газов, которые выделяются из парожидкостной смеси, а также проникают через неплотности в соединениях аппаратуры из окру жающего воздуха. Накопление неконденсирующихся газов и рост их пар циального давления приводят к уменьшению разрежения в колонне регене рации. Поэтому для поддержания вакуума в колонне регенерации на задан ном уровне производится непрерывный отвод из АВО неконденсирующих ся газов. Для этого в системе «ДЕСОРБЦИЯ» применяется вакуум-насос, который также служит для предотвращения колебаний давления, обуслов ленных изменением температуры охлаждающего агента (атмосферного воздуха).

Для обеспечения требуемой температуры флегмы на выходе из аппарата, что является основной задачи регулирования, была разработана ММ управляе мого теплообменного процесса в конденсационных секциях АВО:

нп нп нп Rнп нп са, t x (4) d са Rс1 f u Rс2 нп Rс са, dt где Rc Rc1 Rc2, f (u ) – управляющее воздействие.

Структурная схема ММ управляемого теплообменного процесса в конденсационных секциях АВО представлена на рис. 2.

Рис. 2. Структурная схема ММ управляемого теплообменного процесса в конденсационных секциях АВО Исследование полученной ММ (4) представлено в [7].

ЛИТЕРАТУРА 1. Кулиев А.М., Алекперов Г.З., Тагиев В.Г. Технология и моделирование процессов подготовки природного газа. М.: Недра, 1978.

2. Кафаров В.В. Моделирование химических процессов. М.: Знание, 1968.

3. Тараненко Б.Ф., Герман В.Т. Автоматическое управление газопромыс ловыми объектами. М.: Недра, 1976.

4. Протодьяконов И.О., Муратов О.В., Евлампиев И.И. Динамика про цессов химической технологии: Уч. пособие для вузов. Л.: Химия, 1984.

5. Абрамкин С.Е., Душин С.Е., Кузьмин Н.Н. Математические модели управляемых массо- и теплообменных процессов в комплексе технологичес ких систем «АБСОРБЦИЯ-ДЕСОРБЦИЯ» //Изв. ЮФУ. Технические науки.

2011. Вып.6. С. 255-264.

6. Абрамкин С.Е., Душин С.Е., Поляшова К.А. Математическая модель управляемого теплообменного процесса в испарителе // Изв. СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2011. Вып. 9. С. 32-36.

7. Абрамкин С.Е., Грудяева Е.К., Душин С.Е. Система регулирования теп лообменного процесса в аппарате воздушного охлаждения // Изв. СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2011. Вып. 6. С. 35-40.

SIMULATION OF CONTROLLED MASS AND HEAT TRANSFER PROCESSES IN THE SYSTEM OF NATURAL GAS PREPARATION FOR TRANSPORTATION Abramkin S.E., Dushin S.E., Kuzmin N.N.

(SPbSEU «LETI» named by V.I. Ulyanov (Lenin)) Keywords: mathematical model, natural gas, absorption, desorption, mass exchange, heat exchange, controlled process.

ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ МАНИПУЛЯЦИОННОЙ СИСТЕМЫ Абрамов Н.В.

(Филиал ЮуРГУ, г. Нижневартовск) E-mail: abramoff@mail.ru Введение Совокупность уравнений динамики манипулятора и соответствующих уравнений связей составляет систему дифференциально-алгебраических урав нений. Дифференциально-алгебраические уравнения в последнее время явля ются объектом интенсивных исследований [1,2]. Основной проблемой в этих исследованиях является обеспечение асимптотической устойчивости интеграль ного многообразия, соответствующего уравнениям связей. В [3] для обеспече ния устойчивости движения по интегральному многообразию было предложе но использовать уравнения программных связей и их возмущений.

В настоящей работе описывается метод построения уравнений динами ки манипуляционных систем с программными связями. Предлагается алгоритм решения задачи управления с учетом динамики приводов при постоянно дей ствующих возмущениях.

Постановка задачи 1. Определение положения многозвенного манипулятора Рассмотрим манипулятор, состоящий из n звеньев, соединения между которыми допускают прямолинейное поступательное движение последующе го звена по отношению к предыдущему звену или вращения последующего звена вокруг оси, связанной с предыдущим звеном. Пусть для i-звена ось Oizi системы координат Oixiyizi, связанной с i-звеном манипулятора, направлена вдоль оси сочленения, соединяющего i-звено с i+1-звеном, Oixi-ось, направлена вдоль общего перпендикуляра к осям сочленений звеньев с направ лением от Oi 1 zi 1 к Oizi, i 0,1,, n. Обозначим через i угол между осями з Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 10-01-00381.

Oi 1 xi 1 и Oixi, si – расстояние от Oi 1 до точки Ci 1 пересечения оси Oi 1 zi 1 с об си щим перпендикуляром к осям Oi 1 zi 1 и Oizi, ai=Ci-1Oi, i - угол между осями Oi 1 zi 1 и Oizi. Введем промежуточную систему координат Oi xi 1,i yi 1,i zi 1,i. Если определить положение точки в трехмерном евклидовом пространстве Oixiyizi вектором R i xi,1, xi,2 xi,3, xi,4, xi,1 xi xi,4, xi,2 yi xi,4, xi,3 zi xi,4, xi,4 1, про ективного пространства, то переходу от Oi 1 xi 1 yi 1 zi 1 к Oi xi 1,i yi 1,i zi 1,i и от т Oi xi 1,i yi 1,i zi 1,i к Oixiyizi будут соответствовать матрицы 10 0cos i sin i A i 1,i 0sin i sin i 0 ;

0 0 01 cos i sin i 0 sin i cos i 0 A i 1,i 0 01 si.

0 0 01 В зависимости от вида соединения обобщенной координатой qi, опре деляющей положение i-звена относительно предыдущего i-1-звена, являет ся i si 0 или si i 0. Положение i-звена относительно неподвижного о пространства Oxyz определяется матрицей Si A01A1A12 A 2 Ai 1,i Ai. Про грамму движения манипулятора можно представить в виде зависимостей, определяющих значения отдельных координат звеньев манипулятора, кото рые выражаются через обобщенные координаты, либо положения j1,..., jk – звеньев относительно i1,..., ik звеньев, либо в виде связей между координа тами отдельных звеньев и их производными, выраженные через обобщен ные координаты и скорости. Обобщенные координаты qi,введенные таким образом, позволяют описывать поступательное движение i-звена манипу лятора, движение центра схвата по заданной кривой или поверхности, вра щательные движения схвата и различные неголономные программы, соот ветствующие его движениям.

2. Уравнения динамики манипуляционной системы Для описания динамики манипуляционных роботов обычно используют уравнения Лагранжа второго рода. Представим лагранжиан в виде разности L T q, q P q. Кинетическая энергия 2T qT H q q, H q hij q, i, j 1,..., n и потенциальная энергия P P q манипулятора вычисляются как сум мы энергий всех звеньев:

n n T Tk, P Pk.

k 1 k Кинетическая энергия k-звена определяется выражением R R dm V tr V M V, T T T 2Tk tr Vk k k k k k k k Bk Ck Ak / 2 Fk Ek mk xci Bk Ck Ak / Fk Dk mk yck Mk Bk Ck Ak / 2 mk zck, Ek Dk mk xck mk yck mk zck где Ak, Bk, Ck – моменты инерции относительно осей Okxk, Okyk, Okzk;

Ek, Fk, Dk – центробежные моменты, xck, yck, zck, – координаты центра масс в системе Okxkykzk, mk – масса k – звена. Матрица Vk определяется выражением:

k Vk U ki qi, U ki A 01A1A12 A 2 Ai 1QAi 1,i Ai Ai 1 A k.

i где матрица Q Q1 для сочленения вращательного типа и Q Q 2 для призма а тического подвижного соединения, 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 Q Q1,.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Если потенциальная энергия манипулятора определяется только одно родным полем силы тяжести и положение центра масс k-звена задается векто ром R ck xck, yck, zck,1, то о n P mk GS k R ck, G 0,0, g,0.

k 3. Уравнения динамики манипулятора с учетом динамики приводов Динамика манипулятора с n степенями свободы описывается уравнения ми Лагранжа второго ода [1,2] d L L dqi i 1,, n, (1) qi, wi, dt dt qi qi где qi, qi – соответственно обобщенные координаты и скорости, L – лагранжи ан, L = T – P, T – кинетическая энергия, P – потенциальная энергия манипуля тора, wi – обобщенная сила, действующая на звено с номером i. Полагая 2T qT H q q, где H q hij q, i, j 1,, n, – положительно-определен ная симметричная матрица, после проведения процедуры дифференцирования в левых частях уравнений (1) представим уравнения динамики в виде dq q, H q q C q, q q p q w.

dt Здесь q Q0 Rn – вектор обобщенных координат, определяющих положение манипулятора, q Q1 Rn – вектор обобщенных скоростей;

C q, q матрица центростремительных и кориолисовых сил, зависящих от обобщенных коорди нат и скоростей, причем компоненты вектора C q, q q col C1,, Cn представ ляют собой квадратичные формы относительно обобщенных скоростей;

p q col p1,, pn – вектор внешних сил тяготения;

w Rn – вектор обоб щенных сил или моментов w1,, wn, развиваемых исполнительным устройством.

Будем рассматривать задачу управления манипулятором, в качестве ис полнительных устройств которых используются электродвигатели постоянно го тока. Для составления уравнений динамики двигателя запишем уравнения Кирхгофа для цепи якоря di t Ri t e t u t, w t K a iв i t, L (2) dt где u – напряжение, L – индуктивность, R – сопротивление, i – ток в цепи якоря, d вра e – электродвижущая сила, пропорциональная угловой скорости dt щения вала двигателя, e t K b t t, K b t – коэффициент пропорциональ ности, w t – момент, развиваемый на валу, K a iв – коэффициент пропорцио нальности. Ток в обмотке возбуждения iв и коэффициент K a iв будем считать постоянными. С учетом сделанных предположений перепишем уравнение (2) относительно момента w, развиваемого двигателем:

KK K R w a b a u. (3) w L L L Угол вращения двигателя связан с угловым перемещением нагрузки н KK R a0, a b d 0, отношением н t n t. Вводя обозначения L nL Ka b 0, уравнение (3) можно представить в виде:

L dw aw dv bu.

dt Окончательно уравнения динамики манипулятора с учетом динамики приводов могут быть записаны следующим образом:

dq dq q, H q C q, q q p q w, dt dt (4) dw Aw Dq Bu.

dt Здесь вектор t Rn, оценивающий неопределенные, но ограниченные вместе с производными внешние возмущения, A, D, B – диагональные матри цы с положительными постоянными коэффициентами передачи ai, di, bi, u – вектор напряжений ui, i = 1,…,n, якорей электродвигателей, которые являются управляющими воздействиями, приложенными к звеньям манипулятора.

4. Управление программным движением манипулятора Представим систему уравнений (4) в виде, разрешенном относительно производных dq q, dt dq H 1 q C q, q q p q w, (5) dt dw Aw Dq Bu.

dt Рассмотрим следующую задачу. Пусть движения манипулятора ограни чены уравнениями голономных и неголономных связей, наложенных на обобщенные координаты и скорости f q, t 0, f q, q, t 0, (6) f f 1,, f m1, f f m1 1,, f m1 m2, m1 m2 n.

Уравнения (6) могут определять, например, траекторию схвата манипу лятора и зависимости между прямоугольными координатами в трехмерном пространстве, определяющими положение его центра, и проекциями скорос тей этой точки, выраженными через обобщенные координаты. В частности, уравнениями (6) можно задавать семейство траекторий центра схвата из на чальной точки в конечную точку с обходом препятствий [4]. Вектор u, задаю щий законы управления приводами манипулятора, должен быть определен так, чтобы обобщенные координаты q и скорости q удовлетворяли уравнениям свя зей (6), если начальные условия q t0 q 0 q t0 q 0 (7) выбраны соответствующим образом:

f q 0, t 0 0, f q 0, q 0, t0 (8) и обеспечивалась устойчивость выполнения уравнений связей, когда условия (6) нарушаются.

Для оценки отклонений от уравнений связей (6) используем уравнения программных связей [2] f q t, t y t, f q t, q t,t y t. (9) Правые части y t, y t в равенствах (9) составляют вектор-функции, удовлетворяющие уравнениям возмущений связей:

d3y d2y dy dy K11 2 K12 K13 y K11 K12 y 0, dt dt dt dt (10) d 2 y d2y dy dy K 21 2 K 22 K 23 y K 21 K 22 y 0.

dt dt dt dt Здесь коэффициенты K11,..., K 22 при переменных y, y и их производных в общем случае представляют собой матрицы соответствующих размерностей, элементы которых представляют собой функции, зависящие от векторов q, q, w, определяющих состояние системы (5). Условия, которые следует наложить на эти матрицы определяются последующими требованиями, накладываемыми на динамику манипулятора. К ним относятся требование устойчивости по от ношению к уравнениям связей, стабилизация связей при численном решении уравнений динамики манипулятора и другие. Так, если матрицы коэффициен тов системы уравнений (10) при переменных y, y и их производных являются постоянными, то для асимптотической устойчивости ее тривиального реше ния y 0, y 0 достаточно потребовать, чтобы корни характеристическогоо уравнения системы имели отрицательные действительные части. При этом со храняется устойчивость по отношению к уравнениям связей при постоянно действующих возмущениях. В случае, когда элементы матриц коэффициентов зависят от обобщенных координат и скоростей манипулятора и приводов, ус ловия устойчивости определяются методом функций Ляпунова.

Введение уравнений программных связей позволяет сформулировать условия устойчивости движения манипулятора по отношению к уравнениям связей (6). Пусть начальные условия (7), неконтролируемые внешние возму щения t и их производные t ограничены неравенствами f q 0, t0, f q 0, q 0, t0, t, t.

Если начальные значения q0, q0 не удовлетворяют условиям (8), откло нения от уравнений связей при t t0 ограничены величиной :

z0, d2y dy dy z y, y, y, y, y, y, y 2, y, z zT z 2, dt dt dt f q0, t0 y0, f q0, v0, t0 y0, f q0, v0, w0, t0 y0, f q0, v0, t0 y0, f q0, v0, w0, t0 y внешние возмущения ограничены, то для стабилизации связей (6) достаточно устойчивости тривиального решения z = 0 системы уравнений возмущений связей (10).

ЛИТЕРАТУРА 1. Rentrop P., Strehmel K. and Weiner R. Ein Uberblick uber Eincshrittverfaren zur numerischen Integration in der technischen Simulation // GAMM-Mitteilungen.

Band 19. Heft 1. 1996. P. 9-43.

2. Мухарлямов Р.Г. О построении систем дифференциальных уравнений движения механических систем // Дифф. уравнения. 2003. Вып. 39, № 3, с. 343 353.

3. Мухарлямов Р.Г. Стабилизация движений механических систем на заданных многообразиях фазового пространства // ПММ. 2006. Том 70. № 2.

С. 236-249.

4. Мухарлямов Р.Г. Уравнения движения механических систем // М., изд. РУДН, 2001, 99 с.

CONSTRUCTION OF THE EQUATIONS OF DYNAMICS OF HANDLING SYSTEM Abramov N.V.

(Branch YuRGU, Nizhnevartovsk) Keywords: Stability, dynamics of the manipulator, the equation of communications, integrated variety, dynamics of drives.

МОДЕЛИ ТОЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА Абраров Д.Л.

(ВЦ РАН им. А.А. Дородницына) Е-mail: abrarov@yandex.ru Введение Уравнения Эйлера-Пуассона, описывающие динамику тяжелого твердо го тела с неподвижной точкой имеют вид:

M t M t, t t, c (1) t, t, (2) где M – вектор кинетического момента тела, – вектор угловой скорости тела,, – оператор векторного произведения в трехмерном евклидовомм пространстве, – вектор, компоненты которого являются проекциями вектора вертикальной оси неподвижной системы отсчета, жестко связанной с трехмер ным евклидовым пространством, на оси подвижной системы координат, жест ко связанной с телом (волчком).

При этом, M I, где оператор I представляется симметрическими матрицами размера 33 с положительными вещественными элементами, удов летворяющими неравенству треугольника (приведение матрицы оператора инер ции к диагональному виду всегда возможно).

Хорошо известно, что уравнения (1) – (2) интегрируются при специ альных значениях входящих в них параметров I и с, соответствующих клас сическим случаям Эйлера, Лагранжа и Ковалевской ([1]), к которым также следует добавить так называемый «тривиальный случай»: I – единичная матрица, с 0.

В случаях Эйлера, Лагранжа и тривиальном производная по времени t от компонент, зависящих от t векторов и представляется соответствую щими эллиптическими квадратурами с соответствующими знаками «+» или «–» перед ними.

В случае Ковалевской производная по времени t от компонент векторов и, зависящих от t, представляется соответствующими гиперэллиптическими квадратурами.

Случаи Эйлера, Лагранжа, Ковалевской и тривиальный относятся к случаям общей интегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона. Они харак теризуются тем, что в них зависимости переменных входящих в эти уравне ния, т.е. компонент векторов и, представляются аналитическими зави симостями от времени и от числа произвольных постоянных, равному раз мерности фазового пространства уравнений (1) – (2), которое равно шести.

Вместе с тем, позже были обнаружены случаи так называемой част ной интегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона. Эти случаи характери зуются тем, что в них решение исходных уравнений представляется соот ветствующими эллиптическими квадратурами не только при специальных значениях I и с, но и при специальных значениях начальных условий и 0. С механической точки зрения таким решениям соответствуют изо лированные периодические движения указанных специальных волчков ([2]).

Постановка задачи Автором была сформулирована задача ([3]): найти механизмы, объеди няющие все известные общие и частные решения уравнений (1) – (2) и, воз можно, найти новые решения. При этом также ставятся следующие задачи ([5]):

• найти единую геометрическую и механическую интерпретацию всего множества полученных решений;

• найти соответствующее унифицирующее обобщение теоремы Лиувил ля-Арнольда;

• согласовать найденный унифицирующий механизм с аналитической теорией возмущений уравнений Эйлера-Пуассона;

• согласовать найденный унифицирующий механизм с теорией интегри рования гамильтоновых уравнений на коприсоединенных представлениях ал гебр Ли;

• найти механический и физический смысл найденного механизма.

Полученные результаты.

I. Основным и удивительным результатом предпринятого исследования стало обнаружение явления точной разрешимости уравнений (1) – (2): для урав нений Эйлера-Пуассона существует явное общее решение в указанном выше классическом смысле общего решения дифференциальных уравнений (1) – (2).

Естественно, что при этом полученное общее решение содержит все извест ные решения, упомянутые выше.

Искомое общее решение было получено в результате координатиза ции аналитической склейки указанных выше «ветвей со знаками» решений случая Эйлера в точке t = [4]. Другими словами, общее решение уравне ний (1) – (2) явилось результатом аналитического продолжения решений случая Эйлера в t = с учетом свойства обратимости по времени как урав нений волчка Эйлера, так и уравнений Эйлера-Пуассона в целом. С механи ческой точки зрения это означает аналитическое включение всегда существу ющих относительных «вертикальных равновесий» волчков в фазовое простран ство уравнений (1) – (2).

Теорема 1 (Аналитическая модель точной разрешимости). Общее реше ние уравнений (1) – (2) представляется следующими векторнозначными функ циями:

M t M s exp E Q, s 0 E Q, s, s C, t Re s t s exp Re E Q, s E Q, s t s exp Im E Q, s E Q, s, где E Q, s – дзета-функция эллиптической кривой E Q ;

E Q – любая полустабильная и сингулярная эллиптическая кривая над полем рациональных чисел Q;

0 E Q, s E Q, s1 0, E Q, s2 0, E Q, s3 0, где s1, s2, s3 – первые три нетривиальные, т.е. имеющие ненулевую мнимую часть, нули функции E Q, s.

Замечание 1. Теорема уточняет соответствующее утверждение из [5] (Те орема 1.2).

Замечание 2. Определения таких содержательных объектов как функций E Q, s, полустабильных и сингулярных эллиптических кривых E Q со держатся в [5].

Замечание 3. Равенства M t M s, t s, t s следу ду ют из самосопряженности соответствующих операторов в правой части.

Замечание 4. Соответствие между общими интегрируемыми случаями урав нений (1) – (2) и указанным в теореме 1 общим решением обсуждается в [5].

Соответствие с частными случаями остается открытым вопросом.

II. Еще одним также удивительным результатом исследования явился следующий парадоксальный факт, описывающий динамическую структуру фазового пространства уравнений Эйлера-Пуассона.

Теорема 2 (Динамическая модель). Общее решение уравнений Эйлера Пуассона совпадает с решением этих уравнений для случая Ковалевской.

Замечание 1. Факт совпадения пространства решений для общего случая с формально произвольными параметрами Diag(I) = (I1, I2, I3) и С = (c1, c2, c3) и для случая Ковалевской, где I1 = I2 = 1, I 3 ;

c3 = 0 следует из очень жесткой структуры результата упомянутого выше аналитического продолжения реше ний случая Эйлера в t = по параметрам I и С. Необходимость же данного о продолжения следует из обратимости по t уравнений Эйлера-Пуассона. Таким образом, общее решений уравнений (1) – (2) является специальным частным его решением.

Замечание 2. Система из двух уравнений Ковалевской на переменные s1, s ([1], [5]) является канонической нормальной формой уравнений Эйлера-Пуассо на с учетом их свойства обратимости по времени. В этом смысле волчок Кова левской является инерциальным тяжелым волчком.

Замечание 3. Все остальные решения уравнений (1) – (2) получаются естественным вырождением решений случая Ковалевской, имеющим дискрет ную структуру по параметрам I и С. С геометро-топологической точки зрения общее решение уравнений Эйлера-Пуассона (решение уравнений Ковалевской) представляются функциональным CW – комплексом. При этом главной клет кой является решение уравнений Ковалевской, а примыкающим клеткам соот ветствуют решения остальных интегрируемых случаев.

III. Еще одним результатом, подтверждающим факт точной разрешимос ти уравнений (1) – (2) в указанном выше смысле является следующий резуль тат, представляющий единую алгебраическую структуру общего решения.

Теорема 3 (Алгебраическая модель). Уравнения Эйлера-Пуассона ин тегрируются на коприсоединенном представлении функциональной алгебры Ли G2 Q t G2 Q t, * M t Ad где G2 – простая исключительная алгебра Ли ранга 14, Q(t) – поле дробно-ли нейных функций.

Замечание 1. Данный результат уточняет соответствующее утверждение из [5].

Замечание 2. Данное утверждение позволяет произвести количествен ную классификацию общего числа интегрируемых случаев. Их общее число равно 14 – рангу алгебры Ли G2. Можно показать, что число общих случаев интегрируемости равно в точности 4 (случаи Эйлера, Лагранжа, Ковалевской, тривиальный). Это подтверждает гипотезу В.В. Козлова об отсутствии случа ев аналитической интегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона кроме четы рех классических.

IV. Следующий результат представляет единую геометрическую модель общего решения уравнений Эйлера-Пуассона.

Теорема 4 (Геометрическая модель). Фазовое пространство уравнений Эйлера-Пуассона представляется геодезическим потоком больших кругов на стандартной трехмерной сфере S 3, имеющим класс гладкости С1.

Замечание 1. Данное утверждение допускает интерпретацию как единый результат аналитического продолжения всех слоений Лиувилля-Арнольда ин тегрируемых случаев уравнений (1) – (2) в t =. Эта интерпретация играет роль глобальной (определенной на промежутке времени, включающем беско нечно удаленную точку) теоремы Лиувилля-Арнольда для уравнений Эйлера Пуассона.

Замечание 2. Указанный в теореме 4 геодезический поток имеет структу ру функционального CW – комплекса, клетки которого соответствуют фазо вым потокам интегрируемых случаев.

V. Сформулируем механический смысл полученного общего решения.

Теорема 5 (Механическая модель). Общее решение уравнений (1) – (2) представляет четырнадцать типов гироскопов, включая гироскопы Эйлера, Лагранжа и Ковалевской.

В частности, общее решение объясняет парадоксальное движение гирос копов, продемонстрированных на http://youtube/watch.gyroscope.

ЛИТЕРАТУРА 1. Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М.: ГИТТЛ, 1953, 235 с.

2. Горр Г.В, Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи твер дого тела. Развитие и современное состояние. Киев: Наукова думка, 1978, 296 с.

3. Абраров Д.Л. Точная разрешимость и каноническая модель уравнений Эйлера-Пуассона / Механика твердого тела. 2007. Вып. 37. C. 42 – 69.

4. Абраров Д.Л. Решение уравнений волчка Эйлера с учетом их обрати мости по времени / Механика твердого тела. 2008. Вып. 38. C. 31 – 56.

5. Абраров Д.Л. Дзета-функции и L-функции в гамильтоновой динамике.

М.: ВЦ РАН, 2011. 225 с.

THE MODELS OF EXACT SOLVABILITY OF THE EULER-POISSON EQUATIONS Abrarov D.L.

(CCAS named by A.A. Dorodnitsyn) Keywords: exact solvability, Euler-Poisson equations, zeta-functions of elliptic curves over Q, simple Lie algebras over Q(t), global version of the Liouville-Arnold theorem.

СТРУКТУРНАЯ ФОРМА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Анищук С.А.

(Институт динамики систем и теории управления СО РАН, г. Иркутск) Рассматривается система уравнений в частных производных u u A x, t B x, t C x, t u f x, t, (1) x t u x, t0 u1 x, u x0, t u2 t, u u ( x, t ) – искомая n-мерная вектор-функция;

A (x, t), B (x, t), где C (x, t) – заданные ( n n) – матрицы, определенные в области U x, t : x x0, x1, t t0, t1 R 2, f ( x, t ) – заданная n-мерная вектор-фун кция. Допускается случай, когда det A( x, t ) 0, det B ( x, t ) 0, det C ( x, t ) ( x, t ) U, а также произвольно высокие индексы неразрешенности относи тельно производных по обеим переменным.

Целью данной работы является получение структурной формы для сис темы (1), в которой разделены «дифференциальные» и «алгебраическая» под системы. Анализ опирается на результаты статьи [1].

Пусть в (1) коэффициенты и правая часть достаточно гладкие. Системе (1) ставится в соответствие система линейных алгебраических уравнений r k u r k f u u f f Dr,k colon u,,,..., r k colon f,,,..., r k, (2) x t x t x t x t r k u u u в которой u,,,..., r k рассматриваются как независимые перемен x t x t ные. Система (2) называется r,k – продолженной системой по отношению к системе (1). Она получается из (1) как k-дифференциальное продолжение по переменной t для r-продолженной системы по переменной x. Под r-продол женной системой по переменной x следует понимать совокупность системы (1) и ее r полных производных по x. При этом r и k называются индексами неразрешенности системы (1) соответственно по переменным x и t. В терми нах рангов матриц, описывающих r, k-продолженную систему, получены усло вия, при которых система (1) может быть преобразована к виду u1 G1,1u2 G1,2u3 g1 ( x, t ), (3) u u2 u G2,1 3 G2,2 2 G2,3u2 G2,4u3 g 2 ( x, t ), (4) x x t u3 u G3,1 3 G3,2u3 g3 ( x, t ), (5) t x где u ( x, t ) Qcolon u1 ( x, t ), u2 ( x, t ), u3 ( x, t ), Q – матрица перестановок строк, Gi, j Gi, j ( x, t ) – непрерывные матрицы. Если система (1) обладает достаточно гладким решением, то оно будет также решением системы (3), (4).

Система (3) – (5) получается из системы (2) умножением слева на неко торую матрицу R0,0 ( x, t ), R1,0 ( x, t ), R0,1 ( x, t ),..., Rr,k ( x, t ), где Ri, j C (U ) – n n матрицы.

Водится оператор r k R R0,0 x, t R1,0 x, t R0,1 x, t,..., Rr, k x, t r k, (6) x t x t который преобразует систему (1) к виду (3) – (5). Для оператора (6) получен конструктивный алгоритм нахождения коэффициентов этого оператора Доказано, что при некоторых условиях множество решений исходной задачи совпадает с множеством решений преобразованной системы. Предла гаемый подход позволяет находить решения рассматриваемой системы и дает конструктивное согласование начальных данных.

ЛИТЕРАТУРА 1. Щеглова А.А. Преобразование линейной алгебро-дифференциальной системы к эквивалентной форме // Тр. IX Четаевской междунар. конф. «Анали тическая механика, устойчивость и управление движением». Иркутск, 2007.

Т. 5. C. 298-307.

ИССЛЕДОВАНИЕ НАГРУЖЕНИЯ ЛОПАСТЕЙ НЕСУЩЕГО ВИНТА ВЕРТОЛЕТА «АНСАТ»

В ЗОНЕ ВЛИЯНИЯ ЗЕМЛИ Антошкина М.Н., Николаев Е.И.

(КНИТУ-КАИ, г. Казань) E-mail: antoshkina.m@gmail.com, nikjhon@yandex.ru Как известно, характер распределения нагрузки в дисковой вихревой те ории несущего винта влияет на поле индуктивных скоростей. В свою очередь индуктивный поток является важнейшим фактором, влияющим на величину индуктивных потерь, а также сил и моментов, действующих на несущий винт вертолета. Поэтому усилия многих авторов направлены на создание теории и методов, позволяющих наиболее простым способом произвести расчет индук тивных полей, на основе которых могут быть найдены аэродинамические ха рактеристики несущего винта.

Целью работы было применить метод дискретных вихревых цилиндров для расчета нагрузок на лопасти в зоне влияния земли.

В основе работы лежит один из медов расчета индуктивных скоростей В.И. Шайдакова [1-4]. Исследуются свойства вихревого слоя, покрывающего скошенную вихревую поверхность, имеющую произвольную форму в сече нии и уходящую одним концом в бесконечность. Вихревые нити параллель ны основанию цилиндра, которое лежит в плоскости начала вихревого ци линдра (рис. 1).

Выражения для дифференциалов проекций индуктивных скоростей на оси косоугольной системы координат были получены Шайдаковым В.И.:

z J cos d x J cos J d ;

dvx (1) 1 1 1 1 4 sin z1 J1d x1 J1 cos J 2 d ;

dv y (2) 4 sin sin J1d ;

dvz (3) 1 cos x1 J1d z1 J1d, dv0 = 4 sin где J1 = 2 z1 1 cos 2 x h cos x1 (4) 1 2 2 2 z1 h 2 2h cos x1 x1 z J2 = 2 z1 1 cos 2 x 2 x1 z1 h cos x (5) cos x1.

2 2 2 x1 z1 h 2h cos x1 z ds y y dГ M(,,) e e lA e3 x, x h r lx A n lz m z, z Рис. 1. Цилиндрический вихревой слой и системы координат, используемые при определении его свойств Для вычисления скорости от вихревого цилиндрического слоя ограни ченной ширины необходимо взять контурный интеграл по проекции этого слоя на базовую плоскость Ox1z1 (интеграл по дуге S):

vx1 dvx1 ;

v y1 dv y1 ;

vz1 dvz1. (6) s s s Дисковая модель несущего винта на базе дискретных вихревых цилинд ров. В предлагаемой методике диск несущего винта разбивается на n вихревых цилиндров направленных под углом к плоскости диска в зависимости от ре жима полета (рис. 2). Принято, что погонная циркуляция вдоль образующей внутри каждого объема постоянна, поэтому в формулах (1) – (3) погонную цир куляцию можно вынести за знак интеграла. Это позволяет вычислять функ ции влияния вихревого цилиндра в любой точке пространства до вычисления величин погонных циркуляций, интегрируя по четырем граням вихревой труб ки (рис. 3) z1 J1 cos cos x1 J1 cos J 2 sin ds vx = 4 sin s z1 J1 cos x1 J1 cos J 3 sin ds vy = 4 sin s sin J1 cos ds vz = 4 s 1 cos x1 J1 sin z1 J1 cos ds, v0 = 4 sin s d d cos, sin.

где ds ds Интеграл по всему контуру будет равен сумме интегралов vi dvi dvi dvi dvi, i x, y, z,0.

LN MK ( KL ) ( NM ) x,x x,x d d N ds L z,z A z,z K M O Рис. 3. Вычисление функции влияния Рис. 2. Схема разбивки диска от вихревого цилиндра единичной на дискретные вихревые цилиндры напряженности На отрезках KL и NM угол не меняется по длине отрезка и равен ази мутальному углу положения отрезка. На дугах LN и MK угол переменный, он больше азимутального угла в расчетной точке на 90°. Количество точек на отрезках зависит потребной точности вычисления матрицы влияния. Чем боль ше количество точек, тем точнее результат, но это влияет только на затраты машинного времени на расчет матрицы влияния. На общее время расчета это влияет несущественно. В итоге получим матрицу влияния для вычисления ин дуктивных скоростей, элементами которой будут индуктивные скорости, рас считанные в каждой точке от каждого контура с постоянной циркуляцией рав ной 1 (рис. 3).

Матрица влияния зависит только от угла наклона вихревого цилиндра, который зависит от режима полета, и количества расчетных точек по диску вин та (по азимуту и радиусу). Поэтому ее можно вычислить заранее для всего диа пазона скоростей полета. А в процессе расчетов в зависимости от линейной интерполяцией вычислять необходимую матрицу влияния в плоскости диска несущего винта или точке, в которой необходимо иметь индуктивную составля ющую скорости. Это позволит значительно сократить время расчета. Примене ние матрицы влияния позволяет находить индуктивные скорости для любого закона распределения циркуляции по диску несущего винта. Разработанный метод позволяет находить индуктивные скорости в любой точке пространства, для которой построена матрица влияния, например, в зоне горизонтального и вертикального оперения, в плоскости вращения рулевого винта.

Зная вектор индуктивных скоростей в любой точке пространства, мож но проследить перемещение точек воздушного потока с диска несущего вин та (рис. 4). Точками показано положение концевого вихря, вычисленного по лопастной вихревой теории [6].

-5 -3 -1 1 3 5 R, м Y, м vortex wake from disk theory wake from free vortex theory Рис. 4. Перемещение точек потока на режиме висения Исследование индуктивных скоростей вблизи земли. При полете на низ кой высоте, при расчетах индуктивных скоростей следует учитывать влияние земли. Эффект влияния земли можно моделировать так называемым зеркаль ным отражением несущего винта относительно поверхности земли (рис. 5).

Рис. 5. Моделирование эффекта влияния земли Учитываем влияние земли, интегрируя формулы (1-3) вдоль образующей цилиндра не до бесконечности, а до определенной высоты, равной высоте поле та. Путем сложения индуктивных скоростей, найденных от двух зеркально-ото браженных винтов, получаем индуктивные скорости с учетом влияния земли.

Используя полученные индуктивные скорости, были смоделированы линии тока для относительных радиусов r 0.4,0.7,0.9 (рис. 6). Высота висения равна радиусу диска несущего винта. Сплошной линией отмечен диск несуще го винта. Линии тока для скорости полета 30 км/ч с учетом влияния земли по казаны на рис. 7.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 R, м Y, м Ground Рис. 6. Концевые вихри с учетом влияния земли для относительных радиусов R = 0,4, 0,7, 0,95 на режиме висения - -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 R, m Ground Y, m R=0.4 R=0.7 R=0. Рис. 7. Концевые вихри с учетом влияния земли для относительных радиусов R = 0,4, 0,7, 0,95 на скорости полета V = 30 км/ч (0 = 8,07°, 1 = 0,215°, 2 = –0,57°, = 4,02°, = 2,12°, = 8,52°, Ct = 0,01) Разработанное программное обеспечение позволяет моделировать поток воздуха вокруг несущего винта. Учет влияния земли при расчете индуктивных скоростей дает возможность вычислять характеристики вертолета в процессе взлета и посадки.

На рис. 8 показано изменение индуктивной скорости с приближением вертолета к земле. Показано распределение компонентов индуктивной скорос ти по радиусу на режиме висения на разных высотах над и под несущим вин том вертолета с учетом влияния земли. Продольная составляющая индуктив ной скорости от высоты висения практически не зависит.

Vy -0. -0. 0 R -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0. 0. 0. 0. H=-0.97R H=0.5R H=0 H=-0.5R Рис. 8. Распределение нормального компонента индуктивной скорости по радиусу на режиме висения Изменение параметров несущего винта вблизи земли. На опытах с моде лями винтов было замечено, что вблизи земли тяга несущего винта возрастает, а мощность, потребная на его вращение, падает. На рис. 9 показан график из менения тяги несущего винта вблизи земли с учетом полученных индуктив ных скоростей. Сплошной линией показан график тяги НВ, построенный по T экспериментальным данным [5]. На нем показано увеличение тяги KT, где T T тяга несущего винта для данной высоты втулки винта от земли, отнесенной к радиусу несущего винта, т.е. h h, а T соответствует такой высоте, где влия R ние земли пропадает.

KT=T/T 1. 1. experiment 1. calculation 1. 1. 1. 0 1 2 3 h=h/R Рис. 9. Изменение тяги винта вблизи земли Угол установки лопастей оставался в этом опыте неизменным, соответ ствующим полету на высоте, где влияние земли незаметно. На относительных высотах втулки h 0.2 получаем более чем на 50 % повышенную тягу. Этот т эффект называется «воздушная подушка».

На рис. 10 построен график изменения мощности вблизи земли. Тяга остается неизменной, соответствует полету на высоте, где влияние земли неза метно.

На рис. 11 построен график изменения общего шага несущего винта вбли зи земли. Тяга остается неизменной, соответствует полету на высоте, где влия ние земли незаметно.

KL=L/L 0. 0. 0. 0. 0 1 2 3 h=h/R Рис. 10. Изменение мощности вблизи земли Обший шаг НВ, град 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 h=h/R Рис. 11. Изменение общего шага НВ вблизи земли Выводы 1. Применение предварительно вычисляемой матрицы влияния позволя ет находить индуктивные скорости для любого закона распределения циркуля ции по диску несущего винта.

2. Разработанный метод позволяет определять скос в любой точке про странства, включая зону горизонтального и вертикального оперения, плоскость вращения рулевого винта.

3. Возможность учета влияния земли при расчете индуктивных скорос тей позволяет правильно моделировать динамику полета вертолета в процессе взлета и посадки.

ЛИТЕРАТУРА 1. Шайдаков В.И. Свойства скошенного цилиндрического вихревого слоя.

В кн. Проектирование вертолетов, вып. 381, МАИ, 1976.

2. Шайдаков В.И., Асеев В.И. Алгоритмы и программы расчетов при про ектировании вертолетов. Учебное пособие. МАИ, 1979.

3. Шайдаков В.И. Отчет о научно-исследовательской работе. Т. 1. Разра ботка алгоритмов и программ аэродинамического расчета для задач машинно го проектирования вертолетов. Разработка комплекса алгоритмов и программ расчета поля индуктивных скоростей шарнирного несущего винта, Москва, 1979.

4. Шайдаков В.И. Отчет о научно-исследовательской работе. Т. 2. Алго ритм и программы расчета аэродинамических характеристик вертолетных вин тов, 1979.

5. Юрьев Б.Н. Аэродинамический расчет вертолетов. М., Оборон-гиз, 1956. 559 с.

6. Barkel B. Simulation of a Helicopter / Light Aircraft Wake Encounter.

The University of Liverpool, Liverpool, Статья подготовлена при поддержке гранта Правительства РФ для госу дарственной поддержки научных исследований по постановлению Правительства 220 по договору от 30 декабря 2010 г. №11.G34.31.0038.

LOADING BLADES OF MAIN ROTOR OF «ANSAT»

HELICOPTER IN ZONE OF GROUND INFLUENCE RESEARCH Antoshkina M.N., Nikolaev E.I.

(Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev) Keywords: inductive velocity, ground effect.

НОВЫЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СЛУЧАИ ЗАДАЧИ О СВОБОДНОМ ДВИЖЕНИИ ГИРОСТАТА Асланов В.С.

(СГАУ, Россия, г. Самара) E-mail: aslanov_vs@mail.ru Введение Изучение динамики гиростата посвящено большое количество работ, например [1-5], подробный анализ этой проблемы дан в книге [2], а в [3] опи сана эволюция вращения спутника-гиростата при раскручивании ротора.

В [4] для свободного гиростата, состоящего из осесимметричного ротора и несимметричной платформы, получены аналитические решения для проекций вектора угловой скорости при отсутствии внутреннего момента. В предлагае мой работе в переменных Андуайе-Депри уравнения движения гиростата сво дятся к системе с одной степенью свободы. Найдены стационарные решения, проанализирована их устойчивость и получены общие аналитические реше ния в эллиптических функциях канонической системы для всей совокупности отношений моментов инерции гиростата и начальных условий движения. На стоящей статье является развитием работы [5]: к исследованным ранее трем типам гиростатов добавлены два новых и рассмотрены дополнительно четыре новых характерных случая движения. При этом не вводятся ограничения на относительное движение тел, составляющих гиростат.

1. Канонические уравнения и стационарные решения Рассматривается одноосный гиростат, состоящий из несимметричной платформы Ap Bp, C p и осесимметричного ротора Ar Br, Cr, моменты инерции которого равны: A = Ap +Ar, В = Вp +Вr, С = Сp +Сr. Положение систе мы координат Oxyz, связанной с платформой, относительно неподвижной сис Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных иссле дований (09-01-00384).

темы координат OXYZ (рис.1) определяется с помощью канонических пере менных Андуайе-Депри: l, g, h, L, G, H [6]. Ротор повернут относительно плат формы на угол. На рис. 1 также показаны относительная угловая скорость ротора d / dt и кинетический момент гиростата K G K. Если ввести сти безразмерные импульсы s = L/G и d Cr L C p / CG, тогда безразмерным гамильтонианом определяется следующим образом [5] 1 a b (b a)cos 2l 1 s 2 s 2 sd h const.

H l, s (1.1) 4 Рис. Канонические уравнения имеют вид dl H s s d s a b (b a )cos 2l ;

(1.2) d ds H l (b a ) 1 s 2 sin 2l, (1.3) d где Gt / C p – безразмерное время, a C p / A, b C p / B Разрешая относительно cos 2l, получим уравнение фазовой траектории a b 2 s 2 4ds 4h a b. (1.4) cos 2l 1 s 2 b a Канонических уравнений (1.2) и (1.3) и имеют четыре стационарных решения [5]:

cos 2l* 1, s* d / 1 b. (1.5) Выполняя стандартную процедуру линеаризации уравнений (1.2) и (1.3) и в окрестности стационарных положений по l l* l, s s* s, запишем характеристическое уравнение H sl H ss 0;

(1.9) D H ll H ls b a 1 s2 2 a b b a cos 2l cos 2l 0.

Первое стационарное положение устойчиво, если CP B (1.10) b и неустойчиво при CP B (1.11) b Второе стационарное решение устойчиво, если CP A (1.12) a и неустойчиво, если a 1 CP A. (1.13) Для третьего (1.7) и четвертого стационарных решений (1.8) характери стическое уравнение 2 b a 1 cos 2 2l не имеет мнимых корней, поэтому третье и четвертое стационарные решения и неустойчивы.

Отметим, что для осесимметричного гиростата A = B (a = b) гамиль-то ниан (1.1) примет вид a 1 s s H s sd h const.

2 В этом случае координата l является циклической, а безразмерный им пульс s – первым интегралом, т.е. проекция кинетического момента гиростата на ось вращения сохраняет свою величину: L = sG – const и гиростат соверша ет прецессионное движение вокруг вектора кинетического момента с постоян ным углом arccos s.

2. Типы гиростатов и особые точки на фазовых портретах В за-висимости от соотношения моментов инерции будем различать пять видов гиростатов:

1. Сплющенный (Oblate Gyrostat): CP A B b a 1.

b a 1, 2. OI-граничный (Oblate-Intermediate Gyrostat): C P A B b 1 a 3. Промежуточный (Intermediate Gyrostat): A C P B b 1 a, 4. PI-граничный (Prolate-Intermediate Gyrostat): A C P B 5. Вытянутый (Prolate Gyrostat): A B C P 1 b a.

Гиростаты типов 1, 3 и 5 соответствуют областям с теми же номерами, а тип 2 отвечает границе между областями 1 и 3, тип 4 – границе между облас тями 1 и 5 на рис. 2. Координаты особых точек, соответствующие стационар ным решениям (1.5) – (18), приведены в табл. 1 для всех типов гиростатов, нижние индексы «c» и «s» обозначают особые точки типа центр и седло, со ответственно. В силу – периодичности гамильтониана (1.1) по координате l в дальнейшем будем рассматривать на фазовом портрете особые точки на от резке l / 2, / 2, равном одному периоду.

.

Рис. Таблица Координаты особых точек для различных типов гиростатов Особые точки l, s Типы Кинематические гиростатов условия центр седло lc 0 ls d 1a 1 d d Oblate sc 1 a ss 1 b CP A B 1 a b a 1 lc 0 2 a b 2d cos 2ls d 1b ba d 1 sc 1 a ss sgn d 1 b Окончание табл. Особые точки l, s Типы Кинематические гиростатов условия центр седло Oblate lc 0 2d Intermediate cos 2ls 2 b d CP A B d sc ss sgn d 1 b b a 1 1 a lc 0 2 a b 2d cos 2ls 3a d ba d 1 sc 1 a ss sgn d 1 b lc 0 2 a b 2d cos 2ls ba d sc d ss sgn d 1 b 1, Intermediate 1 a 3b A CP B d 2 a b 2d lc 1 cos 2ls b 1 a 1 b ba d ss sgn d sc 1 a 2 a b 2d lc cos 2ls d 3c ba d 1 b ss sgn d sc 1 a Problate- 2d lc Intermediate cos 2ls d / 1 b 4 1 a A CP B d ss sgn d sc b 1 a 1 a 2 a b 2d lc d cos 2ls 1 5a ba 1 b Problate d ss sgn d sc 1 b a 1 a ls lc d 5b 1 d d ss 1 b sc 1 b 1 a 3. Приведение к квадратуре С помощью формулы (1.4) исключим координату l в уравнении (1.3), в результате получим ds F ( s) ;

(3.1) d 1 F ( s ) 4 f a ( s ) f b ( s ), f ( s ) 1 s ds h, a, b. (3.2) 2 Разделяя переменные в уравнении (3.1), получим интеграл ds const (3.3) F (s) который общем случае относится к классу эллиптических интегралов. Преоб разование (3.3) интеграла к нормальной форме Лежандра зависит от вида и расположения корней полинома четвертой степени (3.2). Представим корни этих полиномов в виде s1,2 h d D h / 1 ;

D h d 2 2h 1 ;

a, b. (3.4) При анализе корней (3.4) необходимо знать величину гамильтониана (1.1), для этого составим характеристическое уравнение из вторых производных H ss H sl 0 (3.5) H ls H ll которое имеет следующие корни:

1 1 b, 2 b a 1 s 2 0 для точки l 0 (3.6) 1 1 a, 2 b a 1 s 2 0 для точек l / 2. (3.7) В первом и втором случаях (табл. 1) в центре lc = 0 оба корня (3.6) отри цательны, что соответствует максимуму гамильтониана (1.1). Для третьего слу чая, когда A Cp B, в центре lc = 0 корни (3.6) отрицательны, а центрах lc / 2 корни (3.7) положительны. Для четвертого и пятого случаев (табл. 1) в центрах lc / 2 оба корня (3.7) положительны и это соответствует мини муму гамильтониана (1.1).

Для всех представленных случаев в табл. 1 получены общие решения в эллиптических функция для импульса s s. Приведем только некоторые из них:

Случай 1a,вращение:

s2 s31 s3 s21 sn 2 t t0 ;

k s при s2 s s1 ;

s31 s21 sn 2 t t0 ;

k s4 s31 s1s43 sn 2 t t0 ;

k s s31s24 ;

при s4 s s s31 s41 sn 2 t t0 ;

k s3 s4 s2 s k2 sij s j si, s3 s1 s2 s4, A C B C / AB.

где sn u;

k – эллиптический синус, p p Случай 2, вращение-колебания (d 0):

s s3 s32 sn 2 t t0 ;

k s3 s s2, 2d b 1 s31.

где Случай 3a, вращение-колебания:

s3 s42 s4 s32 sin 2 t t0 ;

k s, s42 s32 sin 2 t t0 ;

k ss A C C B / AB.

s31s42, k 2 41 32, где p p s31s 4. Некоторые замечания Решение для координаты l l. Путем подстановки найденных выше общих решений канонической системы уравнений (1.2) и (1.3) для импульса s s в уравнение фазовой траектории (1.4) можно получить решение для координаты l в виде a b 2 s 2 4ds 4h a b.


cos 2l 1 s 2 b a Сепаратрисные решения. Общие решения в любой из областей враще ния и колебаний, которые разделяются сепаратрисой, на самой сепаратрисе имеют модуль эллиптических функций k = 1. Эллиптический синус в этом слу чае равен гиперболическому тангенсу [7] sn u,1 tanh u.

Замена в полученных выше решениях канонической системы уравнений (1.2) и (1.3) приводит к гомо-гетереклиническим траекториям (движение вдоль сепаратрисы), которые часто используются для исследования хаотического поведения нелинейных систем [8,9] методом Мельникова [10].

ЛИТЕРАТУРА 1. Румянцев В.В. Об устойчивости движения гиростатов // ПММ. 1961.

Т. 25. Вып.1. С. 9-16.

2. Виттенбург Й. Динамика систем твёрдых тел. М.: Мир, 1980. 296 с.

3. Нейштадт А.И., Пивоваров М.Л. Переход через сепаратрису в дина мике спутника с двойным вращением // ПММ. 2000. Т. 64. Вып.5. С.741-746.

4. Hall C., Escape from gyrostat trap states, J. Guidance Control Dyn. (1998) 421-426.

5. Асланов В.С. Интегрируемые случаи задачи о свободном движении гиростата // ПММ. 2012. Т.76. (Принята к печати).

6. Depri A., A free rotation of a rigid body studied in the phase plane, American Journal of Physics V. 35, 1967, Pр. 424-428.

7. Born M. Problem of atomic dynamics, Massachusetts Institute of technology, Cambridge, Mass. 1926, 200 с.

8. Kuang J., Tan S., Arichandran K., Leung A., Chaotic dynamics of an asymmetrical gyrostat, Int. J. Non-Linear Mech.V. 36, 2001 P. 1213-1233.

9. Асланов В.С., Дорошин А.В. Хаотическая динамика неуравновешен ного гиростата // ПММ. 2010. Т.74. Вып. 5. С. 734-750.

10. Мельников В.К. Об устойчивости центра при периодических по вре мени возмущениях. Труды Московского математического общества. Труды Московского математического общества, № 12. 1963. С. 1-56.

NEW INTEGRABLE CASES IN THE FREE DYNAMICS OF AXIAL GYROSTAT Aslanov Vladimir S.

(SSAU, Russia, Samara) Keywords: Axial gyrostat, Andoyer-Deprit variables, solutions in terms of elliptic functions.

ДИНАМИКА И УПРАВЛЕНИЕ БОРТОВОЙ ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННОЙ СИСТЕМЫ В РЕЖИМАХ СКАНИРОВАНИЯ, НАВЕДЕНИЯ И СЛЕЖЕНИЯ Балоев В.А., Матвеев А.Г., Яцык В.С.

(ОАО «НПО «ГИПО», г. Казань) Карпов А.И., Кренев В.А., Молин Д.А.

(КНИТУ-КАИ, г. Казань) E-mail: molin.dmitry@gmail.com При создании бортовых оптико-электронных приборов (БОЭП), в состав которых входят управляемые оптические элементы (зеркала, призмы), объек тив, фотоприемник, усилители-преобразователи возникает проблема поиска оптимальных решений в задачах разработки адекватных математических мо делей, синтеза систем управления БОЭП и исследования их динамических свойств [1-3]. В продолжение работы [4] проводится исследование динамики управления зеркалом БОЭП с помощью компьютерных моделей (КМ) для вы работки требований к алгоритмам управления и их конструктивным парамет рам при проектировании рассматриваемого класса обзорно-поисковых систем в режимах сканирования, наведения и слежения.

1. Математическая модель объекта управления Объект управления моделируется тремя подвижными абсолютно твер дыми телами: тело 1 – азимутальный блок, тело 2 – блок угла места, тело 3 – зеркало, установленными в корпусе, который неподвижно закреплен на лета тельном аппарате.

Положение этих тел относительно корпуса однозначно определяется уг лами поворотов тела 1: 1 и тела 2: 2. Оси вращения первого и второго тел совпадают. Ось вращения зеркала перпендикулярна оси вращения первых двух тел и пересекается с ней. Летательный аппарат (ЛА) совершает заданное дви жение: 1 t, 1 t, aс t – его угловые скорости, угловые ускорения и уско рения центра масс. За инерциальную систему отсчета принята система коорди нат, жестко связанная с поверхностью Земли. Для построения математической модели движения объекта управления относительно ЛА составляются уравне ния Лагранжа 2-го рода смешанным методом Жильбера. Вывод этих уравне ний приведен в работе [4]. Представим их в матричной форме, сохраняя все принятые обозначения [4]:

A N, H, 1 L 1 (t ), 1 cм i M mp P, a ;

i u di (1) u r i ce ;

2 2 1, 1, i 1, u 1, L i 2 u dt где a11 a12 T T ;

N, colon N1, N 2 ;

A C3 E a 4 2 n 1 n 1 D A D n 1 n 2, 1, n 2 N1 n, 4 2 h 1 t k n A ;

H, 1 h t ;

N 2 () 3 ;

n 3 k 0 2 l () l () l 13 () h h 1 h 2 h 3 ;

L() 11 ;

l l l 23 () 21 () 22 () T S T S, 1 colon 1 1 (t ), 1 1 (t ) ;

2 1 s11 s12 s13 1 1 S s23 s12 s22 1 1 1 1 ;

s13 s23 s33 1 1 s11 s12 s13 2 2 s s23 S s22 2 ;

2 2 s13 s23 s33 2 2 M mp.1 sign M mp ;

M mp.2 sign P, a colon g T AcT Ay ao t p1, g AcT Ay ao t p2, T T T T T A r ro.

aO t Ay Ac 11 1 1 E A T T rс y o Результаты синтеза алгоритмов и исследования динамики БОЭП в режимах сканировании, наведения и слежения приведены ниже.

2. Режим сканирования пространства При поле обзора по углу азимута 1 = 0…360° и по углу места = 0° … max (СКАН-1) с полем зрения и зоной перекрытия p, при частоте кадров f программные угловые скорости приводов по азимуту и углу места принима ются следующими:

р 1пр р f, 2пр1 1пр 1 360. (2) 180 Затем поле обзора просматривается путем изменения угла места от max до 0 (СКАН-2), при этом программная угловая скорость привода по углу места в отличие от (2) меняется:

р 2пр 2 1пр 1 360. (3) Время обзора без учета инерционных свойств объекта управления 360 max. (4) Tобз f p Такой цикл обзора (СКАН-1, СКАН-2) повторяется многократно. Про граммные значения угловой скорости объекта управления имеют вид:

Т Т, 2пр 1пр 1пр. (5) 2пр 1пр 2пр Из уравнений (1) находим значения программного напряжения, которое зависит и от значений углов 1, 2 и от маневра ЛА. В течение одного цикла программные напряжения принимаются следующими:

r M mp N 0, 1np H 0,0 1np P 0,0 ce 1np, u1пр cM r M mp N 0, 2пp H 0,0 2пp P 0,0 ce 2пp.

u2 пр cM Для компенсации возмущений, действующих на объект управления со стороны ЛА, и перекрестных связей между каналами приводов по азимуту и углу места законы изменения напряжений, подаваемых на двигатели (законы управления), выбираются такими:

при 0 0 max, u1 27 B, u1 u1пp koc 1пp (6) при 0 max 0, u2 27 B.

u2 u2 пp koc 2пp Значения компонентов вектора текущей угловой скорости () вычисля ются по показаниям датчиков углов с учетом их дискретности.

В соответствии с уравнениями (1)-(6) в среде Mathcad разработана КМ.

На рис. 1 приведены результаты моделирования (расположение кадров по го ризонтали и вертикали (а) и зависимость (t) (б)) при заданных конструктив ных параметрах объекта управления, установленного на ЛА, совершающем правильный вираж со скоростью 1500 км/ч и углом крена 80, для max 60, f = 400 Гц, 5,6, p 0,11 при дискретности датчиков ов углов 4096 штрихов/об, kос =10.

а б Рис. 1. Расположение кадров (а) и сканирования по углу места (б) Время обзора, найденное по формуле (4), равно 2,002 с. Имитационное моделирование показало (рис. 1), что при изменении угла места (t) от 0 до 60° Tобз = 1,98 с, а при изменении от 60 до 0° – Tобз = 2,19 с.

3. Режим наведения Предлагаются законы управления приводами объекта управления при на ведении на объект наблюдения, положение которого задается углами 1ц 1ц (t ), ц ц (t ) :

U u np u1. (7) Программное напряжение uпр определяется движением цели r M mp N пр, пр H пр,0 пр P np, a ce пр, uпр cM U 0, если u U 0, (8) u1 U 0, если u U 0, u, если U 0 u U 0.

здесь U0 – значение напряжения, подаваемое на двигатели в момент перехода Т ;

u 1, u 2 – за из режима сканирования в режим наведения, u u 1 u коны управления приводами по азимуту и углу места:

u1 k1 1ц 1 k ву 1 ;

u 2 k2 2ц 2 k ву ц 2, (9) если 1ц 10, 1ц, где ву 1ц 2, если 1ц 10, k 1 k 2 150;

k 17;

1, 2 – соответственно текущие значения угловых ско о ростей приводов по азимуту и углу места (вычисляются по показаниям датчи ков углов с учетом их дискретности);

ui 27 B i 1,2.

Структурная схема системы автоматического управления (САУ) показа на на рис. 2. Здесь ОУ – объект управления, ВУ – вычислительное устройство, ДУ – датчик угла. Моделирование уравнений (1), (7) – (9) проводилось в среде Mathcad. На рис. 3 показана траектория движения оптической оси к объекту наблюдения ( 1ц 270, ц 0 ) из положения 1 0 180, 1 0 25,918рад с, 0 30, 0 0,356 рад с. Конечный участок тра ра ектории (рис. 3, б).

Рис. 2. Структурная схема КМ САУ в режиме наведения а б Рис. 3. Траектория наведения Предложенные законы управления (9) обеспечивают переход из режима сканирования на заданную линию визирования за 0,5 с с максимальными по грешностями: по углу азимута – 0,08°, по углу места – 0,095°.

4. Режим слежения Для исследования динамики уравнения (1) приведены к виду, удобному для синтеза регуляторов и разработки КМ:

см см се 1 1 M тр1 a12 ()2 f ()2 2 f ()12 D() 1 u r r 1 ;

(10) a11 () h(t ) 2 l11 ()x1 t l12 () y1 t l13 ()z1 t s1 (t ) p1 (t ) см см се 1 2 M тр 2 a21 () 1 d ()2 h(t ) 1 u (11) r r 2 ;

a22 x1 t l22 () y1 t l23 ()z1 t s2 (t ) p2 (t ) l21 () 2 2 1. (12) где а11(), а12(), а21(), а22();

s1 (t ), s2 (t );

p1 (t ), p2 (t ) – элементы матриц, входя щих в уравнения (1).

Синтез алгоритмов управления проводился частотным методом [2], ис ходя из условий устойчивости и заданных требований качества регулирования и качества изображения ОЭП. Последние требования определяются из допус тимой функции передачи модуляции (ФПМ) системы слежения (ССл) [5]:

доп доп TССл 3 TОЭС TCT. (13) доп где v – пространственная частота, TОЭС – допустимая ФПМ ОЭС, найден ная по формулам:

п и доп T exp ОЭC 16ln 2m p. (14) 2sin и 2 1 2Pлт, m p 2 Pобн 1, (15) где Pобн, Pлт – вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги, – x 2 пороговый уровень разрешения, x exp 0,5t dt – интеграл веро 2 ятности, mp – минимальный разностный контраст, н – угловой размер объекта наблюдения, n – угловой предел разрешения БОЭП, TCT Ta TДO TМФП Tус, (16) здесь Ta, TДO, TМФП, Tyc – ФПМ атмосферы, объектива, матрично го фотоприемника и усилителя-преобразователя соответственно.

Допустимая погрешность САУ по скорости движения изображения в фо кальной плоскости объектива, исходя из допустимой ФПМ, определилась [5]:

доп 0,78 1 TССл P, (17) из Э P где vp – расчетная пространственная частота, Э – время экспозиции.

Алгоритмы управления приводами получены для линеаризованной сис темы (10)-(12) в виде u1 R1 ( p)( вх 1 ) R3 ( p ) y ;

u2 R2 ( p )(вх ) R4 ( p )z. (18) Здесь u1, u2 – напряжения управления приводами;

вх, вх – углы, опреде ляющие положение объекта наблюдения относительно ЛА;

y, z – угловые скорости ЛА по углу рыскания и углу тангажа соответ ственно;

передаточные функции ПИД-регуляторов по отклонению (R1(p), R2(p)) и регуляторов по возмущению (R3(p), R4(p)), обеспечивающих инвариантность к колебаниям летательного аппарата:

0,134 p 1 1 p K R1 ( p ) 0,0001 p 1 0,00012 p 1 p ;

0,104 p 1 2 p K R2 ( p) 0,0001 p 1 0,00012 p 1 p ;

(19) K 3 0,134 p 1 K 4 0,104 p R3 ( p) ;

R4 ( p) 1 0,0001 p 1. (20) 1 0,0001 p 1 Добротности системы по ускорению K i и постоянные времени i опре делены [2]:

max i Mi, i 1, 2, K i ;

(20) K i ( M i 1) i где Ki = K1/ce = K2/ce;

maxi – максимальные значения входных угловых ускоре ний, i – погрешности, Мi – показатели колебательности изолированных ка налов САУ.

В силу условий (19) и критерия Найквиста получены: K1 = K2= 6000, 1 = 2 = 1/30, при которых линейная САУ, без учета дисбаланса и ассиметрии объекта управления, устойчива (с требуемыми запасами устойчивости) и обес печивает заданное качество регулирования М.

С учетом периода квантования Т параметры цифровой САУ (Ki, i,, Т) при синтезе регуляторов доопределены из условий [3]:

n n K M M ( M 1), (21) cp ( M 1) i T Ti T 2 T;

( M 1) i 1 i где ср= K – частота среза, Ti–малые постоянные времени, n – число малых T 1, 22 мс и М=1,05 по постоянных времени. С учетом условий (21) при i лучены требования к параметрам регуляторов.

Таблица T, с ( f = 1/T, Гц) Параметр 0,01 0,0066 0,005 0,0033 0. (100) (150) (200) (300) (400) 950 2100 3600 8000 Ki 220 500 850 1890 К1= К 0,108 0,072 0,055 0,037 0,, с В соответствии с (10)-(12), (18) в среде Simulink МАTLAB разработана ИМ для режима слежения, блочная функциональная схема которой показана на рис. 4. Здесь обозначено: Д – блок, учитывающий члены уравнений (10), (11), характеризующие дисбаланс и асимметрию объекта управления ( f (), D(), h(t), l11(), l12(), l13(), s1(), p1(t), d(), l21(), l22(), l23(), s2(t), p2(t));

А, УМ – блоки, учитывающие уравнения объекта управления с приводами по азимуту и углу места соответственно, ЛА – блок, учитывающий возмущения от летательного аппарата, МФП – матричный фотоприемник, Н – нелинейнос ти, 1 – блоки, учитывающие насыщение в усилителях, Ri – регуляторы. Прове дено исследование динамики САУ с учетом следующих исходных данных: мас сы, координат центров масс, моментов инерции тел вращения в собственных осях, установочных координат прибора, движения ЛА в пространстве t, t, t, X t, Y t, Z t. Эти исследования проводились при различ c c c ных значениях параметров регуляторов (см. таблицу) и начальных условий.

Рассматриваемые алгоритмы управления (18) в силу условий (19), (20) Рис. 4. Функциональная схема КМ САУ в режиме слежения обеспечивают устойчивое слежение за объектом наблюдения при max вх 60 град вх 30 град max вх 60 град вх 30 град max max,,, с2 с с с и колебаниях летательного аппарата с амплитудой max max 1 град ла ла на частоте 2 Гц c требуемыми динамическими характеристиками. Выявлено, что наиболее существенными параметрами, влияющими на качество регули рования, являются величины моментов трения и дисбаланса вращающихся тел, а также частота кадров. На рис. 5 приведены характерные процессы сле жения САУ в данном режиме (f = 100 Гц, М 1 = М 2 = 0,1 Нм, К1 = К2 = 1000, 2 = 1 =0,026 с).

Рис. 5. Процессы слежения Заключение 1. При разработке КМ для всех трех режимов сканирования, наведения и слежения учтены наиболее существенные нелинейности и ограничения: поле зрения оптико-электронной системы, ограничения по управляющим напряже ниям приводов и по углу поворота зеркала (углу места), моменты трения, час тота кадров (квантование по времени).

2. В процессе исследования КМ позволяет оценить динамические харак теристики САУ и погрешности управления, вносимые движением цели, коле баниями летательного аппарата, нелинейностями в регуляторах и объекте уп равления, вибрациями, частотой формирования кадров и конструктивными параметрами объекта управления (массой, моментами инерции, дисбалансом вращающихся элементов), а также параметрами регуляторов (законами регу лирования, моментами трения).

3. Применение КМ САУ БОЭП в процессе проектирования оптико-элек тронных систем позволит приблизиться к решению проблемы построения адек ватных реальным системам математических моделей и сокращению сроков и стоимости разработок и испытаний.

ЛИТЕРАТУРА 1. Тарасов В.В., Якушенков Ю.Г. Инфракрасные системы «смотрящего»

типа. М.: Логос, 2004. 444 с.

2. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регули рования. М.: Наука, 1975. 768 с.

3. Беляков Ю.М., Карпов А.И., Кренев В.А., Молин Д.А. Методика разра ботки математических моделей автоматических бортовых оптико-электронных систем // Оптический журнал. 2009. Т. 76. № 3. С. 34-39.

4. Карпов А.И., Кренев В.А., Матвеев А.Г., Яцык В.С. К вопросу постро ения математической модели устройства сканирования оптико-электронных систем // Материалы Международной научно-практической конф. «Современ ные технологии – ключевое звено в возрождении отечественного авиастрое ния». Казань, 2008. Т. 2. С. 56-60.

5. Карпов А.И., Кренев В.А., Молин Д.А. Динамика и автоматическое циф ровое управление зеркалом в кардановом подвесе // Материалы научно-прак тической конференции «Оптика, фотоника и оптоинформатика в науке и тех нике». Москва, 2009. C. 73-75.

DYNAMICS AND CONTROL OF ONBOARD OPTICAL-ELECTRONIC SYSTEM IN SCANNING, AIMING AND TRACKING MODES Baloev V.А., Matveev А.G., Yatsyk V.S.

(PC «NPO «GIPO», Kazan) Karpov A.I., Krenev V.А., Molin D.А.

(KNRTU-KAI, Kazan) Keywords: dynamics, control, stability, scanning, image quality.

УРАВНЕНИЯ НЕСУЩЕГО ВИНТА С ВТУЛКОЙ ХИЛЛЕРА Барабанов А.Е., Ромаев Д.В.

(СПбГУ, г. Санкт-Петербург) E-mail: Andrey.Barabanov@gmail.com, Romaev@yandex.ru 1. Кинематические обозначения Введем систему координат, связанную с втулкой несущего винта (НВ).

Начало системы координат есть пересечение плоскости вращения лопастей и оси вала. Ось OY параллельна оси несущего винта и направлена вверх, ось OX лежит в вертикальной плоскости симметрии вертолета, проходящую через хво стовую балку и кабину, перпендикулярна оси OY, направлена от хвоста к фю зеляжу. Ось OZ перпендикулярна плоскости XOY и образует правую тройку.

Состояние НВ определяется фазовым вектором, включающим: углы (,, ) крена, рысканья и тангажа соответственно;

скорости втулки T V Vx, V y Vz в связанной системе координат;

угловые скорости в той же сис T теме x, y, z.

Производные от углов Эйлера описываются системой уравнений:

x ( y cos z sin ) tan, (1) y sin z cos, (2) y cos z sin. (3) cos Принципиальная схема несущего винта с втулкой типа Хиллер приведе на на рис. 1. Втулка состоит из двух лопастей жестко соединенных друг с дру гом штангой лопастей. Штанга лопастей упруго крепится к валу несущего винта таким образом, что может наклоняться в вертикальной плоскости относитель но центра крепления. Лопасти могут независимо вращаться относительно оси штанги. Вращение лопастей относительно оси штанги осуществляется систе мой рычагов, которая соединяет лопасти с тарелкой автомата перекоса и со штангой серволопаток. Штанга серволопаток крепится к валу несущего винта таким образом, что может наклоняться в вертикальной плоскости относительно центра крепления и вращаться относительно собственной оси. По краям штанги серволопаток жестко закреплены две серволопатки. Установка одной серволо патки на угол вызывает установку другой серволопатки на угол –. Система рычагов соединяет штангу серволопаток с тарелкой автомата перекоса.

Рис 1. Схема несущего винта Фиксируем одну из лопастей (ведущую) и серволопатку, опережающую ведущую лопасть на 90°. Введем следующие обозначения: – азимут лопасти, – угол взмаха лопасти, g– угол взмаха серволопатки, () – угол установки лопасти в азимуте, g() – угол установки серволопатки в том же положении НВ, 0 – общий шаг установки лопастей.

Управляющими воздействиями несущего винта служат два угла наклона тарелки автомата перекоса в продольной и боковой плоскости (1, 2 ) и угол л общего шага 0. Введем комплексный коэффициент 1 i 2.

Втулка осуществляет установку лопасти и серволопатки по формулам ( Re( ei ), () Dg g ( D ( g ( Du ( где () – угол тарелки автомата перекоса в сечении, а Dg, D и Du – переда точные коэффициенты втулки.

Скоростная система координат получается из связанной поворотом в плос кости XYZ на угол h так, чтобы ось OX была направлена на ветер. Скорость индуктивного воздушного потока обозначим, коэффициент протекания –, а модуль нормированной горизонтальной составляющей скорости воздушного потока (режим работы) –.

Введем систему координат, связанную с лопастью. Ось OZ совпадает с продольной осью лопасти и направлена от втулки. Ось OY лежит в плоскости, содержащей ось OZ и ось винта, перпендикулярна оси OZ и направлена вверх.

Ось OX перпендикулярна плоскости YOZ и направлена в сторону, противопо ложную движению лопасти. Азимут лопасти y будем отсчитывать от луча, на правленного в сторону движения потока воздуха.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 11 |
 

Похожие работы:





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.