авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАЦИОННЫХ

ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ

ВЕСТНИК

Выпуск 14

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ,

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ

И УПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2004

Выпуск содержит материалы XXXIII научной и учебно-методической конференции СПбГУ ИТМО.

Конференция была проведена 3–6 февраля 2004 г. Санкт-Петербургским государственным университетом информационных технологий, механики и оптики в сотрудничестве с ВНЦ ГОИ им. С.И. Вавилова, Институтом аналитического приборостроения РАН, Институтом проблем машиноведения РАН, Комитетом по наук

е и высшей школе Администрации Санкт-Петербурга, ВНИИМ им. Д.И. Менделеева, ОАО «ЛОМО», ОАО «Техприбор», ОАО «Электроавтоматика», ЦНИИ «Электроприбор».

Программный комитет конференции:

Васильев В.Н. (СПбГИТМО (ТУ)) – председатель Аронов А.М. (ОАО ЛОМО) Мирошник И.В. (СПбГУ ИТМО) Викторов А.Д. (Администрация Мусалимов В.М. (СПбГУ ИТМО) Санкт-Петербурга) Парамонов П.П. (ОАО «Электроавтоматика») Гатчин Ю.А. (СПбГУ ИТМО) Пешехонов В.Г. (ЦНИИ «Электроприбор») Гуров И.П. (СПбГУ ИТМО) Путилин Э.С. (СПбГУ ИТМО) Индейцев Д.А. (ИПМаш РАН) Ханов Н.И. (ВНИИМ Карасев В.Б. (ВНЦ им. Д.И. Менделеева) ГОИ им. С.И. Вавилова) Храмов В.Ю. (СПбГУ ИТМО) Козлов С.А. (СПбГУ ИТМО) Шехонин А.А. (СПбГУ ИТМО) Колесников Ю.Л. (СПбГУ ИТМО) Яковлев Е.Б. (СПбГУ ИТМО) Курочкин В.Е. (ИанП РАН) Маслов Ю.В. (ОАО "Техприбор") Организационный комитет конференции:

Никифоров В.О. – председатель Студеникин Л.М. – зам. председателя Казар Л.Н. – ученый секретарь Горкина Н.М. Подлесных В.И.

Гусарова Н.Ф. Прудентова Т.А.

Золотарев В.М. Савельева Л.П.

Ленский А.В. Ткалич В.Л.

Метляков А.П.

.

ISBN 5-7577-0161- © Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, ПРЕДИСЛОВИЕ Развитие информационных технологий, вычислительных и управляющих систем основывается на результатах фундаментальных и прикладных исследований, которые проводятся особенно активно в последние годы. Настоящий выпуск «Научно-технического вестника СПбГУ ИТМО» содержит материалы XXXIII научной и учебно методической конференции, проходившей 3-6 февраля 2004 года в нашем университете, и представляет результаты работ, проводимых по заданию Министерства образования и науки Российской Федерации в соответствии с тематическим планом научно-исследовательских работ, результаты работ в рамках межвузовских научно-технических программ, грантов на проведение научно-исследовательских работ и инициативных научных исследований, выполненных в Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики.



Сборник содержит материалы по проблематике исследований в области теории управления в технических системах и методических аспектов построения управляющих систем, в том числе информационно управляющих систем на основе микропроцессоров. Значительная часть сборника посвящена информационным и компьютерным технологиям, вычислительным системам и технологиям программирования, автоматизации проектирования компьютерных систем и обеспечению защищенности информации.

В работе конференции и подготовке материалов сборника приняли активное участие сотрудники ОКБ «Электроавтоматика», ВНЦ «ГОИ им.

С.И. Вавилова», СПбФТИ им. А.Ф. Иоффе, СПбГЭУ, БГТУ «Военмех», ЗАО «Гидроприбор», СПбГУ ИТМО, что подтверждает плодотворность процесса интеграции исследований, проводимых научными центрами и высшей школой, важность организации и проведения научных конференций для представления и обсуждения полученных результатов.

Значительное число научных статей сборника подготовлено с участием аспирантов и студентов, что свидетельствует о перспективности дальнейших исследований в области информационных технологий, вычислительных и управляющих систем.

Приглашаем Вас к сотрудничеству!

Доктор технических наук, профессор И.П. Гуров УПРАВЛЕНИЕ И ИНФОРМАТИКА 1 В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ТРАЕКТОРНОЕ УПРАВЛЕНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИМИ МЕХАНИЗМАМИ НЕТРИВИАЛЬНОЙ КОНСТРУКЦИИ И. В. Мирошник, С. A. Чепинский Рассматривается задача управления траекторным движением простейших кинематических механизмов с двумя степенями свободы (двухзвенных роботов) с одним управляющим входом. С использованием дифференциально-геометрических методов нелинейной теории управления предложена методика анали за динамики таких систем и процедура синтеза алгоритмов управления, обеспечивающих решение траек торной задачи как задачи стабилизации относительно гладкого отрезка предписанной траектории.

Введение Новые задачи управления сложными кинематическими механизмами обусловле ны появлением робототехнических систем нетривиальной конструкции, к которым от носятся роботы избыточной структуры, шагающие и многоколесные механизмы, маят нико-подобные и гироскопические системы. Наряду с задачами управления избыточ ными роботами [1-2, 4, 9], для которых число управляющих входов превышает степень свободы механизма, возникают проблемы стабилизации и управления пространствен ным движением механизмов, у которых количество входов меньше числа степеней сво боды [3, 6], т.е. недостаточно для реализации обычных режимов работы робота – ста билизации, программного или траекторного управления. Тем не менее, несмотря на ог раниченные функциональные возможности таких систем, они оказываются вполне при годными для решения целого ряда специфических задач. К последним относятся задачи стабилизации положения неуправляемого конечного звена манипуляционного робота или робота нетривиальной конструкции (типа маятника на подвижной основе, напри мер, маятника Фуруты), задачи стабилизации центра тяжести шагающего механизма, стабилизации положения многоканальной гироскопической системы, а также соответ ствующие задачи поддержания их колебательных движений или траекторного управле ния. При этом уменьшение числа входов и, следовательно, исполнительных устройств (приводов) положительно сказывается на энергетических, массогабаритных и стоимо стных показателях. С точки зрения теории управления рассматриваемый класс механи ческих объектов может быть отнесен к не полностью управляемым многоканальным объектам, а соответствующие задачи управления – к задачам частичной стабилизации [3, 5, 8].





В статье рассматривается задача управления траекторным движением простейших кинематических механизмов с двумя степенями свободы (двухзвенных роботов) с од ним управляющим входом. С использованием дифференциально-геометрических мето дов нелинейной теории управления [5, 7, 8] предложена методика анализа динамики таких систем и процедура синтеза алгоритмов управления, обеспечивающих решение траекторной задачи как задачи стабилизации относительно гладкого отрезка предпи санной траектории.

1. Модели роботов и постановка задачи Рассмотрим 2х-звенный кинематический механизм (робот), описываемый в про странстве R2 (плоскости) обобщенных координат уравнением типа Лагранжа u q =, A( q) + b( q, ) + c( q) =, (1) & & где q = ( q1, q 2 ) и = (1, 2 ) – векторы обобщенных координат и их скоростей, u – обобщенный момент. В декартовом пространстве R 2 положение последнего (2-го) зве на характеризуется вектором декартовых координат y = ( y1, y 2 ) и определяется урав нением y = h(q), (2) (выражение характеризуют прямую кинематику робота [1, 10]).

Рис. 1. Двухзвенный маятник Уравнения (1)-(2) описывают манипулятор как многосвязный нелинейный объект управления с выходными переменными y i, переменными состояния q j, j и управ ляющим воздействием u.

Рассмотрим движение конечного звена двухзвенного механизма. Пусть желаемая траектория S (гладкая кривая, см. рис.2-3) определяется выражением ( y ) = 0, (3) а длина пути (продольное перемещение) находится как s = ( y). (4) Предполагается, что функции и гладкие и выбраны таким образом, что при y S матрица Якоби T 1 / y T = = (5) / y T ортогональна ( T * SO 2 ). Матрица T * определяет связанный с траекторией подвижный базис, в котором 1 является касательным вектором, а 2, ортогональным вектором.

Основная задача управления траекторным движением механизма формулируется с помощью голономных соотношений (условий координации) декартовых координат конечного звена y i, которые должны выполнятся в процессе его движения и вводится уравнением (3).

Следуя обычной методике анализа траекторного движения, введем в рассмотре ние задачно-ориентированные координаты, представленные продольной переменной s (см. уравнение (4)) и ортогональным отклонением конечной точки от кривой (3):

e = ( y). (6) Тогда задача управления сводится к стабилизации установившегося движения ро бота, при котором выполняется e0. (7) При этом возможность управления продольным движением отсутствует, что и определяет основные особенности данной задачи.

2. Анализ динамики и синтез управления В предыдущем разделе введены отображения {q j } {y i } {s,e}, задающие преобразования координат обобщенного пространства и декартового про странств. Дифференцируя по времени уравнение (2), можно отыскать связи декартовых и обобщенных скоростей в виде V = H q (q), (8) где V = y, H q ( q) = h / q. Продолжив дифференцирование, с учетом = H q 1 ( q)V & после подстановки (8), найдем модель механизма в декартовом пространстве:

u & y = V, mV = mH ( q) + F ( q,V ) (9) & где F = HH 1 HA 1 (b + c ).

& Рассмотрим преобразование к задачно-ориентированным координатам (4), (6).

Дифференцируя (4), (6), находим уравнение s & = T V. (10) e & Для y S матрица Якоби T * удовлетворяет уравнению типа Френе [5] T = sET, & (11) & 0 so 2. Если матрица T задана в форме (5), то где – кривизна кривой (3), E = 1 матричное уравнение (11) может быть записано в простой форме = s (11а) & & Продолжив дифференцирование, с учетом (11) после подстановки (10) найдем s s && & s E & = T *V (12) & e e && & Наконец, подставив (9) в (12), получим искомую модель механизма в задачно ориентированном пространстве:

u s s && & s E = T * {H (q) + F ( y, q)}.

& & e e 0 m && & Вводим в рассмотрение задачно-ориентированные входные переменные u fs = T * {H ( q ) + F ( y, q )}, (13) & ue 0 m где f s – обобщенное продольное возмущение и ue – управление относительным дви жением, и получаем слабосвязанные модели продольного движения и траекторных ошибок:

fs s s && & s E =, & e e ue && & или раздельно:

&& se = f s, s (14) & e + s 2 = ue. (15) && & Чтобы стабилизировать решение (7), управление u e вырабатываются регулятором P : ue = ( s ) 2 K e 1e K e 2e. (16) & & Адекватный выбор коэффициентов усиления K e1, K e 2 осуществляется из условия асимптотической устойчивости модели (15), что обеспечивает абсолютную точность и желаемые динамические показатели траекторного движения.

Для нахождения управляющего воздействия u и уточнения модели продольного движения из уравнения (13) найдем u fs T *T = H ( q) + F ( y, q), & ue 0 m или * * 1 f s + 2 u e = h1 ( q)u + F ( y, q).

& m Последнее выражение перепишем в виде двух скалярных уравнений:

1* f s = (1 )T (h1 (q)u + (1 )T F ( y, q)), * (17) & m h1T ( q) 1 f s + h1T ( q) 2 u e = h1T ( q)h1 ( q)u + h1T ( q) F ( y, q).

* * (18) & m Подставляя (17) в (18), находим 1 u = h1T ( q)( MF ( y, q) 2 u e ), * (19) & d m где d (q) = (h1T 1 ) 2 h1T h1, * ** M = I 1 ( 1 }T.

Тогда уравнение (17) принимает вид 1* 1 1* f s = ( 1 ) T ( I + h1 ( q)h1T ( q) MF ( y, q)) ( 1 ) T h1 ( q)h1T ( q) 1 u e * (20) & m d d Таким образом, алгоритм управления рассматриваемым механизмом включает пре образование (19) и регулятор отклонения (16), типичный для траекторных задач [2, 5, 9].

Уравнения продольного движения в установившемся режиме получается подста новкой (20) в (14) и при e=0 принимает вид 1* 1 1* && = ( 1 ) T ( I + h1 ( q)h1 ( q) MF ( y, q)) ( 1 ) T h1 ( q)h1T ( q) 1 s * s & & m d d Выражение d ( q) = ( h1T 1 ) 2 h1T h1 = * определяет границы области управляемости полученной системы.

2. Результаты моделирования Рассмотрим задачу управления двухзвенным маятником (рис. 1). Синтезировано управление механизмом при движении маятника по прямой (рис. 2) S : sin y1 + cos y 2 + 0 = 0.

Ошибка отклонения от заданной траектории e = sin y1 + cos y 2 + 0, пройденный путь находится как s = cos y1 + sin y 2 + 0, а матрица Якоби 1 cos sin T T= =.

sin cos 2T Рис. 2. Прямолинейное движение маятника Регулятор отклонения принимает вид P : u e = K e 1e K e 2 e, & где e = sin y1 + cos y 2.

& & & Результаты моделирования системы для различных начальных положений маят ника приведены на (рис. 2) и показывают хорошую сходимость траекторий движения к заданной прямой, т.е. асимптотическую устойчивость траекторного движения.

Синтезировано управление механизмом при движении неуправляемого звена ма ятника по отрезку окружности (рис. 3):

S : R 2 y1 y2 = 0, 2 где y1 = y1 y10, y 2 = y 2 y 2, y1, y2 – координаты центра окружности, R – радиус.

Рис. 3. Круговое движение маятника Ошибка отклонения от заданной траектории ( ) e= R 2 y12 y 2, 2R пройденный путь y s = R arctan.

y Матрица Якоби определяется как T 1 y 2 y T= =.

R y1 y T Регулятор отклонения принимает вид P : ue = ( s ) 2 K e 1e K e 2e, & & где кривизна S определяется как =, R 1 e = ( y1 y1 y 2 y 2 ), s = ( y 2 y1 y1 y 2 ).

& & & & & & R R Результаты моделирования системы для различных начальных положений маят ника, приведенные на рис. 3, показывают хорошую сходимость траекторий к отрезку окружности и асимптотическую устойчивость системы.

Литература 1. Зенкевич С.Л., Ющенко А.С. Управление роботами. Основы управления манипуля ционными роботами. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.

2. Бурдаков С.Ф., Мирошник И.В., Стельмаков Р.Э. Системы управления движением колесных роботов. СПб: Наука, 2001.

3. Воротников В.И. Задачи и методы исследования устойчивости и стабилизации дви жения по отношению к части переменных: направления исследования, результаты, особенности // Автоматика и телемеханика, 1993, № 3.

4. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Шиегин В.В. Управление движением кинемати чески избыточных манипуляционных роботов // Изв. РАН: Теория и системы управления. 2001. № 5. Мирошник И.В., Фрадков А.Л., Никифоров В.О. Нелинейное и адаптивное управле ние сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000.

6. Espiau B., Canudas de Wit C., Urrea C. Orbital Stabilization of underactuated mechanical systems // 15 IFAC World Congress. Barselona, 7. Isidori A. Nonlinear control systems. 3d edition. NY: Springer-Verlag, 1995.

8. Miroshnik I.V. Attractors and partial stability of nonlinear dynamical systems. // 5th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems (NOLCOS'01). Preprints. vol. 3. St.

Petersburg, 2001, pp. 848-853.\\ 9. Miroshnik I.V. and V.O. Nikiforov. Trajectory motion control and coordination of multilink robots. // Prepr. 13th IFAC World Congress, San-Francisco, vol.A, pp.361-366.

(1996).

10. Murray R.M., Zexiang I.L. and Sastry S.S.A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. Boca Raton: CRC Press, 1993.

ПРОБЛЕМА ЛОКАЛИЗАЦИИ ИСТОЧНИКОВ СТОХАСТИЧНОСТИ В СТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЯХ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ МОМЕНТОВ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЙ А.Д. Ледовский, Нгуен Ван Лам Известно [1, 8], что при анализе качества сложных человеко-машинных динами ческих систем управления необходимо учитывать влияние различных факторов слу чайного характера на их функционирование в определенных условиях. К таким факто рам могут быть условно отнесены внутренние и внешние источники случайного харак тера. К внутренним источникам относятся, например, параметрические шумы, пред ставляющие случайные функции и случайные параметры, учитывающие неточность производства и влияние процессов старения и износа при хранении и эксплуатации систем и т.п. Что касается внешних источников стохастичности, то они зависят от ус ловий, в которых функционируют исследуемые системы. Примером такого вида сто хастичности могут служить ветро-волновые возмущения, действующие на морские движущиеся объекты [2].

Общий вид нелинейной математической модели, в которой учитывается влияние на функционирование выше отмеченных случайных факторов, имеет следующий вид [1, 2]:

dx, x, u,, t = 0;

dt x(t 0 ) = x 0 ;

, (1) y = (x, u,, t ), dx где x, R S – вектор-столбец фазовых координат (переменных состояний) и вектор dt столбец их производных, x 0 R S – вектор-столбец начальных значений этих коорди нат;

u R P – вектор-столбец внешних переменных (управляющих и возмущающих воз действий), в том числе содержащих случайные составляющие;

R – вектор-столбец случайных параметров с произвольными законами распределения его составляющих;

R S – столбец векторов-функций;

t – аргумент (время) с начальным значением t = t0 ;

R q – столбец векторов-функций;

y – вектор-столбец выходов.

Для рассматриваемого класса систем управления всегда имеется возможность разрешить уравнение (1) относительно производной:

dx = (x, u,, t );

dt, x(t0 ) = x 0 ;

(2) y = (x, u,, t ), S q где R, R – столбцы векторов-функций.

Эксплуатация систем управления всегда предполагает их использование в ограни ченном числе основных режимов работы, которые характеризуются малыми измене ниями внешних воздействий – u. С учётом этого рассматриваемый класс систем обла дает свойствами фильтра низких частот, что позволяет успешно решать задачу линеа ризации (2) и получения линейных (линеаризованных) уравнений состояния вида dx = А( ) x + В()u;

(3) dt где A(), B ( ), – матрицы, элементы которых являются регулярными функциями слу чайных - параметров. Отметим, что в результате выбора законов управления система (3) должна обладать свойством инвариантности (малой чувствительности) к парамет рическим возмущениям [7].

Вероятностная оценка показателей качества функционирования систем управле ния, основанная на применении неравенства Чебышёва-Куриленко [9], предполагает определение векторов математического ожидания и дисперсии переменных стационар ного стохастического уравнения состояний (3). Причем, если при рассмотрении собст венного движения их вычисление особых проблем не создает, то вынужденное движе ние для чистоты результата требует разделения стохастического оператора B ( ) и век тора u, который может содержать случайные составляющие. При этом информацию о наличии случайных параметров в самой матрице B ( ) желательно сохранить.

В данной работе показана возможность такого разделения.

Рассмотрим вначале соответствующее (3) детерминированное уравнение состоя ния dx = А x + В u;

(4) dt или в скалярной форме:

dx dt = a11 x1 + a12 x2 K + a1S xS + b11u 1 + b11u 2 + K + b1Q uQ ;

dx2 = a x + a x K + a x + b u + b u + K + b u ;

21 1 22 2 2S S 21 1 21 2 2Q Q (5) dt....................................................................................

dxS = a x + a x K + a x + b u + b u + K + b u.

dt S1 1 S2 2 SS S S1 1 S2 2 SQ Q Добавим в (5) S Q входов:

dx dt = a11x1 + a12 x2 K+ a1S xS + b11u1 + b12u2 + K+ b1QuQ + b1Q+1uQ+1 + K+ b1S uS ;

dx2 = a x + a x K+ a x + b u + b u + K+ b u + b u + K+ b u ;

2Q+1 Q+ 21 1 22 2 2S S 21 1 21 2 2Q Q 2S S (6) dt..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

...., dxS = a x + a x K+ a x + b u + b u + K+ b u + b u + K+ b u.

dt SQ+1 Q+ S1 1 S2 2 SS S S1 1 S2 2 SQ Q SS S ( ), () Если в (6) при любых значениях коэффициентов bij j = Q + 1, S i = 1, S эле менты вектора управления u j j = (Q + 1, S ) торжественно равны нулю, то (6) переходит к (5).

Перепишем (6) в матричной форме:

dx €€ = A x + Bu (7) dt где B – квадратная матрица размерности (S S ) ;

u – вектор управления размерно € € сти (S 1), имеющий последние (S Q + 1) элементы, равные нулю.

Проблему выбора значений коэффициентов bij j = (Q + 1, S ),i = (1, S ) рассмотрим позднее.

€ € Матрица B должна быть невырожденной и иметь обратную матрицу B 1. Тогда, € умножая (7) слева на матрицу B 1, получим € d x = B 1 A x + B 1 Bu = B 1 ABB 1 x + B 1 Bu.

€ € €€ € €€ € €€ B 1 (8) dt dz € 1 d x, € Произведя замену переменной z = B 1x и =B получим dt dt dz € = Az + I u,€ (9) dt €€ € где I – единичная матрица и A = B 1 AB.

При переходе к стохастическому виду, т.е. к уравнению (3), производя аналогич ные преобразования, получим dz € = A ( ) z + I u., € (10) dt где A ( ) = B 1 ( )A ( )B( ).

€ € € € Таким образом, в уравнении (10) у вектора внешних переменных u не содержится стохастического оператора. И, в то же время, информация о стохастичности вектора (матрицы) коэффициентов усиления B( ) уравнения (3) не потеряна, так как вошла в матрицу свободного движения A( ) уравнения (10).

€ При достаточно произвольном выборе дополнительных элементов вектора (мат € рицы) B (7) необходимо соблюсти следующие условия:

все их значения должны и могут быть детерминированными;

€ матрица B должна быть невырожденной, т.е. должна существовать обратная € матрица B 1 ;

€ число обусловленности матрицы B, как известно [4, 5, 7], должно быть мини мальным (по крайней мере, равным числу обусловленности матрицы B уравнения (4)).

Отметим, что для уравнения (3) при расширении матрицы B ( ) следует использовать € математические ожидания её элементов.

Остановимся на последнем условии подробнее.

Известно [4, 6], что число обусловленности характеризует меру близости матрицы B к вырожденной матрице. Оно определяется выражением cond (B ) = B B 1, где B, B 1 – нормы соответствующих матриц.

При этом для любой матрицы число обусловленности должно быть не менее 1;

если оно больше 10, то матрица является плохо обусловленной.

Число обусловленности матрицы может быть рассчитано через сингулярные зна чения и соответствующие им унитарные векторы [3, 6].

Для прямоугольной матрицы B сингулярным значением называется неотрица тельная скалярная величина, удовлетворяющая условию:

Вv = u;

(11) B T u = v, где u и v – соответствующая этому сингулярному значению пара векторов-столбцов.

Если матрица B имеет несколько сингулярных значений, образующих диагональ ную матрицу S, то матрицы U и V являются унитарными (ортогональными), и (11) принимают вид:

ВV = US;

(12) B T U = VS, откуда следует В = USV Т. (13) В случае евклидовой нормы число обусловленности матрицы B равно отноше нию её максимального значения к её минимальному сингулярному значению:

max (S ) cond (B ) =, (14) min (S ) Поэтому число обусловленности матрицы, имеющей одинаковые отличные от ну ля сингулярные значения, всегда равно единице.

Покажем, что с помощью (14) с учетом (12) и (13) при выборе дополнительных € элементов вектора (матрицы) B (7) можно решить задачу минимизации ее числа обу словленности.

Пусть имеется исходная прямоугольная матрица B 0 размерности S Q, Q S, R = S Q :

b11 K K b1Q K K K K B0 =. (15) K K K K bS1 K K bSQ Осуществляя расширение размерности B 0 до размерности (S S ) добавлением матрицы B1 с размерностью (S R ) b1,Q +1 K K b1S K K K K B1 =, (16) K K K K bS,Q +1 K. bSS получим расширенную квадратную матрицу B R S S b11 K K b1Q b1,Q +1 K K b1S K K K K K K K K B=. (17) K K K KKK KK bS1 K K bSQ bS,Q +1 K K bSS Если представить (15) и (16) в виде квадратных матриц с добавлением дополни тельных R и Q нулевых векторов-столбцов, то можно получить:

b11 K b1Q 0 K 0 0 K b1S K0 b1,Q+ K K K 0 K 0 * 0 K0 0 K K B* =,B =, (18) K K K K K K 1 0 K K K0 K bS1 K bSQ 0 K 0 0 K bSS K 0 bS,Q + и тогда (17) запишется следующим образом:

B* + B* = B R S S. (19) 0 Из (13) следует, что S = U 1ВV. (20) С учетом (19) S = U 1 В* + В* V = U 1 В* V + U 1 В* V = S* + S1.

* 0 1 0 1 (21) 24 14 3 14 S* S* 0 * Отметим, что для пары векторов В1 (18) и В1 (16), а также для В* (18) и В 0 (17) значения ненулевых диагональных элементов матриц S* и S1 ( S* и S 0 ), определяемых 1 по (21), остаются неизменными.

Элементы диагональных матриц сингулярных значений в (21) должны распола гаться в нарастающем порядке. Поэтому выражение S* + S* следует понимать не как 0 сумму матриц, а как добавление диагональных матриц друг к другу.

Таким образом, число обусловленности матрицы не изменится, если к ней до бавить ограниченное число нулевых векторов-столбцов или строк.

Если исходная прямоугольная матрица B 0 имеет соответствующую диагональную max(S 0 ) матрицу сингулярных значений S 0 и число обусловленности С 0 = cond (B 0 ) =, min (S 0 ) то и матрица В1 имеет диагональную матрицу S1, и число обусловленности max(S1 ) С1 = cond (B1 ) =.

min (S1 ) Из (21) видно, что расширенная матрица В имеет наименьшее число обусловлен ности (возможно, равное числу обусловленности матрицы С0 ) только тогда, когда max(S1 ) max(S 0 ) и min (S1 ) min (S 0 ). Поэтому, чтобы число обусловленности расши ренной матрицы В было равно числу обусловленности исходной матрицы, необходимо выбрать элементы матрицы В1 таким образом, чтобы ее сингулярные значения находи лись в интервале [max(S 0 ), min (S 0 )].

Рассмотрим частный случай, когда число обусловленности матрицы В1 равно еди нице, т.е. она имеет одинаковые сингулярные значения min (S1 ) = max(S1 ), которые для простоты можно выбрать min (S1 ) = max(S 0 ) или min (S1 ) = min (S 0 ). В этом случае все элементы векторов-столбцов матрицы В1, определяемой по (16), торжественны нулям, кроме одного, равного выбранному сингулярному значению, благодаря тому, что мат рицы U и V в (21) являются унитарными (при действительных матрицах – ортогональ ными).

Литература 1. Куриленко А.М., Ледовский А.Д. Качество судовых динамических систем управле ния. Л.: Судостроение, 1994. 176 с.

2. Лукомский Ю.А., Корчанов В.М. Управление морскими подвижными объектами:

Учебник. СПб: Элмор, 1996 320 с.

3. Сушкова М.В. Приложения Жордановой нормальной формы матрицы. // Математи ка в ВУЗ-е. Интернет - журнал СПбГТУ. 2003.

4. Фам Ки Ань. Числовой анализ. Ханой: Наука и техника, 1995 199 с.

ОСОБЕННОСТИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЧЕТЫРЕХКВАДРАНТНЫХ АСИНХРОННЫХ ЭЛЕКТРОПРИВОДОВ А.П. Баев, М.Р. Гончаренко, А.С. Исаков, О.С. Осипцева В статье представлены результаты проектирования четырехквадрантных асинхронных электроприводов с векторными частотно-токовыми системами управления и автономными инверторами напряжения с си нусоидальной широтно-импульсной модуляцией на базе IGBT модулей.

Введение. Постановка задачи Трудности с обеспечением заданной диаграммы штатного пуска и торможения асинхронной машины эскалатора, ее недогруженность, необходимость регулировать скорость эскалаторного полотна, длительная работа в генераторном режиме при спуске пассажиров привели к необходимости использования четырехквадрантных асинхрон ных электроприводов с векторными частотно-токовыми системами управления и авто номными инверторами напряжения с синусоидальной широтно-импульсной модуляци ей на базе IGBT модулей в современных проектах эскалаторных станций.

В рамках данного подхода решалась задача модернизации существующих и соз дание принципиально новых эскалаторных станций, поставленная Комитетом по эко номике и промышленной политике Администрации Санкт-Петербурга в 1998-2003 го дах.

Структура и принципы функционирования четырехквадрантных асинхронных электроприводов На современном этапе развития полупроводниковой преобразовательной техники значимой проблемой является создание четырехквадрантных электроприводов пере менного тока с векторными частотно-токовыми системами управления и автономными инверторами напряжения с синусоидальной широтно-импульсной модуляцией на базе силовых IGBT модулей. Такое построение силовой системы позволяет приводу рабо тать длительное время в генераторном режиме, отдавая при этом в силовую сеть сину соидальный ток. В двигательном режиме работы привод потребляет синусоидальный ток из силовой сети. Это существенно снижает отрицательное воздействие привода на промышленную сеть переменного тока по сравнению с аналогичными тиристорными устройствами, ведомыми сетью. Поэтому в настоящее время предпочтительными ока зываются более дорогие системы с IGBT модулями, что связано с заметно возросшими требованиями к качеству возвращаемой и потребляемой электрической энергии [1].

Современный электропривод строится на основе векторного способа формирова ния момента машины переменного тока во вращающейся с частотой электромагнитно го поля прямоугольной системе координат. Такой способ управления пригоден и для устройств рекуперации. Действительно, в прямоугольной системе координат, вра щающейся с частотой силовой сети, где одна из осей совпадает с вектором напряжения, можно прямым образом разделить управления процессами, связанными с активной и реактивной составляющими мощности. В этом случае имеется возможность не только обеспечить требуемое напряжение в звене постоянного тока, но и компенсировать ре активную мощность в сети переменного тока в рамках энергетических возможностей устройства за счет управления двумя взаимно перпендикулярными составляющими то ка [2].

На рис. 1 показана функциональная схема четырех-квадрантного асинхронного электропривода. Асинхронный электропривод хорошо исследован, поэтому рассмот рим более подробно относительно новый элемент – инвертор рекуперации с системой управления.

Сеть 380 В 3ф LC - фильтр Инвертор рекуперации Система Звено автоматического Емкостной фильтр постоянного управления тока Инвертор электропривода Асинхронный двигатель Рис. 1. Функциональная схема четырехквадрантного асинхронного электропривода.

Инвертор рекуперации нагружен через LC-фильтр на силовую сеть и является ис точником питания для инвертора электропривода. LC- фильтр преобразует импульсное напряжение на выходе инвертора в непрерывный ток в силовой сети. Конденсаторы относительно небольшой емкости на выходе фильтра позволяют свести к минимуму пульсации от высших гармонических составляющих выходного сигнала инвертора, свя занных с активно-индуктивным характером импеданса соединительных проводов и си ловых вводов. Учитывая малое выходное сопротивление силовой сети в области основ ной гармонической составляющей напряжения в сети, можно пренебречь их влиянием при составлении математической модели. Тогда для симметричной сети можно запи сать уравнения в относительных величинах для электромагнитных процессов в системе “инвертор рекуперации-силовой фильтр-силовая сеть” во вращающейся системе коор динат, ось X которой связана с обобщенным вектором фазного напряжения сети U:

ux = (r1 + XLp)ix - XLiy + U, uy = (r1 + XLp)iy + XLix, (1) u0 = (r1 + XLop)i0, где ux, uy, u0 – проекции на ось X, Y и Z обобщенного среднего за период несущей ши ротно-импульсной модуляции вектора напряжения на выходе инвертора рекуперации;

ix, iy, i0 - проекции на ось X, Y и Z обобщенного вектора тока;

U - проекция на ось X обобщенного относительного вектора фазного напряжения;

XL – относительное индук тивное сопротивление LC-фильтра и силовой сети, XLo - индуктивное сопротивление фильтра по нулевой оси;

r1 – относительное суммарное активное сопротивление LC фильтра и силовой сети;

p – оператор дифференцирования по относительному времени.

За базовые величины приняты базовые величины для асинхронной машины [3].

Система уравнений (1) справедлива для случая, когда период несущей широтно импульсной модуляции значительно меньше постоянной времени XL/r1 [3].

Уравнение для напряжения на конденсаторе фильтра в звене постоянного тока можно записать в виде Xcpud = 1.5(uxix + uyiy + 2u0i0) / ud + iacd, (2) где ud – относительное напряжение в звене постоянного тока;

iacd – ток в цепи питания инвертора электропривода;

Xс – относительное емкостное сопротивление конденсатора в звене постоянного тока. Подставив в уравнения (2) выражения для проекций напря жения, получим:

0.5Xcpud2 = 1.5 ((r1 + 0.5XLp)ix2 + Uix + (r1 + 0.5XLp) iy2) + udiacd, (3) Добавив к уравнению (3) выражения для тока в цепи асинхронного электроприво да с поддержанием постоянной проекции на ось X вектора потокосцепления ротора 2x, получим уравнение в относительных величинах для напряжения в звене постоянного тока [3]:

0.5Xcpud2 = 1.5((r1 + 0.5XLp)ix2 + Uix + (r1 + 0.5XLp)iy2) + udiacd, udiacd = 1.5((2x/X0)2rs + + G12 + 0.5G2p2), G1 = (rr + rs(1/kr)2)/(2x)2, (4) G2 = (Xs(1/kr)2 + Xr)/(2x)2, kr=X0/Xs, где rs, rr - относительное сопротивление статора и ротора асинхронной машины, Xs, Xr, X0 - относительное индуктивное сопротивление статора, ротора и намагничиваю щей цепи;

- относительная частота вращения ротора;

- относительный момент на валу машины.

Уравнение (4) связывает механические переменные асинхронной машины для привода с частотно-токовым векторным управлением, напряжение в звене постоянного тока, фазный ток в силовой сети (с учетом коэффициента мощности) и фазное напря жение. Уравнения (1)-(2) позволяют синтезировать регуляторы тока во вращающейся системе координат и напряжения в звене постоянного тока для устройства рекупера ции.

Необходимо отметить, что уравнения (1)-(4) справедливы при следующих огра ничениях:

1. напряжение в звене постоянного тока не может быть задано в устройстве реку перации менее выпрямленного сетевого напряжения, вследствие наличия обратных диодов у силовых модулей;

2. верхний предел напряжения в звене постоянного тока ограничен лишь пре дельными параметрами силовых элементов;

3. напряжение в звене постоянного тока должно быть достаточным для обеспече ния фазного напряжения, необходимого для правильной работы асинхронного электро привода.

Таким образом, для синусоидальной широтно-импульсной модуляции (0.5 ud)2 ux2 + uy2, (0.5 ud)2 u1x2 + u1y2, (5) а для векторной широтно-импульсной модуляции (ud)2 /3 ux2 + uy2, (ud)2 /3 u1x2 + u1y2. (6) Уравнения (1)-(6) были использованы при проектировании четырехквадрантного асинхронного электропривода для эскалаторных станций метрополитена.

Для поддержания требуемого напряжения в звене постоянного тока используется система подчиненного управления, в которой регулятор напряжения вырабатывает сигнал управления для регулятора активной составляющей вектора тока во вращаю щейся системе координат. Для компенсации реактивной составляющей тока использо ваны сигналы обратной связи по току в соответствующем сечении силовой сети. Такая система управления способна в пределах своих энергетических возможностей компен сировать перекос фаз и гармонические составляющие в сети.

Особенно полезной оказалась возможность устанавливать любое напряжение пи тания электропривода в пределах 620–800 В в целях более полного использования воз можностей асинхронной машины и форсирования угловой скорости вращения ротора выше номинальной. Кроме того, достаточно свободный выбор значения напряжения питания позволяет уменьшить потери в электроприводе за счет задания оптимального тока намагничивания для асинхронной машины [3].

Основные результаты В научно-исследовательском секторе управляемого электропривода ОАО НИИ ТМ создан и прошел лабораторные испытания опытный образец четырехквадрантного электропривода переменного тока с автономными инверторами напряжения и синусои дальной широтно-импульсной модуляцией на базе IGBT модулей для эскалаторов мет рополитена мощностью 200 кВт. Привод представляет собой два одинаковых шкафа, отличие состоит лишь в программном обеспечении системы управления, построенной на основе микропроцессора TMS-320. Следует отметить, что значительное число про граммных блоков одинаково. Обмен данными между системами управления устройства рекуперации и электропривода осуществляется по скоростному и помехоустойчивому CAN каналу.

Заключение Результаты испытаний образца четырехквадрантного электропривода переменно го тока с векторной системой управления показали полное соответствие схемотехниче ских решений и выбранных алгоритмов управления поставленной задаче. Данные, по лученные в результате испытаний, подтвердили теоретические выводы, сделанные в работах [1, 3], и приведенные выше уравнения (1)-(6).

Литература 1. Гончаренко Р.Б., Гончаренко М.Р., Рудомазина И.А. Пути повышения эффективно сти электромашинных систем преобразования энергии возобновляемых источни ков. // Известия Академии наук. Энергетика.1998. №2. С.36-45.

2. Rusong Wu, S. B. Dewan, G. R. Slemon A. PWM AC to DC converter with fixed switching frequency. // IEEE Trans. Ind. Appl. 1990. Vol. 26. №. 5. Р. 880-885.

3. Гончаренко М.Р. Электромагнитные процессы в силовой цепи быстродействующе го асинхронного электропривода.

Автореферат диссертации Л., ЛИТМО, 1989, с.17.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО КОМПЕНСАТОРА В ЗАДАЧЕ СЛЕЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ ЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ В УСЛОВИЯХ ВОЗМУЩЕНИЯ А.А. Бобцов, С.А. Холунин В данной статье для линейной системы с неизвестными параметрами рассмотрена проблема синтеза закона управления, обеспечивающего решение задачи слежения за эталонным сигналом с заданной точностью при наличии внешнего ограниченного гладкого возмущения. Предполагая, что объект управления задан в форме вход – выход и его числитель гурвицев, в классе алгоритмов робастного управления предложен подход, позволяющий решать комплексную задачу слежения и стабилизации линейной неопределенной системы только по измерениям выходной переменной объекта без измерения и расчета ее производных.

Введение Данная статья является продолжением работы [1], которая была посвящена решению задачи слежения линейного параметрически неопределенного объекта за эталонным сигналом с некоторой точностью, которая, в свою очередь, может быть увеличена. В отличие от статьи [1], данные результаты устанавливают возможность использования схемы управления (последовательного компенсатора), полученной в [1] для решения задачи слежения в условиях влияния возмущающего воздействия. Задача управления будет решена с использованием методов робастного управления, которые в свою очередь, позволяют, как понизить размерность регуляторов, так и получить возможность строить инвариантные к влиянию помех системы управления. На сегодняшний день имеется ряд интересных результатов, посвященных решению задач слежения выхода линейного объекта с неизвестными параметрами за эталонным сигналом при наличии возмущения [2,3]. Однако регуляторы, представленные в монографиях [2,3] обладают существенной нелинейностью, высокой размерностью и сложностью их построения. Например, для объекта управления 3-го порядка с относительной степенью 3, робастный регулятор построенный с использованием известной идеи “обхода интегратора”, требует больших вычислительных затрат для расчета частных производных по регулируемой переменной. Что же касается его размерности, то для указанного выше примера он может быть сокращен до 6-го порядка.

В данной статье, предполагая, что объект управления является минимально фазовым, в классе алгоритмов робастного управления предлагается подход и указываются аналитические условия его применимости для решения задачи слежения линейного параметрически неопределенного объекта за эталонным сигналом с заданной точностью, которая, в свою очередь, может быть увеличена за счет соответствующего выбора коэффициентов регулятора. В работе проводится синтез закона управления, не предусматривающего измерения производных регулируемой переменной и являющегося инвариантным к влиянию внешнего ограниченного возмущения. В сравнении с известными аналогами [2,3] полученный регулятор мал по размерности, является линейным и прост в реализации.

Постановка задачи Рассмотрим линейную систему в форме вход – выход b( p ) d ( p) y= u+ w(t ), (1) a( p) a( p) где p – оператор дифференцирования;

выходная переменная y = y (t ) подлежит b( p) = bm p m + bm 1 p m 1 +... + b1 p + b0, измерению, но не ее производные;

d ( p) = d s p s + d s 1 p s 1 +... + d1 p + d 0 и a( p ) = p n + an 1 p n 1 +... + a1 p + a0 – полиномы с = nm неизвестными параметрами;

относительная степень модели (1) предполагается известной;

полином b( p) гурвицев и коэффициент bm 0 ;

число s n ;

w(t ) – неизвестное гладкое ограниченное возмущение;

u – сигнал управления.

Наряду с объектом управления рассмотрим эталонный сигнал задания y *, доступный измерению и удовлетворяющий условию diy* C0, (2) dt i где i = 1,.

Иными словами, условие (2) гарантирует ограниченность производных сигнала y * с первой по -ю включительно.

Требуется найти закон управления или синтезировать регулятор, обеспечивающий для любых начальных условий ограниченность всех сигналов системы, а также выполнение целевого условия для некоторого t t1, e(t ) (3) где e = y y * - ошибка слежения, - некоторое, в общем случае малое число, которое может быть уменьшено за счет выбора закона управления.

Представленная постановка проблемы является типовой для данного класса задач.

Решение указанной задачи будем проводить в два этапа. Сначала, предполагая, что производные выходного сигнала модели (1) измеряются и возмущение w(t ) = 0, рассмотрим решение задачи стабилизации. Далее, используя результаты первого этапа, будем решать комплексную задачу слежения и стабилизации объекта управления (1) без измерения производных от функции y (t ) и наличии возмущения w(t ).

Синтез алгоритма стабилизации в случае измеримости производных выходного сигнала Сначала предположим, что система (1) – строго минимально фазовая. Тогда используя подход представленный в работе [1], выберем закон управления следующего вида u = µy, (4) где параметр µ выбирается (достаточно большим) больше некоторого положительного числа µ 0 в целях обеспечения устойчивости полинома замкнутой системы a ( p ) = a ( p ) + µb( p ).

Теперь предположим, что относительная степень модели (1) 1, но производные выходного сигнала y (t ) подлежат измерению. Выберем следующий закон управления:

u = ( p)u, (5) где ( p) - гурвицев полином степени 1, u – новое, задачно ориентированное управление.

Тогда модель (1) примет вид b( p) ( p) y= u, (6) a( p) где полином b( p) ( p) гурвицев и относительная степень системы (6) равна единице, а, следовательно, системы (6) можно отнести к классу строго минимально фазовых.

Выберем закон управления u в соответствии с уравнением (4) u = µy. (7) Тогда при некоторых достаточно больших µ достигается гурвицевость полинома ( p ) = a( p) + µb( p ) ( p). (8) Однако в силу постановки задачи закон управления (5), (7) не приемлем, так как содержит производные переменной y (t ). Алгоритм управления, использующий уравнения вида (5), (7), обеспечивающий выполнение целевого условия (3) и не предусматривающий измерение производных выходного сигнала объекта, представлен в следующем разделе.

Синтез алгоритма робастного управления Выберем закон управления в следующем виде u = ( p)( µ + )e, (9) где достаточно большой параметр µ и любой гурвицев полином ( p) степени выбираются из соображений гурвицевости ( p ) = a( p) + µb( p ) ( p) (см. уравнения (5) – (8)), коэффициент предназначен для повышения точности слежения за эталонным сигналом y * и парирование влияния возмущения w(t ), а функция e формируется алгоритмом оценки вида & 1 = 2, & 2 = 3, (10)...

& 1 = ( k11 k 2 2... k 1 1 + k1e), e = 1, (11) где число µ +, а коэффициенты ki рассчитываются из соображений асимптотической устойчивости системы (10).

Очевидно, что закон управления (9) является технически реализуемым, так как содержит известные или измеряемые переменные.

Подставляя (9) в уравнение (1), получаем b( p ) d ( p) y = ( µ + ) ( p )e + w(t ). (12) a( p) a( p) Рассмотрим модель отклонений b( p ) d ( p) e = y y * = ( µ + ) ( p )e + w(t ) y *.

(13) a( p) a( p) Введем следующее обозначение d ( p) a( p) f= w(t ) y*, b( p ) b( p ) где в силу гурвицевости b( p), гладкости w(t ) и ограниченности производных сигнала y * с первой по -ю включительно функция f также ограничена.

Тогда уравнение (13) примет вид:

b( p ) b( p ) b( p ) e = ( µ + ) ( p )e + [( µ + ) ( p)e + f ] = f= a( p) a( p) a( p) b( p ) [( µ + ) ( p)e + ( µ + ) ( p) + f ], = (14) a( p) где невязка (функция отклонений) равна = ee. Проводя несложные преобразования, для уравнения (14) получаем a ( p )e + µ ( p )b( p)e = b( p) ( p )[ f + ( µ + ) e] ;

(15) принимая обозначения ( p ) = a( p) + µ ( p)b( p) и ( p) = ( p)b( p), для системы (14) получаем ( p) [e + ( µ + ) + f ], e= (16) ( p) где сигнал f = f.

( p) Теперь представим модель вход-выход (14) в виде модели вход – состояние – выход x = Ax + b(e + ( µ + ) + f ), (17) & e = cT x, (18) где x R – вектор переменных состояния модели (17);

A, b и c – соответствующие n матрицы перехода от модели вход – выход к модели вход – состояние – выход.

Следует отметить, что в соответствии с известными результатами А.Л. Фрадкова о пассификации линейных систем [2] гурвицевость полинома ( p ) и строгая минимальная фазовость модели (16) позволяет указать симметрическую положительно определенную матрицу P, удовлетворяющую двум следующим матричным уравнениям:

AT P + PA = Q1, Pb = c, (19) где Q1 = Q1 0 причем значения матрицы Q1 зависят от параметра µ и не зависят от T коэффициента.

Перепишем систему (10), (11) в векторно-матричной форме & = ( + dk1e), (20) e = hT, (21) 1 0 1 0... 0 0 0 0 1... 2 где = 3, = 0 0, d = 0 и h = 0.

0 0...

M M M M O M M M 1 k1 k 2 k3... k 1 1 Введем в рассмотрение вектор отклонений = he, (22) тогда в силу структуры матрицы h невязка примет вид = e e = hT he hT = hT (he ) = hT.

(23) Для производной от получим = he ((he ) + dk1e) = he + (dk1 + h)e. (24) & & & Так как dk1 = h (проверяется подстановкой), то = he +, (25) & & = hT, (26) где матрица гурвицева и удовлетворяет уравнению Ляпунова T N + N = Q2, (27) где N = N T 0 и Q2 = Q2 0.

T Условия применимости закона управления (9) – (11) для стабилизации системы (1) приведены в следующей теореме.

Теорема. Существует число µ + такое, что все траектории системы (17), (18), (25), (26) ограничены и за счет выбора параметра могут быть сведены в любую малую окрестность.

Доказательство. Рассмотрим функцию Ляпунова вида V = x T Px + T N. (28) Дифференцируя (28) по времени с учетом уравнений (17), (18) и (25), (26), получаем & V = x T ( AT P + PA) x + 2( µ + ) xT PbhT + 2 x T Pbf 2x T Pbe + T (T N + N) + 2 T Nhc T Ax + + 2( µ + ) T Nhc T bhT + 2 T Nhc T bf 2 T Nhc T be, (29) где вместо составляющей e уравнения (25) в (29) было использовано слагаемое & e = c ( Ax be + ( + µ )bhT + bf ).

T & Подставляя в (29) уравнения (19) и (27), а также принимая во внимание соотношения 2 x T PbhT x T PbbT Px + 1 T hhT, (30) 2 T Nhc T bhT T Nhc T bbT chT N + T hhT, (31) 1 T 2 Nhc Ax Nhc AA ch N + x x, T T T T T T (32) 1 2 Nhc bf Nhc bb ch N + T T T T T T f, (33) 2 Nhc be Nhc bb ch N + x Pbb Px, T T T T T T T T (34) 1 2 x Pbf x Pbb Px + f, T T T (35) для производной от функции Ляпунова (28) получаем & V xT Q1 x T Q2 2xT PbbT Px + + ( µ + ) x T PbbT Px + 1 ( µ + ) T hhT + x T PbbT Px + + 1 f 2 + ( µ + ) T Nhc T bbT chT N + ( µ + ) T hhT + + 1 T Nhc T AAT chT N + x T x + T Nhc T bbT chT N + + 1 f 2 + 1 T Nhc T bbT chT N + x T PbbT Px, (36) где число 0 (возможно малое) удовлетворяет неравенству Q1 + I + (µ + 2 ) PbbT P Q 0. (37) Подставляя выражение (37) в неравенство (36), получаем V x T Qx T Q2 + 1 ( µ + ) T hhT + 2 1 f 2 + & + ( µ + ) T Nhc T bbT chT N + ( µ + ) T hhT + + 1 T Nhc T AAT chT N + T Nhc T bbT chT N + + 1 T Nhc T bbT chT N. (38) Пусть число выбрано таким, что выполнено соотношение Q2 + 1 ( µ + )hhT + ( µ + ) Nhc T bbT chT N + ( µ + )hhT + + 1 Nhc T AAT chT N + Nhc T bbT chT N + + 1Nhc T bbT chT N Q. (39) Подставляя выражение (39) в неравенство (38), получаем V x T Qx T Q + 2 1 f 2.

& (40) Поскольку функция f является ограниченной, а полином ( p) гурвицев, то функция f также ограничена. Из выражения (40) следует, что для ограниченного сигнала f при увеличении параметра значения функции V вида (28) могут быть сделаны сколь угодно малыми [2,3]. Последнее обеспечивает ограниченность траекторий системы (17), (18), (25), (26) и сведение их в любую малую окрестность за счет увеличения параметра, что и требовалось доказать.

Заключение Для линейной системы с неизвестными параметрами рассмотрена проблема синтеза закона управления, обеспечивающего слежение за эталонным сигналом с определенной точностью при наличии внешнего ограниченного гладкого возмущения.

Предполагая, что объект управления задан в форме вход – выход и его числитель гурвицев, в классе алгоритмов робастного управления предложен подход, позволяющий решать комплексную задачу слежения и стабилизации линейной неопределенной системы только по измерениям выходной переменной объекта. К достоинствам предложенной схемы управления следует отнести ее простоту построения, малую размерность, линейность и возможность увеличения точности за счет роста коэффициента.

Данная работа выполнена при финансовой поддержке Администрации Санкт Петербурга, конкурс грантов 2003 года для молодых кандидатов наук Санкт Петербурга (шифр гранта: PD03-2.0-6).

Литература 1. Бобцов А.А. Алгоритм робастного управления в задаче слежения за эталонным сигналом // Автоматика и телемеханика. 2003. № 6.

2. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000.

3. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений.

– СПб: Наука, 2003.

СИНТЕЗ АДАПТИВНОГО ПРЕДИКТОРА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ УПРЕЖДАЮЩЕЙ ОЦЕНКИ А.А. Бобцов, В.И. Цвикевич Статья посвящена проблеме синтеза адаптивного предиктора для нестационарной системы второго порядка с частично известными коэффициентами и известным, в общем случае, переменным запаздыванием. Решаемая в рамках данной работы задача, является актуальной при управлении впрыском топлива в инжекторных двигателях внутреннего сгорания.

Введение В данной статье рассматривается задача синтеза адаптивного предиктора для нахождения упреждающей оценки. Задача эта не является новой, но для данной работы является специфичной, поскольку наряду с типовой постановкой, заключающейся в синтезе предиктора или упредителя для линейной стационарной системы с неизвестными коэффициентами при запаздывании в управлении, данная проблема усложнена нестационарностью модели и наличием дополнительной сенсорной динамики. Подобная задача является достаточно актуальной для поддержания заданного стехиометрического соотношения в системах управления впрыском топлива для инжекторных двигателей внутреннего сгорания. Решение задачи поддержания заданного стехиометрического соотношения является экологически и экономически выгодным, поскольку, с одной стороны, в атмосферу не выбрасываются вредные вещества, вызванные частичным сгоранием топлива, а с другой стороны, производится оптимальный по объему впрыск топлива необходимый для функционирования двигателя.

Постановка задачи Рассмотрим объект управления следующего вида x = ax + bu, (1) & y = (t ) y = (t )( x + du ), (2) где сигнал y (t ) и функция x(t ) не измеряются;

функция (t ) = (t ) + 0 предполагается известной, число 0 0 ;

постоянные параметры a, b и d не известны.

Наряду с объектом управления (1), (2) рассмотрим сенсор первого порядка y = y + y (t ), & (3) где постоянные параметры и полагаются известными;

сигнал y (t ) измеряется;

запаздывание 0 известно.

Следует отметить, что модель вида (1) – (3) является достаточно известной и популярной в литературе по двигателям внутреннего сгорания [1 – 5]. В частности, уравнения (1) и (2) представляют собой модель впрыска с выходной переменной y (t ) и входной переменной u (t ) представляющими, соответственно, стехиометрическое соотношение и объем впрыскиваемого топлива во времени. Уравнение (3) описывает динамику датчика, а запаздывание 0 вызвано прохождением выхлопного газа в коллекторной трубе.

Сформируем цель управление как:

lim y (t ) y (t ) = 0, (4) t где y (t ) оценка сигнала y (t ).

Рассмотрим также дополнительную цель управления:

lim y (t ) y (t ) = 0, (5) t где y (t ) оценка функции y (t ).

Легко показать, что из выполнения lim y (t ) y (t ) = 0 следует lim y (t ) y (t ) = 0.

t t Синтез адаптивного предиктора Дифференцируя функцию y (t ), получаем y (t ) = x(t ) + du (t ) = ax(t ) + bu (t ) + du (t ) = a( y (t ) du (t )) + bu (t ) + du (t ) = & & & & & = ay (t ) + (ad + b)u (t ) + du (t ) = ay (t ) + 1 (t )1 + 2 (t ) 2 = ay (t ) + T (t ), (6) & 1 = (ad + b), 2 = d, 1 (t ) = u (t ), 2 (t ) = u (t ), T (t ) = [1 (t ) 2 (t )] где и & T = [1 2 ].

Из уравнения (6) для y (t ) получаем y (t ) = ay (t ) + T (t ). (7) & Сначала построим наблюдатель для системы (7). Пусть сигнал y (t ) = (t ) y (t ) измеряется, адаптивный наблюдатель примет вид:

y (t ) = a (t ) y (t ) + T (t )(t ), & (8) y (t ) оценка сигнала y (t ), функция a (t ) где оценка неизвестного параметра a и вектор-функция (t ) оценка вектора неизвестных параметров.

Для синтеза адаптивного наблюдателя рассмотрим модель ошибок ~ (t ) = y (t ) y (t ).

(9) y ~ (t ), получаем Дифференцируя функцию y ~ (t ) = y (t ) y (t ) = ay (t ) + T (t ) & & & y (a(t ) y (t ) + (t )(t )) = T (a(t ) + a (t ))( y (t ) + ~ (t )) + ~ y ~ + a (t ) y (t ) + (t ) (t ) = a (t ) y (t ) a (t ) ~ (t ) ~ ~ T y ~ a (t ) ~ (t ) + T (t ) (t ) = a~ (t ) a (t ) y (t ) + ~ y y ~ + (t ) (t ).

T (10) ~ ~ где a (t ) = a a(t ) и (t ) = (t ).

Рассмотрим функцию Ляпунова следующего вида ~T ~ ~ ~ 2 (t ) + a (t ) + (t ) (t ), V = (t ) y (11) k a1 ka где постоянные параметры k a1 0 и k a 2 0.

Дифференцируя функцию V, получаем V = (t ) ~2 (t ) 2 (t )a~2 (t ) 2 (t ) ~ (t )a (t ) y (t ) + ~ && y y y ~ ~ & ~ ~ & a (t )a (t ) T (t ) (t ) ~ + 2 (t ) ~ (t ) T (t ) (t ) + 2 +2. (12) y k a1 ka ~ ~ Выберем адаптивный алгоритм для a (t ) = a a(t ) и (t ) = (t ) в следующем виде a (t ) = k a1 (t ) ~ (t ) y (t ), ~& (13) y ~ & (t ) = k a 2 (t ) (t ) ~ (t ). (14) y Тогда уравнение (12) примет вид V = ( (t ) 2 (t )a) ~2 (t ).

& (15) & y ( (t ) 2 (t )a) 0 u (t ), u (t ) L, тогда Пусть функция и & & ~ ~ (t ) const и (t ) const при t. Из условия lim y (t ) y (t ) = 0, a t ~ ~ lim y (t ) y (t ) = 0, a (t ) const и (t ) const при t получаем t ~ ~ ~ ~ a (t ) a (t ) и (t ) (t ) при t. (16) ~ ~ Поскольку a (t ) = a a (t ) и (t ) = (t ), тогда a(t ) = a a (t ) = k a1 (t ) ~ (t ) y (t ), &~ & & (17) y & & (t ) = & (t ) = k a 2 (t ) (t ) ~ (t ), (18) y где a(0) 0 и (0) 0.

Легко видеть, что наблюдатель (8), (17), (18) может быть использован для оценки сигнала y (t ) в случае, когда y (t ) = a(t ) y (t ) + T (t )(t ), & (19) a (t ) = k (t ) ~ (t ) y (t ), & (20) y a & (t ) = k a 2 (t ) (t ) ~ (t ). (21) y ~ ~ ~ (t ) a (t ) и ~ (t ) (t ) a(t ) a(t ), t, Поскольку a при то (t ) (t ) и мы получаем y (t ) = a(t ) y (t ) + T (t )(t ) = a(t ) y (t ) + T (t )(t ).

& (22) Из уравнения (22) мы можем синтезировать наблюдатель для сигнала y (t ).

Рассмотрим функцию (t ) в следующем виде &(t ) = a(t ) (t ) + T (t )(t ), (23) где параметр a(t ) 0 и (0) = y (0) мы получаем (t ) y (t ) при t.

Так как (t ) y (t ) при t мы получаем lim y (t ) (t ) = 0.

t Однако наблюдатель (8), (17), (18), (23) не может быть использован, т.к. в силу постановки задачи сигнал (t ) y (t ) не измеряется. Из уравнения (3) находим 1& (t ) y (t ) = y (t ) + y (t ). (24) Подставляя уравнение (24) в (17), (18) мы получаем a (t ) = a1 ( y (t ) + y (t ) )y (t ) + k a1 (t ) y (t ), k & & (25) (t )( y (t ) + y (t ) ) k a 2 (t ) (t ) y (t ).

& ka (t ) = & (26) Введем в рассмотрение новую переменную k a n (t ) = a1 y (t ) y (t ) + a (t ), (27) ka n (t ) = (t ) y (t ) + (t ). (28) Дифференцируя уравнения (27) и (28), получаем k& k & & & a n (t ) = a1 y (t ) y (t ) + a1 y (t ) y (t ) + a(t ) = k k a1 & y (t ) y (t ) a1 y (t ) y (t ) + k a1 (t ) y (t ) = = k k a1 y ( a(t ) y (t ) + T (t ) (t )) a1 y (t ) y (t ) + = + k a1 (t ) y (t ), (29) & & k k n (t ) = a 2 (t ) y (t ) a 2 (t ) y (t ) + (t ) = & & k a ka (t ) y (t ) + (t ) y (t ) k a 2 (t ) (t ) y (t ).

= (30) & Таким образом, наблюдатель сигнала y (t ) имеет следующий вид &(t ) = a(t ) (t ) + T (t )(t ), (31) y (t ) = a (t ) y (t ) + T (t )(t ), & (32) k & a n (t ) = a1 y ( a(t ) y (t ) + T (t ) (t )) k a y (t ) y (t ) + k a1 (t ) y (t ), (33) k a a(t ) = a n (t ) y (t ) y (t ), (34) k a & ka n (t ) = (t ) y (t ) + (t ) y (t ) & k a 2 (t ) (t ) y (t ), (35) k (t ) = n (t ) + a 2 (t ) y (t ). (36) Заключение В статье предложено решение задачи синтеза адаптивного предиктора для нестационарной системы с запаздыванием (1), (2) и динамическим сенсором первого порядка (3). В условиях параметрической неопределенности модели (1), (2), построен регулятор (31) – (36), обеспечивающий нахождение упреждающей оценки выходной переменной системы (1), (2).

Данная работа выполнена при финансовой поддержке Администрации Санкт Петербурга, конкурс грантов 2003 года для молодых кандидатов наук Санкт Петербурга (шифр гранта: PD03-2.0-6).

Литература 1. Kim Y.-W., Rizzoni G., V. Utkin Automotive engine diagnostics and control via nonlinear estimation.

IEEE Control Systems, 1998.

2. Ault B.A., Jones V.K., Powell J.D., Franklin G.F. Adaptive air-fuel ration control of a spark ignition engine. SAE paper no. 940373, 1993.

3. Jones V.K., Ault B.A., Franklin G.F., Powell J.D. Identification and air-fuel ratio control of a spark ignition engine. IEEE Trans. on Control Systems Technology, vol. 3, no. 1, 1995.

4. Powell J.D., Fekete N.P., Chang C. -F. Observer-based air-fuel ratio control. IEEE Control Systems, 1998.

5. Turin R.C., Geering H.P. Model-based adaptive fuel control in an SI engine. SAE paper no. 940374, 1993.

АДАПТИВНАЯ КОМПЕНСАЦИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ВОЗМУЩЕНИЯ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПО ИЗМЕРЕНИЯМ ВЫХОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОБЪЕКТА Бобцов А.А., Кремлев А.С.

Статья посвящена проблеме компенсации гармонического возмущения с неизвестными параметрами по измерениям выходной переменной объекта. Предлагается подход к компенсации гармонического возмущения, который превосходит по ряду характеристик известный аналог.

Введение В данной работе рассматривается проблема адаптивной компенсации периодического возмущения w(t ) = 0 + sin( t + ), действующего на линейный объект управления. Решение этой проблемы заключается в синтезе динамического управления с обратной связью по выходу, гарантирующего устойчивость с по входному каналу, при любых начальных условиях объекта и регулятора, а также для любых неизвестных постоянных значений 0,,, 0. Если частота известна, то поставленная проблема имеет классическое решение с моделируемым возмущением для линейных систем с использованием наблюдателей. Если частота неизвестна, то эта проблема представляет значительный интерес. Имеется ряд работ посвященных управлению в условиях неизвестной частоты возмущающего воздействия w(t ) = 0 + sin( t + ) [1] – [6]. В данной статье мы будем развивать подход представленный в работе [6]. В статье [6] предлагается компенсатор размерности (2n+6). Алгоритм наблюдателя сложен в реализации и для его построения требуется много вычислений, а также знание нижней границы параметра. Предлагаемый в данной статье компенсатор возмущения проще по структуре и ниже по размерности по сравнению с регулятором предложенным в [6].


Постановка задачи Рассмотрим линейный объект вида:

a n1 1... 0 bn M b M O M z + n 2 (u + w ) = Fz + g (u + w ), z= (1) & a1 0... 1 M a0 0... 0 y = [1 0... 0]z = hz. (2) где вектор переменных состояния z = z (t ) не измеряется, u - сигнал управления, y регулируемая переменная. Входное возмущение w (t ) представлено в виде функции:

w (t ) = 0 + sin( t + ), (3) включающей в себя смещенную синусоиду с неизвестной амплитудой 0, неизвестной частотой, неизвестной фазой и неизвестным сдвигом 0.

Дадим следующие допущения относительно системы (1), (2):

• коэффициенты ai, bi, 0 i n 1 известны;

• полином a( p ) = p n + a n1 p n1 +... + a1 p + a0 - гурвицев;

• полином b( p) = p n1 + bn1 p n2 +... + b1 p + b0 не имеет корней на мнимой оси.

Проведем ряд модельных изменений. Для этого рассмотрим модель вход состояние-выход (1), (2) в форме вход-выход b( p ) y (t ) = (u (t ) + w (t )). (4) a( p) Умножая обе части уравнения (4) на ( p + ), получаем ( p + )b( p ) [u + w ] = u + w, ( p + )y = (5) a( p) где число 0 и ( p + )b( p) u= u, (6) a( p) ( p + )b( p) w= w. (7) a( p) Модель (5) может быть также записана в виде y = y + u + w. (8) & Теперь сформулируем цель управления, как решение задачи синтеза алгоритма, обеспечивающего при любых начальных состояниях объекта выполнение условия lim y (t ) = 0. (9) t Для решения задачи, сформулированной в виде цели управления (9), в предположении, что сигнал w(t ) измеряется (см. уравнение (7)), построим наблюдатель возмущения w(t ). Далее, используя полученную схему наблюдения, будем решать задачу компенсации возмущающего воздействия w(t ).

Решение задачи синтеза наблюдателя возмущения В данном разделе, предполагая, что сигнал w(t ) измеряется будем строить наблюдатель, обеспечивающий выполнение цели наблюдения следующего вида lim w(t ) w(t ) = 0, (10) t где w(t ) - оценка сигнала w(t ).

Известно [6], что для моделирования гармонического возмущения можно воспользоваться следующей системой дифференциальных уравнений x1 = x 2, &* * * * x 2 = x3, (11) & * * x3 = x 2, & * w(t ) = x1, (12) где параметр = 2 является неизвестным, в силу неопределенности.

* Следует отметить, что построение наблюдателя по измерениям переменной w(t ) = x для системы (11), (12) представляет значительные сложности. Эти трудности связанны [ ] x * = x1 x 2 x3, * * * с неизмеримостью вектора переменных состояния неопределенностью параметра = 2. Проведем преобразование модели (11), (12) к удобной для синтеза наблюдателя форме. Введем в рассмотрение матрицу преобразования координат следующего вида T = k1 I + k 2 A + k 3 A 2, (13) 0 1 0 0 0 0 0 1 где состояния модели (11) матрица A = 0 0 1 + 0 0 0 = 0 0 1, а 0 0 0 0 0 0 коэффициенты k1, k 2 и k 3 строго положительны.

Известно (см. работу [7]), что в случае невырожденности матрицы T = k1 I + k 2 A + k 3 A существует преобразование координат x * = Tx, приводящее систему (11) к эквивалентной модели вида x1 = x 2, & x 2 = x3, (14) & x = x, &3 w(t ) = k1 x1 + k 2 x 2 + k 3 x3, (15) Таким образом модель (14), (15) может быть использована в качестве генератора гармонического воздействия w(t ). Теперь покажем, что при любых строго положительных k1, k 2, k 3 и матрица преобразования координат T является невырожденной. Для этого подставим соответствующие компоненты уравнения (13) и найдем определитель матрицы T k1 0 0 0 0 k 3 k1 0 k2 k2 k T= 0 0 + 0 k 2 + 0 k 3 0 =0 k2, k1 k k k1 0 k 2 k3 0 k2 k1 k 0 0 0 k k 3 k2 2 = k1 (k1 k 3 ) + k1k 2.

det T = k1 k2 k1 k Очевидно, что det T 0 при любых строго положительных k1, k 2, k 3 и.

Теперь приступим к процедуре синтеза наблюдателя гармонического воздействия w(t ). Представим алгоритм оценки в виде & x1 = x 2, & x2 = x3, (16) & x 3 = x 2 + u x, w(t ) = k1 x1 + k 2 x 2 + k 3 x3, (17) или в векторно-матричной форме x = A0 x d x 2 + du x, & (18) w = kT x, (19) 0 1 0 0 0 1, d = 0, u - управление, обеспечивающее решение где матрица A0 = x 0 0 0 задачи наблюдения, k = [k1 k 2 k 3 ], (t ) - оценка неизвестного параметра.

T Для расчета управления u x введем в рассмотрение вектор невязки ~ = x x, (20) x и параметрическую ошибку ~ =. (21) Дифференцируя уравнение (20), получаем ~ = x x = A x d x A x + d x du = x&& & 0 0 2 x ~ ~ x ] du = = A0 ( x x) + d [( + )( x 2 + x 2 ) + x ~ ~ d ~ d x du.

= A0 x 2 (22) x2 x ~ = k T x k T x = k T ~, тогда уравнение (22) примет вид Выберем u = w x x ~ ~ ~ = A ~ d ~ d x dk T ~ = A ~ d x, & 2 x 0x x2 x cx (23) где матрица замкнутой системы Ac = A0 d dk T.

Пусть алгоритм оценки неизвестного параметра имеет следующий вид & ~ = k x w, (24) a где k a 0.

Тогда дифференцируя параметрическую ошибку (21), получаем ~ & & ~ = & = k x w. (25) a Из классической теории адаптивных систем известно [8], что положение равновесия ~ = 0 системы (23), (25) асимптотически устойчиво, если передаточная функция x W ( p) = k T ( pI Ac ) 1 d строго вещественно положительная (СВП), т.е.

• матрица Ac - гурвицева;

Re W ( j ) 0 для всех ;

• lim Re 2W ( j ) 0.

• Таким образом для выполнения цели наблюдения вида (10) необходимо, чтобы положение равновесия ~ = 0 было асимптотически устойчиво, что в свою очередь, x будет выполнено при строгой вещественной положительности передаточной функции W ( p) = k T ( pI Ac ) 1 d.

3 Утверждение. Пусть коэффициенты k1 = 0, k 2 = 3 0 и k 3 = 3 0, где число 0 0. Тогда передаточная функция W ( p) = k T ( pI Ac ) 1 d строго вещественно положительная.

Доказательство. Сначала покажем, что при 0 0 матрица Ac = A0 d dk T гурвицева. Для этого рассмотрим критерий устойчивости Гурвица, который для системы 3 порядка имеет вид k 3 k 2 + k 3 k1. (26) 3 Подставляя в неравенство (26) k1 = 0, k 2 = 3 0 и k 3 = 3 0, получаем 3 9 0 + 3 0 0 при 0 0 и 0, откуда следует, что матрица Ac = A0 d dk T - гурвицева.

Теперь покажем, что выполнены частотные неравенства Re W ( j ) 0 для всех и lim Re 2W ( j ) 0. Для этого рассмотрим передаточную функцию k 3 p 2 + k 2 p + k W ( p ) = k T ( pI Ac ) 1 d =, p 3 + k 3 p 2 + (k 2 + ) p + k подставляя p = j и выделяя вещественную часть, получаем (k 3 k 2 ) 4 + (k 2 k1k 3 + k 2 ) 2 + k 2 2 Re W ( j ) =.

6 + (k 3 2 k1 ) 2 + (k 2 + ) 2 3 Подставляя k1 = 0, k 2 = 3 0 и k 3 = 3 0 в последнее уравнение, получаем (k 3 k 2 ) 4 + (k 2 k1k 3 + k 2 ) 2 + k 2 2 Re W ( j ) = = 6 + (k 3 2 k1 ) 2 + (k 2 + ) 2 (9 0 3 0 ) 4 + (9 0 3 0 + 3 0 ) 2 + 2 2 4 4 2 = = 6 + (3 0 2 0 ) 2 + (3 0 + ) 2 3 6 0 4 + (6 0 + 3 0 ) 2 + 2 4 2 0 для всех.

= 6 + (3 0 2 0 ) 2 + (3 0 + ) 2 3 Таким образом условие Re W ( j ) 0 выполнено для всех, 0 0 и 0. Далее легко показать, что lim Re 2W ( j ) 0 для всех 0 0 и 0, что в свою очередь, наряду с гурвицевостью матрицы Ac = A0 d dk T, Re W ( j ) 0 для всех и lim Re 2W ( j ) 0 обеспечивает свойства строгой вещественной положительности передаточной функции W ( p) = k T ( pI Ac ) 1 d.

Решение задачи компенсация возмущения Рассмотрим модифицированное уравнение объекта управления вида (8) y = y + u + w. (27) & Из уравнения (27) легко видеть, что y (t ) стремиться к нулю, если управление u = w.

) Но управление u = w - идеальный вариант, реально мы имеем дело с u = w и ~ неизвестной невязкой w. Так как наблюдатель (16), (17), (24) формирует оценку возмущения w(t ) w(t ) при t, то целесообразно выбирать компенсационное управление следующим образом u = w и, следовательно, из уравнения (6) ( p + )b( p) u= w.

a( p) Тогда уравнение (27) примет вид ~ y = y + w. (28) & ~ (t ) не Однако по условиям задачи возмущение w(t ) не измеряется, а, следовательно, w известна и наблюдатель (16), (17), (24) не реализуем. Построим реализуемую схему наблюдения. Из уравнения (28) находим ~ w = y + y. (29) & Подставив уравнение (29) в (18), получаем x = A0 x d x 2 + ( d y + d y ).

& (30) & Пусть = x dy, тогда )) ) ) & = x d µ y = A x d x 2 + d µ y & & (31) ) x = + d µ y.

Подставив уравнение (29) в (24), получаем & ~ = k a x 2 w = k a x 2 ( y + y ) = k a x 2 y k a x 2 y.

& & (32) Введем новую переменную, чтобы избавиться от неизвестной переменной y : & = + k a x 2 y.

(33) Дифференцируя уравнение (33), получаем & = + k a x 2 y + k a x 2 y = k a x 2 y k a x 2 y + k a x 2 y + k a x 2 y, & & & & & (34) & & где x 2 = x3 - измеряется.

Из выражения (34) имеем реализуемую схему настройки параметра = k a x 2 y + k a x 3 y, & (35) = k a x 2 y.

Таким образом реализуемая схема наблюдателя представлена уравнениями (31), (35).

Заключение В статье предложен алгоритм адаптивной компенсации гармонического возмущения с неизвестными параметрами по измерениям выходной переменной объекта. Полученный результат превосходит решение представленное в работе [6], так как в отличии от [6]:

• неизвестен диапазон значений частоты (в работе [6] известна нижняя граница );

• структура данного регулятора является простой в сравнении с [6];

• размерность данного регулятора n + 4, что ниже, чем у аналога [6] (размерность регулятора в [6] 2n + 6 ).

Работа поддержана грантом на проведение молодыми учеными научных исследований в ведущих научно-педагогических коллективах вузов и научных организаций Минобразования России (шифр гранта: PD02-2.8-53).

Литература 1. Bodson M., Douglas S.C. Adaptive algorithms for the rejection of periodic disturbances with unknown frequencies. Automatica. 1997. V. 33. P. 2213-2221.

2. Hsu L., Ortega R., Damm G.. A globally convergent frequency estimator. IEEE Transactions on Automatic Control. 1999. V. 46. P. 967-972.

3. Nikiforov V.O. Adaptive servocompensation of input disturbances // 13th IFAC World Congress. San-Francisco, USA. 1996. Vol. K. P.175-180.

4. Nikiforov V.O. Adaptive nonlinear tracking with complete compensation of unknown disturbances. European Journal of Control. 1998. N 4. P. 132- 5. Serrani A., Isidori A., Marconi L. Semiglobal nonlinear output regulation with adaptive internal model. IEEE Transactions on Automatic Control. 2001. V. 46. P. 1178- 6. Marino R., Santosuosso G.L., Tomei P. Robust adaptive compensation of biased sinusoidal disturbances with unknown frequency. Automatica. 2003. V.39. P. 1755- 7. Bobtsov A., Lyamin A., Romasheva D. Algorithm of parameter’s identification of polyharmonic function // 15 th IFAC World Congress on Automatic Control. Barcelona, Spain, 2002.

8. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000. – 549 с.

УПРАВЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ ТИПА ЛУРЬЕ С МИНИМАЛЬНО-ФАЗОВОЙ ЛИНЕЙНОЙ ЧАСТЬЮ А.А. Бобцов, Н.А. Николаев В работе представлены аналитические условия и предложены практические методы их реализации для решения задачи стабилизации нелинейной неопределенной системы с минимально-фазовой линейной частью. В статье рассматриваются нелинейные объекты типа Лурье, линейная часть которых имеет относительную степень, равную двум и ее параметры неизвестны.

Введение Данная работа представляет собой развитие схем управления нелинейными системами, представляющими собой композицию линейного динамического и нелинейного статического звеньев [1 – 4]. Как и в статьях [1 – 4] в предлагаемой работе будут рассматриваться нелинейные системы, в которых нарушены условия согласования нелинейных блоков и управляющего сигнала. Следует отметить, что в отличие от результатов, полученных в работах [1–3], в данной статье нелинейное звено является неизвестной характеристикой выходной переменной объекта управления, а вектор переменных состояния системы не измеряется. Также в развитии подхода, представленного в [1–3], рассматривается нелинейная система с параметрически неопределенной линейной частью. В развитии результата представленного в статье [4], в данной работе рассматривается нелинейная система с параметрическими и функциональными неопределенности.

В данной работе предлагается схема управления, обеспечивающая асимптотическую сходимость выходной траектории нелинейной системы к нулю.

Регулятор использует информацию только о выходной переменной.

Постановка задачи Рассмотрим нелинейный объект управления вида b( p ) d ( p) ( y), y= u+ (1) a( p) a( p) где p = d / dt - оператор дифференцирования;

b( p ) = bm p m + bm1 p m1 +... + b1 p + b0 гурвицев полином степени m ;

a ( p ) = p n + an1 p n1 +... + a1 p + a0 - полином степени n (может быть неустойчивым);

d ( p ) = d r p r + d r 1 p r 1 +... + d1 p + d 0 - полином степени r (может быть неустойчивым);

коэффициенты bi, ai, d i предполагаются неизвестными;

b( p ) = n m = 2 ;

неизвестная относительная степень передаточной функции a( p) функция = ( y ) такая, что:

(0) = 0, ( y) C 0 или 0 ( y ) C 0 y для всех y, 0 y где C0 0 неизвестная постоянная.

В качестве цели управления зададимся решением задачи синтеза закона управления, обеспечивающего lim y (t ) = 0. (2) t Синтез алгоритма управления Рассмотрим систему вида (1) при ( y ) = 0, тогда она принимает вид b( p ). (3) y= u a( p) Предположим, что производные выходного сигнала y (t ) подлежат измерению.

Выберем закон управления вида [4] u = ( p)u, (4) ( p ) - гурвицев полином степени 1 = n m 1 ;

u - новое, задачно где ориентированное управление.

Тогда модель (3) примет вид b( p ) ( p) y= u, (5) a( p) b( p) ( p) - гурвицев полином;

относительная степень модели (5) равна единице где ( = n m = 1).

Вследствие того, что относительная степень модели (5) равна единице, ее можно отнести к классу строго минимально фазовых систем [5].

Выберем закон управления вида u = (µ + k )y, (6) тогда при определенных значениях коэффициента µ становится гурвицевым полином ( p) = a( p ) + µb( p) ( p ), (7) а функция k предназначена для компенсации неопределенности.

Однако закон управления (6) не может быть реализован из-за невозможности измерения производных выходной переменной y (t ). Преобразуем закон управления следующим образом u = ( p )( µ + ) y, (8) где коэффициент µ и полином ( p ) выбираются таким образом, чтобы полином ( p ) = a( p) + µb( p ) ( p ) был гурвицевым;

y - функция, формируемая алгоритмом оценки вида [4] & 1 = 2, & 2 = 3,, (9)...

& = (k k... k + k y ) 1 1 11 22 y = 1, (10) где функция µ + (подробнее о выборе функции см. теорему);

k i коэффициенты, рассчитываемые из соображения асимптотической устойчивости модели (9) при y 0.

Закон управления (8) является технически реализуемым, так как содержит только измеряемые и известные сигналы.

При относительной степени объекта управления = n m = 2 алгоритм оценки (9), (10) принимает следующий вид & = ( y ), (11) y =.

(12) Подставляя закон управления (8) в (1) получаем b( p ) d ( p) [ ( p)( µ + ) y ] + ( y) = y= a( p) a( p) b( p ) d ( p) [ ( p)( µ + ) y + ( p)( µ + ) ] + ( y).

= (13) a( p) a( p) где = y y - функция отклонения (невязка).

Проведем преобразование модели (13) a( p) y + µ ( p)b( p) y = b( p) ( p)[( µ + ) y ] + d ( p) ( y ), (14) Принимая обозначения ( p ) = a ( p ) + µ ( p )b( p) и ( p) = ( p)b( p), для системы (14) получаем ( p) d ( p) [y + ( µ + ) ] + ( y).

y= (15) ( p) ( p) Теперь представим модель вход-выход (15) в виде модели вход-состояние-выход x = Ax + b(y + ( µ + ) ) + q ( y ), (16) & y = cT x, (17) n где x R - вектор переменных состояния модели (16);

A, b и c – соответствующие матрицы перехода от модели вход-выход к модели вход-состояние-выход, причем в силу гурвицевости полинома ( p) и строгой минимальной фазовости модели (16), можно указать симметрическую положительно определенную матрицу P, удовлетворяющую двум следующим матричным уравнениям:

AT P + PA = Q1, Pb = c, (18) где Q1 = Q1 0 причем значения матрицы Q1 зависят от параметра µ и не зависят от T функции.

Введем в рассмотрение отклонение = y, (19) где формируется алгоритмом оценки вида (11).

Тогда невязка примет вид = y y =.

(20) Для производной от получим = y (y ). (21) && Таким образом, окончательно получаем = y. (22) && Условия применимости закона управления (8), (11), (12) для стабилизации системы (1) приведены в следующей теореме.

Теорема. Существует функция µ + такая, что все траектории системы (16), (17), (22) ограничены и за счет выбора функции обеспечивается асимптотическая сходимость выходной переменной к нулю.

Доказательство. Рассмотрим функцию Ляпунова следующего вида V = x T Px + 2. (23) Дифференцируя (23) по времени с учетом уравнений (16), (17) и (22), получаем V = x T ( AT P + PA) x + 2( µ + ) x T Pb + 2 x T Pq ( y ) & 2xT Pby 2 2 + 2cT Ax + 2( µ + )cT b 2 + + 2cT q ( y ) 2cT by, (24) где вместо составляющей y модели (22) в уравнении (24) было использовано & слагаемое y = cT ( Ax by + ( + µ )b + q ( y )). (25) & Подставляя в (24) уравнение (18), а также принимая во внимание соотношения 2kxT Pby = 2ky 2, (26) 2( µ + k ) xT Pb = 2( µ + k ) y y 2 + ( µ + k ) 2 2, (27) 2c T Ax 1c T AAT c 2 + x T x, (28) 2 x T Pq ( y ) x T Pqq T Px + 1 [ ( y )], (29) () 2cT by cT b 2 + ky 2, (30) q ( y ) w(c q ) + w 1 [ ( y )]2, 2c T T (31) для производной от функции Ляпунова (23) получаем & V x T Q1 x 2 2 2y 2 + y 2 + ( µ + ) 2 2 + x T Pqq T Px + () + 1 [ ( y )]2 + 2( µ + )cT b 2 + 1cT AAT c 2 + x T x + cT b 2 + () + y 2 + w c T q 2 + w 1 [ ( y )]2, (32) где число 0 (возможно малое) удовлетворяет неравенству Q1 + I + Pqq T P Q 0. (33) Подставляя выражение (33) в неравенство (32), получаем V x T Qx 2 2 ( 1) y 2 + ( µ + ) 2 2 + 1 [ ( y )] & () () + 2( µ + )c T b 2 + 1c T AAT c 2 + c T b 2 + w c T b 2 + w 1 [ ( y )]2.

2 (34) Пусть функция = 1 + 2 ;

1 0 ;

2 0, где составляющая 1 выбрана таким образом, что выполняется соотношение () () 2 2k 1 + ( µ + ) 2 + 1c T AAT c + c T b + 2( µ + )c T b + w c T q 0. (35) Подставляя выражение (35) в неравенство (34), получаем ( ) V x T Qx 2 2 2 2 (k 1) y 2 + 1 + w 1 [ ( y )].

& (36) Учитывая ограничения, налагаемые на нелинейность 0 ( y ) C 0 y, для неравенства (36) получаем C2 C V x T Qx 2 2 2 2 (k 1) y 2 + 0 + 0 y 4.

& (37) w Преобразуем выражение (37) следующим образом & V = V1 + V2, (38) C2 C ~ ~ где V1 x T Qx 2 2 2 2 0 ;

V2 k y 2 + 0 + 0 y 4 ;

k = k 1.

w Рассмотрим отдельно V C2 C ~ V2 k y 2 + 0 + 0 y 4. (39) w Выбирая ~~ k = k1 y 2, (40) получаем ( ) ~ ~ ~ k1 y 2 = k1 ( y ) = k1 y 2 2 y + 2.

~ ~~~ Выберем k1 следующим образом k1 = k 2 + k 3, тогда для выражения (39) имеем C2 C ~~ ~ ~ V2 (k 2 + k3 ) y 4 + 2k1 y 3 k1 2 y 2 + 0 + 0 y 4. (41) w Выбирая ~ C0 C 2, k3 + (42) w получаем для (41) ~ ~ ~ V2 k 2 y 4 + 2k1 y 3 k1 2 y 2, (43) или для (37) имеем ~ ~ ~ V x T Qx 2 2 2 2 k 2 y 4 + 2k1 y 3 k1 2 y 2.

& (44) Учитывая соотношение ~ ~3 ~ k1 2k1 y y + 2k1 y 2 2, (45) для (44) получаем ~ ~ ~ & x T Qx 2 2 2 k y 4 + k1 y 4 + k y 2 2. (46) V 2 2 ~ ~ & x T Qx 2 2 2 k y 4 + k 2 y 4 + k3 y 4 + k y 2 2, ~ ~ ~~~ Поскольку k1 = k 2 + k 3, то V 2 2 2 ~ ~ ~ 4 k 2 4 k3 ~~ следовательно, при k 2 k3 имеем k 2 y + y + y 0, тогда для (46) получаем 2 ~ & x T Qx 2 2 2 + k y 2 2.

V (47) 2 Выберем функцию 2 таким образом, чтобы удовлетворялось соотношение ~ k1 2 y, (48) тогда для производной от функции Ляпунова (23) окончательно имеем V xT Qx 2.

& (49) Из выражения (49) следует, что при соответствующем выборе функций и, значение функции V вида (23) является отрицательным. Последнее обеспечивает ограниченность траекторий системы (16), (17), (22) и асимптотическую сходимость выходной переменной к нулю, что и требовалось доказать.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
 

Похожие работы:





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.