авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

Академия наук Республики Таджикистан

Институт математики

СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

АНАЛИЗА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ

Материалы

международной научной конференции,

посвященной 60-летию академика

Камолиддина Хамроевича Бойматова

(Душанбе, 23–24 июня 2010 г.)

Д У Ш А Н Б Е – 2010

УДК. 511+512+519. 4, 517. 956, 517. 927

Материалы международной научной конференции “Современные

проблемы математического анализа и их приложений”, посвящен ной 60-летию академика Академии наук Республики Таджикистан Камолиддина Хамроевича Бойматова (Душанбе, 23–24 июня 2010 г.) В сборнике включены материалы, принятые оргкомитетом для участия в международной научной конференции “Современные проблемы математического анализа и их приложений”, посвященной 60-летию академика Академии наук Республики Таджикистан Камолиддина Хамроевича Бойматова (Душанбе, 23–24 июня 2010 г.). Тематика докладов охватывает ши рокий спектр проблем математического анализа, дифференциальных уравнений, алгебры, теории чисел, механики и информатики.

Организационный комитет:

1. Илолов М.И., академик АН РТ( председатель) 2. Михайлов Л.Г., академик АН РТ 3. Усманов З.Д. академик АН РТ 4. Раджабов Н.Р., академик АН РТ 5. Шабозов М.Ш., академик АН РТ 6. Рахмонов З.Х., чл.кор. АН РТ (зам. председатель) 7. Курбанов И.К., член корр. АН РТ 8. Борздыко В.И. доктор физ-мат.наук 9. Исхоков С.А., доктор физ-мат.наук (зам. председателя) 10. Джангибеков Г., доктор физ-мат.наук 11. Гадоев М.Г., кандидат физ-мат.наук 12. Нуров И.Д., доктор физ-мат.наук (ученый секретарь) 13. Халилов Ш.Б., канд. физ-мат.наук.

Материалы международной научной конференции посвященной 60-летию академика Бойматова К.Х.

ТАДЖИКСКИЙ МАТЕМАТИК С МИРОВЫМ ИМЕНЕМ Камолиддин Хамроевич Бойматов родился 24 июня 1950 г. в кишлаке Домбра Восейско го района Кулябской области Таджикской ССР. Был первым ребенком в семье. Проявлял таланты уже в раннем возрасте ( легко дающиеся точные науки и в тоже время склонности к рисованию, к стихам), что не осталось незамеченным. Тогдашний министр образования республики М.С. Осими во время одной из поездок по школам района заметил его талант и с согласия его родителей привез его к себе в г. Душанбе. Теперь юный Камолиддин про должал учебу в республиканском интернате с математическим уклоном, который успешно окончил в 1966 г. С 1966 по 1971 гг. учился на механико-математическом факультете Москов ского государственного университета им. М.В. Ломоносова. После окончания университета с отличием, в 1971 г., поступил в аспирантуру на этом же факультете. В 1974 г. защитил кан дидатскую диссертацию “О спектре эллиптического оператора”. Ученым Советом отделения математики факультета диссертация Бойматова К.Х. была признана выдающейся работой по математике. С 1974 г. до последних дней своей жизни работал в Институте математики АН Республики Таджикистан. В 1977 -1979 гг. проходил научную стажировку на механико математическом факультете МГУ, где позже в 1982 г. защитил докторскую диссертацию “Спектральные асимптотики дифференциальных операторов и теоремы разделимости”. В течение многих лет он являлся одним из наиболее активных участников семинара по спек тральной теории в МГУ (руководители - проф. А. Г. Костюченко и проф. Б. М. Левитан).

На механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова в 1977 году в честь все мирного русского ученого-математика Николая Лузина было изображено необычное дерево, так называемое “Лузина дерево науки”. Ветви этого научного дерева составляли выдающиеся математики-ученики Н. Лузина и ученики его учеников. Стоить отметить, что на одной из веток наряду с именами таких великих математиков как А.Н. Колмогоров, И.М. Гельфанд, А.Г. Костюченко изображена и фамилия Бойматова К.Х.

Бойматов К.Х. лауреат премии ЛКСМ Таджикистана в области науки и техники за г. С 1991 г. профессор, в 1993 г. избран членом-корреспондентом, а в 2001 г. избран акаде миком АН Республики Таджикистан. С 1981 по 1986 гг. работал заместителем директора Института математики, а с 1986 г. заведовал отделом “Функциональный анализ”, который в 2005 г. переименован в отдел “Теории функций и функционального анализа”. К.Х. Бойматов опубликовал свыше ста пятидесяти научных работ, большинство из которых опубликова ны в центральных советских (ныне российских) математических журналах. Полученные им результаты в основном можно разбить на четыре направлений.

1. Теоремы разделимости дифференциальных операторов По возвращении с Международного конгресса математиков мира профессоры МГУ им. М.В. Ломоносова Бо рис Моисеевич Левитан и Анатолий Гордеевич Костюченко сообщили, что В.Н. Эверитт (W.N.Everitt) и М. Гирц (M.Giertz) выступили на конгрессе с докладом о разделимости оператора Штурма-Лиувилля и рекомендовали участникам своего научного семинара за ниматься этой проблемой. К.Х. Бойматов тут же переключился на изучение этой проблемы и за короткий срок получил совершенно новые результаты и доложил о них на очередном заседании семинара. Эти результаты были опубликованы в двух первых научных статьях К.Х. Бойматова, опубликованных в журналах “Доклады Академии наук СССР” и “Матема тические заметки” в 1973 г. В отличие от В.Н. Эверитта и М. Гирца, К.Х. Бойматову удалось исследовать разделимость оператора Штурма - Лиувилля без всякого условия гладкости на его потенциал.

В последующих работах Еверитта и Гирца по разделимости, в основном, исследовалась разделимость оператора Штурма-Лиувилля и его степеней. Их метод приспособлен к про странству L2 и существенно опирается на гильбертовость пространства L2 и четность по рядка дифференциального оператора. В отличие от этого, разработанный К.Х. Бойматовым Современные проблемы математического анализа и их приложений новый метод исследования разделимости обыкновенных дифференциальных операторов поз волил ему охватить и случай дифференциальных операторов нечетного порядка, заданных в весовых Lp - пространствах. Разделимость дифференциальных операторов с частными про изводными впервые исследовалась К.Х. Бойматовым в 1973 году. Позже он нашел необходи мые и достаточные условия разделимости эллиптического оператора общего вида A(x, Dx ) = a (x)Dx (x ), (1) ||2m 1 n 1 = (1,..., n ), || = 1 + · · · + n, Dx = ··· i x1 i xn в пространствах Lp с весом k(x). Для всестороннего исследования разделимости оператора (1) он вводит разные определения разделимости и доказывает их эквивалентность.

Доказанные К.Х. Бойматовым теоремы разделимости сыграли существенную роль в тео рии функциональных пространств и в теории краевых задач для эллиптических уравнений.

С их помощью он доказал теоремы вложения для весовых пространств, изучал плотность класса C0 () в весовых пространствах и установил эквивалентность граничных условий в первой краевой задаче интегральному условию.

2. Асимптотика спектра линейных и полиномиальных пучков дифференци альных и псевдодифференциальных операторов. Методы исследования спектраль ных асимптотик дифференциальных и псевдодифференциальных операторов разделяются на три группы. Асимптотические методы основаны на полных разложениях решений соот ветствующих дифференциальных уравнений. Эти методы применимы в одномерных задачах, а также в задачах с разделяющимися переменными. В многомерных задачах, как известно, обычно применяется какой-либо вариант вариационного или тауберова метода. Вариацион ная методика восходит к классическим работам Г. Вейля и Р. Куранта. Тауберова техника восходит к работам Т. Карлемана. Важный шаг в развитии тауберовых методов был сделан К.Х. Бойматовым, разработавшим новый метод построения функции Грина вырождающихся параболических уравнений. Он показал, что первое, главное приближение к функции Гри на может быть получено путем склеивания функций Грина операторов с коэффициентами, замороженными в точках, сгущающихся при приближении к подмногообразию вырожде ния. С целью улучшения оценки остатка в асимптотических формулах, он доказал новые комплексные тауберовы теоремы с остатком и их применением получил асимптотические формулы для функции распределения собственных значений и взвешенного следа широ ких классов дифференциальных и псевдодифференциальных операторов. Применение тау беровых методов обычно приводило к жестким ограничениям на гладкость коэффициентов исследуемого оператора. Усовершенствование этого метода К.Х. Бойматовым позволило ис следовать асимптотику спектра эллиптических операторов, когда их старшие коэффициенты лишь непрерывны по Гельдеру.

В середине шестидесятых годов прошлого столетия одной из сложных задач спектральной теории дифференциальных операторов считалась задача нахождения спектральной асимп тотики дифференциального оператора, заданного в неограниченной области, но имеющего ограниченный свободный коэффициент (например, нулевой). Эта задача была поставлена в работе А. Г. Костюченко в 1968 г. и решена М. Г. Гасымовым (1969 г.) для обыкновен ных дифференциальных операторов. Разработанный К.Х. Бойматовым метод "возмущение сингулярным потенциалом"позволял решить эту задачу для различных классов дифферен циальных операторов с частными производными, заданных как в ограниченной, так и в неограниченной области.

Материалы международной научной конференции посвященной 60-летию академика Бойматова К.Х.

Исследование спектральных асимптотик несамосопряженных дифференциальных и псев додифференциальных операторов сопряжено со многими трудностями. Большинство опубли кованных работ в этом направлении относятся к случаю, когда несамосопряженный оператор является слабым возмущением самосопряженного оператора. В этом случае несамосопря женная часть существенно не влияет на главную часть спектральной асимптотики. Большой цикл работ К.Х. Бойматова посвящен исследованию спектральных асимптотик несамосопря женных дифференциальных и псевдодифференциальных операторов “далеких от самосопря женных” в том смысле, что, в общем случае, их нельзя представить в виде A = B(E + S), где B - самосопряженный и S - компактный операторы.

Разработанный К.Х. Бойматовым метод исследования спектральных асимптотик диф ференциальных и псевдодифференциальных операторов известен теперь в литературе как модифицированный тауберов метод Костюченко - Бойматова.

К.Х. Бойматов также изучал сильно непрерывные полугруппы операторов, порожден ные системами псевдодифференциальных операторов в Лебеговых пространствах с весом и в пространствах непрерывных вектор-функций, заданных во всем пространстве или на компактном многообразии без края. Им получены условия сильной позитивности матрич ных, вообще говоря, неэллиптических, псевдодифференциальных операторов, заданных во всем пространстве. А в случае гильбертова пространства им исследованы также условия квази-m-аккретивности и m-секториальности псевдодифференциальных операторов. Им также получены достаточные условия сильной непрерывности и аналитичности полугруп пы и установлено интегральное представление этих полугрупп;

найдены условия вполне непрерывности полугруппы и исследовано распределение собственных значений ее инфини тезимального производящего оператора, в частности, в самосопряженном случае, вычислена асимптотика взвешенного следа.

Спектральная теория полиномиальных операторных пучков берет начало с работы ака демика М.В. Келдыша. В мировой литературе опубликованы интересные исследования в об ласти спектральной теории операторных пучков, которые естественным образом возникают при разработке математических моделей различных физических процессов. К.Х. Боймато вым разработаны методы исследования спектральных асимптотик полиномиальных опера торных пучков. В результате применения этих методов ему удалось вычислить спектральные асимптотики широких классов линейных и полиномиальных пучков дифференциальных и псевдодифференциальных операторов, имеющих как теоретическое, так и прикладное зна чение.

Ряд работ К.Х. Бойматова посвящен исследованию многопараметрических спектраль ных асимптотик дифференциальных и псевдодифференциальных операторов. Исследование многомерной функции распределения, которая играет большую роль в описании важных физических характеристик случайных сред типа квантовой проводимости, стало возмож ным благодаря развитию многомерной тауберовой теории. Ранее, главный член спектральной асимптотики был известен в случае одного и двух спектральных параметров, причем накла дывались жесткие ограничения на рассматриваемые операторы. Применением многомерных тауберовых теорем, установленных Ю.Н. Дрожинновым и Б.И. Завьяловым, К.Х. Бойматову удалось найти многопараметрическую спектральную асимптотику для произвольного числа дифференциальных и псевдодифференциальных операторов при более общих условиях на операторы.

3. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производ ными. Одним из современных методов исследования разрешимости краевых задач для вы рождающихся эллиптических дифференциальных операторов является метод, основанный на базе теории вложения весовых функциональных пространств. Ранее этот метод приме нялся в работах Л.Д. Кудрявцева, С.М. Никольского, П.И. Лизоркина, Х. Трибеля и др., где Современные проблемы математического анализа и их приложений исследовались эллиптические операторы, порожденные с помощью билинейных форм, удо влетворяющих условию коэрцитивности. На основе идей и результатов С.М. Никольского и П.И. Лизоркина, К.Х. Бойматов разработал теорию вариационных задач для вырождаю щихся эллиптических операторов, порожденных некоэрцитивными билинейными формами.

Для различных классов таких операторов он исследовал разрешимость вариационных задач, установил полноту и суммируемость в смысле Абеля - Лидского системы корневых вектор функций, изучал асимптотическое поведение собственных значений. Пусть Rn - огра ниченная область с границей класса C, r - натуральное число, R. Пусть символ r W2, () обозначает пространство функций u(x), определенных на, с конечной нормой 1/ 2 (x) u(k) (x) dx + |u(x)|2 dx u += (2) |k|=r Здесь и далее (x) - регуляризованное расстояние от точки x до поверхности, k = (k1,..., kn ) - мультииндекс, |k| = k1 + · · · + kn - длина мультииндекса k, u(k) (x) - обобщенная в смысле С.Л. Соболева производная функции u(x) мультииндекса k.

Символом H+ обозначается пополнение множества C0 () по норме (2), а символом H - пополнение пространства H = L2 () по норме u = sup |(u, w)|, где (·, ·) - скалярное произведение в H и супремум берется по всем w H+ таким, что w + = 1. Элементы из H отождествляются с соответствующими антилинейными функ ционалами над H+.

Если 1/2 r 1/2, + 1/2 {1, 2,..., r}, то вариационная задача Дирихле, / связанная с билинейной формой pkl (x)akl (x)u(k) (x)v (l) (x)dx, B[u, v] = (3) |k|,|l|r где pkl (x) = (x)2+|k|+|l|2r, состоит в нахождении решения U (x) W2, () уравнения r B[U, v] + (U, v) = F, v (v C0 ()), удовлетворяющего граничным условиям sU = s, s = 0, 1,..., s0 1, ns r1/2s где s0 - целое число такое, что r 1/2 s0 r + 1/2 и s B2 () (s = 0, 1,..., s0 1) - заданные граничные функции, F - заданный элемент из H. Эта зада ча ранее изучалась в работах С.М. Никольского, П.И. Лизоркина, Н.В. Мирошина, Б.Л.

Байдельдинова в предположении, что коэффициенты akl (x)- измеримые комплекснознач ные функции, ограниченные в и для всех x, = {k }|k|r, k C, удовлетворяют следующему условию эллиптичности |k |2 M ReA(x, ), (4) |k|=r где A(x, ) = akl (x)k l.

|k|,|l|r Материалы международной научной конференции посвященной 60-летию академика Бойматова К.Х.

В этом случае билинейная форма (3) является H+ - коэрцитивной относительно H, то есть существуют числа 0 R, 0 0 такие, что для всех u H+ выполняется неравенство Re B[u, u] + 0 (u, u) 0 u +.

Применяя теорию секториальных операторов, К.Х. Бойматов разрабатывал метод иссле дования разрешимости вариационных задач, связанных с некоэрцитивными билинейными формами. В частности, он доказал однозначную разрешимость вариационной задачи Дири хле, связанной с билинейной формой (3), когда условие (4) заменяется следующими двумя условиями |argA(x, )|, (5) |k |2 M Re{(x)A(x, )}, (6) |k|=r где (0, ), (x) C(), (x) = 0 (x ). Здесь считается, что функция argz принимает значения на отрезке (, ].

Следует отметить, что при выполнении условий (5), (6) форма (3), вообще говоря, не будет H+ - коэрцитивной относительно H. Более того, может не иметь места неравенство вида u 2 M {|B[u, u]| + (u, u)}, u H+.

+ К.Х. Бойматов также изучал спектральные свойства несамосопряженного оператора A, ко торый порождается билинейной формой (3), то есть D(A) H+, (Au, v) = B[u, v] v H+, u D(A) n n Он доказал, что при r, /2, где = max 2r, 2r2, система корневых вектор функций оператора A полна в H, и ряд Фурье любого элемента f H по этой системе суммируется к f в смысле Абеля-Лидского со скобками порядка = + µ с достаточно малым µ 0. Порядок резольвенты оператора A не превосходит числа, и для функции N (t) распределения собственных значений оператора A справедлива оценка N (t) M (t), где t, если = r/n, (t) = t lnt, если = r/n.

Цикл работ К.Х. Бойматова посвящен системам дифференциальных уравнений состав ного типа. Такие системы обладают в каждой точке рассматриваемой области частично свойством эллиптичности и частично свойством гиперболичности. Большая часть научных результатов по этому направлению относится к случаю плоской области, а многомерные си стемы с постоянными коэффициентами рассматривались лишь в отдельных работах. С целью изучения многомерных систем составного типа в общем виде, К.Х. Бойматов предварительно исследовал разрешимость краевой задачи u(0) =, v(0) = g, u(T ) =, v(T ) = f (7) для следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений с операторными ко эффициентами u (t) P u(t) = a1 u (t) + a2 (t)u(t) + a3 (t)v(t),, (8) v (t) Lv(t) = b1 u (t) + b2 (t)u(t) + b3 (t)v(t) где t (0, T ) и P, L - полуограниченные снизу, самосопряженные операторы в некотором сепарабельном гильбертовом пространстве H с дискретными спектрами. Полученные К.Х.

Современные проблемы математического анализа и их приложений Бойматовым результаты по разрешимости задачи (7), (8) позволили ему существенно про двинуть вперед теорию многомерных систем дифференциальных уравнений составного типа, и полностью освободиться от требования дифференцируемости коэффициентов уравнений, которое имело место в работах других авторов по этому направлению.

4. Нетеровость сингулярных интегральных операторов. В ряде совместных ра бот К.Х. Бойматова и Г. Джангибекова исследована нетеровость широкого класса сингуляр ных интегральных операторов. Они установили эффективные необходимые и достаточные условия нетеровости рассматриваемых операторов в пространстве Lp (D), где p (1, ), D –ограниченная область комплексной плоскости, и получили формулы для вычисления их индексов. Наиболее простым представителем рассмотренного класса интегральных операто ров является оператор A a(z)I + b(z)K + c(z)S + d(z)KS, где a(z), b(z), c(z), d(z)–непрерывные в D комплекснозначные функции, (Kf )(z) = f (z) – оператор сопряжения, 1 f ()dS (Sf )(z) =, z D.

( z) D Операторы типа A играют важную роль в теории обобщенных аналитических функций и построения гомеоморфизма системы Бельтрами.

Труды К.Х. Бойматова навсегда останутся в золотом фонде мировой науки, а его жизнь и деятельность будут служить ярким примером любви к науке и беззаветного служения ей.

Илолов М.И., Рахмонов З.Х., Исхоков С.А., Гадоев М.Г.

Материалы международной научной конференции посвященной 60-летию академика Бойматова К.Х.

УДК 517. О системах, полученных итерацией некоторых дифференциальных операторов Абдушукуров А.М.

(Институт математики АН РТ ) I. Введем обозначения ;

Bxy u1 u t K= ;

u= ;

u= ;

L = {aij (p)}, u2 u Bxy ;

t N = {bij (p)}, (i, j = 1, 2), Bxy = i c, Bxy = i c, y x y x p = (x, y, t) – точка из трехмерного эвклидового пространства, c = c1 + ic2 = const, c1 = 0, uk = u1 + iu2, k = 1, 2, aij (p), bij (p) – комплекснозначные функции.

k k Рассмотрим систему Au(p) = Ku(p) + Lu(p) + N u(p). (1) Эта система при L = N 0 рассматривалась в [1]. Если, дополнительно c = 1, то (1) обращается в систему Мойсила-Теодореско. В [2] рассматривались системы, порожденные итерациями эллиптических операторов.

II. Рассмотрим систему An u(p) = 0, p D, (2) где n – произвольное натуральное число, D – произвольная область, A2 = A[Au(p)]], An = A[An1 u(p)]] Теорема 1. Произвольное решение системы (2) в D имеет вид n tk u(p) = Wk (p), (3) k!

k= где Wk (p) – произвольные решения системы (1) в D, k = 0, n 1.

Обозначим через Bxy ;

t A1 =.

;

Bxy t Рассмотрим систему An u(p) = 0, p D. (4) Теорема 2. Произвольное решение системы (4) в D имеет вид n yk u(p) = W (p), k! k k= 1 где Wk (p) – произвольные решения системы A1 Wk (p) = 0, k = 0, n 1.

III. В этом пункте будем считать, что L = N 0 и что область D удовлетворяет сле дующим условиям. Область D ограниченна, принадлежит классу A(2,h) [1]. Предположим, что плоскость t = 0 пересекает область D по односвязной области G и, что вся область D Современные проблемы математического анализа и их приложений заполнена точками, лежащими на прямых, параллельных оси Ot и проходящих через точки G, причем каждая точка прямая пересекается с D по связному отрезку. Обозначим Tk (p) u Ak u(p) = A0 u(p) = u =, k 1,.

Sk (p) u Рассмотрим следующий аналог задачи Шварца: найти регулярные в D решения системы (2), которые удовлетворяют следующим условиям:

1). Tk1 (Q) = hk1 (Q), Q D, k = 2, n, u1 (Q) = h1 (Q), hk (Q) C (D), k = 1, n;

2). ReSk (M ) = fk1 (M ), M G, k = 2, n, Reu2 (M ) = (M ), fk (M ) C (G), (M ) C (G).

Пользуясь формулой (3), устанавливается, что решение задачи существует и единственно, где ck – произвольные действительные константы, с точностью до вектора n1 tk k i k=0 k! c k = 0, n 1.

Литература 1. Абдушукуров А. Дифф. уравнения. 1992. Т. 28, №5. С. 791 - 799.

2. Абдушукуров А. База данных корпоротивного репозитория научных работ ученых Кыргызстана и Центр. Азии библиотечно-информационного концорциума Кыргызста на и Американского университета Центр. Азии. http//oel.bik.org.kg/, 2009 г.

УДК 511. Среднее значение коротких сумм Вейля четвертого порядка Азамов А.З.

(Институт математики АН РТ ) Г. Вейль [1] построил метод с помощью которого впервые получил нетривиальную оценку тригонометрической суммы e(nm ), T (;

x) = nx где – вещественное число. Такие суммы называются суммами Вейля [2]. Из оценки Г. Вейля следует закон распределения дробных частей многочлена f (t) = tm + 1 tm1 +... + m в отрезке [a, b] [0, 1), следствием которого является их равномерное распределение по модулю 1.

Хуа Ло-ген [2] для средних значений сумм Вейля доказал следующую оценку j j j+ |T (, x)|2 d x2, 1 j m.

В работе [3] для коротких сумм Вейля, т.е. сумм вида e(nm ), Tm (;

x, y) = xynx при m = 3 доказана оценка |T3 (;

x, y)|8 d y 5+.

Материалы международной научной конференции посвященной 60-летию академика Бойматова К.Х.

Настоящий доклад посвящен обобщению теоремы Хуа Ло–гена на случай коротких сумм Вейля четвертого порядка, а именно нахождению средних значений коротких сумм Вейля при m = 4.

Теорема. При x x0 0, x y 0, 01x имеют место следующие соотношения |T4 (;

x, y)|2 d = y, j j j+ |T4 (;

x, y)|2 d y2, 2 j 4.

Эта теорема доказывается методом Г. Вейля и методом сглаживания двойных тригоно метрических сумм И.М.Виноградова, в сочетание с соображением о том что интеграл от четной степени модуля суммы Вейля выражается через количество решений диофантовых уравнений.

Литература 1. Weyl H. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Math. Ann, 1916, 77, s.313–352.

2. Хуа Ло-ген. Метод тригонометрических сумм. – М.: Мир, 1964, 190с.

3. Мирзоабдугафуров К.И. О среднем значении коротких сумм Вейля. // ДАН РТ, 2008, Т.51,№4, с. 245–247.

УДК 517. Об одном применение метода аппроксимационно-итеративного типа Азизов М.

( Таджикский государственный педагогический университет) Известно [1, стр.175], что линейные колебательные системы могут быть описаны уравнения ми вида y = w(t)x (1) x = b(t)y + c(t), где w(t) так называемая передаточная функция некоторой линейной стационарной систе мы, b(t) и c(t) 2 -периодические комплекснозначные функции.

Передаточной функции w(p) соответствует импульсно-частотная характеристика + 1 w(ki)ekit, = (t) =.

T T k= Если в системе (1) установилось периодические колебания и если при этом линейная стаци онарная часть системы нерезонансная, то x(t) и y(t) связаны между собой соотношением y(t) = (t )x( )d. (2) Современные проблемы математического анализа и их приложений Поставляя в (2) значение x(t) из (1), будем иметь 2 y(t) = (t )b( )y( )d + (t )c( )d. (3) 0 Доказывается, что интегральный оператор H,b y(t) = (t )b(t)y( )d из уравнения (3) является сглаживающим оператором порядка q = s по отношению к шка r ле соболевских пространств W2, то есть для любого r=0,1,2,... и q = s: H rr+s.

Применительно к уравнениям вида (3) применяется следующий обобщенный проекционно итеративный метод (несколько отличное от такого же метода из [2]) zk = zk1 + Bk (Hzk1 zk1 + f ), k = 1, 2,... (4) m H k + H m+1 (I P H)1.

B = Bm (P, H) = (5) k= В [2] доказывается, что стационарный метод (4) сходится к решению конкретного уравнения z = Hz + f со скоростью геометрической прогрессии. В случае метода (4) и (5) знаменателем этой прогрессии является величина 1/k k M (Tm (P, H)) = lim Tm (P, H) L2 L2, k где T (P, H) = H m+1 (I P H)1 (H P H).

m Доказана следующая Теорема. Если норма резольвенты оператора H,b из уравнения (3) ограничена по норме пространства L(L2, L2 ), то при достаточно больших n итерационный метод (4) и (5), построенный на базе ортопроектора P = Sn, сходится в L2 к решению уравнения (3) со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет неравенству M (T (Sn, H,b )) Cn(m+2)s, m где постоянная C зависит от m, нормы резольвенты H,b и от некоторой постоянной участвующей в доказательстве сглаживаемости оператора H,b.

Литература 1. Brackx F. Розенвассер Е.Н. Колебания нелинейных систем - М., 1969.

2. Азизов М. Об одном оптимальной скорости сходимости проекционно-итеративного ме тода и некоторых его обобщений на классе уравнений со сглаживающими операторами // Укр.мат.журн., 1996, т.49, №11, с.1448- Материалы международной научной конференции посвященной 60-летию академика Бойматова К.Х.

УДК 517.948. О нагруженной смешанной векторно-матричной задаче Римана-Гильберта с дополнительными условиями Акбаров Р.

( Технологический университет Таджикистана) Пусть D – круг |z| 1, D – его граница, ориентированная в направлении против часовой стрелки, а L– сложный кусочно-гладкий контур, расположенный в компактной части круга D.

Предположим для простоты, что 0 L. На окружности D зададим невырождающуюся / H –непрерывную матрицу функцию G1 (t) порядка n, H –непрерывную n – мерную вектор функцию g(t) (столбец), и линейно-независимые вектор-функции 1 (t), 2 (t),..., m (t), удо влетворяющие условию Гельдера и связанные тождествами m m G1 (t)G1 (t) = E, g1 (t) + G1 (t)g1 (t) + k k (t) + G1 (t) k k (t) 0, t D, k=1 k= где E – единичная матрица, 0 – нулевой вектор, а 1, 2,..., n – неизвестные комплексные постоянные. Обозначим через множество особенностей контура L. Пусть на L \ задана H – непрерывная невырождающаяся матрица-функция G2 (t) порядка n и H –непрерывная вектор-функция g2 (t) (столбец). Предельные значения матрицы G2 (t) в точках tk будем считать конечными и отличными от нуля.

Далее, пусть на DL задано конечное множество точек F = {F1, F2,..., Fp } и пусть U1, U2,..., Up - малые окресности этих точек. Обозначим через U1, U2,..., Up границы этих окрестностей и предположим, что они простые кусочно-гладкие кривые, снабженные стан дартной ориентацией. В проколотых окрестностях u = U \ F точек F зададим H непрерывные векторы-столбцы. (z) = (1 (z), 2 (z),..., n (z)), z U \ F ( = 1, 2,..., p) и рассмотрим следующую краевую задачу.

Найти все векторы-столбцы (z) = (1 (z), 2 (z),..., n (z)), голоморфные на (D \ L) \ p u, H –непрерывно продолжимые на D и на L \ по следующим краевым условиям = m + (t)+ (t) (t) = G1 + g1 (t) + k k (t), t D, (1) k= + (t) = G2 (t) (t) + g2 (t), t L \, (2) так, чтобы искомые вектор-функции должны быть H -непрерывно продолжимыми на p u, а разности (z) (z) для каждого = 1, 2,..., p должны быть голоморфными = в соответствующих окрестностях U точек F.

Теорема. Нагруженная смешанная векторно-матричная задача сопряжения (1)–(2) с дополнительными условиями на искомую вектор-функцию для кусочно-голоморфных векто ров в случае F = 0, (t) = 0, разрешима тогда и только тогда, когда выполнены равенства m 1 d + (t)g2 (t) = d(t)g1 (t) + k d(t)k (t) + Jm 2i 2i k=1 L D D Современные проблемы математического анализа и их приложений p = Jm d(t) (t) (3) = u для любого решения d + (z) однородной задачи d (t) = d + (t)G2 (t), t L \, d(t) = d(t)G1 (t), t D, удовлетворяющего условие симметрии d(z) = d(1/z). Если равенства (3) выполнены, то общее решение задачи (1)–(2) дается формулами p p 0 (z) + 1 (z) + (z) [(t)]1 (t) tz dt, z t+z Jm / u 2 t =1 = U p (z) = 0 (z) + 1 (z) + (z) + (z) [(t)]1 (t) tz dt, t+z Jm 2 t =1 U p z u, = 1, 2,..., p.

= Здесь (z)– каноническая симметричная матрица класса h, 0 (z) = X(z), P (z)-общее решение однородной задачи в случае F = 0, m (z) t + z dt (z) t + z dt [(t)]1 k (t) 1 (z) = [(t)] g1 (t) + k + 4i tz t 4i tz t k= D D t + z dt (z) [+ (t)]1 g2 (t) + Jm tz t L частное решение задачи.

Литература 1. Акбаров Р. Краевые задачи теории аналитических функций с заданными главными ча стями и им соответствующие особые интегральные уравнения. Душанбе, Дониш, 2006, 245 с.

УДК 517. О приближение непрерывно дифференцируемых периодических функций двух переменных обобщенными тригонометрическими полиномами в L2 (Q), Q = {0 x, y 2} Акобиршоев М.

( Технологический университет Таджикистана) Пусть L2 (Q), Q = {0 x, y 2}-множество 2 -периодических по каждой переменной функции f (x, y), для которых 1/ 1 |f (x, y)|2 dxdy f := f L2 (Q) =.

4 2 Q Материалы международной научной конференции посвященной 60-летию академика Бойматова К.Х.

Через C r,s (Q), r, s N обозначим множество функций f (x, y), имеющих непрерывные частные производные f (,µ) (x, y) = +µ f / x µ y, r, µ s, а Lr,s (Q), r, s N мно жество функций f C (r1,s1) (Q), r, s 1, у которых частные производные существуют, кусочно-непрерывны, допускают перемену порядка дифференцирования и f (r,s) L2 (Q).

Пусть (X, · X ) и (Y, · Y ) - линейные нормированные пространства функций од ной переменной с соответствующими нормами, а Um = span{u0 (x), u1 (x),..., um (x)}, Vn = span{v0 (y), v1 (y),..., vn (y)} их конечномерные подпространства Um X, Vn Y.

Выражение вида m n gm,n (x, y) = u (x) (y) + vµ (y)µ (x), (1) =0 µ= где {0 (x), 1 (x),..., n (x)} и {0 (x), 1 (x),..., n (x)} - наборы произвольных функций из X и Y, назовем обобщенным полиномом, порожденным подпространствами Um и Vn.

Указанные полиномы образуют подпространство def G(Um, Vn ) = Um Y + Vn X, где операции ” ” и ” + ” обозначают соответственно операции декартова произведения и прямой суммы множеств. Положим def E (f ;

G(Um, Vn ))Z = inf {||f gm,n (f )||Z : gm,n G(Um, Vn )}. (2) Величина (2) характеризует наилучшее приближение функции f (x, y) множеством G(Um, Vn ) в нормированном пространстве (Z, || · ||Z ).

Далее, полагаем X = Y = L2 [0, 2], Z = L2 (Q). Для произвольной функции f L2 (Q) определим модуль непрерывности k -го порядка по x и p-го порядка по y равенством k,p k,p (f ;

t, )L2 (Q) := sup{|| u,v f (x, y)||L2 (Q) : |u| t, |v| }, где p k k p k,p (1)+µ u,v f (x, y) = f (x + u, y + µv).

µ =0 µ= Лемма. Пусть {cos jx}m1, {sin jx}m1, V2n1 = n1 n U2m1 = {cos ly}l=0, {sin ly}l=1.

j=0 j= Тогда имеет место равенство 1/ |cjl (f )| E(f, G(V2m1, U2n1 ))L2 (Q) =, |j|m |l|n где f (x, y)ei(jx+ly) dxdy cjl (f ) = 4 (Q) -коэффициенты Фурье разложения в двойной ряд Фурье функции f L2 (Q).

Имеет место следующая общая Современные проблемы математического анализа и их приложений Теорема. Для любых m, n, r, s, k, p N и произвольных h,, q удовлетворяющих нера венствам 0 mh, 0 n, max{1/r, 1/s} q 2 справедливо равенство 1/q h k+p rs 2 m n E(f ;

G(U2m1, V2n1 ))L2 (Q) mu pq nv sinkq sup = sin dudv 1/q 2 h (r,s) f L2 (Q) 0 q k,p (f (r,s) ;

u, v)2 dudv f =const 0 Литература 1. Шабозов М.Ш., Акобиршоев М. Точные значения квазипоперечников некоторых классов дифференцируемых периодических функций двух переменных.// Analysis Mathematica, 35(2009), 61-72.

УДК 517. Коэрцитивные свойства нелинейных эллиптических дифференциальных операторов второго порядка со степенно-логарифмической особенностью в банаховых пространствах Аликулов Р.К., Олимов М.И., Аликулов А.Р.

( Таджикский государственный педагогический университет) Коэрцитивные свойства эллиптических дифференциальных операторов изучались мно гими авторами. С библиографией работ до 1984 г. можно ознакомиться в обзорной работе К.Х. Бойматова [1]. Из последних работ в этом направлении отметим [2–4] и важную работу К.Х.Бойматова и Г.Джангибекова [5], в которой получены тонкие результаты по коэрцитив ной разрешимости нелинейной обобщенной системы Коши-Римана.

В этой работе исследованы коэрцитивные свойства нелинейного эллиптического операто ра x Rn, Au = A0 u + V (x, u(x)) u(x), где n c A0 u = (x)aij (x)uxj, (x) = |x| ln, |x| xi i,j= где 2 0, c 0 – достаточно большое число, R1.

Предполагается, что aij (x) = aji (x)– вещественные ограниченные функции класса C 1 (Rn ), V (x, z) (x Rn, z C) – положительная измеримая функция, n (x, s Rn ), C|s| (x)aij (x)si sj C 0.

i,j= (i, j, k = 1,..., n, x Rn ), M 0.

(x)aij (x) M xk Исследуются коэрцитивные свойства нелинейного оператора A в банаховом пространстве Lp (Rn ), 1 p 2.

Материалы международной научной конференции посвященной 60-летию академика Бойматова К.Х.

Введем матрицу a(x) = (aij (x))n i,j=1 и определим эрмитову матрицу b(x) = a (x), как положительный квадратный корень от эрмитовой матрицы a(x) 0, т.е. b(x) = b (x) 0, b(x)b(x) a(x).

Пусть выполнены неравенства |b(x)( q(x))| q 1,5 (x), (x Rn, z C), 1 q(x) V (x, z) M q(x) q(x) C 1 (Rn )- некоторая вещественная функция, с некоторыми M 0, 0 2;

q q q - как обычно, вектор с компонентами x1,..., xn, знак | | обозначает норму в одном из следующих пространствах: C, Rn, End Cn, Cn.

Сформулируем основной результат.

Теорема. Пусть выполнены перечисленные выше условия и число p [1, 2], u(x) Lp (Rn ) Wp,loc (Rn )- решение уравнения Au = f c правой частью f Lp (Rn ). Тогда A0 u, V (x, u(x))u(x) Lp (Rn ) и выполняется неравенство коэрцитивности |A0 u|Lp (Rn ) + |V (x, u(x))u(x)|Lp (Rn ) C |f |Lp (Rn ), где число C 0 не зависит от u, f, p. При 1 p 2 решение принадлежит классу Соболева Wp (Rn ) и справедливо следующее неравенство коэрцитивности |u|Wp (Rn ) + |qu|Lp (Rn ) Cp |f |Lp (Rn ), где число Cp не зависит от u, f.

Литература 1. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения – Труды МИАН СССР. 1984. Т. 170. с. 37-76.

2. Аликулов Р.К., Гадоев М.Г. Неравенства для функций Грина эллиптических уравнений и их приложения к проблеме разделимости. – В сб. Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения. Душанбе – 1996г. с. 3-7.

3. Бойматов К.Х., Шарипов А. Коэрцитьвные свойства нелинейных операторов Шредин гера и Дирака – Доклады АН России. 1992. т. 326. №3. с. 393-398.

4. Бойматов К.Х. О методе В.Н. Эверитта и М. Гирца в банаховых пространствах. До клады АН России. 1997. Т. 356. №1. с. 10-12.

5. Бойматов К.Х., Джангибеков Г. Коэрцитивная разрешимость обобщенной нелинейной системы Коши-Римана – Доклады АН России. 1995. Т. 340. №1. с. 7-11.

УДК 517. О существовании и алгоритмах нахождения решения нелокальной краевой задачи для нелинейного гиперболического уравнения со смешанной производной Асанова А.Т.

(г.Алматы ) Рассматривается краевая задача с данными на характеристиках для нелинейного гипер болического уравнения с двумя независимыми переменными в области = [0, T ] [0, ] 2u u u = f t, x, u,,, (1) tx x t Современные проблемы математического анализа и их приложений u(t, 0) = (t), t [0, T ], (2) u(0, x) u(t, x) u(0, x) u(T, x) p2 (x) + p1 (x) +p0 (x) + s2 (x) + x t x x t= u(t, x) u(0, x) +s1 (x) +s0 (x) = 0 (x), x [0, ], (3) t x t=T где u R, функция f : R3 R непрерывна по всем аргументам на множестве G = {(t, x, u, v, w) : (t, x), |u(t, x) (t)|, |v(t, x)|, |w(t, x) (t)| }, функции pi (x), si (x), i = 0, 2, (x) непрерывны на [0, ], функция (t) непрерывно дифференцируема на [0, T ].

Классическим решением задачи (1)–(3) называется непрерывная на функция u(t, x), u(t, x) u(t, x) 2 u(t, x) имеющая непрерывные на частные производные,, удовлетво x t tx ряющая уравнению (1) при всех (t, x) и краевым условиям (2), (3).

Нелокальные краевые задачи для гиперболических уравнений изучалась многими автора ми, обзор и библиография по ним содержится в [1-2]. Для исследования нелокальной краевой задачи с условиями (2), (3) для линейной системы гиперболических уравнений со смешан ной производной было предложено обобщение метода параметризации [3, 4], разработанного для решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, на гипербо лические уравнения - метод введения функциональных параметров [5,6]. На его основе были получены достаточные условия однозначной разрешимости рассматриваемой задачи в тер минах исходных данных и предложены алгоритмы нахождения классического решения, а также необходимые и достаточные условия ее корректной разрешимости [7-9].

В сообщении получены условия существования решения нелокальной краевой задачи для нелинейного гиперболического уравнения (1)–(3) в терминах исходных данных. Предложе на модификация метода ломаных Эйлера для построения приближенного решения задачи (1)–(3) и установлена сходимость построенного приближенного решения к точному класси ческому решению рассматриваемой задачи.

Литература 1. Пташник Б.И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. -Киев: Наук. Думка. 1984. 264с.

2. Самойленко А.М. Ткач Б.П. Численно–аналитические методы в теории периодических решений уравнений с частными производными. – Киев: Наук. Думка. 1992. 208с.

3. Джумабаев Д.С. Метод параметризации решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник АН КазССР. 1988. №1. С. 48-52.

4. Джумабаев Д.С. Признаки однозначной разрешимости линейной краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989.

Т. 29. №1. C. 50-66.

5. Асанова А.Т., Джумабаев Д.С. Однозначная разрешимость краевой задачи с данными на характеристиках для систем гиперболических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42. №11. C. 1673-1685.

6. Асанова А.Т., Джумабаев Д.С. Однозначная разрешимость нелокальной краевой зада чи для систем гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. №10.

C. 1343-1354.

7. Асанова А.Т., Джумабаев Д.С. Критерий корректной разрешимости краевой задачи для системы гиперболических уравнений // Изв. НАН РК. Сер. физ.-мат. 2002. №3. С.

20-26.

Материалы международной научной конференции посвященной 60-летию академика Бойматова К.Х.

8. Асанова А.Т., Джумабаев Д.С. О корректной разрешимости нелокальной краевой за дачи для систем гиперболических уравнений // Доклады РАН. 2003. Т. 391. №3. С.

295-297.

9. Асанова А.Т., Джумабаев Д.С. Корректная разрешимость нелокальных краевых задач для систем гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. №3. C.

337-346.

УДК 517. Нормальная разрешимость эллиптических систем в Гельдеровых пространствах функций на плоскости Байзаев С.

(ТГУ права, бизнеса и политики) В докладе рассматриваются равномерно эллиптические системы первого порядка на плос кости C вида Lw wz + q1 (z)wz + q2 (z)wz + a(z)w + b(z)w = f (z), (1) |q1 (z)| + |q2 (z)| q0 1, z C, (2) и многомерные эллиптические системы вида C n.

M z + A(z) = g, (3) Для случая ограниченных областей, а также в случаях, когда коэффициенты системы (1) принадлежат классу Lp, 2 (C) [1] в работах И.Н.Векуа, его учеников и последователей постро ена полная теория систем вида (1). Системы вида (3) с постоянной матрицей A были изучены в ряде работ В.С.Виноградова (см., например, [2]). В ряде наших работ (см., например, [3]) системы (1) и (3) были изучены в гельдеровых пространствах функций, определенных во всей плоскости и полуплоскости. Отметим, что в случае неограниченных областей, если коэффи циенты системы (8) (элементы матрицы A(z)) не принадлежат классу Lp, 2 (C), то краевые задачи типа задачи Римана – Гильберта и сопряжения, а также задача об ограниченных на C решениях для системы (1) (системы (3)) могут не быть нетеровыми. Например, при 1/ q1 = q2 = b = f = 0, a = z 1 + |z|2 все функции 1/ wn (z) = z n exp 2 1 + |z|2, n = 0, 1,...

1 2i будут ограниченными на C решениями системы (1), а при A = все вектор 2i функции 1 2i ei(z+a) + a z ei(z+a), a z a (z) = 0 a где a = 3ei являются ограниченными на C решениями системы (3).

Системы (1) и (3) будем рассматривать в гельдеровых пространствах функций, опреде ленных на всей C. Определим аналогично как в [3] множество операторов вида (1) с коэффициентами из некоторого шара пространства C и множества предельных операторов H(L), H(M ), H(M T ), где M T союзный к M оператор: M T = z + AT (z).

Сформулируем ряд полученных результатов.

Современные проблемы математического анализа и их приложений Теорема 1. а) Пусть оператор L : C C (L ) является n-нормальным. Тогда для всех предельных операторов L H(L) справедлива оценка Lw k w, w C, 1, kпостоянная, независящая от wL;

б) Пусть все предельные уравнения Lw = 0, L H(L) в пространстве C имеют только нулевое решение. Тогда оператор L является n-нормальным.

Теорема 2. Для того чтобы оператор M :C C был нетеровым, необходимо и до статочно, чтобы для всех предельных операторов M H(M )H(M T ) однородные системы M = 0 в пространстве C имели только нулевое решение.

Если коэффициенты системы (1) (элементы матрицы A(z)) являются слабо осциллирую щими на бесконечности, то множества H(L), H(M ) и H(M T ) будут состоять из операторов с постоянными коэффициентами и условия теорем 1 и 2 можно сформулировать непосред ственно через коэффициенты систем (1) и (3).

Литература 1. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. – М.: Наука, 1988.

2. Виноградов В.С. В сб.: Комплексный анализ и его приложения. М.: Наука, 1978. С. – 125.

3. Байзаев С., Мухамадиев Э. О нормальной разрешимости эллиптических уравнений на плоскости в пространстве Гельдера // Вестник НГУ. Серия “Математика, механика, информатика”. – 2006. – Т. VI, - Вып. 1. – С. 3 – 13.

УДК 517. Об ограниченности резольвенты оператора Штурма–Лиувилля в весовом пространстве Билал Ш., Сиырбаев Е.Д.

(г.Алматы) Пусть J = (a, b),, C loc (J) и выполнено условие А [2]. Введем в рассмотрение оператор Lp y, y D(Lp ), в пространстве Lp, 1 p, соответствующий уравнению Штурма–Лиувилля ((x)y (x)) + v(x)y(x) = 0, (1) для которого существует L1 и ограничен в Lp.

p Рассматривается вопрос об ограниченности оператора rL1 из Lp в Lq, где 0 r(·) p Lloc, 1 p q. Из решения этого вопроса, в частности при q = p и r(·) = (·), следует q разделимость оператора Lp в пространстве Lp.

Введем следующие функции:

x+d x+d d+ (x) = sup{d 0 : (s)ds v(s)ds 1, [x, x + d) J}, x x x x 1 (s)ds d (x) = sup{d 0 : v(s)ds 1, (x d, x] J}.

xd xd Материалы международной научной конференции посвященной 60-летию академика Бойматова К.Х.

Положим x+d+ (x) x 1 (s)ds, (x) = 1 (s)ds.

+ (x) = x xd (x) y+ (x), y (x) – два линейно-независимых решения уравнения (1) по теореме 1 из [1].

Определение. Будем говорить, что коэффициенты (, ) оператора Lp принадлежат классу Kp (, ), если (x)± (x) min{x a, b x} x J и существуют числа такие, что ln p, p = p1, и имеет место неравенство p (x)± (x) при |x s| (x)± (x), (s)± (s) при p1 p2 Kp1 (, ) Kp2 (, ).

Теорема 1. Пусть 1 p, (, ) Kp (, ). Тогда оператор rL1 ограниченно p действует из Lp в Lq, 1 p q тогда и только тогда, когда x+ + q 1/q 1/p rq Sp,q = sup ( ) ds + + + xJ x x + 1/q +(+ )1/p rq ds.

+ + x+ При этом справедлива оценка rL C1 Sp,q C2 Sp,q.

pq p,q Лемма 1. Оператор rL1, r(·) Lloc, ограниченно действует из Lp в Lq, 1 p q p q тогда и только тогда, когда Bp,q = sup y · ry+ + p,(q,x) q,(x,b) xJ + sup y+ · ry.

p,(x,b) q,(q,x) xJ При этом имеет место оценка rL C1 Bp,q C2 Bp,q.

pq p Лемма 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда b p y+ (x)(x)+ (x) p p e2p (x)+ (x)y+ (x) y+ (s)ds.

1 e(p /2) x b p y (x)(x) (x) p p e2p (x) (x)y (x) y (s)ds.

1 e(p /2) x Современные проблемы математического анализа и их приложений. Тогда оператор rL1, r(·) C loc (J), Теорема 2. Пусть (, v) Kp (, ) 1 p p ограниченно действует из Lp в L (J) тогда и только тогда, когда 1/p + + 1p Sp = sup r(x)1/p (x) (x)+ (x).

+ + xJ При этом справедлива оценка rL C 1 Sp C2 Sp.

p p Литература 1. Билал Ш. О некоторых свойствах оператора Штурма-Лиувилля // Изв.НАН МОН РК.

сер. физ-мат. 2009. №5. -С.23–30.

УДК 511. Короткие квадратичные тригонометрические суммы с простыми числами Боборов Ш.К.

е ( Таджикский национальный университет) В работе [1] c применением метода решения тернарных задачА.А. Карацубы в сочета нии с работой М.Ютилы о четвертом моменте L - рядов Дирихле в коротких интервалах критической прямой доказана теорема о средний значений функций Чебышева:

(n)(n)e(n2 ), 2 (u,, ) = nu по всем характерам Дирихле данного модуля в коротких интервалах.

Теорема. Пусть x x0, x1/2 y x, || 1/y 2, 1 q x/y, – любое фиксированное положительное число, 106, t2 (x;

q, y, ) = |2 (x,, ) 2 (x y,, )|, Тогда справедлива оценка (y + x3/10 y 1/2 q 1/2 )l35 + (qx1/2 + x2/3 y 1/2 ||1/3 q)x.

t2 (x;

q, y, ) Одним из приложений этой теоремы является оценка квадратичных тригонометрических сумм с простыми числами в коротких интервалах, т.е. сумм вида:

(n)e(n2 ), S2 (, x, y) = xynx = a/q +, (a, q) = 1, || 1/q, 1 q.

Следствие. Пусть x x0, x1/2 y x, | | 1 / q 1/y 2, – любое фиксированное положительное число, 106. Тогда справедлива оценка:

S2 (, x, y) (yq 1/2 + x3/10 y 1/2 )l36 + (q 1/2 x1/2 + x2/3 y 1/2 1/3 q 1/6 )x.

Эта оценка становится нетривиальной при l70 q, y x4/5+.

Материалы международной научной конференции посвященной 60-летию академика Бойматова К.Х.

Литература 1. Рахмонов, Ш.К. Боборов Среднее значение функций Чебышева с квадратичным экс е поненциальным весом в коротких интервалах. Известия АН РТ. Отд. физмат, хим. и геол. наук. №1-2(124), 2006, стр.5-24.

УДК 517. Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения с гистерезисной нелинейностью типа теорем Каратеодори и Перрона Борздыко В.И.

(Институт математики АН РТ ) Рассматривается задача Коши с гистерезной нелинейностью dz(t) = f [t, z(t), (t)], (1) dt (t) = T (t0, z0, 0 )z(t), (2) z(t0 ) = z0, (t0 ) = 0. (3) T (t0, z0, 0 ) при фиксированных t0, z0, 0 – однозначный оператор, действующий в каждом пространстве C[t0, t1 ], t0 t1 T, ставящий в соответствие каждой функции z(t) C[t0, t1 ], z(t0 ) = z0, функцию (t) C[t0, t1 ], (t0 ) = 0. Под оператором T (t0, z0, 0 ) можно понимать не только статический [1], но и переменный гистерон [2], так как он также обладает соот ветствующими свойствами. В частности, оператор T (t0, z0, 0 ) удовлетворяет на входах z(t) условию Липшица с коэффициентом k. Под решением задачи (1) – (3) мы будем понимать пару функций {z(t), (t)}, удовлетворяющих условиям:

a) z(t), (t) C[t0, t1 ], где t1 (t0, T ] некоторое число, при этом функция z(t) абсолютно непрерывна на [t0, t1 ];

b) в тех точках отрезка [t0, t1 ], где z(t) имеет производную, т.е. почти везде, функции z(t) и (t) удовлетворяют уравнению (1);

c) z(t) и (t) удовлетворяют условиям (2) и (3).

Теорема 1. (типа теоремы Каратеодори). Пусть функция f (t, z, ) определена на мно жестве D : t0 t T, |z z0 | a, | 0 | b, T t0, a 0, b и удовлетворяет на нем следующим условиям:

1)f (t, z, ) измерима по t при каждых фиксированных {z, } и непрерывна по совокупно сти переменных z, при каждом фиксированном t E, где E – некоторое подмножество полной меры отрезка [t0, T ], µ(E) = T t0 ;

2) |f (t, z, )| M (t) при {t, z, } D, где M (t) – некоторая заданная функция, инте грируемая по Лебегу на [t0, T ].

Тогда задача (1) – (3) имеет по крайней мере одно решение {z(t), (t)}, заданное на некотором отрезке [t0, t0 + d], где d 0 – достаточно малое число.

Приведем условия, обеспечивающие единственность решения задачи Коши (1) – (3) менее обременительные, чем условия Липшица. Введем обозначение µ = max{1, k}.


Современные проблемы математического анализа и их приложений Теорема 2. (типа теоремы Перрона).Пусть функция f (t, z, ) ограничена и непрерывна по совокупности переменных на множестве G : t0 t T ;

|z z0 | a;

| 0 | b и удовлетворяет на G неравенству |f (t, z1, 1 ) f (t, z2, 2 )| l(t t0 )1 · sup{|z1 z2 |, |1 2 |}.

Пусть {z1 (t), 1 (t)}, {z2 (t), 2 (t)} какие-либо два решения задачи (1) – (3) в области G на отрезке [t0, t1 ], t1 T. Тогда, если 0 m = lµ 1, то эти решения либо совпадают, либо при m = 1 возможно тождество [z1 (t) z2 (t)] · (t t0 )1 c = const, c = 0, t0 t t1.

Утверждение теоремы 2 для случая 0 m 1 было получено нами ранее, как следствие признака единственности решения задачи (1) – (3) типа известной теоремы Ю. Витте для обыкновенных дифференциальных уравнений [3].

Литература 1. Красносельский М.А., Покровский А.В. Системы с гистерезисом.– М.: Наука, 1983. – 271с.

2. Борздыко В.И. Переменный гистерон // Докл. РАН. – 1992. –Т. 324, №2. – C. 269 – 272.

3. Witte J. Eindeutigkeitssatz f u r die Dierentialgleichung y = f (x, y) // Math. Zeitschr. – 1974. – B. 140. –H.3. – S. 281–287.

УДК 517. О разрешимости и спектральных свойствах обобщенной задачи Дирихле, связанная с некоэрцитивной билинейной формой Гадоев М.Г.

(МПТИ (филиал) СВФУ, г. Мирный, Россия ) В данной работе на основе полученных ранее результатов (см.[1]), исследована обобщенная задача Дирихле с однородными граничными условиями, для некоэрцитивных форм. Полу ченные результаты применяются для исследования спектральных свойств несамосопряжен ных дифференциальных операторов (д.о.), порожденных некоэрцитивными формами. Ранее, обобщенная задача Дирихле и соответствующие ей несамосопряженные д.о. в случае неко эрцитивных форм изучались во многих работах (см.[2-4] и имеющуюся там библиографию).

В пространстве L2 (J)l рассмотрим билинейную форму ( б.ф.) m i (t)aij (t)u(i) (t), j (t)v (j) (t) Cl dt, A[u, v] = (1) i,j=0 где di u(t) i (t) = {t(1 t)}+im u(i) (t) = (i = 0, m), m,, dti aij L (J;

End Cl ), J = (0, 1), (i, j = 0, m).

Символ, Cl обозначает скалярное произведение в Cl.

Материалы международной научной конференции посвященной 60-летию академика Бойматова К.Х.

Обозначим через H+ замыкание линейного многообразия C0 (J) по норме 1/ ||+ = |(t)|2 dt 2 (t)| (m) (t)|2 dt +.

m J J Положим:

Hl = H · · · H (l раз), H = L2 (J), l H+ = H+ · · · H+ (l раз).

l За область определения б.ф. (1) примем пространство H+.

Обозначим через H пополнение пространства H по норме |(u, )| |u| = sup.

||+ 0=H+ l l Положим H = H · · · H (l - раз). Элемент F = (F1,..., Fl ) H порождает l антилинейный непрерывный функционал над H+ по формуле l F, v = lim (ui, v), v H+, i+ где последовательность вектор-функций u1, u2,... Hl выбирается так, что ui F (i l +) в H.

l Заметим, что если v = (v1,..., vl ) H+, то l l |Fi |2 )1/2.

F, v = Fi, vi, |F | = ( i=1 i= l Антилинейные непрерывные функционалы над H+ отождествляются с элементами про l странства H.

Однородная обобщенная задача Дирихле ставится следующим образом (см.напр.[5]): для l l F H найти u H+, такое что v C0 (J)l.

A[u, v] µ(u, v) = F, v, l Очевидно, что эта задача эквивалентна следующей задаче: для F H найти элемент l u H+ такой, что l A[u, v] µ(u, v) = F, v, v H+. (2) Разрешимость задачи (2) тесно связанa с разрешимостью сопряженной задачи: для G l l H найти u H+ такой, что A+ [u, v] µ(u, v) = G, v, l v H+ (3) Здесь билинейная форма A+ [u, v] определяется по формуле m + i (t)a (t)u(i) (t), j (t)v (j) (t) C l dt, D[A+ ] = H+ l A [u, v] = ij i,j=0 Заметим, что A+ [u, v] = A[v, u], l u, v H+.

Современные проблемы математического анализа и их приложений Пусть A - несамосопряженный д.о. ассоциированный с б.ф. A[u, v]. Обозначим через спектр оператора A. Очевидно, что - чисто точечное множество с единственной возможной предельной точкой на бесконечности.

Теорема 1. При любом µ задача (2) однозначно разрешима. При этом решение / l u H+ удовлетворяет неравенству |u|+ Mµ |F |, где число Mµ не зависит от F.

l Теорема 2. Пусть µ. Тогда задача (3) при любом G H имеет единственное / l l решение u H+. Решение u H+ задачи (3) удовлетворяет неравенству |u|+ Mµ |G|, где число Mµ не зависит от G.

Замечание 1. Можно исследовать разрешимость задачи (2),(3) при µ. В этом случае для существования решений задачи (2),(3) появляются дополнительные условия на ядра операторов A и A.

Замечание 2. Полученные ранее результаты (см.[1]), применяются также для исследо вания разрешимости неоднородной задачи Дирихле.

В заключении отметим, что аналогичные вопросы для одного класса несамосопряженных систем д.о. второго порядка с граничными условиями типа Дирихле, изучены в [6], а в [7] рассмотрен случай одного уравнения, но заданного в неограниченной области n - мерного евклидового пространства.

Литература 1. Гадоев М.Г. Некоторые спектральные свойства несамосопряженных вырождающих ся эллиптических дифференциальных операторов высокого порядка с сингулярными матричными коэфициентами //Материалы Респ. науч. конф."Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений", посвящ. 75 - летию со дня рожд. ак. Джураева А.Д.,Душанбе: ИМ АН РТ, 2007 г., с. 9 – 10.

2. Бойматов К.Х., Исхоков С.А. О разрешимости и спектральных свойствах вариационной задачи Дирихле, связанная с некоэрцитивной билинейной формой // Труды МИАН им.

В.А. Стеклова, 1997 г., т.214, с. 107 – 134.

3. Бойматов К.Х., Исхоков С.А. Вариационная задача Дирихле для эллиптического опе ратора вырождающегося на многообразиях различных измерений //Доклады АН Рес публики Таджикистан, 2000 г., т. XLIII. №3, с. 53 – 60.

4. Бойматов К.Х. Суммируемость в смысле Абеля - Лидского системы корневых вектор функций несамосопряженных дифференциальных операторов ассоциированных с неко эрцитивными формами //Доклады АН Республики Таджикистан, 2000 г., т. XLIII. №3, с. 47 – 51.

5. Никольский С.М., Лизоркин П.И., Мирошин Н.В. Весовые функциональные простран ства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптиче ских уравнений //Известия ВУЗов. Математика, 1988 г., №8, с. 4 – 30.

6. Гадоев М.Г. Об асимптотике спектра одного класса несамосопряженных систем //Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, г., с. 78 – 84.

7. Исхоков С.А. Вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов с несте пенным вырождением, порожденных некоэрцитивными билинейными формами// До клады РАН, 2003 г., т.392, №5, с. 606 – 609.

Материалы международной научной конференции посвященной 60-летию академика Бойматова К.Х.

УДК 517. О разрешимости вариационной задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений в произвольной области Гадоев М.Г., Якушев И.А.

(МПТИ (филиал) СВФУ, г. Мирный, Россия ) Пусть – произвольное открытое множество в n-мерном евклидовом пространстве Rn, 1 p +, r – натуральное число, (x), gi (x) (i = 1, n) – положительные в функции.

Символом Lm (;

, g), где g(x) = (g1 (x),..., gn (x)) и целое число m такое, что 0 m r, p,r обозначим класс функций u(x), x, имеющих обобщенные по Соболеву производные u(k) (x), k = (k1,..., kn ) – мультииндекс, |k| = k1 +... + kn r, с конечной полунормой 1/p ((x)g1 1 r (x)g2 2 r (x)... gnn r (x)|u(k) (x)|)p k k u;

Lm (;

, g) k = dx, p,r |k|=m а символом Vpr (;

, g) – пространство функций u(x), x, с конечной нормой r 1/p u;

Vpr (;

, g) = u;

Lm (;

, g) p.

p,r m= Символом Vpr (;

, g) обозначим пространство ограниченных антилинейных функцио налов, определенных на Vpr (;

, g), наделенное нормой сопряженного пространства.

Пусть (0) = {x = (x1,..., xn ) Rn : |xi | 1/2, i = 1, n} – единичный куб с центром в начале координат, Rn и t = (t1,..., tn ) – вектор с положительными компонентами.

Положим t () = {x Rn : ((x1 1 )/t1,..., (xn n )/tn ) (0)}.

Предполагается, что при некотором 0 и для всех параллелепипед,g () =,g() () содержится в и существуют положительные числа, такие, что 1 (x)/(), 1 gi (x)/gi (), i = 1, n, для всех x из,g ().

На функциях u, v C0 () рассмотрим полуторалинейную форму pk (x)pl (x)akl (x)u(k) (x)v (l) (x) dx, B[u, v] = |k|,|l|r r+k r+k r+k где pk (x) = (x)g1 1 (x)g2 2 (x) · · · gn n (x), akl (x) – комплекснозначные функции, удо влетворяющие следующим условиям:

1) существует число 0 0 такое, что |k | Re akl (x)k l |k|,|l|r |k|=r для всех x и любого набора комплексных чисел = {k }|k|r ;

2) функции akl ограничены при |k| = |l| = r и если |k|, |l| r, |k| + |l| 2r 1, то akl (x)(g1 (x)g2 (x) · · · gn (x))1/pkl Lpkl (), где (2r |k| |l|)/n, если 2(r |k|) n, 2(r |l|) n, 1/2 + (r |k|)/n, если 2(r |k|) n, 2(r |l|) n, pkl = 1/2 + (r |l|)/n, если 2(r |k|) n, 2(r |l|) n, 1, если 2(r |k|) n, 2(r |l|) n, Современные проблемы математического анализа и их приложений а – достаточно малое положительное число Задача D0. Для заданного функционала F Vpr (;

, g) требуется найти решение U (x) уравнения B[U, v] = F, v, v C0 (), принадлежащее пространству Vpr (;

, g).

Теорема. Пусть выполнены все сформулированные выше условия. Тогда для любого за данного функционала F Vpr (;

, g) задача D0 имеет единственное решение U (x) и при этом имеет место следующая оценка U ;

Vpr (;

, g) M0 F ;

Vpr (;

, g), где число M0 0 не зависит от F.

Аналогичный результат в случае ограниченности всех коэффициентов akl (x)(|k|, |l| r, x ) ранее был получен С.А. Исхоковым в работе [1].

Литература 1. Исхоков С.А. О гладкости обобщенного решения эллиптического уравнения с нестепен ным вырождением // Дифф. уравнения. 2003. Т. 29. №11. С. 1536 – 1542.

УДК 517. Оценка резольвенты и разделимость дифференциальных операторов класса Трибеля с матричными коэффициентами на произвольном интервале Гоибов Д.С.


(Институт математики АН РТ ) Пусть m - натуральное, µ, – вещественные числа, причем µ + 2m. Положим l = ((2m l) + µl), l = 0, 1, 2,..., 2m.

2m Пусть = (a, b), где a b +, и пусть (t) – бесконечно дифференцируемая в положительная функция такая, что (t) + при t a+, b и для всех k = 0, 1, 2,...

удовлетворяет условию |(k) (t)| = O(1+k (t)).

По определению (см. [1]) класс Трибеля Am (;

(t)) состоит из дифференциальных опе µ, раторов A вида m 2m d2l dk 2l A= (t)Bl (t) 2l + Ak (t) k, a t b, dt dt l=0 k= где Bl (t), l = 0, m– эрмитовые квадратные матрица-функции порядка n с бесконечно диф ференцируеммыми элементами такие, что dk sup B (t) +, k = 1, 2,..., kl t dt и квадратные матрица-функции Ak (t), (k = 0, 1, 2,..., 2m 1) порядка n удовлетворяют условиям dj lim jk (t) Ak (t) = 0, dtj ta+ dj lim jk (t) Ak (t) = dtj tb Материалы международной научной конференции посвященной 60-летию академика Бойматова К.Х.

для всех j = 0, 1, 2,.... Далее требуется, что при некотором C 0 для всех t выполня ются неравенства B0 (t) CI, (1)m Bm (t) CI, (1)l Bl (t) 0, l = 1, 2,..., m 1, где I - единичная (n n)-матрица.

Символом Lp,l ()n обозначим пространство вектор-функций u(t) = (u1 (t), u2 (t),..., un (t)), определенных в с конечной нормой 1/p n (l(t)|uj (t)|)p dt u =, Lp,l ()n j= где l(t) C 1 ()– положительная весовая функция для которой выполняется оценка l (t) = o(1)l(t)q (t), (t a+, t b), q(t) = b0 (t)0 (t), =.

2m Обозначим через Qm,n, 1 p + класс вектор-функций u(t) Lp,l ()n, которые p,l имеют в Lp,l () обобщенные производные u (t), u (t),..., u(2m) (t) в смысле С.Л.Соболева.

n В пространстве Lp,l ()n введем оператор Ap по формуле Ap u = Au, считая за область определения D(Ap ) оператора Ap множество всех функций u(t) Qm,n таких, что Au p,l Lp,l ()n.

Теорема 1. Оператор Ap является замкнутым оператором в n пространстве Lp,l (). Для достаточно больших 0 (0 0) оператор Ap +E имеет непрерывный обратный в Lp,l ()n.

Обозначим через (Ap + E) – резольвентное множество оператора Ap + E, где 0 (0 0). Рассмотрим линейный оператор (Ap + E) : Lp,l ()n Lp,l ()n с областью определения D(Ap + E) плотной в Lp,l ()n. Обозначим через A – сопряженный оператор p к оператору Ap.

Теорема 2. Пусть выполнены условия перечисленные выше. Тогда для всех (Ap + E) и достаточно больших 0 (0 0) таких, что Ap p,l | | ( = ) справедливы оценки [Ap ( )E]1 M, p,l [A ( )E]1 N, p p,l где M, N – некоторые константы, зависящие от и.

Теорема 3. Пусть 1 p +, A Am (;

(t)). Тогда для любой вектор-функции µ, u Qm,n, u(t) = (u1 (t),..., un (t)), для которой Au Lp,l ()n, справедливы включения p,l d2l dk 2 l (t)Bl (t) u(t), Ak (t) k u(t) Lp,l ()n, k = 0, 2m 1, l = 0, m.

dt2l dt При этом выполняется неравенство 1/p b 2m p j d u(t) dt j (t) M f +u, (1) Lp,l ()n Lp,I ()n dtj j=0 a Современные проблемы математического анализа и их приложений где число M 0 не зависит от p.

Теорема 4. Пусть u, f = Au L,l ()n. Тогда справедлива оценка 2m dj j (t) u(t) M f +u, L,l ()n L,l ()n dtj L,l ()n j= где число M 0 не зависит от u, f.

Напомним, что при p = + норма u = inf { : |l(t)u(t)|, почти всюду в }.

L,l ()n Ранее оценка (1) была известна (см.[3]) для конечного интервала.

Аналогичная оценка получена в [1] для 1 p, где число M в (1) зависит от p.

Литература.

1. Трибеля Х. Теория интерполяции функциональные пространства, дифференциальные операторы.-М., Мир, 1980г.с. 2. Бойматов К.Х. Сильно вырождающиеся эллиптические дифференциальные операторы класса Трибеля // Известия ВУЗов, 1988,№8 с. 39-47.

3. Гоибов Д.С. О разделимости выражающихся эллиптических систем дифференциаль ных операторов на отрезке // Материалы научной конференции молодых ученных Таджикистана, Курган-тюбе. 1991. с.17-18.

УДК 517. О разрешимости вариационной задачи Дирихле для нелинейного дифференциального уравнения с нестепенным вырождением Ганиев М.Ш.

(Институт математики АН РТ ) Пусть (t) - положительная непрерывная функция, определенная на полуоси (0, ).

r + Пусть r - натуральное число и p 1. Символом Vp;

(Rn ) обозначим пространство веще ственнозначных функций u(x), определенных в полупронстрансве + Rn = {x : x = (x1, x2,..., xn ) = (x, xn ) Rn, xn 0}, имеющих все обобщенные в смысли Соболева производные u(k) (x) до порядка r включи тельно, с конечной нормой p r + (xn )|u(k) (x)| dx+ u;

Vp;

(Rn ) = |k|=r + Rn 1/p p r + (xn )xn |u(x)| dx.

+ Rn Основные свойства этого пространства сформулируем в виде следующей теоремы Материалы международной научной конференции посвященной 60-летию академика Бойматова К.Х.

Теорема 1. 1) Если функция (xn ) дифференцируема и удовлетворяет условию | (xn )| M (xn )x1, xn (0, +), (1) n + r + то при всех натуральных r и всех p 1 множество C0 (Rn ) плотно в Vp;

(Rn ).

2) Пусть (xn ) удовлетворяет условию (1) и пусть целое число s такое, что 0 s r.

Тогда если n n 1 p q1 +, r s + 0, p q то справедливо вложение Vpr;

(Rn ) Vps;

s (Rn ), + + r+s+n/pn/q где (xs ) = (xn )xn.

Рассмотрим дифференциальное уравнение (k) (1)|k| ak (x)|u(k) (x)|pk 2 u(k) (x) + Lu = F (x), x Rn, (2) |k|r где u(x) - неизвестная функция и все числа pk (|k| r) удовлетворяют условию pk 2.

Определение 1. Функция U (x) называется обобщенным решением уравнения (2), если + для всех v(x) C0 (Rn ) выполняется тождество ak (x)|U (k) (x)|pk 2 U (k) (x)v (k) (x) dx F, v, (3) |k|r + Rn где F, v обозначает значение функционала F на функции v(x), если же F - обычная функция, то F, v - скалярное произведение функций F (x) и v(x) в пространстве + L2 (Rn ).

При |k| = 0, |k| = r положим pk = p.

+ Задача D0. Для заданного функционала F Vpr;

(Rn ) требуется найти обобщенное решение уравнения (2), принадлежащее пространству Vpr;

(Rn ), то есть функцию U (x) + Vpr;

(Rn ) удовлетворяющую тождеству (3).

+ Предполагается, что числа pk (0 |k| r) удовлетворяют условию n n r |k| + 0, 2 p pk +, p pk и коэффициенты ak (x) такие, что pk c1 (xn )x|k|r (xn k /p )n ak (x) 1+p n pk c2 (xn )x|k|r (x1+pk /p )n + (|k| r, x Rn ), n n где положительные числа c1, c2 не зависят от x.

Теорема 2. Пусть выполнены все сформулированные выше условия. Тогда для любого + заданного функционала F Vpr;

(Rn ) существует единственное решение U (x) задачи D0 и справедлива следующая оценка U ;

Vpr;

(Rn ) + p M F ;

Vpr;

(Rn ) + q, где q = p/(p 1) и число M 0 не зависит от F.

Вариационная задача Дирихле для нелинейного уравнения (2) в случае степенного вы рождения коэффициентов ранее рассматривался в работе [1].

Литература.

1. Исхоков С.А. Ганиев М.Ш. Доклады АН РТ, 2009. Т. 52. №4. С. 255 - 260.

Современные проблемы математического анализа и их приложений УДК 517. О распределении собственных значений самосопряженного дифференциального оператора, заданного на неограниченных многообразиях без края Дадабаев А.Х.

(Таджикский национальный университет) Пусть M - n - мерное C - многообразие без края. В качестве многообразии M можно, например, положить M =, где Rn+1 неограниченная область с C границей. Рас сматривается случай общих самосопряженных эллиптических дифференциальных операто ров произвольного порядка, заданного на многообразии M. Покроем M системой открытых ограниченных множеств Mj M, j = 1, 2,..., конечной кратности так, что M = + Mj.

j= Далее на M вводится положительная C – плотность dM и предполагается, что при лю бом j = 1, 2,... существует C – гомеоморфизм gj множества Mj на открытое ограниченное множество Vj Rn.

Для дифференциального оператора A c областью определения C0 (M ) можно построить операторы Aj, j = 1, 2,... такие, что для u C0 (Mj ) выполняется равенство Au = j Aj j u, где отображение j : C0 (Mj ) C0 (Vj ) задается по формуле (j u)(x) = u gj (x), x Vj.

При этом Aj – дифференциальный оператор и имеет вид (Aj )(x) = a,j (x)Dx (x) + Qj (x)(x), C0 (Vj ).

||2m Предполагается, что коэффициенты операторов бесконечно дифференцируемы и обладают производными равномерно ограниченными по j = 1, 2,... вплоть до порядка 2m, функции Qj (x) C 1 (Vj ), j = 1, 2,..., и удовлетворяют неравенствам 1+ 2m Qj (x) 1, | x Qj (x)| M · Qj (x), (x Vj ), где числа, M 0 от j не зависят.

Условие равномерной эллиптичности формулируется в виде неравенства C4 · s2m a,j (x)s, (x Vj, s Rn ).

||2m Введем следующие обозначения:

a,j (x)s Qj (x);

j (x) = j gj (x), aj (x;

s) = ||2m Nj (x;

) = mes {s Rn ;

aj (x;

s) } ;

+ n () = (2) j (x)Nj (x;

)dx.

j=1 v j Материалы международной научной конференции посвященной 60-летию академика Бойматова К.Х.

Теорема. Пусть l() C 1 (0;

+)– неубивающая функция такая, что () l(), · l () = O(l()), при.

Тогда для функции N () распределения собственных значений оператора А справедлива следующая асимптотическая формула N () (),.

Литература 1. Бойматов К.Х. Спектральная асимптотика дифференциальных и псевдодифференци альных операторов. I // Труды семинара им. И.Г.Петровского. Изд-во МГУ. 1981, вып.

7, с.50– УДК 517.962.

О нетеровости двумерного сингулярного интегрального оператора на плоскости Джангибеков Г., Чоршанбиева М.

(Хорогский госуниверситет, Таджикский национальный университет) Для оператора A = aI + bK + cS + dS m K, где I – единичный оператор, (Kf )(z) = f (z) e2im (Sf )(z) = f ()ds, | z| D m e2im f ()ds (1) |m| (Sm f )(z) =, | z| D а a(z), b(z), c(z), d(z) – непрерывные в односвязной области D комплексной плоскости z = x + iy функции, в пространстве Lp (D), p 1 найдены необходимые и достаточные условия нетровости и формула для вычисления индекса.

Все формулы получен в терминах коэффициентов оператора а в виде арифметических действий над этими коэффициентами.

Современные проблемы математического анализа и их приложений УДК 519. О регуляризирующем алгоритме решений задачи коши для уравнения эллиптического типа с постоянными коэффициентами Джураев Х. Ш.

(Таджикский национальный университет) Рассмотрим в полупространстве D = { x, y 0} уравнение u(x, y) u(x, y) u(x, y) + a +b + cu(x, y) = f (x, y) (1) x y с начальными условиями u(x, y) u(x, 0) = (x), lim = (x), (2) y y -оператор Лапласа, а f (x, y), (x) и (x) – ограниченные вещественные аналитические функции вещественной переменной. Известно, что задачи Коши для эллиптических урав нений относятся к классу некорректных задач, иллюстрирующих неустойчивость. Действи тельно, когда функции f (x, y), (x) и (x) произвольные, то задача (1) – (2) неразрешима.

Если f (x, y) (для всякого фиксированного y 0), (x) и (x) есть аналитические функции и если их аналитически продолжить, то согласно фундаментальной теореме теории уравне нии в частных производных продолжение осуществимо и единственно. Однако можно по строить пример, подобный примеру Адамара для уравнения Лапласа, который показывает, что полученное продолжение будет неустойчивым относительно малых изменений началь ных данных. В связи с этим представляет интерес рассмотреть задачи (1)-(2) при возможно более слабых требованиях, предъявляемых к искомому решению.

Отличительные особенности постановки задачи, рассматриваемой в настоящей работе, со стоят в следующем: известна некоторая дополнительная информация о решении;

для любого x R f (x, y) (для любого фиксированного y 0), (x) и (x) -ограниченные функции;

f (x, y) (для любого фиксированного y 0), (x) и (x) есть бесконечно дифференциру емые функции;

каждая из их производных при |x| стремится к нулю быстрее любой степени |x|.

В общем случае, когда f (x, y) (для любого фиксированного y 0), (x) и (x) только ограничена, мы будем их рассматривать как функционал над пространством K -бесконечно дифференцируемых финитных функций.

Эти предположения дают возможность построения таких алгоритмов приближенных ре шений задачи (1)-(2), которые дают решения, обладающие свойством устойчивости к малым изменениям исходных данных, то есть к начальным условиям при любом фиксированном y 0.

Выполним в задаче (1)-(2) замену ax+by u(x, y) = e ·z(x, y).

В силу и свойства дифференцируемости функции, получим 4c a2 b z(x, y) + z(x, y) = f (x, y), (3) z(x, y) b ax ax z(x, 0) = e 2 · (x), lim = e 2 ·((x) + (x)). (4) y y Материалы международной научной конференции посвященной 60-летию академика Бойматова К.Х.

В зависимости от коэффициентов a, b, c определяется уравнения (3), как уравнения Пуассона, или как уравнения Гельмгольца. Действительно, если 4c = a2 + b2, то уравнения (3) является уравнения Пуассона. В этом случае задача (3)-(4) является задачей Коши для уравнения Пуассона. Задача Коши для уравнения Пуассона является некорректно поставлен ной. В работах [1] рассматривается задача Коши для уравнения Пуассона на полуплоскости y 0. Построен класс таких регуляризирующих операторов R(p, q, x, y, ), что при равномерно по x для любого фиксированного y приближенные решения сходятся к решению z(x, y). Если 4c = a2 +b2, то уравнение (3) является уравнением Гельмгольца. Точнее, задача (3)-(4) есть задача Коши для уравнения Гельмгольца, и является некорректной [2].

В работе на основе метода регуляризации мы построим класс устойчивых решений задачи (1)-(2). В качестве приближенного решения будем брать регуляризирующее решение z (x, y) = R(, q, x, y, ) p где R(, q, x, y, ) -регуляризирующий оператор, зависящий от параметра, а y 0 и яв p ляется заданным числом.

Литература 1. Джураев Х.Ш. О решении задачи Коши для уравнения Пуассона в многомерном слу чае. // ДАН Тадж. ССР. 1989, Т.32, №7, С. 432-434.

2. Джураев Х.Ш. Об одном регуляризирующем алгоритме построения приближенных ре шений задачи Коши для уравнения Гельмгольца. // ДАН Тадж. ССР, 1991, Т.34, №2, С.292-295.

УДК 519. О разрешимости нелинейной двухточечной краевой задачи для нелинейного интегро-дифференциального уравнения Джумабаев Д.С., Бакирова Э.А.

(г. Алматы ) На отрезке [0,Т] рассматривается нелинейная краевая задача для нелинейного интегро дифференциального уравнения T dx x Rn, = A(t)x + K(t, s)x(s)ds + f (t), (1) dt g x(0), x(T ) = 0, (2) где A(t), f (t) непрерывны на [0, T ], K(t, s) непрерывна на [0, T ] [0, T ], g : Rn Rn Rn непрерывна.

Задача (1), (2) исследуется методом параметризации [1]. По шагу h 0 : N h = T про N изводится разбиение [0, T ) = [(r 1)h, rh) и сужение функции x(t) на r -ый интервал r= [(r 1)h, rh) обозначается через xr (t).

Введя параметры r =xr ((r1)h) и на каждом r ом интервале произведя замену ur (t) = xr (t) r, t [(r 1)h, rh), r = 1, N, получаем краевую задачу с параметрами jh N dur = A(t)ur + A(t)r + K(t, s)uj (s)ds+ dt j= (j1)h Современные проблемы математического анализа и их приложений jh N + K(t, s)j ds + f (t), t [(r 1)h, rh), r = 1, N, (3) j= (j1)h ur ((r 1)h) = 0, r = 1, N, (4) g 1, N + lim uN (t) = 0, (5) tN h s + lim us (t) s+1 = 0, s = 1, N 1, (6) tsh где (6) - условия склеивания решения во внутренних точках разбиения t = (s 1)h, s = 1, N 1.

Используя метод работы [2] и решая специальную задачу Коши (3), (4) найдем функ ции ur (t) через параметры. Подставляя их в краевые условия (5) и условия склеивания (6), получим нелинейную систему уравнений относительно введенных параметров RnN.

Q () = 0, (7) Разрешимость задачи (1), (2) эквивалентна существованию решения (7). Введено опре деление изолированного решения и установлены необходимые и достаточные условия суще ствования такого решения.

Литература 1. Джумабаев Д.С. Признаки однозначной разрешимости линейной краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989. - Т. 29, №1. - С. 50-66.

2. Джумабаев Д.С. Критерий однозначной разрешимости линейной краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений // Математический журнал. Алматы. 2008. - Том 8. є 2 (28). - С. 44-48.

УДК 517. О разделимости некоторого класса эллиптических дифференциальных операторов в пространстве вектор – функций Замонов М.З.

(Институт математики АН РТ ) В пространстве H = L2 (Rn ) рассмотрим дифференциальный оператор A = ()m + B(x), где B(x) C(Rn ;

EndK ), а K – мерное комплексное пространство. Область определения D(A) оператора A определим как пространство вектор – функций u(x) W2,loc (Rn ) H 2m таких, что ()m u(x) + B(x)u(x) H.

Дифференциальный оператор A называется разделимым в пространстве H, если ()m u(x), B(x)u(x) H, u H, таких, что Au H.

Материалы международной научной конференции посвященной 60-летию академика Бойматова К.Х.

Термин разделимость впервые был введен в работе английских математиков В.Н. Эве рита и М. Гирца [1,2]. Первые результаты по разделимости обыкновенных дифференциаль ных операторов тоже принадлежит им. В последствие проблемой разделимости занимались многие математики (A.M. Atcinson, A.Zettl, W.D.Evans, M.K. Kwonq, К.Х. Бойматов, М.О.

Отелбаев, Г.В. Розенблюм, С.А.Исхоков, Р. Ойнаров, К.Т. Мынбаев, М.Байрамоглы и др.).

В работе [3] можно найти библиографию работ по проблеме разделимости.

Разделимость оператора A в литературе изучалась при условии ReB(x) 0.

В данной работе разделимость оператора изучена при таких условиях, при выполнении которых неравенство Re(R(x) + zI) 0 (x Rn ) может не иметь места ни при каком z K.

Теперь с формулируем условия на потенциал B(x). Предположим, что собственные зна чения матрицы B(x) меняются вне угла = {z K : |argz| }, 0, функция argz определена так, что argz (, ],z K. Норму в пространствах K,EndK, H будем обозначать одним и что же знаком: | |. Предположим, что · |B(x)1 |1+ 2 m = 0, lim | x B(x)| x 1 |B(x)| M |b (x)|, ( = 1, ), где b1 (x),..., b (x) – собственные значения матрицы B(x).

При выполнении перечисленных условий справедлива следующая Теорема. Оператор A разделятся в пространстве H. При этом D(A) W2 (Rn ) и 2m имеет место неравенство |D u|H + |B(x)u(x)|H M (|Au|H + |u|H ), 2m u D(A), c некоторым M 0.

Литература.

1. Everitt W.N., Giertz M.-Proc. London Math. Soc –(3), 1971, vol 23, №26, p. 301-324.

2. Everett W. N., Giertz M.-Math Ztachr, 1972, Bd. 126, №4, s. 308-326.

3. Бойматов К. Х.-Тр. МИАН СССР, 1984, т. 170, с. 37-76.

УДК 517.925:62. Неустойчивость программного многообразия нелинейных систем управления Жуматов С.С.

(г. Алматы ) Рассматривается задача построения устойчивых систем автоматического управления по заданному программному многообразию (t) () = 0 [1 - 3], которая сводится к исследо ванию качественных свойств самого многообразия:

= P T, = A HB, = (), (1) Современные проблемы математического анализа и их приложений -(s n) прямоугольная матрица, x Rn - вектор состояния объекта, B где H = x Rnr, P Rsr - постоянные матрицы, Rs (s n) - вектор, Rr - разрывная вектор функция управления по отклонению от заданного многообразия, удовлетворяющая условию T ( K 1 ) 0, = diag||1,..., r ||, K = K T 0. (2) Определение. Программное многообразие (t) называется неустойчивым в целом от носительно вектор-функции, если в фазовом пространстве существует неограничен ная открытая область, включающая окрестность заданного многообразия и обладающая тем свойством, что все решения относительно вектор-функции начинающиеся в этой области, не ограничены при t.

Постановка задачи: получить условие неустойчивости программного многообразия от носительно вектор-функции.

Вопросы неустойчивости нелинейных систем автоматического управления рассматрива лись в [1, 4]. Мы исследуем условия неустойчивости в окрестности заданного многообразия.



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.