авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
-- [ Страница 1 ] --

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ

И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

Труды

Третьей Всероссийской научной

конференции

29-31 мая 2006 г.

ЧАСТЬ

3

Самара 2006

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Самарский государственный технический университет»

Инженерная академия России (Поволжское отделение)

НИИ проблем надежности механических систем СамГТУ Посвящается 70–летию со дня рождения Ю. П. Самарина МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Труды Третьей Всероссийской научной конференции 29-31 мая 2006 г.

ЧАСТЬ СЕКЦИЯ «Дифференциальные уравнения и краевые задачи»

Самара УДК 517. М Математическое моделирование и краевые задачи:

М33 Труды Третьей Всероссийской научной конфе ренции. Ч. 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. — Самара: СамГТУ, 2006. — 234 с.: ил.

Представлены материалы докладов по секции «Диффе ренциальные уравнения и краевые задачи». Предложены но вые постановки и обобщающие решения неклассических за дач математической физики, уравнений в частных произ водных и обыкновенных дифференциальных уравнений.

УДК 517. РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:

Д-р. физ.-мат. наук

проф. В. П. Радченко (отв. редактор), д-р. физ.-мат. наук проф. О. А. Репин, канд. физ.-мат. наук доцент Е. Н. Огородников, канд. физ.-мат. наук доцент М. Н. Саушкин (отв. секретарь) Конференция организована при финансовой поддержке РФФИ (проект № 06–01–10031) © Самарский государственный технический университет, Основные направления работы конференции:

• Секция 1 «Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций». Руководитель:

Радченко В. П. (Самара, СамГТУ).

• Секция 2 «Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами». Ру ководители: Рапопорт Э. Я., Дилигенский Н. В. (Самара, СамГТУ).

• Секция 3 «Дифференциальные уравнения и краевые за дачи». Руководители: Моисеев Е. И. (Москва, МГУ), Ре пин О. А. (Самара, СамГТУ).

• Секция 4 «Математические модели в информационных технологиях». Руководитель: Батищев В. И. (Самара, СамГТУ).



Организационый комитет конференции:

Калашников В. В. (председатель) • Штриков Б. Л. (зам. пред седателя) • Радченко В. П.(зам. председателя) • Рапопорт Э. Я.

(зам. председателя) • Репин О. А. (зам. председателя) • Сауш кин М. Н. (учный секретарь) • Андреев А. А. • Астафьев В. И.

е • Волкодавов В. Ф. • Дилигенский Н. В. • Жегалов В. И. • Жданов А. И. • Килбас А. А. • Кожанов А. И. • Кузнецов П. К.

• Моисеев Е. И. • Михеев Ю. В. • Нахушев А. М. • Никитен ко А. Ф. • Пулькина Л. С. • Седлецкий А. М. • Соболев В. А. • Сойфер В. А. • Солдатов А. В. • Соснин О. В. • Стружанов В. В.

• Федотов В. П. • Филатов О. П. • Цвелодуб И. Ю.

Базовый организационный комитет конференции:

Радченко В. П. (председатель) • Рапопорт Э. Я. • (зам. предсе дателя) • Репин О. А. (зам. председателя) • Огородников Е. Н.

(ученый секретарь) • Андреев А. А. • Кузнецов П. К. • Лер нер М. Е • Михеев Ю. В. • Саушкин М. Н.

Контактная информация:

Почтовый адрес:

Оргкомитет конференции ММ-2006.

Каф. Прикладной математики и информатики, Самарский государственный технический университет ул. Молодогвардейская, 244, Самара, 443100.

Телефон: (846) 337–04– E-mail: mm2006@samgtu.ru URL’s: http://mm2006.samgtu.ru — cайт конференции;

http://mmikz.com.ru — cистема регистрации.

Содержание 70–летию Ю. П. Самарина посвящается............

Абрамов В. В. Применение методов Адамса к решению урав нений движения больших планет, Луны и Солнца...

Алшин П. С. Начально-краевая задача для нелокально е го дифферециально-разностного уравнения с дробной производной............................

Алиханов А. А. Априорные оценки для параболических уравнений с подвижной нагрузкой..............

Алтынбаев Ф. Х. Исследование распределения астероидов групп Аполлона, Амура, Атона по эксцентриситету, на клонению и большой полуоси.................

Алякин В. А., Клепнв Д. Э. О продолжимости свойства е трансдиагональности последовательности мер......

Амбарцумов С. Б., Булатов М. В. Выбор шага интегрирова ния для L-устойчивой 1-стадийной схемы 2-го порядка Андреев А. А., Лексина С. В. Решение задачи Коши и Гурса для системы продольно-крутильных колебаний длин ной естественно закрученной нити..............

Андреев А. А., Огородников Е. Н. Постановка и обоснование корректности аналога задачи Коши для одного нело кального гиперболического уравнения c вырождением порядка...............................

Андреев А. А., Саушкин И. Н. Об одной краевой задаче для нелокального уравнения, порожденного оператором Лав рентьева–Бицадзе........................

Арланова Е. Ю., Репин О. А. Аналог второй задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического урав нения................................

Артюхин Ю. П., Великанов П. Г. Фундаментальное реше ние задачи изгиба ортотропной пластины, лежащей на упругом основании типа Винклера..............

Аттаев А. Х. Нагруженное волновое уравнение с гранич ным управлением на двух концах..............





Балкизов Ж. А. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными харак теристиками............................

Бештоков М. Х., Шхануков-Лафишев М. Х. Об одной апри орной оценке решения нелокальной краевой задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка..

Бушков С. В., Родионова И. Н. Решение одного уравнения Вольтерра первого рода со специальной функцией в ядре Вирченко Н. А. Об одном интегральном уравнении с (, ) обобщнной конфлюэнтной гипергеометрической функ е цией.................................

Волкодавов В. Ф., Мансурова Е. Р. Для уравнения смешан ного типа единственность решения задачи T с сопря жением производной по нормали и производной дроб ного порядка............................

Волынская М. Г. Об одной нелокальной задаче с интеграль ным условием для гиперболического уравнения.....

Воропаева Л. В. Единственность обобщенного решения для одной сильно эллиптической системы............

Габбасов Н. С., Калимуллина З. Х. К теории линейных ин тегральных уравнений с неподвижными особенностя ми в ядре..............................

Гачаев А. М. Об одном способе приближенного решения задачи Дирихле для дифференциального уравнения с дробной производной......................

Гафурова С. М., Гарипов И. Б. Решение смешанной задачи для одного гиперболического уравнения с оператором Бесселя в четверти круга....................

Гейлер В. А., Иванов Д. А. К задаче о двух точечных рассе ивающих центрах на римановой поверхности.......

Герасимов И. А., Жуйко С. В. Классификация плоских ограниченных траекторий в задаче двух неподвижных центров Л. Эйлера........................

Гришанов Е. Н., Демидов В. В., Чернозатонский Л. А. Ис следование спектральных свойств математической мо дели периодической системы нанотрубок.........

Гутов А. З. Аналог формулы Эйлера для обобщенного си нуса и обобщенного косинуса.................

Данилкина О. Ю. Нелокальная задача с интегральным усло вием для уравнения теплопроводности...........

Дмитриев В. Б. Об одной нелокальной задаче для гипербо лического уравнения......................

Думачев В. Н. О семействах интегрирующих множителей уравнения Пфаффа в R2.................... Егорова Г. Ф., Левашкина Н. В. Исследование устойчивости модели морфогенеза.......................

Зайчикова Н. А. Теоремы усреднения дифференциальных включений в экономических исследованиях........

Зарецкая М. В. Постановка краевых задач переноса для слоисто-неоднородных сред..................

Заусаев А. А. Исследование эволюции короткопериодиче ских комет, сближающихся с Юпитером..........

Заусаев А. Ф., Денисов С. С., Соловьв Л. А. Математиче е ское моделирование движения астероида 2004 FU на интервале времени с 2006 по 2206 годы.........

Заусаев А. Ф., Корнев А. П., Рыбин О. К. Исследование эво люции орбиты астероида 2000 LG6.............

Кириченко А. Ф. О корректности неклассической системы эволюционных уравнений в связанной задаче термо упругости для шарнирно закрепленных пологих обо лочек.................................

Кириченко В. Ф., Шакин А. А. Корректность эволюцион ных уравнений в неклассической теории неоднородных пологих оболочек на упругом основании..........

Колпаков И. Ю. О разрешимости периодической краевой задачи с отклоняющимся аргументом............

Кретов Д. И. Нахождение передаточных функций системы сопряженных осесимметричных тел............

Купцов С. Ю. Устойчивость гироскопической системы с за паздываниями при фазовых переменных и их произ водных................................

Купцова С. Е. К вопросу об устойчивости нелинейных сис тем дифференциальных уравнений.............

Лежнв В. В., Корнеев П. К. Алгоритм внешней задачи Ди е рихле и задача обтекания...................

Лежнв М. В., Рябченко В. И., Ганижева Л. Л. Вариацион е ная задача для функции тока точечного вихря в задаче обтекания плоского профиля.................

Лесев В. Н. О разрешимости краевой задачи для смешанно составного уравнения в прямоугольной области.....

Мамчуев М. О. Решение краевой задачи для системы урав нений в частных производных дробного порядка....

Марковский А. Н. Одна обратная задача для уравнения Пуассона..............................

Медведева О. Г. О некоторых особенностях дифференциаль но-интегрального ядра, влияющих на свойства функ ции Грина.............................

Меньших О. Ф. О задаче Коши для нелинейного уравнения Борна-Инфельда в случае трх независимых перемен е ных..................................

Мигунов А. А. Оценка погрешности в итерационном инте гральном методе Эйлера для дифференциальных урав нений Каратеодори........................

Миронова Л. Б. К характеристическим задачам для одной системы в трехмерном пространстве............

Назипов И. T. Решение задачи Дирихле-Неймана для одного B–эллиптического уравнения методом потен циалов................................

Нахушев А. М. О современном состоянии краевых задач со смещением для основных типов уравнений в частных производных............................

Нигмедзянова А. М. Основные свойства решений одного вырождающегося эллиптического уравнения......

Огородников Е. Н., Юрьев А. А. О корректности задачи Ко ши и Коши–Гурса для одного вырождающегося гипер болического уравнения с инволютивно отклоняющи мися аргументами........................

Пашуткин Д. В. Асимптотическая эквивалентность и пе риодические решения......................

Пряхина О. Д., Смирнова А. В., Хрипков Д. А. Резонанс ные явления в однородных средах с совокупностью жстких включений.......................

е Псху А. В. Уравнение диффузии дробного порядка со мно гими временными переменными...............

Пулькина Л. С. Об одном классе нелокальных задач и их связи с обратными задачами..................

Пулькина Л. С., Климова Е. Н. Нелокальная краевая задача для нелинейного уравнения колебаний струны......

Решич С. (Rei Sead) Асимптотическое разложение тра sc ектории вектора при действии линейного отображения Салихов Р. Н. О задаче типа первой задачи Дарбу......

Соколов С. В. Условия устойчивости одной нелинейной сис темы с постоянно действующими возмущениями....

Соловьева С. А. Обобщенный метод подобластей для одного класса интегральных уравнений третьего рода......

Стельмашук Н. Т., Шилинец В. А. О редуцировании к ка ноническому виду одной системы дифференциальных уравнений в частных производных с помощью двой ных дифференциальных операторов............

Филатов О. П. Квазирешения дифференциальных вклю чений и теорема разностной аппроксимации.......

Хисматуллин А. Ш. Фундаментальное решение одного вырождающегося B – эллиптического уравнения 2-го рода.................................

Царькова Н. В. Обратная задача для уравнения колебаний струны с интегральным условием переопределения...

Чадаев В. А. Задача Коши для нелинейного уравнения дроб ного порядка в локальной постановке............

Эфендиев Б. И. Задача Дирихле для обыкновенного диф ференциального уравнения второго порядка с конти нуальной производной......................

Юлдашев Т. К. Системы дифференциальных уравнений с трхточечными смешанными максимумами.......

е Именной указатель..........................

70–ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ Ю. П. САМАРИНА ПОСВЯЩАЕТСЯ...

В 2006 г. исполняется 70 лет со дня рождения Самарина Юрия Петровича.

В 1959 г. он окончил с от личием Куйбышевский индуст риальный институт по специаль ности инженер-механик.

Работая на Куйбышевском заводе «Метал лист», прошел путь от помошника мастера до заместителя началь ника цеха.

Жизнь Ю. П. Самарина нераз рывно связана с Самарским го сударственным техническим уни верситетом, где он учился, за тем работал на должностях ас систента, старшего преподавате ля, доцента, заведующего кафед рой, проректора по научной рабо 18.12.1936 – 05.04.2000 те, а с 1985 г. по 1999 г. — ректора Самарского государственного тех нического университета. Доктор технических наук (1973 г.), про фессор, лауреат Государственной премии России в области науки и техники (1990 г.).

Ю. П. Самарин — известный организатор высшего образования и науки. С 1987 г по 1999 г. он возглавляет Совет ректоров вузов Самарской области.

В течении 10 лет Ю. П. Самарин реализовывал программу раз вития Куйбышевского политехнического института, превратив вуз в крупнейший учебно-научный технополис Среднего Поволжья, по лучивший в 1992 г. статус технического университета. В его состав и в настоящее время входят два научно-исследовательских инсти тута, один из которых — НИИ проблем надежности механических систем Ю. П. Самарин возглавлял в качестве директора. Под руко водством Ю. П. Самарина велись актуальные работы по внедрению многоуровневой системы специалистов, интегрированной с до- и по слевузовским образованием.

Ю. П. Самарин является известным в стране и за рубежом уче ным. После окончания аспирантуры в 1963 г. Ю. П. Самарин защи щает кандидатскую диссертацию по физико-математическим нау кам на тему «Решение некоторых задач математической физики, связанных с колебаниями тел с подвижными границами» и далее начинает заниматься проблемами реологического поведения мате риалов. Им создано научное направление и научная школа по проч ности и надежности конструкций, которые открыли новые возмож ности в механике сред, деформируемых во времени, что позволило поставить и решить ряд актуальных фундаментальных и приклад ных задач. Им получен новый класс уравнений состояния для сред со сложными реологическими свойствами, введены определяющие соотношения для конструкций как целого, развиты идеи агреги рования и декомпозиции конструкций, разработан метод индиви дуального прогнозирования напряженно деформированного состоя ния и оценки остаточного ресурса элементов конструкций.

Круг научных интересов Ю. П. Самарина не ограничивался про блемами реологии. У него имеется значительное число работ, отно сящихся к вопросам теории надежности, к решению задач о раз гоне оболочек под действием ударных волн, о прессовании сыпучих сред с наложением вибраций, о колебаниях в областях с перемен ными границами, о непараметрическом выравнивании эксперимен тальных данных и др.

Ю. П. Самариным опубликовано более 250 работ, в том числе 8 книг, 21 брошюра, некоторые из них — в зарубежных изданиях;

им подготовлены 12 докторов и 24 кандидата наук. Ю. П. Самари ну посвящена статья в международном энциклопедическом издании «Лидерство в мировых достижениях», Кембридж, 1996 г.

Для исследований Ю. П. Самарина было характерно доведение теоретических результатов до практического применения. На их ос нове по заказам предприятий выполнено большое число хоздого ворных работ, изданы методические рекомендации для расчетов на прочность через Госстандарт. Многие результаты выполненных ис следований используются на предприятиях авиационной промыш ленности, машиностроения и др. По ряду работ спецназначения и по проблемам высшей школы получен значительный социальный эф фект.

С 1971 г. и до последнего времени Юрий Петрович Самарин заве довал кафедрой высшей и прикладной математики. За этот период кафедра стала опорной среди математических кафедр технических вузов области. При непосредственном участии Ю. П. Самарина в 1993 году через Учебно-методическое объединение университетов при факультете вычислительной математики и кибернетики Мос ковского государственного университета в СамГТУ была открыта специальность «Прикладная математика и информатика».

Большое внимание Ю. П. Самариным уделялось качественному составу кафедры. Так, в 1961 г. на кафедре было 35 преподавателей, из них 3 с учеными степенями и 5 с университетским образовани ем;

в 1968 г. на кафедре было 54 преподавателя, из них 6 с учеными степенями и 8 с университетским образованием. В 1980 г. на ка федре работало 63 преподавателя, из них 1 профессор, 19 доцентов и 23 сотрудника имели классическое университетское образование, а в 1998 г. на кафедре работало 59 сотрудников, из них 4 доктора наук, 4 профессора, 40 доцентов.

При Ю. П. Самарине на кафедре была открыта аспирантура и докторантура по специальности 01.02.04 «Механика деформиру емого твердого тела» и продолжала действовать ранее открытая ас пирантура по специальности 01.01.02 «Дифференциальные уравне ний» Он являлся председателем диссертационного совета по специ альности 01.02.04 при СамГТУ.

Тесную связь Ю. П. Самарин поддерживал с довузовской сферой образования. По его инициативе совместно с Управлением народного образования в Самарской области была создана целая сеть нетради ционных учебных заведений: лицеи, колледжи, гимназии и др.

Его хорошо знали зарубежные ученые. Он участвовал в нес кольких десятках международных форумов, проходивших в США, Германии, Великобритании, Италии, Франции, Греции, Болгарии, Венгрии, Испании и других странах Ю. П. Самарин принимал активное участие в деятельности Рос сийской и Международной инженерных академий, был инициато ром создания Поволжского отделения Российской инженерной ака демии, руководил его работой как председатель Президиума ПО РИА.

Ю. П. Самарин награжден орденом Трудового Красного Знамени, медалью «Ветеран труда», Почетной грамотой правительства РФ, двумя медалями ВДНХ. За заслуги в научно-педагогической де ятельности он удостоен почетного звания «Заслуженный деятель науки и техники РСФСР» и нагрудного знака «Почетный работник высшего образования России».

В Юрии Петровиче удачно сочетались академическая, фунда ментальная подготовка ученого и живой ум гражданина и руково дителя.

Ученый, администратор, преподаватель, Учитель, Человек...

Не только власть авторитета и глубина знаний привлекала к нему людей. Работая с ним как с заведующим кафедрой и ректором, со трудники с уважением относились к его требовательности, трудо способности, порядочности, ценили в нем натуру умную и тонкую.

УДК 521.1;

523. В. В. Абрамов ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ АДАМСА К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ БОЛЬШИХ ПЛАНЕТ, ЛУНЫ И СОЛНЦА В настоящее время методы Адамса являются одними из са мых перспективных численных методов интегрирования для решения задачи Коши и относятся к числу наиболее эконо мичных методов, так как при одинаковой точности на одном шаге численного интегрирования требуется меньше вычисле ний правых частей дифференциальных уравнений по срав нению с одношаговыми методами. К достоинствам методов Адамса относится и то, что в них легко меняется шаг ин тегрирования и порядок метода. Целью данной работы яв ляется разработка алгоритмов и программ для методов Адам са до шестнадцатого порядка включительно и применение их к решению дифференциальных уравнений движения боль ших планет, Луны и Солнца.

Общая форма записи многошаговых методов имеет следу ющий вид [1]:

k k (1) j y n+ j = h j f (x n+ j, y n+ j ), n = 0, 1, 2,..., j =0 j = где j и j — постоянные, k = 0, |0 | + |0 | = 0. Если k = 1, k1 = 1, k2 =... = 0 = 0, то выражение (1) представляет собой общую форму записи методов Адамса.

Из формулы (1) следует, что для вычисления значений {y n } необходимо сначала получить k начальных значений y 0, y 1,..., y k1. В дальнейшем вычислительный процесс можно выби рать из двух возможных путей. Во-первых, при k = 0 ме тод (1) называется явным многошаговым методом. Во-вторых, при k = 0 правая часть (1) содержит f (x n+k, y n+k ) и необходи мо решать нелинейное уравнение относительно y n+k ;

метод (1) в этом случае называется неявным многошаговым методом.

Работа выполнена при финансовой поддержке Федерального агентства по образованию (проект РНП.2.1.1.1689) Явные методы Адамса–Бэшфорта значительно проще неяв ных методов Адамса–Мултона, однако неявные методы явля ются более точными и относятся к классу устойчивых ме тодов, в то время как явные методы не обладают свойством устойчивости.

В силу вышеуказанных особенностей, неявные методы обычно предпочтительнее для решения практических задач.

Существует два способа решения обыкновенных дифферен циальных уравнений с помощью неявных методов. Запишем соотношение (1) в виде hk (2) y n+k = f (x n+k, y n+k ) + g n, k = 0, k где g n содержит известные величины y n+ j, f n+ j, j = 0, 1,..., k 1.

Доказано [1], что при выполнении условия k (3) h ·, k L где L — константа Липшица, существует единственное реше ние y n+k уравнения (2), которое можно получить с помощью итерационного процесса hk (+1) () (4) y n+k = f x n+k, y n+k + g n, = 0, 1, 2,....

k Для решения первым способом уравнения (1) итерации по вторяются до тех пор, пока последовательные приближения не станут достаточно близки друг к другу. Этот метод называет ся исправлением до сходимости. Во втором случае для реше ния уравнения (1) используется предикторно-корректорный метод. В качестве предсказывающей формулы используется формула метода Адамса–Бэшфорта, в качестве исправляю щей — Адамса–Мултона.

Для метода Адамса шестого порядка схема вычислений имеет следующий вид:

h (0) (1) (1) (1) P: y n+1 = y n + 4277 f n 7923 f n1 + (1) (1) (1) (1) + 9982 f n2 7298 f n3 + 2877 f n4 475 f n5, (5) (0) (0) E: (6) f n+1 = f x n+1, y n+1, h (1) (0) (1) (1) C: y n+1 = y n + 475 f n+1 + 1427 f n (1) (1) (1) (1) 798 f n1 + 482 f n2 173 f n3 + 27 f n4, (7) (1) (1) E: (8) f n+1 = f x n+1, y n+1, где P означает применение предсказывающей формулы, C — применение исправляющей формулы, E — вычисление функ ции f. Вышеуказанный процесс называется методом PECE [1].

На методы Адамса нами разработаны алгоритмы и про грамма на C++ до шестнадцатого порядка включительно для решения дифференциальных уравнений движения больших планет, Луны и Солнца.

В таблице 1 приведены значения коэффициентов для мето дов Адамса. В первой строке указан номер порядка метода;

во второй — значения коэффициентов C k для соответствующего порядка k;

в последующих строках — пары коэффициентов B k j (левый столбец) и Mk j (правый столбец) для методов Адамса– Бэшфорта и Адамса–Мултона соответственно. Тогда, с учетом данных таблицы 1, коэффициенты j в выражении (1) для ме тода Адамса–Бэшфорта k-го порядка могут быть найдены из соотношения Bk j (9) j =, Ck а для метода Адамса–Мултона k-го порядка по аналогичной формуле Mk j (10) j =.

Ck Таблица 2 3 4 5 6 2 12 24 720 1 440 60 31 23 5 55 9 1 901 251 4 277 475 198 721 19 1 1 16 8 59 19 2 774 646 7 923 1 427 447 288 65 5 1 37 5 2 616 264 9 982 798 705 549 46 9 1 1 274 106 7 298 482 688 256 37 251 19 2 877 173 407 139 20 475 27 134 472 6 19 087 Продолж. табл. 8 9 120 960 3 628 800 7 257 434 241 36 799 14 097 247 1 070 017 30 277 247 2 082 1 152 169 139 849 43 125 206 4 467 094 104 995 189 9 449 2 183 877 121 797 95 476 786 4 604 594 265 932 680 11 271 2 664 477 123 133 139 855 262 5 595 358 454 661 776 16 002 2 102 243 88 547 137 968 480 5 033 120 538 363 838 17 283 1 041 723 41 499 91 172 642 3 146 338 444 772 162 13 510 295 767 11 351 38 833 486 1 291 214 252 618 224 7 394 36 799 1 375 9 664 106 312 874 94 307 320 2 687 1 070 017 33 953 20 884 811 583 2 082 753 57 Продолж. табл. 11 479 001 600 958 003 2 132 509 567 134 211 265 4 527 766 399 262 747 8 271 795 124 656 185 652 19 433 810 163 1 374 799 23 591 063 805 890 175 549 61 633 227 185 2 092 490 46 113 029 016 1 446 205 080 135 579 356 757 3 828 828 63 716 378 958 1 823 311 566 214 139 355 366 5 519 460 63 176 201 472 1 710 774 528 247 741 639 374 6 043 521 44 857 168 434 1 170 597 042 211 103 573 298 4 963 166 22 329 634 920 567 450 984 131 365 867 290 3 007 739 7 417 904 451 184 776 195 58 189 107 627 1 305 971 1 479 574 348 36 284 876 17 410 248 271 384 709 134 211 265 3 250 433 3 158 642 445 68 928 262 747 265 5 675 Продолж. табл. 13 2 615 348 736 000 5 230 697 472 13 064 406 523 627 703 604 254 357 27 511 554 976 875 1 382 741 929 61 497 552 797 274 3 917 551 216 986 140 970 750 679 621 8 153 167 962 214 696 591 002 612 6 616 420 957 428 537 247 052 515 662 15 141 235 084 524 924 579 905 150 13 465 774 256 510 1 445 313 351 681 906 33 928 990 133 932 884 546 055 895 21 847 538 039 895 2 854 429 571 790 805 61 188 680 131 1 233 589 244 941 764 27 345 870 698 436 4 246 767 353 305 755 86 180 228 689 1 226 443 086 129 408 26 204 344 465 152 4 825 671 323 488 452 94 393 338 653 915 883 387 152 444 19 058 185 652 796 4 204 551 925 534 524 80 101 021 029 507 140 369 728 425 10 344 711 794 985 2 793 869 602 879 077 52 177 910 882 202 322 913 738 370 4 063 327 863 170 1 393 306 307 155 755 25 620 259 777 55 060 974 662 412 1 092 096 992 268 505 586 141 196 430 9 181 635 605 9 160 551 085 734 179 842 822 566 126 174 972 681 906 2 268 078 814 703 604 254 357 13 695 779 093 19 382 853 593 787 345 457 086 1 382 741 929 621 24 466 579 Продолж. табл. 31 384 184 832 173 233 498 598 849 8 164 168 737 960 122 866 404 112 50 770 967 534 3 966 421 670 215 481 102 885 148 956 11 643 637 530 577 472 251 724 894 607 25 298 910 337 081 429 499 547 203 754 41 825 269 932 507 728 781 911 618 071 53 471 026 659 940 509 963 605 400 824 53 246 738 660 646 912 934 600 833 490 41 280 216 336 284 259 710 312 834 197 24 704 503 655 607 728 418 551 804 601 11 205 849 753 515 179 187 504 936 597 3 728 807 256 577 472 61 759 426 692 859 236 476 684 231 14 110 480 969 122 594 813 904 112 1 998 759 236 8 164 168 737 599 132 282 840 Продолж. табл. 62 768 369 664 362 555 126 427 073 16 088 129 229 2 161 567 671 248 849 105 145 058 757 9 622 096 909 515 337 230 992 163 723 30 607 373 860 520 569 612 744 541 065 72 558 117 072 259 733 1 326 978 663 058 131 963 191 940 828 581 2 285 168 598 349 187 463 140 112 902 893 3 129 453 071 993 210 020 588 912 321 949 3 414 941 728 852 186 087 544 263 596 643 2 966 365 730 265 129 930 094 104 237 331 2 039 345 879 546 70 724 351 582 843 483 1 096 355 235 402 29 417 910 911 251 819 451 403 108 933 9 038 571 752 734 087 137 515 713 789 1 934 443 196 892 599 29 219 384 284 257 650 275 915 823 3 867 689 367 16 088 129 229 375 240 208 245 В качестве математической модели, описывающей движе ния больших планет, Луны и Солнца, были взяты дифферен циальные уравнения движения в барицентрической системе координат, с учетом ньютоновских и шварцшильдовских чле нов, обусловленных их взаимным влиянием [4]. Для Луны, кроме гравитационных и релятивистских эффектов, в матема тической модели учитывалось влияние фигур Земли и Луны.

Начальные данные масс, координат и скоростей больших пла нет, Луны и Солнца были взяты из банка данных координат и скоростей этих объектов, описанного в работе [2] и согласо ванного с базой данных координат и скоростей в DE 405 [3].

Для исследования эффективности методов Адамса было проведено решение уравнений движения больших планет, Лу ны и Солнца с различным шагом и порядком на интервале вре мени 560 лет. Закладка начальных данных координат и ско ростей больших планет проводилась с помощью одношагового метода Эверхарта [5] по программе RADA-27 [6]. Минималь ный порядок метода и шаг интегрирования полагали равными 6 и 0,1 дня соответственно.

На основании проведенных расчетов можно сделать сле дующие выводы. Для решения уравнений движения больших планет, Луны и Солнца на интервале времени 560 лет мож но использовать методы Адамса с порядком не менее седьмого и не более четырнадцатого. Наиболее эффективным оказался метод Адамса одиннадцатого порядка с шагом интегрирования 0,25 дня.

Результаты отклонений вычисленных координат от коор динат банка данных [2] приведены в таблице 2. Как видно из таблицы 2, отклонения вычисленных координат планет, по лученных различными методами, незначительны и находятся в пределах точности оптических наблюдений.

Для Луны отличие в координатах более значительно, что, по-видимому, является следствием применения различных ал горитмов при вычислении правых частей дифференциальных уравнений решаемой задачи.

Таблица x, а. е. y, а. е. z, а. е. r, км 3,89 · 108 7,50 · 108 7,25 · Меркурий 16, 1,53 · 107 2,01 · 107 2,57 · Венера 37, 3,77 · 108 2,36 · 109 9,43 · Земля 15, 3,62 · 106 6,45 · 106 1,98 · Луна 1144, 1,38 · 107 1,64 · 106 8,49 · Марс 277, 1,47 · 106 2,06 · 107 1,48 · Юпитер 223, 5,94 · 108 7,37 · 108 7,28 · Сатурн 17, 4,38 · 108 8,60 · 108 6,86 · Уран 17, 2,18 · 107 1,87 · 107 2,46 · Нептун 43, 3,23 · 108 4,53 · 108 5,61 · Плутон 11, 1. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обык новенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1979. — 312 с.

2. Заусаев А. Ф., Заусаев А. А. Каталог орбитальной эволюции короткопе риодических комет с 1900 по 2100 гг. — М.: Машиностроение–1, 2005. — 346 с.

3. Standish E. M. JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE 405 / LE 405 // Jet Prop Lab Technical Report. IOM 312. F-048., 1998. — P. 1–7.

4. Newhall X. X., Standish E. M., Williams Jr. and j. g. DE 102: a numerically integrated ephemeris of the Moon and planets spanning forty-four centu ries // Astron. Astrophys., 1983. — No. 125. — P. 150–167.

5. Everhart E. Implicit single methods for integrating orbits // Celestial mecha nics, 1974. — No. 10. — P. 35–55.

6. Заусаев А. Ф., Заусаев А. А., Ольхин А. Г. Применение метода Эверхарта 31 порядка для решения уравнений движения больших планет // ВАК 2004. Горизонты Вселенной: Тез. докл. на Всерос. астроном. конф. — М.:

МГУ, ГАИШ, 2004. — С. 209.

Самарский государственный технический университет, г. Самара vva85@mail.ru УДК 517. П. С. Алшин е НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛОКАЛЬНОГО ДИФФЕРЕЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ В области D J рассмотрим уравнение x (1) D 0x u(t, y) u y y (x, y) = R(t )u(x t, y)d t, 0 1, где R(t ) — ограниченная функция;

D 0x — оператор дробно го (в смысле Римана-Лиувилля) интегро-дифференцирования [1 с. 17], действующий на функцию u(x, y) по переменной x;

D k ;

Dk = (x, y): kh y (k + 1)h;

0 x ;

D= D1 = (x, y):

k= h y 0;

0 x ;

J = (x, y) : x = 0;

0 y.

ЗАДАЧА П. Найти в области D решение u(x, y) уравнения (1) из класса функций D 0x u(t, y) C (D), x 1 D 0x u(t, y) C D J, 1 u y y (x, y) C (D), удовлетворяющее краевым условиям (2) u(x, 0) = 0;

0 x +;

(3) u(x, ) = 0;

0 x +;

и начальному условию (4) lim D 0x u(t, y) = (y), 0 y, x0+ где (y) — заданная, достаточно гладкая функция.

ТЕОРЕМА. Пусть функция (y) имеет непрерывную произ водную первого порядка, а функция R(x) непрерывна и огра ниченна при 0 x +, причем lim R(x) = 0, тогда сущест x+ вует регулярное решение задачи П.

Доказательство. Будем доказывать существование реше ния задачи П методом Фурье разделения переменных.

Найдем класс нетривиальных решений уравнения (1), удов летворяющих условиям (2), (3) в виде (5) u(x, y) = X (x)Y (y).

Подставляя (5) в (1), получим Y + 2 Y = 0, Y (0) = Y () = 0 (6) x D 0x X (t ) + 2 X (x) = (7) R(t )X (x t )d t.

Нетривиальные решения задачи (6)–(7) возможны лишь при собственных значениях (8) n = n Собственные функции Yn (y), соответствующие собствен ным значениям (8), определяются по формуле (9) Yn (y) = sin nx, n N.

Общее решение неоднородного уравнения x D 0x X (t ) + n 2 X (x) = R(y t )X (t ) d t, соответствующее собственным значениям (8), известно [2 с. 602] и определяется формулой x 1 (x t )1 E, n 2 (x t ) d t X n (x) = c n x E, n x + t R(s)X n (t s)d s, (10) где E, (t ) — функция [3 с. 101] Миттаг-Лефлера:

tk (11) E, (t ) =.

k=0 (k + ) Решая уравнение (10) методом последовательных прибли жений, получим x + 1 X n (x) = c n x E, (n x ) + c n m (t ) m= m (x t )(m+1) d (1)m (x t )1 E, n 2 (x t ) d t, (12) 2 )m m!(n dx где оператор x 1 ddx g (x) действует следующим образом:

p p d d d x 1 g (x) = y 1 x 1 g (x), dx dx dx а m (t ) — интегральный оператор, определенный соотношени ем t m (t ) = m1 (t s)R(t )d t, m 1;

1 (t ) = R(t ).

Взяв суперпозицию частных решений (9), (12), получим решение задачи П в виде (13) u(x, y) = X n (x) sin n y.

n= Подставляя в (13) начальные условия (4), найдем c n sin n y = (y), n= откуда cn = (y) sin n y d y — коэффициенты разложения функ ции (y) в ряд Фурье по sin n y на [0, ].

Непосредственно можно проверить, что решение (13) при надлежит заданному классу в области D и удовлетворяет усло виям теоремы.

1. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. — М.: Высшая школа, 1985.

2. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и их приложения. — Минск: Высшая шк., 1987. — 688 с.

3. Нахушев А. М. Элементы дробного исчисления и их применение. — Наль чик: КБНЦ РАН, 2000.

Орловский государственный университет, г. Орл е beyond@front.ru УДК 519.633. А. А. Алиханов АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКОЙ 1. В прямоугольнике Q T = {(x, t ) : 0 T } рассмот x 1, 0 t рим первую краевую задачу u u = k (x, t ) q (x, t ) u (x 0 (t ), t ) + f (x, t ), (1.1) t x x 0 x 1, 0 t T ;

u (0, t ) = u (1, t ) = 0, 0 t T;

(1.2) u (x, 0) = u 0 (x), 0 x 1, (1.3) где k (x, t ) c 1 0, q c 2, x 0 (t ) C [0, T ], 0 x0 (t ) 1, 0 t T.

Предполагая существование решения задачи (1.1)–(1.3), ум ножим уравнение (1.1) скалярно на u:

(u t, u) (ku x )x, u + qu (x 0 (t ), t ), u = f, u. (1.4) Преобразуем интегралы, входящие в тождество (1.4):

1d (u t, u) = u 0, 2 dt 2 (ku x )x, u = ku x d x c1 u x 0, (1.5) 1 c u 2 (x 0 (t ), t ) + u (x 0 (t ), t ) qu d x u c 2 ux 0+ C () + u 0, 1 2 f,u f 0 + 1 u 0.

c Подставляя (1.5) в тождество (1.4) и выбирая = 2, нахо дим d 2 u 0+ ux M1 f 0+ u. (1.6) dt где M1 0 известная постоянная, зависящая от c 1, c2.

Проинтегрируем неравенство (1.6) по от 0 до t, затем при меним лемму 1.1 из [1]. Тогда получим априорную оценку 2 2 u 0+ ux M (t ) f + u 0 (x), (1.7) 2,Q T 2,Q T t 2 где u = u d, M (t ) 0.

2,Q T Из оценки (1.7) следует единственность и непрерывная за висимость решения задачи (1.1)–(1.3) от входных данных.

2. В прямоугольнике Q T = {(x, t ) : 0 x 1, 0 t T } рассмот рим первую краевую задачу u u u = k (x, t ) + r (x, t ) (x 0 (t ), t ) q (x, t ) u + f (x, t ), (2.1) t x x x 0 x 1, 0 t T ;

u (0, t ) = u (1, t ) = 0, 0 t T;

(2.2) u (x, 0) = u 0 (x), 0 x 1, (2.3) где k (x, t ) c 1 0;

|r |, q, q x, q xx, |k x |, |k xx | c 2 ;

x 0 (t ) C [0, T ], 0 x 0 (t ) 1, 0 t T.

Предполагая существование решения задачи (2.1)–(2.3), ум ножим уравнение (2.1) скалярно на u xx :

(u t, u xx ) + (ku x )x, u xx + (r u x (x 0 (t ), t ), u xx ) (2.4) qu, u xx = f, u xx.

Преобразуем интегралы, входящие в тождество (2.4):

1d (u t, u xx ) = ux 0, 2 dt 1 2 2 (ku x )x, u xx = ku xx d x + k x (1, t ) u x (1, t ) k x (0, t ) u x (0, t ) 11 k xx u x d x, 1 1 q x u 2 d x, quu xx d x = qu x d x + (2.5) 0 0 1 r 2 d x · u xx u x (x 0 (t ), t ) r u xx d x u x (x 0 (t ), t ) + 1 0 12 2 u (x 0 (t ), t ) + 1 c 2 u xx 0, 41 x 1 2 f, u xx f 0 + 1 u xx 0.

c Подставляя (2.5) в тождество (2.4) и выбирая 1 = 2(1+c 2 ), находим 1+c 2 d 2 2 2 ux 0 + c1 u xx c2 u x 0 + 2c 2 u0 + c 1 u x (x 0 (t ), t ) + dt (2.6) 1+c 2 2 2 + c1 f 0 + k x (0, t ) u x (0, t ) k x (1, t ) u x (1, t ).

Так как 1 ux 2, u 2 2 2 k x (0, t ) u x (0, t ) k x (1, t ) u x (1, t ) c 2 2 u xx 0 +C (2 ) ux, 2 u xx 2 + C (2 ) ux 2, u x (x 0 (t ), t ) 0 то из неравенства (2.6) получаем 1 + c d c1 2 2 ux 0+ u xx 1 u x 0+ f 0, (2.7) dt 2 c 1+c 2 c где 1 = 2c 2 + C (2 ) c2 +, 2.

0 = 1+c c1 2 c2 + c Проинтегрируем неравенство (2.7) по от 0 до t, затем при меним лемму 1.1 из [1]. Тогда получим априорную оценку 2 2 ux 0+ u xx M (t ) f + u 0 (x), (2.8) 2,Q T 2,Q T W2 (0, 1) t 2 где u = u 0 d, M (t ) 0.

2,Q T Из оценки (2.8) следует единственность и непрерывная за висимость решения задачи (2.1)–(2.3) от входных данных.

1. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. — М.: Нау ка, 1973. — 407 c.

Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова, г. Нальчик alikhanov-tom@yandex.ru УДК 521. Ф. Х. Алтынбаев ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АСТЕРОИДОВ ГРУПП АПОЛЛОНА, АМУРА, АТОНА ПО ЭКСЦЕНТРИСИТЕТУ, НАКЛОНЕНИЮ И БОЛЬШОЙ ПОЛУОСИ Исследование распределения численности астероидов (как функции элементов орбит) важно для понимания эволюцион ных процессов этих объектов, выделения родственных групп, имеющих характерные особенности в распределении и общий характер происхождения.

В данной работе на основании численного интегрирования дифференциальных уравнений движения небесной механики Работа выполнена при финансовой поддержке Федерального агентства по образованию (проект РНП.2.1.1.1689) было проведено исследование распределения 3330 астероидов, принадлежащих группам Аполлона, Амура, Атона, по значе ниям эксцентриситетов, наклонений и больших полуосей ор бит астероидов и проведено сопоставление с главным поясом.

Распределение количества астероидов по значениям экс центриситетов в общем виде для всех групп имеет характер, близкий к нормальному, в диапазоне от 0,0 до 1,0 (см. рис. 1–3).

В целом можно сделать вывод, что астероиды групп Аполлона, Амура, Атона в настоящее время движутся по значительно бо лее вытянутым орбитам по сравнению с астероидами главно го пояса, так как среднее значение эксцентриситетов каждой из групп значительно превосходит значения эксцентрисите тов астероидов главного пояса. Можно предположить, что из начально астероиды групп Аполлона, Амура, Атона принад лежали главному поясу, но в результате столкновительных процессов и возмущающего действия больших планет они из менили свои траектории. Также следует отметить, что в отли чие от астероидов главного пояса, движущихся в кольце меж ду Марсом и Юпитером, вытянутость орбит астероидов групп Аполлона, Амура, Атона позволяет им сближаться практиче ски со всеми внутренними планетами.

Если значение эксцентриситета астероидов имеет вполне определенный диапазон распределения, близкий к нормаль ному, то аналогичной картины для функции распределения числа астероидов в зависимости от наклонения орбит не на блюдается. Здесь наклонение основной части астероидов при нимает значение от 0 до 10 и затем идет плавный спад (см.

Рис. 1. Число асте- Рис. 2. Число астеро- Рис. 3. Число асте роидов группы Апол- идов группы Амура роидов группы Атона лона как функция как функция эксцен- как функция эксцен эксцентриситета триситета триситета Рис. 4. Число асте- Рис. 5. Число астеро- Рис. 6. Число асте роидов группы Апол- идов группы Амура роидов группы Атона лона как функция как функция накло- как функция накло наклонения орбиты нения орбиты нения орбиты рис. 4–6). Характер распределения астероидов по наклонению не имеет ярко выраженной статистической зависимости, но все же большая из них часть имеет относительно небольшие углы наклона. Так, 50% астероидов групп Аполлона, Амура и Атона имеют наклонение не более 15. В сравнении с глав ным поясом — наклонение менее 16 имеют 90% астероидов [1, 2]. Таким образом, отсутствие каких либо особенностей в распределении по наклонению астероидов групп Аполло на, Амура, Атона от наклонений астероидов главного пояса также указывает на возможную общность их происхождения.

Наличие астероидов с углами наклона более 30 можно объяс нить действием планетных возмущений, которое испытывают астероиды в процессе сближения с ними.

При рассмотрении распределения астероидов главного поя са по большой полуоси или среднесуточному движению, об ращают внимание на давно замеченную и ярко выраженную неравномерность — люки Кирквуда [3]. В основном эти обла сти соответствуют соизмеримостям периодов обращения асте роидов с периодом обращения Юпитера вокруг Солнца. Наи более глубокими провалами в распределении являются люки с соизмеримостью движения с Юпитером 1/3, 2/5 и 1/2. Есть и другие просветы.

В силу особенностей орбит, сближение астероидов Аполло на, Амура и Атона с большими планетами (Юпитер или даже Сатурн) возможно только вблизи афелиев орбит, что может произойти значительно реже. Поэтому нельзя не отметить, что для астероидов групп Аполлона, Амура и Атона ярко вы раженных люков не наблюдается. Совсем, конечно, говорить об их полном отсутствии нельзя, но, тем не менее, получен ная статистика не указывает на их ярко выраженное прояв ление. Исключением являются аполлонцы, у которых слабо просматриваются разреженные области. Это связано с тем, что они могут в афелиях орбит иметь сближения с планетами гигантами Юпитером и Сатурном. Также отметим, что преоб ладание больших полуосей, близких к 1,0 а. е. (см. рис. 7–9), можно объяснить эффектом наблюдательной селекции, т. е.

тем, что астероиды особенно мелкие, которых большинство, обнаруживаются современными средствами только в случае тесного их пролета вблизи Земли.

Рис. 7. Число асте- Рис. 8. Число астеро- Рис. 9. Число асте роидов группы Апол- идов группы Амура роидов группы Атона лона как функция как функция боль- как функция боль большой полуоси ор- шой полуоси орбиты шой полуоси орбиты биты Таким образом, на основании проведенных исследований распределения элементов орбит можно сделать следующее за ключение: несмотря на то, что орбиты астероидов групп Апол лона Амура Атона и главного пояса астероидов занимают раз личные области в фазовом пространстве, имеется много об щих черт в распределении их элементов орбит.

1. Демин В. Г., Журавлев С. Г. Астероиды: происхождение, статистика и эволюция // Итоги науки и техники. Сер. Астрономия. – Т. 15.

2. Чеботарев Г. А., Шор В. А. Структура пояса астероидов // Тр. ИТА, 1976. — Т. 15. — С. 60.

3. Маркеев А. П. О нессиметрии расположения люков Кирквуда в кольце астероидов // Докл. РАН, 2001. — Т. 377. — С. 335–339.

Самарский государственный технический университет, г. Самара УДК 517.518.1, 517.987. В. А. Алякин, Д. Э. Клепнв е О ПРОДОЛЖИМОСТИ СВОЙСТВА ТРАНСДИАГОНАЛЬНОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МЕР В настоящей работе найдены условия, при которых свойст во трансдиагональности последовательности мер продолжает ся с кольца на большее кольцо.

Пусть X — некоторое множество, R 2 X — кольцо его под множеств, R = (, +] и R+ = [0, +]. Всюду в работе рас сматриваются функции множества : R R, удовлетворяю щие условию () = 0.

Конечно-аддитивная функция множества называется ме рой.

Пусть P R — некоторый класс множеств.

Функция множества s(, P): R R+, s(, P)(E) = sup |(F )| : F P,F E, называется P-супремацией функции множества. R-супре мация функции называется супремацией и обозначает ся s().

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность функций множества {k }k называется сконденсированной на классе множеств P, если E R 0 n N F P : max s(k )(E F ).

1kn ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ([1–4])Последовательность функций множе ства {k }k называется трансдиагональной на классе множеств P, если для любой возрастающей последовательности номеров {p k }k и для любой последовательности множеств {E k }k P из условия k N : lim s(p k, P)(E m ) = m следует lim p k (E k ) = 0.

k ЛЕММА. Пусть P R — класс множеств, замкнутый от носительно конечных пересечений, — мера, сконденсиро ванная на классе P. Тогда E P : s(, P)(E) = s()(E ).

Доказательство. Легко видеть, что A, B R : |(A)| |(B )| + 2 s()(A B ).

Возьмем множество E P и произвольное 0. Рассмот рим произвольное множество F 1 R такое, что F 1 E. В силу сконденсированности меры на классе P существует такое множество F2 P, что s()(F 1 F2 ).

Положим F3 = E F 2. Тогда F3 P, F3 E и F1 F2.

F3 F Следовательно s()(F 1 s()(F F3 ) F2 ), откуда получаем |(F 1 )| |(F 3 )| +.

Таким образом, s(, P)(E) +, s()(E ) что в силу произвольности дает s(, P)(E).

s()(E ) Обратное неравенство тривиально.

ТЕОРЕМА. Пусть {k }k — последовательность мер, скон денсированная и трансдиагональная на классе P, замкну том относительно конечных пересечений. Тогда {k }k тран сдиагональна на кольце R.

Доказательство. Сначала докажем, что 0 0 n N E R :

max s(k )(E ) sup s(m )(E ).

1kn mN Предположим противное, тогда 0 0 n N E R m N :

max s(k )(E ) s(m )(E ).

1kn Возьмем такое 0 и положим k N : k =.

k + Положим p 0 = 1. Тогда найдутся номер p 1 и множество E R такие, что max s(k )(E 1 ) 1 s(p 1 )(E 1 ).

1 k p Поскольку 1, отсюда следует, что p 0 p 1.

Пусть n 1 и уже найдены номера p 0 p 1 · · · p n и мно жества E 1,..., E n R такие, что s(k )(E m ) m s(p m )(E m ) m {1,..., n} : max.

1 k p m Найдутся номер p n+1 и множество E n+1 R такие, что max s(k )(E n+1 ) n+1 s(p n+1 )(E n+1 ).

1 k pn Поскольку n+1, отсюда следует, что p n p n+1.

Таким образом, получаем построенные по индукции воз растающую последовательность номеров {p k }k и последователь ность множеств {E k }k R такие, что s(k )(E m ) m s(p m )(E m ) m N : max.

1 k p m Далее, в силу сконденсированности последовательности мер {k }k на классе P существует такая последовательность мно жеств {Fk }k P, что m N : max s( j )(E m F m ) m.

1 j pm Тогда получаем max s( j )(F m ) 2m s(p m )(F m ) m N : m.

1 j p m А поскольку k N E R : s(k )(E ) = s(k, R)(E), то max s( j, R)(F m ) 2m s(p m, R)(F m ) m N :, 1 j p m что противоречит тому, что последовательность {k }k является трансдиагональной на классе P.

Из доказанного, в силу сконденсированности последова тельности {k }k на классе P, сразу следует равномерная скон денсированность последовательности {k }k на классе P, то есть выполнение следующего условия:

0 E R D P k N : s(k )(D E ).

Наконец, из равномерной сконденсированности и транс диагональности последовательности {k }k на классе P сле дует трансдиагональность последовательности {k }k на коль це R. В самом деле, рассмотрим такие возрастающую после довательность номеров {p k }k и последовательность множеств {E k }k R, что (1) k N : lim s(p k )(E m ) = 0.

m В силу равномерной сконденсированности последователь ности {k }k на классе P имеем k N F k R : sup s(m )(E k Fk ), k mN откуда следует k N m N :

(2) s(m, P)(F k ) = s(m )(F k ) s(m )(E k ) + k ;

k N m N :

(3) 1 s(m )(E k ) s(m )(F k ) + k = s(m, P)(F k ) + k.

Из (1) и (2) следует k N : lim s(p k, P)(F m ) = 0, m откуда в силу трансдиагональности последовательности мер {k }k на классе P получаем lim s(p k, P)(F k ) = 0, k откуда в силу (3) следует lim s(p k )(E k ) = 0, k что и требовалось доказать.

1. Алякин В. А. Диагональные семейства функций множества и обобщен ная теорема Витали–Хана–Сакса–Никодима. 14 с. — Деп. в ВИНИТИ, № 1215-79.

2. Алякин В. А. Об одном свойстве семейства неаддитивных функций мно жества // В сб.: Функциональный анализ. — Ульяновск, 1979. — Вып. 13. — С. 39–48.

3. Алякин В. А. Некоторые вопросы теории многозначных и полугруппо вых мер: Дис.... канд. физ.-мат. наук / CГУ. — Саратов, 1982. 114 с.

4. Климкин В. М. Избранные главы теории меры. — Самара: Сам. ун-т, 2005. — 143 с.

Самарский государственный университет, г. Самара dekl@ssu.samara.ru УДК 517. С. Б. Амбарцумов, М. В. Булатов ВЫБОР ШАГА ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДЛЯ L-УСТОЙЧИВОЙ 1-СТАДИЙНОЙ СХЕМЫ 2-ГО ПОРЯДКА В работе рассмотрен метод численного решения задачи (1) x(t ) = f x(t ), t, x(0) = x 0, t [0, 1], где f x(t ), t — n-мерная вектор-функция.

Предполагается, что задача (1) имеет единственное реше ние на отрезке [0, 1], и входные данные обладают той глад костью, которая необходима для дальнейших рассуждений.

Работа поддержана грантом РФФИ, код проекта № 04–01– Будем рассматривать жсткие задачи, то есть такие, у ко е торых в решении имеются как плавно меняющиеся компонен ты, так и резко меняющиеся. Подобные задачи имеют важное прикладное значение, поскольку довольно часто встречаются в приложениях [2]. Для решения жстких задач используют, е как правило, неявные разностные методы.

В работе [1] для численного решения данных задач была предложена схема вида E + (E h J (x i, t i +1 ))2 x i +1 = x i + h f (x i, t i )+ + E h J (x i, t i +1 ) x i + h( f (x i, t i +1 ) J (x i, t i +1 )x i ), (2) где E — единичная матрица;

J (x, t ) — матрица Якоби;

h — шаг интегрирования.

Данная схема (2) имеет 2-й порядок точности и является L-устойчивой, то есть сочетает в себе преимущества неявно го метода Эйлера и метода трапеции и при этом не требует решения системы нелинейных алгебраических уравнений.

Важной задачей реализации разностных схем являет ся стратегия выбора шага интегрирования, так как это зна чительно повышает эффективность алгоритма. Проблема за ключается в том, что если задана точность 0, с которой требуется решать задачу (1), то на каждом шаге вычисления алгоритм должен обеспечить требуемую точность и при этом не привести к излишним вычислениям.

Хорошо известны стандартные стратегии выбора шага [2].

Эти стратегии разрабатываются с учетом специфики метода.

Например уравнение Ван-Дер-Поля [2], в решении которо го имеются участки с функцией, ведущей себя гладко, и участ ки с «очень быстрым» изменением функции. Если на глад ких участках можно выбирать шаг «достаточно большой», то в местах резкого изменения функции необходимо уменьшать шаг в миллионы раз. Если же всю задачу считать с малым ша гом на всм отрезке интегрирования, то это приведет к «боль е шим затратам».

На основе подходов, приведнных в [2], была предложе е на гибкая стратегия автоматического выбора шага схемы (2), учитывающая необходимость быстрого уменьшения или уве личения шага.

На ряде примеров был протестирован алгоритм (2) с при менением автоматического выбора шага и без, и было прове дено сравнение с некоторыми другими методами. Приведены численные расчеты.

1. Булатов М. В. О построении 1–стадийного L–устойчивого метода второ го порядка // Дифференц. уравнения, 2003. — Т. 39, № 4. — C. 554–556.

2. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных урав нений. Жсткие и дифференциально-алгебраические задачи. — М.: Мир, е 1999.

ИДСТУ СО РАН, г. Иркутск draig@mail.ru УДК 517. А. А. Андреев, С. В. Лексина РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ И ГУРСА ДЛЯ СИСТЕМЫ ПРОДОЛЬНО-КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ДЛИННОЙ ЕСТЕСТВЕННО ЗАКРУЧЕННОЙ НИТИ Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в част ных производных второго порядка (1) u t t Au xx = 0, которая является естественным обобщением волнового урав u 1 (x, t ) p нения, где u =, A= — постоянная матрица, u 2 (x, t ) q (A) — ее спектр, причем (A) = 2, 2 (0, +), 2 2.

11 1 Система (1) описывает продольно-крутильные колебания длинной естественно закрученной нити [1].

Известно [2], что характеристики системы (1) имеют вид x ± i t = C, i = 1, 2.

l l l l Пусть D k = (x, t ) : 2k + x 2 t 2k x 2, k = 1, 2, D 1 D 2.

Нетрудно получить общее решение системы (1):

u1 = 2( f 1 (x + 1 t ) + f 2 (x 1 t ))+ +(p q )( f 3 (x + 2 t ) + f 4 (x 2 t )), u2 = (q p + )( f 1 (x + 1 t )+ + f 2 (x 1 t )) + 2( f 3 (x + 2 t ) + f 4 (x 2 t )), где = Sp2 A 4 det A 0, det A 0, Sp A 0.

ЗАДАЧА 1 (ЗАДАЧА КОШИ). Найти функцию u(x, t ) в облас ти D 1, удовлетворяющую системе (1) в D 2, u(x, t ) C 2 (D 2 ) и начальным условиям 1 (x, t ) (2) u(x, 0) = (x) =, 0 x l, 2 (x, t ) 1 (x, t ) (3) u t (x, 0) = (x) =, 0 x l.

2 (x, t ) Заметим, что при p = q = 1, = запись общего решения совпадает с формулой, полу ченной в работе [4].

Специфика задачи Коши на отрезке [0, l ] состоит в том, что, в отличие от скалярно го случая, приходится требо вать, чтобы функция u(x, t ) C 2 (D 2 ) удовлетворяла систе ме уравнений (1) в более ши рокой области D 2.

На рисунке приведены об ласть существования (ромб Области существования, по коя и влияния задачи Коши AC 1 B H1 ) решения задачи Ко ши (1)–(3), когда 0 x l и «об ласть покоя» [3] — все остальное закрашенное множество. Об ласть влияния задачи Коши — незакрашенная область.

Используя общее решение, можно записать решение зада чи Коши для системы уравнений (1) в области D 1 :

u1 = 1 (x + 1 t ) + 1 (x 1 t ) + |T | q p + [2 (x + 1 t ) + 2 (x 1 t )]+ |T | p q + [1 (x + 2 t ) + 1 (x 2 t )]+ 2|T | p q + [2 (x + 2 t ) + 2 (x 2 t )]+ |T | x+1 t + 21 (z) + q p + 2 (z) d z+ 1 |T | x1 t x+2 t (p q ) + p q 1 (z) + 22 (z) d z, 22 |T | x2 t q p + u2 = [1 (x + 1 t ) + 1 (x 1 t )]+ |T | q p + + [2 (x + 1 t ) + 2 (x 1 t )]+ 2|T | p q + [1 (x + 2 t ) + 1 (x 2 t )]+ |T | + [2 (x + 2 t ) + 2 (x 2 t )]+ |T | x+1 t q p + + 21 (z) + q p + 2 (z) d z+ 21 |T | x1 t x+2 t + p q 1 (z) + 22 (z) d z, 2 |T | x2 t где |T | = 4 + q p +.

Для получения решения задачи Коши в области D 2, усло вий (2) и (3) недостаточно. Для этого требуется расширить промежуток задания функций k, k, k = 1, 2 до отрезка 2 l21, l + l21. Тогда решение задачи Коши в ромбе D 2 будет опреде l ляться теми же формулами, что и в D 1.

При постановке задачи Коши во всей плоскости, получаем решение в том же виде, что и для области D 1, где функции 1, 2, 1, 2 — заданы на всей числовой прямой.

Хорошо известно [2], что при постановке характеристиче ской задачи следует проявлять осторожность.

Рассмотрим систему (1), обозначив u = T w w = T 1 u, где p q — матрица перехода при диагона T= q p + лизации матрицы A, тогда система уравнений (1) примет вид w 1t t 2 w 1xx = 0, 1 (4) w 2t t 2 w 2xx = 0, ЗАДАЧА 2 (АНАЛОГ ЗАДАЧИ ГУРСА). Найти функцию u(x, t ) в области D 1, удовлетворяющую системе (1) в D 2, u(x, t ) C 2 (D 2 ) и на границе области D 1, удовлетворяющую усло виям 1 T A l 2, u = 2u 1 + (q p + )u 2 = |T | |T | x t= x 1 t= 1 = (w 1 )t = x = 1 (x), 0 x l, 1 T A l 2, u = 2u 1 + (q p + )u 2 = |T | |T | t = l x t = l x 1 = (w 1 )t = l x = 1 (x), 0 x l, а вне области — двум условиям 1 T A l 2, u = (p q )u 1 + 2u 2 = |T | |T | x t= x 2 t= 2 = (w 2 )t = x = 2 (x), 0 x l, 1 T A l 2, u = (p q )u 1 + 2u 2 = |T | |T | t = l x t = l x 2 = (w 2 )t = l x = 2 (x), 0 x l, T T T T где l 2, l 2, l 2, l 2 — собственные векторы матрица A T.

A A A A 1 1 2 Решение задачи Гурса в области D 1 имеет вид x + 1 t x 1 t + l l w 1 = 1 + 1 1.

2 2 Решение задачи Гурса в области D 2 имеет вид x + 2 t x 2 t + l l w 2 = 2 + 2 2.

2 2 Тогда можно записать решение задачи Гурса в ромбе D 1 для системы уравнений (1):

x+1 t x1 t +l u1 l = 2 1 + 1 1 2 + 2 + p q 2 x+2 t + 2 x2 t +l 2 l, q p + 1 x+1 t + 1 x2 t +l 1 u2 l = + +2 2 x+2 t + 2 x2 t +l 2 2.

l Условия в постановке задач 1, 2 являются достаточными.

1. Горошко О. Ф., Чиж А. А. К вопросу о продольно-крутильных колебани ях упругой естественно закрученной нити (каната) переменной длины с концевым грузом, движущимся по жестким направляющим. — В. кн.:

Стальные канаты, T. I. — Киев: Техника, 1964. — C. 56–61.

2. Бицадзе А. В. К теории систем уравнений с частными производными // Тр. мат. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова, 1953. — Т. 41. — С. 67–77.

3. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. — М.: Иностр.

лит., 1957. — 443 с.

4. Андреев А. А. О корректности краевых задач для некоторых уравнений в частных производных с карлемановским сдвигом // Дифференц. урав нения и их приложения: Тр. II международ. сем. — Самара, 1998. — С. 5–18.

Самарский государственный технический университет, Самарский государственный университет, г. Самара andre@ssu.samara.ru;

lesveta@rambler.ru УДК 517. А. А. Андреев, Е. Н. Огородников ПОСТАНОВКА И ОБОСНОВАНИЕ КОРРЕКТНОСТИ АНАЛОГА ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОДНОГО НЕЛОКАЛЬНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ C ВЫРОЖДЕНИЕМ ПОРЯДКА Понятие нелокального оператора и связанное с ним поня тие нелокального дифференциального уравнения появилось в математике сравнительно недавно. В соответствии с опреде лением, приведенным А. М. Нахушевым в его монографии [1], к числу нелокальных дифференциальных уравнений относят ся нагруженные уравнения, уравнения, содержащие дробные производные искомых функций, уравнения с отклоняющими ся, в частности с запаздывающими, аргументами;

иными сло вами такие уравнения, в которые неизвестная функция и ее производные входят, вообще говоря, при разных значениях аргументов. В целом, такие уравнения можно отнести к клас су функционально-дифференциальных уравнений.

Обыкновенные дифференциальные уравнения с отклоняю щимся аргументом, в том числе такие, в которых наряду с ис комой функцией u(t ) присутствует u((t )), где 2 (t ) ((t )) = = t — так называемый сдвиг Карлемана [2] или инволютив ное отклонение, по-видимому, являются наиболее изученны ми. Теория дифференциальных уравнений с частными произ водными, содержащих инволютивно преобразованные аргу менты, имеют недавнюю историю. Более подробную историю вопроса, а также библиографию можно найти в работах [3–7].

Под инволютивным преобразованием (отклонением, сдви гом) точек плоскости действительных переменных x, y пони мается гомеоморфизм области R2 на себя, ставящий в со ответствие любой точке P (x, y) точку Q((x, y);

(x, y)), причем ((x, y);

(x, y)) = x, ((x, y);

(x, y)) = y. Отметим, что класс инволютивных преобразований, отображающих ограни ченную область на себя, весьма узок. В качестве конкрет ного примера далее используем преобразование = 1 x, = y.


Рассмотрим при m 0 уравнение 2 u 2 u u y 2m+1 (1) y 2 b + u(1 x, y) = 0.

x 2 y y y u u Так как y u(1 x, y) = y (1 x, y), где под x (1 x, y) понимается u(x,y) частная производная x, вычисленная в точке Q(1 x;

y), то уравнение (1) можно записать следующим образом:

2 u 2 u u u y 2m+1 (2) y 2 b + (1 x, y) = 0.

x y y y Рассматривая дополнительно уравнение (2) в точке Q(1 x, y) и обозначая v(x, y) = u(1 x, y), для вектор-функции U (x, y) = (u;

v)T, получим систему дифференциальных уравне ний y 2m+1U xx yU y y BU y = 0 (3) b с матрицей B =.

b Уравнение (1) и систему уравнений (3) будем изучать в об ласти, ограниченной отрезком [0, 1] прямой y = 0 и характе 1 ристиками = 0 и = 1, где = x m+1 y m+1, = x + m+1 y m+1. В ха рактеристических координатах система уравнений (3) приво дится к ЭПД-системе частного вида ( )U G(U U ) = с матрицей G = 2(m+1) (B + mE ), спектр которой i + m (G) = i : i =, i (B ).

2(m + 1) Хорошо известно, что вырождение порядка вносит опреде ленный аспект в теорию уравнений и систем уравнений сме шанного типа, в частности, в вопрос корректной постановки задачи Коши [8] с данными на линии параболического вы рождения (4) u(x, 0) = (x), x [0, 1], u(x, y) (5) lim = (x), x (0, 1).

y y+ Задача с начальными условиями (4) и (5) на линии вырож дения может оказаться не разрешимой, в то время как задача с условием lim k(y)u y (x, y) = (x) вместо (5) при специальном вы y+ боре зависимости k = k(y) становится корректной. На примере уравнения (1) покажем, как это обстоятельство отражается на постановке задачи Коши для вырождающегося дифференци ального оператора второго порядка, возмущенного значениями первой производной искомой функции, вычисленной в инво лютивной точке.

В работе А. А. Андреева [9] для системы дифференциаль ных уравнений (3) найдены решения задачи Коши в области с условиями lim U (x, y) = (x) = (1 (x);

2 (x))T, (6) x [0, 1], y+ lim y B U y (x, y) = (x) = (1 (x);

2 (x))T, (7) x (0, 1), y+ где y B — степенная функция с матричным параметром [10], при различных предположениях относительно спектра (B ) матрицы B.

В случае, когда (G) 0, 2, а, следовательно, (B ) (m, 1), это решение может быть записано в виде GE t t2 U (x, y) = k(G) (s) d t + y E B k(E G) G t t2 + (s) d t, E B где s = x + m+1 y m+1 (2t 1), k(G) = B 1 (G, G) (2G)2 (G) — суть обратная матрица к матрице B (G, P ) = (G)(P )1 (G + P ) [11], а B (p, q) и (z) — бета- и гамма-функции соответственно [12].

При любых действительных значениях коэффициентов b и ( = 0) матрица B является матрицей простой структуры.

Ее собственные значения 1 = b + и 2 = b действительны и различны. Для этого случая в работе [9] решение задачи Коши (6), (7) получено в явном виде B 2 E 1 t t2 U (x, y) = k1 (s) d t + 1 y 11 B 1 E 2 (s) d t + + h1 t t 1 1 2 1 y 2 2 1 2 k 2 (s) d t, (8) t t (s) d t + h 2 t t 1 0 где ki = k(i ) = B 1 (i, i ), hi = h(i ) = k(1 i ), i = 1, 2.

Рассмотрим подробнее условие (7). Используя определе B 2 E B 1 E 1 ние функциональной матрицы y B = 1 2 y + 2 1 y в случае B 2 E B E 1 = 2 [10] и явный вид идемпотентов и 2 1, легко по 1 казать, что условие (7) равносильно двум инволютивно взаи мосвязанным условиям, а, именно, если 1 (x) = (x) — заданная функция, то 2 (x) = (1 x). Таким образом, в силу условия (7) одновременно существуют пределы lim y b+ u y (x, y) u y (1 x, y) + 2 y+ +y b u y (x, y) + u y (1 x, y) = (x), lim y b+ u y (x, y) + u y (1 x, y) + 2 y+ +y b u y (x, y) + u y (1 x, y) = (1 x), а, значит, будут существовать их сумма и разность:

lim y b u y (x, y) + u y (1 x, y) = (x) + (1 x), y+ (9) lim y b+ u y (x, y) u y (1 x, y) = (x) (1 x).

y+ Пусть (x)(1x) = µ1 (x), (x)+(1x) = µ2 (x). Вновь учиты вая, что u y (1 x, y) = u (1 x, y) = y u(1 x, y), условия (9) можно y перезаписать в виде lim y b+ y u(x, y) u(1 x, y) = µ1 (x), y+ (10) lim y b y u(x, y) + u(1 x, y) = µ2 (x), y+ x (0, 1). Выписывая первую компоненту вектора U (x, y) в фор муле (8), находим решение начальной задачи с условиями (4) и (10) для дифференциального уравнения (1) в следующем виде:

1 (s) (1 s) u(x, y) = k(1 ) dt+ 2 t t 1 y 11 µ1 (s) 1 (s) + (1 s) + +k(1 1 ) dt k(2 ) dt+ 1 1 1 t t2 t t 0 y µ2 (s) d t, (11) +k(1 2 ) 1 2 t t2 i +m k(i ) = B 1 (i, i ), где i = 2(m+1), i (m, 1), i = 1, 2;

s=x+ 1 m+ + m+1 y (2t 1).

ТЕОРЕМА. Пусть (x), µi (x) C [0, 1]C 2 (0, 1), i = 1, 2. Тогда ре гулярное в области решение уравнения (1) в классе функ ций u(x, y) C C 1 ( (0, 1)) C 2 (), удовлетворяющее на чальным условиям (4) и (10), при b, b + (m, 1) имеет вид (11). Задача корректна по Адамару.

Можно сделать следующий вывод. Корректность по Ада мару начальных задач для вырождающихся гиперболических операторов, возмущенных младшими производными искомой функции с инволютивно преобразованными аргументами, яв ляется прямым следствием корректности задачи Коши для соответствующих систем дифференциальных уравнений, к ко торым редуцируются данные нелокальные дифференциаль ные уравнения.

Заметим также, что при 0 решение (11) задачи с усло виями (4) и (10) переходит в известное решение задачи Коши для вырождающегося уравнения (1) при = 0 [8] с условием (4) и u lim y b = (x), x (0, 1), y y+ вместо условий (10).

1. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. — М.: Высш. шк., 1995. — 301 с.

2. Carleman T. Sur la theorie des equations integrales et ses applications // Verhandl. des internat. Mathem. Kongr. — Vol. I. — Z rich, 1932. — P. 138– u 151.

3. Андреев А.А. О корректности начальных задач для некоторых уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом // В сб.: Урав нения неклассического типа. — Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 1986. — С. 10–14.

4. Андреев А. А. О корректности краевых задач для некоторых уравнений в частных производных с карлемановским сдвигом // Дифференц. урав нения и их приложения: Тр. II международ. сем. — Самара: Сам. ун-т, 1998. — С. 5–18.

5. Андреев А. А., Огородников Е. Н. О корректности начальных краевых задач для одного гиперболического уравнения с вырождением порядка и инволютивным отклонением // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.:

Физ.-мат. науки, 2000. — Вып. 9. — С. 32–36.

6. Андреев А. А. Об аналогах классических краевых задач для одного диф ференциального уравнения второго порядка с отклоняющимся аргумен том // Дифференц. уравнения, 2004. — Т. 40, № 5. — С. 1126–1128.

7. Андреев А. А., Саушкин И. Н. Об аналоге задачи Трикоми для одного модельного уравнения с инволютивным отклонением в бесконечной об ласти // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки, 2005. — Вып. 34. — С. 10–16.

8. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных — М.: Наука, 1981. — 448 с.

9. Андреев А. А. Задача Коши для некоторых вырождающихся гиперболи ческих систем второго и четвертого порядков // В сб.: Дифференц. и интегр. уравнения. — Куйбышев: КГПИ, 1987. — С. 46–57.

10. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 576 с.

11. Андреев А. А., Огородников Е. Н. Матричные интегродифференциальные операторы и их применение // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ. мат. науки, 1999. — Вып. 7. — С. 27–37.

12. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: В 3 т. — М.:

Наука, 1973. — Т. 1: Гипергеометрическая функция. Функции Лежанд ра. — 296 с.

Самарский государственный университет, Самарский государственный технический университет, г. Самара andre@ssu.samara.ru УДК 517.929. А. А. Андреев, И. Н. Саушкин ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НЕЛОКАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, ПОРОЖДЕННОГО ОПЕРАТОРОМ ЛАВРЕНТЬЕВА–БИЦАДЗЕ Рассмотрим уравнение (1) u xx (x, y) + sgn yu y y (x, y) + u y y (2 x, y) = 0, 0 1.

Пусть Q = (x, y) : y x 2 + y, y 0, Q + = (x, y) : 0 x 2, y 0, a k = 1 (1)k, Q a2 Q a1 здесь и всюду далее k = 1, 2.

В области D = Q + Q a2 рассматривается следующая задача:

ЗАДАЧА T. Найти функцию u(x, y) C 1 (D)C (D), исчезающую при y, удовлетворяющую в D уравнению (1) при y = 0 и условиям u(0, y) = 1 (y), 0 y, u(2, y) = 2 (y), 0 y, u (x, a k x) (1)k u (2 x, a k x) = k (x), x 0,, 2 1 (0) = 2 (0) = 1 (0) = 2 (0).

ТЕОРЕМА. Если k (y) C (0, ), причем при y k (y) = = O y k, k 0, k (x) C (1,) 0,, то задача T корректна по Адамару.

Решение рассмотренной задачи сводится к решению син гулярного интегрального уравнения вида:

1 t t + () ctg ctg (t ) d t = g (), 4 2 решение которого было получено методом сингуляризации.

Самарский государственный технический университет, Самарский государственный университет, г. Самара andre@ssu.samara.ru;

insau@ssu.samara.ru УДК 517. Е. Ю. Арланова, О. А. Репин АНАЛОГ ВТОРОЙ ЗАДАЧИ ДАРБУ ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 1. Постановка задачи. Рассмотрим вырождающееся гипер болическое уравнение Lu = y 2 u xx u y y + au x = 0, (1) |a| 1, которое принято называть уравнением Бицадзе-Лыкова или уравнением влагопереноса [1, с. 234], в области D, ограни ченной интервалом J = (0, 1) и характеристиками AC = x, y :

y2 y 0, BC = 0 уравнения (1).

x = 0, y x, y : x + = 1, y 2 Введем следующие обозначения: 1 (x) — аффикс точки пе ресечения характеристики уравнения (1), выходящей из точки,, (x, 0) J, с характеристикой BC : 1 (x) = x+1, 1 x ;

I 0+ f (x),,, f (x) — операторы обобщенного дробного интегродиф I ференцирования, введенные в [2];

I 0+ f (x), I 1 f (x) — дроб ные интегралы, D 0+ f (x), D 1 f (x) — дробные производные Римана-Лиувилля [3, c. 41–44].

Для уравнения (1) исследуем следующую краевую задачу.

ЗАДАЧА. Найти функцию u x, y C D C 2 (D), удовлетворя ющую уравнению (1) в области D и краевым условиям a1 1, b1 + 1, c A 1 I 0+ u (t, 0) (x) + 2 a, b1, c (x J ), (2) + A 2 I 0+ u y (t, 0) (x) = 1 (x),, + 1 B 1 (1 x)+2+ 2 I 1 (1 t ) 2 u [1 (t )] (x) = + a+1,, a+ = B 2 I 1 u (t, 0) + 4 + a+3, 1, a+ (x J ), (3) + B 3 I 1 u y (t, 0) + 2 (x) 4 2 где A 1, 2, B 1, 2, 3, a 1, b1, c 1,, — ненулевые вещественные кон станты, которые удовлетворяют условиям:

1a 2 1+a B1 B 2 = 0, a1, b1 1, 4 (4) 4 1+a, a+1 a+ 4;

1 (x) и 2 (x) — известные функции, причм е 1 (x) H 1 J, 2 (x) H 2 J, (5) a 1 1 1 + a+1 1, 1.

2 Будем искать решение этой задачи в классе таких функций u(x, t ), что lim u y (x, y) = (x) H J, (6) 1.

y 2. Однозначная разрешимость задачи. Применим опера a 1, b1 + 1, c1 a 1, b 1 1, a 1 +c 1 тор I 0+ к обеим частям соотно = I 0+ 2 2 2 2 шения (2).

На основании формулы композиции [3, с. 327],,,, + +, +, I 0+ I 0+ f (x) = I 0+ f (x) ( 0) получим, 1, a 1 +c 1 1 a 1, b 1 1, a 1 +c 1 A 1 (x) + A 2 I 0+ (t ) (x) = I 0+ 1 (t ) (x) 2 2 2 2 2 или A2 1 1 a 1, b 1 1, a 1 +c 1 (7) (x) = I 0+ (t ) (x) + I 0+ 1 (t ) (x), 2 2 2 A1 A где A 1 = 0, (x) = u(x, 0), (x) = lim u y (x, y).

y Используя решение задачи Коши для уравнения (1) в обла сти D [1, с. 268], найдем u [1 (x)].

a+, 0, a+3 a+, 1, a+ (8) u [1 (x)] = k 1 I 1 (t ) (x) + k 2 I 1 (t ) (x), 4 4 4 2 где k1 = 1a, k2 = 3a.

4 Известно, что [3, с. 327],,,, x ++ I 0+ f (x) = I 0+ f (x) ( 0).

Совершенно аналогично доказывается соотношение,,,, (1 x)++ I 1 f (x) = I 1 f (x) ( 0).

Подставив (8) в краевое условие (3), с учетом последней формулы, а также [2],,,, +, +, I 1 I 1 f (x) = I 1 f (x) ( 0), получим + a+1,, a+ (B 1 k 1 B 2 ) I 1 (t ) (x)+ 4 + a+3, 1, a+ (t ) (x) = 2 (x). (9) + (B 1 k 2 B 3 ) I 1 4 2 Выразим (x) через (x) из соотношения (9). Для этого к + a+1, +, обеим частям равенства применим оператор I 1.

Получим B 1 k2 B 3 (x) = I 2 (t ) (x)+ B 1 k 1 B 2 1 + a+1, +, 2 (t ) (x), (10) + I 1 4 B 1 k1 B где B 1 k 1 B 2 = 0.

Из соотношений (7) и (10) вытекает равенство 1 (11) 1 I 0+ (t ) (x) 2 I 1 (t ) (x) = f 1 (x), 2 a 1, b 1 1, a 1 +c 1 2 = B 1 k2 B 3, f 1 (x) = A2 где 1 = A1, I 0+ 1 (t ) (x) 2 2 B 1 k 1 B 2 A + a+1, +, B 1 k1 B 2 I 1 2 (t ) (x).

4 Применяя к обеим частям (11) оператор D 0+ и учитывая соотношения [3] D I a+ f = f ( 0), a+ b sin() t a (t )d t D I b = cos()(x) +, a+ x a t x a получим интегральное уравнение 1 2 t (t )d t (12) 1 (x) + = D 0+ f 1 (t ) (x).

x t x 1 Произведя в (12) замену µ(x) = x 2 (x), f (x) = x 2 D 0+ f 1 (t ) (x), получим характеристическое сингулярное уравнение на ко нечном отрезке 2 µ(t )d t (13) 1 µ(x) + = f (x) (x J ).

t x Для выяснения гладкости правой части f (x) интегрального уравнения (13) нам потребуется две леммы из работы [4].

ЛЕММА 1. Пусть 0 1 и min[0, + 1]. Если (x),,,, H [J ], то I 0+ (x), I 1 (x) H min[+, ] (J ).

1 и 1. Если (x) H [J ], ЛЕММА 2. Пусть 0,,,, x I 0+ (x), (1 x) I 1 (x) H + (J ).

то 1 (x) H 1 (J ), 1 a 1, b 1 1, то на основании Так как леммы a 1, b 1 1, a 1 +c 1 1 1 (t ) (x) H 2 a1 +1 [J ]. (14) I 0+ 2 2 Аналогично, на основании условий 2 (x) H 2 (J ), 0 + a+ 2 1, + 0, т. к. min 0, + 1 = 0 при a+1, имеем 2 + a+1, +, 2 (t ) (x) H 3 [J ], (15) I 0+ 4 где 3 = min 2 a+1,. Объединяя (14) и (15), получим f 1 (x) H 0 [J ], где 0 = min 1 a 1 1, 3.

В силу леммы 1 f (x) = x 2 D 0+ f 1 (t ) (x) H 0 2 [J ].

Так как 2 + 2 = 0, то уравнение (13) является уравнени 1 ем нормального типа. Используя теорию сингулярных инте гральных уравнений [3], можно выписать единственное реше ние этого уравнения, откуда и будет следовать единственная разрешимость исследуемой задачи.

1. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. — М.: Наука, 1981. — 448 с.

2. Saigo M. //Math. Japan, 1979. — Vol. 27, No. 4. — P. 337–385.

3. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и тех ника, 1987. — 688 с.

4. Репин О. А. О разрешимости задачи с краевым условием на характери стиках для вырождающегося гиперболического уравнения // Диффе ренц. уравнения, 1998. — Т. 34, № 1. — С. 110–113.

5. Saigo M., Kilbas A. Transform Methods and Special Functions, Sofia-94, Singapore, 1995. — P. 282–293.

Самарский государственный технический университет, г. Самара kitten8@list.ru УДК 531. Ю. П. Артюхин, П. Г. Великанов ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ИЗГИБА ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ, ЛЕЖАЩЕЙ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ ТИПА ВИНКЛЕРА Рассматривается задача изгиба ортотропной пластины, ле жащей на упругом основании, подчиняющемся гипотезе Цим мермана-Винклера, в соответствии с которой интенсивность реакции основания пропорциональна прогибу с коэффициен том пропорциональности, называемым коэффициентом посте ли. В результате дифференциальное уравнение примет вид:

4 w 4 w 4 w q x, y + 21 2 2 + 2 4 + 4 w = (1), x x y y D где E 1 2 = E 2 1 ;

B i = E i h/ (1 1 2 ), D i = B i h 2 /12 (i = 1, 2);

D 12 = G 12 h ;

E2 B2 D = q 2 ;

1 = 2 + 2G 12 (11 2 ) ;

2 = q 2 ;

4 = k.

= = = l E1 B1 D1 E1 D Для получения фундаментального решения было исполь зовано двумерное интегральное преобразование Фурье, в ре зультате чего трансформанта фундаментального решения при нимает вид:

G, =.

4 + 2 2 2 + 4 + 2D 1 1 Далее рассматривается конкретный случай: 2 2 = 0 или, если обозначить µ2 = 1, то µ2 = 1. Используя формулу обраще ния двумерного преобразования Фурье, свойства интегралов от четных и нечетных функций, переход к мнимой части ин теграла и сведение интегралов к табличным, получим фунда ментальное решение в пространстве оригиналов в виде l2 x 2 1 + y (2) G x, y = kei0.

2D 1 1 l Укажем вышеописанные преобразования:

1 Cos x G x, y = 2 Im Cos y d d ;

D 1 2 2 + 2 + i 0 cos x 1 2 + e x d = ;

2 + 2 + 2 2 2 + 1 2 + e x cos y d = K 0 (r ) ;

2 + K 0 x i = ker0 (x) + i · kei0 (x).

Здесь K 0 (z) — модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка;

ker0 (x), kei0 (x) — модифицированные функции Томпсона-Кельвина второго рода нулевого порядка.

В изотропном случае при 1 = 1 соотношение (2) примет вид l2 r x 2 + y 2.

где r = G x, y = kei0, 2D 1 l Если сила приложена в точке,, то в правых частях формул нужно x и y заменить соответственно на x и y.

Получим выражение фундаментального решения при пе реходе от ортогональных гауссовых координат и к декар товым координатам с коэффициентом пропорциональности, зависящим от отношения модулей упругости Юнга. Примем следующую систему координат: = x, = y. Тогда диффе ренциальное уравнение (1) запишется в виде 4 w 4 w 4 w + 4 w = q x, y, + 2 1 µ + µ + 4 2 y 2 x x y D k E h E1 1 1 2 ;

4 = 4 = где E = E1E2;

= 2,,, = D= = 12(12 ) l E2 D E 2G 12 (1+) µ=.

E Обозначим 1 µ + µ = s. Учитывая свойство обобщенной функции Дирака x, y = x, y и используя вышеописанную процедуру для получения фун даментального решения, получим выражение для трансфор манты:

G, =.

4 + 2s2 2 + 4 + 2D Рассмотрим несколько случаев:

1. Пусть s = 1. Такое возможно лишь в трх случаях: ко е гда имеет место изотропия;

когда коэффициенты Пуассона обратно пропорциональны 1 = 2 и когда для модуля сдви E1E га справедливо соотношение G 12 = 12(112 2 ) («гипотетический»

модуль сдвига). Для всех этих случаев фундаментальное ре шение имеет вид, по форме совпадающий с фундаментальным решением для задачи изгиба изотропной пластины на винкле ровском основании, рассмотренным ранее:

l 2 r G x, y = kei0.

2D l 2. Пусть s = 1. Для общего случая рассмотрена процеду ра вычисления фундаментального решения путем перехода к полярной системе координат в пространстве трансформант и оригиналов [3]. С учтом разложения Якоби было выполне е но приведение интеграла к табличному, который равен спе циальной функции. Дальнейшее упрощение связано с исполь зование так называемой «теоремы умножения», позволяющей представить специальную функцию в виде разложения по функциям, зависящим только от одной из переменных.

1. Артюхин Ю. П., Грибов А. П. Решение задач нелинейного деформиро вания пластин и пологих оболочек методом граничных элементов. — Казань: Фэн, 2002. — 199 с.

2. Гурьянов Н. Г., Тюленева О. Н. Ортотропные пластины и пологие обо лочки. Теория, методы решения краевых задач. — Казань: КГУ, 2002. — 112 с.

3. Шевченко В. П. Интегральные преобразования в теории пластин и обо лочек. — Донецк: Донец. гос. ун-т, 1977. — 115 с.

Казанский государственный университет им. В. И. Ульянова-Ленина, г. Казань УДК 517. А. Х. Аттаев НАГРУЖЕННОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ С ГРАНИЧНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ НА ДВУХ КОНЦАХ Будем обозначать символом Q T прямоугольник Q T = [0 x l ] [0 t T ].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Будем говорить, что функция двух перемен ных u (x, t ) принадлежит классу W2 (Q T ), если сама u (x, t ) и е е частные производные первого порядка непрерывны в замкну том прямоугольнике Q T и если у этой функции существуют все обобщнные частные производные второго порядка, каж е дая из которых принадлежит классу L 2 [0 x l ] при любом t из сегмента 0 t T и принадлежит классу L 2 [0 t T ] при любом x из сегмента 0 x l.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Будем говорить, что функция одной пе ременной µ (t ) принадлежит классу W 2 [0, T ] (соответственно, классу W 2 [0, T ]), если эта функция принадлежит классу W2 [0, T ] и, кроме того, удовлетворяет условиям µ (0) = 0, µ (0) = 0, µ (t ) 0 при t 0 (соответственно удовлетворяет условиям, µ (T ) = 0, µ (t ) 0 при t T ).

Из определения 2 следует, что функция µ (t ), принадле жащая классу W 2 [0, T ], принадлежит классу W2 [A, T ] при любом A 0, а функция µ (t ), принадлежащая классу W 2 [0, T ], принадлежит классу W2 [0, A] при любом A T.

Рассмотрим следующие три задачи для нагруженного вол нового уравнения T в QT.

u t t u xx = u (x, ), = x, l СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА I.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
 

Похожие работы:





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.