авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

Четвертая Международная научная конференция «ССПС – 2011»

Раздел II. Нелинейная динамика и системный синтез

А.А. Колесников1, Я.Е. Ромм2,

С.Г. Буланов2

1

ТТИ ЮФУ, г. Таганрог, anatoly.kolesnikov@gmail.com

2

ГОУ ВПО «Таганрогский государственный педагогический институт»,

romm@list.ru, bulanovtgpi@mail.ru

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ МЕРКУРИЯ

НА ОСНОВЕ КЛАССИЧЕСКОГО И СИНЕРГЕТИЧЕСКОГО ЗАКОНОВ ТЯГОТЕНИЯ В небесной механике издавна существует фундаментальная проблема устой чивости Солнечной системы. Эта проблема до настоящего времени в должной ме ре еще не решена и, следовательно, требует своего дальнейшего исследования и развития.

1. Анализ устойчивости движения Меркурия на основе закона тяготения И. Ньютона. Модель системы Солнце – Меркурий рассматривается в полярных координатах в форме, эквивалентной движению планеты по классическому закону всемирного тяготения [1–5]:

dr dt = Vr, dVr h 2 h = 3 (1), pr dt r d h =, dt r где r (t ) – радиус-вектор, (t ) – угол между радиусом-вектором и осью OX аб солютной декартовой системы координат с центром в центре полярной системы, Vr (t ) – радиальная проекция вектора скорости, p, h – постоянные параметры орбиты (рис. 1).

Рис. 1. Кеплерова схема взаимодействия Солнца S и планеты P Система (1) непосредственно следует из законов Кеплера 1 = r (1 + e cos ) p, 2 = r 2 ( t ) h = r V h, дополненных динамическим инвариантом [1–5] 1 ( t ) = pr 1r ( t ) e r ( t ) sin = pVr r 1 eV sin, Раздел II. Нелинейная динамика и системный синтез на основе которых, как показано в [1–5], можно получить все известные за кономерности классической теории гравитационного взаимодействия двух тел.

Ставится следующая задача. С помощью схем [6] компьютерного анализа устойчивости по Ляпунову [7] проанализировать модель (1) на предмет устойчи вости движения Меркурия.

Анализ выполняется на основе следующего метода [6]. Для системы dY = F ( t, Y ), dt (2) Y ( t 0 ) = Y предполагаются выполненными все условия существования и единственности ре шения на полуоси [ t 0, ). Эти же условия предполагаются выполненными для возмущенных решений с диапазоном начального возмущения ~ Y0 Y0 0, 0 0.

Предполагаются также выполненными дополнительные ограничения общего вида относительно функции F ( t, Y ), которые подробно представлены в [6]. При условии их выполнения для устойчивости решения задачи (2) необходимо и доста точно существование 1, 0 1 0, такого, что для всех решений Y = Y (t ), ~ ~ Y ( t 0 ) = Y0 при ограничении 0 Y0 Y0 1 выполняется неравенство [6] ~ (t ) y (t ) yk c, c = const, t [ t 0, ), k = 1,..., n.



~~ k (3) ~ y yk 0 k Для асимптотической устойчивости в тех же условиях необходимо и доста точно, чтобы выполнялось предыдущее утверждение и существовало 2 1, ~ такое, что неравенство 0 Y0 Y0 2 влечет [6] ~ (t ) y (t ) yk = 0, k = 1,..., n.

k (4) lim ~ y t yk 0 k Соотношения (3), (4) на практике [6] позволяют определить характер устой чивости, асимптотической устойчивости либо неустойчивости систем обыкновен ных дифференциальных уравнений вида (2) без представления решения в аналити ческой форме, непосредственно по значениям разностных приближений. Разност ные приближения решений в левой части соотношений (3), (4) вычисляются про граммно в виде цикла по разностным шагам, по поведению значения выражения в соответствии с (3), (4) делается вывод о характере устойчивости исследуемой си стемы. Ниже данная схема применяется к (1).

Моделирование решения системы (1) и анализ устойчивости, как и в [1], вы полняется на промежутке [ 0 ;

18 10 9 ] при начальных условиях r ( 0 ) = r0, Vr ( 0 ) = V0, ( 0 ) = 0, (5) при этом для (1) задаются значения [1–5]:

p = 5,786 107 км, e = 0,2056, h = 2,771109 км 2 /сек, p eh r0 = км, V0 = = 9,84 км/сек.

1+ e p Четвертая Международная научная конференция «ССПС – 2011»

Согласно эксперименту [7–9] для достоверности анализа на основе (3), (4) шаг численного интегрирования необходимо выбирать порядка 10 8 10 6 [6] или меньше. Это требует значительных временных затрат при моделировании на про межутке [ 0 ;

18 10 9 ]. Выбор величины шага порядка 1100 позволяет выполнить анализ устойчивости и найти приближенное решение системы в допустимый отре зок времени, но при этом может недопустимо расти погрешность. С целью сведе ния погрешности разностного решения к искомому минимуму система (1) мас штабируется. Вводятся новые переменные Vr r t R1 =, V1 =, 1 =, t1 =, (6) max r max Vr max T где rmax, Vr max, max – максимальные значения переменных r, Vr, из (1), T = 1810 9.

Выражая из (6) переменные r, V r, и подставляя их в (1), получим сле дующую систему dR 1 Vr max T = V1, dt1 rmax dV 1 h2 T h2 T =3, (7) dt1 rmax Vr max R13 p rmax Vr max R d hT 1=.

dt1 max rmax R 2 Переменные R 1, V1, 1 из (7) принимают значения, заключенные между нулем и единицей. Значения rmax, Vr max, max находятся как оценка сверху из приближе ния решения на промежутке [ 0 ;

18 10 9 ].

Результаты численного моделирования решения (7) при соответственно пре образованных начальных условиях r0 V R1 ( 0 ) =, V1 ( 0 ) =, 1 (0) = (8) max rmax Vr max иллюстрируются на рис. 2–4.

Рис. 2. Изменение радиуса R1 ( t ) Рис. 3. Изменения скорости V1 ( t ) из из системы (7) системы (7) Раздел II. Нелинейная динамика и системный синтез Рис. 4. Фазовый портрет движения Меркурия, описываемого системой (7) Ниже представлена программа, на основе которой выполняется анализ устойчивости системы (7) по условиям (3), (4).





program stability;

{$APPTYPE CONSOLE} uses SysUtils;

const n=2;

t0=0;

t_end=1;

TT=18000000000;

h=5*0.000000001;

eps1=0.001;

eps2=0.001;

var p, e, h0 : extended;

t, norma, y1, y2, y11, yv1, yv2, yv11 : extended;

k : longint;

delta : array[1..n] of extended;

yv : array[1..n] of extended;

rmax, vrmax, r0, v0, y01, y02, yv01, yv02 : extended;

function f1(t,y1,y2:extended):extended;

begin f1:=(vrmax*TT/rmax)*y2;

end;

function f2(t,y1,y2:extended):extended;

begin f2:=(sqr(h0)*TT/(rmax*y1*sqr(rmax*y1)*vrmax)) (sqr(h0)*TT/(p*vrmax*sqr(rmax*y1)));

end;

procedure max(var rmax, vrmax : extended);

const h1=100;

n=2;

t0=0;

TT=18000000000;

var p, e, h0, r0, v0, t, y1, y2, y3, y11, y22 : extended;

function f1(t,y1,y2:extended):extended;

begin f1:=y2;

end;

function f2(t,y1,y2:extended):extended;

begin f2:=sqr(h0)*(p-y1)/(p*y1*sqr(y1));

end;

begin p:=5.786E7;

e:=0.2056;

h0:=2.771E9;

r0:=p/(1+e);

v0:=(e*h0)/p;

{ 1a } y01:=r0;

y02:=v0;

{ 1б } { y01:=r0;

y02:=0.5*v0;

} { 1с } { y01:=r0;

y02:=0.75*v0;

} { 1д } { y01:=r0;

y02:=5*v0;

} t:=t0;

k:=0;

y1:=y01;

y2:=y02;

rmax:=abs(y1);

vrmax:=abs(y2);

repeat y11:=y1;

y1:=y1+h1*f1(t,y1,y2);

y2:=y2+h1*f2(t,y11,y2);

if abs(y1)rmax then rmax:=abs(y1);

Четвертая Международная научная конференция «ССПС – 2011»

if abs(y2)vrmax then vrmax:=abs(y2);

t:=t+h1;

until t=TT;

end;

begin max(rmax,vrmax);

p:=5.786E7;

e:=0.2056;

h0:=2.771E9;

r0:=p/(1+e);

v0:=(e*h0)/p;

{ 1a } y01:=r0/rmax;

y02:=v0/vrmax;

{ 1б } { y01:=r0/rmax;

y02:=0.5*v0/vrmax;

} { 1с } { y01:=r0/rmax;

y02:=0.75*v0/vrmax;

} { 1д } { y01:=r0/rmax;

y02:=5*v0/vrmax;

} yv01:=y01+eps1;

yv02:=y02+eps2;

t:=t0;

k:=0;

y1:=y01;

y2:=y02;

yv1:=yv01;

yv2:=yv02;

delta[1]:=yv01-y01;

delta[2]:=yv02-y02;

repeat y11:=y1;

y1:=y1+h*f1(t,y1,y2);

y2:=y2+h*f2(t,y11,y2);

yv11:=yv1;

yv1:=yv1+h*f1(t,yv1,yv2);

yv2:=yv2+h*f2(t,yv11,yv2);

yv[1]:=yv1-y1;

yv[2]:=yv2-y2;

if ( abs( yv[1]/delta[1] )=abs(yv[2]/delta[2]) ) then norma:=abs(yv[1]/delta[1]);

if ( abs(yv[2]/delta[2])=abs(yv[1]/delta[1]) ) then norma:=abs(yv[2]/delta[2]);

k:=k+1;

if k=1000000 then begin writeln('t=',t:4:2,' ','norma=',norma);

k:=0;

end;

t:=t+h;

until t=t_end;

readln;

end.

Результаты численного моделирования представлены в табл. 1. Во втором столбце таблицы значения векторной нормы компонент из (3), (4) соответствуют значениям t [ 0 ;

1 ] с шагом 0.2, промежуточные значения опускаются по при чине большего объема данных.

Таблица Результаты численного моделирования системы (1) ~ Приближение к max y k ( t ) y k ( t ) по шагам разностной схемы Начальное ~ y возмущение y 1 k n k0 k t=0.2 norma= 7.9795E+0002 t=0.4 norma= 1.5948E+ =5 t=0.6 norma= 2.3917E+0003 t=0.8 norma= 3.1885E+ t=1 norma= 3.9854E+ t=0.2 norma= 7.7611E+0002 t=0.4 norma= 1.5500E+ =2 t=0.6 norma= 2.3237E+0003 t=0.8 norma= 3.0975E+ t=1 norma= 3.8710E+ t=0.2 norma= 6.7367E+0002 t=0.4 norma= 1.3428E+ t=0.6 norma= 2.0115E+0003 t=0.8 norma= 2.6802E+ = 1, 5 t=1 norma= 3.3487E+ t=0.2 norma= 4.4216E+0002 t=0.4 norma= 8.7070E+ = 1, 2 t=0.6 norma= 1.2980E+0003 t=0.8 norma= 1.7250E+ t=1 norma= 2.1515E+ t=0.2 norma= 1.0346E+0001 t=0.4 norma= 5.2782E+ =1 t=0.6 norma= 7.5937E+0000 t=0.8 norma= 8.5065E+ t=1 norma= 9.2409E+ Раздел II. Нелинейная динамика и системный синтез Окончание табл. ~ (t ) y (t ) Начальное yk Приближение к max по шагам разностной схемы k ~ y возмущение yk 1 k n k t=0.2 norma= 1.9530E+0000 t=0.4 norma= 8.2916E+ = 0, 1 t=0.6 norma= 1.2401E+0001 t=0.8 norma= 1.2508E+ t=1 norma= 5.0744E+ t=0.2 norma= 1.2854E+0003 t=0.4 norma= 4.2712E+ = 0, 001 t=0.6 norma= 1.3500E+0003 t=0.8 norma= 6.1438E+ t=1 norma= 1.4014E+ Согласно данным табл. 1, в соответствии с (3), (4), при возмущении началь ных данных 1,2 решение системы (1) неустойчиво.

При возмущении из диапазона 1,03 решение системы (1) устойчиво, но не асимптотически (согласно уточненным данным, не вошедшим в табл. 1).

В границах возмущений 1,03, несмотря на наличие устойчивости, ради ус R 1 ( t ) и скорость V 1 ( t ) начинают нарастать (рис. 2–4) более быстро, чем это соответствует результатам длительных астрономических наблюдений.

Определенное объяснение этому удивительному факту можно дать, исходя из свойств системы гравитационного взаимодействия (10) с законом тяготения И. Нью тона. Дело в том, что (10) – это консервативная система, а такие системы, как из вестно, не обладают притягивающими многообразиями, и их поведение полностью определяется начальными условиями. Отсюда следует весьма удивительный вывод:

закон тяготения И. Ньютона притягивающими свойствами не обладает [1–5].

Тогда совокупность данных результатов моделирования можно первоначаль но интерпретировать как проблему уточнения классического закона тяготения И. Ньютона, который оказывается, не обеспечивает соответствующей устойчиво сти орбитального движения планет, в частности Меркурия, что противоречит мно говековым экспериментальным наблюдениям.

2. Анализ устойчивости движения Меркурия на основе синергетического закона тяготения. В работах А.А. Колесникова [1–5] предложен новый, синерге тический закон тяготения, отличающийся от закона И. Ньютона введением допол нительных динамических составляющих, которые обнуляются при выходе плане ты на кеплеровскую орбиту движения. При синтезе синергетического закона тяго тения модель системы Меркурий-Солнце записывается в следующем виде:

r ( t ) = Vr, 2 Vr ( t ) = V r + U r, (9) ( t ) = V r, V ( t ) = V V r 1 + U, r где U r (t ), U ( t ) – синергетические составляющие системного закона тяготе ния, определяется соотношениями [1–5]:

( 2 + h) ( r 1 ( t ) + e 2 sin ), U = 2 F.

F U r = (10) p pr r Четвертая Международная научная конференция «ССПС – 2011»

В качестве функции F может быть выбрана [3–5] одна из следующих функ h k Vr h, F = 2, F = 2. Исследование выполнено для всех трех функ ций F = r p p ций F [5]. Непосредственно ниже его результаты представлены для функции h F= в двух случаях:

r 1 ( t ) 0, 2 ( t ) = 0.

1) 1 ( t ) 0, 2 ( t ) 0.

2) В первом случае можно опустить четвертое уравнение системы (9), посколь ку при 2 ( t ) = 0 и V ( 0 ) = 0 выполняется V ( t ) = 0 для t из промежутка h исследования. Выполняя в (9) замену V =, а также масштабирование, получим r систему dR1 Vr max T = V1, dt1 rmax dV e h 2 T sin ( max 1 ) (11) 1 h2 T h2 T hT V =3 2 12 +, rmax Vr max R13 p rmax Vr max R12 rmax R p Vr max rmax R dt d hT =.

max rmax R 2 dt Устойчивость решения системы (11) анализировалась по той же программе, что и система (1). Результаты отображены на рис. 5 и в табл. 2.

Рис. 5. Фазовый портрет движения Меркурия, описываемого системой (11) Раздел II. Нелинейная динамика и системный синтез Таблица Результаты численного моделирования системы (11) ~ Приближение к max y k ( t ) y k ( t ) Начальное ~ y 1 k n yk возмущение k по шагам разностной схемы t=0.2 norma= 9.0186E+0000 t=0.4 norma= 1.6674E+ =5 t=0.6 norma= 2.4266E+0001 t=0.8 norma= 3.1753E+ t=1 norma= 3.9330E+ t=0.2 norma= 9.1984E-0001 t=0.4 norma= 9.1981E- =2 t=0.6 norma= 9.1953E-0001 t=0.8 norma= 9.19915E- t=1 norma= 9.1941E- t=0.2 norma= 9.5087E-0001 t=0.4 norma= 9.5272E- t=0.6 norma= 1.2476E+0000 t=0.8 norma= 9.5275E- = 1, 5 t=1 norma= 9.5075E- t=0.2 norma= 1.3359E+0000 t=0.4 norma= 1.4467E+ = 1, 2 t=0.6 norma= 1.3702E+0000 t=0.8 norma= 9.6077E- t=1 norma= 9.59910E- t=0.2 norma= 9.6994E-0001 t=0.4 norma= 9.7082E- =1 t=0.6 norma= 1.2512E+0000 t=0.8 norma= 9.7117E- t=1 norma= 9.6842E- t=0.2 norma= 2.1146E+0000 t=0.4 norma= 8.0500E+ = 0, 1 t=0.6 norma= 1.5827E+0001 t=0.8 norma= 8.8363E+ t=1 norma= 5.3895E+ t=0.2 norma= 1.3313E+0002 t=0.4 norma= 7.3446E+ = 0, 001 t=0.6 norma= 3.8243E+0001 t=0.8 norma= 1.4858E+ t=1 norma= 3.4046E+ Согласно данным табл. 2, в соответствии с (3), (4), при возмущении началь ных данных 5 решение системы (11) становится неустойчивым. При возму щении из диапазона 2,25 решение системы (11) устойчиво, но не асимптоти чески (с учетом уточненных данных, не вошедших в табл. 2).

V, при Во втором случае в дополнении к (8) вводится переменная V2 = V max начальном условии V (0) = 0. После масштабирования система (9) преобразуется к виду dR 1 Vr max T = V1, dt1 rmax dV V 2 T V22 V max T V22 h T V1 e h 2 T sin ( max 1 ) T 1 = max 2 +, rmax R12 p Vr max rmax R dt1 rmax Vr max R 1 p Vr max (12) d1 V max T V =, dt1 max r max R dV2 h2 T Vr max T V1 V2 h T V = 2 +.

rmax R12 rmax V max R dt r max R Четвертая Международная научная конференция «ССПС – 2011»

Устойчивость решения системы (12) анализировалась по той же программе, результаты отображены на рис. 6 и в табл. 3.

Рис. 6. Фазовый портрет движения Меркурия, описываемого системой (12) Таблица Результаты численного моделирования системы (12) ~ (t ) y (t ) yk Приближение к max k Начальное ~ y 1 k n yk возмущение k по шагам разностной схемы t=0.2 norma= 1.0237E+0000 t=0.4 norma= 1.0237E+ =5 t=0.6 norma= 1.0242E+0000 t=0.8 norma= 1.0236E+ t=1 norma= 1.0242E+ t=0.2 norma= 1.0102E+0000 t=0.4 norma= 1.0112E+ =2 t=0.6 norma= 1.0119E+0000 t=0.8 norma= 1.0100E+ t=1 norma= 1.0130E+ t=0.2 norma= 1.2942E+0000 t=0.4 norma= 1.0113E+ t=0.6 norma= 1.0087E+0000 t=0.8 norma= 1.0099E+ = 1, 5 t=1 norma= 1.0109E+ t=0.2 norma= 1.5853E+0000 t=0.4 norma= 1.1406E+ = 1, 2 t=0.6 norma= 1.0097E+0000 t=0.8 norma= 1.0093E+ t=1 norma= 1.2324E+ t=0.2 norma= 1.0092E+0000 t=0.4 norma= 1.0087E+ =1 t=0.6 norma= 1.0107E+0000 t=0.8 norma= 1.0085E+ t=1 norma= 1.0101E+ t=0.2 norma= 1.0091E+0001 t=0.4 norma= 7.8337E+ = 0, 1 t=0.6 norma= 1.0297E+0001 t=0.8 norma= 5.9879E+ t=1 norma= 4.5622E+ t=0.2 norma= 8.6851E+0000 t=0.4 norma= 3.1086E+ = 0, 001 t=0.6 norma= 7.4833E+0001 t=0.8 norma= 3.15597E+ t=1 norma= 9.0552E+ Согласно данным табл. 3, в соответствии с (3), (4), при возмущении началь ных данных 5 решение системы (12) устойчиво, но не асимптотически.

Раздел II. Нелинейная динамика и системный синтез Помимо рассмотренного моделирования устойчивости системы (12) с начальными условиями (8) ее устойчивость моделировалась при следующих начальных условиях, заимствованных из [3–5]:

0, r0 5V0 V R1 ( 0 ) =, V1 ( 0 ) =, 1 (0) = V2 ( 0 ) =. (13) max rmax Vr max V max В этих случаях при 4, 8 решение системы (12) устойчиво, но не асимпто тически (с учетом уточненных данных, не вошедших в табл. 4).

Фазовый портрет движения планеты свидетельствуют о том, что планета не сходит с орбиты, что отображается на рис. 7 при моделировании системы (12).

Рис. 7. Фазовый портрет движения Меркурия, описываемого системой (12) при начальных условиях (13) Таблица Результаты численного моделирования системы (12) при начальных условиях (13) ~ (t ) y (t ) yk k Начальное Приближение к max ~ y 1 k n yk возмущение k по шагам разностной схемы t=0.2 norma= 5.0367E+0000 t=0.4 norma= 3.4626E+ =5 t=0.6 norma= 1.6132E+0001 t=0.8 norma= 2.3143E+ t=1 norma= 2.6606E+ t=0.2 norma= 1.0339E+0000 t=0.4 norma= 1.0346E+ =2 t=0.6 norma= 1.0336E+0000 t=0.8 norma= 1.0350E+ t=1 norma= 1.0337E+ t=0.2 norma= 1.0362E+0000 t=0.4 norma= 1.0352E+ t=0.6 norma= 1.0363E+0000 t=0.8 norma= 1.0357E+ = 1, 5 t=1 norma= 1.0360E+ t=0.2 norma= 1.0276E+0000 t=0.4 norma= 1.0238E+ = 1, 2 t=0.6 norma= 1.0244E+0000 t=0.8 norma= 1.0272E+ t=1 norma= 1.0221E+ t=0.2 norma= 1.0155E+0000 t=0.4 norma= 1.0122E+ =1 t=0.6 norma= 1.0155E+0000 t=0.8 norma= 1.0140E+ t=1 norma= 1.0144E+ Четвертая Международная научная конференция «ССПС – 2011»

Окончание табл. ~ (t ) y (t ) yk k Приближение к max Начальное ~ y 1 k n yk возмущение k по шагам разностной схемы t=0.2 norma= 2.0584E+0000 t=0.4 norma= 3.2097E+ = 0, 1 t=0.6 norma= 1.7366E+0000 t=0.8 norma= 2.2015E+ t=1 norma= 2.5024E+ t=0.2 norma= 2.6830E+0002 t=0.4 norma= 2.9827E+ = 0, 001 t=0.6 norma= 2.1265E+0002 t=0.8 norma= 2.4326E+ t=1 norma= 2.5133E+ Совокупность представленных результатов моделирования можно первона чально интерпретировать как существование сил, дополняющих закон всемирного тяготения И. Ньютона При наличии рассмотренных дополнительных сил (10) диапазон допустимых возмущений на систему Меркурий-Солнце расширяется следующим образом:

при отсутствии указанных сил система, моделирующая движение Мерку рия согласно классическому закону всемирного тяготения, устойчива при возмущениях в диапазоне 1,03 ;

в случае учета сил (10) при 1 ( t ) 0, 2 ( t ) = 0 граница диапазона воз мущений, при которых сохраняется устойчивость, удовлетворяет неравен ству 2,25 ;

максимальная граница диапазона возмущений 5 с сохранением устой чивости достигается при учете сил (10) с условием 1 ( t ) 0, 2 ( t ) 0.

Заключение. Приведенные в докладе результаты численного моделирования устойчивости орбитального движения Меркурия подтверждают выводы, ранее сделанные в работах [1–5], а именно:

закон всемирного тяготения И. Ньютона не точен и нуждается во введении дополнительных динамических составляющих, расширяющих области устойчивости орбитального движения планет;

синтезированный в работах [1–5] синергетический закон тяготения (10), включающий в себя закон И. Ньютона, обеспечивает существенно боль шую область устойчивости орбитального движения планет, в частности Меркурия;

закон И. Ньютона является своего рода асимптотической редукцией си нергетического закона (10) гравитационного взаимодействия.

В работах [3–5] изложены более широкие обсуждения свойств синергетиче ского закона тяготения (10) и вытекающих из него новых возможных особенно стей теории гравитации. Разумеется, что изложенные в работах [1–5] соображения о преимуществах нового, синергетического закона тяготения (10) вызывают необ ходимость его дальнейшего объективного обсуждения в научном сообществе, ин тересующегося проблемами небесной механики и космонавтики.

Раздел II. Нелинейная динамика и системный синтез БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Колесников А.А. Проблема синтеза естественных закономерностей: синергетическая гипотеза тяготения // Известия ТРТУ. Тематический выпуск Прикладная синергетика и системный синтез. – Таганрог. Изд-во ТРТУ. – 2006. – № 6 (61). – С. 30-72.

2. Колесников А.А. Гравитация и самоорганизация. – М. URSS. 2006, 112 с.

3. Колесников А.А. Прикладная синергетика: основы системного синтеза. – Таганрог: Изд во ТТИ ЮФУ, 2007. – 384 с.

4. Колесников А.А. Синергетические методы управления сложными системами. Теория системного синтеза (издание второе, дополненное). – М.: URSS, 2011.– 240 c.

5. Колесников А.А. Кибернетика и синергетика: концептуальный альянс. – Таганрог: Изд во ТТИ ЮФУ, 2011 – 500 с.

6. Ромм Я.Е. Моделирование устойчивости по Ляпунову на основе преобразований раз ностных схем решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия РАН.

Математическое моделирование. – 2008. – Т. 20, № 12. – С. 105-118.

7. Буланов С.Г. Разработка и исследование методов программного моделирования устой чивости систем линейных дифференциальных уравнений на основе матричных мульти пликативных преобразований разностных схем. – Таганрог: ТРТУ, 2006. – Автореферат диссертации на соискание ученой степени канд. техн. наук. – 20 с.

8. Катрич С.А. Разработка и исследование программного моделирования устойчивости решений нелинейных дифференциальных уравнений на основе разностных методов. – Таганрог: ТРТУ, 2006. – Автореферат диссертации на соискание ученой степени канд.

техн. наук. – 20 с.

9. Ромм Я.Е., Буланов С.Г. Компьютерный анализ устойчивости систем линейных диффе ренциальных уравнений с нелинейной добавкой / ТГПИ – Таганрог. 2010. 33 с. ДЕП в ВИНИТИ 11.03.10, № 147 – В2010.

В.В. Григорьев, С.В. Быстров, Е.Ю. Рабыш Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, г. Санкт-Петербург, grigvv@yandex.ru, Rabysh@yandex.ru ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ УСЛОВИЙ КАЧЕСТВЕННОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ Введение. Наиболее сильные притягивающие свойства положения равнове сия системы обеспечиваются при условии экспоненциального затухания переход ных процессов. Однако экспоненциальная устойчивость гарантирует нам только сходимость процессов к состоянию равновесия, но никак не связано с качеством их поведения. Поэтому появилась необходимость получения более локальных условий и понятий устойчивости, связанные с усилением ограничений на свойства системы. Для этого вводится понятие качественной экспоненциальной устойчиво сти, тесно связанной с качественными показателями процессов, такими как оценки быстродействия и перерегулированием и являющейся сужением понятия экспо ненциальной устойчивости благодаря введению дополнительных условий, ограни чивающих фактически значения скорости изменения нормы вектора состояния системы [1–4].

Одной из важнейших задач теоретических исследований является установле ние параметрических связей между качественными характеристиками динамиче ских процессов исследуемых систем и объектов с фундаментальными свойствами динамических систем, а именно видами устойчивости и неустойчивости, что поз воляет разрабатывать эффективные технологии анализа поведения систем в усло Четвертая Международная научная конференция «ССПС – 2011»

виях их функционирования и проектирования управляющих устройств – регулято ров, обеспечивающих требуемые показатели качества. И если качественная экспо ненциальная устойчивость позволяет производить анализ поведения устойчивого объекта автоматического управления, то экспоненциальная неустойчивость позво ляет производить анализ поведения неустойчивого, что может понадобиться при выходе из строя автоматической системы управления, когда неустойчивый объект может представлять собой существенную угрозу, опасность и для человека, и для окружающей среды [5, 6]. Поэтому при проектировании системы управления не устойчивым объектом необходимо позаботиться о том, чтобы при потере управле ния, вызванного той или иной причиной, на основе динамических свойств самого объекта срабатывала система защиты и сигнализации, обеспечивающая минимиза цию потерь, связанных с таким инцидентом.

Постановка задачи. Для оценки качества переходных процессов в системах с одним входом и одним выходом широкое распространение в инженерной прак тике получили показатели качества, вводимые по переходной функции, то есть по реакции системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях. Такие показатели качества процессов, как время переходного процесса и перерегулирование достаточно полно отражают физические процессы, происхо дящие в системе и позволяют сравнивать динамические свойства различных си стем. Однако подобные показатели качества, так широко применяемые для анали за следящих систем, в меньшей степени характеризуют динамические свойства систем стабилизации и не применимы непосредственно к многомерным системам.

Множество траекторий в пространстве выходов многомерной системы, вызванных воздействиями, приложенными к различным входам, может состоять из суще ственно разнящихся визуально кривых. На множестве таких кривых утрачивается очевидность их сравнения, а следовательно и сопоставимость динамических свойств различных систем.

Предположим, что поведение непрерывной динамической системы описыва ется дифференциальным уравнением вида:

=, (1) где – вектор состояния динамической системы, 0 = – вектор начальных состояний, 0 – время, – n-мерная нелинейная вектор-функция векторного аргумента.

При изучении условий устойчивости в дальнейшем будем полагать, что при решение уравнения (1) существует и единственно и систе любых ма является полной в.

Дадим определения качественной экспоненциальной устойчивости и не устойчивости [2].

Определение 1 Непрерывная система (1) в точке = 0 называется каче ственно экспоненциально, устойчивой, если для любых траекторий движения существуют системы исходящих из произвольных начальных условий 1, 0 и + 0, при которых в любой мо такие параметры мент времени 0 выполняется условие, (2) а при = 0 непрерывная система (1) в точке = 0 называется качественно экспо ненциально, неустойчивой. Здесь норма вектора задаётся соотношением =, (3) где – i-ая координата вектора состояния.

Раздел II. Нелинейная динамика и системный синтез Предположим, что поведение дискретной системы задается разностным уравнением вида +1 =, (4) где – вектор состояния динамической системы, 0 = – вектор начальных состояний, = 0,1,2 … – номер интервала дискретности, x – n-мерная нелинейная вектор-функция векторного аргумента.

При изучении условий устойчивости будем полагать, что при любых решение уравнения (4) существует и единственно и система является пол ной в.

Определение 2 Дискретная система (4) в точке = 0 называется качественно экспоненциально, устойчивой, если для любых траекторий движения систе существуют такие мы исходящих из произвольных начальных условий 1, 0 и 0 1, при которых для любого номера параметры интервала дискретности 0 выполняется условие,.

+ (5) а при = 1 дискретная система (4) в точке = 0 называется качественно экспо ненциально, неустойчивой.

Параметры и имеют следующий смысл: параметр подобен коэффици енту сноса и для устойчивых систем определяет среднюю скорость сходимости траекторий движения к положению равновесия, а для неустойчивых систем опре деляет нулевую среднюю скорость расходимости траекторий движения от поло жения равновесия. Параметр подобен коэффициенту диффузии и определяет отклонения траекторий движения от усредненной траектории.

Заметим, что в качественно экспоненциально устойчивых дискретных си стемах при избавляемся от колебательных процессов с периодом, равным интервалу дискретности. В линейных стационарных дискретных системах эта си туация соответствует наличию отрицательного корня по модулю меньше единицы матрицы замкнутой системы. Наибольшая практическая значимость понятия каче ственной экспоненциальной устойчивости имеет место при таком условии, ибо при этом ограничения являются наиболее сильными, а процессы в системе обла дают лучшими качественными показателями.

Аналогично могут быть даны определения качественной экспоненциальной устойчивости и неустойчивости «в малом» для ограниченной области, включаю щей начало координат.

Из определений качественной экспоненциальной устойчивости непрерывных и дискретных динамических систем непосредственно следуют оценки динамиче ских показателей качества систем. Отметим, что эти оценки вводятся для оценоч ных трубок, получаемых из условий качественной экспоненциальной устойчиво сти, в которых и расположены все траектории движения системы.

Для оценки быстродействия непрерывных и дискретных динамических си стем введем в рассмотрение некоторую относительную п -окрестность ( п 0,05) положения равновесия:

п, п, (6) п, п, (7) Временем переходного процесса непрерывных и дискретных динамических систем будем называть такой момент времени п, начиная с которого, после воз при = 0, все траектории движения системы мущения ненулевым условием лежат в заданной п -окрестности установившегося значения для любого момента времени п, т.е. выполняется (6) и (7).

Четвертая Международная научная конференция «ССПС – 2011»

Под оценкой значения перерегулирования непрерывных и дискретных дина мических систем будем понимать величины определяемые соответственно урав нениями:

=, (8) =, (9) где – миноранта оценочной трубки, получаемой из условий качественной ( ).

экспоненциальной устойчивости, так что Перерегулирование косвенно характеризует колебательность в динамической си стеме.

Для качественного анализа неустойчивых детерминированных и стохастиче ских непрерывных динамических систем соответственно введем в рассмотрение:

во-первых некоторую относительную п -окрестность ( п 0) начального положения:

| | п, (10) во-вторых некоторую относительную начально кп -окрестность ( п) кп го положения:

| | кп. (11) Критическим временем переходного процесса неустойчивых детерминиро ванных и стохастических непрерывных динамических систем соответственно бу дем называть такой интервал времени кп, в течение которого все траектории дви жения системы, исходящие из п -окрестности нормального функционирования системы (выполняется (10)), развиваются в пределах кп -окрестности критических значений переменных вектора состояния (выполняется (11). Выбор относительных величин окрестностей п и кп определяется требованиями конкретной задачи и зависит от технологических параметров объекта управления.

Ставится задача на основе достаточных условий качественной экспоненци альной устойчивости и неустойчивости (2) и (5) для непрерывных и дискретных динамических систем, задаваемых уравнениями (1) и (4) соответственно, отыска ние оценок динамических показателей качества в виде времени переходного про цесса, перерегулирования и критического времени переходного процесса, которые бы совместно с достаточными условиями качественной экспоненциальной устой чивости позволяли бы создать эффективные процедуры аналитического конструи рования оптимальных регуляторов и анализа поведения неустойчивых динамиче ских систем.

Основные результаты. В дальнейшем для оценки процессов будем исполь зовать квадратичную функцию Ляпунова вида =, (12) где = – положительно определенная матрица. Для этой функции спра ведливо соотношение Релея:

, (13) где значения и являются минимальным и максимальным собственными чис лами матрицы соответственно.

Определения типов неустойчивости позволяют только оценить требуемые показатели качества. Дадим достаточные условия качественной экспоненциальной устойчивости и устойчивости [1–4].

, Теорема 1 Непрерывная системы (1) качественно экспоненциально устойчива в точке = 0, если для любых траекторий движения системы исходя существуют такая квадратичная щих из произвольных начальных условий и такие параметры : 0 и : + 0, при кото функция Ляпунова рых в любой момент времени 0 выполняется условие Раздел II. Нелинейная динамика и системный синтез. (14) 0 непрерывная система (1) в точке 0 качественно экспоненциально а при, неустойчива.

, Теорема 2 Дискретная система (4) качественно экспоненциально 0, если для любых траекторий движения системы исходя устойчива в точке щих из произвольных начальных условий существуют такая квадратичная 0и :0 функция Ляпунова и такие параметры :, при 0 выполняется условие которых для любого номера интервала дискретности 1. (15) 1 дискретная система (4) в точке 0 качественно экспоненциально а при, неустойчива.

Из выполнения теорем 1 и 2 следуют оценки (2) и (5) соответственно [3], при этом значение есть (16) Утверждение 1 Оценки показателей качества в виде времени переходного процесса и перерегулирования для непрерывных систем имеют вид:

п п, (17) 1, (18) Утверждение 2 Оценки заданных показателей качества в виде времени пере ходного процесса и перерегулирования для дискретных систем имеют вид:

п п, (19) 1, (20) где – интервал квантования.

Пример 1 При заданных параметрах:

1, 0.05, 1, 0. п п условия качественной экспоненциальной, устойчивости задают оценочные труб ки, вид которых изображен на рис. 1. Все траектории системы, исходящие из области начальных значений вектора состояния, лежат внутри этих оценочных трубок.

Рис. 1. Оценочные трубки из условий качественной экспоненциальной устойчивости Четвертая Международная научная конференция «ССПС – 2011»

Утверждение 3 Оценка динамического показателя качества в виде критиче ского времени переходного процесса для непрерывных динамических систем име ет вид:

кп кп, (21) п Утверждение 4 Оценка динамического показателя качества в виде критиче ского времени переходного процесса для дискретных динамических систем имеет вид:

кп кп, (22) п где – есть интервал квантования.

Пример 2 При заданных параметрах:

1, 0,05, 0,95, кп п кп условия качественной экспоненциальной неустойчивости задают оценочные труб ки, вид которых изображен на рисунке ниже (рис. 2). Все траектории системы, ис ходящие из области начальных значений вектора состояния, лежат внутри этой оценочной трубки.

Рис. 2. Оценочная трубка из условия качественной экспоненциальной неустойчивости Построение областей допустимых изменений параметров гарантирован ного качества процессов динамических систем. Рассматривается задача опреде ления допустимых значений изменения параметров, при которых выполняются условия экспоненциальной и качественной экспоненциальной устойчивости и, как следствие, обеспечиваются заданные оценки качества процессов непрерывных и дискретных систем [1].

Рассмотрим дискретную систему, движение которой задается разностным уравнением вида 1,, (23), где – квадратная матрица размерности, элементы которой, зависят от вектора изменяющихся параметров, который, в свою оче редь, зависит от номера интервала дискретности и вектора состояния, причем, – -мерная векторозначная функция, непрерывная по каждой из пере менных.

Раздел II. Нелинейная динамика и системный синтез Предполагается, что для произвольных значений и произвольных значений значения вектора изменяющихся параметров огра вектора состояния ничены некоторой односвязной замкнутой областью, то есть, при и, (24) Для системы (23) ставится задача определения такой односвязной области,, для которой при произвольных во времени изменениях вектора со значениями из этой области ( ) выполнялись бы оценки качества процессов вида (5) при фиксированных значениях степени затухания и параметров и.

Другими словами, в пространстве параметров требуется отыскать такую об ласть допустимых изменений параметров, что при произвольном во времени изменении параметров, ограниченных значениями из этой области, в системе (23) гарантируются оценки качества процессов вида (5).

Сформулируем достаточные условия выполнения требуемых оценок качества в виде теоремы.

Теорема 3 Для того чтобы для системы (23) со значениями параметра, из ограниченной замкнутой области выполнялись оценки качества процессов (5) со значениями и, достаточно чтобы существовала такая положи тельно определенная симметрическая матрица размерности, что при всех значениях выполнялось бы неравенство 0, (25) Которое понимается в смысле отрицательной определенности результирую =, = +.

щей матрицы левой части неравенства, где Проверка условия (25) теоремы 3 связана с использованием свойств пучка квадратичных форм. Рассмотрим характеристическое уравнение = 0, (26) и положим, что при фиксированном значении найден максимальный корень.

Тогда из неравенства / (27) следует справедливость неравенства (25). Заметим, что максимальный корень ха рактеристического уравнения (26) совпадает с максимальным собственным числом матрицы. Таким образом, вычисление максимального корня в зависимости от значений вектора параметров с последующей проверкой нера венства (27) может служить основой для установления границ области допусти мых изменений параметров. Однако подобный способ определения границ области, является эффективным только, когда – скалярная величина. Если – векторная величина, то для упрощения вычислений можно получить эллипсои дальные оценки области допустимых изменений параметров.

Теперь сформулируем теорему, подобную теореме 3 для непрерывной систе мы вида =,, (28) где все переменные и матрицы имеют тот же смысл, что и в уравнении (23). Будем, полагать, что матрица такая, что решение (28) при любых начальных условиях существует и единственно.

Теорема 4 Для того чтобы для системы (28) со значениями параметра, из ограниченной замкнутой области выполнялись оценки качества процессов (2) со значениями и, достаточно чтобы существовала такая положи тельно определенная симметрическая матрица размерности, что при всех значениях выполнялось бы неравенство (25).

Четвертая Международная научная конференция «ССПС – 2011»

Таким образом, для проверки условий теорем 3 и 4 соответственно в дис кретных и непрерывных системах используется один и тот же математический аппарат. Заметим, что из результатов работ следует, что условие = 1, 2, …, (25) гарантирует расположение всех собственных чисел при всех значениях матрицы в круге радиуса с центром в точке, 0 комплексной плоскости. Другими словами, при изменении траек тории корней дискретной и непрерывной систем ограничены указанной обла стью комплексной плоскости.

Положим, что матрицы систем (23) и (28) допускают представление, (29) где – квадратная матрица размерности с постоянными элементами;

– -мерные вектор-столбцы, являющиеся функциями текущего времени и вектора 1,2, …,, состояния. Будем полагать, что набор, образует линейно независимую систему векторов. Рассмотрим случай, когда матрица за 1 представлена в виде (29).

мкнутой системы при Теорема 5 Пусть матрица такая, что решение уравнения Ляпунова, (30) 0,,0 при является положительно определенным.

Тогда, для того чтобы для систем (23) и (28) выполнялись оценки качества (5), (2)соответственно с параметрами и, достаточно, чтобы при любых в любой момент времени значения вектора принадлежали области, ограничен ной поверхностью эллипсоида, (31) где, (32), (33) а матрица имеет вид, (34) причем – по крайней мере, положительно полуопределенная симметрическая матрица размерности, удовлетворяющая двум условиям:

0,, (35) Уравнение (31)в пространстве параметров определяет эллипсоид (рис. 3).

Рис. 3. Ограничения на область допустимых изменений параметров Раздел II. Нелинейная динамика и системный синтез Для случая, когда матрица замкнутой системы представлена в форме (29) при 1, сформулируем следствие теоремы 5 в виде замечания.

0 является решением уравнения Ляпунова (30) и система Пусть матрица образует систему линейно независимых взаимно ортогональных в смысле векторов. Тогда для того, чтобы для систем (23) и (30) выполнялись оценки качества (5), (2) соответственно с параметрами и, достаточно, чтобы при любых и в любой момент времени значения векторов принадлежали бы обла стям, ограниченным поверхностями эллипсоидов =, (36) где – положительно определенные симметрические матрицы, такие что =, (37) + =, (38) =. (39) Отметим, что значения в (33) и в (39) определяют минимальное значе ние функций +1 =, (40) = 0;

(41) =, (42) = 0;

(43) то есть когда на траекториях систем (23) и (28), если матрица допускает представление (29). Другими словами, значения задают такие значения векторов изменяющихся параметров, при которых имеет место минимальная чув ствительность на траекториях системы.

,и, В теореме 2.3 и ее следствии предполагалось, что функции такие, что при любых значениях значения вектора изменяющихся парамет ров принадлежат областям. Если эти условия не выполняются и являются фиксациями только вектора состояния, то из уравнения (36) можно получить по верхности в пространстве состояний, ограничивающие области, в которых при выполняются ограничения на изменения параметров. Пусть эти об ласти являются односвязными и включают начало координат, есть пересечение = П. Тогда при любых начальных условиях 0 из области этих областей пространства состояний, ограниченной поверхностью = =, (44) для траекторий исследуемой системы (23) или (28) или имеют место соот ветствующие оценки показателей качества (5) или (2).

Теорема 3 и теорема 4 соответственно, для дискретных и непрерывных дина мических систем дают условия в виде неравенства (25), перекидывающего мостик к модифицированному уравнению Ляпунова вида (30), на основе решения которо го можно отыскать опорную функцию Ляпунова. Следует отметить, что если мат рица описания дискретной или непрерывной системы получена на основе синтеза качественной экспоненциальной устойчивости системы, то опорная функция Ля пунова получается при синтезе как решение модифицированного уравнения Рик кати, из которого следует модифицированное уравнение Ляпунова вида (30). Тео Четвертая Международная научная конференция «ССПС – 2011»

рема 5 осуществляет переход от матричных условий, при которых в случае изме нения параметров выполняются качественные показатели (5) для дискретных си стем или (2) для непрерывных систем, к скалярному соотношению (31), позволя ющему строить эллипсоидальные области гарантированного качества.

Заключение. Полученные оценки динамических показателей качества сов местно с достаточными условиями качественной экспоненциальной устойчивости и неустойчивости и методом локальной оптимизации позволяют создать эффек тивные численные процедуры анализа поведения неустойчивых объектов управ ления, а также алгоритмы конструирования оптимальных регуляторов, обеспечи вающих в непрерывных и дискретных динамических системах заданные прямые показатели качества в виде времени переходного процесса и перерегулирования.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Григорьев В.В., Дроздов В.Н., Лаврентьев В.В., Ушаков А.В. Синтез дискретных регуля 1.

торов при помощи ЭВМ. – Л: Машиностроение, Ленингр. отделение, 1983. – 245 с.

Григорьев В.В. Качественная экспоненциальная устойчивость непрерывных и 2.

дискретных динамических систем // Изв. вузов. приборостроение. – 2000. – 1-2: Т. 43.

Бойков В.И., Григорьев В.В., Мансурова О.К., Михайлов С.В. Качественная экспоненци 3.

альная стохастическая устойчивость дискретных систем // Изв. вузов. Приборостроение.

– 1998. – Т. 41, № 7. – С. 5-8.

Григорьев В.В. Качественная экспоненциальная устойчивость динамических систем // 4.

Тез. межд. конф.“Нелинейные науки на рубеже тысячелетий”. – СПб.: СПбГУИТ МО,1999;

Бобцов А.А., Быстров С.В., Григорьев В.В., Мансурова О.К., Мотылькова М.М. Каче 5.

ственная устойчивость и неустойчивость непрерывных и дискретных динамических си стем // Труды 2-ой Российской мультиконференции по проблемам управления. – СПб., 2008.

6. Grigoryev V.V., Mansurova O.K. Qualitative Exponential Stability and Instability of Dynam ical System. Preprints of 5 th IFAK Symposium on Nonlinear Control Systems (NOLCOS’01).

St-Petersburg: ИПМаш РАН, 2001;

7. Grigoryev V.V, Michailov S.V. Analysis and Synthesis Methods Based on Lyapunov’s Meth od// Abstracts the Second Int. Conf. Di. Eq. and Appl. – St.-Petersburg: СПбГТУ, 1998.

I.V. Kondratiev, R. Dougal University of South Carolina, kondrati@engr.sc.edu, dougal@cec.sc.edu INVARIANT BASED DESIGN OF AUTONOMOUS DC POWER SYSTEM USING SYNERGETIC CONTROL THEORY Introduction. DC power distribution is very attractive for autonomous power sys tems due to its simplified interface for power sources, higher energy efficiency and pow er density, and lower implementation and maintenance costs [1, 2]. The success of DC distribution depends on a feasible solution for the system design, which, despite a wide range of load variation, can provide stable operation of the system, flexible power flow management and reconfigurability, as well as scalability and clarity of the design ap proach. A range of factors, including complexity of the system dynamics, interactions among power sources, and influence of constant power loads, make a search for a solu tion using simulationdifficult, if not unreliable. In contrast, the shift of design focus from controlling set-points to the set of defined rules for the interaction of the elements within the system makes the invariant based design process both more specific and feasible than the traditional approaches.

Раздел II. Нелинейная динамика и системный синтез In traditional system design, when individual power sources are put together, the stability of the system is evaluated using source-load admittance space [3], and further power flow management is performed by providing the system components with current references defined using static power flow management or a dynamic power router [4].

In contrast, our design approach provides the system components with the rules of inter action (invariants) and uses the computational resources already available in the control ler to implement these rules. Such capabilities to introduce invariant manifolds into a closed loop system have been already demonstrated using synergetic control theory [5–8] and sliding mode control [9]. As it was reported in [10], the introduction of invari ants in the closed system behavior reduces the dynamic order of the controlled system as well as chances of unstable behavior.

Fig. 1. Antlion larva hunting for ants In this paper, we introduce the design approach for complex dynamic power sys tems, where attractors and invariants set the rules and define the driving forces of the behavior of system components. This approach has been inspired by examples of similar behaviors in nature, i.e in complex ecological systems. We use, one such nature-based example - an antlion larva creating a pit in dry sand to capture an ant – for the illustration of invariant-based control. The behavior illustrated in Fig. 1 allows the antlion larva to capture the ant with far less effort than running after it. Here is how the analogy with complex systems works. The controller (the antlion larva) sitting at the attractor (the bottom of the cone-shaped pit) uses the zero friction surface, i.e. an invariant manifold, of the environment (the cone surface of the pit) to move the controlled system (the ant) to the destination point (the attractor itself). Once the ant gets into the area of attraction, the larva starts to throw sand from the bottom of the pit and creates a sliding motion in the pit walls. As a result, the system (the ant) slides along the invariant (the walls of the pit) towards the attractor (the larva), exhibiting maximum efficiency with minimized effort due to informed transformation of the environment based on the properties of the Четвертая Международная научная конференция «ССПС – 2011»

controlled element. We use similar approach in the design of an autonomous DC power system by providing the system with rules of interaction (invariants) among its compo nents and by defining such conditions for the system components that they are forced to self-organize the implementation of these rules.

We apply the synergetic control theory to introduce dynamic invariants suitable for use in autonomous DC power systems. We describe the benefits brought into the system under wide varying loading conditions by the suggested types of invariants, i.e. stable operation of the system, flexible power flow management and reconfigurability. We show that invariant based design of autonomous DC power systems which relies on syn ergetic control theory provides a scalable design approach. As illustrated by the analysis of the system with an arbitrary number of paralleled converters feeding constant power load and by the simulation of two-converter sample systems, the invariant based design provides tools that can eliminate negative incremental impedance instability, flexibly reroute the power, and define the rules of dynamic power sharing during transients.

Invariants in DC Power System. Fig. 2 shows a simplified structure of an auton omous DC power system where sources S1,..,Sm represent converter based power sources connected in parallel and feeding one equivalent load (L) that represents complex con verter based loads [2]. A source Sm+1 substitutes an uncontrolled capacitive energy stor age connected directly to the system bus. A disturbance M(t) represents a dependent cur rent source, which allows us to take into account the change of the system load. Since in real life applications converter systems are usually influenced by sudden load change, the disturbance M(t) is approximated by piece-wise constant function.

S1 … Sm Sm+1 M(t) L Fig. 2. Simplified structure of a multi-source DC power system Similar to [4], we define goals of power flow management as follows:

Ensure predefined static power flow;

Ensure predefined dynamic power flow;

Provide power limitations to account for power source capability;

Provide capability to account for a limited power production rate.

The power flow balance in the system is defined in (1).

m + PSm +1 = PL + vb M (t ) P (1) Si i = After substituting the expressions for power of each component of the system from (2), dividing the result by the bus voltage vb, and grouping source currents isi on the left side of the equation, we get expression (3). The equation (3) defines the power balance in the system during operation. However, in order to define power sharing among the sources, we need to define additional m-1 equations. Similarly to (4) that is obtained from (3) by substituting derivative of the bus voltage with corresponding difference, we define these m-1 equations as shown in (5).

Раздел II. Нелинейная динамика и системный синтез dEC dv PSi = iSi vb ;

PSm+1 = = Cb vb b ;

dt dt (2) P v PL = iL vb = L + b vb v b RL m + M (t ) Cb b PL vb dv i =+ (3) Si vb R L dt i = m iSi = vL + Rb + M (t ) hb (vn vb ) P v C (4) i =1 b L bj m iSi = b j1 M (t ) + b j 2 vb + b j 3 vn + a j = 2, m (5) ji vb i = Joining equations (4) and (5) together, we obtain equations (6) that define the pow er flow in the system.

AI = B1 X + B2 F3 ( X ) (6) T T where X=(M,v) and I=(i1,…,im) a11 a12... a1m b11 b12 b13 b a... a2 m b21 b22 b23 b a A = 21 B= B=...... 1...... 2......

......

a... amm b b b b m1 am 2 m1 m 2 m3 m T F3 ( X ) = vn vb The first equation in (6) represents the power conservation conditions in the sys tem. The other m-1 equations in (6) define the power distribution among the power sources. As we show by simulation example, such definition of the power sharing equa tions allows us to introduce into the system numerous different current sharing options by simply adjusting coefficients of these equations. Introduction of the saturation func tion in coefficients a1i takes into account the power limitation imposed by the corre sponding power source. A ramp-rate limitation imposed by the sources can be taken into account during control design by proper selection of corresponding time constant It can be clearly seen that introduction invariants (6) into the artificial DC micro grid system will provide adjustable rules of behavior for the components of a closed loop system.

Synergetic Control Theory. Synergetic Control Theory [11–14] exploits the ca pability of open systems to self-organize. The theory invokes a holistic philosophy of controlled dynamic interactions among energy, matter, and information which is imple mented through a combination of both positive and negative feedback. The philosophy of synergetic control design is based on the principle of dynamic expansion and contrac tion of the state space of the controlled system. The expansion of the state space enriches the system dynamics by providing additional information that is the key to improving the performance of the closed-loop system. In contrast to expansion, the contraction of the state space that is performed by the control action eliminates the unwanted dynamics of the system or reduces excessive degrees of freedom. At the control design stage, these unwanted dynamics are removed by introducing dynamic constraints that are represented as invariant manifolds in the state space of the system.

Четвертая Международная научная конференция «ССПС – 2011»

To illustrate the concepts of the Synergetic Control Theory such as control design and assessment of stability, we use system (7) that is a scalar controllable nonlinear af fine system representing an extended model of the initial system.

xi = f i (x ) i = 1, n (7) xn = f n ( x ) + bn ( x ) u where x = ( x1, x 2,..., x n ) is a system state vector;

f i are nonlinear smooth functions T defining the dynamic evolution of the system;

and u is a control input.

Synergetic Control Theory provides a method for generating control u ( x ) = u ( ) as a function of some specified macro-variables ( x ), which are called aggregated vari ables and which operate as order parameters of synergetic systems that define asymptot ic properties of the system's motion [11].

For solving a control design problem, we define macro-variables ( x ) and use Kolesnikov's Functional (8) [11].

( ) J = F (, )dt = m 2 ( ) + c 2 dt (8) 0 where F (, ) is a continuous positive definite function;

( ) is a smooth function that is chosen to be a) invertible and differentiable with respect to its arguments;

b) (0) = 0 ;

and c) ( ) 0 for all 0 ;

( x ) is either an aggregated variable or a macro-variable which defines an arbitrary, yet carefully chosen, either continuous or piece wise function of the state vector x.

As was shown in [11], finding an optimal controller for the system (7) which min imizes functional (8) is equivalent to finding control (9) as a joint solution of the system (7) and of the so-called evolution equation (10).

1 n u = bn 1 ( x ) f i + ( ) (9) xn i =1 xi T (x ) + ( ) = (10) Equation (10) defines the evolution of the system's macro-variable ( x ) into the invariant manifold (11).

() x =0 (11) where = m / c = 1/ T ;

moreover from the synergetics point of view [11], is a pa rameter proportional to the work performed by self-organizing forces in the system;

it characterizes the speed of the self-organizing processes in the system. By choosing the value of, we can choose the desired speed of evolution of the self-organization.

Under control (9), manifold (11) becomes an attractor (or attracting set) in the state space of the closed-loop system. As a result, from an admissible arbitrary initial location in the state space, the system moves towards the manifold and then along the manifold to the equilibrium point.

The stability of the system's motion towards the manifold is determined by using Lyapunov function (12), a derivative of which (13) defines the basin of attraction of the attractor (11).

V = 0.5 2 0 (12) V (t ) = ( ) 0 if (13) Раздел II. Нелинейная динамика и системный синтез Equation (13) shows that the stability of the motion towards the attractor is not compromised by nonlinear properties of the system's model (7) and this motion is expo nentially asymptotically stable, as long as the parameter is greater than zero.

Once the system reaches the vicinity of the invariant manifold (11), the synergetic control law (9) will keep it on the manifold, thereby reducing the order of its dynamic behavior. The resulting model (14) is an exact decomposition of the dynamic system (7) that captures its slow dynamics. A reduced-order model (14) is obtained by substituting the manifold equation (11) into system (7) and replacing the equation with the control u.

xi = f i (x ) i = 1, n (14) (x ) = In the vicinity of the manifold (11), the stability of the system motion can be ana lyzed using the first approximation of the model (14).

However, if we define macro-variable as = xn u1, the control design for sys tem (14) can be recursively repeated assuming that now variable xn becomes an internal controlu1. The recursion can be continued until the specified order of the system dynam ic is reached. The direct path of the recursion produces sequences of macro-variables i ( x ), of optimized functionals (8), and of reduced order models (14). The return path of the recursion defines the control and the manifold structure. Recursive control design for a system with one control channel creates a sequential aggregation of invariant man ifolds in the state space of the system and yields a sequential optimization.

Without loss of generality, the same approach can be applied to systems having multiple control channels. In this case, the recursive design of synergetic controls results in sequences of macro-variables sets, of optimized functionals sets, and of reduced order models. The control obtained provides the system with a parallel-sequential aggregation of invariant manifolds and performs a multi-criteria optimization. The order of the dy namic motion along the intersection of these manifolds towards the equilibrium can be l m calculated using equation (15), where is the number of control channels and is the number of recursive steps.

dim x = n m l (15) Design implementation. To illustrate an invariant based control design, we use the system containing an arbitrary number of paralleled converters feeding constant power load that is presented in Fig. 3.

System model. Assuming that the switching frequency of power converters is suf ficiently fast, using similar assumptions as in [6, 8], applying Kirchhoff’s laws and aver aging [15] to this system, the dynamics of the system can be described by (16).

The state space averaged model of the system presented in (16) is derived using the following assumptions: the system operates in a continuous conduction mode;

state varia bles are the averaged vc1capacitor voltage and iLiinductance currents;


constant power load is represented as a dependent current source the value of which equals to the power con sumed by the load (Pload) divided by the output voltage (vc1);

a piece-wise constant current disturbance M(t) sufficiently approximates variations of the system load and any variation of system parameters;

the origin of the system model is at the specified steady state volt age;

the zero order dynamics adequately represents the behavior of the sources Ei.

Четвертая Международная научная конференция «ССПС – 2011»

Fig. 3. System containing m parallel-connected buck converters As a result of the introduction of an additional dynamic coordinate M(t) into the system model (16), the system voltage becomes invariant to the system load resistance.

M = v v = 1 i v + Vc1,ref M m Pload Lj + (v + Vc1,ref )Ct Ct Ct j =1 Rext Ct iL1 = L (v + Vc1,ref ) + u iL 2 = (v + Vc1,ref ) + u 1 (16) L...

i = 1 (v + V c1, ref ) + u m Lm Lm dM = v dt v = vc1 Vc1,ref ;

Ct=C1+C2+…+Cm+Cext;

is the total where v and iLi are state variables;

output capacitance of the system of converters;

M(t) is a current disturbance influencing the system;

dci is the desired switch duty of the ith converter;

is a non-dimensional coefficient that will be determined later based on stability of the closed loop system d ci Ei ui = i = 1, m Li Раздел II. Нелинейная динамика и системный синтез In order to simplify control derivation results, we represent system model (16) in the following form:

X = F1 I + F2 X + CF3 ( X ) (17) I = F4 ( X, I ) + U ( X, I ) where X=(M,v)T and I=(i1,…,im)T Goals of the control design. The primary goal of the control is to maintain a spec ified output voltage Vc1,ref, even while the system is affected by the disturbance M(t).

Another important goal is to ensure current sharing defined by (6). At the design stage, we do not make any particular assumptions about current sharing, except that the con verter currents relate linearly to each other;

that is, they, each, supply some constant fraction of the load current that corresponds to active current sharing. All these control design goals were incorporated into the system model by the corresponding coordinate transformation. The resulting control laws must ensure asymptotic stability of the closed loop system.

Control synthesis procedure. From a mathematical standpoint, synergetic control design [11–14] is based on a new method for generating control laws u ( i ) = u i (X, I ), or feedback, that direct the system from arbitrary initial conditions into the vicinity of the manifolds (18) and then ensure asymptotically stable motion along these manifolds toward the end attractors. On these attractors, the desired properties of the controlled system are guarantied. In short, the synergetic control design procedure is as follows. For system (17), the designer’s specifications are formulated as a set of macro-variables (19) based on the system state variables. The number of macro-variables in the set equals the number of control channels.

i (X, I ) = 0 (18) i = i (X, I ), i = 1, m (19) Assuming that the desired evolution of the macro-variables is as in (20), substitu tion of the system model (17) in functional equation (20) results in an asymptotically stable control, which ensures the desired dynamic properties.

T + = T = E (T1... Tm ) T (20) E – is unity matrix dimension mxm Defining a macro-variable as shown in (21) and solving the system of functional equations (20) and taking into account the system model (17), yields control laws pre sented in (22).

= AI B1 X B2 F3 ( X ) (21) ( ) U ( X, I ) = A 1 (B1 + B 2 F4 )(F1 I + F2 X + CF3 ( X )) T 1 F4 ( X, I ) (22) where T F4 = 0 (v + Vc1,ref ) (23) According to synergetic control theory [11–14], control laws (22) ensure asymptot ically stable convergence towards the specified manifolds (18) within (3–5) Ti and, as shown later, result in current sharing specified by coefficients in (21).

Четвертая Международная научная конференция «ССПС – 2011»

Behavior on manifolds and stability of the closed-loop system. Under synergetic control, the closed loop system has an attracting set, which is the intersection of mani folds and which is reached by the representing point of the system. The study of the sys tem behavior on the intersection of manifolds helps to understand the system stability.

The properties of the system motion on manifolds are defined by the following system of algebraic and dynamic equations:

X = F1 I + F2 X + CF3 ( X ) or (24) = X = F1 I + F2 X + CF3 ( X ) (25) I = A 1 (B1 X + B 2 F3 ( X )) In order to define the properties of the system dynamics on manifolds, we elimi nate dependent variables, such as inductor currents, and derive a dynamic system (26).

( ) ( ) X = F2 F1 A1B1 X + C F1 A1B2 F3 ( X ) (26) The equation (26) shows that the behavior of the closed loop system on manifolds is defined by two components: linear and nonlinear. It also can be seen that manifold coefficients provide flexibility in the definition of both components. So, we can define matrix B2 in such a way that the following conditions are true.

C F1 A 1 B2 = 0 (27) Equation (27) represents the condition for counterweighing the nonlinear impact of a constant power load and for the linearization of the system (17). If these conditions are met, the equation (26) can be rewritten in the following form:

( )X X = F2 F1 A 1 B (28) The equation (28) defines a linear dynamic system, the properties of which depend on the choice of coefficients of matrix A and B1. The stability condition for the linearized system (28) can be defined by any linear technique.

Hence, synergetic control design results in analytical control laws that ensure as ymptotic stability of the closed loop system and compensates for system nonlinearity by a particular choice of coefficients. The allocation of type and ratings of current sharing in the system is defined by coefficients of macro variables (6).

Simulation results. In this section we present a short description and some simula tion results for a two-converter system [16], which is used to study the power sharing features of the designed control strategies. Table1 shows parameters of the system.

In practice, master-slave [17], and democratic [18] current sharing strategies are widely used in paralleled converters systems. The major difference between master-slave and democratic current sharing is that master-slave sharing provides a fixed ratio of cur rent sharing in transient and static regimes of operation, while democratic sharing has a variable ratio of current sharing during transients and a fixed ratio in the static regime of operation. This section shows important details of the impact of macro-variable coeffi cients on current sharing in the system and illustrates that synergetic control laws pro vide power systems with dynamic management of responsibilities, including the dynam ic reconfiguration and the allocation of current sharing.

After the transients are passed, the representing point of the two-converter system inevitably reaches the intersection of the manifolds (18). Hence, the motion of the sys tem on the manifolds is defined by the equations (29).

Раздел II. Нелинейная динамика и системный синтез Table Nominal values of the system parameters Name Parameter Nominal Value Resistance of inductors rL1=rL2=rLn 0.2 Ohm Filter inductance L1=L2=Ln 1.3 mH 2500 µF Filter capacitance C1=C2=Cn Input voltage E 850V Output voltage VC,ref=U0 750 V Load uncertainty Load resistance Rext 2.81-50 Ohm 0-4900 µF Load capacitance CL Constant power load PL 0-200kW Control Law param.

Time constants T1=T2=Tn 0. = n Integrator coef. Law coef. a11=a11n Law coef. a12=a12n Law coef. a21=a21n Law coef. a22=a22n - Law coef. b12=b12n Law coef. b11=b11n Law coef. b22=b22n Law coef. b21=b21n Law coef. Simulation parameters Fig Load resistance Rext 10 Ohm Initial current of L1 i1(0) 15A Initial current of L2 i2(0) 0A Initial bus voltage vb(0) 736V 0 µF Load capacitance CL Constant power load PL 0kW b b11M + b12v + (v + Vc1,ref ) a11 a12 iL1 = (29) a a21 iL1 b M + b v + b 21 (v + Vc1,ref ) The study shows that:

coefficients a11, a12, a21, and a22 allocate the current sharing ratings;

coefficients b14, and b24 provide the ability to compensate the impact of the con stant power load;

coefficient b22 defines the type of current sharing(b22=0 master-slave and demo cratic otherwise);

coefficients b11 and b12 influence the system’s transient response;

time constants T1 and T2 the define speed of convergence of the macro-variables toward manifolds;

coefficients b12 and b22 define which converter is responsible for managing er rors in the output voltage.

Четвертая Международная научная конференция «ССПС – 2011»

Fig. 4 presents a state portrait of the two-converter system under synergetic control (22) with different current sharing ratings (i1=i2 – solid line, i1=2i2 – dashed line, 2i1=i2 – dotted line). It can be seen from the figure that representing point of the system goes from initial point (black dot with coordinates i(0)=(0,250)) along the black line onto in variant manifold 2=0 (gray line)and along the manifold to the equilibrium point (red dots).

Fig. 4. Current sharing invariants of the two-converter system:

i1=i2- Solid line, i1=2i2 – dashed line, 2i1=i2 dotted line From the results in Fig. 4, it can be said that as expected under control (22) the sys tem representing point goes onto the invariant manifolds introduced in the system. Prop erties of current sharing in two-converter system are defined by the coefficients of the invariants.

Conclusion. In this paper, we introduce the approach for design of complex auton omous DC power systems, where attractors and invariants set the rules and define the driving forces of the behavior of system components. This approach has been inspired by examples of similar behaviors in nature, i.e in complex ecological systems. We introduce similar approach in the design of an autonomous DC power system by providing the system with rules of interaction among its components (invariants) and use computation al resources available in the controller to implement such conditions for the system com ponents that they are forced to self-organize the implementation of these rules.

We obtain the rules of in-system interaction by analyzing power sharing in m paralleled connected power sources feeding a complex load. We illustrate the design using an example of a system with an arbitrary number of paralleled buck converters feeding a constant power load. We introduce the found invariants into the system using synergetic control theory, analyze closed loop performance, and define the stability con ditions as well as conditions for compensating impact of constant power load.

The performed simulation of a two-converter system provided evidence that the closed loop system possesses invariant introduced during the control design. More im portantly, the simulation proves that the presented concept as well as the design ap proach provide a foundation for the design of a new type of systems by implementing self-organizing behavior and predefined alternatives for dynamic behavior.

Acknowledgement. The authors acknowledge the support of ONR grant N00014 08-0080.

Раздел II. Нелинейная динамика и системный синтез REFERENCE 1. Ciezki J.G. and Ashton R.W. Selection and Stability issues associated with a navy shipboard DC zonal electric distribution system // IEEE Trans on Power Delivery. – 2000. – Vol. 15, № 2. – P. 665-669.

2. Pekarek S.D. and al. Overview of a Naval Combat Survivability Program // Proceedings of the 13th Ship Control Systems Symposium (SCSS 2003). – 2003.

3. Sudhoff S. D., Schmucker D.H., Youngs R.A., and Hegner H.J.Stability analysis of DC distri bution system using admittance space constraints // SAE International. – 1998. – P. 21-35.

4. Sanchez-Squella A., Ortega R, Grino R. and Malo S. Dynamic Energy Router // IEEE Control Systems Magazine. –2010.-Dec. – P. 72-79.

5. Веселов Г.Е., Кондратьев И.В., Медведев М.Ю. Синергетическое управление широтно импульсными преобразователями // Нелинейный мир. – 2004. –Т. 2, № 4. – С. 266-277.

6. Kondratiev I. and Dougal R. Synergetic Control Strategies for ShipboardDC Power Distribu tion Systems // Proc. of American Control Conference 2007. – 2007.

7. Kondratiev I., Santi E., and Dougal R. Robust Nonlinear Synergetic Control for m-Parallel Connected DC-DC Boost Converters // Proc. of IEEE PESC’08.-2008. – P. 2222-2228.

8. Kondratiev I. Synergetic Control: Converter Based Autonomous DC Power Distribution Sys tems. – Lambert Academic Publishing AG&Co. KG. 2009.

9. Mazunder S.K., Nayfeh A.H., and Borojevic D. Robust Control of Parallel DC-DC Buck Con verters by Combining Integral-Variable-Structure and Multiple-Sliding-Surfaces Control Schemes // IEEE Trans. on Power Electron. – 2002. – Vol. 17. – P. 428-437.

10. Kondratiev I., Dougal R. and Veselov G. Anti-Chaotic Control for Power Converters Using Synergetic Control Theory // Proc. Of Chaotic Modeling and Simulation Conference. – 2008.

– http://www.asmda.net/chaos2008/.

11. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. – М.: Энергоатомиздат, 1994.

12. Колесников А.А., Современная прикладная теория управления: Синергетический подход в теории управления. – Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. – Т. 2.

13. Колесников А.А. Синергетическая теория управления: концепции, методы, тенденции развития // Известия ТРТУ. –2001. – Т. 23, № 5. – С. 7-27.

14. Колесников А.А. Синергетическая концепция системного синтеза: единство процессов самоорганизации и управления // Известия ТРТУ. 2006. – № 6 (61). – С. 10-38.

15. Ericson R., Cuk S., and Middlebrook R.Large-scale modeling and analysis of switching regula tors // Proc of IEEE PESC. – 1982. – P. 240-250.

16. Ciezki J.G. and Ashton R.W. The Designof Stabilizing Controlsfor Shipboard DC-to-DC Buck Choppers Using Feedback Linearization Techniques // Proceed. OfPESC’98. – 1998. – P. 335-341.

17. Throttuvelil V.J. and Verghese G.C.Analysis and Control Design of Paralleled DC/DC Convert ers with Current Sharing // IEEE Trans. on Power Electron. – 1998. – Vol. 13. – P. 635-644.

18. Jovanovic M.M., Crow D.E., and Fnag-Yi L. A Novel, Low-Cost Implementation of “Demo cratic” Load-Current Sharing of Paralleled Converter Modules // IEEE Trans. on Power Elec tron. – 1996. – Vol. 11. – P. 604-611.

Г.В. Масютина, Е.В. Лубенцова, А.Н. Мальченко, В.Ф. Лубенцов Невинномысский технологический институт ГОУ ВПО «Северо-Кавказский государственный технический университет», г. Невинномысск, lubenchov@nti.ncstu.ru РОБАСТНАЯ СИСТЕМА С ИЗБИРАТЕЛЬНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ НА ОСНОВЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ОПТИМИЗИРУЕМЫХ РЕГУЛЯТОРОВ Существенной практической проблемой автоматического управления слож ными динамическими системами является обеспечение требуемого качества управления нестационарными объектами в условиях неопределенности. В этих условиях многие объекты могут быть охарактеризованы моделями, содержащими параметры с неопределенными значениями из заданных интервалов. при синтезе систем управления такими объектами будут известны лишь границы интервалов Четвертая Международная научная конференция «ССПС – 2011»

возможного нахождения параметров динамической модели объекта. Подобная не определенность свойств объектов получила название интервальной параметриче ской неопределенности, а системы управления – интервальных систем [1]. Основ ные проблемы анализа и синтеза интервальных систем связаны с обеспечением робастной устойчивости и робастного качества, подразумевающих, что указанные свойства должны иметь место для всех допустимых сочетаний неопределенных параметров из соответствующих интервалов.

Малую чувствительность к изменению свойств управляемого объекта можно обеспечить различными методами адаптивного и робастного управления. Однако использование методов адаптивного управления для компенсации изменения свойств объекта в процессе функционирования нередко приводит к существенно му усложнению системы управления, трудностям при ее технической реализации и последующей эксплуатации. Что касается робастного управления, то несмотря на наличие таких развитых методов, например на основе H-теории управления [2], универсального подхода в виду сложности управляемых объектов (нестацио нарности, запаздывания, многорежимности) и возрастающих требований к каче ству управления не найдено и разработка новых методов синтеза робастных си стем управления с запаздыванием в условиях интервальной параметрической не определенности, по-прежнему, является актуальной проблемой.

Одним из традиционных подходов к построению робастных систем управле ния объектами в условиях неопределенности является использование минимаксно го подхода. Однако трудность или, точнее, существенный недостаток этого под хода к робастности, как отмечено в работе [3], кроется в его минимаксной приро де: максимально допустимая величина неопределенности, при которой сохраняет ся робастность, определяется наихудшим сочетанием параметров объекта. Иными словами, классические методы рассчитаны на наихудшую возможную неопреде ленность, которая на практике может быть маловероятной, т.е. с практической точ ки зрения получаемые границы робастности оказываются неоправданно завышен ными, а необходимые показатели качества работы САУ при номинальных пара метрах при этом не достигаются. В связи с этим для обеспечения необходимого качества регулирования при более благоприятных значениях параметров интер вального объекта, не снижая существенно при этом робастности, может оказаться эффективным использование системы с перестраиваемой структурой.

В данной работе предлагается решение задачи построения робастной систе мы избирательного управления, основанное на применении в системе несколь ких дополнительных замкнутых контуров, включающих модели объекта управления и соответствующие им регуляторы, предварительно настроенные на основе инфор мации о параметрах этих моделей объекта. В условиях параметрических возмуще ний объекта осуществляется в процессе управления динамический выбор рацио нального регулятора из дополнительного контура и подключение его ко входу объекта для обеспечения робастного качества в системе.

Поскольку ПИД-регулятор относится к наиболее распространенному типу регуляторов (по различным данным порядка 90–95 % промышленных регуляторов используют ПИД-закон регулирования [2, 4]), то решение задачи структурно параметрического синтеза робастной системы с интервальной неопределенностью рассмотрено на базе параметрически оптимизируемых регуляторов заданной структуры – ПИД-регуляторов.

Рассмотрим интервальную систему управления с передаточной функцией объекта Wоб(p) = kоб ехр(- p)/(T22 p2 + T1p + 1) и ПИД-регулятором с переда точной функцией Wр(p) = КП + КИ/p +КД p. Уровни априорной параметрической неопределенности в объекте зададим соотношениями:

Раздел II. Нелинейная динамика и системный синтез 0,0766 = kоб min kоб kоб max = 0,3830;

2,2 = min max = 6,0;

14,35 = Т1min Т1 Т1max = 41,56;

8,55 = Т2min Т2 Т2max = 25,01, (1) где kоб,, Т1, Т2 – коэффициент передачи, запаздывание и постоянные времени объекта соответственно;

индексы «min», «max» – значения нижней и верхней гра ниц параметров объекта.

На основе априорной информации об объекте с учетом (1) получены следу ющие формальные математические модели, включенные в дополнительные кон туры синтезируемой робастной системы (табл. 1):



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
 

Похожие работы:





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.