авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 9 |
-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ

«ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

I ВСЕРОССИЙСКИЙ ФЕСТИВАЛЬ НАУКИ

Всероссийская с международным участием конференция

студентов, аспирантов и молодых ученых

«НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ»

г. Томск

25–29 апреля 2011 г.

ТОМ I ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТОЧНЫЕ НАУКИ Томск 2011 Печатается по решению ББК 74.58+65 редакционно-издательского совета В 85 Томского государственного педагогического университета I Всероссийский фестиваль наук

и:

В 85 Всероссийская с международным участием конференция студентов, ас пирантов и молодых ученых «Наука и образование» (г. Томск, 25–29 ап реля 2011 г.) : материалы конференции. – Том I : Естественные и точные науки. – Томск : Издательство Томского государственного педагогиче ского университета, 2011. – 312 с.

ББК 74.58+ Научные редакторы:

Э. Г. Гельфман, д-р пед. наук, проф.;

А. И. Забарина, канд. физ.-мат. наук, доц.;

Е. А. Румбешта, д-р пед. наук, проф.;

Н. Л. Чуприков, д-р физ.-мат. наук;

В. П. Перевозкин, канд. биол. наук, доц.;

С. А. Войцековская, канд. биол. наук, доц.;

О. Х. Полещук, д-р хим. наук, проф.;

С. В. Ковалёва, д-р хим. наук, проф.;

И. А. Шабанова, канд. пед. наук, доц.;

Е. Е. Пугачёва, канд. геол.-минерал. наук, доц.;

А. В. Родикова, канд. биол. наук © Томский государственный педагогический университет.

СЕКЦИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЗОНОВ НА ПРОТОНЕ В КОНЕЧНОМ СОСТОЯНИИ М. В. Егоров Томский государственный университет Фоторождение мезонов в резонансной области энергий является сегодня ос новной областью адронной физики, где упомянутые выше феноменологические модели применяются в полной мере. К настоящему времени довольно детально исследованы, как теоретически, так и экспериментально, процессы образования одиночных мезонов (, и K мезонов) на нуклонах. Полученная информация существенно расширила наши знания о кварковой структуре нуклона. Вместе с тем, многие вопросы мезон-нуклонного взаимодействия остаются нерешенны ми. К последним следует отнести так называемую проблему «недостающих» ре зонансов. Конгруэнтные кварковые модели предсказывают существование воз бужденных состояний нуклона, до сих пор не наблюдавшихся в экспериментах с одиночными мезонами. В качестве одной из возможных причин противоречия рассматривается слабая связь «недостающих» возбужденных состояний с одно мезонными каналами. В связи с этим, именно исследование процессов множест венного (прежде всего, парного) образования мезонов должно дать необходи мую информацию о динамической природе «недостающих» резонансов.





Фоторождение двух пионов на нуклонах N N довольно подробно рас смотрено авторами работ [1–4]. Как показано в цитируемых работах, одной из ярких особенностей этого процесса является сильный кролл-рудермановский член, приводящий к образованию s-волновых мезонов в канале. Как след ствие, полное сечение вблизи порога обнаруживает линейную зависимость от энергии фотонов. При этом в области широкого максимума при E = 800 МэВ вклад кролл-рудермановского механизма остается значительным и составляет около 85%. В то же время, в нейтральном канале p 00p (1) кролл-рудермановский член исчезает, что, вообще говоря, должно вызывать до минирование в амплитуде более высоких парциальных волн и, как следствие, приводить к подавлению полного сечения в области малых энергий (штриховая кривая на рис. 1). Однако, полученные в работах [5, 6] экспериментальные дан ные не подтверждают этот тезис. А именно: в отличие от предсказаний теории, наблюдаемое в эксперименте полное сечение реакции (1) демонстрирует прак тически линейный рост вплоть до энергий фотонов E = 700 МэВ (см. рис. 1).

Вопрос о возможном источнике s-волн в процессе (1) частично рассматривался в рамках эффективной теории поля (ЭТП) в работе [7], где было показано, что эффект подавления в значительной степени компенсируется учетом петлевых поправок из-за взаимодействия образующихся мезонов. Непосредственные рас четы действительно предсказывают значительное увеличение сечения при учете мезонных петель. Однако, применимость ЭТП ограничена областью малых пе реданных импульсов (порядка массы пиона), что позволяет использовать ее только при энергиях фотонов, не превышающих 350 МэВ.

В настоящей работе мы вычисляем поправки к амплитуде процесса (1), возни кающие вследствие перерассеяния мезонов. В отличие от работы [7] рассматри ваемая область энергий не ограничивается околопороговыми значениями.

Рис. 1. Полное сечение фоторождения двух 0 мезонов на протонах во второй резонансной области.

Штриховая и сплошная кривые представляют результаты, полученные без учета и с учетом перерассеяния мезонов.

Экспериментальные значения взяты из работ [5] и [6] Для расчетов используется изобарная модель, подобная той, что была пред ставлена в статье [4]. Эффекты перерассеяния учтены в рамках стандартной тео рии взаимодействия в конечном состоянии (см., например, [8]). Динамика само го рассеяния в s-волне аппроксимирована путем образования и распада ска ляр-изоскалярного мезона (600). В заключении обсуждаются результаты учета эффектов перерассеяния в полном сечении.

Рассматриваемая фотореакция с парным фотороеждением мезонов на ну клоне выглядит так:



(k, ) + N ( pi ) 1 (q1 ) + 1 (q2 ) + N ( p f ), (2) где четырехмерные импульсы частиц, налетающего фотона, начального и ко нечного нуклона и двух пионов, обозначены, соответственно, как k = ( E, k ), pi / f = ( Ei, pi / f ), q1/2 = (1/2, q1/2 ). (3) Вектор поляризации фотона обозначен через с индексом = ±1. Верхний индекс i = 0, ±1 в (2) соответствует заряду i-го пиона. Используя стандартную ковариантную нормировку для свободного состояния частиц [9], неполяризо ванное сечение реакции в системе центра масс (ц.м.), может быть представлено в терминах матричного элемента t1 2 :

M N q* p | t1 2 (q1, q2, k ) |2 d d q d p, d = (2) 5 (4) 8W E где W – полная энергия в системе центра масс (ц.м.);

p = (q1 + q2 ) – конечный импульс нуклона;

и q *, соответственно, инвариантная масса и релятиви стский импульс двух пионов в системе ц.м. Для 00 канала параметр равен 1/ в связи с тождественностью мезонов. Для других каналов (+–, 0+ и т.д.) = 1.

Спиновая структура амплитуды реакции может быть представлена с помощью спиновых матриц Паули = { x, y, z } в виде t1 2 (q1, q2, k ) = K 1 2 (q1, q2, k ) + iL1 2. (5) Поскольку мезон является псевдоскаляром (J = 0–), то амплитуда t µ1µ образования двух пионов должна быть скаляром. Как следствие, K – скаляр, µµ а L 1 2 – псевдовектор.

Рис. 2. Диаграммы, дающие основной вклад в процесс N 00N в области энергий E 800 МэВ. Через, D13, P11 обозначены, соответственно, резонансы (1232), D13(1520) и P11(1440) На рис. 2 приведен набор диаграмм, дающих основной вклад в электромаг нитное образование двух 0 мезонов на нуклоне. Как отмечено выше, кролл рудермановский член, возникающий в рамках минимальной связи вершины N с электромагнитным током, может давать вклад только в фоторождение заря женных мезонов. В нейтральном канале (1) этот член полностью исключен. По этой причине расcчитанное полное сечение в области низких энергий E 500 МэВ в значительной мере подавлено. Основной вклад в амплитуду дает возбуждение резонанса D13(1520) (рис. 2, e) и, в меньшей степени, P11(1440) (рис. 2, f). Первый из указанных резонансов проявляется в виде отчетливого мак симума в районе 700 МэВ, однако при энергиях ниже 600 МэВ его вклад оказы вается небольшим.

Как видно из рисунка, экспериментальные данные, полученные в работе [5], обнаруживают заметный рост с увеличением энергии, характерный для s-вол нового механизма. Как следствие, наблюдается качественное различие в поведе нии экспериментального сечения и результатов, предсказываемых теорией. Для объяснения противоречия мы учли вклад перерассеяния мезонов. Соответст вующий механизм сводится к промежуточному образованию +– состояния, ко торое посредством взаимодействия между пионами переходит в состояние 00.

Поскольку сечение образования +– пар приблизительно в 20 раз превышает соответствующее сечение для 00 в области E = 600 МэВ, можно ожидать, что этот механизм будет существенно влиять на динамику фоторождения двух нейтральных пионов.

Знание амплитуды f(q) для рассеяния позволяет учесть перерассеяние +– 00. В настоящей работе взаимодействие аппроксимируется по средством образования и распада скаляр-изоскалярного мезонного резонанса (600). Наилучшее согласие достигается при M = 740 МэВ, Г = 600 МэВ.

Вклад в амплитуду, соответствующий диаграмме на рис. 2, a с учётом рас сеяния, может быть представлен в виде 00 + tresc, = t (q)G ( )t + 0 0 (q,q)d 3q, (6) 2 (2) m – амплитуда рассеяния;

G = где t – нерелятивистский пропа + 0 0 q q + гатор системы;

m – масса пиона;

t – амплитуда фоторождения +–, кото рая аппроксимировалась кролл-рудермановским членом. Ее явный вид дается выражением ef 2 ( 1/2,3/2 q+ )( 3/2,1/2 ), + t =N (7) m M +i N где fN – константа связи, определяющая распад (1232) N;

M = 1232 МэВ и Г = 120 МэВ – масса и ширина -резонанса;

j, j – матрица оператора пере хода из состояния со спином j1 в состояние со спином j2;

q+ – импульс мезона + (см. рис. 2, a).

В настоящей работе при вычислении интеграла в формуле (6) мы ограничи лись полюсным приближением. А именно, в расчетах было учтено лишь первое слагаемое, возникающее в общем выражении q 2 f (q) q2 f (q) q q 2 q2 + i d q = i 2 f (q) + P q 2 q2 + i d q. (8) Учет лишь полюсного вклада равносилен отбрасыванию в выражении (8) ин теграла в смысле главного значения. Физически данное приближение (в литера туре иногда называемое K-матричным приближением) эквивалентно предполо жению, что между двумя последовательными актами рассеяния мезон находится на массовой поверхности. Таким образом, в полюсном приближении достаточно знания матрицы t + 0 0 ( q, q ) лишь при q = q = 2 m.

(9) Матрица t связана с амплитудой рассеяния f(q) соотношением 2 t = f (q), (10) + 00 m где µ = – приведенная масса -системы.

Результаты наших расчетов для полного сечения с включением эффектов пе рерассеяния в рамках описанных выше приближений показаны на рис. 2. Как видим, взаимодействие образующихся мезонов действительно играет ключе вую роль в области энергий E 600 МэВ. Его учет приводит к заметному уве личению сечения и, как следствие, к улучшению согласия с экспериментальны ми данными. Вместе с тем, предсказываемое теорией сечение по-прежнему не дооценивает экспериментальную величину. Так, например, при энергии E = = 500 МэВ отношение exp к theor достигает двух. Окончательный вывод о каче стве модели и влиянии эффектов пион-пионного взаимодействия может быть сделан лишь после корректного вычисления амплитуды (6) с учетом главного значения интеграла в формуле (8).

Дальнейшие шаги к пониманию динамики фоторождения двух нейтральных пионов в области второго резонанса могут быть связаны с исследованием поля ризационных характеристик.

Работа выполнена при финансовой поддержке фонда некоммерческих иссле дований «Династия» в рамках МЦФФ в г. Москва.

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор А. И. Фикс.

Литература 1. Gomez, T. J. A., Oset, E. Double pion photoproduction on the nucleon: Study of the isospin channels / T. J. A. Gomez, E. Oset // Nucl. Phys. 1996. Vol. A600. P. 413–435.

2. Murphy, L. Y., Laget, J. M. Reaction mechanisms in two pion photoproduction on the proton:

Meson exchange picture / L. Y. Murphy, J. M. Laget // Preprint Saclay. 1996. 32 p.

3. Ochi, K., Hirata, M., Takaki, T. Photoabsorption on a nucleon in the D13 resonance energy region / K. Ochi, M. Hirata, T. Takaki // Physical Review C. 1997. Vol. 56. P. 1472–1482.

4. Fix, A., Arenhvel, H. Double-pion photoproduction on nucleon and deuteron / A. Fix, H. Aren hvel // European Physical Journal A. 2005. Vol. 25. P. 115–135.

5. Wolf, M. et al. Photoproduction of neutral pion pairs from the proton / M. Wolf et al. // European Physical Journal A. 2000. Vol. 9. P. 5–8.

6. Assafiri, Y. et al. Double 0 photoproduction on the proton at GRAAL / Y. Assafiri et al. // Phy sical Review Letters. 2003. Vol. 90. P. 222001 (1–4).

7. Bernard, V. et al. Threshold two pion photoproduction and electroproduction: More neutrals than expected / V. Bernard, N. Kaiser, U. G. Meissner, A. Schmidt // Nuclear Physics A. 1994. Vol. 580.

P. 475–499.

8. Watson, K. M. The effect of final state interaction on reaction cross sections / K. M. Watson // Physical Review. 1952. Vol. 88. P. 1163–1171.

9. Бьеркен, Дж. Д. Релятивистская квантовая теория. Т. 1: Релятивистская квантовая механи ка / Дж. Д. Бьеркен // М. : Наука, 1978. 295 с.

ПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ В ПРЕЦЕССИИ СПИНА О. А. Константинова Томский государственный университет Известно, что при движении электрически нейтральных релятивистских час тиц во внешних электромагнитных полях прецессия спина с высокой степенью точности описывается классическим уравнением Баргманна – Мишеля – Телегди (БМТ) [1, 2]. Однако классическая теория прецессии спина, на наш взгляд, не получила должного развития в связи с возросший ролью квантовых методов ис следования физических явлений. Так, спиновые процессы были подробно изуче ны в работах [3, 4, 5]. Вместе с тем, наиболее строгое описание спина возможно только в рамках релятивистской квантовой теории на основе уравнения Дирака.

В квантовой теории прецессия спина описывается в терминах квантовых пере ходов с изменением ориентации спина. Этот подход существенно отличается от классического метода описания прецессии спина. Поэтому естественно возника ет вопрос об адекватности более простого и наглядного классического метода.

Исследование данной проблемы и является целью нашей работы. Для нахож дения связи между известными результатами исследования квантовых переходов с переворотом спина и классической теорией прецессии спина рассматривается уравнение БМТ для нейтрона, движущегося в однородном магнитном поле. Что бы проконтролировать полученные результаты, решается уравнение Дирака – Паули для соответствующих начальных условий, и находятся средние значения спина с нестационарной волновой функцией, построенной на спин-флип состоя ниях частицы (впервые эта идея была высказана в [3], см. также [6]).

Прецессия спина в классической теории Прецессию спина мы будем изучать в чистом виде на примере нейтрона, ко торый обладает полностью аномальным магнитным моментом (электрический заряд равен нулю) = –1,91я, где я = e0/2mpc – ядерный магнетон Бора;

mp – масса протона, остальные обозначения совпадают с общепринятыми.

Движение нейтрона мы будем рассматривать в однородном магнитном поле.

Для таких полей справедливо считать, что движение заряда и прецессия спина происходят независимо друг от друга. Тензорное уравнение БМТ [1] для ней трона имеет вид [3] d = H [ ] + 2 [ ] H. (1.1) d s c Здесь П = (Ф, П) – пространственноподобный тензор спина, удовлетворяю щий условию П = 0;

H = (–E, H) – тензор внешнего электромагнитного по ля;

= (0, ) = c(1, ) – четырехмерный вектор скорости;

= 1 1 2, s = 1 2.

В дальнейшем мы будем полагать E = 0, H = (0, 0, H).

Согласно условию пространственноподобности = [ ], можно ограничить ся рассмотрением уравнения d 1 = + 2 () H. (1.2) d s c Заметим, что согласно уравнениям (1.1) и (1.2) для описания прецессии спина можно использовать безразмерную форму, согласно которой тензор П имеет инвариант = 2, (1.3) где – единичный вектор спина, определенный в системе покоя.

В случае равномерного и прямолинейного движения нейтрона для = = (sin, 0, cos ), система уравнений (1.2) принимает вид dx d = h y, d y { } = h 2 (1 2 cos 2 ) x + 22 cos sin z, (1.4) d dz d = 0, где h = ||H/s. Решение этой системы будем искать при начальной ориентации спина 1 = (0, 1,0).

= 1 2 cos 2 sin ( t + ), x y = cos ( t + ), (1.5) = 0.

z Амплитуду можно определить и с помощью инварианта (1.3). При наших начальных значениях будем иметь = и, стало быть, = 1 2 cos 2 sin t, x y = cos t, (1.6) z = 0.

Частота прецессии спина определяется соотношением H 1 2 cos 2.

= (1.7) s Прецессия спина в квантовой теории Исследуем, как зависит прецессия спина нейтральной дираковской частицы от начальных условий.

Уравнение Дирака для нейтрона в ортогональных полях имеет вид [6] m0c i p H = 0. (2.1) 2c Здесь p µ = i µ – оператор четырехмерного импульса;

µ = i3 (1, ) ;

= = ( i, ) – снова матрицы Дирака;

(r, t ) – четырехмерный спинор, который мы будем искать в виде нестационарной волновой функции c c e i im c im c 2 ( r, t ) = L exp 0 ( br ) ct = (r) exp( 0 t ), (2.2) c3 i c4e где bµ = (1, ) – безразмерный аналог четырехмерного импульса частицы.

Положим далее = H m0 c 2, b = bx + iby = b ei. Подставляя (2.2) в уравне ние (2.1), получим следующую систему однородных уравнений с постоянными коэффициентами:

( 1 ) c1 b*c4 bz c3 = 0, ( 1 + ) c2 b c3 + bz c4 = 0, (2.3) ( + 1 + ) c3 b c2 bz c1 = 0, * ( + 1 ) c4 + b c1 + bz c2 = 0.

Из условия нетривиальности этой системы однородных уравнений с постоян ными коэффициентами (равенства нулю определителя из коэффициентов при неизвестных) находим что ) ( 2 = z + 1 + +. (2.4) С учетом нормировки c + c = 1 коэффициенты ci из (2.16) записываются в виде ( ) c1 = 1 + 1 + z + 1 z, 2 2 q 1 ( ) c2 = 2 2 1 q 1 + z 1 z, (2.5) ( ) c3 = 2 2 1 + q 1 + z 1 z, c = 1 1 1 1 + + 1, ( ) 4 2 2 q z z где введены следующие обозначения: q = 1 + 2b 2 = 1 2 cos 2, и, как все гда, = 1 1 2.

В квантовой теории прецессия спина описывается как нестационарный про цесс с помощью волновой функции, которая представляет собой суперпозицию спиновых состояний = ±1:

m c2 m c2 (r, t ) = A1 (r) exp i 0 1t + B 1 (r) exp i 0 1t, A+ A + B + B = 1. (2.6) Квантовое число = ±1 характеризует проекцию спина на направление маг нитного поля.

Числовые коэффициенты A и B определяются из начальных условий, задавае мых проекцией спинового оператора [3] = 2 [, b ] +, (2.7) на произвольное направление n = ( sin cos,sin sin,cos ) :

( n ) (r,0) = (r, 0), (2.8) где (r,0) = A1 (r) + B 1 (r). (2.9) Заметим, что при этом сама проекция спина вовсе не обязательно должна быть интегралом движения. Начальные условия соответствуют нестационарной волновой функции с t = 0. Таким образом, задавая интересующее направление, можно влиять на общий вид спиновых операторов. Далее, исследуем подробнее зависимость от начальных условий.

Рассмотрим, например, случай начальной ориентации спи на вдоль оси Y.

Матрица 1 = (0, 1,0) при = 2, = 2 имеет вид 0 i ib cos ib cos i 0 ib cos ib cos 1 y =. (2.10) ib cos ib cos i ib cos ib cos i В случае начальной ориентации спина вдоль оси Y будем иметь i =, A =, B=. (2.11) 2 Сопоставление результатов Таким образом, интерес для нас представляет случай начальной ориентации спина вдоль оси Y, так как именно в этом случае мы водим соответствие с клас сической амплитудой =. Вычислим далее среднее значение оператора спина (2.7). Для начала необходимо вычислить матричные элементы 2 sin cos x =, 1 2 cos = 0, y z = 1 2 cos 2, (3.1) x =, 1 2 cos y = i, z = 0.

Средние значения будут существенно отличаться друг от друга в зависи t мости от начальной ориентации спина. Рассматриваемый нами случай началь ных условий дает sin t x =, y = cos t, z = 0. (3.2) 2 1 cos t t t Фактически эти решения ничем не отличаются от решения тензорного урав нения БМТ (2.7). Частота прецессии спина соответствует квантовому спин-флип переходу – и равна 2 H m0c ( ) = 1 2 cos 2, = (3.3) что совпадает с (1.7).

Таким образом, в результате проведенных исследований мы убедились, что классическая теория прецессии спина нейтральной релятивистской частицы аб солютно обоснована. Все интересные результаты, полученные чисто квантовы ми методами в работах [2, 6] были подтверждены и проверены с точки зрения более простых и наглядных классических методов.

Автор выражает благодарность профессору Бордовицыну за ценные указания и постановку задачи, а также профессору Багрову за интересные дискуссии.

Данная работа написана в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», контракт № 02.740.11.0238;

№ П789.

Научные руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор В. А. Бордовицын.

Литература 1. Bargmann, V., Michel, L., Telegdi, V. L. // Phys. Rev. Lett. 1959. Vol. 2. P. 435–436.

2. Багров, В. Г., Бисноватый-Коган, Г. С., Бордовицын, В. А. и др. Теория излучения реляти вистских частиц / В. Г. Багров, Г. С. Бисноватый-Коган, В. А. Бордовицын и др. ;

под ред.

В. А. Бордовицына. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. 576 с.

3. Тернов, И. М., Багров, В. Г., Хапаев, А. М. // ЖЭТФ. 1965. 48. С. 921–927.

4. Бордовицын, В. А., Торрес, Р. // Изв. вузов. Физика. 1986. Т. 29, № 2. С. 43–45.

5. Константинова, О. А. // Изв. вузов. Физика. 2010. Т. 53, № 11. С. 90–94.

6. Bordovitsyn, V. A., Gushchina, V. S., Myagkii, A. N. // Nucl. Instrum. Methods A. 1998. Vol. 405.

P. 256–257.

ВЕКТОР УМОВА – ПОЙНТИНГА НАКЛОННОГО МАГНИТНОГО РОТАТОРА М. А. Мастерова Томский государственный педагогический университет В настоящей работе исследован поток энергии в окрестности прецессирующе го диполя. Обычно поток энергии изменяющегося со временем источника элек тромагнитного поля вычисляется вдали от источника, в так называемой, волно вой зоне. В этой области поток энергии направлен радиально от источника и представляет собой излучение. В данной работе вычислено распределение по тока энергии на любых расстояниях от источника поля. В частности, показано, что в ближней зоне вектор Умова – Поинтинга имеет не только радиальную, но и существенную азимутальную составляющую. Другими словами, энергия поля в ближней зоне участвует во вращении вместе с электромагнитным полем, и только в волновой зоне поток энергии приобретает значительную радиальную составляющую превращаясь в поток излучения. Исследования потока энергии в ближней зоне имеет практическое значение для небесных тел, окруженных ат мосферой из нейтрального газа. В этом случае электромагнитное поле оказывает на газ давление, аналогичное давлению света.

Поле прецессирующего магнитного дипольного момента Рассмотрим поле, создаваемое прецессирующим магнитным диполем. Закон движения вектора дипольного момента µ в декартовой системе координат (x, y, z) зададим в виде [1]:

= (sin cos t,sin sin t,cos ), (1) где – модуль и угловая скорость прецессии дипольного момента;

– угол меж ду вектором µ и осью прецессии. Из [2] легко получить векторы напряженности электрического поля в сферической системе координат:

r 3 Er = 0, r 3 E = M sin ( t ), (2) r 3 E = M cos cos ( t ), где обозначено:

r r 1 t = t, =, M = 1 + 2 sin, sin =, cos =, (3) c c 1 + 2 1 + c – скорость света. Из формул (2) видно, что E E + = 1, (4) E0 E M * M * cos где E0 = 3, E0 =. Таким образом, вектор E описывает эллипс r r с полуосями E0 и E0 в плоскости, ортогональной радиус-вектору. В направле нии оси прецессии ( = 0) магнитного момента эллипс вырождается в окруж ность, а в экваториальной плоскости ( = ) вектор E колеблется в меридиаль ной плоскости (параллельно оси z).

Вектор напряженности магнитного поля имеет компоненты ( = t ) :

r 3 H r = 2 [sin sin (cos sin ) + cos cos ], r 3 H = cos sin (cos sin 2 cos ) sin cos, (5) r 3 H = sin (sin + cos 2 sin ].

Из формул (5) следует, что магнитное поле, в отличие от электрического, име ет постоянные составляющие:

H rc = cos cos, (6) r H c = sin cos. (7) r В случае если угол прецессии равен нулю, эти составляющие дают поле по коящегося магнитного диполя. При этом электрическое поле, естественно, об ращается в ноль.

Плотность потока энергии поля в окрестности прецессирующего диполя Исходя формул для компонент магнитного и электрического полей, можно дать характеристику величине и направлению переноса энергии электромагнит ного поля, используя вектор Умова – Пойнтинга. Известно, что на больших рас стояниях от источника – в данном случае на расстояниях 1 – преобладает поле излучения, т.е. вектор Умова – Пойнтинга сонаправлен радиус-вектору r и убывает как 1/r2. Если в формулах для E и H в предыдущем разделе уст ремить r, то, действительно, получим поле электромагнитной волны:

E H n. Таким образом, на больших расстояниях энергия переносится в ра диальном направлении от диполя и представляет собой энергию электромагнит ного излучения и изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния.

Процессы переноса энергии в ближней зоне гораздо сложнее и практически не исследованы. Важность этих процессов обусловлена тем, что если магнитосфера небесного тела заполнена поглощающим веществом, то поле передает веществу часть своего импульса, оказывая давление на вещество. Динамика атмосферы, окружающей вращающееся намагниченное тело, может существенно опреде ляться силовыми линиями вектора Умова – Пойнтинга в ближней зоне. Постро им картину силовых линий вектора Умова – Пойнтинга на любых расстояниях от центра поля.

Вектор плотности потока электромагнитной энергии, называемый вектором Умова – Пойнтинга, определяется формулой [3]:

c P= E H. (8) Найдем компоненты вектора Умова – Пойнтинга в сферической системе ко ординат. Используя полученные формулы для векторов напряженности электри ческого (2), и магнитного (5), полей, получим:

Pr = P0{3 sin 2 (sin 2 + cos 2 cos 2 ) 2 sin 2 sin 2 sin 2 + 1 1 (9) + sin 2 cos 2 sin + sin 2 sin 2 sin 2 + sin 2 sin 2 ( cos + sin )}, 2 1 P = P0 sin cos [sin sin ( 2 sin 2 cos 2 sin 2) 2 2 (10) cos cos ( cos + sin )], P = P0 2 sin [sin sin ( 2 sin 2 sin 2 + cos 2 ) cos cos ( sin cos )], (11) 2c где P0 =. Вблизи источника поля поток энергии ведет себя довольно слож 4r ным образом, так как в любой точке пространства вектор Умова – Пойнтинга представляет собой быстро осциллирующую функцию. Практический интерес представляет средний за период поток энергии. Поэтому, полученные результа ты в формулах (9), (10), (11) усредним по времени. Тогда будем иметь стацио нарную картину для распределения потока энергии поля. После усреднения по лучим:

sin 2 (1 + cos 2 ), Pr = 8c P = 0, (12) 2 sin 2 sin (2 + 1).

P = 4c Построим силовые линии вектора P. Из того, что P = 0 следует, что силовая линия, проходящая через любую точку пространства, лежит на поверхности ко нуса с вершиной в начале координат и включающего данную точку. Ось конуса направлена по оси oz. Построим проекцию силовой линии на плоскость xy (рис. 1). Запишем уравнение силовой линии в полярных координатах R и, где R – расстояние от начала координат, – угол, отсчитываемый от оси ox. Коор дината R является проекцией радиус-вектора на плоскость xy: R = rsin.

Рис. 1. Наклон силовых линий к радиус-вектору r Из рис. 1 видно, что для угла справедливо соотношение:

l R (13) tg = =.

R R С другой стороны:

P xy (14) tg =, Pr xy где Pxy и Prxy – проекции компонент P и Pr на плоскость xy.

Приравнивая (13) и (14) и используя систему (12), получаем дифференциаль ной уравнение силовой линии вектора P :

1 + d (15) =2 4.

(1 + cos 2 ) d Решая дифференциальное уравнение (15) относительно угла, получим урав нение проекции силовой линии вектора Умова – Пойнтинга на плоскость xy:

1 = + + 0. (16) (1 + cos ) Здесь 0 – постоянная интегрирования. Разным значения 0 соответствуют разные силовые линии. Как видно из уравнения (16), при заданном угле одна силовая линия отличается от другой только поворотом вокруг оси z.

Построим проекцию одной силовой линии на плоскость xy в координатах (, ). Рассмотрим случаи разных углов.

Рис. 2. Картина силовых линий при =, Рис. 3. Картина силовых линий при =, 2 изменяется от 0 до 4 изменяется от 0 до Из рис. 2–3 видно, что силовая линия вектора P представляет собой спираль.

В области малых шаг спирали мал и силовая линия близка к окружности.

С ростом шаг спирали увеличивается и при 1 силовая линия асимптотиче ски приближается к лучу, исходящему из начала координат. Сравнивая графики для разных нужно помнить, что они построены в координатах (, ), в то время как физически радиальной координатой является расстояние R от оси z.

R =. (17) c sin sin. Вели Другими словами, графики построены с масштабным фактором c чина является безразмерным расстоянием от начала координат вдоль обра зующей конуса, на который навивается силовая линия. Рассмотрим зависимость шага спирали от расстояния. В области 1 шаг спирали много меньше, поэтому в формуле (4), которую мы теперь запишем в виде 2 R sin sin 2 + c c dR d = 2, (18) R 1 + cos R можно положить d 2, dR. Тогда 1 + cos R = R.

(19) c 2 2 R sin sin + c c шаг спирали растет как R4. С уменьшением уг Отсюда видно, что при R ла шаг спирали так же растет и при 0 он стремится к бесконечности – спи раль вырождается в прямую, совпадающую с осью z. Это следует так же из фор мул (12), которые для = 0 составляют только радиальную компоненту вектора sin, P = 0, P = 0.

Умова – Пойтинга: Pr = Таким образом, в работе дана характеристика величины и направления пере носа энергии электромагнитного поля, используя вектор Умова – Пойнтинга.

Показано, что в ближней зоне вектор Умова – Пойнтинга имеет не только ради альную, но и существенную азимутальную составляющую. Получена стацио нарная картина для распределения потока энергии поля.

Проведенные исследования могут быть использованы при анализе магнито сферы и динамики атмосферы небесных тел, обладающих магнитным моментом, несовпадающим с осью вращения.

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор В. Я. Епп.

Литература 1. Feyman, R. P., Leighton, R. B., Sand, M. The Feyman Lectures on Phisics / R. P. Feyman, R. B. Leighton, M. Sand. Addison-Wesley, 1964. Vol. 2.

2. Michel, F. C. Theory of Neutron Star Magnetospheres / F. C. Michel. London : Chikago Press, 1991. P. 287.

3. Ландау, Л. Д. Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М. : Наука, 1988.

ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПРЕЦЕССИРУЮЩЕГО МАГНИТНОГО ДИПОЛЬНОГО МОМЕНТА М. А. Мастерова Томский государственный педагогический университет Введение Поле магнитного дипольного момента и движение заряженных частиц в этом поле имеет большое практическое значение в астрофизике. Магнитные поля планет и звезд в хорошем приближении можно считать дипольными. Хорошо исследован стационарный случай, когда магнитный момент небесного тела сов падает с осью вращения. В частности довольно подробно исследовано движение заряженных частиц в поле Земли. Решение уравнений движения в магнитном поле покоящегося диполя дает замкнутые области, в которых могут двигаться заряженные частицы определенного диапазона энергий. Для планет эти области называются радиационными поясами [1].

Также известны тела, у которых направление магнитного момента отличается от направления оси вращения. В этом случае вокруг тела присутствует не только электрическое, но и магнитное поле. Примером таких тел могут служить ней тронные звезды, и в частности пульсары. Поля таких тел хорошо аппроксими руются полем прецессирующего магнитного дипольного момента [2].

Цель настоящей работы получить и исследовать уравнения движения заря женной частицы в поле прецессирующего магнитного дипольного момента.

Рассмотрим одно из допустимых выражений для векторного и скалярного по тенциала [3]:

1 A E= gradV, (1) c t и формулу для вектора напряженности электромагнитного поля:

nm nm E = 2 + 2. (2) rc rc Получим одно из допустимых выражений для потенциалов:

[ nm] + nm, V = 0.

(3) A= r2 rc Используя формулы для n, m и m найдем компоненты A в сферической сис теме координат:

Ar = 0, A = sin sin( t ') + sin cos( t '), (4) r rc A = (cos sin sin cos cos( t ')) sin sin( t ').

r rc Тогда Лагранжиан для заряженной частицы в поле прецессирующего магнит ного дипольного момента:

r 2 + r 2 + 2 r 2 sin L = mc 1 + c e sin sin + { sin( t ') + cos( t ') + (5) c r c + (sin cos cos( t ') cos sin ) sin r sin sin( t ') cos sin }.

c Получим релятивистские уравнения движения заряженной частицы в поле прецессирующего магнитного дипольного момента:

m(2 r + 2 r sin 2 ) e sin {2(sin( t ) cos( t ) 2 sin( t )) + + cr 1 + + sin 2(cos( r ) + sin( t ) 2 sin( t ))} (6) e sin cos sin 2 m r 2 2 2 2 2 + 2 (c r r sin ) + cr 2 c (1 ) rr 1 ( r2 + r + sin 2 ( r + r ) + r 2 sin 2) = 0, + c 2 m2 r 2 cos sin e sin cos 2{cos( t ) + sin( t )} + cr e cos sin 2 m rr 2 2 22 22 + 2rr + r 2 (2r + r + r sin ) cr c (1 ) (7) 2 r 2 2 2 2 r (r + r sin ) + 2 (rr + r 2 sin 2 + r 22 sin 2) c c 2 e sin r sin( t ) 1 r r cos( t )( + ) sin( t )( + ) = 0, c r r c c c e sin sin ( sin( t ) sin( t ) ) { ( cos( t ) + sin( t ) ) + cr 2 r sin m { 2 r (2r 2 + r 22 + r 22 sin 2 ) sin (2rr + r ) + r sin 3 c (1 2 ) 1 r r (r 2 + r 22 ) + r ( rr + r 2 + r 22 sin 2) 2 sin 2(r 2 + r 22 + r 22 sin 2 )} (8) 2 c e sin cos 2 r sin ( sin( t ) cos( t )) + (cos( t ) + r 2c sin 2 r + sin( t )) + [(1 )sin( t ) + 2 (1 ) cos( t )] 2 c e cos (r sin 2 r sin 2 ) = 0.

cr Симметрия рассматриваемой системы относительно плоскости z = 0 позволяет предположить, что возможны траектории движения, лежащие в этой плоскости.

Проверим, является ли решением уравнений r = R = const, =. Из уравнений движений получим:

mR 3 e cos =, (9) c 1 (2 )(cos( t ') sin( t ')) = 0, (10) mr = 0. (11) 1 Из (11) следует, что = const. Таким образом, частица может двигаться по окружности с постоянной скоростью. Обозначим = t + 0. Из (10) получаем условия на. Их два:

1. cos sin = 0, где = t ' = t ( ) 0. Отсюда = ctg. Это воз можно, если не зависит от времени, т.е. =.

2. =.

Проверим найденные решения на устойчивость. Разложим в окрестности по лученных решений с точностью до первого порядка малости по приращениям координат. Положим:

= +, = t +, r = R + r.

Рассмотрим окрестность первого равновесного решения. Из уравнений дви жения получим систему дифференциальных уравнения описывающих движение частицы в окрестности окружности с частотой = :

r 2tg = 0, + R rtg + 32 2tg = 0, (12) R r 3r2 R + Rtg = 0, где = ±1.

Из анализа характеристического уравнения системы (14) делаем вывод, что тривиальное решение является не устойчивым.

Рассмотрим Лагранжиан (5). Введем следующие обозначение:

r = t = (t ) = t +. (13) c Тогда Гамильтониан системы не зависит от времени:

2 r 2 sin 2 m m2 2 2 2 H = ( r + r sin + r ) + 2 e sin + sin( + ) cos sin (14) c e sin (sin cos cos( + )sin cos ) rc и является интегралом движения.

m Так как H = К + Veff, где K = (r 2 + r 2 sin 2 2 + r 22 ) – играет роль кинети ческой энергии, эффективный потенциал можно записать в виде:

mc 2 2 2 e sin 2 sin Veff = sin + (cos( + ) + sin( + )) mc (15) 2e2 cos sin = const.

mc 2 Налагая различные условия на значения этой функции, мы можем определить допустимую область движения частицы. Необходимо учитывать, что такая об ласть может содержать внутри себя и другие запрещенные области. Рассмотрим случай 1. Тогда из (17) имеем:

sin sin 2 cos() 2cos sin (16) =, 2h h где h = const, e 2 = 1. Картина распределения зависимости от и будет различна в зависимости от значения угла между магнитным моментом и осью вращения диполя:

Рис. 1. При = 15° Рис. 2. При = 60° Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор В. Я. Епп.

Литература 1. Holmes-Siedle, A. G., Adams, L. Handbook of Radiotoins Effects / A. G. Holmes-Siedle, L. Adams.

Oxford University Press, England, 2002.

2. Michel, F. C. Theory of Neutron Star Magnetospheres / F. C. Michel. London : Chikago Press, 1991. P. 287.

3. Ландау, Л. Д. Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М. : Наука, 1988.

N = 2 СУПЕРЧАСТИЦА ВБЛИЗИ ГОРИЗОНТА СОБЫТИЙ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ КЕРРА – НЬЮМАНА – AdS – dS К. А. Орехов Томский государственный университет К настоящему моменту было проведено исследование большого количества решений уравнений Эйнштейна – Максвелла в четырех и пяти измерениях, опи сывающих экстремальные черные дыры (когда внешний и внутренний горизон ты событий совпадают). Для широкого класса подобных решений характерна SO(2,1)-симметрия вблизи горизонта событий;

наиболее интересным случаем является черная дыра Керра, допускающая группу симметрий SO(2,1) U(1) вблизи горизонта.

Исследование подобных моделей представляет интерес по нескольким причи нам. Во-первых, как было показано в [1], можно расширить группу SO(2,1) U(1) до группы Вирасоро асимптотических симметрий при изучении Kerr/CFT соот ветствия.

Во-вторых, группа SO(2,1) является группой конформных преобразований в одномерном случае, а потому модели пробных частиц, движущихся вблизи го ризонта событий, будут конформно-инвариантными.

Наконец, в-третьих, SO(2,1) является бозонной подгруппой супергруппы SU(1,1|1), что позволяет построить N = 2 суперсимметричное обобщение модели частицы вблизи горизонта событий. Наличие суперзарядов, связанных с генера торами SU(1,1|1) позволяет предположить, что их можно связать со спинорами Киллинга для черной дыры Керра – Ньюмана – AdS – dS [2, 3].

В данной работе проведен анализ динамики пробной частицы вблизи горизон та черной дыры Керра – Ньюмана – AdS – dS. Построено N = 2 суперсимметрич ное расширение этой модели и найден полный набор ее интегралов движения.

Показано, как связаны между собой векторы и тензор Киллинга и интегралы движения, а также установлена приводимость тензора Киллинга вблизи горизон та событий.

Решение Керра – Ньюмана – AdS – dS и его свойства Экстремальная черная дыра Керра – Ньюмана – AdS – dS является решением уранений Эйнштейна – Максвелла с ненулевой космологической постоянной, имеющим вид [4]:

dr ds 2 = ()(r 2 dt 2 ()d 2 ) ()(d + krdt ) 2, A = f ()(d + krdt ), (1) r где 2aR r a2 a 2 = R 2 + a 2 cos 2, = 1, = 1 2 cos 2, k = 2, l2 ( R + a 2 ) l R R (1 + 3 2 ) q 2 r02 ( R 2 + a 2 ) 2 sin 2 R2 + a2 l = 2,=,=,a =, 2 2 1 R2 l R +a r0 R ( R 2 + a 2 )(1 ) ( R 2 + a 2 )(qe ( R 2 a 2 cos 2 ) + 2qm aR cos ) l r0 =,f=.

1 + 6 R2 l 2 3 R4 l 4 q2 l 2 22aR Здесь r = R – поверхность горизонта событий;

qe и qm – электрический и маг нитный заряды черной дыры;

q 2 = qe2 + qm, а величина l связана с космологиче ской постоянной сооношением = 3/l2.

Метрика и электромагнитное поле (1) допускают следующие симметрии:

– трансляция времени: t = a;

– вращение вокруг оси z: = ;

– дилатация: t = t, r = r, а также специальное конформное преобразование:

1 2k t = (t 2 + ), r = 2tr, =, r r которые вместе образуют группу SO(2,1) U(1). Им отвечают векторы Кил линга H = t, P =, D = t t r r, (2) 1 2k + t 2 ) t 2tr r K =(.

r r Можно убедиться, что они образуют алгебру so(2,1) u (1).

Кроме того, метрика (1) допускает тензор Киллинга – симметричный тензор 2-го ранга, удовлетворяющий уравнению ( i L jk ) = 0. Он равен dr L = ()2 ( r 2 dt 2 ). (3) r Конформная механика Действие для частицы имеет вид:

S = e dt f ()(kr + ) m dt r 2 r 2 ( + kr ) 2, (4) r а функция Гамильтона, соответственно, равна:

p H = r ( m 2 + (rpr ) 2 + + ( p + ef ) 2 kp ), (5) где ( pr, p, p ) – импульсы, канонически сопряженные переменным (r,, ).

Вектор Киллинга и тензор Киллинга K задают интегралы движения dx j I = i ( mgij + eAi ), (6) ds dxi dx j L = Kij. (7) ds ds Согласно (6) можно построить следующие сохраняющиеся величины:

K = ( m 2 + (rpr ) 2 + p + ( p + ef ) 2 + kp ) + t 2 H + 2trpr, r (8) D = t H + rpr, P = p, H, которые соответствуют векторам из (2), где H определяется формулой (5). От носительно скобки Пуассона они, как и должно быть, образуют алгебру so(2,1) u (1) (скобка Пуассона P со всеми остальными величинами есть ноль):

{H, D} = H ;

{H, K } = 2 D;

{D, K } = K. (9) Тензор Киллинга (3) дает интеграл движения:

L = m 2 + p + ( p + ef ) 2.

(10) Однако вычисляя оператор Казимира C алгебры so(2,1), видим, что этот инте грал движения не является независимым, а именно:

C = HK D2 = L k 2 P 2. (11) Выражая отсюда L и переходя от импульсов обратно к скоростям, можно най ти, что:

H ( i K j ) Di D j + k 2 PPj.

Lij = (12) i Подставляя сюда векторы Киллинга из (2), снова получаем (3). Отсюда следу ет, что тензор Киллинга является приводимым, т.е. выражается через векторы Киллинга (см. [5]).

N = 2 суперконформная механика Теперь необходимо построить N = 2 суперсимметричное расширение механи ки частицы, расссмотренной выше [6]. Это построение возможно провести, ис пользуя тот факт, что so(2,1) u (1) является бозонной подалгеброй алебры su(1,1|1). Генераторами этой алгебры, кроме H, K, D и P являются также генера торы суперсимметрии Q, Q, суперконформные генераторы S, S и u(1)-генератор R-симметрии J. Их структурные соотношения (здесь и далее черта обозначает комплексное сопряжение):

Q {Q, Q} = 2iH ;

{K, Q} = S ;

{Q, S } = 2i ( D + iJ );

{D, Q} = ;

S i (13) {H, S} = Q;

{D, S} = ;

{S, S } = 2iK ;

{J, Q} = S ;

2 {H, D} = H ;

{H, K } = 2 D;

{D, K } = K ;

Для фермионных степеней свободы, имеет место каноническое коммута ционное соотношение {, } = i.

Наиболее общая формула генераторов суперсимметрии – это Q = a eib, Q = a e ib (a и b – вещественные числа). Тогда a2 a (14) H= + {, b}, 2 a и так как H должен быть бозонным гамильтонианом, находим, что HB == есть гамильтониан (5).

Генераторы D и K достаточно взять в виде (8), где нужно заменить H на вы p ражение (14). Обозначая = ( m 2 + (rpr )2 + + ( p + ef ) 2 + kp ), из струк r турных соотношений (14) имеем следующие уравнения на b:

C {rpr, b} = 0;

{H B,{, b}} = 0;

{, b} =, (15) HB где С – оператор Казимира (13). Из (15) находим, что общее решение есть:

rpr b = arctan + bhom, (16) C где bhom произвольное решение однородного уравнения {, b} = 0, причем bhom = bhom ( x (), (), p ()) ( x rpr ), а так как переменная являлась цикличе ской в бозонном случае, то требование сохранения импульса p в суперсиммет ричной модели влечет за собой bhom = 0.

Зная b, теперь можно найти все суперзаряды:

C ;

D = tH + rpr ;

K = + t 2 H + 2trpr ;

H = HB (17) rp + i C i Q = i r ;

S = tQ + ;

J = + C.

2 Заметим, что второе слагаемое в гамильтониане соответствует взаимодейст вию бозонных и фермонных степеней свободы.

Полученный результат замечателен тем, что он был получен исключительно из теоретико-групповых соображений, кроме того, те же соображения влекут за собой единственность решения, так как с их помощью была устранена неодно значность в (17). По построению, импульс p сохраняется, а значит, генератор U(1)-симметрии Р коммутирует со всеми генераторами SU(1,1|1)-симметрии, и следовательно, полная группа симметрий полученной N = 2 суперконформной модели есть SU (1,1|1) U (1).

Заключение В первой части данной работы было проведено исследование динамики проб ной частицы вблизи горизонта событий экстремальной черной дыры Керра – Ньюмана – AdS – dS и показана ее связь с конформной механикой. Помимо этого был построен тензор Киллинга, и было доказано, что он является приводимым.

Во второй части, исходя из теоретико-групповых соображений, было построе но N = 2 суперсимметричное расширение этой модели и доказана его единст венность.

Что касается возможных обобщений, то прежде всего требуется указать связь между суперзарядами и спинорами Киллинга, характеризующими геометрию пространства вблизи горизонта событий черной дыры. Кроме того, насущным является вопрос о построении лагранжевой формулировки рассмотренной дина мики в суперсимметричном случае. Помимо этого, интересной является задача о построении канонического преобразования от полученной модели к стандарт ной конформной механике.

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор А.В. Галажинский.

Литература 1. Guica, M., Hartman, T., Song, W., Strominger, A. The Kerr/CFT Correspondence / M. Guica, T. Hartman, W. Song, A. Strominger // Phys. Rev. D. 2009. Vol. 80, № 124008.

2. Kostelecky, V. A., Perry, M. J. Solitonic black holes in gauged N = 2 supergravity / V. A. Kos telecky, M. J. Perry // Phys. Lett. B. 1996. Vol. 371. P. 191–198.

3. Caldarelli, M. M., Klemm, D. Supersymmetry of anti-de Sitter black holes / M. M. Caldarelli, D. Klemm // Nucl. Phys. B. 1999. Vol. 545. P. 434–460.

4. Hartman, T., Murata, K., Nishioka, T., Strominger, A. CFT duals for extreme black holes / T. Hartman, K. Murata, T. Nishioka, A. Strominger // JHEP. 2009. Vol. 4, № 19.

5. Walker, M., Penrose, R. On quadratic first integrals of the geodesic equations for the type {2, 2} spacetimes / M. Walker, R. Penrose // Comm. Math. Phys. 1970. Vol. 18. P. 256–274.

6. Galajinsky, A., Orekhov, K. N = 2 superparticle near horizon of extreme Kerr – Newman – AdS – dS black hole / A. Galajinsky, K. Orekhov. Access mode: http://arxiv.org/abs/1103. ПОСТРОЕНИЕ ЛАГРАНЖИАНОВ ДЛЯ АНТИСИММЕТРИЧНЫХ МАССИВНЫХ БОЗОННЫХ ПОЛЕЙ В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ С ПОМОЩЬЮ БРСТ-ПОДХОДА Л. Л. Рыскина Томский государственный педагогический университет В данной статье мы применяем БРСТ-подход, который изначально развивался для теории полей высших спинов, для построения калибровочно-инвариантного лагранжиана антисимметричных массивных полей в произвольном d-мерном ис кривленном пространстве. Полученная теория является приводимой калибро вочной моделью значение приводимости которой растет со значением ранга ан тисимметричного поля. Лагранжиан содержит большой набор вспомогательных полей и обладает большей калибровочной симметрией по сравнению со стан дартной лагранжевой формулировкой для антисимметричных полей.

Введение Известно, что антисимметричное бозонное поле µ1...µ p ранга p реализует не приводимое представление группы Пуанкаре (в пространстве – времени Мин ковского), если выполняются следующие уравнения ( 2 m 2 )µ1…µ p = 0, µ1 µ1…µ p = 0. (1) Рассматривая произвольное искривленное пространство – время, мы предпо лагаем, что условия на µ1...µ p, которые должны быть удовлетворены, обращают ся в уравнения (1) в плоском пределе. Из этого следует, что уравнения на µ1...µ p в искривленном пространстве – времени имеют вид ( 2 m 2 )µ1…µ p + члены с кривизной = 0, µ1 µ1…µ p = 0. (2) Далее будет показано, что «члены с кривизной» в процессе построения ла гранжиана определяться однозначно.

Статья организована следующим образом: в 1-м разделе мы развиваем БРСТ подход для массивных антисимметричных бозонных полей;

2-й раздел посвящен обсуждению результатов.

Построение лагранжианов для массивных полей Во избежание явных манипуляций с большим количеством индексов, удобно ввести пространство Фока с фермионными операторами рождения и уничтоже ния с индексами в касательном пространстве + (3) {aa, ab } = ab, ab = diag (, +, +,, + ).

Касательные и мировые индексы преобразуются друг в друга с помощью тет a рады eµ, при этом предполагается, что она удовлетворяет соотношению a e = 0. Введем оператор производной Dµ = µ + µ ab aa ab, Dµ | 0 = µ | 0 = 0, + (4) который действует на произвольный вектор состояния в пространстве Фока | как оператор ковариантной производной Dµ | = (µ µ1…µ p ) a µ1 + …a µp + (5) |0.

p = Далее необходимо реализовать уравнения (2) (с m = 0 ) как операторные связи в пространстве Фока. Для этой цели, определим операторы следующим образом l0 = D 2 + X, l1 = iaµ Dµ, (6) где D 2 = g ( D D D ) и оператор X соответствует «членам с кривизной»

в первом уравнении (2). Тогда действие этих операторов на произвольный век тор состояния в пространстве Фока | определяется соотношениями: l0 | = 0, l1 | = 0 эквивалентны соответствующим уравнениям (2).

Для построения лагранжиана в терминах БРСТ-подхода необходимо выпол нение двух условий: 1) иметь набор операторов инвариантных относительно эр митового сопряжения, 2) которые образовывают алгебру.

Принимая стандартное скалярное произведение в пространстве Фока мы предположим, что оператор X, а следовательно и l0 эрмитов относительно этого скалярного произведения. Оператор, сопряженный к l1, обозначим l1+ :

l1+ = ia µ+ Dµ. (7) Таким образом, мы имеем набор операторов l0, l1, l1+, инвариантный относи тельно эрмитового сопряжения. Теперь, мы должны реализовать второе требо вание: следует получить набор операторов, который образовывает алгебру.

С этой целью, мы находим все (анти)коммутаторы генерируемые операторами l0, l1, l1+. Поскольку оператор l0 еще не определен, необходимо вычислить анти коммутатор {l1, l1+ }. Имеем {l1, l1+ } = D 2 R a + a a + a, (8) где R = +. Так как правая часть (8) содержит оператор D2, который присутствует в операторе l0, перепишем (8) следующим образом {l1, 1+ } = l0 + X R a + a a + a. (9) Из (9) видно для того, чтобы алгебра стала замкнутой, мы должны взять X = R a + a a + a и ввести дополнительный оператор g m = m 2, как следствие оператор l0 примет вид:

l0 = D 2 + R a + a a + a. (10) Отметим, что найденное выражение для оператора l0 дает следующие уравне ния для антисимметричного поля ранга p в произвольном искривленном про странстве ( 2 m2 )1… p + (1) p pR[ 1 2… p ] p( p 1) R[1 2 3… p ] = 0. (11) В результате, алгебра операторов в массивном случае имеет вид:


{l1, l1+ } = l0 m ) g m, {l1, l1} = {l1+, l1+ } = [l1, l0 m ) ] = [l1+, l0 m ) ] = 0, ( ( ( (12) [ g m, l1 ] = [ g m, l1+ ] = [ g m, l0 ] = 0. (13) В наборе операторов только оператор g m не является связью ни в бра-, ни в кет- векторном пространствах. В этом случае, для нахождения лагранжиана в рамках БРСТ-подхода (см. например [2, 3, 4, 5]) необходимо ввести дополни тельные (новые) операторы рождения и уничтожения, и построить расширенные операторы oi Oi = oi + oi, oi = (l0( m ), l1, l1+, g m ), которые должны удовлетворять двум условиям: 1) они должны образовывать алгебру [Oi, O j ] Ok ;

2) операторы, не являющиеся связями, должны обратиться в нуль (т.е. должно выполняться Gm = g m + g m = 0 ).

С этой целью вводим пару фермионных операторов, рождения и уничтожения со стандартными коммутационными соотношениями {f, f +} = 1 и определяем l0( m ) = 0, l1+ = mf +, l1 = mf, g m = m 2. (14) Можно проверить, что расширенные выражения для операторов удовлетво ряют вышеуказанным требованиям: расширенное выражение для оператора g m, который не является связью, обращается в ноль;

а операторы L(0m ), L1, L1 обра + зуют алгебру {L1, L1 } = L(0m ), {L1, L1} = {L1, L1 } = [ L1, L(0m ) ] = [ L1, L(0m ) ] = 0.

+ + + + (15) Для этого вводим гостовские «координаты» 0, q1+, q1 и канонически сопря женные им гостовские «импульсы» P0, p1, p1+ с не нулевыми (анти)комму таторами {0, P0 } = 1, [ q1, p1+ ] = [ q1+, p1 ] = i. (16) Теперь, построим БРСТ-оператор Qm = 0 L(0m ) + q1+ L1 + q1L1 + q1+ q1 P0, Qm = 0, + (17) m = aµ aµ + f + f + iq1+ p1 ip1+ q1, [Qm,m ] = 0.

+ (18) В массивном случае, общее состояние в пространстве Фока выглядит сле дующим образом | = 01 (q1+ ) k2 ( p1+ ) k3 ( f + ) k4 a +µ1 …a +µ k µ11k…µ3kk4 ( x ) | 0.

k 2k k (19) ki В сумме (19) ki пробегают следующие значения: k1, k4 от 0 до 1 и k2, k3, k0 от 0 до бесконечности.

Для того чтобы построить лагранжиан для полей ранга p, накладываем огра ничения на поля | и на калибровочные параметры | ( i ) в расширенном про странстве Фока (19) следующим образом m | = p |, m | (i ) = p | (i ), (20) с оператором m, данным в соотношении (18). Если опустить эти условия, тогда лагранжиан (и калибровочные преобразования), будет содержать все поля с раз личными рангами. Покажем (см. например [2–5]), что лагранжиан, можно запи сать в виде L = d 0 | Qm |, (21) который инвариантен относительно приводимых калибровочных преобразований | = Qm | (0), … | (i ) = Qm | ( i +1), (22) … | ( p 2) = Qm | ( p 1).

Необходимо отметить, что в массивном случае, мы имеем дело с калибровоч ной симметрией Штюкельберга. Поля Штюкельберга и калибровочные парамет ры в разложении (19) – это поля содержащие f +, в степени k4 = 1 : µ11k…µ3k1 ( x).

k 2k Порядок приводимости калибровочных преобразований (22) конечен, в силу со отношения (20) и условия на гостовское число:

gh ( ( i ) ) = (i + 1).

gh( ) = 0, (23) Таким образом, лагранжиан для массивных бозонных антисимметричных по лей на произвольном искривленном фоне построен.

Покажем, что лагранжиан (21) дает уравнения движения эквивалентные (2), (11) с точностью до калибровочных преобразований. Полагаем, что ранг анти симметричного поля равен p. Затем имеем калибровочную теорию с p – 1-этапом приводимости. Вследствие (20) и (23) калибровочный параметр низшего этапа имеет вид ( i ) p + p ( p 1) ( p 1) = ( p1 ) ( x) 0. (24) p!

Можно явно проверить, что возможно устранить зависимость от f + в калиб ровочной функции ( p 2) ( p 2) -этапа. Затем можем проверить, что возможно устранить зависимость ( p3) от f + с помощью остаточных калибровочных параметров ( p 2) (которое не зависит от f + ). Продолжая рассуждения, в ко нечном итоге, избавляемся от зависимости поля от f +. Таким образом, у нас есть калибровка f = 0, и все калибровочные параметры использованы.

Обратимся к уравнениям движения Qm = 0. Разложим их в ряд по f + и находим, что часть уравнений движения имеет форму mq1 f + | = 0, (25) которая говорит нам, что поле не зависит от p1+. Это условие вместе с калибров кой f | = 0, означает, что поле может зависеть только от a +µ, что в свою очередь означает, что остается только физическое поле (i ) p +µ ( x)µ1…µ p a +µ1 … a p | | =| p = p!

и уравнения движения для этого случая имею вид: l0( m ) | p = 0 и l1 | p = 0.

В компонентной форме это есть уравнения (2), (11), которые было необходимо воспроизвести.

Результаты Мы показали, что БРСТ-подход, который изначально был разработан для мо делей полей высших спинов в пространстве анти де-Ситтера, применим для мас сивных бозонных антисимметричных полей в произвольном искривленном про странстве – времени. Полученные теории обладают приводимой калибровочной симметрией, порядок приводимости растет с увеличением ранга антисиммет ричного поля, а соответствующие лагранжианы и калибровочные преобразова ния задаются формулами (21), (22). Как и все лагранжианы, построенные на ос нове БРСТ-подхода, полученный лагранжиан обладает более высокой калибро вочной симметрией и содержит большее количество полей по сравнению со стандартным описанием антисимметричных полей.

Литература 1. Buchbinder, I. L. Lagrangian formulation of massive fermionic totally antisymmetric tensor field theory in AdSd space / I. L. Buchbinder, V. A. Krykhtin, L. L. Ryskina // Nuclear Physics. A. 2009.

Vol. 819. P. 453–477.

2. Buchbinder, I. L., Krykhtin, V. A. Gauge invariant Lagrangian construction for massive bosonic higher spin fields in D dimensions / I. L. Buchbinder, V. A. Krykhtin // Nucl. Phys. B. 2005. P. 537.

3. Buchbinder, I. L., Krykhtin, V. A., Lavrov, P. M. Gauge invariant Lagrangian formulation of high er spin massive bosonic field theory in AdS space / I. L. Buchbinder, V. A. Krykhtin, P. M. Lavrov // Nucl. Phys. B. 2007. P. 344–376.

4. Buchbinder, I. L., Krykhtin, V. A. BRST approach to higher spin field theories / I. L. Buchbinder, V. A. Krykhtin // Mod. Phys. Lett. A. 2010. 25. P. 1667–1677.

5. Buchbinder, I. L., Krykhtin, V. A. Progress in gauge invariant Lagrangian construction for massive higher spin fields / I. L. Buchbinder, V. A. Krykhtin. Access mode: http://arxiv.org/abs/0710.5715v 6. Buchbinder, I. L. Gauge invariant Lagrangian construction for massive higher spin fermionic fields / I. L. Buchbinder, V. A. Krykhtin, L. L. Ryskina, H. Takata // Phys. Lett. B. 2006. P. 386.

ЛАГРАНЖЕВО ОПИСАНИЕ БЕЗМАССОВОГО ЗАРЯЖЕННОГО ПОЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО ЦЕЛОГО СПИНА ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ Т. В. Снегирев Томский государственный педагогический университет Лагранжевы формулировки полей с низшими спинами s 2 построены до вольно давно и широко используются в физике элементарных частиц, эйнштей новской общей теории относительности, супергравитации. В тоже время для высших спинов к настоящему времени достаточно хорошо развита только ла гранжева теория свободных полей в плоском пространстве и пространстве анти де-Ситтера. Лагранжева формулировка взаимодействующих полей высших спи нов, свободная от внутренних противоречий, в настоящее время не известна.

В связи с этим проблемы теорий полей высших спинов привлекают значитель ное внимание и широко обсуждаются в современной литературе теоретической физики высоких энергий (см. обзоры [1–3]).

Среди всех взаимодействий электромагнитное взаимодействие является од ним из самых хорошо изученных и с давнего времени выступает как площадка для исследования и проверки различных моделей. Поэтому, кажется, естествен ным начать с исследования взаимодействия полей высших спинов с электромаг нитным полем.

Общие принципы Для безмассовых полей единственная возможность работать в явно лоренц ковариантном формализме является калибровочно-инвариантное описание.

Причина этого в том, что невозможно наложить лоренц ковариантные связи, ко торые выделяли бы две физические степени свободы со спинами (спиральностя ми) ±s. Более того, требование сохранения (пусть и модифицированной) калиб ровочной инвариантности после включения взаимодействия сильно ограничива ет возможный вид взаимодействий, практически полностью определяя, напри мер, основные свойства таких физически важных теорий, как теория Янга – Миллса, гравитации и супергравитации.

Сочетание теории возмущений и калибровочной инвариантности позволило сформулировать конструктивный подход к построению непротиворечивых взаимодействий безмассовых частиц [4]. Идея подхода довольно проста. В тео рии возмущений любой нелинейный лагранжиан мы можем представить в виде ряда по степеням полей:

L = L0 + L1 + L2 +..., где L0 – квадратичен по полям;

L1 – кубичен и т.д. Точно также и калибровоч ные преобразования можно представить в виде ряда:

= 0 + 1 + 2 +..., где 1 – линейны по плям;

2 – квадратичны и т.д. Но тогда и вариация лагран жиана относительно калибровочных преобразований L L = ( 0 + 1 + 2 +...)( L0 + L1 + L2 +...) естественным образом разлагается в ряд по степеням полей, при этом требова ние калибровочной инвариантности должно выполняться в каждом порядке по отдельности:

0 L0 = 0, 0L1 + 1L0 = 0, 0L2 + 1L1 + 2L0 = 0,...

Таким образом, вся конструкция должна начинаться с некоторого свободного лагранжиана L0, инвариантного относительно исходных калибровочных преоб разований без полей 0, что для безмассовых полей со спином s 1 выполняется автоматически. Далее лагранжиан взаимодействия и калибровочные преобразо вания достраиваются в виде ряда. На практике такой подход уже во втором по рядке оборачивается весьма громоздкими вычислениями, однако, важную роль в таком подходе играет линейное приближение, когда лагранжиан достраивается с точностью до кубических по полям членов, а поправки к калибровочным пре образованиям рассматриваются с точностью до линейных членов по полям. Осо бенность линейного приближения заключается, в том, что результаты такого приближения для любых трех полей (среди которых могут быть и одинаковые) никак не зависят от присутствия в системе любых других полей, оказываясь, та ким образом, универсальным для любой теории. В частности, это означает, что невозможность построить линейное приближение для тех или иных полей ведет к невозможности построить такое взаимодействие ни в какой другой системе полей, что и объясняет существование в литературе по высшим спинам множе ство «no-go» результатов.


Используя этот подход, можно объяснить невозможность включения мини мального взаимодействия для теории безмассового поля в плоском пространст ве, получая, таким образом, классический «no-go» результат. Подчеркнем, одна ко, что все три условия: минимальность, безмассовость и плоское пространство, одинаково важны. Отказ от любого из них открывает, в принципе, возможность построения взаимодействующей теории. Так, существуют непротиворечивые взаимодействующие теории безмассовых полей высших спинов в пространстве с отрицательным значением кривизны АдС [5, 6]. В работах [7, 8] были построе ны модели, описывающие массивные частицы спина-2, движущихся в электро магнитном поле. Случай включения неминимального однородного электромаг нитного взаимодействия для заряженного поля с произвольным целым спином s рассматривается в этой работе. Неминимальными называются любые взаимо действия с электромагнитным полем A, в которые входит калибровочно инвариантный тензор напряженности электромагнитного поля F = A A.

Безмассовое поле произвольного спина s во внешнем электромагнитном поле Рассмотрим заряженное безмассовое поле спина s, распространяющееся во внешнем постоянном электромагнитном поле. В случае постоянного электро магнитного поля, его напряженность F, является просто постоянной матрице, не зависящей от пространственных координат.

Мы будем работать с вещественными полями, поэтому для описания заря женного поля произвольного целого спина s введем дублет симметричных дваж ды бесследовых тензоров ранга s s i, s 4 i = 0, i = 1, 2, здесь и далее будем ис пользовать компактные обозначения ( )s i = µ1 µ1s 1i, s 2i = µ1µ2 µ1µ 2 s 2 i.

s i = µ1µ 2...µ s i, Свободный лагранжиан для рассматриваемой модели хорошо известен и име ет вид 1 1 L0 = (1) s s,i s i s ( ) ( )s 1 s ( s 1) ( ) s 1,i i s 2,i s 2i 2 2 (1) 1 1 i s ( s 1) s 2,i s 2 i s ( s 1)( s 2) ( ) ( ), s 3,i 4 8 s инвариантный относительно обычных калибровочных преобразований 0 s i = ( µ s 1)i.

Мы изучаем линейное приближение, и это означает, что далее при включении неминимального электромагнитного взаимодействия мы будем добавлять только линейные по F поправки к лагранжиану и калибровочным преобразованиям, игнорируя все выражения, содержащие F, в квадратичных и выше порядках.

Общий анзатц для кубического лагранжиана можно записать { L1 = (1) s ij F a1 s 1,i s 1 j + a2 ( ) ( )s s 2,i j + + a3 s 1,i ( ) s 1 + a4 ( ) s 2 j + a5 ( ) j s 2,i s 3,i s 3 j + (2) }.

+ a6 s 3,i s 3 j + a7 s 3,i ( ) + a8 ( ) ( ) j s 4,i j s 3 s Наиболее общая линейная поправка к калибровочным преобразованиям запи шется в виде 1 s i = ij [ 1F( s 1) j + 2 F( s 2) j + 3( F s 2) j ].

1 1 2 При этом есть двухпараметрический произвол, связанный с заменами пере менных h i h i + 1ij F( h ) j, i i + 2 ij F j, С помощью которого, взяв в качестве 1 = 1, а 2 = 1 2, можно занулить параметры 1 и 2. Тогда поправку к калибровочным преобразованиям выберем в виде 1 s i = ij ( F s 2) j.

И требуем выполнения калибровочной инвариантности в линейном прибли жении по F ( 0 + 1 )( L0 + L1 ) = 0 L0 + ( 0 L1 + 1L0 ) + 1L1 = 0.

Вариация 0L0 равна нулю в силу калибровочной инвариантности свободной теории. Вариация 1L1 дает вклад квадратичный по F, поэтому мы ее отбрасы ваем. Таким образом, для выполнения калибровочной инвариантности необхо димо выполнение условия 0 L1 + 1L0 = 0.

Это условие дает нам систему линейных уравнений 2a1 a3 = 0, ( s 1) a1 + a2 = 0, 2a2 a3 + 2a4 = 0, ( s 2) a2 + a5 = 0, 2a3 s[ d + 2 s 6] = 0, 2a4 s ( s 1)[ d + 2 s 6] = 0, 4( s 2) a4 8a7 s ( s 1)( s 2) d = 0, 2a5 4 a7 = 0, a5 + 2a6 = 0, ( s 3) a5 + 4a8 = 0.

Решая эту систему, можно выразить все неизвестные коэффициенты, входя щие в кубический лагранжиан через параметр калибровочных преобразований.

s[ d + 2 s 6], a3 = 2 a1 = s ( s 1)[ d + 2 s 6], a4 = 2 a2 = a5 = 2 a6 = 2 a7 = s ( s 1)( s 2)[ d + 2 s 6], a8 = s ( s 1)( s 2)( s 3)[ d + 2 s 6].

Параметр является произвольным и его размерность должна равняться, m для согласованности размерности действия.

Таким образом, используя калибровочно-инвариантное описание в сочетании с теорией возмущений, мы построили непротиворечивую теорию электромаг нитного взаимодействия для безмассового поля с произвольным целым спином s в линейном приближении. Лагранжиан, описывающий рассматриваемую модель можно записать в виде L = L free + Lint, (3) где L free – лагранжиан свободного движения заряженного частиц, имеющий вид (1);

Lint – лагранжиан взаимодействия с внешним постоянным электромаг нитным полем (2). А модифицированные калибровочные преобразования, отно сительно которых лагранжиан (3) инвариантен, выглядят s i = ( s 1) i + ij ( F s 2) j.

1 Литература 1. Vasiliev, M. Higher spin gauge theories in various dimensions / M. Vasiliev // Fortsc. Phys.

2004. 52. P. 702–707.

2. Sorokin, D. Introduction to classical theory of higherspins / D. Sorokin. Access mode: http://ar xiv.org/abs/hep-th/ 3. Bonatta, N., Compere, G., Sagnotti, A. An introduction to free higher-spin fields / N. Bonatta, G. Compere, A. Sagnotti. Access mode: http://arxiv.org/abs/hep-th/ 4. Ogievetski, V. I., Polubarinov, I. V. Interacting field of spin 2 and the Einstein equations / V. I. Ogievetski, I. V. Polubarinov // Ann. Phys. 1965. 35. P. 165.

5. Fradkin, E. S., Vasiliev, M. A. On the gravitational interaction of massless higher-spin fields / E. S. Fradkin, M. A. Vasiliev // Phys. Lett. B. 1987. 189. P. 89.

6. Fradkin, E. S., Vasiliev, M. A. Cubic interaction in extended theories of massless higher-spin fields / E. S. Fradkin, M. A. Vasiliev // Nucl. Phys. B. 1987. 291. P. 141.

7. Argyres, P. C., Nappi, C. R. // Phys. Lett. B. 1989. 224. P. 89.

8. Klishevich, S. M., Zinoviev, Yu. M. On electromagnetic interaction of massive spin-2 particale / S. M. Klishevich, Yu. M. Zinoviev // Phys. Atom. Nucl. 1998. 61. P. 1527. Access mode: http://ar xiv.org/abs/hep-th/ ИЗЛУЧЕНИЕ АТОМНОЙ ЦЕПОЧКИ, ВОЗБУЖДЕННОЙ КАНАЛИРУЮЩЕЙ ЧАСТИЦЕЙ М. А. Соседова Томский государственный педагогический университет Физика прохождения элементарных частиц через кристалл, в частности, кана лирование ускоренных частиц [1], хорошо развита в настоящее время. В процес се взаимодействия каналирующей частицы с кристаллом генерируется электро магнитное излучение. Это излучение можно представить как излучение из раз ных источников – собственно излучение частицы, совершающей колебания ме жду атомными плоскостями, излучение электронного газа, возбужденного кана лирующей частицей и излучение, испускаемое возбужденными атомами кри сталлической решетки. Излучение атомов, возбужденных каналирующей части цей практически не изучено. В настоящей работе мы рассмотрим часть этого из лучения, обусловленную колебаниями атомов в узлах кристаллической решетки, оставляя в стороне излучение, вызванное переходами электронов атома из воз бужденных состояний. Особенность рассматриваемого излучения состоит в том, что фазы колебаний атомов коррелируют между собой, поскольку колебания возбуждены одной и той же каналирующей частицей. Поэтому излучение следу ет рассматривать как когерентное.

Динамика атомов кристаллической решетки Рассмотрим сильно упрощенную модель кристаллической решетки, которая позволяет, тем не менее, определить основные свойства излучения возбужден ных атомных цепочек. Будем считать, что кристалл имеет двумерную решетку прямоугольной структуры. Введем систему координат так, чтобы ось OX была параллельна цепочкам атомов и проходила посередине между соседними цепоч ками атомов кристалла. Обозначим расстояние между соседними атомами, ле жащими параллельно оси OX, через b, а расстояние между цепочками атомов че рез 2D.

Рис. 1. Модель двумерной кристаллической решетки Пусть релятивистская, положительно заряженная частица, имеющая заряд q1, влетает в кристалл между двумя цепочками атомов под достаточно малым углом к направлению оси цепочки. Будем считать, что энергия частицы велика по сравнению с ее потерями на излучение и взаимодействие с веществом. Тогда скорость заряженной частицы при движении в кристалле остается постоянной и равной скорости влета V. Так же, при расчете взаимодействия частицы с от дельным атомом считаем, что каналирующая частица движется параллельно атомным цепочкам.

Поле релятивистской каналирующей частицы относительно лабораторной системы отчета сосредоточено, в основном, в плоскости, перпендикулярной на правлению движения частицы [2]. При этом следует ожидать, что ее взаимодей ствие с атомом вещества эффективно осуществляется в течение короткого отрез ка времени, когда атом оказывается в этой плоскости, и сводится к передаче им пульса в направлении, ортогональном скорости каналирующей частицы. Прове ряя это предположение, получаем отношение импульсов Py = =, (1) Px 1 из которого видно, что импульс, переданный ядру в направлении оси OY в гамма раз больше, чем импульс, переданный тому же ядру в направлении оси OX.

Здесь – Лоренц-фактор, = V/c, c – скорость света. Поскольку для релятивист ских частиц Py Px, отклонением ядра вдоль оси OX можно пренебречь, и рас сматривать колебания ядра только вдоль оси OY.

Скорость атома относительно положения равновесия является нерелятивист ской, поэтому при расчете излучения ядра можно использовать дипольное при ближение. Объединим в один диполь два атома, которые находятся в разных це почках друг против друга и одновременно возбуждаются пролетающей части цей. Дипольный момент полученной системы равен x p yi ( xi, t ) = Ai sin t i, pxi ( xi ) = 2 xi q1, (2) V где Ai – амплитуда колебаний i-го дипольного момента:

x 2q1q2 K Ai = cos i, (3) mVD V где K и – амплитуда и частота колебаний каналирующей частицы;

q1 – заряд частицы;

q2 – эффективный заряд атома, экранированного внутренними оболоч ками;

– частота колебаний ядра атома;

m – масса частицы;

xi – координаты атомов;

xi = ib.

Наиболее существенным для дальнейших расчетов является учет затухания колебаний атомов в узлах кристаллической решетки. На языке квантовой меха ники этот процесс описывается как излучение фононов. Предполагая, что энер гия фононов много меньше энергии колебательного состояния атома, мы мо жем учесть затухание колебаний, вводя экспоненциальный множитель в ам плитуду колебаний. С учетом затухания уравнение для дипольного момента принимает вид - t - Vi x x x Ai e sin t i, t i, V V p yi ( xi, t ) = (4) xi 0, t V, где – коэффициент затухания. Постоянную составляющую дипольного момен та pxi впредь будем игнорировать, поскольку поле излучения пропорционально второй производной по времени от дипольного момента.

Излучение возбужденных атомных цепочек Электрическое поле излучения дипольного момента определяется следующей формулой [2]:

[ n,[ n, pi (t )]], Ei ( r, t ) = (5) rc где единичный вектор n определяется равенством n = r/r и имеет координаты n = (sinsin, cos, sincos);

r – вектор, соединяющий диполь с точкой, для ко торой записан вектор Ei;

r = |r|, дипольный момент pi следует брать в предшест вующий момент времени t' = t – r/c.

Далее считаем, что расстояние от кристалла до наблюдателя много больше размеров кристалла. Тогда вектор n и расстояние r в формуле (5) постоянны и не зависят от x. Зависимость от x следует учесть только в фазе электромагнитной волны, а именно в t'.

Дифференцируя уравнение для дипольного момента (4) дважды по времени, получим формулу x - Ai e [( 2 )sin 2 cos ], t ' i, V p yi ( xi, t ') = (6) 0, t ' xi, V xi Rx где = t ' = t i (1 nx ), R =|R|, R – вектор из начала координат в точку V cV наблюдения, n = R/R.

Пусть атомная цепочка состоит из большого, но конечного числа атомов N.

Результирующее поле излучения является дискретной суммой полей отдельных атомов кристалла.

N E ( R, t ) = Ei ( R, t ). (7) i = Поскольку расстояние между атомами много меньше длины волны излучения, можно перейти к непрерывному распределению дипольного момента по оси OX, а суммирование заменить интегрированием. Тогда формула для поля излучения принимает вид E (t ) = et0 F ( x2, t )ekx2 F ( x1, t )ekx1, (8) где F(x,t) – периодическая функция времени. Угол отсчитывается от оси OY.

Рассматривая экспоненциальные множители в последней формуле, видим, что амплитуда колебаний напряженности поля излучения сначала растет по закону, близкому к 1 – e–t (поскольку x2 = t0/k), и, если кристалл достаточно длинный, выходит на плато. После вылета частицы из кристалла амплитуда поля экспо ненциально убывает.

Далее мы пренебрежем краевыми эффектами и будем рассматривать только излучение с постоянной амплитудой поля. Другими словами, в формуле (8) мы оставляем только первое слагаемое, в котором x2 = t0/k и которое, в случае длин ного кристалла, является основным. Тогда формула для поля излучения прини мает вид:

cos sin cos + + sin 1 A0 ( 2 + 2 ) sin ' t E (t ) = + 2 + 2 2 + 2k + (9) sin cos sin + cos + cos ' t, 2 2 2 + + + где 1 k= (1 nx ), ± = '±, ' =, V 1 nx 2 2 2q q 2 K sin sin =, cos = 2, A0 = 1 22.

2 + 2 + 2 mVD bRc Как видим, излучение в этом случае генерируется только на частоте '.

Найдем угловое распределение интенсивности излучения. Интенсивность из лучения dI в элемент телесного угла do равна:

q12 q2 K 2 sin ( 2 + 2 )2 + 4 '2 dI =. (10) do 2m 2b 2c3 D 42 (1 nx ) 2 ( 2 2 + '2 ) 2 + 4 Зависимость интенсивности излучения от частот ' и, в последней формуле, имеет резонансный характер. При достаточно малых имеет место резонанс при ' = или при =. (11) 1 nx Если каналирующая частица является ультрарелятивистской, то условию резо нанса (11) соответствует довольно широкий диапазон значений отношения /':

2 2.

(12) 2 ' Вид зависимости интенсивности излучения (10) от углов и представлен на рисунке ниже:

Рис. 2. Угловое распределение интенсивности излучения Наличие в знаменателе формулы для углового распределения интенсивности излучения (10) фактора (1 – nx) приводит к тому, что в случае релятивистской каналирующей частицы основная часть излучения генерируется в направлении скорости частицы. Таким образом, частота излучения и угловое распределение оказываются близкими к соответствующим характеристикам излучения самой каналирующей частицы. Это обстоятельство может привести к проблеме экспе риментального отделения одного вида излучения от другого, и к затруднению идентификации рассматриваемого излучения.

Заключение В данной работе рассмотрены основные свойства излучения атомных цепочек, возбужденных каналирующей частицей.

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор В. Я. Эпп.

Литература 1. Барышевский, В. Г. Каналирование, излучение и реакции в кристаллах при высоких энер гиях / В. Г. Барышевский. М. : Изд-во МГУ, 1982. 256 с.

2. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М. : Наука, 1988.

Т. 2. С. 378.

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ФУРЬЕ-КОМПОНЕНТ ПОЛЯ ДИПОЛЯ Ю. Г. Янц Томский государственный педагогический университет Введение Поле, создаваемое зависящим от времени дипольным электрическим мо ментом изучено довольно хорошо. Известны выражения для напряженностей электрического и магнитного поля (см., например, [1]). Практически в любом учебнике электродинамики можно найти выражения для мощности и спектра излучения диполя. Тем не менее, ряд вопросов в этой области остается не изу ченными, например, задача восстановления динамики диполя по создаваемому полю – обратная задача.

Условия обратной задачи предполагают, что электромагнитное поле создается дипольным электрическим моментом. Напряженности электрического E и маг нитного H полей известны как функции времени. Требуется найти источник этого электромагнитного поля, т.е. величину дипольного момента p, как она за висит от времени, и положение этого момента в пространстве.

Решение обратной задачи для общего случая было получено в работе [2], и имеет следующий вид:

H, H n=±, (1) H, H ( n, C, A ) = c ( n, B, C ), r =c (2) ( n, A, B ) ( n, C, A ) )e d, ( p ( t ' ) = e p0 + r 3 n, H1 + n, n, E (3) ct – безразмерное время;

p0 = p0 + np0 x – произвольный постоянный где = r вектор, A = H n, E, B = H n, E, C = H – известные векторы;

H1 = H ( t )dt.

Для практических приложений может быть полезным такое решения задачи, когда известны Фурье-компоненты электрического и магнитного поля диполя.

В настоящей работе получено решение обратной задачи для случая, когда из вестна Фурье-составляющая магнитного поля в двух близких точках пространст ва на произвольном расстоянии от источника поля.

Обратная задача для Фурье-компонент поля диполя Разложение Фурье для магнитного поля точечного диполя (в том смысле, что размеры источника много меньше длины рассматриваемой волны) имеет вид [1]:

ik 2 ( d n ikr 1) eikr, Н = (4) r где k = c – модуль волнового вектора. Поскольку H ортогонален n, выберем систему координат так, чтобы Hz = 0. Тогда вектор магнитного поля H e it на частоте описывает эллипс в плоскости XY. Назовем его эллипсом поляризации вектора H. Источник поля находится на оси OZ, но пока не ясно, в положительном или отрицательном направлении этой оси. Вектор дипольного момента d представим в виде проекции на оси координат:

( ) i d = d x e i x, d y e y, d z e i z, где j начальные фазы, а dj – вещественные амплитуды Фурье-компонент ди польного момента.

Проекции H на координатные оси равны:

i ( kr + y ) ik ik, H y = 2 d x ( ikr 1) e ( x ), d y ( ikr 1) e i kr + H x = (5) r r где = nz = ±1. Представляется очевидным, что разность фаз между проекциями H на оси OX и OY совпадает с разностью фаз между соответствующими проек циями вектора d. Тогда систему координат можно повернуть вокруг оси OZ так, чтобы оси эллипсов поляризации векторов d и H совпали с осями OX и OY. В этом случае можно положить x = 0 и y = 2.

Представим компоненты вектора H в виде:

i H j = H j e j, j = x, y. (6) Из формул (5) можно найти выражения для амплитуд Фурье-компонент:

k d 1 + k 2r 2, H x = (7) 2 y r k d 1 + k 2r 2.

H x = 2 x r И для соответствующих фаз:

(kr cos kr sin kr ) sin x =, 1 + k 2r ( kr sin kr + cos kr ), cos x = (8) 1 + k 2r ( kr sin kr + cos kr ), ( kr cos kr sin kr ).

sin y = cos y = 1 + k 2r 2 1 + k 2r Формулы (7) и (8) позволяют получить некоторые представление об источни ке поля. Измеряемыми величинами являются амплитудами H x и H y. Из вы ражений (7) следует, что эллипс поляризации вектора напряженности магнитно го поля подобен проекции эллипса поляризации дипольного момента на плос кость XY, т.е. на плоскость, ортогональную линии, соединяющий наблюдателя с источником поля. Но эти эллипсы повернуты друг относительно друга на угол /2. Поскольку фазы Фурье-компонент определенны с точностью до аддитивной константы, физический смысл имеет только разность фаз. Из формул (8) нетруд но найти:

x y =. (9) Отсюда следует, что вектор напряженности магнитного поля вращается в том же направлении, что и вектор дипольного момента.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 9 |
 



Похожие работы:





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.