авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
-- [ Страница 1 ] --

ТРУДЫ

ВСЕРОССИЙСКОЙ НАУЧНОЙ КОНФЕРЕНЦИИ

«ПРОЕКТИРОВАНИЕ НАУЧНЫХ И ИНЖЕНЕРНЫХ

ПРИЛОЖЕНИЙ В СРЕДЕ MATLAB»

Часть 3. Моделирование и

исследование динамических

систем

Под общ. ред. Е.В. Никульчева

Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

СОДЕРЖАНИЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ ИНЕРЦИАЛЬНОГО

УПРАВЛЕНИЯ, КОМПЕНСИРУЮЩЕЙ НЕИЗВЕСТНУЮ ОШИБКУ ОРИЕНТАЦИИ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Александров В.М., Орловский В.Г................................................................338 ПОСТРОЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В СРЕДЕ MATLAB Асанов А.З., Ахметзянов И.З.........................................................................342 РАСЧЕТ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В СРЕДЕ MATLAB Асмыкович И.К., Овсянников А.В................................................................ СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО ЛИНЕЙНОГО РЕГУЛЯТОРА И ЕГО КОНТРОЛЬ Афонин В.В...................................................................................................... КОМПЛЕКС ДЛЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ НЕЧЕТКИХ ЛОГИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРОВ Деменков Н.П................................................................................................... СИСТЕМА ДЛЯ ПРИНЯТИЯ ПЛОХО ФОРМАЛИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ Деменков Н.П................................................................................................... ПАКЕТ ПРОГРАММ СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ Жуков Ю.А., Ледовский А.Д., Лычагин Ю.В., Яковенко Н.Г................... МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ В MATLAB Зотов М.Г., Белялетдинов И.И....................................................................... Часть 3. Моделирование и исследование динамических систем СПЕКТРАЛЬНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ТРАЕКТОРИЙ ДЛЯ МОДЕЛИ СТОХАСТИЧЕСКОГО РЕЗОНАНСА Кухаренко Б.Г.................................................................................................. РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ РЕГУЛИРОВАНИЯ ДЕБИТОРСКОЙ ЗАДОЛЖЕННОСТИ Лабуцкий Д.А................................................................................................... ДЕЦЕНТРАЛИЗОВАННЫЕ АЛГОРИТМЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ ИНФОРМАЦИОННЫХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Лыченко Н.



М.................................................................................................... МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Макарычев П. П............................................................................................... ПРОЕКТИРОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ГРУПП И АЛГЕБР ЛИ Никульчев Е.В.................................................................................................. ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ МАТРИЧНЫХ НЕРАВЕНСТВ В СРЕДЕ MATLAB ДЛЯ СИНТЕЗА УПРАВЛЕНИЯ СО СТАТИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО ВЫХОДУ Пакшин П.В., Рябов А.В................................................................................. ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМЫ MATLAB ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПРОГНОЗИРУЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ Перепелкин Е.А............................................................................................... ПАКЕТ ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ ДЛЯ СИНТЕЗА НЕПРЕРЫВНО ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ ГАРАНТИРОВАННОЙ ТОЧНОСТИ Розенвассер Е.Н., Рыбинский В.О................................................................. Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

АВТОМАТИЗАЦИЯ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ И НАБЛЮДАТЕЛЕЙ СОСТОЯНИЯ В СРЕДЕ ПАКЕТА MATLAB Толочко О.И., Федоряк Р.В............................................................................ ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ЛАЧХ В СРЕДЕ MATLAB Толочко О.И., Коцегуб П.Х., Федоряк Р.В................................................... ПЛАТФОРМА РЕАЛЬНОГО ВРЕМЕНИ «QNX TARGET» В ЗАДАЧАХ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Федоряк Р.В...................................................................................................... ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ МАРКОВСКОЙ ЦЕПЬЮ ДЛЯ ЗАДАЧИ УДЕРЖАНИЯ В ЗАДАННОМ ОТРЕЗКЕ Филатов М.А.................................................................................................... СИММЕТРИЧЕСКИЕ БИФУРКАЦИОННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Халин А.Л......................................................................................................... МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЧЁТКОГО УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ Хныкин А.П., Гладышев М.В......................................................................... НАСТРОЙКА НЕЧЕТКИХ МОДЕЛЕЙ В СРЕДЕ MATLAB Штовба С.Д...................................................................................................... МЕТОД ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА АСР С НЕЧЕТКИМИ РЕГУЛЯТОРАМИ В СРЕДЕ MATLAB Шумихин А.Г., Игушев В.Н........................................................................... Часть 3. Моделирование и исследование динамических систем УДК 681.3.068(03) МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ ИНЕРЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ, КОМПЕНСИРУЮЩЕЙ НЕИЗВЕСТНУЮ ОШИБКУ ОРИЕНТАЦИИ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Александров В.М.1, Орловский В.Г. СУНЦ МГТУ им. Баумана, 2SERVICE TECHNOLOGIES, г. Москва e-mail: alexk@sci.lebedev.ru, orlov@relline.ru Инерциальные гироскопические системы обладают свойством сохранять неизменной свою ориентацию в инерциальном пространстве. Зная скорость в момент начала управления и интегрируя измеренное акселерометрами ускорение можно вычислить изменение положения объекта относительно точки начала управления.





Пусть управление начинается в момент To и его целью является перемещение объекта управления (первоначально движущегося совместно с некоторым носителем - планетой, ракетой, самолетом) из точки начала управления A в конечную точку C. Отделение объекта от носителя происходит в точке D через некоторое время после начала управления. В конечную точку C объект приходит в момент Tc (рис. 1.).

Рис. 1.

В соответствии с принципом независимости движений можно представить движение объекта как суперпозицию движения по инерции и движения с ускорением под действием сил.

Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

Перемещение объекта из A в C можно представить как сумму перемещения Si по инерции и перемещения Sf под действием сил (рис. 2.).

Рис. 2.

Обеспечение нужного перемещения под действием сил и является задачей системы управления движением объекта.

Задание (программа) для системы управления объекта формируется в предположении, что ориентация гироскопической системы объекта относительно системы координат носителя известна точно. Реально же всегда есть неизвестная ошибка ориентации, которая, кроме того, меняется во времени. Поэтому в результате точного выполнения задания объект окажется в точке C*, а не в точке C. Конечная ошибка S решения задачи зависит от неизвестной в процессе управления ошибки ориентации гироскопической системы объекта (рис. 3).

Рис. 3.

Идея метода управления, обеспечивающего сведение конечной ошибки решения задачи к нулю при любой неизвестной в процессе управления ошибке ориентации инерциальной системы объекта, состоит в том, что в момент To начала управления Часть 3. Моделирование и исследование динамических систем скорость объекта должна быть направлена в конечную точку C, а система управления объекта должна обеспечивать равенство нулю перемещения за счет действия сил к моменту времени, в который движение по инерции привело бы объект в точку C (рис. 4.).

Рис. 4.

Такое управление инвариантно относительно ориентации инерциальной системы объекта и задание (программа) для системы управления объекта может быть сформировано без учета конкретной ориентации гироскопической системы объекта, а его выполнение обеспечит равенство нулю конечной ошибки решения задачи при любой неизвестной ошибке ориентации.

Структура системы инерциального управления, реализующей решение задачи в соответствии с изложенным выше методом, представлена на рис. 5.

Рис. 5.

Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

Исследование поведения такой инерциальной системы управления проводилось, в частности, путем моделирования ее работы с помощью средств системы MATLAB. Структура MATLAB-модели соответствует структуре исследуемой системы управления и представлена на рис. 6.

Рис. 6.

С помощью MATLAB-модели исследовалось поведение инерциальной системы управления при выполнении различных вариантов программ (заданий) как при отсутствии ошибки ориентации ИНС объекта, так и для различных величин ошибки ориентации. Исследовались изменения траектории движения объекта в зависимости от значения ошибки ориентации ИНС объекта. Было изучено влияние изменяющейся во времени ошибки ориентации ИНС (дрейф ИНС) на качество выполнения программы (задания).

Литература 1. Александров В.М., Орловский В.Г. Метод компенсации неизвестных ошибок инерциальных навигационных систем //Научная сессия МИФИ-2001. Сборник научных трудов. Т.2.

М.: МИФИ, 2001. С.110-111.

Часть 3. Моделирование и исследование динамических систем УДК 681.51. ПОСТРОЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В СРЕДЕ MATLAB Асанов А.З., Ахметзянов И.З.

Камский государственный политехнический институт, г. Набережные Челны e-mail: ask@asan.chelny.ru, insurz@mail.ru 1. Введение Решение задач моделирования, синтеза, исследования динамических систем, как правило, усложняется, если система представлена нелинейной моделью. В некоторых случаях удается выполнить линеаризацию модели и получить адекватные результаты, используя широкий выбор методов исследования линейных систем. В случаях, когда модель существенно нелинейна, прибегают к приближенным методам исследования, таким как метод фазовых плоскостей [1], метод гармонической линеаризации [1, 2]. Одним из наиболее мощных и точных инженерных методов является имитационное цифровое моделирование. Современные программные средства позволяют с минимальными усилиями формировать модели систем, с требуемой точностью моделировать процессы в них, используя численные методы.

При проведении исследований часто прибегают к частотным методам. Однако встроенные средства MATLAB обеспечивают аналитическое построение частотных характеристик (ЧХ) только линейных моделей. В то же время в ряде случаев использование частотных методов приемлемо и для нелинейных систем.

В данной работе предлагается способ построения ЧХ как линейных, так и нелинейных динамических систем. Подход объединяет в себе экспериментальные методы построения ЧХ и средства имитационного моделирования, предоставляемые средой разработки MATLAB [3], в частности его подсистемой моделирования Simulink [4].

Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

2. Описание измерительного модуля Предлагаемая методика реализована в виде измерительного модуля (в дальнейшем именуемого «модуль»), предназначенного для экспериментального построения ЧХ линейных и нелинейных систем, причем эксперимент проводится на имитационной модели объекта исследования. Модель формируется в виде структурной схемы средствами подсистемы Simulink. Достоинством такого подхода является возможность использования модуля для построения ЧХ практически любой структуры. Таким образом снимается ограничение на структуру модели (расположение, количество нелинейных элементов), присущее другим методам исследования нелинейных систем.

Модуль содержит две взаимосвязанные компоненты:

1. подсистема проведения эксперимента;

2. подсистема математической обработки.

Подсистема проведения эксперимента представляет собой специальный блок, разработанный в Simulink, подключаемый к модели исследуемой системы. Функциями подсистемы является генерация гармонических синусоидальных входных воздействий заданной частоты и амплитуды, измерение величины сигнала на выходе модели, передача измеренных на входе и выходе сигналов в виде числовых массивов в рабочую область MATLAB.

Подсистема математической обработки включает в себя набор процедур и функций, предназначенных для получения ЧХ в численном виде и выполнения различных преобразований над ними.

Входными данными для измерительной системы являются имя исследуемой модели, построенной в Simulink, частотный диапазон, для которого будут построены ЧХ, амплитуда входного гармонического сигнала, количество точек, в которых будут вычислены значения характеристик, время установления вынужденных колебаний, размер матрицы FFT (Fast Fourier Transform).

Полная программная реализация измерительной системы представлена в приложении.

Обобщенный алгоритм работы измерительной системы включает в себя следующие этапы (курсивом даны операторы MATLAB).

1. Инициализация переменных, включая выделение памяти под массивы, задание начальных значений.

2. Формирование вектора, содержащего значения частот, для которых будут определяться ЧХ;

эти значения равномерно Часть 3. Моделирование и исследование динамических систем распределяются в заданном частотном диапазоне в логарифмическом масштабе:

f=10.^(step.*(1:stepnum)+initialpower);

Далее следует выполнение основного цикла программы измерительной системы.

3. Вычисление параметров, необходимых для использования подсистемы проведения эксперимента. Определяется величина шага интегрирования tstep и значение кратности выборки D. При этом требуется, чтобы шаг интегрирования при проведении эксперимента не был меньше определенного порогового значения tstep_init. В связи с этим возникают две ситуации. Если желаемое значение шага интегрирования меньше минимально допустимого, то оно приравнивается к граничному. В противном случае величина tstep вычисляется так, чтобы обеспечить определенное количество выборок в расчете на один период синусоидального сигнала. Ниже приведен соответствующий фрагмент программы:

if f(i)=1/tstep_init/PointForPeriod tstep=tstep_init;

% определение шага интегрирования D=fix(1/(f(i)*PointForPeriod*tstep));

%вычисление % значения Decimal Factor tstep=1/(D*f(i)*PointForPeriod);

% уточнение шага % интегрирования else tstep=1/f(i)/PointForPeriod;

D=1;

end 4. Определяются шаг выборки сигналов tstep_fft и длина временного интервала экспериментального моделирования переходного процесса:

tstep_fft=D*tstep;

% вычисление шага времени для FFT maxtime=tpp+tstep_fft*masLen;

% вычисление временного % интервала 5. Коррекция частоты гармонического сигнала. Значение частоты сигнала приравнивается к ближайшей частоте, для которой будет вычислена спектральная характеристика методом FFT.

ff = (1/tstep_fft*(0:masLen/2)/masLen);

%вычисление %массива частот (Гц) Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

f_compare=f(i) = ff;

[temp,index]=max(f_compare);

% индекс элемента с %ближайшим значением if (f(i)-ff(index-1))=(-f(i)+ff(index)) f(i)=ff(index);

else f(i)=ff(index-1);

index=index-1;

end 6. Проведение эксперимента в системе Simulink. На вход модели подается гармоническое синусоидальное воздействие с текущей частотой и заданной амплитудой. После окончания эксперимента в рабочую область MATLAB передаются вектор входного сигнала G и выходного сигнала Y. Запуск эксперимента осуществляется вызовом функции sim с передачей ей необходимых параметров:

[t,x,y1] = sim(SimFileName, [0 maxtime], simset('Decimation',D,...

'FixedStep', tstep, 'MaxRows', masLen, 'OutputVariables', 't',...

'Solver', 'ode3'));

После окончания эксперимента осуществляется обработка полученных результатов, которая происходит следующим образом.

7. Вычисляются спектральные характеристики g_fft и y_fft входного и выходного сигналов соответственно с использованием алгоритма FFT:

y_fft=fft(y, masLen);

g_fft=fft(g, masLen);

8. Из полученных спектральных характеристик удаляются избыточные данные1:

y_fft=y_fft(1:masLen/2);

g_fft=g_fft(1:masLen/2);

9. Определяется значение частотной передаточной функции для текущего значения частоты входного сигнала согласно общему Элементы вектора длиной n, полученного в результате FFT-преобразования, начиная с (n/2+1)-го, являются комплексно-сопряженными со значениями элементов с 1-го по n/2 и не требуются для частотного анализа.

Часть 3. Моделирование и исследование динамических систем соотношению [5]:

F( y (t )) ( j ) =, F(g (t )) где g(t) - входной сигнал, y(t) - выходной сигнал, F() – преобразование Фурье:

P=y_fft./g_fft;

W(i)=P(index);

10. Вычисляются значения амплитудной и фазовой ЧХ на частоте f(i), как соответственно модуль и аргумент частотной передаточной функции на той же частоте согласно известным соотношениям:

A( ) = ( j ), ( ) = arg( ( j )), где =2f:

module=abs(W(i));

argum=angle(W(i));

На этом этапе выполнение тела основного цикла завершается 11. Устранение скачков фазовой ЧХ, возникающих при пересечении границ ±m, где m=1, 2, 3, ….

PFC=unwrap(PFC);

12. Преобразование амплитудной ЧХ в логарифмический масштаб по формуле L( ) = 20 lg(A( )), где A() – амплитудная ЧХ, L() – логарифмическая амплитудная ЧХ AFC=20*log10(AFC);

% преобразование АЧХ в дБ 13. Вывод графиков ЧХ на экран с использованием функций графической подсистемы MATLAB:

hAFC=mplot(f,AFC,'k',1);

set(hAFC,'Name', 'ЛАЧХ', 'NumberTitle', 'off');

hPFC=mplot(f,PFC./pi,'b',1);

Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

set(hPFC, 'Name', 'ЛФЧХ','NumberTitle', 'off');

После окончания выполнения основной функции подсистемы математической обработки в рабочую область MATLAB возвращаются векторы, содержащие в численном виде частотную передаточную функцию, амплитудную и фазовую ЧХ (для нелинейных систем эти характеристики получаются для заданной амплитуды входного сигнала).

Адекватность ЧХ, построенных с помощью измерительного модуля, проверена путём сравнения их с характеристиками, полученными расчётным способом, для некоторых типовых линейных и нелинейных моделей. Для нелинейных моделей использовались аналитические выражения, полученные на основе коэффициентов гармонической линеаризации. На тестовых моделях максимальная погрешность построения составила для амплитудной ЧХ 0,01 дБ и 0,05 рад/ для фазовой ЧХ.

Среди факторов, влияющих на точность измерения ЧХ, определяющим является размер матрицы FFT-преобразования. При тестировании модуля использовалась FFT-матрица размера 4096.

Построение ЧХ нелинейных систем предполагает учёт некоторых особенностей. Типичным для всех нелинейных систем является сильная зависимость переходного процесса от величины сигналов, таким образом для различных амплитуд входных воздействий будут получаться разные ЧХ.

Также следует учитывать то, что анализ соотношения амплитуды и фазы входного и выходного сигналов производится только на частоте основной гармоники, поэтому эффективное использование модуля возможно лишь для систем, на выходе которых величина основной гармоники сигнала, по крайней мере, преобладает над остальными гармониками.

3. Исследование системы управления электроприводом постоянного тока Исследование системы управления электроприводом постоянного тока включало определение влияния нелинейных элементов на ЧХ, определение взаимного влияния нелинейных элементов. В качестве объекта исследования выбрана система автоматического управления электроприводом постоянного тока (в дальнейшем называемая «электропривод»). Управляемой величиной является угловая скорость вращения электродвигателя.

Электропривод содержит следующие функциональные блоки:

регулятор скорости вращения двигателя, регулятор тока якоря Часть 3. Моделирование и исследование динамических систем двигателя, система импульсно-фазового управления, управляемый тиристорный преобразователь, электродвигатель постоянного тока с независимым возбуждением, тахогенератор, датчик тока, нелинейное звено, функциональный преобразователь ЭДС, устройство раздельного управления, переключатель характеристик.

Электропривод представляет собой замкнутую двухконтурную систему, реализующую принцип подчиненного регулирования.

Внешним является контур регулирования частоты вращения электродвигателя, внутренним (подчиненным) – контур регулирования тока якоря электродвигателя. Структурная схема математической модели электропривода представлена на рис. 1.

Рис. 1. Структурная блок-схема модели электропривода.

Математическое описание типовых блоков, таких как регуляторы скорости и тока, блока импульсно-фазового управления и тиристорного преобразователя, электродвигателя, датчика тока и тахогенератора, проведено в соответствии с [6]. Регуляторы скорости и тока представлены интегрально-пропорциональными звеньями, параметры которых выбраны для обеспечения настроек контуров скорости и тока на соответственно симметричный оптимум и оптимум по модулю. Блоки импульсно-фазового управления и тиристорного преобразователя как таковые представляют собой нелинейные звенья, однако их рассмотрение совместно с такими нелинейными блоками, как нелинейное звено, переключатель характеристик, специально введенными в канал Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

управления, допускает их описание с достаточной точностью как линейное апериодическое звено первого порядка. Тахогенератор представлен апериодическим звеном. Датчик тока описан пропорциональным звеном.

Существенно нелинейными элементами системы являются блоки ограничения максимального тока якоря электродвигателя.

Эти элементы включены на выходе регуляторов скорости и тока.

Они представлены на структурной схеме модели (рис. 1) как нелинейные элементы с насыщением. Параметры элементов, входящих в состав схемы электропривода приведены в приложении.

Для сравнения на первом этапе проведено исследование линейной модели электропривода.

Быстродействие модели системы оценивалось по ширине полосы пропускания частот замкнутой системы1. Быстродействие модели системы составило 140 рад/сек (рис. 2).

Рис. 2. Логарифмические ЧХ линейной замкнутой системы.

Устойчивость оценивалась по частотному критерию Найквиста (рис. 3). Форма и ориентация амплитудно-фазовой ЧХ позволяют сделать вывод о том, что замкнутая система является устойчивой.

Запас устойчивости замкнутой системы оценивался по логарифмическим ЧХ разомкнутой цепи системы (рис. 4). Для данной системы запасы устойчивости по амплитуде L и по фазе составили соответственно 1.6 дБ и 0.04 рад.

Под полосой пропускания частот имеется в виду диапазон частот гармонического сигнала, в котором сдвиг по фазе первых гармоник сигналов тахогенератора и задатчика скорости не превышает 90°.

Часть 3. Моделирование и исследование динамических систем Рис.3. Амплитудно-фазовая ЧХ разомкнутой цепи системы.

Рис. 4. Логарифмические ЧХ разомкнутой цепи системы.

Рис. 5. Логарифмические ЧХ замкнутой системы с одним нелинейным элементом.

Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

На втором этапе рассматривалась система, в которую на выходе регулятора тока включен нелинейный элемент ограничения максимального тока якоря двигателя. Семейство логарифмических ЧХ замкнутой системы приведено на рис. 5. Характеристики построены для амплитуд входного сигнала 0,5Ан, Ан, 2Ан, где Ан – номинальное значение амплитуды.

Характерной особенностью приведенных экспериментальных графиков являются провалы амплитудных характеристик, ширина которых увеличивается с ростом амплитуды входного сигнала. Это позволило сделать предположение о неустойчивой или нестабильной работе системы на соответствующих частотах.

Построение графиков переходного процесса для амплитуды, равной Ан, и частоты входного сигнала =80рад/с показало, что при данных условиях в системе возникают низкочастотные автоколебания с большой амплитудой (биения). В реальной системе такие процессы могут привести к выходу электропривода из строя.

На третьем этапе исследовалась модель электропривода, в которую включены два элемента ограничения максимального тока якоря двигателя (рис. 1). Семейство логарифмических ЧХ, построенных для замкнутой системы для значений амплитуды входного сигнала, равных 0,5Ан, Ан, 2Ан, показано на рис. 6.

Рис. 6. Логарифмические ЧХ замкнутой системы с двумя нелинейными элементами.

Провалы в амплитудных характеристиках, которые наблюдались в предыдущем случае с одним нелинейным элементом с насыщением, отсутствуют. Это позволяет говорить о том, что автоколебательные режимы не возникают при амплитуде входного сигнала до 200% от номинальной. Верхняя граница полосы пропускания с увеличением Часть 3. Моделирование и исследование динамических систем величины входного сигнала смещается вправо, т.е. быстродействие снижается. При амплитуде входного сигнала, равного Ан, ширина полосы пропускания составляет 58 рад/с. Устойчивость и запасы устойчивости оценены по логарифмическим ЧХ разомкнутой системы, представленным на рис. 7.

Рис. 7. Логарифмические ЧХ разомкнутой системы с двумя нелинейными элементами.

По графикам можно сделать вывод о том, что система устойчива в рассматриваемом диапазоне входных воздействий, а запас устойчивости изменяется незначительно.

Таким образом, очевидно, что нелинейный элемент с насыщением, включенный на выходе регулятора скорости, обеспечивает устойчивую работу электропривода без возникновения автоколебательных режимов в рассматриваемом частотном диапазоне, компенсируя негативное влияние нелинейного элемента на выходе регулятора тока.

4. Заключение В ходе выполнения работы был разработан измерительный модуль, предназначенный для экспериментального построения частотных характеристик имитационных цифровых моделей динамических систем, разработанных в подсистеме Simulink среды MATLAB. Показаны возможности исследования нелинейных систем частотными методами на цифровых имитационных моделях с использованием измерительного модуля.

Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

Литература 1. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука. 1988. 255 с.

2. Вавилов А.А. Частотные методы расчёта нелинейных систем.

Л.: Энергия, 1970. 324 с.

3. Using MATLAB. User's Guide. Natick: The MathWorks, Inc., 1998.

4. Simulink. User's Guide. Natick: The MathWorks, Inc., 1998.

5. Иванов В.А., др. Математические основы теории автоматического регулирования. /Под ред. Б.К. Чемоданова.

М.: Высшая школа, 1971. 808 с.

6. Башарин А.В., Новиков В.А. Соколовский Г.Г. Управление электроприводами. Л.: Энергоиздат. Лен. отделение, 1982.

392 с.

Приложение. Листинг основной функции измерительного модуля function [AFC,PFC,f]=getlfc(f_min,fmax,SimFileName,masLen,...

tstep_init, tpp,amp,stepnum, fPlot);

if nargin fPlot=0;

end % инициализация переменных assignin('base','masLen',masLen);

assignin('base','amp',amp);

PointForPeriod=256;

initialpower=log10(f_min/2/pi);

step=(log10(fmax/2/pi)-initialpower)/stepnum;

f=zeros(stepnum,1);

AFC=zeros(stepnum,1);

PFC=zeros(stepnum,1);

stepstotal=0;

tstep_init=0.5*tstep_init;

f=10.^(step.*(1:stepnum)+initialpower);

% основной цикл for i=1:1:(stepnum) if f(i)=1/tstep_init/PointForPeriod tstep=tstep_init;

D=fix(1/(f(i)*PointForPeriod*tstep));

tstep=1/(D*f(i)*PointForPeriod);

else tstep=1/f(i)/PointForPeriod;

Часть 3. Моделирование и исследование динамических систем D=1;

end tstep_fft=D*tstep;

maxtime=tpp+tstep_fft*masLen;

ff = (1/tstep_fft*(0:masLen/2)/masLen);

f_compare=f(i) = ff;

[temp,index]=max(f_compare);

if (f(i)-ff(index-1))=(-f(i)+ff(index)) f(i)=ff(index);

else f(i)=ff(index-1);

index=index-1;

end % экспорт переменных в основное рабочее пространство MATLAB assignin('base','D',D);

assignin('base','fval',f(i));

assignin('base','tstep',tstep);

% проведение эксперимента на модели [t,x,y1] = sim(SimFileName, [0 maxtime],...

simset('Decimation',D, 'FixedStep', tstep,...

'MaxRows', masLen, 'OutputVariables', 't', 'Solver', 'ode45'));

y_fft=fft(y, masLen);

x_fft=fft(simout, masLen);

y_fft=y_fft(1:masLen/2+1);

x_fft=x_fft(1:masLen/2+1);

P=y_fft./x_fft;

W(i)=P(index);

module=abs(P);

argum=angle(P);

AFC(i)=module(index);

PFC(i)=argum(index);

end % конец основного цикла PFC=unwrap(PFC);

AFC=20*log10(AFC);

f=f*2*pi;

% экспорт в основное рабочее пространство ПФ W(jw) assignin('base','W',W);

if fPlot == % рисуем ЛАЧХ hAFC=mplot(f,AFC,'k',1);

set(hAFC,'Name', 'ЛАЧХ', 'NumberTitle', 'off');

% рисуем ЛФЧХ hPFC=mplot(f,PFC./pi,'b',1);

set(hPFC, 'Name', 'ЛФЧХ','NumberTitle', 'off');

end Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

УДК 519. РАСЧЕТ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В СРЕДЕ MATLAB Асмыкович И.К., Овсянников А.В.

Белорусский государственный технологический университет, г. Минск, Беларусь e-mail: aik@bstu.unibel.by Начало исследованию функционально-дифференциальных систем с последействием было положено работами А.Д. Мышкиса [4, 5], относящимся к системам с запаздывающим аргументом. В дальнейшем последовал "исследовательский взрыв" в этой области и усилиями математиков разных стран [1-7] новое научное направ ление было доведено за сравнительно небольшой срок до уровня классической теории. Системы с последействием находят широкое применение в самых разнообразных областях современной наук

и и техники: в автоматике и телемеханике, в радиолокации, биологии и медицине (процессы размножения и распространения эпидемий), при моделировании регулируемых технологических процессов, связанных с переносом материала и тепла и многих других.

Дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом (ДУ с ОА) называются дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция или ее производные входят при различных значениях аргумента. Такие уравнения описывают многие процессы с последействием, в частности они возникают в любой технической задаче, когда силы зависят не только от скорости и положения системы в данный момент, но и от предыстории системы. Эти ситуации регулярно возникают в системах автоматического управления, когда необходимо учесть время прохождения управляющего сигнала или время реакции системы на управляющие воздействия.

При постановке задачи нахождения частного решения для ДУ с ОА в отличии от обыкновенных дифференциальных уравнений задается начальное значение неизвестной функции и ее производных не только при одном значении аргумента, но на целом отрезке числовой оси с длиной равной величине запаздывания. Так получается основная начальная задача.

Часть 3. Моделирование и исследование динамических систем В теории автоматического управления начальная функция может задаваться экспериментально. В частности, это может быть решение дифференциального уравнения без запаздывания, которое задает холостой ход системы.

Рассмотрим для простоты основную начальную задачу для дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом x(t ) = f (t, x(t ), x(t h)), t t 0, !

(1) x( ) = 0 ( ) при t 0 h t Простейшим методом решения такой задачи, то есть нахождение закона поведения системы, описываемой уравнением (1), является метод последовательного интегрирования, заключающийся в том, что решение x(t ) определяется путем последовательного решения задач Коши для дифференциальных уравнений без запаздывания на интервалах, длины которых равны запаздыванию. Это означает, что вначале рассматриваем уравнение (1) на отрезке длины h, т.е. t [t0, t0 + h ].

На этом отрезке аргумент члена уравнения, содержащего запаздывание попадает на начальный отрезок и совпадает с заданной функцией, т.е. уравнение принимает вид обыкновенного дифференциального уравнения без запаздывания, для которого рассматривается задача Коши x(t ) = f (t, x(t ), 0 (t h)), t [t 0, t 0 + h], !

x( t 0 ) = 0 ( t 0 ) Находим решение этого уравнения либо в явной форме и обозначаем его x(t ) = x1 (t ), либо численными методами, например, методом Рунге-Кутта в виде табличной функции, по которой находим эмпирическую функцию ~1 (t ), являющуюся приближением x решения x(t ) = x1 (t ) на отрезке t [t 0, t 0 + h].

Далее рассматриваем следующий отрезок длины h, т.е. t [t 0 + h, t 0 + 2h].

На этом отрезке аргумент члена уравнения, содержащего запаздывание попадает на отрезок t [t 0, t 0 + h]. и совпадает с решением x(t ) = x1 (t ) на отрезке t [t 0, t 0 + h], которое мы и подставим в уравнение и тогда оно принимает вид обыкновенного дифференциального уравнения без запаздывания, для которого рассматривается следующая задача Коши x(t ) = f (t, x(t ), x1 (t h)), t [t 0 + h, t 0 + 2h], !

x( t 0 + h) = x1 ( t 0 + h) При этом если частное решение на предыдущем шаге найдено приближенно, то надо подставлять в уравнение функцию со сдвигом, т.е. ~1 (t h).

x Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

Находим решение этого уравнения либо в явной форме и обозначаем его x(t ) = x 2 (t ), либо численными методами, например, методом Рунге-Кутта в виде табличной функции, по которой ~ (t ), находим эмпирическую функцию являющуюся x приближением решения x(t ) = x 2 (t ) на отрезке t [t 0 + h, t 0 + 2h].

Далее рассматриваем следующий отрезок длины h, т.е. t [t 0 + 2h, t 0 + 3h] и так далее.

Таким образом на k+1-ом шаге получаем задачу Коши в виде x(t ) = f (t, x(t ), x k (t h)), t [t 0 + kh, t 0 + (k + 1)h], !

x( t 0 + kh) = x k ( t 0 + kh) При этом частное решение, полученное на предыдущем интервале, подставляется в правую часть уравнения на следующем этапе. Ясно, что если это приближенное решение, то его точность существенно зависит от методики подбора эмпирической формулы на каждом шаге. Здесь можно использовать сведения о возможных классах функций, в которых мы ищем решение задачи Коши, либо использовать приближенные аналитические методы нахождения решения, например, в виде степенного, или тригонометрического ряда.

Иногда методом шагов удается получить общую формулу [2], что покажем на примере.

Пример 1. Рассмотрим уравнение с чистым запаздыванием x(t ) = ax(t h) !

x( ) = c при t 0 h t Применяя метод шагов и метод математической индукции получим общую формулу решения для любого интервала t t ]+ [ (t t 0 (n 1)h) n h x(t ) = c an n!

n= Аналогичная формула получается [2] с помощью интегральных преобразований.

Решим это уравнение для конкретных значений параметров.

Пусть a = 2, c = 1, h = 1, t 0 = 0. Применим метод последовательного интегрирования.. Запишем уравнение на первом интервале t [0,1].

Имеем x(t ) = 2, x(0) = 1. Непосредственное интегрирование дает !

x(t ) = 2t + C. Подставив начальное условие найдем значение произвольной постоянной. Получаем x(0) = 2 * 0 + C = 1. Значит на первом интервале решение имеет вид x(t ) = x1 (t ) = 2t + 1. Далее рассматриваем следующий отрезок длины 1, т.е. t [1,2]. Для него рассматривается следующая задача Коши Часть 3. Моделирование и исследование динамических систем x(t ) = 2(2(t 1) + 1) = 4(t 1) + !

x(1) = 3.

Непосредственное интегрирование дает x(t ) = 2(t 1) 2 + 2t + C.

Подставив начальное условие найдем значение произвольной постоянной. Получаем x(1) = 2 * 0 + 2 * 1 + C = 3. C = 1 Значит на втором интервале решение имеет вид x(t ) = x 2 (t ) = 2(t 1) 2 + 2t + 1.

Далее рассматриваем следующий отрезок длины 1, т.е. t [2,3]. Для него рассматривается следующая задача Коши x(t ) = 2(2(t 2) 2 + 2(t 1) + 1) = 4(t 2) 2 + 4(t 1) + !

x(2) = 7.

Непосредственное интегрирование дает 4(t 2) + 2(t 1) 2 + 2t + C. Подставив начальное условие найдем x(t ) = значение произвольной постоянной. Получаем x(2) = 2 * 1 + 2 * 2 + C = 7. C = 1 Значит на третьем интервале решение 4(t 2) имеет вид x(t ) = x 3 (t ) = + 2(t 1) 2 + 2t + 1.

Пример 2. Решим методом шагов уравнение с отклоняющимся аргументом нейтрального типа x (t ) = tx (t 1) + x (t 1) ! !

x (t ) = t при t [ 1,0].

t [0,1], подставляя начальную функцию в На первом шаге при уравнение, получаем x (t ) = t + t 1 = 2t 1. Интегрируя, находим !

t x (t ) = x1 (t ) = x (0) + ( 2t 1)dt = t 2 t.

Далее рассматриваем следующий отрезок длины 1, т.е. t[1, 2]. Для него имеем уравнение x (t ) = t[2(t 1) 1] + (t 1) 2 + t 1 = 3t 2 4t.

!

x (1) = Интегрируя от 1 до t, находим x (t ) = x2 (t ) = x (1) + t 3 2t 2 + 1 и с учетом начального условия x (t ) = x2 (t ) = t 3 2t 2 + 1.

Пример 3. Решим методом шагов уравнение второго порядка с отклоняющимся аргументом [7] x (t ) 2 x (t / 2) + x (t / 2) = cos t x (t ) = sin t при / 2 t 0, x (0) = 1.

На первом шаге при t [0, / 2), подставляя начальную функцию в уравнение, получаем !

x (t ) + 2 cos(t / 2) + sin(t / 2) = cos t.

!

откуда Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

x ( t ) = 2 (cos t sin t ) Интегрируя от 0 до t, и учитывая начальные условия, находим x (t ) = 3 + 2(cos t + sin t ), x(t ) = 2 3t + 2(sin t cos t ).

Далее на интервале ( / 2, ) решение имеет вид x (t ) = 3 / 2 + 6 + 4 t 4t 2 + 0.5(t / 2) 3 + cos t 6 sin t.

Отметим, что все рассмотренные примеры являются линейными дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом с постоянными коэффициентами, для решения которых можно использовать также разложения в ряд по решениям характеристических уравнений [1, 2, 7], формулу Коши [2, 7], методы интегральных преобразований [1, 2]. Эти методы позволяют получать решение как на конечном интервале, так и выполнять асимптотические оценки решений, но они неприменимы для нелинейных уравнений.. Рассмотрим пример нестационарного уравнения.

Пример 4. В теории чисел [2] рассматривается функциональное уравнение F (u ) = F ( qu ), 0 q 1, которое с помощью замены переменной приводится к виду y (t ) + ty (t ) y (t ) = 0.

Величина постоянна. В качестве начальных условий задается производная y (t ), интегрируемая и имеющая ограниченную вариацию на t 0, и значение y (t0 ) в некоторой фиксированной точке t0, такой, что t0 0.

С помощью преобразования Эйлера – Лапласа удается получить решение этого уравнения в замкнутой форме [2], которое имеет вид t 1+ [ ] 1 (t k )2 / 2 y (t ) = y ( t )e 1 e (t k ) + k e k!

k = t 1+ [ ] 1 (t k )2 / 2 0 2 / 2 (t k ) k 1 + sgn(t k )[y ( ) y ( )]d + e e 1 e 2 k =0 k! Из этой формулы можно сделать вывод, что нахождение решения при достаточно больших значениях аргумента требует обязательного использования компьютера, так как в формулу решения входят интегралы, которые не выражаются в элементарных функциях. Поэтому здесь простой алгоритм метода последовательного интегрирования может давать решения с меньшим объемов вычислений.

Часть 3. Моделирование и исследование динамических систем Одним из основных математических объектов в теории управления являются линейные системы дифференциальных уравнений, т.е. объект управления обычно задается в виде x (t ) = Ax (t ) + A1 x (t h ) + Bu (t ) + Gq(t ), t 0, (2) !

с начальными условиями Hx ( +0) = Hx 0, A1 x ( ) = A1( ), [ h,0) и выходом y (t ) = Cx(t ), (3) где x(t) – n-мерный вектор состояния, u(t) – r-мерный вектор управления, который предполагается достаточно гладким, q(t) – p-мерный вектор возмущений, y(t) – q-мерный вектор выхода, причем матрицы входа, возмущений и выхода имеют полный ранг, т.е.

A, A1 R nn, B R nm, G R n p, C R nq, rank B = m, rank G = p, rank C = q.

В расчете таких систем наиболее явно проявляются преимущества MATLAB, как системы, предназначенной для матричных операций [9-12]. При этом в последние годы большое внимание уделяется системам с переменной структурой [11] и дескрипторным системам [12], т.е. системам в которых учитываются как дифференциальные, так и алгебраические связи.

Для дескрипторной системы уравнение (2) записывается в виде уравнения неразрешенного относительно производной. В частности, система MATLAB позволяет значительно упростить решение одной из важнейших задач качественной теории управления линейными системами – задачи модального управления и задачи стабилизации [13-14]. Решение этих задач требует преобразование системы к канонической управляемой форме [14] и решение линейной системы уравнений.

Алгоритм решения уравнения с запаздыванием методом последовательного интегрирования в системе MATLAB 6. рассмотрим на примере 1 для конкретных параметров значений приведенных выше.

Шаг 1. Создаем M-файл функцию содержащую правую часть исходного уравнения для решения задачи на первом шаге (рис. 1).

Шаг 2. Записываем программу решения дифференциального уравнения с использованием функции ODE. При этом результатом выполнения функции ODE будут два вектор – столбца содержащие численные значения T[0, 1] и X[0, 3]. Для получения уравнения на следующем временном интервале [1, 2] можно воспользоваться функцией обеспечивающей полиномиальную регрессию – polyfit с размерностью полнома равной 3 (рис. 2). Полученный результат Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

представляется в виде вектора коэффициентов полинома V=polyfit(T,X,3) V= -0.0000 0.0000 2.0000 1. Рис. 1. Рис. 2.

Шаг 3. Полученные коэффициенты используются для записи правой части дифференциального уравнения на следующем временном шаге (рис. 3).

Шаг 4. Изменяется программа использующая функцию ODE.

Теперь должен рассматриваться следующий временной интервал T[0,1] с начальным значением x(1)=3 (рис. 4). Результат выполнения программы на этом шаге дает:

V=polyfit(T,X,3) V= -0.0000 2.0000 -2.0000 3. Далее шаги последовательно повторяются с изменением размерности аппроксимирующего полинома в сторону увеличения.

Рис. 3. Рис. 4.

Для решения рассматриваемых задач могут использоваться и другие функции MATLAB обеспечивающие аппроксимацию и интерполяцию данных.

Часть 3. Моделирование и исследование динамических систем Указанный подход к решению дифференциальных уравнений с последействием позволяет пошагово проследить сам ход решения и оперативно вносить изменение на каждом шаге. Конечно, такой метод хорошо работает только при больших запаздываниях и при небольшом числе шагов, так накапливание погрешностей при численном решении дифференциальных уравнений и аппроксимации решения на каждом шаге приведет к большим отклонениям от точного решения. Поэтому имеется много разработок по приближенным методам интегрирования дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом [17], которые можно было бы реализовать в среде MATLAB.

Литература 1. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравне ния. М.: Мир, 1967. 548 с.

2. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: Из-во иностр. лит-ры, 1961. 248 с.

3. Гурецкий X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. М.: Машиностроение, 1974. 327 с.

4. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. 352 с.

5. Мышкис А.Д. О некоторых проблемах теории дифференциаль ных уравнений с отклоняющимся аргументом //Успехи мат.

наук, 1977. Т. 32. Вып. 2. C. 173 - 202.

6. Халанай А. Системы с запаздыванием. Результаты и проблемы //Cб. переводов "Математика", 1966. Т. 10. № 5. C. 85 - 102.

7. Гноенский Л.С., Каменский Г.А, Эльсгольц Л.Э.

Математические основы теории управляемых систем. М.:

Наука, 1969.

8. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р.

Математическая теория конструирования систем управления.

М.: Высшая школа, 1989. 447 с.

9. Говорухин В. Цибулин В. Компьютер в математическом исследовании: Учебный курс. СПб.: Питер, 2001.

10. Медведев В.С., Потемкин В.Г. Control Systems Toolbox.

MATLAB для студентов. М.: Диалог-МИФИ, 1999.

11. Zinober A.S.I. and Woodham C.A. VSC MATLAB Toolbox for multivariable variable structure control systems // PU.M.A. №1. с.83-97.

12. Varga A. A descriptor systems toolbox for MATLAB //Proc.

CACSD 2000 Symposium, Anchorage, Atlanta, 2000.

Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

13. Летов А.М. Математическая теория процессов управления.

М.: Наука, 1981. 256 с.

14. Асмыкович И.К., Габасов Р., Кириллова Ф.М., Марченко В.М.

Задачи управления конечномерными системами // Автоматика и телемеханика, 1986. N 11. C. 5-29.

15. Дьяконов В.П. MATLAB: учебный курс. СПб: Питер, 2001.

16. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифферен циальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.:

Наука, 1971. 296 с.

Часть 3. Моделирование и исследование динамических систем УДК 681.513.5(075.8) СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО ЛИНЕЙНОГО РЕГУЛЯТОРА И ЕГО КОНТРОЛЬ Афонин В.В.

Мордовский государственный университет, г. Саранск e-mail: afoninvv@freemail.mrsu.ru Рассматриваются возможности MATLAB для решения линейно-квадратичной задачи управления в постановке классического вариационного исчисления. Для проверки результатов синтеза оптимального регулятора предлагается формула, в которой связываются между собой параметры объекта, весовые матрицы функционала и матрица оптимального регулятора.

Аналогичная формула для проверки решения линейно квадратичной задачи управления в случае, когда используется уравнение Риккати, приводится в ранней работе автора [1].

Постановка задачи. Пусть модель линейного стационарного объекта управления имеет вид dX = AX + BU, (1) dt где Х — n-мерный вектор состояния, U — r-мерный вектор управления, А, В — постоянные матрицы размеров nn и nr соответственно.

Требуется определить управление в функции координат объекта такое, чтобы на движениях системы (1) с заданными граничными условиями вида X (0) 0, X () = 0 (2) квадратичный функционал J = ( X T Q X + U T RU )dt, (3) где Q — симметрическая неотрицательно определенная матрица размера nn, R — симметрическая положительно определенная матрица размера rr, Т — символ транспонирования, принимал наименьшее значение. Предполагается, что ограничений на переменные, входящие в функционал не наложено.

Сформулированная задача может рассматриваться как вариационная задача на условный экстремум. Эта же задача Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

называется также задачей оптимальной стабилизации [2].

Решим поставленную задачу (1), (2), (3) в общем, матричном виде. Введем в рассмотрение вспомогательный функционал J относительно задачи (1)-(3):

J = [ X T QX + U T RU + T ( X AX BU )]dt, ! (4) !

где — векторный множитель Лагранжа размера 1n, X = dX / dt.

Введение вспомогательного функционала позволяет рассматривать вариационную задачу на безусловный экстремум.

Для (4) составим уравнения Эйлера-Лагранжа, обозначив подынтегральную функцию в (4) через Ф:

Ф d Ф = 0, !

X dt X Ф d Ф = 0, (5) !

U dt U Ф d Ф ! = 0, T dt T !!! !

где X, U, T соответственно означают dX / dt, dU / dt, d T / dt.

Распишем составляющие каждого из векторных уравнений, входящих в (5), с учетом правил векторного дифференцирования квадратичной формы:

dT Ф Ф = 2 X Q A, =, 2X Q A = 0, T T T T T (6) !

X X dt Ф Ф = 2U T R T B, = 0, 2U T R T B = 0, (7) !

U U Ф dX Ф dX = AX BU, = 0, AX BU = 0. (8) !

T T dt dt Из уравнения (7) выразим управление U:

2U T R T B = 0, U T = 0.5 T B R 1, U = 0.5R 1BT. (9) Уравнение (6) транспонируем и записываем в нормальной форме.

Подставляя (9) в (8) и записывая в нормальной форме, получим следующую однородную систему дифференциальных уравнений в векторной форме:

dX = AX + 0.5 BR 1BT, dt (10) d = 2QX A. T dt Введем вектор Z:

Часть 3. Моделирование и исследование динамических систем dX dZ dt X Z =, =. (11) dt d dt Систему (10) перепишем относительно введенного вектора Z в соответствии с (11):

dZ = Az Z, (12) dt где A 0.5BR 1BT Az =. (13) AT 2Q коагулированная матрица Az в (13) имеет размерность 2n2n, где n — размерность исходной системы или размерность вектора состояния X(t). Аналитическое решение однородного линейного уравнения (12) будем искать в следующем виде [3]:

Z (t ) = Ve st, (14) где s — неизвестный параметр, V — неизвестный постоянный вектор вида v v V =.

" v2 n Подставляя (14) в (12) получим:

sVe st = AzVe st, откуда ясно, что V должно быть решением алгебраической системы уравнений (в матричной форме) ( sE z Az )V = 0, (15) где E z — единичная матрица размера 2n2n.

Чтобы V было нетривиальным решением, нужно потребовать, чтобы определитель, составленный из коэффициентов при V, был равен нулю, т.е.

det[ sE z Az ] = 0. (16) Раскрытие (16) приводит к характеристическому уравнению системы (12). Матрицу E z представим как E Ez = (17), 0 E где E — единичная матрица размера nn, а нулевые элементы — Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

это матричные нули той же размерности nn.

Покажем, что если s1 — корень уравнения (16), то и –s1 — также является корнем этого уравнения. Подставим s1 в уравнение (16) с учетом (13) и (17):

s1 E 0 A 0.5 BR 1BT = 0, det 0 s1E 2Q AT или ( s1E A) 0.5BR 1BT = 0.

det (18) 2Q ( s1E + AT ) Раскрывая определитель в (18), получим следующее характеристическое уравнение:

( s1E A)( s1E + AT ) QBR 1BT = 0. (19) Теперь подставим s1 в характеристическое уравнение, получим:

s1E 0 A 0.5 BR 1BT = 0, det 0 s1E 2Q AT или ( s1E A) 0.5 BR 1BT = 0.

det (20) 2Q ( s1E + AT ) Используя свойства определителя, преобразуем выражение (20)..

Сначала переставим строки. При этом знак определителя поменяется на противоположный. Но поскольку определитель приравнивается к нулю, то изменение знака можно не учитывать:

2Q ( s1E + AT ) = 0.

det (21) 1 T ( s1E A) 0.5 BR B Теперь в определителе (21) поменяем столбцы. От этого знак определителя также поменяется на противоположный. Это изменение знака можно не учитывать:

( s1E + AT ) 2Q = 0.

det (22) 1 T 0.5BR B ( s1E A) В заключение определитель в правой части (22) транспонируем, учитывая, что матрицы Q и R 1 симметрические:

( s1E + A) 0.5 BR 1BT = 0, det 2Q ( s1E AT ) или Часть 3. Моделирование и исследование динамических систем ( s1E A) 0.5 BR 1BT = 0.

det (23) 2Q ( s1E + AT ) Раскрывая определитель в (23), получим то же выражение, что и в (19), т.е.

( s1E A)( s1E + AT ) QBR 1BT = 0.

Вывод таков, что если для характеристического уравнения (16) n корней лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости корней, то другие n корней лежат в правой полуплоскости. Будем полагать, что характеристическое уравнение (16) или, что равносильно, уравнение (19) имеет различные корни, действительные или комплексные. Для каждого корня характеристического уравнения (16) или, что то же самое, для каждого собственного значения матрицы Az можно определить не равную нулю матрицу- столбец V ( i ), где (i) указывает на номер корня характеристического уравнения, при котором решалось уравнение (15). Совокупность решений уравнения (15) при различных корнях характеристического уравнения (16) называют также собственными векторами соответствующей матрицы. В рассматриваемом случае собственные вектора относятся к матрице Az.

Если все корни si, i = 1, 2n характеристического уравнения различны, то получаем 2n частных решений:

Z1 = V (1) e s1t, Z 2 = V (2) e s2t, #, Z 2 n = V (2 n )e s2 nt, (24) где v1(1) v1(2) v1(2 n ) (1) (2) (2 n ) v2 v2 v = 2.

V = ;

V = (1) (2) (2 n ) ;

$;

V (25) " " " v(2 n ) v(2 n ) v(2 n )) (1) (2) (2 n Решения (24) являются линейно независимыми [3] и поэтому из них можно составить фундаментальную систему решений, по которой становится возможным записать общее решение однородной системы уравнений (12):

2n Z (t ) = ciV ( i ) e sit, i = или Z (t ) = c1V (1) e s1t + c2V (2) e s2t + # + c2 nV (2 n ) e s2 nt, где ci — произвольные постоянные, i = 1, 2n.

Переходя к составляющим вектора Z(t), получим:

Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

X (t ) c1Vx e 1 + c2Vx e 2 + # + c2 nVx e 2 n (2 n ) s t (1) s t (2) s t Z (t ) = = (1) s t, (t ) c1V e 1 + c2V e 2 + # + c2 nV e 2 n (2) s t (2 n ) s t где vni+) v1(i ) ( (i ) (i ) v2 v Vx(i ) =, V(i ) = n+2.

" " v2 n vn (i ) (i ) Полагая, что должны выполняться правые граничные условия (2), необходимо в решении для X(t) постоянные интегрирования при экспонентах с положительными корнями характеристического уравнения принять равными нулю. В этом случае в решении количество слагаемых будет составлять n, вместо 2n.

Примем следующие обозначения. Будем считать, что найдены и пронумерованы заново корни характеристического уравнения с отрицательными действительными частями и соответственно этим корням сопоставим постоянные интегрирования вида ci, i = 1, n и собственные вектора Vx( i ), V( i ). Распишем решение для X(t) b для (t) с новыми обозначениями, соответствующими отрицательным корням характеристического уравнения (16):

X (t ) = c1Vx(1)e s1t + c2Vx(2)e s2t + # + cnVx( n )e snt, (25) (t ) = c1V e + c2V e + # + cnV e, (1) s1t (2) s2t ( n ) snt (26) где Vx( i ), V( i ), i = 1, n, могут быть определены через алгебраические дополнения к одной из строк матрицы [ sEz Az ] для всех отрицательных корней характеристического уравнения (16). Тогда можно сформировать матрицы собственных векторов по X(t) и по (t):

Vx = Vx(1), Vx(2), #, Vx( n ), V = V(1), V(2), #, V( n ), (27) где Vx, V — матрицы размера nn, которые являются невырожденными по заданному требованию решения уравнения (15).

Представим (25), (26) с учетом (27) в следующем матричном виде:

X (t ) = X = Vx P, (28) (t ) = = V P, (29) где Часть 3. Моделирование и исследование динамических систем c1e s1t s2t ce P = 2.

" cn e snt Из (28) определим вектор P в виде P = Vx1 X и подставим в (29):

= VVx1 X. (30) Теперь выразим оптимальное управление (9) с учетом (30):

U = 0.5R 1BT = 0.5 R 1BTVVx1 X, или U(X ) = KpX, где K p — матрица оптимального регулятора размера rn:

K p = 0.5R 1BTVVx1. (31) Таким образом, решение поставленной задачи (1)-(3) завершена. Приведем основные этапы решения рассмотренной задачи.

1. Задание параметров объекта управления (А, В) и функционала качества (Q, R).

2. Формирование коагулированной матрицы Az вида A 0.5 R 1BT Az =.

AT 2Q 3. Вычисление собственных значений матрицы Az.

4. Вычисление собственных векторов матрицы Az.

5. Выделение собственных значений матрицы с Az отрицательными действительными частями.

6. Вычисление собственных векторов матрицы Az, соответствующих отрицательным собственным значениям.

7. Выделение подматрицы собственных векторов Vx и подматрицы собственных векторов V, соответствующих отрицательным собственным значениям матрицы Az.

8. Расчет матрицы оптимального регулятора по формуле K p = 0.5R 1BTVVx1.

Для контроля точности вычисления матрицы оптимального регулятора по рассмотренной процедуре синтеза предлагается использовать следующую формулу в матричном виде:

Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

R = BT S T Q S B + ( Er BT S T K T ) R ( Er K p S B ), (32) p где S = ( A + BK p )1, Er — единичная матрица размера rr, r – размерность вектора управления или размерность квадратной матрицы R.

Любая погрешность расчета или задания матриц, входящих в формулу (32), отразится на том, что правая часть (32) не будет равна левой, т.е. известной матрице R. Таким образом, формула (32) связывает между собой параметры объекта (матрицы А, В), весовые матрицы функционала (Q, R) и матрицу оптимального регулятора K p.

Пример решения задачи оптимальной стабилизации (1)-(3) в системе MATLAB. Матрицы объекта (А, В) и функционала (Q, R) взяты произвольно и достаточно общего вида. Целью примера является проверка изложенной процедуры синтеза оптимального регулятора с помощью приведенной формулы (32). Процедура решения оформлена в виде следующего М-сценария:

clear all,format long,format compact % Задание матриц объекта А и В A=[-1, 0, 213, 0.678,3.45;

1.2, 3.3, 2, -5.88, 5.7;

2.44, 5.6, -1.3, 3, -3;

5.32, -2, -4,6.31, 44;

12, 13, 14, 15, 16];

B=[10.7, 0, -1;

-3, 2, 0;

0, 3, -4.5;

1, 2, 3;

34, 45, 56];

% Задание матриц функционала Q и R Q=diag([1,2,3,4,5]);

R=diag([4.76,3.31,2.23]);

% Формирование матрицы Az Az=[A,0.5*B*(inv(R))*B';

2*Q, -A'];

% Вычисление собственных векторов (V) % и собственных значений (P) [V,P]=eig(Az);

% Выделение диагонали собственных %значений матрицы Az L=diag(P);

% Процедура определения подматриц Vx и Vy % для отрицательных собственных значений матрицы Az k=1;

for i=1:length(L) if real(L(i)) LL(k)=L(i);

L1=LL';

Vx(:,k)=V(1:(length(Az)/2),i);

Vy(:,k)=V(((length(Az)/2)+1):end,i);

k=k+1;

Часть 3. Моделирование и исследование динамических систем end end % Определение матрицы оптимального регулятора K=0.5*inv(R)*(B')*Vy*inv(Vx);

% Формальное устранение мнимых частей с нулевыми коэффициентами Kp=real(K);

% Проверка результата решения по формуле (32) S=inv(A+B*Kp);

Er=eye(size(R));

RR=B'*S'*Q*S*B+(Er-B'*S'*Kp')*R*(Er-Kp*S*B) R % Вывод результатов проверки формулы (32) RR = 4.76000000000002 0.00000000000000 0. 0.00000000000000 3.31000000000001 0. 0.00000000000001 0.00000000000000 2. R= 4.76000000000000 0 0 3.31000000000000 0 0 2. Как видно, матрица RR, которая рассчитывалась по формуле (32) совершенно незначительно отличается от заданной матрицы R квадратичного функционала. Очевидно, что проверочная формула (32) с точностью до значащих цифр в мантиссе элементов матрицы R дает совпадающий результат с заданной матрицей R.

Практически такое положение дел проверочной формулы выполняется всегда.

В случае, когда решение задачи осуществляется на основе решения матричного уравнения Риккати, то результаты решения можно также проверять по аналитическим формулам, которые приведены в работе автора [1]. Здесь приведем формулу для проверки решения задачи типа (1)-(3). Эта формула отличается только знаком:

R = BT S T Q S B + ( Er + BT S T K T ) R ( Er + K p S B), (33) p где S = ( A BK p ) 1, K p — матрица оптимального регулятора, которая входит в оптимальное управление как U ( X ) = K p X.

Формулу (33) можно проверить в системе MATLAB при решении линейно-квадратичной задачи с помощью встроенной функции LQR. Расчет матрицы оптимального регулятора на основе Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

уравнения Риккати предполагает решение n(n+1)/2 нелинейных уравнений. Если же находить решение через собственные векторы и собственные значения, то число собственных значений составляет 2n, где n — порядок объекта управления. Ясно, что, начиная с n=4, 2nn(n+1)/2. Поэтому можно сказать, что рассмотренная процедура синтеза оптимального регулятора менее чувствительна к размерности поставленной задачи.


Литература 1. Афонин В.В. Об оценке оптимальности в линейно квадратичной задаче управления // Интеллектуальные системы: Труды Четвертого международного симпозиума (Москва, 28 июня—1 июля 2000 г.) /Под ред. К.А.Пупкова. М.:

РУСАКИ, 2000. С.111-112.

2. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978. 552 с.

3. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1965. 424 с.

Часть 3. Моделирование и исследование динамических систем УДК 519. КОМПЛЕКС ДЛЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ НЕЧЕТКИХ ЛОГИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРОВ Деменков Н.П.

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, г. Москва e-mail: demenkov@ics.bmstu.ru В настоящее время наиболее широкое применение при решении практических задач получили нечеткие логические регуляторы, позволяющие на основании лингвистической информации, полученной от опытного оператора, управлять сложными, плохо формализованными процессами.

В статье изложена методика проектирования в среде MATLAB нечеткого логического регулятора с помощью программного комплекса, в основе которого лежит метод анализа иерархий (МАИ).

Нечеткая модель описывается с помощью набора лингвистических правил управления (ЛПУ). В качестве правила нечеткого вывода используется комбинационное правило вывода. В качестве единственного значения задающей величины выбирается значение, имеющее максимальное значение функции принадлежности.

МАИ используется для получения функций принадлежности качественных значений переменных системы. Качественное значение представляет собой какое-либо сложное свойство переменной, которое можно представить в виде иерархии более простых свойств, если это свойство слишком сложное для непосредственной оценки.

Модель получения задающей выходной величины представлена в виде иерархической структуры, элементами которой являются ЛПУ, входные переменные и их качественные значения.

Если для регулирования используется несколько выходных величин, составляется иерархическая структура для каждой задающей переменной. МАИ позволяет оценить все элементы иерархии и более объективно получить значение с максимальной функцией принадлежности.

Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

Применение данной методика проектирования НЛР наиболее целесообразно в тех случаях, когда невозможно получить функции принадлежности каким-либо прямым методом (например, методом, основанным на вероятностной трактовке функции принадлежности и т.п.), т.е. в тех случаях, когда в технологическом процессе используются переменные, характеризующиеся неизмеримыми свойствами.

Структура нечеткого логического регулятора Структура нечеткого логического регулятора, в котором используются эвристические правила принятия решений, показана на рис. 1.

Рис.1. Структура нечеткого логического регулятора.

Нечеткие регуляторы используются аналогично традиционным регуляторам с обратной связью. Определение управляющих воздействий состоит из четырех основных этапов:

1. получение отклонения;

2. преобразование значения отклонения к нечеткому виду, такому как “ больший”, ”средний”;

3. оценка входного значения по заранее сформулированным правилам принятия решения посредством композиционного правила вывода;

4. вычисление детерминированного выхода, необходимого для регулирования процесса [1].

Есть промышленные установки, которые могут лучше управляться опытными операторами, чем обычными автоматическими регуляторами. Стратегия управления, используемая оператором, часто может быть сформулирована как набор правил, которые просто выполнить вручную, но трудно формализовать, используя обычные алгоритмы. Эта трудность возникает из-за того, что человек чаще использует качественные, а не количественные оценки при описании условий принятия Часть 3. Моделирование и исследование динамических систем конкретных решений. Следовательно, для моделирования управления такими процессами необходимо использовать нечеткую логику.

Главным в нечеткой логике является то, что, в отличие от классических методов логических систем, ее целью является моделирование неточных методов логических рассуждений, играющих важную роль в реализации замечательной способности человека принимать различные решения в обстановке неопределенности и отсутствия точности [2].

Для ответа на неточные вопросы подход в рамках неточной логики таков: во-первых, значение лексически неточного высказывания трактуется как размытая область изменения переменной, и, во-вторых, ответ на вопрос выводится путем соот ветствующих преобразований размытых областей изменения [2].

Основные положения теории нечетких множеств, используемые при построении нечеткого регулятора Понятие нечеткого множества - попытка математической формализации нечеткой информации с целью ее использования при построении математической модели систем. В основе этого понятия лежит представление о том, что составляющие данное множество элементы, обладающие общим свойством, могут обладать этим свойством в различной степени и, следовательно, принадлежать данному множеству. При этом подходе высказывание типа “элемент x принадлежит данному множеству” теряет смысл, поскольку необходимо указать “насколько сильно” или с какой степенью данный элемент принадлежит данному множеству [3].

Нечеткое множество A= { (x, µ a (x)} определяется математически как совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов x множества X и µa (x) или соответствующих степеней принадлежности непосредственно в виде функции µa : X [ 0,1].

На практике часто имеют место случаи, когда не существуют элементарные измеримые свойства или признаки, через которые определяются интересующие нас понятия. В таких случаях трудно проранжировать степень проявления свойства у рассматриваемых элементов. Так как степени принадлежности рассматриваются на данном реальном множестве, а не в абсолютном смысле, то интенсивность принадлежности можно определить, исходя из попарных сравнений рассматриваемых элементов [1].

Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

МАИ используется для получения необходимых функций принадлежности нечетких множеств, так как в общем случае понятие относительного веса объекта тождественно значению функции принадлежности и используется в этом смысле [4].

Знания человека- оператора (эксперта) можно представить в виде продукционных правил типа “если..., то...”, а его качественные оценки формализованы нечеткими подмножествами A2 и B.

Качественная оценка наблюдения состояния процесса формализована нечеткими подмножествами A1 множества значений параметра U.

Качественная оценка значения параметра, описывающего состояние процесса, использующаяся в продукционном правиле, формализована нечетким подмножеством A2 множества значений параметра U, а качественная оценка B значений управляющего воздействия формализована нечетким подмножествам В, множества воздействий V.

Определение. Высказывание “Если А, то В, иначе С” есть бинарное нечеткое отношение в U V, определяемое следующим образом:

Если А, то В, иначе С= A B + A C (1) т.е., если А, В, С - унарные нечеткие отношения в U, V и V, тогда “Если А, то В, иначе С”- бинарное нечеткое отношение в UV, которое является объединением декартова произведения А и В и декартова произведения отрицания А и С.

Далее высказывание “Если А, то В” можно рассматривать как частный случай высказывания “ Если А, то В, иначе С” при допущении, что С - полное множество V.

Если А, то В = Если А, то В, иначе V = A B + A V (2) В сущности это равнозначно интерпретации высказывания “Если А, то В” высказыванием “ Если А, то В, иначе безразлично”.

В терминах матриц отношений А, В, С равенство (1) можно выразить как сумму попарных произведений, содержащих А и В (и А и С) в виде вектор-столбца и вектор-строки соответственно.

Если А, то В, иначе С = [ A] [B] + [ А ] [C].

Существует более ста методов преобразования нечетких выводов на лингвистическом уровне в вычислениях, здесь используется наиболее часто используемый на практике метод, основанный на композиционном правиле вывода [5].

Это правило вывода интерпретируется как процесс решения системы уравнений назначения в отношениях, в которых нечетким ограничением назначаются лингвистические значения [2].

Правило. Пусть U и V - два универсальных множества с базовыми переменными u и v соответственно. Пусть R(u), R(u,v) и Часть 3. Моделирование и исследование динамических систем R(v) обозначают ограничения на u, (u,v) и v соответственно и представляют собой нечеткие отношения в U, UV и V. Пусть A и F – нечеткие подмножества множеств U и UV. Тогда композиционное правило вывода утверждает, что решение уравнений назначения R(u) = A R(u,v) = F имеет вид R(v) = A % F, где A % F – композиция A и F. В этом смысле мы можем делать вывод R(v) = A % F из того, что R(u) = A и R(u, v) = F.

Определение. Пусть A1, A2 и B - нечеткие подмножества множеств U, V и V соответственно. Предположим, что значение A назначено ограничению R(u), а отношение A2 = B (определенное по формуле 2) назначено ограничению R(u,v), т.е.

R(u) = A R(u,v) = A2 = B.

Эти уравнения назначения в отношениях можно разрешить относительно ограничения на v следующим образом:

R(v) = A1 % (A2 = B) Выражение этого вывода в форме:

A1 предпосылка A2 = B импликация A1 % ( A2 = B) вывод и составляет формулировку обобщенного правила modus ponens [2].

Основные операции, которые используются при получении нечеткого вывода при помощи композиционного правила вывода, описываются следующим образом:

Объединением нечетких множеств A и B в U называется нечеткое множество A + B с функцией принадлежности вида µ + ( u) = max { µ A (u), µ B (u) }, u U.

Декартово произведение A1...... An нечетких множеств Ai в Ui, i=1, 2..., n определяется как нечеткое множество А в декартовом произведении U = U1.....Un с функцией принадлежности вида:

µ A(u) = min { µ A1 ( u1),...., µ An (u n )}, u=( u1,....,un) U.

Дополнением (отрицанием) нечеткого множества A в V называется нечеткое множество A (A) с функцией принадлежности вида µ A (u) = 1 - µ A(u), u U.

Максиминное произведение A% B нечетких отношений A в B на множестве U характеризуется функцией принадлежности вида µ A B (u,v) = sup min { µ A (u,f), µ B (f,v)} fU Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

В случае конечного множества U матрица нечеткого отношения A % B равна максиминному произведению матриц отношений A и B, т.е.

µ A B (u,v) = max min { µ A (u), µ B (v)}.

uU Таким образом, нечеткий вывод является применением максиминной композиции в качестве композиционного правила нечеткого вывода и операции взятия максимума в качестве нечеткой импликации:

µ B’ (v) = max min { µ A’ (u), µ R (u,v)} = uU = max min{µ A’ (u) max{min [ µ A (u), µ B ( v)], min[ µ A(u), µ V (v)]}, (3) uU где B’ – нечеткое воздействие;

А’ – заданное значение текущих данных наблюдений.

На основе функции принадлежности µ B’ (v) для B необходимо еще извлечь для каждой точки в V значения для выполнения операции. Этот процесс обычно называют дефазификацией.

В работе в качестве метода дефазификации используется метод весов (основан на переменной v, задающей максимальное значение функции принадлежности) [5].

Методика проектирования нечеткого логического регулятора, основанная на МАИ Обычно при реализации нечеткого регулятора используется несколько правил.

Число правил в нечетких экспертных системах на порядок меньше, чем в экспертных системах с четкими правилами. Это связано с тем, что каждое нечеткое правило детализируется в четком множестве, а также с тем, что целое число представляется приближенно с помощью существенно меньшего числа правил.

Тот факт, что число правил мало, облегчает приобретение знаний от эксперта, упрощает отладку экспертной системы - эти и другие причины являются важными стимулами практического внедрения нечетких экспертных систем.

При выполнении практических операций методом композиции максимум-минимум с вычислением максимального значения функции принадлежности для v результат вывода по каждому правилу получается по (3).

При этом часто используется метод, по которому за Часть 3. Моделирование и исследование динамических систем окончательный результат выводов принимается сумма нечетких множеств - результатов вывода по каждому правилу (операция суммы или взятия максимума). Иначе говоря, выбирается система параллельного запуска, используемая одновременно с каждым правилом.

Таким образом, из всех значений функции принадлежности для нечеткого воздействия мы выбираем значение, обладающее максимальной функцией принадлежности, т.е. пользуемся методом весов, как для дефазификации, так и для выбора значений из всего набора значений воздействия, по всем заданным композиционным правилам (в дальнейшем будем их называть лингвистические правила управления ЛПУ).

Для регулирования различных процессов обычно требуется несколько управляющих воздействий, каждое из которых управляется определенным выбором входных управляющих переменных.

В качестве управляющих переменных в ЛПУ используются различные отклонения, а отклонения, в свою очередь, имеют различные нечеткие значения, каждое из которых обладает своей функцией принадлежности.

Таким образом, для каждого отклонения мы имеем набор ЛПУ, в которых используются различные нечеткие значения входных управляющих переменных и различные значения выходной переменной управления.

Для получения функций принадлежности качественных нечетких значений входных переменных и переменных управления используется МАИ.

В матрицах попарных сравнений сравниваются количественные значения необходимых переменных по отношению к их принадлежности тому или иному качественному значению (с точки зрения их удовлетворения свойству данного значения).

Возраст очень молодой Старый молодой 20 30 40 50 60 Рис 2.

Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

Все переменные можно рассматривать как лингвистические переменные.

Любую лингвистическую переменную можно рассматривать в виде иерархии. Для пояснения приведем пример Л. Заде [2], возраст представляющем иерархическую декомпозицию ЛП (рис. 2).

Для получения функции принадлежности значений очень молодой, молодой и старый нам требуется 2 последних уровня иерархии.

Данная методика может использоваться в плохо формализованных технологических процессах, в которых очень сложно оценить количественно входные переменные (т.е. сложно определить степени принадлежности элементов переменной качественным значениям этой переменной (или ее свойствам), или, другими словами, трудно сразу оценить необходимые функции принадлежности).

В этом случае одним из самых приемлемых методов для выбора одного четкого значения из всего полученного набора значений является метод весов, т.к. мы не можем получить точное плато для функций принадлежности.

Для повышения объективности выбора значений с наибольшим весом предлагается использовать МАИ. С его помощью мы можем получить “относительные “ веса ЛПУ, а также получить приоритеты полученных из данных наблюдений качественных значений ЛП по их отношению к ЛПУ, Так, например, для набора правил:

ЛПУ 1: “ Если А мало, то В мало” ЛПУ 2: “ Если А очень велико, то В велико”.

значение А’ “очень мало” будет обладать большим весом по отношению к ЛПУ 1, а значение А’ “велико” будет обладать большим весом к ЛПУ 2.

Для этого предлагается использовать иерархию, представленную на рис. 3.

На первом уровне - основная цель решения задачи получение “оптимального” управления. Так как управление зависит только от соответствующих входных переменных, на втором уровне выделяются входные ЛП, влияющие на указанное управление, на третьем уровне выделяются ЛПУ для получения выделенного управления с помощью перечисленных входных ЛП.

Часть 3. Моделирование и исследование динамических систем Цель задачи - получение “оптимального” управления Рис. 3.

Рис. 5.

Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

Таким образом, мы получили приоритеты для качественных данных наблюдений. Обозначим их wtA’, wtC’, wtB’.

При этом на пятом уровне можно выделить элементы, которые являются количественными значениями множеств используемых входных ЛП.

Перед оценкой ЛП, ЛПУ и данных наблюдений должна быть оценена функция принадлежности для качественных значений самого управляющего воздействия A V по иерархии, представленной на рисунке 6.

Аналогично оцениваются функции принадлежности для качественных значений входных переменных.

B1 B2 B3 B4 B v1 v v2 v4 v Рис. 6.

В результирующей формуле (для композиционного правила вывода) (3) учитывается этот приоритет путем умножения значения функции принадлежности качественного данного наблюдения на свой приоритет.

Для входной управляющей переменной ЛП1 - А:

µ B1’ (v) = max {max min {µ A’ (u) wtA’i (u) min [ µ Ai (u), µ Bi (v)]}} i uU i=1...n, где n – количество ЛПУ для ЛП1 – А.

Для входной управляющей переменной ЛП2 - С:

µ B2’ (v) = max {max min { µ C’ (w) wtC’j (w) min [ µ Cj (w), µ Bj (v)]}} j wW j=1...m, где m – количество ЛПУ для ЛП2 – С.

Для входной управляющей переменной ЛП3 - D:

µB3’ (v) = max {max min { µD’ (z) wtD’k (z) min [µDk (z), µ Bk (v)]}} zZ k k=1...l, где l – количество ЛПУ для ЛП3 – D.

Конечное значение v выбирается по формуле:

µB (v )=max { µB’1(v), µB’2(v), µ B’3(v)} (4) vV Для регулирования, как правило, используется несколько управляющих воздействий, при этом для каждого управляющего Часть 3. Моделирование и исследование динамических систем воздействия составляется и оценивается своя иерархическая структура.

Описание программного обеспечения Программное обеспечение, реализующее изложенную методику, реализовано в пакете MATLAB [6].

Максимальное количество входных переменных – 12.

Максимальное количество ЛПУ для каждой входной ЛП – 8.

Максимальное количество выходных переменных – 4. Таким образом, максимальное количество ЛПУ – 384.

Пользователю сначала надо оценить функции принадлежности для выходных и входных переменных, затем ввести какие элементы используются в ЛПУ по номерам иерархий и их элементов в соответствии с той последовательностью, в которой они вводились (рис. 7).

Рис. 7.

Программа выводит матрицы бинарных отношений для каждого ЛПУ в соответствии с (3).

На следующем этапе необходимо оценить ЛП. ЛПУ и качественные значения входных управляющих переменных, используемых в этих правилах. Такую оценку можно провести до получения качественных данных наблюдения для входных переменных.

Труды конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

После проведения эксперимента или моделирования технологического процесса, т.е. когда эти данные становятся известны, предлагается оценить функции принадлежности полученных качественных значений и их приоритеты по отношению к ЛПУ.

Программа выводит на экран значения µB’1(v), µ B’2(v), µB’3(v), рассчитанные по (4), т.е. значения функций принадлежности выходной переменной, полученные по ЛПУ, использующим входные ЛП 1,2,3 соответственно, а также значение µB(v*) и порядковый номер, соответствующий значению v* (порядковый номер в соответствии с тем номером, который имеет этот элемент в иерархии для оценки функции принадлежности качественных значений выходной переменной).



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
 

Похожие работы:





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.