авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

СамДифф—2005

Всероссийская конференция

«Дифференциальные

уравнения

и их приложения»

Самара, 27 июня — 2 июля 2005г.

ТЕЗИСЫ

ДОКЛАДОВ

Самара 2005

УДК 917

ББК ???

Д 50

СамДифф-2005: всероссийская конференция «Дифференциаль-

ные уравнения и их приложения», г.Самара, 27 июня — 2 июля

2005г. Тезисы докладов. Самара: Издательство «Универс–групп»,

2005. 92с.

Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

АСИМПТОТИКА СПЕКТРА НЕСАМОСОПРЯЖЕННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ Абзалимов Р.Р., Мардамшина Л.Р.

Нефтекамский филиал Башкирского государственного университета Целью работы является определение асимптотики третьей несамосопряженной краевой задачи следующего вида:

z + ( iq(x))z = 0, (1) z(0)cos z(0)sin = 0, (2) z()cos z()sin = 0, (3) 0, 0 где q(x)вещественнозначная функция и m q(x) M, где m, M R.

Нами установлены асимптотики собственных значений для случаев:

1. Cлучай, когда 0, 0 :

Z 2 i n = n2 + ctg ctg + q(t)dt + O(n2 ) 2µ 2. Случай, когда = 0, = :

Z i n = n2 + q(t)dt + O(1) 3. Случай, когда 0, = R 2[ctg + i q(t)] n = n + + O n + 4. Случай, когда = 0, R 2[ctg + i q(t)] n = n + + O n + СамДифф– Литература [1] Ф.Трикоми. Дифференциальные уравнения. Москва, Изд-во "Иностранная литература", 1962.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ БАНКА ДАННЫХ КООРДИНАТ И СКОРОСТЕЙ БОЛЬШИХ ПЛАНЕТ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАЛЫХ ТЕЛ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ Алтынбаев Ф.Х.

Самарский государственный технический университет Основным содержанием небесной механики является задача n-тел, т. е. изучение движения n материальных точек, притягива ющихся друг к другу по закону Ньютона.

Уравнения движения возмущаемого тела в прямоугольных ко ординатах с началом в центре Солнца представляет собой систему дифференциальных уравнений второго порядка, решение которой методом Тейлора ищется путем разложения в степенные ряды.

Если рассматривать частный случай, а именно движение боль ших планет, то получаем систему из 54-х дифференциальных уравнений. При решении задач движения малых тел Солнечной системы, порядок системы уравнений будет возрастать, тем самым эффективность метода будет падать.

Поэтому при решении задач движения малых тел более оправ данным является использование банка данных координат и ско ростей больших планет. Использование банка снижает порядок системы с 60-ти, если бы мы совместно интегрировали движение девяти планет и одного малого тела, до 6-ти уравнений, повышая тем самым эффективность метода на порядок.



Созданный банк данных содержит значения только координат и скоростей больших планет с шагом в 10 дней. Задачу опреде ления координат и скоростей на произвольный момент времени можно разделить на два этапа.

Первый этап — отыскание значений координат и скоростей Xi,1, Xi,2 и Vi,1, Vi,2, между которыми заключены искомые величины, Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

так называемый уточняемый отрезок. Значения Xi,1 и Vi,1 левого конца отрезка относятся к более раннему моменту времени, чем значения правого конца Xi,2 и Vi,2. В силу особенности организации банка данных длина уточняемого отрезка равна десяти дням.

Второй этап — нахождение искомых значений координат и скоростей, заключенных внутри выделенного отрезка. Для этого можно воспользоваться следующими способами:

1. Простой интерполяцией, строя разложение в ряд Тейлора с удер жанием трех и двух слагаемых для нахождения координат и ско ростей соответственно. Направление интерполирования и началь ные данные выбираются с учетом близости к одному из концов уточняемого отрезка. В сравнении с точными данными, получа емыми решением задачи n-тел при создании банка, на концах интервала при t = 0 и t = 10 дней данные совпадают с точным.

Удовлетворительная точность сохраняется только вблизи концов отрезка, по мере приближения к середине, погрешность возраста ет и достигает 9,8 · 105 а. е.

2. Опираясь на полученные значения Xi,1, Xi,2 и Vi,1, Vi,2, исполь зуется следующая модель уточнения координат и скоростей:

Xi = Xi,1 + (Xi,2 Xi,1 )(t/10), Vi = Vi,1 + (Vi,2 Vi,1)(t/10), где t — разница между интересующим нас моментом временем и временем, к которому относятся значения левого конца отрезка.

Деление на десять связанно с особенностью организации банка данных. Здесь точные решения получаем на концах интервала.

Кроме этого удовлетворительная точность достигается в середине отрезка (1,2 · 106 а. е.). В остальных же точках значения суще ственно хуже данных полученных методом интерполяции;

их мак симальная погрешность достигает 7,5 · 105 а. е.

Учитывая оба способа, наиболее эффективным является ис пользование их комбинации. На отрезках 0 t 4 и 6 t лучше применять способ интерполяции, а на отрезке 4 t 6 ме тод уточнения координат и скоростей, используя алгоритм, пред ложенный во втором способе. Значения погрешности в этом случае не превысит 3,8 · 105 а. е.

СамДифф– О ГЕЛЬДЕРОВОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Алхутов Ю.А.

Владимирский государственный педагогический университет Рассмотрим в области D IRn, n 2, содержащей начало коор динат, уравнение n |xi| ux x (1) Lu = = 0.

i ii i= Целью работы является нахождение условий на показатели степе ней i, при выполнении которых решения уравнения (1) гельдеро вы в области D. Для линейных равномерно эллиптических уравне ний с измеримыми коэффициентами внутреняя априорная оценка нормы Гельдера решений доказана Н.В. Крыловым и М.В. Сафо новым. Гельдеровость решений некоторых недивергентных вырож дающихся уравнений исследована Н.В. Крыловым.





Основной результат состоит в следущем утверждении.

Теорема. Если выполнено условие 1/(n 1) i 1, i = 1,..., n, то решения уравнения (1) гельдеровы в области D.

Сформулированная теорема остается в силе и для решений уравнения n ai j (x)uxi x j = i, j= с измеримыми коэффициентами ai j (x), удовлетворяющими усло вию n n n ai j (x)i j |xi |i 2, |xi |i = const 0.

i i i=1 i, j=1 i= Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проекты 03-01- и 04-01- Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ИНВОЛЮТИВНЫМИ ОТКЛОНЕНИЯМИ.

Андреев А.А., Лексина С.В., Саушкин И.Н.

Самарский государственный университет Под дифференциальными уравнениями с инволютивными от клонениями понимают такие уравнения, в которых помимо иско мой функции и ее производных входят еще слагаемые, содержа щие отклонения (t) специального вида: ((t)) = t. Дифферен циальные уравнения в частных производных второго порядка с инволютивными отклонениями в старших производных не подда ются известной классификации, поэтому возникает проблема уже с постановками задач для таких уравнений. Их можно отнести к классу, по терминологии Дезина А.А., нелокальных дифференци альных уравнений.

Следует отметить, что дифференциальные уравнения с инво лютивным отклонением изучены явно недостаточно, хотя такие уравнения встречаются уже в работах с 1816 года. Наличие инво лютивного отклонения даже в обыкновенных дифференциальных уравнениях влияет на корректность поставленных задач. Так на пример для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами, содержащее инволютив ное отклонение (t) некорректны в смысле единственности реше ния левая и правая задачи Коши, рассмотренные на множестве (t) C : C C. К дифференциальным уравнениям с частным видом инволюции — отражением, сводились некоторые геометрические задачи, например задача Бернулли и Эйлера о взаимных траек ториях. Интересно отметить, что к исследованию обыкновенных дифференциальных уравнений с инволютивным отклонениям при ходят также при доказательстве теорем о равносходимости для интегрального оператора с переменным верхним пределом. Заме тим, что к подобным уравнениям сводятся некоторые задачи ин тегральной геометрии, обратные задачи кинематической сейсмики и геофизики, задачи колебания, вызванные двумя синхронными источниками.

СамДифф– Для волнового уравнения с инволютивным отклонением рас смотрены задача Коши и «квазихарактеристические» задачи, ко торые являются аналогами задач Гурса, Коши-Гурса, Дарбу и за дач со смещением. Показано влияние инволютивного отклонения на корректность по Адамару поставленных задач. Для телеграф ного уравнения, содержащего инволютивное отклонение рассмот рены задача Коши в бесконечной области и аналог задачи Гурса в характеристическом квадрате. Показано влияние инволютивно го отклонения на асимптотику решения задачи Коши. Доказано, что такие задачи корректны по Адамару. Для уравнения, получен ного в результате возмущения дифференциального оператора дру гим оператором, вычисленным в инволютивной точке рассмотрены аналоги классических задач Коши, Коши-Гурса, Гурса и Дарбу.

Доказана корректность задач.

Для уравнения Лапласа с инволютивным отклонением рас смотрены задачи Коши, Дирихле и смешанные задачи. Также по казано влияние инволютивного отклонения на корректность за дач. Для уравнения теплопроводности с инволютивным отклоне нием рассмотрены смешанные задачи. Показано, как с помощью дополнительных условий можно избавится от некорректности за дач. Для смешанных задач обоснован метод Фурье и проведены исследования корректности этих задач при различных значениях вещественных параметров.

Также рассматриваются видоизмененные задачи Дарбу и Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с инволютивным отклоне нием. Решения получены методом Римана и показано влияние от клонения на корректную постановку таких задач.

Для уравнений, полученных в результате возмущения опера торов Лаврентьева-Бицадзе рассмотрены аналоги задачи Трикоми в бесконечных областях.

Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

О РАВНОМЕРНЫХ ОЦЕНКАХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Асташова И.В.

Московский Государственный Университет Экономики, Статистики и Информатики (МЭСИ) Рассматривается дифференциальное уравнение n ai(x) y(i) + p(x) |y|k1y = 0, (n) + (1) y i= где p(x) и ai (x) — непрерывные функции, n 1, k 1 и p(x) p 0, а также его частный случай d d d... + |y|k1y = 0, rn (x)... r1(x) r0(x) y (2) dx dx dx где все r j (x) — достаточно гладкие положительные функции.

Теорема 1. Для любого заданного на отрезке [a, b] положи тельного решения y(x) уравнения (2) справедлива оценка y(x) C1 · (x a)n/(k1), где C1 — константа, зависящая только от n, k, inf r j (x) и sup r j (x).

Следствие 1. Пусть функции r j (x), j = 0,..., n, определены на неограниченном слева интервале и удовлетворяют на нем неравен ствам 0 m r j (x) M +. (3) Тогда на этом интервале не существует отличных от нуля знако постоянных решений уравнения (2).

Следствие 2. Пусть n четное и функции r j (x), j = 0,..., n, удо влетворяют неравенствам (3) на неограниченном справа интерва ле. Тогда на этом интервале не существует отличных от нуля зна копостоянных решений уравнения (2).

СамДифф– Теорема 2. Для любых k 1, p 0, A 0 и n 1 найдутся та кие 0 и M1 0, что для любых непрерывных функций p(x) p и a0(x),..., an1 (x), заданных на отрезке [ a, b ] и удовлетворяющих условию n1 sup a j (x) : x [ a, b ] A, все положительные ре j= шения уравнения (1), определенные на этом отрезке, удовлетворя ют неравенству y(x) M1 min {, x a }n/(k1).

Следствие 3. Для любых k 1, p 0, A 0 и четном n найдутся такие константы 0 и M2 0, что для любых непре рывных функций p(x) p и a0(x),..., an1 (x), заданных на отрезке [ a, b ] и удовлетворяющих условию n1 sup a j (x) : x [ a, b ] j= A, все положительные решения уравнения (1), определенные на этом отрезке, удовлетворяют неравенству y(x) M2 min {, b a }n/(k1).

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (грант № 04-01 00344) РАВНОМЕРНАЯ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИПШИЦЕВЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С УПРАВЛЕНИЕМ Балабаева Н.П.

Самарский государственный университет Рассмотрим дифференциальное уравнение в Rn вида (1) xµ(t) = µ f (t, xµ (t), y(t)), xµ (t0 ) = x0.

Здесь f : R+ Rn Rm Rn, y : R+ Rm, y(·) Y, где Y — под множество множества всех измеримых функций, 0 µ µ, µ 0.

Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

Наряду с этой задачей рассмотрим усредненную задачу Коши µ(t) µF(t, µ (t)), µ (t0 ) = x0, (2) где F : R+ Rn K(Rn ), K(Rn)— совокупность всех непустых компактов в Rn.

Положение равновесия 0 Rn системы (1) будем называть равномерно экспоненциально устойчивым (РЭУ), если существу ют постоянные A 0, 0 и µ0 0 : µ (0, µ0], (t0, x0 ) R+ Rn, t t0 и для всех функций y(·) Y, соответствующие траектории (1) удовлетворяют оценке xµ(t) Aeµ(tt0 ) x0.

Вопрос о связи РЭУ системы (1) и РЭУ автономной усреднен ной задачи рассматривался в статье [1]. В этой работе доказано, что в предположении липшицевости правых частей возмущенной и усредненной систем при некоторых дополнительных условиях из РЭУ усредненной задачи следует РЭУ исходной задачи.

Рассмотрим достаточное условие РЭУ, в котором условие лип шицевости правой части включения (2) заменяется на более сла бое условие односторонней липшицевости [2], а от функции f из задачи (1) не требуется даже этого условия.

Многозначное отображение F будем называть односторонне липшицевым по, если найдется локально интегрируемая в [0, +) (по Лебегу) функция L : [0, +) R+ такая, что, Rn, t R+, v F(t, ) существует такой вектор w F(t, ), что, v w L(t)|| ||2, где ·, · — скалярное произведение в Rn.

Предположим, что выполняются условия: A) отображения f и F измеримы по t и удовлетворяют условию линейного роста по переменным x и соответственно;

x1 x2 x B) 0, (), x0, x1, x2 Rn, y(·) Y :

f (t, x1, y(t)) f (t, x2, y(t)) x0 ;

C) 0, (), x0, 1, 1 2 x0 h0 F(t, 1 ), F(t, 2 ) x0 ;

D) Rn :

F односторонне липшицево с локально интегрируемой на R+ функцией LF : R+ R+ такой, что функция m() = + t0R LF (s)ds d при всех t (d,t — некоторые числа);

t СамДифф– E) 0, (), (t0, x0 ) R+ Rn, Rn, () :

x, tZ+ tZ+ 0 S1 F(t, )dt x0.

h0 f (t, x, y(t))dt, y(·)Y t0 t Теорема. Пусть выполняются предположения (A)–(E). Если усредненная система (2) равномерно экспоненциально устойчива, то исходная система (1) также равномерно экспоненциально устой чива.

Литература [1] Grammel G., Maizurna I. A sufficient condition for the uniform exponential stability of time-varying systems with noise. // Nonlinear Analysis. — 2004. — V. 56. — P. 951–960.

[2] Donchev T.,Farkhi E. Stability and Euler approximation of one sided Lipschitz differential inclusions. // SIAM J. Control OPTIM.

— 1998. — V. 36. №. 2. — P. 780–796.

НЕЛОКАЛЬНАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Бейлин С.А.

Самарский государственный университет В области D = {(x,t) : 0 x l, 0 t T } рассмотрим задачу для уравнения (1) utt uxx + c(x,t)u = f (x,t) с начальными данными u(x, 0) = (x), ut (x, 0) = (x), (2) граничным условием (3) ux (0,t) = и нелокальным интегральным условием Zl (4) K(x)u(x,t)dx = E(t), 0 t T.

Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

Для доказательства существования обобщенного решения этой задачи из W2 (D) задача рассматривается как обратная задача на хождения решения u(x,t) и следа ее производной p(t) = ux (l,t).

Показано, что если f (x,t) L2 (D), c(x,t) C(D), (x) W2 (0, l), (x) L2 (0, l), K(x) C[0, l] C1(0, l), K(l) = 0, то задача (1)–(2)–(3)–(4) имеет единственное обобщенное решение из про странства W2 (D), SHARP ESTIMATES OF SOLUTIONS TO THE ROBIN BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR ELLIPTIC NON DIVERGENCE SECOND ORDER EQUATIONS IN A NEIGHBORHOOD OF THE CONICAL POINT Borsuk Mikhail University of Warmia and Mazury in Olsztyn, Poland Let G Rn, n 2 be a bounded domain with boundary G that is a smooth surface everywhere except at the origin O G and near the point O it is a convex conical surface with vertex at O.

We consider the Robin problem for linear (see [4]) and quasilinear non divergence second order elliptic equations in G. We obtain best possible estimates of strong solutions of this problem near a conical point. Analogous results were established in [1, 2] for the Dirichlet problem.

The oblique derivative problem for the Poisson equation on the infinite angle considered M.Garroni, V.A.Solonikov and M.Vivaldi [3]. A principal new feature of this talk is the consideration of elliptic equations with variable coefficients that the smoothness are the minimal possible. Our examples demonstrate this fact.

The proof of main results is based on the deduction a new inequality of the Hardy - Friedrichs - Wirtinger type with the exact constant, adapted to the Robin problem. The precise exponent of the solution decreasing rate depends on this exact constant. In addition, for quasilinear equations we use the barrier techniques and the comparison principle.

СамДифф– References.

[1] M.V. Borsuk, Best-possible estimates of solutions of the Dirichlet problem for linear elliptic non divergence equations of second order in a neighborhood of a conical point on the boundary,// Math. USSR Sbornik, 74 (1993), 185-201.

[2] M.V. Borsuk, On the solvability of the first boundary value problem for second-order elliptic equations in a domain with a conical point on the boundary.// Mat. Fiz. Anal. Geom., Kharkov, 4, № (1997), p. 428- [3] M.G. Garroni, V.A. Solonikov and Vivaldi M.A., On the oblique derivative problem in an infinite angle, // Topological methods in nonlinear analysis, 7, №2 (1996), 299-325.

[4] M.V. Borsuk, A. Zawadzka, Best possible estimates of solutions to the Robin boundary value problem for linear elliptic non divergence second order equations in a neighborhood of the conical point. // Journal of Differential Equations, 207, №2 (2004), pp. - 359.

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ ЭЙЛЕРА-ИМШЕНЕЦКОГО-ДАРБУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Беркович Л.М., Евлахов C.А.

Самарский государственный университет Линейное дифференциальное преобразование Эйлера Имшенецкого-Дарбу z = (x)y + (x)y, (x), (x) CI, I = (a, b) (1) преобразует линейные дифференциальные уравнения вида y + a0y = 0, a0 (x) CI, I = (a, b). (2) в уравнение вида z + b0(x)z = 0, b0(x) CI. (3) Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

С помощью преобразования (1) можно сгенерировать бесконеч ную последовательность линейных дифференциальных уравнений второго порядка, интегрируемых в терминах уравнения (2). Эта процедура основана на следующей теореме:

Теорема (Эйлер-Имшенецкий-Дарбу). Уравнение (2) порож дает следующую последовательность уравнений y + ak yk = 0, k k ak = a0 + 2, s s= где s1 удовлетворяет уравнению Риккати + 2 + as1 = s1.

s1 s Дан алгоритм и составлена программа как для построения об щего члена последовательности уравнений, так и для нахождения их решений.

НЕКОТОРЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ Беркович Л.М.

Самарский государственный университет Обзорный доклад, посвященный некоторым новым методам нелинейной аналитики.

ПЛАН ДОКЛАДА 1. Иллюстративный пример 2. О принципах нелинейной суперпозиции 3. Факторизация нелинейных дифференциальных операторов 4. Метод точной линеаризации СамДифф– 5. Линеаризация уравнений второго порядка 6. Метод автономизации 7. О нелинейном уравнении теплопроводности, описывающем режимы с обострением 8. Уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова 9. Линеаризация уравнений третьего порядка 10. Об уравнении Кортевега–де Фриза и солитонах 11. Система Лоренца 12. Другие приложения В докладе, в частности, использованы следующие работы автора:

1. Беркович Л.М., Факторизация и преобразования дифференци альных уравнений. Методы и приложения., М.: РХД, 2002.

2. Беркович Л.М., Некоторые аналитические методы нелинейной динамики, Вестник СамГУ, №2, 2005, с.32–64.

О СХОДИМОСТИ МЕТОДА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ БИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Богатырев С.В.

Самарский государственный университет Метод фундаментальных решений был предложен как метод аппроксимации решения краевых задач для уравнений эллиптиче ского типа. Заключается он в следующем. Решение краевой задачи (x );

(x ), Lu(x) = 0, Bu(x) = h(x), (1) где Rs – односвязная область, L – дифференциальный опе ратор эллиптического типа, B – краевой оператор, предлагается Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

приближать функциями вида m ak G(x yk ), um (x) = (2) k= где G(x) – фундаментальное решение оператора L. Точки yk выби раются так, чтобы они не попадали в. В этом случае функция (2) при любом выборе точек yk и коэффициентов ak будет реше нием уравнения из (1). Точки yk и коэффициенты ak выбираются так, чтобы (2) наилучшим образом (в некотором смысле) аппрок симировала краевые условия из (1).

Существует несколько способов построения такой «наилуч шей» аппроксимации. Например, можно выбрать m точек xi на границе и найти коэффициенты ak как решения линейной си стемы m ak BG(xi yk) = h(xi), (i = 1,..., m).

k= Но в любом случае (как бы мы ни строили аппроксимацию (2)) возникает проблема сходимости метода фундаментальных реше ний. Эта проблема заключается в доказательстве того, что после довательность um (x) сходится к решению задачи (1).

Проблема сходимости метода фундаментальных решений на чала изучаться сравнительно недавно и далека от завершения. В большей части исследований рассматривается краевая задача Ди рихле для уравнения Лапласа на плоскости.

В настоящей работе рассматривается метод фундаментальных решений для задачи u(x) 2 u(x) = 0, (x );

(x ), u(x) = h(x), = g(x), n (3) где – круг радиуса r на плоскости. Решение задачи (3) предла гается аппроксимировать функциями вида m m ak ||x yk|| ln ||x yk || + bk ln ||x yk ||, um(x) = (4) k=1 k= то есть линейными комбинациями фундаментальных решений опе ратора Лапласа и бигармонического оператора 2. Точки yk вы бираются так, чтобы они лежали на окружности радиуса R на СамДифф– одинаковом расстоянии друг от друга. Предлагается способ вы числения коэффициентов ak и bk, при котором функции (4) будут сходиться к решению задачи (3) в равномерной норме. Способ вы числения коэффициентов ak и bk основан на идеях работы [1].

Литература [1] X.Li. On convergence of the method of fundamental solutions for solving the Dirichlet problem of Poisson’s equation//Advances in Computational Mathematics. 2005, vol. 23, pp.265-277.

ОБОБЩЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО ХАРДИ Ващенко О.В.

Белгород Предложен аналог классического пространства Харди 1, аналитических функций для решений обобщенной H p (D), p системы Бельтрами x Jy = F, где собственные значения посто янной комплексной матрицы J лежат в верхней полуплоскости.

Это пространство определяется как замыкание W 1,p (D) по норме || = ||L p (D) + |y Jx |L p (D).

Работа выполнена при поддержке гранта "Университеты России"№ УР 04.01. О ГЕЛЬДЕРОВОСТИ W - И H-РЕШЕНИЙ ОДНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Гусейнов С.Т.

Бакинский государственный университет Рассмотрим в единичном круге B IR2 с центром центром в начале координат эллиптическое уравнение u xi (x) Lu = = xi i= Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

с весом |x| 1, x1 0, x2 |x| 1, x1 0, x2 (x) = 0 i 2, 0 i 2, i = 1, 2.

, |x|2, x1 0, x2 |x|, x1 0, x2 Множество гладких функций не плотно в весовом соболевском пространстве W (B, w) с нормой 1/ Z = (u2 + |u|2) dx (1) u W B и можно определить пространство H(B, w) как пополнение C(B) W (B, ) по норме (1).

Уравнение имеет два типа решений: W -решения u W (B, ) для которых интегральное тождество выполнено на пробных функциях из W (B, ) с нулевым следом на границе, и H-решения u H(B, ) для которых интегральное тождетсво имеет место для пробных функций из C0 (B).

Сформулируем основной результат.

Теорема. H-решения уравнения гельдеровы в B, а W решения, не являющиеся H-решениями, разрывны в начале ко ординат и гельдеровы в B {x : x1 0, x2 0} и B {x : x1 0, x 0} В случае когда 1 = 2 = 1 = 2 = аналогичный результат ранее получен в работе [1].

Литература [1] Алхутов Ю.А., Жиков В.В. О гельдеровости решений одного эллиптического уравнения. //Современная математика и ее при ложения. 2003. Т.10. С. 8-21.

СамДифф– О СХОДИМОСТИ МЕТОДА МАЛОГО ПАРАМЕТРА В КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ ДЛЯ ТОЛСТОСТЕННОЙ ТРУБЫ ИЗ НЕОДНОРОДНОГО МАТЕРИАЛА Дедова В.Н., Должковой А.А.

Самарский государственный технический университет Методом малого параметра получено аналитическое решение физически нелинейной краевой задачи установившейся ползуче сти толстостенной трубы из неоднородного материала регулярной структуры. Задача рассматривается для случая плоского деформи рованного состояния.

Краевая задача задается классическими уравнениями равнове сия, граничными условиями для напряжений на внешнем и внут реннем радиусах, уравнениями совместности деформаций и опре деляющими соотношениями вязкого нелинейного течения для де формаций r и :

3 n n r = c r [1 + U(r)], = c r [1 + U(r)], 2 где r, — радиальное и тангенциальное напряжения;

U(r) — функция, описывающая неоднородность материала оболочки тру бы;

— коэффициент вариации механических свойств — малый параметр (0 1);

c, n — постоянные материала.

Получены рекуррентные формулы для напряжений в виде ря дов, оценить сходимость которых аналитически не удается. Вы полнен численный анализ сходимости решения для различных за конов нерегулярности свойств материала по радиусу трубы (па раболический, экспоненциальный, тригонометрический). Показа но, что учет четвертого и более высокого порядков приближений практически не вносит уточнения в решение задачи, что свиде тельствует о хорошей сходимости метода малого параметра в дан ной задаче.

Выполнено сравнение решения, полученного методом малого параметра, и численного решения. Установлено, что, начиная с Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

четвертого члена ряда по малому параметру, различие между ними составляет не более 1%.

Получены формулы для деформаций r и для любого при ближения, а также для перемещения. Приведена методика оценки надежности толстостенной трубы по деформационному критерию отказа на основании приближенного аналитического решения.

ONNECESSARY AND SUFFICIENT CONDITIONS FOR POINTWIZE STABILIZATION OF THE SOLUTION OF THE FIRST MIXED PROBLEM FOR HEAT EQUATION Denisov V.N.

In cilinder Z = D (0, +) we consider the following mixed problem for heat equation u (1) u = t u|S = 0, S = D (0, +) (2) (3) u|t=0 = u0 (x), x D where D - is unbounded open subset in RN, N 3, D - is boundary of D, u0 (x) - initial function, which is bounded on D. We will assume that solution u(x,t) of the problem (1) - (3) is bounded in Z. We say that solution u(x,t) of the problem (1) - (3) stabilizes, if the following limit exists (4) lim u(x,t) = 0, x D.

t Theorem 1. In order for solution of the problem (1) - (3) to stabilize, it is necessary and sufficient that following series are divergent to infinity cap(B m \D) qm(N2) = q m= where q 1, BR - is a ball {|x| R} in RN, cap(E) - Wiener capacity of the compact set E RN.

СамДифф– Theorem 2. In order for the solution at the problem (1) - (3) to stabilize, it is necessary and sufficient that following integral are divergent to infinity Z cap(B \D) d = (N1) The same capacity criterium of stabilization are valid in the case, when we consider more general equation u u N ail (x) = i,l=1 xi xl t ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ Дмитриев В.Б.

Самарская государственная академия путей сообщения Математическое моделирование некоторых физических явле ний и биологических процессов часто приводит к нелокальным задачам для уравнений в частных производных второго порядка.

Весьма удобным способом описания налагаемых на искомое ре шение условий является задание их в интегральной форме как среднее значение решения на принадлежащих области, в которой ищется решение, многообразиях. Ранее краевые задачи для гипер болических уравнений на плоскости с интегральными условиями были исследованы Пулькиной Л. С. в работах [2,3,4], Гордезиани Д. Г. и Авалишвили Г. А. в работе [1]. Рассмотренную задачу лишь на плоскости можно свести к стандартной, поэтому задача решена совершенно другим способом и является первым шагом в этом направлении.

Рассматривается уравнение (1) Lu utt u = f Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

в цилиндре QT = {(x, ) : x Rn, 0 T }, где - ограни ченная область в Rn, и для него ставится задача с начальными условиями Коши u(x, 0) = (x) (2) ut (x, 0) = (x) (3) и нелокальным условием u Z (4) |S = K(x, y)u(y,t)dy, n где (x), (x), K(x, y) заданы, а ST = {(x,t) : x, 0 t T } - бо ковая поверхность цилиндра QT.

Вводится понятие обобщённого решения. Определение. Назо вём обобщённым решением из W2 (QT ) задачи (1)-(4) функцию u(x,t), принадлежащую W2 (QT ), равную (x) при t = 0 и удовле творяющую тождеству ZT Z ZT Z Z (ut vt + uv)dxdt K(x, y)u(y,t)dydsdt = v(x,t) 0 ZT Z Z (x)v(x, 0)dx (5) = f (x,t)v(x,t)dxdt + 0 v W2 (QT ), v(x, T ) = 0.

Основным результатом работы является следующая Теорема.

Задача (1)-(4) имеет единственное обобщённое решение из W2 (QT ) для f L2,1 (QT ), W2 () и L2 () при выполнении условия (K (x, y) + |x K(x, y)|2 )dxdy = L RR Для доказательства единственности решения получена апри орная оценка, а существование доказано методом Галёркина.

Литература СамДифф– [1] Гордезиани Д. Г., Авалишвили Г. А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды//Математическое моде лирование, т. 12, №1, 2000.

[2] Пулькина Л. С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения//Математические заметки, т. 74, вып. 3, с. 435-445, 2003.

[3] Пулькина Л. С. Нелокальная задача с интегральными услови ями для гиперболического уравнения//Дифференциальные урав нения, 2004, том 40, № 7, с. 887-892.

[4] Пулькина Л. С. О разрешимости нелокальной задачи с инте гральными условиями для гиперболического уравнения//Вестник СамГу, 1998. N-2(8), с. 63-67.

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПЛОСКОСТИ В УСЛОВИЯХ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ Должковой А.А.

Самарский государственный технический университет Постоянно растущие требования к надежности и прочности элементов конструкций приводят к необходимости учета стоха стических неоднородностей материала, которые обусловлены раз личными технологическими и структурными факторами. Особую важность эта задача приобретает для элементов конструкций, ра ботающих в условиях ползучести, поскольку известно, что опыт ные данные по деформации ползучести, полученные при испыта нии на стандартных образцах, имеют значительный разброс.

В данной работе рассматривается актуальная физически и ста тистически нелинейная задача о ползучести стохастически неод нородной плоскости при растяжении вдоль главных осей. Стоха стичность вводится в определяющие соотношения с помощью слу чайной функции координат, описывающей реологические свойства материала. При этом компоненты тензора скоростей деформаций Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

и напряжений являются случайными функциями координат. Де формации ползучести описываются в соответствии с нелинейной теорией вязкого течения (установившейся ползучести).

В работе выполнено исследование напряженно деформированного состояния плоскости в главных осях в условиях установившейся ползучести, где в качестве парамет ра фигурирует соотношение главных напряжений. На основе линеаризации по методу малого параметра решается задача относительно случайных напряжений. Численные вычисления в работе производятся при условии, что функция, с помощью которой задается случайное поле возмущений механических свойств материала, является однородной, изотропной и допускает спектральное представление в виде интеграла Фурье-Стилтьеса.

При быстро изменяющемся случайном поле микронеоднородно стей влияние границ на напряженно-деформированное состояние во внутренней области будет достаточно мало, при этом можно отвлечься от эффекта границ, заменяя граничные условия требо ванием ограниченности функций на бесконечности. В этом случае вдали от границы пластины решение задачи будет однородным.

В работе произведено исследование разброса напряжений вдоль главных осей от степени неоднородности реологических свойств материала, показателя нелинейности и различных соотно шений средних напряжений. Анализ полученных дисперсий поз воляет сделать вывод о том, что увеличение среднего напряжения вдоль одной главной оси существенно влияет на увеличение раз броса напряжения вдоль другой главной оси.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 03-01-00448-a) ЗАДАЧА СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЛАГОПЕРЕНОСА Ефимова С.В.

Самарская государственная экономическая академия Рассмотрим уравнение СамДифф– Lu y2uxx uyy ux = 0, (1) которое принято называть уравнением влагопереноса [1].

Введем следующие обозначения: пусть I – это интервал x 1 прямой y = 0, D1 – область, ограниченная интервалом I и характеристиками уравнения (1) AC1 и BC1, D2 – область, огра ниченная интервалом I и характеристиками уравнения (1) AC2 и (1) (2) BC2, где A(0, 0), B(1, 0), C1(1/2, 1), C2(1/2, 1), 0 (x) и 0 (x) – аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (1), выхо дящих из точки (x, 0) I с характеристиками AC1 и AC2 соответ,, ственно, I0+ f (x) – обобщенный оператор дробного интегродиф ференцирования в смысле Сайго [2], I0+ f (x) –дробный интеграл Римана–Лиувилля [3], H0 [0, 1] = { f (x) H [0, 1] : f (0) = f (1) = 0}, где H [0, 1] – класс функций, удовлетворяющих на отрезке [0, 1] условию Гельдера порядка, 0 1.

Поставим и исследуем следующую задачу.

Задача. Найти функцию u(x, y) со свойствами:

1) Lu 0 в области D = D1 D2;

2) u(x, y) C D C2 (D \ I);

3) u(x, 0) = u(x, +0) x I, lim uy (x, y) = lim uy (x, y) (x I);

y0 y0+ 4) u(0, 0) = u(0, +0) = 0;

1, 1/2, 1 1 (1) 5) A1 I0+ 1 u[0 (t)] (x) + B1 I0+ u[t, 0] (x)+ +C1 I0++1uy [t, 0] (x) = g1(x), x I,, 2 1/2, 2 1 1 + (2) 2 u[0 (t)] (x) + B2 I0+ u[t, +0] (x)+ A2 I0+ +C2 I0++1uy [t, +0] (x) = g2(x), x I, где g1(x), g2(x) – заданные функции такие, что g (x) H0 i [0, 1], i i = 1, 2, g1 (0) = g2 (0) = 0, A1, A2, B1, B2, C1, C2, 1, 2, 1, 1, 2 – заданные константы такие, что B1B2 (2C1 A1) (2C2 + A2 ) 0, 2B2C1 A1 B2 2B1C2 A2 B1 = 0, 0 1 1 1 1, 0 2 2 1 + 1 1.

Доказано, что данная задача имеет единственное решение, причем оно получено в явном виде.

Литература [1] Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Выс Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

шая школа. 1995.

[2] Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions//Math.Rep.Kyushu.Univ. 1978. Vol.11, №2.

[3] Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и про изводные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск:

Наука и техника. 1987.

ОБ ОЦЕНКАХ ПЕРВОГО СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ШТУРМА – ЛИУВИЛЛЯ Ежак С.С.

Московский Государственный Университет Экономики, Статистики и Информатики (МЭСИ) Рассматривается следующая задача Штурма-Лиувилля:

y (x) + P(x)y(x) + y(x) = 0, (1) (2) y(0) = y(1) = 0, где P(x) – неотрицательная ограниченная функция на [0, 1], удо влетворяющая условию:

Z P (x)dx = 1, = 0. (3) Решением уравнения (1) будем называть функцию y(x), опре деленную на [0, 1], такую что y (x) – абсолютно непрерывна, и уравнение (1) выполняется почти всюду на (0, 1) и y(0) = y(1) = 0.

Исследуется зависимость минимального собственного значе ния 1 этой задачи от потенциала P(x) при различных значениях.

Отметим, что подобная задача для уравнения y (x) + P(x)y(x) = 0 при условиях (2) (3) рассматривалась в работе [1].

СамДифф– Из вариационного принципа следует, что первое собственное значение 1 может быть найдено следующим образом:

1 = inf R[P, y], y(x)H0 (0,1) где R 1 2 R y (x)dx 0 P(x)y2 (x)dx R[P, y] = 0, R y2(x)dx Пусть inf 1, M = sup 1, m = P(x)A P(x)A где A – множество неотрицательных ограниченных на [0, 1] функ ций, удовлетворяющих (3).

Теорема. Если 1, то m 0, M = 2, причем су ществуют такие функции u(x) H0 (0, 1) и P(x) A, что infy(x)H 1 (0,1) R[P, y] = R[P, u] = m.

Если = 1, то m1 3, M1 = 2, причем m1 достигается на функции P(x) = x 1. Если 0 1/3, то m =, M 2.

Если 1/3 1/2, то m =, M 2.

Если 1/2 1, то m =, M = 2.

Если 0, то m =, M 2, причем существуют та кие функции u(x) H0 (0, 1) и P(x) A, что infy(x)H 1 (0,1) R[P, y] = R[P, u] = M.

Замечание. Аналогичная теорема доказана для уравнения y (x) P(x)y(x) + y(x) = 0 при условиях (2) (3) в работе [2].

Литература [1] Egorov Yu., Kondratiev V. On Spectral theory of elliptic operators.

// Operator theory. Advances and Applications. V 89. Birkhouser.

1996.

[2] Ежак С.С. Оценки первого собственного значения некоторых задач Штурма – Лиувилля. // Труды XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ло моносова, Москва, 2004, с. 83-89.

Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ КРИСТАЛЛООПТИКИ Жура Н.А.

Физический институт им. П.Н. Лебедева, РАН Рассмотрим однородную систему уравнений кристаллооптики u1 u = rotbu2, = rotau1, divu2 = 0, divu1 = 0 (1) t t где u1 (t, x) и u2(t, x), t 0 искомые вектор-функции с тремя компо нентами, а постоянные, вещественные матрицы третьего порядка a и b симметричны, положительно определены и не имеют общих осей. Пусть для каждого вектора = (1, 2, 3) элементы кососим метричной матрицы [] суть []i j = (1)i+ j k, j i, где {i, k, j} – перестановка индексов {1, 2, 3}.

Переопределенная система (1) гиперболична, поскольку ее ха рактеристический полином h(0, ) = 4 p()2 + q(), где p() = 0 tr([]b[]a), q() = (a, )(b, ) и a – присоединенная к a мат рица, имеет относительно 0 только вещественные корни, отлич ные от нуля при всех = 0 и кратные при тех, при которых () = p2() 4q() обращается в нуль.

Теорема. Пусть ортогональная матрица e приводит симметрич ную положительно определенную матрицу s = a1/2 ba1/2 к диаго нальному виду e1se =, = diag(1, 2, 3 ), перестановка {i, j, k} индексов {1, 2, 3} такова, что i k j, а = detae1a1/2.

Тогда (i) () = P2 () + Q2 (), где P() = (k j )2 + (k i i ) j 2 + ( )2, Q() = 2 ( )( ).

j ik j i j k ik (ii) () = + () (), ± () = ( j i )2 + ( j k i ± k k i j )2.

Следствие. Если i = k j (i k = j ), то () = R2 (), R() = ( j i )(2 +2 ) (R() = ( j i )(2 +2 )), а если i = j = k, i j k k то () 0.

Структура "нормальной"поверхности вполне определеяется этой теоремой, что позволяет, в частности, получить в явной фор ме решение задачи Коши для системы (1). Рассматривается также некоторые обобщения системы (1).

СамДифф– Литература 1. Федоров Ф.И. Оптика анизотропных сред. Издание второе, исправленное. Москва, УРСС, 2004.

2. John F. Algebraic conditions for hyperbolicity of systems of partial differential equations, Comm. on Pure and Appl. Math., V.

31, p. 89-106, 1978.

3. Hilbert D. Ueber die Darstellung definierter Formen als Summe von Formenquadraten, Math. Ann., Bd32 (1888), 342-350.

НЕСТЕПЕННЫЕ АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДЕННОГО ЧЕТВЕРТОГО УРАВНЕНИЯ ПЕНЛЕВЕ Завгородняя Ю.В.

Московский Государственный Университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ) Рассматривается вырожденное четвертое уравнение Пенлеве:

w2 3 + w + 4zw2 + 2(z2 a)w, (1) w= 2w где a - комплексный параметр. Для этого уравнения исследуются нестепенные асимптотики его решений. Имеет место следующая Теорема 1. Для уравнения (1) в окрестности z = имеются семейства слабых нестепенных асимптотик вида z2(1k) exp ±z + ck a1 (2) w = cz.

2(1 k) k= где c - произвольная постоянная, a - комплексный параметр, отличный от нуля, все ck C однозначно определены, и при этом должно выполняться условие ±Re z2 0.

Замечание. Степень экспоненты включает в себя ряд, общий член которого стремится к нулю, но вопрос о сходимости которого Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

пока не решен. Пусть = ln w. Обозначим через N (z) показатель степени экспоненты, в котором ряд заменен его N-ой частичной суммой. Тогда имеет место предельное равенство w eN (z) e eN (z) z при каждом фиксированном N.

= 0, eN (z) eN (z) Так как для разложений (2) не выполняется достаточный признак сходимости (см. [4], т. 3.4), будем считать полученные разложения формальными.

Литература [1] А.Д. Брюно. Степенная геометрия в алгебраических и диффе ренциальных уравнениях // Наука-Физматлит, Москва, 1998 г.

[2] А.Д. Брюно, Ю.В. Завгородняя. Степенные ряды и нестепен ные асимптотики решений второго уравнения Пенлеве // ИПМ им. М.В. Келдыша, препринт №48, Москва, 2003 г.

[3] Козлов В.В, Фурта С.Д. Асимптотики решений сильно нели нейных систем дифференциальных уравнения // Москва, МГУ, 1996 г. 244с.

[4] А.Д. Брюно. Асимптотики и разложения решений обыкновен ного дифференциального уравнения // Успехи математических на ук, т.59, вып. 3 (357), Москва, 2004 г.

Работа выполнена при частичной поддержке Министерства промышленно сти, науки и технологий Российской Федерации (грант НШ1464.2003.1).

НЕКЛАССИЧЕСКАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА О ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ВЯЗКОУПРУГОГО СТЕРЖНЯ ПЕРЕМЕННОГО ПО ВРЕМЕНИ СЕЧЕНИЯ Задорожный А.И., Задорожная Н.С.

Ростовский государственный университет, Ростовский военный институт ракетных войск Рассматривается начально-краевая задача, моделирующая, на пример, продольные вибрации твердотопливного заряда в процессе СамДифф– горения 2 u f(t) u 2u f(t) + = 1+µ +µ, x ]0;

1[, t 2 f (t) t t x f (t) u(x, 0) = (x), ut (x) = (x), (1) f f u(0,t) = 0, M utt (1,t) + ut (1,t) = 1 + µ + µ ux (1,t), t f f причем соответствующие условия согласования для (x) и (x) считаются выполненными. В (1) приняты следующие обозначения:

f (t) 0, f(t) 0 - безразмерная функция изменения во времени t площади сечения, µ - вязкость по Кельвину-Фойгту, M - отноше ние величины сосредоточенной массы (бронированного торца) к характерной массе "стержня". Процедура разделения переменных u(x,t) = T (t)U(x) дает Un (x) + 2Un (x) = 0,Un (0) = 0,Un (1) = M2Un (1);

(2) n n Tn (t) + (µ2 + f/ f )Tn (t) + (1 + µ f/ f )2 Tn (t) = 0.

(3) n n Базисность системы {Un (x)}, n N {0}, порожденной обобщен S ной задачей Штурма-Лиувилля (2) со спектральным параметром в краевом условии, детально исследована в [1]. Заметим, что tgn = M 11, 0 0 1 · · · n · · ·. Основным результатом n является следующая теорема. Пусть (x), (x) C [0;

1], ]0;

1] (классу Гёльдера), тогда ряд {Ann(t) + Bnn(t)}Un(x),t [0;

te], u(x,t) = n= в котором коэффициенты Фурье An, Bn определяются из алгеб раической системы (0)An + n(0)Bn = (,Un )/||Un ||2, H (0)An + n(0)Bn = (,Un )/||Un ||2, (4) H где {n(t), n (t)} - фундаментальная система решений (ФСР) уравнения (3), а Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

||Un ||2 = MUn (1) + ||Un ||2 2 (0;

1) ("нагруженная"метрика) схо H L дится равномерно.

Обратим внимание на тот факт, что однозначная разрешимость (4) свидетельствует о двукратной полноте по Келдышу [2] систе мы {Un (x)}.

Литература [1] Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. К проблеме сходимости спек тральных разложений для одной классической задачи со спек тральным параметром в граничном условии.// Дифференциальные уравнения: 2001, т. 37, № 12. С. 1599-1604.

[2] Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных неса мосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: На ука, 1965. 448 с.

МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ В ЗАДАЧЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕСТРУКТУРИЗАЦИИ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ Зайчикова Н.А.

Самарский государственный университет Начало портфельного анализа, по-видимому, было положено в работах Г.Марковица, где была рассмотрена модель формиро вания оптимального портфеля и были даны методы построения таких портфелей. Портфель - совокупность нескольких видов цен ных бумаг, различающихся по доходности и степени надежности, которые приобретает инвестор, стремясь достичь наилучшего со отношения "риск-надежность". Инвестор принимает решение в си туации неопределенности, поскольку доходность портфеля в пред стоящий период владения неизвестна. Вероятностный подход поз воляет оценить будущую доходность ценных бумаг, основываясь на некоторых предположениях. Уровень доходности – случайная величина, основными характеристиками которой являются ожи даемое, или среднее, значение и стандартное отклонение. Послед нюю характеристику используют как меру риска. В теории управ СамДифф– ления стохастическими процессами ставится задача максимизации ожидаемой доходности и минимизации риска. К различным аспек там этой тематики обращены работы Д. Тобина, П.Самуэльсона, Р.Мертона, Л.Башелье и др. Дифференциальные включения в за даче динамической реструктуризации инвестиционного портфеля используются в работах О.И. Никонова.

Предлагается поставить задачу Коши для дифференциальных включений, описывающих динамику инвестиционного портфеля, а затем построить более простое, усредненное, дифференциаль ное включение, решения которого будет сколь угодно мало отли чатся от решения исходного включения на асимптотически боль шом промежутке времени. Таким образом, неопределенность в виде множества частных исходов результата принятия решения закладывается в правую часть дифференциального включения, описывающую многозначное поле скоростей изменения вложений.

Построенное дифференциальное включение позволяет упростить анализ задачи без использования вероятностных характеристик.

Для определения правой части аппроксимирующего дифференци ального включения используются теоремы усреднения, получен ные в [1,2].

Рассмотрим задачу Коши для дифференциальных включений (ДВ) dx/dt µF(t, x), x(t0 ) = x0, (1) где µ (0, a], a 0,– параметр масштаба, x Rm – значения риско + вых вложений, m – количество видов ценных бумаг в портфеле, F : D0 Kv(Rm ) — выпуклое компактнозначное отображение, ха рактеризующее скорость изменения структуры портфеля в каждый момент времени t, D0 = R+ P, область P Rm. X(t0, x0, µ) – мно + жество всех решений типа Каратеодори задачи (1), определенных на отрезке T (t0, µ) = [t0,t0 + 1/µ], µ 0.

Поставим задачу аппроксимации сверху для (1) с помощью бо лее простой задачи (t0 ) = x0, d/dt µF0(), (2) где отображение F0 : P Kv(Rm). Задача (2) аппроксимирует ДВ (1) сверху, если 0 µ0 0 µ (0, µ0 ] выполняется усло Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

вие: для любого решения x(t) задачи (1) существует решение (t) задачи (2) такое, что x(t) (t) t T (t0, µ).

Для построения правой части аппроксимирующего дифферен циального включения будем использовать усредненную опорную функцию [1] tZ+ M{c(F, )}(x0 ) = lim c(F(t, x0 ), ) dt. (3) t Теорема. Пусть отображение F из ДВ (1) измеримо по t, по лунепрерывно сверху по x, равномерно ограничено и выполнены условия:

(a) для некоторой непустой области P0 P 0 0 такое, что для любого x X(t0, x0, µ) выполняется включение [x(t)] P t T (t0, µ);

(b) равномерно по векторам (t0, x0 ) D0 и Rm, = 1, су ществует предел (3);

(c) отображение F0, определяемое усредненной опорной функ цией (3), принадлежит классу L0 (m, P), то есть измеримо по t, равномерно ограничено и удовлетворяет условию Липшица с общей постоянной l = l(F0 ).

Тогда ДВ (2) является аппроксимирующим сверху для зада чи (1) в области P0 P в классе отображений L0 (m, P).

В [2] показано, что в условии (3) достаточно потребовать суще ствования верхнего предела, равномерного по начальным данным.

Литература [1] Филатов О.П., Хапаев М.М. Усреднение систем дифференци альных включений. М.: МГУ, 1998, 160 с.

[2] Зайчикова Н.А. Усреднение дифференциальных включений с полунепрерывной правой частью. — Научные труды конференции СГПУ. Самара: СГПУ, 2001, с. 34–42.

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НЕЛОКАЛЬНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ СамДифф– Зарубин А.Н.

1. В области = R1 (0, +) рассматривается уравнение Lu(x,t) utt (x,t) D+ u(,t) = H(t )u(x,t ), (1) где 0 const;

1 2 2;

H() – функция Хевисайда;

D+ – оператор дробного интегродифференцирования (в смысле Римана Лиувилля), действующий на функцию u(x,t) по переменной x на оси.

+ Пусть = k, k = R1 (k, (k + 1)).

[ k= Задача K. Найти решение u(x,t) уравнения (1) в области такое, что D+ u(,t) C C2(), удовлетворяющее условиям u(x,t)|t=0 = (x), ut (x,t)|t=0 = (x), x R1, 22 u(,t) = lim D+ u(,t) = 0, 0 t +, lim D+ x± x± где заданные функции (x) и (x) соответственно дважды и один раз непрерывно дифференцируемы и абсолютно интегрируемы на R1.

2. Теорема единственности решения доказана с помощью ин теграла "полной энергии" + Z ut2 (x,t) + ux (x,t)D+ E(t) = u(,t) dx, который положительно определен и не зависит от t.

3. Решение задачи K найдено в виде u(x,t) = {uk (x,t), (x,t) k (k = 0, 1, 2,...)}, где + + Z Z ()Gkt (x,t)d + ()Gk (x,t)d, uk (x,t) = Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

а tm k m Z m (t m)2 2 R(x, )d, Gk (x,t) = R(x,t) + m=1 причем R(x,t) выражается через H-функцию Фокса.

ИССЛЕДОВАНИЕ РОДСТВЕННОЙ СВЯЗИ МЕТЕОРНОГО ПОТОКА -АКВАРИД С КОМЕТОЙ МАЧХОЛЦА Заусаев А.Ф., Денисов С.С., Соловьев Л.А.

Самарский государственный технический университет Происхождение метеорных потоков связывают с распадом ко метных ядер под действием солнечного излучения. Для ряда комет эта связь установлена достаточно надежно. Однако, даже среди главных метеорных потоков существуют такие, для которых ко меты родоначальницы не известны или генетическая связь уста новлена не вполне уверенно. До недавнего времени не было из вестно кометы родоначальницы метеорных потоков Квадрантид и -Акварид.

И. Джонс и В. Джонс провели исследование эволюции орбиты кометы Мачхолца [1] с учетом возмущений от 6 больших пла нет: Венеры, Земли, Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна. По их расчетам минимальное сближение с Солнцем на расстоянии 0, произошло 3550 лет назад. Как показано в этой работе, около 3000–5000 лет назад при тесном сближении кометы Мачхолца с Солнцем произошел интенсивный выброс метеорного вещества, в результате которого могли в последствие образоваться метеорные рои.

Следует отметить, что в работе Джонсов исследование эволю ции орбиты кометы Мачхолца вычислено с невысокой степенью точности.

Основной целью данной работы являлось исследование эволю ции орбит кометы Мачхолца с учетом возмущения всех больших СамДифф– планет, релятивистских эффектов с применением высокоточного численного метода Эверхарта 27 порядка.

Начальные данные элементов орбит кометы Мачхолца взяты из каталога Марсдена на 1996 г. Координаты больших планет со гласованы с DE405. Решались дифференциальные уравнения дви жения в барицентрической системе в гармонических координатах.

Время прохождения через перигелий было сопоставлено с данны ми наблюдений в 1986 г. Без учета негравитационных эффектов различие моментов прохождения через перигелий вычисленного нами с данными каталога оказалось несущественным.

В результате моделирования распада ядра кометы Мачхолца согласно Уипплу, нами показана возможность образования роя Акварид около 3700 лет назад. В статье [1] предполагается, что метеорный рой Квадрантид образовался значительно позже, всего 2500 лет назад. В настоящей работе это предположение не под тверждается.

По расчетам авторов возраст метеорного роя Квадрантид со ставляет не менее 5000 лет.

Литература 1. Jones J. and Jones W. Comet Machholz and Quadrantid meteor stream // Mon. Not. R. Astron. Soc., 1993. Vol. 261. Pp. 605–611.

O СОСТАВЛЕНИИ КАТАЛОГА ОРБИТАЛЬНОЙ ЭВОЛЮЦИИ КОРОТКОПЕРИОДИЧЕСКИХ КОМЕТ С 1900 ПО 2100 ГГ.

Заусаев А.А., Радченко В.П.

Самарский государственный технический университет В небесной механике вычисление эволюции орбит комет счи тается одной из самых трудных задач, разрешимой только по средством трудоемкого численного интегрирования определяющих дифференциальных уравнений.

Каталоги короткопериодических комет содержат полезную ин формацию о распределении комет в Солнечной системе, дают об Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

щее представление об эволюции элементов орбит с течением вре мени, кроме того, в каталогах содержится информация о тесных сближениях с большими планетами.

В настоящее время наиболее полным кометным каталогом яв ляется каталог Марсдена [1]. Он содержит элементы орбит всех известных как периодических, так и непериодических комет на моменты прохождения их через перигелий. В 1986 г. совместны ми усилиями ИТА АН СССР (г. Ленинград) и Астрономическим институтом Словацкой академии наук (г. Братислава) был создан международный каталог короткопериодических комет [2]. В связи с тем, что список вновь открываемых комет растет, а также по являются новые наблюдения известных комет, возникает потреб ность в постоянном обновлении каталогов.

При исследовании эволюции орбит небесных объектов точ ность полученных результатов зависит от ряда факторов, основны ми из которых являются: учет физических моделей действующих сил;

точность аппроксимирующей формулы численного метода ин тегрирования;

устойчивость как самой задачи, так и численного метода. От того, насколько полно учитываются главные силы, дей ствующие на исследуемое тело, зависит точность результатов, по лученных применяемым методом.

Большинство предыдущих каталогов были составлены на ос новании решения стандартной задачи n тел. Авторами за основу взяты уравнения движения с учетом гравитационных и реляти вистских эффектов, используемых американскими небесными ме ханиками Ньюхоллом, Стэндишем и Вильямсом [3] для создания банка данных координат больших планет и Луны.

Одним из эффективных методов численного интегрирования уравнений движения небесных объектов является метод Эвер харта [4], относящийся к числу неявных одношаговых методов.

Путем модификации алгоритма нами разработана программа на языке С++, позволяющая использовать метод Эверхарта до 31-го порядка. Применение данной программы для решения уравнений движения больших планет и Луны показало, что с увеличением порядка эффективность метода возрастает.

Разработан электронный и печатный варианты каталога корот СамДифф– копериодических комет. Для организации работы этого каталога были созданы банки данных координат больших планет и комет на интервале времени 500 лет. Координаты и скорости больших планет, Луны, Солнца и комет с шагом 100 дней в барицентриче ской системе хранятся во внешней памяти. С помощью сервисных программ и банка данных координат и скоростей больших пла нет, Луны, Солнца и комет можно получать любую информацию о динамических параметрах 164 комет на любой момент времени в интервале 1900–2100 гг.

Литература 1. Marsden B., Williams G. V. Catalogue of Сometary Orbits 1999. 13th ed. Central Bureau for Astronomical Telegrams and Minor Planet Center. 1999.

2. Беляев Н. А., Кресак Л., Питтих Э. М., Пушкарев А. Н.

Каталог короткопериодических комет. — Братислава, 1986. 398 с.

3. Newhall X. X., Standish E. M., Williams Jr. and J. G. DE 102:

a numerically integrated ephemeris of the Moon and planets spanning forty-four centuries // Astron. Astrophys., 1983. No. 125. Pp. 150– 167.

4. Everhart E. Implicit single methods for integrating orbits // Celestial mechanics, 1974. No. 10. Рp. 35–55.

ЗАДАЧА ГЕЛЛЕРСТЕДТА ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА Идрисов Р.Г.

г. Стерлитамак Рассмотрим систему n LiU K(y)uixx + uiyy + Ai (x, y)uix + Bi (x, y)uiy + Cik (x, y)uk = 0, (1) k= i = 1, n, n 2, yK(y) 0 при y = 0, U = (u1, u2,..., un ), в области D, ограниченной простой кривой Жордана и лежащей в полу плоскости y 0 с концами в точках A1 (a1, 0) и A2(a2, 0), a1 a2, Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

характеристиками A1C1, C1E, EC2, C2 A2 системы (1) при y 0, +e +e где E(e, 0), a1 e a2, C1 ( a12, yc1 ), и C2( a22, yc2 ). Пусть x = x(s), y = y(s) – уравнения кривой, 0 s l, l – длина кривой.

D+ = D {y 0}, D1 = D {y 0 x e} и D2 = D {y 0 x e}.

В D1 и D2 в характеристических координатах система (1) при мет вид n ui + ai (, )ui + bi (, )ui + cik (, )uk = 0, L0U (2) i k= ai (, ) = Ai + Bi K K /2 K /4K, cik (, ) = Cik /4K, bi (, ) = Ai Bi K + K /2 K /4K.

Область D1 отобразится в область 1 = {(, ) | a1 e}, a область D2 в 2 = {(, ) | e a2 }.

Для системы (1) в области D поставлена задача Геллерстедта.

Задача G. Найти функцию U(x, y), удовлетворяющую усло виям: U(x, y) C( D ) C1(D);

U(x, y) C2(D+ ), LiU(x, y) 0, i = 1, n, (x, y) D+ ;

U (, ) C(1 2), L0U(, ) 0, i = 1, n, (, ) i 1 2;

U(x, y) = (s), 0 s l;

U(x, y)| A1C1 = 1 (x), a1 x e+a1, U(x, y)| A2C2 = 2(x), 2 x a2, где и p, p = 1, 2, – за a2 +e данные достаточно гладкие вектор - функции, (l) = 1 (a1 ), (0) = 2 (a2 ).

Установлены экстремальные свойства модуля |U(x, y)| = 1/ n u2 (x, y) решений системы (1) в классе регулярных и обоб i i= щенных решений в областях эллиптичности, гиперболичности и, в целом, смешанной области, показаны их применения при иссле довании задачи G.

Доказано существование и единственность регулярного реше ния задачи G для системы (1) при ортогональном подходе эллип тической границы области к линии изменения типа.

Доказано существование обобщенного решения задачи G для системы (1) при произвольном подходе эллиптической части гра ницы области к линии изменения типа, за исключением случая касания.

СамДифф– О СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ Капустина Т.О.

Московский государственный университет Работа посвящена асимптотическому исследованию сингулярно возмущенной краевой задачи для уравнения смешанного типа, и продолжает тему исследований В.Г.Сушко и Н.Х.Розова [1], [2].

В прямоугольнике на плоскости рассматривается уравнение, которое является эллиптическим в нижней части области и пара болическим в верхней. Множителями при старших производных уравнения являются малые параметры. На нижней и боковых сто ронах прямоугольника задается граничное условие первого рода, а на линии изменения типа — условия непрерывности решения и его нормальной производной. При определенных условиях на коэффи циенты уравнения такая задача имеет единственное решение.

С помощью метода пограничных функций [3] построено асимп тотическое представление решения по малому параметру. Струк тура асимптотики зависит от условий на коэффициенты уравне ния. Решение может иметь как пограничные слои в окрестности границы области, так и внутренний слой в окрестности линии изменения типа. В точках пересечения этой линии с границей об ласти происходит взаимодействие слоев разной ширины.

С помощью принципа максимума для эллиптических и пара болических уравнений получена оценка разности точного и при ближенного решений, и, таким образом, доказан асимптотический характер приближенного решения.


Работа выполнена при поддержке грантов Президента России НШ–1464.2003.1 и РФФИ 04–01–00618.

Литература 1. Сушко В.Г. Асимптотические разложения некоторых син гулярно возмущенных задач для уравнений смешанного типа. // Фундамент. и прикл. математика. 1997. Т.3, N 2. С. 579—586.

2. Розов Н.Х., Капустина Т.О. Одна краевая задача для эллиптико–параболического уравнения. // Дифференц. уравне ния. 2001. Т.37, N 6. С. 847—848.

Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

3. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ PЕШЕНИЙ СЛАБО НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАPАБОЛИЧЕСКИХ УPАВНЕНИЙ ВТОPОГО ПОPЯДКА Кондpатьев В.А.

Московский государственный университет Пусть L - опеpатоp вида:

u u n n xi + ai (x), L= ai j (x) x j i=1 xi i, j= где ai j - огpаниченные измеpимые функции, x, - огpани ченная липшициева область. Пpедполагается, что L - pавномеpно эллиптический опеpатоp.

Рассматpиваются уpавнения:

u = Lu f (x, u) (1) t 2 u + Lu = f (x, u) (2) t u с гpаничными условиями + g(x, u) = 0, x.

Решение понимается как обобщенное pешение в стандаpтном опpеделении. Функции f, g таковы, что f (x, 0) g(x.0) fu (x, 0) gu(x, 0) 0 и f (x, u) = 0 пpи u = 0. Изучается поведение pешений пpи t +. В литеpатуpе достаточно подpобно изучен случай знакопостоянных pешений. Доклад посвящен поведению знакопе pеменных pешений. Это такие pешения, что u(tk, x1k,... xnk ) = 0, где tk +, k +, (x1k,... xnk ), u 0. Доказывается, что каждое такое pешение удовлетвоpяет неpавенству:

|u| Cet, где = const 0 от u не зависит. Даются оценки величины.

Работа поддеpжана гpантом РФФИ 030100138.

СамДифф– О КНЕЗЕРОВСКИХ РЕШЕНИЯХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Коньков А.А.

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Пусть Q — функция из класса Каратеодори Kloc ([a, ) Rn ), a 0. Будем изучать решения уравнений wm = Q(r, w,..., wm1), (1) r a, порядка m 2, удовлетворяющие условию для всех r [a, ), i = 0,..., m 1.

(1)i w(i) (r) 0 (2) При этом будем считать, что для некоторого k {0,..., m 2} на множестве {(r,t0,...,tm1 ) : r a, (1)iti 0, i = 0,..., m 1} выполнено неравенство (1)m Q(r,t0,...,tm1 ) p(r)g(|tk |), где p : [a, ) [0, ) принадлежит пространству Lloc ([a, )), а g :

(0, ) (0, ) — непрерывная функция. Обозначим:

µ() = 1 + esssup/tt mk p(t), g () = inf g(t), /t где 1 и 1 — некоторые вещественные числа.

Теорема 2. Предположим, что Z mk mk1 p()µ () d = (3) mk a и Z1 g mk () mk 1 d. (4) Тогда любое решение задачи (1), (2) тождественно равно кон станте в окрестности бесконечности.

Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

Теорема 3. Если в дополнение к условиям (3) и (4) mes{ : Q(,, 0,..., 0) = 0} для всех вещественных чисел [a, ), (0, ), то любое нетривиальное решение задачи (1), (2) является сингулярным первого рода.

Литература [1] Изобов Н.А. // Матем. заметки. 1984. Т. 35. № 2. С. 189–199.

[2] Кигурадзе И.Т., Чантурия Т.А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных урав нений. М., 1990.

[3] Коньков А.А. // Известия РАН. Сер. Матем. 2001. Т. 65. № 2. С. 81–126.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ “Ве дущие научные школы” № 1464.2003.1.

ТОЧНЫЕ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Лепилов А.Н.

Самарский государственный университет В современной науке наблюдается большой интерес к процес сам, протекающим в нелинейных средах. В данной работе для исследования берется следующее квазилинейное уравнение пара болического типа ut = (u ux )x + u, x R, которое может служить моделью для разнообразных нелинейных явлений. В частности, процесс горения с источником тепла и ко эффициентом теплопроводности, степенным образом зависящими от температуры, в одномерном нестационарном случае описыается указанным выше уравнением.

СамДифф– Применяя групповой анализ, это уравнение теплопроводности сводится к обыкновенному нелинейному неавтономному диффе ренциальному уравнению.

При различных значениях параметров и и разных соот ношениях между ними, используя методы точной линеаризации и автономизации дифференциальных уравнений, найдены точные и асимптотические автомодельные решения. Получены решения, описывающие как режимы с обострением, так и бегущие волны.

С помощью системы компьютерной алгебры MAPLE 8.0 по строены графики решений (на плоскости и в пространстве).

Необходимо отметить, что в различных работах, например [2], рассматривались режимы с обострением. Поэтому значения пара метров выбирались вида = + 1, + 1, + 1 при 0.

В данной работе рассматриваются также случаи при 1 и да на их геометрическая интерпретация. Их физический смысл не обсуждается.

Литература [1] Беркович Л.М., Лепилов А.Н. О некоторых инвариант ных решениях нелинейного уравнения теплопроводности. Вестник СамГУ, 2005, №3.

[2] Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Ми хайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений - М.: Наука, 1987.

[3] Беркович Л.М. Факторизация и преобразования дифферен циальных уравнений. Методы и приложения. М.: НИЦ "Регуляр ная и хаотическая динамика", 2002.

АСИМПТОТИКА СПЕКТРА НЕСАМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА С КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ПЕРВОГО РОДА Нусратуллин Э.М.

1. Постановка задачи Рассмотрим следующую несамосопряженную краевую задачу Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

вида y + iq(x)y = y (1) (2) y(a) = (3) y(b) = где y C(2) (a, b) C(1) [a, b], q(x) C[a, b], x [a, b], - спектральный T параметр. Требуется определить асимптотику собственных значе ний краевой задачи (1)-(3).

2. Вычисление асимптотики собственных значений Для простоты изложения, можно считать, что a = 0 и b = 1.

Будем искать решение задачи в виде y(x) = u(x) + iv(x) и положим = + i. Подставив y и в(1)-(3) получим, после выделения мнимой и действительной частей две краевые задачи вида u + u = ( q(x)))v (4) (5) u(0) = (6) u(1) = v + v = (q(x) ))u (7) (8) v(0) = (9) v(1) = Решая задачи (4)-(6) и (7)-(9) и учитывая первые краевые усло вия для u(x) и v(x), после преобразований, получим интегральные уравнения вида x Z u(x) = c2u sin x + c2v A(x,t)sin tdt + Zx Zt sin((t s)) [q(s) ] u(s)dsdt + A(x,t) 0 Zx v(x) = c2v sin x c2u A(x,t)sin tdt + Zx Zt sin((t s)) + [ q(s)] v(s)dsdt A(x,t) 0 СамДифф– sin( (x t)) где A(x,t) = ( q(t)).

Воспользовавшись методом последовательных приближений для решения интегральных уравнений, установлена следующая асимптотика собственных значений:

Z 1 n = (n)2 + O + 2i sin( (1 t)) sin t q(t)dt + O n n Литература [1] Ф.Трикоми. Дифференциальные уравнения. Москва, изд-во "Иностранная литература", 1962.

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ КОБЕРА-ЭРДЕЙИ В УРАВНЕНИИ И НЕЛОКАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ Огородников Е.Н., Арланова Е.Ю.

Самарский государственный технический университет Пусть u = u(x, y,..., z) — функция n независимых переменных.

Обозначим Zx x(+) t u(t, y,..., z) dt, 0, x a;

Iax;

u D u = () (x t) ax;

a (n+) u, X (+) Dn xn++ Dax;

0, n = [] + 1, ax левосторонний частный интегродифференциальный оператор типа Кобера-Эрдейи порядка по переменной x, Dn = (/x)n. Анало ax гичными формулами определяются частные производные и инте гралы дробного порядка по по другим переменным [1].

Для функции типа Миттаг-Леффлера E (z;

) будем использо вать обозначение e (z), согласованное с определением функции ти, па Райта e,, введенной в работе [2], в силу равенства e (z) = e,1.

, Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

Введем оператор [3] Zx (x t)1 e [(x t) ] f (t) dt,, Eax;

f = a x b, a определенный на функциях f (x) L(a, b) и y uxx D u, y 0;

0y;

L(u) = (y)2 uxx uyy + aux, y 0, где D u — частная дробная производная типа Кобера-Эрдейи 0y;

порядка, 0 1, от функции u(x, y) по второй переменной.

Для уравнения L(u) = 0 в области = +, где + = {(x, y) : 0 x 1, y 0}, а = {(x, y) : 0 x y2/2 x + y2 / 1, y 0} в работе рассмотрены две задачи.

Задача 1. Найти регулярное в решение, удовлетворяющее усло виям u(0, y) = 1 (y), u(1, y) = 2 (y), y 0;

D 0x;

1/2 u[0 (x)] = Au(x, 0) + c(x), x [0, 1], x где 0(x) =, x, A = const, 1 (y), 2 (y) и c(x) — заданные функции, причем 1 (0) = 2 (0) = 0, а также условиям сопряжения lim y1+ u(x, y) = lim u(x, y), x [0, 1];

y+0 y lim y1 y1+ u(x, y) = lim uy (x, y), x (0, 1).

y+0 y y Задача 2 отличается от задачи 1 лишь нелокальным краевым усло вием, которое имеет вид:

+1/ xD0x;

0 u [0(x)] = B lim uy (x, y) + c(x), x [0, 1].

y Следуя работам [4, 5] и методам, изложенным в [6, 7] обе зада чи эквивалентным образом редуцируются к интегральным уравне ниям Вольтерра второго рода. В доказанных теоремах установле ны классы функций, обеспечивающие существование единствен ного решения.

СамДифф– Литература [1] Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и про изводные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск:

Наука и техника, 1987. 688 с.

[2] Псху А.В. Краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка // Докл. АМАН. 2000.

Т.5, №1. С. 45–53.

[3] Огородников Е.Н., Арланова Е.Ю. Об одном аналоге операто ра дробного интегродифференцирования, его свойствах и приме нении // Математическое моделирование и краевые задачи: Тру ды Всероссийской научн. конф. Часть 3. Самара: СамГТУ. 2004.

С. 170–175.

[4] Псху А.В. Решение краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка. Нальчик:

Сообщения НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2001. 43 с.

[5] Геккиева С.Х. Об одном аналоге задачи Трикоми для урав нения смешанного типа с дробной производной // Докл. АМАН.

2001. Т.5, №2. С. 18-22.

[6] Килбас А.А., Репин О.А. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной // Диф ференц. уравнения. 2003. Т.39, №5. С. 638-644.

[7] Ефимов А.В. Нелокальные краевые задачи для модельных уравнений гиперболического и смешанного типов: дис.... канд.

физ.-мат. наук. Казань, 2004. 120 с.

ЗАДАЧА ПРОТЕКАНИЯ ВЯЗКОГО ТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗА В НЕЦИЛИНДРИЧЕСКИХ УБЫВАЮЩИХ СО ВРЕМЕНЕМ ОБЛАСТЯХ Подкуйко М.С.

Стерлитамакская государственная педагогическая академия Постановка задачи. Пусть нецилиндрическая область T = {(x,t)| 0 x s(t), 0 t T }, где x = s(t) – известная гладкая функция, занята вязким теплопроводным газом. Рассмотрим слу Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

чай, когда область сужается со временем, т. е. ds(t)/dt 0. Одно мерное нестационарное движение вязкого теплопроводного газа в области T описывается системой уравнений [1] (u) (x,t) T, (1) + = 0, t x u u 2u p (x,t) T, (2) +u =µ, p = R, t x x2 x 2 u u (x,t) T. (3) +u = 2 +µ p, t x x x x Здесь (x,t), u(x,t), p(x,t) и (x,t) – плотность, скорость, давление и абсолютная температура газа;

µ, R, – положительные констан ты: вязкость, газовая постоянная и коэффициент теплопроводно сти газа соответственно.

В начальный момент времени задаются u,, :

(x,t)|t=0 = 0 (x), (x,t)|t=0 = 0(x), u(x,t)|t=0 = u0(x), x [0, s0], s0 = s(0).

(4) На известных границах x = 0 и x = s(t) задаются условия:

(5) u(x,t)|x=0 = u1 (t) 0, u(x,t)|x=s(t) = 0, t [0, T ], (x,t)|x=0 = 1 (t), (x,t)|x=s(t) = 2 (t), (6) t [0, T ].

Условие u1 (t) 0 означает, что газ через фиксированную границу x = 0 может вытекать.

Задача. Требуется найти функции (x,t), u(x,t), (x,t) удовле творяющие системе уравнений (1) – (3), если в начальный момент и на известных границах выполняются условия (4) – (6).

Локальная теорема существования и единственности данной задачи доказана в [2]. В нашей работе доказывается глобальная теорема существования и единственности. Главная трудность свя зана с получением априорных оценок, постоянные в которых за висят только от данных задачи и величины интервала времени T, но не зависят от промежутка существования локального решения.

Литература СамДифф– [1] Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983.

319 с.

[2] Kaliev I.A., Kazhikhov A.V. Well-posedness of a gas-solid phase transition problem // J. Math. Fluid Mech. 1999. V. 1, N 3. P. – 308.

О СУЩЕСТВОВАНИИ КЛАССИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЖЕВРЕ В ОГРАНИЧЕННОМ ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ Пулькин И.С.

МИРЭА, г.Москва Рассмотрим дифференциальное уравнение ([1]) u 2u sgn x 2 = 0 (1) t x при x (1;

0) (0;

1),t (0;

T ) с граничными условиями u(1;

t) = u(1;

t) = 0;

u(x;

0) = u0 (x), t (0;

1);

u(x;

T ) = uT (x), t (1;

0) (2) а на оси x = 0 заданы условия склейки ([2]) u u (3) u(0;

t) = u(+0;

t);

(0;

t) = (+0;

t) x x Будем искать решение задачи (1) — (3) с помощью метода разде ления переменных u(x,t) = X(x)T (t):

sgn xX = µX (4) При этом граничные условия и условия склейки будут иметь вид:

X(1) = X(1) = 0;

X|x=+0 = X|x=0 ;

X |x=+0 = X |x=0 (5) Собственные функции задачи (4) — (5) имеют вид при µ = 2 0:

sh (x+1) sh, x (6) X () = sin (1x) sin, x 0, Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

а при µ = 2 0:

sin (x+1) sin, x (7) X (+) = sh (1x) sh, x 0, причем в обоих случаях собственные значения удовлетворяют со отношению tg = th. Кроме того, существует еще одна собствен ная функция при µ = 0:

(x + 1), x (8) X0 = (1 x), x 0, Будем искать решение задачи (1) — (3) в виде ряда по собствен ным функциям (7) — (8). При x 0 имеем sh k (x + 1) sin k (x + 1) 2 Ak ek t + Bk ek (T t) u(x,t) = +C(x + 1), sh k sin k k= (9) а при x sin k (1 x) sh k (1 x) 2 Ak ek t + Bk ek (T t) u(x,t) = +C(1 x), sin k sh k k= (10) причем коэффициенты Ak, Bk и C в обоих равенствах одинаковы.

Сделав замены x = y 1 при x 0 и x = 1 y при x 0 и под ставив t = 0 при x 0 и t = T при x 0, после преобразований получим sin k y 2 sh k y u0(y) + uT (y) = 2Cy + Ak + Bk + ek T (11) sin k sh k k= sin k y 2 sh k y ek T (12) u0(y) uT (y) = Ak Bk, sin k sh k k= где u0(y) = u0(1 x), uT (y) = uT (1 + x). Коэффициенты Ak, Bk и C мо гут быть найдены из этих уравнений с помощью биортогональной системы.

Литература СамДифф– [1] Gevrey M. — J. Math. Appl., 1913, t.9, Sec.6, p. 305-475.

[2] Кислов Н. В., Пулькин И. С. Вестник МЭИ, №6, 2000, с. — 59.

ЗАДАЧА С НЕЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Пулькина Л.С.

Самарский государственный университет Задачи с интегральными условиями активно изучаются в по следнее время. Однако, в основном рассматривается лишь одно мерный по пространственным переменным случай. В многомер ном случае можно отметить лишь две работы [1], [2], но в них нелокальное условие содержит линейный интегральный оператор.

Рассмотрим уравнение теплопроводности ut = u + f (x,t) (1) в цилиндре QT = (0, T ), где ограниченная область про странства Rn с гладкой границей. Обозначим ST = (0, T ) и поставим для уравнения (1) задачу с условиями:

u(x, 0) = (x), u Z K(x,,t, u(,t))d = 0, x ST.

|S + n T 1, Задача имеет единственное обобщенное решение u(x,t) V2 (QT ), если (x) L2 (), f (x,t) L2 (QT ), K(x,,t, u) C( [0, T ] R) и удовлетворяет условию Липшица по последней переменной.

Литература [1] Fridman A. Monotonic decay of solutions of parabolicequations with nonlocal boundary conditions //Quart. of Appl. Math 1986. V. XLIV. N3. P.401-407.

Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

[2] Кожанов А.И. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений // Вестник СамГТУ. Серия "физико-математические науки". 2004.

Вып. 30. С.63-69.

ЭКОНОМИЧНЫЙ МЕТОД ДЛЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ II ПОРЯДКА Поляков К.А.

Самарский государственный университет Многие математические модели, описывающие важные и ин тересные с точки зрения науки и техники процессы, содержат в себе обыкновенные дифференциальные уравнения. Для многих классов таких уравнений теория интегрирования таких уравнений разработана достаточно полно. Однако для уравнений или систем уравнений, содержащих в себе нелинейность однородной или пра вой части, успешно продолжают использоваться численные мето ды. Одним из широко известных методов интегрирования является метод Рунге-Кутта 4 порядка точности. Если математическая мо дель содержит дифференциальное уравнение II порядка, то для ис пользования данного метода его необходимо свести к системе двух уравнений I порядка, что ведет к усложнению модели и увеличе нию времени получения решения. Существует целый ряд задач, которые описываются дифференциальными уравнениями II поряд ка, не содержащими в себе первую производную. Примером таких задач могут служить гармонические колебания без сопротивления в механике, электродинамике, физике и т.д. В этом случае для ре шения уравнений существуют специальные методы, позволяющие обойтись без двойного последовательного интегрирования. Одним из таких методов является метод Нумерова. Оценим количество машинных операций, необходимых для проведения расчетов на одном временном шаге по методу Нумерова и Рунге-Кутта. Бу дем считать, что число операций прямо пропорционально зависит от того, сколько раз вычислялась правая часть исходного диф СамДифф– ференциального уравнения. В методе Рунге-Кутта правая часть вычисляется 4 раза в каждом уравнении, то есть 8 раз. Метод Нумерова сводится к нелинейному алгебраическому равнению, ко торое решается численным методом, например методом Ньютона.

На каждой итерации неизвестная правя часть вычисляется только 1 раз. Если для вычисления значения функции на следующем вре менном шаге брать ее же значение на текущем временном шаге, то сходимость достигается уже после 3-4 итераций, что дает су щественную экономию машинного времени и позволяет сократить время получения решения.

О РЕШЕНИИ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ СПЕКТРАЛЬНЫМ МЕТОДОМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Рахманова Л.Х.

г. Стерлитамак Рассмотрим уравнение смешанного параболо-гиперболического типа uy uxx + b2u = 0, y 0, (1) Lu = uyy uxx + b2u = 0, y 0, где b = const 0, в прямоугольной области D = {(x, y)| 0 x 1, t }, и – заданные положительные действительные числа.

Задача. Найти в области D функцию u(x,y), удовлетворя ющую условиям:

u(x, y) C(D)C1(D{x = 0}{x = 1})C2(D )Cx,y (D+ {y = }), 2, (2) Lu(x, y) 0, (x, y) D D+ {y = }, (3) u(0, y) = u(1, y) = 0, y, (4) ux (0, y) = ux (1, y) = 0, y, (5) u(x, ) = (x), 0 x 1, (6) Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»

где (x) — заданная достаточно гладкая функция, (0) = (1) = 0.

Теорема. Пусть (x) C2[0, 1] и на [0, 1] имеет кусочно непрерывную производную третьего порядка и (0) = (1) = (0) = (1) = 0;

sin k = 0. Тогда задача (2) (6) однозначно разрешима только тогда, когда dk () = cos k + k sin k = при любом k N. Это решение определяется рядом 0 (y) + + + k (y) cos 2kx + uk (y) sin 2kx, u(x,t) = 2 k=1 k= где k ek y, y 0, cos k + k sin k uk (y) = cos k y k sin k y k, y 0, k = 1, 2..., cos k + k sin k k ek y, y 0, cos k + k sin k k (y) = cos k y k sin k y k, y 0, k = 0, 1, 2..., cos k + k sin k Z1 Z k = 2 (x) sin 2kxdx, k = 2 (x) cos 2kxdx.



Pages:   || 2 |
 

Похожие работы:





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.