авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
-- [ Страница 1 ] --

АЛГЕБРА

И

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

Материалы международной конференции, посвященной

100-летию со дня рождения профессора В. В. Морозова,

(Казань, 25–30 сентября 2011 г.) и

молодежной школы-конференции “Современные проблемы

алгебры и математической логики”

(Казань, 22 сентября – 3 октября 2011 г.)

Казанский (Приволжский) федеральный университет

2011

ALGEBRA

& MATHEMATICAL LOGIC Proceedings of the international conference dedicated to 100-th anniversary of V. V. Morozov (Kazan, 25–30 september 2011) and youth school-conference “Modern Problems of Algebra and Mathematical Logic” (Kazan, 22 september – 3 october 2011) Kazan (Volga Region) Federal University Казанский (Приволжский) Kazan (Volga Region) Federal федеральный университет University, 18 Kremlevskaya Российская Федерация, Та- str., Kazan, Tatarstan, 420008, тарстан, 420008, Казань, ул. Russian Federation Кремлевская Казанский (Приволжский) федеральный университет, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Академия наук

Республики Татарстан, Российский фонд фундаментальных исследований Издание осуществлено при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 11-01-06067-г, № 11-01-06823-моб-г) и КФУ УДК 510: ББК 22. Научный редактор проф. Арсланов М. М.

Алгебра и математическая логика: материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профес сора В. В. Морозова, и молодежной школы-конференции “Совре менные проблемы алгебры и математической логики”;

Казань, 25–30 сентября 2011. – Казань: КФУ, 2011. – 251 c.

Сборник содержит тезисы докладов, представленных на международ ную конференцию “Алгебра и математическая логика” посвященную 100 летию со дня рождения профессора Казанского университета Владимира Владимировича Морозова (1910–1975), которая проводится с 25 по 30 сен тября 2011 года в Казанском (Приволжском) федеральном университете, а также сопутствующую молодежную школу конференцию “Cовременные проблемы алгебры и математической логики”.

УДК 510: ББК 22. c Казанский (Приволжский) федеральный университет, СОСТАВ ПРОГРАММНОГО КОМИТЕТА КОНФЕРЕНЦИИ “АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА” • Академик Ю. Л. Ершов председатель • К. Амбос-Шпиис (Гейдельберг, ФРГ) • М. М. Арсланов (зам. председателя, председатель Орга низационного комитета) • В.



А. Артамонов (Москва, Россия) • С. А. Бадаев (Алма-Ата, Казахстан) • В. В. Блудов (Иркутск, Россия) • Л. А. Бокуть (Новосибирск, Россия) • Э. Б. Винберг (Москва, Россия) • М. В. Волков (Екатеринбург, Россия) • В. Е. Воскресенский (Самара, Россия) • С. В. Востоков (Санкт-Петербург, Россия) • А. А. Гварамия (Сухуми, Абхазия) • С. С. Гончаров (Новосибирск, Россия) • И. Ш. Калимуллин (Казань, Россия) • М. И. Кузнецов (Нижний Новгород, Россия) • С. Б. Купер (Лидс, Великобритания) • В. Н. Латышев (Москва, Россия) • В. М. Левчук (Красноярск, Россия) • С. Лемпп (Мадисон, США) • В. Д. Мазуров (Новосибирск, Россия) • А. А. Махнев (Екатеринбург, Россия) • А. В. Михалев (Москва, Россия) • Б. И. Плоткин (Иерусалим, Израиль) • В. Л. Попов (Москва, Россия) • Ю. М. Рябухин (Кишинев, Россия) • С. М. Скрябин (Казань, Россия) • А. А. Степанова (Владивосток, Россия) • И. П. Шестаков (Сан Пауло, Бразилия) • К. П. Шум (Гонконг, Китай) • А. В. Яковлев (Санкт-Петербург, Россия) • М. М. Ямалеев, ученый секретарь СОСТАВ ОРГАНИЗАЦИОННОГО КОМИТЕТА КОНФЕРЕНЦИИ “АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА” • М. М. Арсланов, зав. кафедрой алгебры и мате матической логики КФУ, член-корреспондент АН РТ, председатель • Г. Л. Дегтярев, академик-секретарь Отделения математи ки, механики и машиноведения АН РТ, академик АН РТ • А. М. Елизаров, директор НИИММ имени Н. Г. Чебота рева, профессор • Ю. Б. Ермолаев, доцент кафедры алгебры и математиче ской логики КФУ • Я. И. Заботин, профессор КФУ • С. Н. Ильин, доцент кафедры алгебры и математической логики КФУ • И. Ш. Калимуллин, профессор кафедры алгебры и мате матической логики КФУ • Р. Х. Латыпов, декан ВМК КФУ, профессор • С. Р. Насыров, декан мехмата КФУ, член-корреспондент АН РТ • Д. К. Нургалиев, проректор по научной деятельности КФУ, профессор • М. Х. Салахов, президент КФУ, академик АН РТ • И. И. Сахаев, профессор кафедры алгебры и математиче ской логики КФУ • В. Д. Соловьев, профессор ВМК • Е. Л. Столов, профессор ВМК • В. А. Чугунов, директор Центра информационных техно логий КФУ, профессор • Л. Д. Эскин, доцент ВМК • М. М. Ямалеев, ученый секретарь конференции, к.ф.- м.н.

СОСТАВ ПРОГРАММНОГО КОМИТЕТА МОЛОДЕЖНОЙ ШКОЛЫ-КОНФЕРЕНЦИИ “СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ” • член-корреспондент АН РТ М. M. Арсланов председатель • И. Ш. Калимуллин зам. председателя • А. Н. Абызов (КФУ, Казань) • Ю. А. Альпин (КФУ, Казань) • С. Н. Ильин (КФУ, Казань) • Н. С. Корешков (КФУ, Казань) • Д. Х. Муштари (КФУ, Казань) • С. М. Скрябин (КФУ, Казань) • С. М. Тронин (КФУ, Казань) СОСТАВ ОРГАНИЗАЦИОННОГО КОМИТЕТА МОЛОДЕЖНОЙ ШКОЛЫ-КОНФЕРЕНЦИИ “СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ” • И. Ш. Калимуллин председатель • А. Н. Абызов (КФУ, Казань) • Ю. А. Альпин (КФУ, Казань) • М. Х. Файзрахманов (КФУ, Казань) • А. Н. Фролов (КФУ, Казань) • М. М. Ямалеев (КФУ, Казань) • М. В. Зубков (КФУ, Казань), ученый секретарь конфе ренции, к. ф.-м. н.

ПРЕДИСЛОВИЕ Сборник содержит тезисы докладов, представленных на Меж дународную конференцию “Алгебра и математическая логи ка”, посвященную 100-летию со дня рождения профессора Ка занского университета Владимира Владимировича Морозова (1910–1975), которая проводится с 25 по 30 сентября 2011 го да в Казанском (Приволжском) федеральном университете, а также сопуствующую молодежную школу конференцию “Cо временные проблемы алегбры и математической логики”.





Конференция организуется Казанским федеральным уни верситетом, Институтом математики имени С. Л. Соболева СО РАН и Академией наук Республики Татарстан при финансо вой поддержке Российского фонда фундаментальных исследо ваний.

Владимир Владимирович Морозов родился в 1910 году в Вологде в семье врача, был четвертым ребенком в семье. За кончил школу в пятнадцать лет. Поскольку его в виду молодо сти не приняли в Ленинградский политехнический институт, он год не учился.

В 1927 году В. В. Морозов поступил на физико математический факультет Казанского государственного уни верситета, где занимался по индивидуальному плану и закон чил университет за четыре года в 1930 году. После окончания учебы В. В. Морозов был направлен на работу в Казанский строительный университет.

Решающую роль в формировании научных интересов В. В. Морозова сыграло его активное участие в работе науч ного семинара, руководимого член-корресподентом АН СССР Н. Г. Чеботаревым, который в дальнейшем стал его научным руководителем. В 1930 году выходит первая научная статья В. В. Морозова, посвященная примитивным группам преобра зований.

В последующие годы Владимир Владимирович продолжа ет интенсивно заниматься проблемой классификации прими тивных групп, поставленной еще Софусом Ли, и уже к 1938 г.

добивается замечательных успехов, получив общие и полные результаты для пространства произвольной размерности. Ре зультаты В. В. Морозова по примитивным группам были поды тожены в кандидатской диссертации, защищенной в 1938 г. в МГУ, и опубликованы в 1939 г. в “Математическом сборнике”.

Достижения Владимира Владимировича в теории примитив ных групп были высоко оценены специалистами, и его рабо та была удостоена 2-й премии на проводившемся тогда ЦК ВЛКСМ в честь 20-летия комсомола конкурсе работ молодых ученых.

В 1940 году В. В. Морозов был направлен в докторантуру.

От проблемы классификации примитивных групп В. В. Моро зов, естественно, приходит к проблеме классификации всех од нородных примитивных пространств. Эта задача была им све дена к проблеме классификации всех максимальных подгрупп полупростых групп Ли проблеме, при решении которой он в течение следующих четырех лет получил глубокие результа ты, позволившие ему в докторской диссертации, защищенной в КГУ в 1943 г., дать полную классификацию максимальных неполупростых подгрупп полупростых групп Ли.

В дальнейшем Е. Б. Дынкин в 1951 г. получил классифика цию и полупросты максимальных подгрупп полупростых групп Ли. Таким образом, усилиями В. В. Морозова и Е. Б. Дынки на была полностью решена поставленная еще С. Ли в XIX в.

проблема классификации комплексных однородных примитив ных многообразий основу метода Владимира Владимировича составляет доказанная им замечательная теорема, утверждаю щая регулярность всякой максимальной неполупростой подал гебры полупростой алгебры Ли. Первоначальное доказатель ство этой теоремы в докторской диссертации было довольно громоздким. Позднее, в 1950 г., Владимир Владимирович на шел изящное общее доказательство этой важной теоремы.

Хорошо известны и многие другие исследования В. В. Мо розова в теории групп Ли Результаты его работ “О нильпотент ном элементе в полупростой алгебре Ли”, “О централизаторе полупростой подалгебры в полупростой алгебре Ли” привле кали внимание крупных современных алгебраистов и вошли в учебники. Владимиру Владимировичу принадлежит и одно из самых простых и красивых доказательств теоремы Адо, глубо кие результаты, полученные В. В. Морозовым в теории групп и алгебр Ли, явились замечательным достижением возглав ляемой Н. Г. Чеботаревым Казанской алгебраической школы и вместе с работами Н. Г. Чеботарева и других его учеников способствовали росту авторитета советской школы алгебры. В дальнейшем Владимир Владимирович интересовался пробле мой классификации разрешимых н нильпотетных алгебр Ли.

Им и его учениками были развиты методы, позволяющие клас сифицировать нильпотентные и разрешимые алгебры неболь ших размерностей.

Математические интересы В. В. Морозова не ограничива лись проблемами теории групп и алгебр Ли. Ему принадлежат интересные результаты по проблеме резольвент Н. Г. Чебота рева, уже в начальном периоде своего творчества он опублико вал две работы по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, позднее, в связи с исследованиями Н. П. Еругина о разрешимости в замкнутой форме системы дифференциаль ных уравнений, Морозов успешно применяет аппарат алгебр Ли задаче Н. П. Еругина. Теорема В. В. Морозова о строении коммутативной функциональной матрицы нашла применение в теории граничных задач аналитических функций, а лемма, использованная им в доказательстве этой теоремы, оказалась полезной для описания ядра резольвенты самосопряженных расширений обыкновенных дифференциальных операторов.

Ряд исследований Владимир Владимирович посвятил исто рии развития математики в Казанском университете. Им опуб ликовано 30 статей.

С 1941 г. Владимир Владимирович работал на кафедре алгебры КГУ, а с 1947 г. заведовал этой кафедрой. За го ды работы в Казанском университете им прочитано большое число общих и специальных курсов: общая и линейная ал гебра, аналитическая геометрия и дифференциальные урав нения, алгебраическая топология и гомологическая алгебра, теория чисел и теория представления групп и, конечно, тео рия групп и алгебр Ли и многие другие. Владимиру Владими ровичу принадлежат заслуги в постановке специальных мате матических курсов у физиков-теоретиков и геофизиков. Стиль Морозова-лектора характеризуется четкостью, последователь ностью и сжатостью изложения. Много сил и внимания уделял профессор Морозов задаче повышения квалификации сотруд ников и аспирантов кафедры алгебры. Под его руководством выполнили и защитили кандидатские диссертации А. В. Суль дин, Н. П. Мушиц, Л. Д. Эскин, Я. И. Заботин, Е. В. Ковалев, И. И. Сахаев, Ю. Б. Ермолаев, Г. М. Мубаракзянов, Э. Н. Сафи уллин, А. X. Долотказин, Я. Г. Биндер, М. М. Арсланов. Впо следствии, А. В. Сульдин, Я. И. Заботин, М. М. Арсланов и И. И. Сахаев стали докторами наук.

Работая в КГУ, В. В. Морозов, помимо большой научной и педагогической деятельности, много сил и энергии отда вал и научно-организацнонной и общественной деятельности. В 1944–1945 гг. он декан физмата, с 1947 по 1953 г. директор НИИММ им. Н. Г. Чеботарева при КГУ, с момента организации и до последних дней жизни член редколлегии всесоюзного журнала “Известия вузов. Математика”.

Под руководством В. В. Морозова была организована новая специальность на мехмате вычислительная математика. Ак тивное участие принимал В. В. Морозов и в создании в КГУ вычислительного центра и кафедры вычислительной матема тики. Подготовка кадров сотрудников будущих ВЦ и кафедры вычислительной математики была начата Владимиром Влади мировичем на кафедре алгебры. В этом проявилось еще одно замечательное качество В. В. Морозова как ученого пред видение будущего развития науки и активное участие в его реализации.

В. В. Морозов был большим знатоком литературы, лю бил классическую музыку, исполнял на фортепьяно. Любимы ми писателями были Жюль-Верн, Дюма, Диккенс, Салтыков Щедрин, Козьма Прутков: сам он увлекался стихосложени ем. Владел немецким, английским, французским языками и переводил математическую и художественную литературу.

В. В. Морозов любил спорт, занимался им, был почетным пред седателем Добровольного спортивного общества “Наука”, увле кался фотографией.

Безвременная кончина в январе 1975 г. оборвала многогран ную и плодотворную деятельность Владимира Владимировича Морозова.

В. В. БЛУДОВ ПЛЕНАРНЫЕ ДОКЛАДЫ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В ПОЛУРЕШЕТКАХ РОДЖЕРСА C. А. Бадаев Казахский национальный университет, Алма-Ата, Казахстан e-mail: Serikzhan.Badaev@kaznu.kz Полурешетки Роджерса вычислимых нумераций семейств множеств различной алгоритмической природы преставля ют собой алгебраическую структуру совокупности всевозмож ных равномерных процедур перечисления (вычисления) мно жеств этих семейств, упорядоченных отношением эффектив ного трансформирования одних процедур в другие. Вопрос о существовании наиболее естественных перечислений таких се мейств может быть легко сформулирован в терминах полуре шеток Роджерса, как вопросы существования экстремальных элементов этих полурешеток.

В докладе расматриваются современное состояние иссле дований по вычислимым нумерациям, порождающим экстре мальные элементы полурешеток Роджерса (главных, фридбер говых, позитивных, минимальных) семейств множеств ариф метической иерархии и разностной иерархии Ершова.

АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В УПОРЯДОЧИВАЕМЫХ ГРУППАХ В. В. Блудов Байкальский государственный университет экономики и права, Иркутск, Россия e-mail: Vasily-Bludov@yandex.ru В докладе приводится обзор последних результатов по алго ритмическим проблемам в правоупорядочиваемых, решеточно 16 В. В. БЛУДОВ упорядоченных и двусторонне упорядочиваемых группах. Ос новной акцент делается на проблеме равенства слов (во всех указанных классах существуют группы с неразрешимой про блемой равенства слов). Приводится обобщение теоремы Хиг мана о вложении в конечно определенные группы на клас сы правоупорядочиваемых и решеточно упорядоченных групп.

Настоящий доклад является продолжением докладов, сделан ных на конференциях “Groups St Andrews 2009” [3] и “Маль цевские чтения 2009” и основан на работах докладчика и Эндрю Гласса [1] – [7].

Литература 1. Bludov V. V., Giraudet M., Glass A. M. W., Sabbagh S. Automorphism groups of models of rst order theories // “Models, Modules and Abelian Groups: In Memory of A. L. S. Corner” (editors R Goebel and B Goldsmith), W. de Gruyter. – Berlin, 2008. – P. 329–332.

2. Bludov V. V., Glass A. M. W. Word problems, embeddings and free products of right-ordered groups with amalgamated subgroup // Proc. London Math.

Soc. – 2009. – V. 99. – P. 585–608.

3. Bludov V. V., Glass A. M. W. A survey of resent results in groups and ordering: word problems, embeddings and amalgamations // Groups St Andrews 2009 (edit. G. Traustason and others). – Cambridge Univ. Press., 2011. [Русский перевод: Блудов В. В., Гласс Э. М. У. Группы и упоря дочения: проблема равенства слов, вложения и амальгамы (обзор по следних достижений) // Известия ИГУ, сер. Математика. – Иркутск, 2009. – Т. 2. – № 2. С. 4–19.] 4. Bludov V. V., Glass A. M. W. A nitely presented orderable group with insoluble word problem // Bulletin of London Math. Soc. – 2011.

5. Glass A. M. W. Sublattice subgroups of nitely presented lattice-ordered groups // J. Algebra. – 2006. – V. 301. – P. 509–530.

6. Glass A. M. W. Finitely generated lattice-ordered groups with soluble word problem // J. Group Theory. – 2008. – V. 11. – P. 1–21.

7. Glass A. M. W., Gurevich Y. The word problem for lattice-ordered groups // Trans. American Math. Soc. – 1983. – V. 280. – P. 127–138.

С. В. ВОСТОКОВ О РАБОТАХ В. В. МОРОЗОВА ПО АЛГЕБРАМ ЛИ Э. Б. Винберг Московский государственный университет, Москва, Россия e-mail: vinberg@zebra.ru В работах В. В. Морозова были доказаны три фундамен тальные теоремы о полупростых алгебрах Ли: теорема о ниль потентном элементе, теорема о сопряженности максимальных разрешимых подалгебр и теорема о регулярности неполупро стой максимальной подалгебры. Доклад посвящен истории раз личных доказательств этих теорем и их влиянию на дальней шее развитие теории алгебр Ли. Доклад основан на совмест ной статье Д. И. Панюшева и докладчика, опубликованной в специальном выпуске журнала “Transformation Groups”, посвя щенном 100-летию В. В. Морозова.

ЗАКОНЫ ВЗАИМНОСТИ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ И ИХ СВЯЗЬ С ИНТЕГРАЛЬНОЙ ТЕОРЕМОЙ КОШИ С. В. Востоков Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия e-mail: sergei.vostokov@gmail.com В первой части доклада будет изложена по возможности доступно идея Кронекера об аналогии алгебраических чисел и алгебраических функций.

Далее будет рассказано как эта аналогия была реализова на Гильбертом в открытым им законе взаимности символов 18 А. А. МАХНЕВ норменных вычетов, = p p и как эту аналогию продолжил Шафаревич, который иссле, довал символ норменного вычета как аналог абелева дифференциала d в точке. В основной части доклада бу дет показана глубокая аналогия классического закона взаим ности степенных вычетов в поле алгебраических чисел, = p n n n p|n и интегральной теоремой Коши. Будет показано, что правая часть этого закона взаимности, т. е. произведение символов норменных вычетов в круговом поле является аналогом сум мы вычетов абелева дифференцала функции в особых точках, а произведение степенных вычетов левой части явлвется анало гом интеграла Шнирельмана этой дифференциальной формы.

В последней части доклада будет рассказано, как получен ные результаты можно обобщить на законы взаимности фор мальных модулей Любина-Тейта и Хонды.

АВТОМОРФИЗМЫ ЛОКАЛЬНО ЦИКЛИЧЕСКИХ ГРАФОВ А. А. Махнев Иинститут математики и механики УрО РАН, Екатеринбург, Россия e-mail: makhnev@imm.uran.ru В. П. Буриченко и А. А. Махнев нашли массивы пересече ний дистанционно регулярных локально циклических графов с В. Г. ПУЗАРЕНКО числом вершин не больше 1000. Предполагается классифици ровать реберно симметричные графы с массивами пересечений из этого списка. В докладе будет приведен обзор полученных результатов.

ИНВАРИАНТНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ НА ПОЛУПРОСТЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ И ГИПОТЕЗА ГЕЛЬФАНДА-КИРИЛЛОВА В. Л. Попов Математический институт им. В. А. Стеклова, Москва, Россия e-mail: popovvl@orc.ru В докладе будет рассказано о недавнем решении проблемы рациональности полей инвариантных рациональных функций на полупростых алгебрах Ли и о существенно опирающемся на него построении контрпримеров к гипотезе Гельфанда и Ки риллова о телах частных простых алгебр Ли.

ВЫЧИСЛИМОСТЬ НА ДОПУСТИМЫХ МНОЖЕСТВАХ В. Г. Пузаренко Институт математики им. С. Л. Соболева, Новосибирск, Россия e-mail: vagrig@math.nsc.ru Автором будет сделан обзор основных результатов, полу ченных в последние годы.

20 M. V. BONDARKO WEIGHT STRUCTURES FOR TRIANGULATED CATEGORIES M. V. Bondarko St. Petersburg State University, St. Petersburg, Russia e-mail: mbondarko@hotmail.com The notion of weight structure for a triangulated category C is a natural and important counterpart of the notion of t structure. Simple examples of weight structures come from stupid truncations of complexes (whereas t-structures are related with canonical truncations). A weight structure for C yields a certain weight complex functor for it, and also certain weight ltrations and weight spectral sequences for any (co)homological functor dened on C. Besides, there are interesting relations between weight structures and t-structures. In particular, for the stable homotopy category SH there exists a Postnikov weight structure that is closely related with the Postnikov t-structure for SH ;

the corresponding ’weight truncations’ are given by the cellular ltration of spectra, whereas the corresponding weight spectral sequences are Atiyah-Hirzebruch ones.

The most interesting examples of weight structures (among those known to the speaker) are those for various categories of Voevodsky’s motives. The “Chow” weight structure for the category DM yields a conservative exact weight complex functor DM K b (Chow) (extending the functor of Gille and Soule);

it allows to generalize (Deligne’s) weight ltrations and weight spectral sequences to arbitrary cohomology of motives. These spectral sequences relate the cohomology of Voevodsky’s motives with those of Chow ones;

we obtain strong functoriality results for them (using our method). The “Gersten” weight structure for a certain category of comotives yields the “motivic” functoriality of W. B. GUO coniveau ltrations and spectral sequences for cohomology.

ON GENERALIZED PERMUTABLE SUBGROUPS AND GENERALIZED SUPPLEMENTED SUBGROUPS W. B. Guo University of Science and Technology of China, Chinese Academy of Sciences, Hefei, China e-mail: wbguo@ustc.edu.cn A subgroup H of a group G is said to be complemented in G if G has a subgroup K such that HK = G and H K = 1.

A subgroup H of a group G is said to be supplemented in G if there exists a subgroup K of G such that HK = G. Obviously, a complemented subgroup is a special supplemented subgroup.

Two subgroups H and T of a group G are said to be permutable if HT = T H. A subgroup H of a group G is said to be permutable (or quasinormal) in G if H is permutable with all subgroups of G. A subgroup H of a group G is said to be s-permutable or s -quasinormal in G if HP = P H for all Sylow subgroups P of G.

It is well known that the supplemented subgroups and the permutable subgroups play an important role in the study of nite groups. Hall, Kegel, Ore, Ito, Szp, Deskins, et al obtained many e interesting results in this respect.

Recently, by using some generalizer supplemented subgroups and generalized permutable subgroups, some new interesting results were obtained and a serious of known results in the literature are unied and generalized. In particular, the well known 22 W. B. GUO Schur-Zassenhaus theorem, Hall theorem and C unihin theorem are generalized (see [1] – [11]).

In this talk, we give a introduction on some of the new research along this direction.

Research is supported by a NNSF grant of China (grant №11071229) References 1. Guo W. On F -supplemented subgroups of nite groups // Manuscripta Math. – 2008. – V. 127. – P. 139–150.

2. Guo W., Shum K. P., Skiba A. X-semipermutable subgroups of nite groups // J. Algebra. – 2007. – V. 315. – P. 31–41.

3. Guo W., Shum K. P., Skiba A. N. X -quasinormal subgroups // Siberian Math. J. – 2007. – V. 48. – P. 593–605.

4. Guo W., Skiba A. N. Finite groups with given s-embedded and n-embedded subgroups // J. Algebra. – 2009. – V. 321. – P. 2843–2860.

5. Guo W., Xie F., Li B. On some open questions in theory of generalized permutable subgroups // Science in China Series A: Mathematics. – 2009. – V. 52. – N. 10. – P. 2132– 6. Guo W., Xie F., Yi Lu On g-s-supplemented subgroups of nite groups // Front. Math. China. – 2010. – V. 5. – N. 2. – P. 287–295.

7. Guo W., Chen S. Weakly c-permutable subgroups of nite groups // J. Algebra. – 2010. – V. 324. – P. 2369–2381.

8. Guo W., Skiba A. N. Criteria of Existence of Hall Subgroups in Non-soluble Finite Groups // Acta Mathematica Sinica, English Series. – 2010. – V. 26. – N. 2. – P. 295–304.

9. Yi X., Miao L., Zhang H., Guo W. Finite groups with some F-supplemented subgroups // Journal of Algebra and Its Applications. – 2010. – V. 9. – N. 5. – P. 669–685.

10. Guo W., Skiba A. N. New criterions of existence and conjugacy of Hall subgroups of nite groups // Proc. Amer. Math. Soc. – 2011. – V. 139. – P. 2327–2336.

11. Guo W., Shum K. P., Xie F. Finite groups with some weakly S-supplemented subgroups // Glasgow Math. J. – 2010. – doi:10.1017/S0017089510000649.

V. D. MAZUROV LATTICE EMBEDDINGS INTO THE COMPUTABLY ENUMERABLE IBT-DEGREES T. M. Krling a University of Heidelberg, Heidelberg, German e-mail: thorsten.kraeling@informatik.uni-heidelberg.de A set A is called identity-bounded-Turing-(ibT-)reducible to a set B if to decide whether some x is in A it suces to know which numbers less than or equal to x are in B. Thus ibT -reducibility is a strengthening of Turing and weak-truth-table reducibility where the use function of reductions is bounded by the identity.

Research has focused mainly on ibT -reducibility between computably enumerable (c.e.) sets. In this talk we consider the structure of the c.e. ibT -degrees with respect to lattice embeddings. While, unlike for other reducibilities, neither greatest lower bounds nor least upper bounds of two degrees always exist, it could be shown that many nite lattices are embeddable into the structure of the c.e. ibT -degrees, leaving open the question whether this is true for all nite lattices. We give some embedding examples and explain the main ideas to achieve them.

ARITHMETIC CONDITIONS OF PERIODIC GROUPS V. D. Mazurov Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, Russia e-mail: mazurov@math.nsc.ru For a periodic group G, denote by (G) the spectrum, i.e. the set of element orders, of G. It is obvious that (G) is nite if and only if G is of nite exponent. Thus, a group with nite spectrum is not necessarily a locally nite group.

24 M. V. SEMENOVA (JOINT WORK WITH CHR. HERRMANN) The talk contains a survey of known spectra which ensure the local niteness of corresponding groups. The following recent results are typical.

Theorem 1. Let G be a group with (G) = {2, 3} where every element in is either coprime to 6, or equal to 9. Then one of the following conditions holds.

1. G is an extension of abelian group of exponent 3 or 9 by a group t of order 2 and at = a1 for all a A.

2. G is an extension of an abelian 2-group A by a cyclic group B of order 1, 3 or 9.

3. (G) = {1, 2, 3, 5} and G A5.

4. µ(G) = {2, 7, 9} and G L2 (8).

In particular, G is locally nite.

Theorem 2. Let (G) = {1, 2, 3, 4, 8}. Then G is locally nite.

Theorem 1 is obtained in collaboration with A. Kh. Zhurtov.

Our work is supported by the Russian Foundation of Basic Researches the grants 10-01-90007, 11-01-91158 and 11-01-00456. The work is supported also by the program “Development of scientic potential of the higher school” of Russian Ministry of Science and Education (project 2.1.1.10726) and the Federal Target Grant “Scientic and educational personnel of innovation Russia” for 2009-2013 (government contract №. 14.740.11.0346).

EXISTENCE VARIETIES OF COMPLEMENTED MODULAR LATTICES AND REGULAR RINGS M. V. Semenova (joint work with Chr. Herrmann) Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, Russia e-mail: semenova@math.nsc.ru The talk is intended to present some structural results on existence varieties of complemented modular lattices and also W. J. SHI those of (von Neumann) regular rings. Among these results are a Birkho-type theorem as well as some decidability results.

NONASSOCIATIVE LIE THEORY I. P. Shestakov University of San Paulo, San Paulo, Brazil, Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, Russia e-mail: ivan.shestakov@gmail.com The Lie theory describes the relationship among three types of algebraic structures: Lie groups, Lie algebras and Hopf algebras. In the present talk we will describe the non-associative generalization of this correspondence which relates Sabinin algebras, formal loops and nonassociative Hopf algebras. The correspondence between Malcev algebras and Moufang loops enters naturally in this theory as a partial case.

THOMPSON’S PROBLEM AND THOMPSON’S CONJECTURE W. J. Shi Chongqing University of Arts and Sciences, Chongqing, Suzhou University, Suzhou, China e-mail: wjshi@suda.edu.cn Let G be a nite group and e (G) be a set of all orders of elements in G. In 1987, the author pose the following conjecture:

all nite simple groups G are characterized only by |G| and e (G).

Now this conjecture is proved and become a theorem.

A problem related to the above conjecture is the following open problem put forward by J. G. Thompson in 1987: For each nite 1, let G(d) = {x G;

xd = 1}.

group G and each integer d 26 K. P. SHUM Denition. G1 and G2 are of the same order type if and only if |G1 (d)| = |G2 (d)|, d = 1, 2,....

Thompson Problem. Suppose G1 and G2 are groups of the same order type. Suppose also that G1 is solvable. Is it true that G2 is also necessarily solvable?

In Thompson’s letter he pointed out that “The problem arose initially in the study of algebraic number elds, and is of considerable interest”.

Another Thompson’s conjecture, which is also aim at characterizing all nite simple groups by a quantity set, is posed in 1988, which is appeared in another communication letter to author:

If G is a nite group, set N (G) = {n Z + |G has a conjugacy class C with |C| = n}.

Thompson Conjecture. If G and M are nite groups and N (G) = N (M ), and if in addition, M is a non-Abelian simple group while the center of G is 1, then G and M are isomorphic.

In this talk we discuss the above Thompson’s problem and Thompson’s conjecture.

ON THE CONSTRUCTIONS OF SEMIGROUPS K. P. Shum The University of Hong Kong, Hong Kong, China e-mail: kpshum@maths.hku.hk The main purpose of the talk is to give a brief survey of the construction methods of semigroups by using the structures of some semigroups in the class of regular semigroups, in the quasi regular of semigroups and in the class of abundant semigroups.

In particular, we will exhibit some basic notation and structures theorem of some semigroups, for example, the Rees matrix E. P. VDOVIN semigroups over the 0-group G0 and its generalizations, the bands of E -ideal quasi-regular semigroups, C -quasiregular semigroups, L -inverse semigroups and Q -inverse semigroups are to be discussed.

The research is partially supported by a grant of Wu Jiehyee Charitable Foundation, Hong Kong 2007/09.

DEGREES OF PRESENTABILITY OF STRUCTURES IN ADMISSIBLE SETS A. I. Stukachev Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, Russia e-mail: aistu@math.nsc.ru We present some recent results on the relationships between the semilattices of Sigma-degrees of structures, the semilattices of degrees of presentability of structures in admissible sets, and the shapes of possible eective self-presentations of admissible sets.

ON THE INHERITING OF THE C -PROPERTY E. P. Vdovin Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, Russia e-mail: vdovin@math.nsc.ru Throughout is a set of primes, is its complement in the set of all primes, and G is a nite group. Given a natural number n by (n) we denote the set of prime divisors of n. We set (G) = = (|G|) by denition. A subgroup H of G is called a -Hall subgroup, if (H), while (|G : H|). By Hall (G) we denote the set of all -Hall subgroups of G. Following P. Hall we 28 E. P. VDOVIN say that G satises E (or, briey, G E ), if G possesses a -Hall subgroup, i.e., Hall (G) =. G satises C (or, briey, G C ), if G E and all -Hall subgroups of G are conjugate.

In [1] D. O. Revin and the author includes the following hypothesis Hypothesis. ( [1, Problem 17.44(a)]) If G C and H Hall (G), then M C for any M G such that H M G.

Clearly, the hypothesis is equivalent to the pronormality of Hall subgroups in nite C -groups. Recall that a subgroup H of G is called pronormal (we write H prn G), if for every g G subgroups H and H g are conjugate in H, H g. We proved the following results.

Theorem 1. If G C and H Hall (G), then H prn G.

In particular, for any M G such that H M G we have M C.

Theorem 2. If is such that E = C, then there exist G E and H Hall (G) such that H is not pronormal in G.

Both theorems are obtained together with D. O. Revin.

The work is supported by RFBR, projects 10-01-00391, 10-01-90007, and 11-01-00456 ADTP “Development of the Scientic Potential of Higher School” of the Russian Federal Agency for Education (Grant 2.1.1.419), Federal Target Grant "Scientic and educational personnel of innovation Russia"for 2009 2013 (government contracts No. 02.740.11.0429 and No. 14.740.11.0346), Deligne 2004 Balzan prize in mathematics, and the Lavrent’ev Young Scientists Competition (No 43 on 04.02.2010) References 1. The Kourovka notebook. Unsolved problems in group theory. Edited by V. D. Mazurov and E. I. Khukhro. 17-th. ed. – Novosibirsk, Russian Y. ZHANG Academy of Sciences Siberian Division, Institute of Mathematics, 2010.

CARDINAL INVARIANTS OF THE CONTINUUM Y. Zhang Sun Yat-Sen University, Guangzhou, China e-mail: yizhang@umich.edu Study of the cardinal invariants of the continuum is one of the most active area in set theory. In may talk, I will present some recent interesting results in this area, moreover, I will also ask several questions concerning the subject.

А. Н. АБЫЗОВ СЕКЦИОННЫЕ ДОКЛАДЫ ПОЛУАРТИНОВЫ CSL-КОЛЬЦА А. Н. Абызов Казанский федеральный университет, Казань, Россия e-mail: aabyzov@ksu.ru Все кольца предполагаются ассоциативными и с единицей, а модули унитарными. Кольцо R называется правым (ле вым) CSL-кольцом, если каждый правый (левый) R -модуль M, у которого End(M )-тело, является простым. Кольцо R называется CSL-кольцом, если оно является правым и левым CSL-кольцом. Нетеровы CSL-кольца были описаны в рабо те [1]. Совершенные CSL-кольца были описаны в работе [2]. В следующей теореме описываются полуартиновы CSL-кольца.

Tеорема. Для полуартинова кольца R следующие условия равносильны:

(1) R CSL-кольцо;

(2) для некоторого ординального числа существует такое семейство идеалов (S ) кольца R, что (a) S0 =0;

(b) S S, где ;

(c) S+1 /S прямая сумма полных колец матриц ко нечных порядков над локальными совершенными кольцами;

(d) S = S, если предельное ординальное чис ло;

(e) R = S.

32 Ю. А. АЛЬПИН, В. С. АЛЬПИНА Литература 1. Alaoui M., Haily A. The Converse of Schur’s Lemma in Noetherian Rings and Group Algebras // Communications in Algebra. – 2005. – V. 33. – N. 7. – P. 2109–2114.

2. Alaoui M., Haily A. Perfect rings for wich the converse of Schur’s lemma holds // Publ. Mat. – 2001. – V. 45. – P. 219–222.

О НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ СТОХАСТИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ Ю. А. Альпин, В. С. Альпина Казанский федеральный университет, Казань, Россия e-mail: Yuri.Alpin@ksu.ru Классификация состояний цепи Маркова, введенная Кол могоровым [1] для анализа асимптотического поведения пере ходных вероятностей, основана на понятиях о возвратном и невозвратном состояниях, классе сообщающихся состояний и его циклических подклассах. В случае конечной цепи эти по нятия приводят к нормальной форме разложимой и нормаль ной форме неразложимой стохастической матрицы. Послед няя, впрочем, впервые (и с другим доказательством) появи лась в работе Фробениуса (1912) как часть теоремы о спектре неотрицательной матрицы [2].

В предлагаемом сообщении описывается классификация со стояний, основанная на понятиях совместимости и целости со стояний, а также определяются соответствующие этим поня тиям нормальные формы стохастических матриц. Эта класси фикация, как и классическая теория, использует лишь ком бинаторные свойства матрицы, но даёт больше информации о том, когда два состояния цепи Маркова асимптотически экви валентны как начальные состояния процесса.

В. В. АНИСЬКОВ Литература 1. Колмогоров А. Н. Цепи Маркова со счётным числом возможных со стояний // Бюллетень МГУ. Математика и механика. – 1937. – Т. 11. – Вып. 3. – С. 1–16.

2. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – Москва: Наука, 1967. – 576 c.

КЛАССИФИКАЦИЯ НЕПРИВОДИМЫХ ЛОКАЛЬНЫХ ФОРМАЦИЙ P -РАЗЛОЖИМОГО ДЕФЕКТА 3 В КЛАССЕ РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП В. В. Аниськов Гомельский государственный университет, Гомель, Беларусь e-mail: aniskov@gsu.by Рассматриваются только конечные группы. Определения и обозначения стандартны и при необходимости их можно найти в [1] – [2]. Приведем только основные из них.

Локальной формацией групп называется класс групп, об ладающий локальной групповой функцией. Для любого непу стого класса групп H, H-дефектом локальной формации F называется длина решетки F/l (F H). Локальная формация называется приводимой, если она может быть представлена в виде объединения своих собственных локальных подформа ций в решетке локальных формаций. Локальные формации, не обладающие такими свойствами называются неприводимыми.

Через lf ormG обозначается локальная формация, порожден ная группой G.

Группа называется p-замкнутой, если она обладает нор мальной силовской p -подгруппой. Группа называется p нильпотентной, если она обладает нормальной холловой p 34 В. В. АНИСЬКОВ подгруппой. Группа, которая одновременно является и p замкнутой и p -нильпотентной, называется p -разложимой.

Теорема. Пусть p некоторое простое число. Тогда и только тогда разрешимая локальная формация F является неприводимой локальной формацией p -разложимого дефекта 3, когда p (F) и при этом выполняется одно из условий:

1) F = lf ormG, где G = [R]H такая монолитическая pd-группа с монолитом R = CG (R), что R r -группа для некоторого простого числа r, а H монолитическая группа с монолитом P = CH (P ) и имеет один из следующих видов:

а) H = [P ](T1 T2 ), где P t-группа для некоторого простого числа t, а T1 и T2 группы простых порядков q1 и q2 соответственно, причем q1 = p и q2 = p ;

б) H = [P ]T, где P p -группа, а T одна из групп:

q группа порядка простой нечетной экспоненты q = p;

циклическая примарная группа порядка q 2, q = p ;

p -группа Шмидта.

2) F локальная формация длины 5;

3) F p -нильпотентная формация p-замкнутого дефекта 3.

Литература 1. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. – М.: Наука, 1978. – 272 с.

2. Шеметков Л. А., Скиба А. Н. Формации алгебраических систем. – М.:

Наука, 1989. – 256 c.

В. Д. АНОСОВ, А. В. ПОКРОВСКИЙ ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДОВ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ.

В. Д. Аносов, А. В. Покровский ФСБ России, Москва, Россия e-mail: AnosovVD@yandex.ru В [1] – [3] предложены методы решения алгебраических соотношений (уравнений) над многоосновной алгебраической системой (МАС) A, использующие гомоморфизмы A (отме тим, что при построении соотношений используются предика ты, в то время как в уравнениях используются лишь опера торы алгебраической системы A). В ряде исследований [2], [4] рассматривается решение уравнений над многоосновной уни версальной алгеброй A вида (t1,..., tn ) = s (1) : Si1... Sin S, tj термальные операции A, согла сованные с, s S. Для решения (1), в соответствии с [1] – [4] можно использовать гомоморфизмы A. С другой стороны, за менив n -арную операцию соответствующим (n + 1)-арным предикатом p, от уравнения (1) над универсальной алгеброй A можно перейти к соотношению p(t1,..., tn ) над МАС A, для решения которого, можно использовать гомоморфизмы A. В связи с различиями требований согласованности гомоморфиз мов с операциями и предикатами, предложенный подход может оказаться более эффективным, т. к. расширяются возможности применения методов, использующих гомоморфизмы для реше ния (1).

В качестве практического приложения рассматривается во прос о решении нелинейных систем булевых уравнений. За 36 В. Д. АНОСОВ, А. В. ПОКРОВСКИЙ счет использования гомоморфизма можно перейти к системе следствию меньшей степени нелинейности и линеаризовать ее, при условии наличия достаточного числа уравнений в системе.

Такой переход может быть осуществлен путем подбора аннули рующего набора, описанного в [5]. Подсистема из t уравнений, входящих в начальную систему, рассматривается как набор ко ординатных функций некоторого отображения : Vn Vt.

При этом возникает величина AI(), называемая алгебраиче ской иммунностью отображения, которая оценивает мини мально возможную степень нелинейности системы-следствия.

Отметим, что данный подход более эффективен, чем подход предложенный в [6] и обобщает его.

Для алгебраической иммунности AI()) при условии, что AI() 1, справедлива оценка:

AI() n 2 nl(), i i= gc, = где nl() нелинейность отображения, значение функции gc, определяется как скалярное произведение векторов c, Vt для любого x 1 () и ноль в противном случае.

Вектор c, в свою очередь определяет линейную комбинацию координатных функций отображения, на которой достигает ся максимальное по модулю значение коэффициента Уолша Адамара. В [5] устанавливалась взаимосвязь AI() с рядом других характеристик отображения.

Литература 1. Аносов В. Д. Уравнения (соотношения) над многоосновными алгеб раическими системами // Мальцевские чтения. Новосибирск, ИМ СО РАН, 13 15 ноября 2007.

В. С. АТАБЕКЯН 2. Аносов В. Д. О гомоморфизмах многоосновных алгебраических си стем в связи с криптографическими применениями // Дискретная математика. – 2007. – № 19. – Вып. 2. – C. 27–44.

3. Аносов В. Д. Алгебраические соотношения над многоосновными ал гебраическими системами и их использование в криптографии // Мальцевские чтения. – Новосибирск: ИМ СО РАН, 2009. – C. 152– 153.

4. Горчинский Ю. Н. О гомоморфизмах многоосновных универсальных алгебр в связи с криптографическими применениями // Труды по дискретной математике. – 1997. – Т. 1. – C. 67–84.

5. Покровский А. В. Алгебраическая иммунность отображений // Ма териалы девятой международной научной конференции по пробле мам безопасности и противодействия терроризму. – М.: МГУ им.

М. В. Ломоносова, 2009.

6. Courtois N., Meier W. Algebraic attacks on stream ciphers with linear feedback // In Advances in Cryptology EUROCRYPT 2003, number 2656 in Lecture Notes in Computer Science. – Springer Verlag, 2003. – P. 345–359.

РАСЩЕПЛЯЮЩИЕ АВТОМОРФИЗМЫ СВОБОДНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ГРУПП В. С. Атабекян Ереванский государственный университет, Ереван e-mail: avarujan@ysu.am Автоморфизм группы G называется расщепляющим ав 2 n томорфизмом периода n, если n = 1 и g g g · · · g = для любого элемента g G. Если – расщепляющий авто морфизм периода n некоторой группы G, то это в точности означает, что для любого g G в голоморфе Hol(G) груп пы G выполнено соотношение ( g)n = 1. Легко проверить, что каждый внутренний автоморфизм периодической группы 38 В. С. АТАБЕКЯН периода n является ее расщепляющим автоморфизмом пери ода n. Однако, обратное не верно. Известна теорема О. Кеге ла [1] о том, что любая конечная группа, обладающая нетри виальным расщепляющим автоморфизмом простого периода, является нильпотентной группой. Е. Хухро [2] доказал, что любая разрешимая группа, обладающая нетривиальным рас щепляющим автоморфизмом простого периода тоже является нильпотентной группой.

В коуровской тетради С. В. Иванов поставил вопрос: пусть n – достаточно большое нечетное число и m 1. Верно ли, что любой расщепляющий автоморфизм периода n свободной бернсайдовой группы B(m, n) является внутренним (см. [4], вопрос 11.36. б))?

По определению, свободная бернсайдова группа B(m, n) периода n и ранга m имеет следующее задание B(m, n) = a1, a2,..., am | X n = 1, где X пробегает множество всех слов в алфавите {a±1, a±1,...

1..., a±1 }. Подробный обзор об исследованиях по свободным m бернсайдовым группам можно найти в [3].

Нами доказана Теорема. Пусть расщепляющий автоморфизм перио да n группы B(m, n), где n 1003 произвольное нечтного е число. Тогда, если порядок автоморфизма простое число, то – внутренний автоморфизм.

Из этого, в частности, следует положительный ответ на во прос С. Иванова для всех простых n 997.

Следствие. При любом простом n 997 и m 1 каж дый расщепляющий автоморфизм периода n группы B(m, n) является внутренним автоморфизмом.

В. АТАБЕКЯН, А. ГЕВОРГЯН Литература 1. Kegel O. H. Die Nilpotenz der Hp -Gruppen // Math. Z. – 1961. – V. 75 – P. 373–376.

2. Хухро Е. И. Нильпотентность разрешимых групп, допускающих рас щепляющий автоморфизм простого порядка // Алгебра и логика. – 1980. – Т. 19. – С. 118–129.

3. Адян С. И. Проблема Бернсайда и связанные с ней вопросы // УМН. – 2010. – Т. 65. – № 5(395). – C. 5–60.

4. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп;

изд-е 11 // Новосибирск: Изд-во Ин-та матем. СО АН СССР, 1990.

О ВНЕШНИХ АВТОМОРФИЗМАХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ГРУПП В. Атабекян, А. Геворгян Ереванский государственный университет e-mail: avarujan@ysu.am Автоморфизм группы G называется нормальным авто морфизмом, если имеет место равенство (H) = H для любой нормальной подгруппы H группы G.

А. Любоцкий в [1] доказал, что каждый нормальный ав томорфизм нециклической абсолютно свободной группы F является внутренним. Аналогичное утверждение было до казано в разные годы для различных интересных классов групп.Согласно основному результату работы [3], для любо го нечтного числа n е 1003 каждый нормальный автомор физм свободной периодической группы B(m, n) ранга m является внутренним автоморфизмом.

М. В. Нещадим в [2] доказал, что каждый нормальный ав томорфизм свободного произведения нетривиальных групп внутренний.

40 Р. А. АТНАГУЛОВА, И. З. ГОЛУБЧИК Нами показано, что результат работы [2] невозможно рас пространить на n -периодические произведения групп, введен ное С. И. Адяном в работе [4].

Теорема. Пусть G произвольная группа без инволюций, обладающая автоморфизмом порядка 2. Тогда если для неко торого нечетного числа n 665 группа G совпадает со своей n Gn, то n -периодическое произведение G G обла подгруппой дает внешним нормальным автоморфизмом.

Литература 1. Lubotzky A. Normal automorphisms of free groups // J. Algebra. – 1980. – V. 11. – N. 2. – P. 494–498.

2. Нещадим М. В. Свободное произведение групп не имеет внешних нор мальних автоморфизмов. // Алгебра и логика. – 1996. – Т. 35. – № 5. – P. 562–566.

3. Атабекян В. С. Нормальные автоморфизмы свободных бернсайдовых групп // Изв. РАН. Сер. матем. – 2011. –V. 75. – № 2. – С. 3–18.

4. Адян С. И. Периодическое произведение групп // Тр. МИАН. – 1976. – Т. 142. – C. 3–21.

КОММУТАТИВНЫЕ ФРОБЕНИУСОВЫ АЛГЕБРЫ Р. А. Атнагулова, И. З. Голубчик Башкирский государственный педагогический университет, Уфа, Россия e-mail: rushano4ka@mail.ru Коммутативная, ассоциативная конечномерная алгебра A над полем нулевой характеристики P называется фробениусо вой, если существует линейный функционал f : A P, ядро которого не содержит ненулевых идеалов алгебры A. Алгебра A являются подпрямым произведением алгебр Ai, 1 i k, О. Г. БАГИНА k если существуют идеалы Ii в A, 1 i k такие, что i=1 Ii = = {0} и A/Ii Ai.

Теорема. Произвольная коммутативная, ассоциативная, конечномерная алгебра с единицей, над полем нулевой харак теристики является подпрямым произведением фробениусовых алгебр.

Литература 1. Голубчик И. З. Конечномерные алгебры над полями. Пособие по спец курсу. – Уфа: БГПИ. – 2000. – 41 c.

МОЗАИКИ ИЗ ВЫПУКЛЫХ ПЯТИУГОЛЬНИКОВ О. Г. Багина Кемеровский государственный университет, Кемерово, Россия e-mail: ogb@km.ru Назовем мозаикой покрытие плоскости попарно конгруэнт ными многоугольниками без зазоров и наложений. Соответ ствующий многоугольник называется плиткой мозаики. Наи более сложной оказалась задача нахождения пятиугольных плиток. Было найдено 14 типов таких пятиугольников [1], но нет доказательства полноты имеющегося перечня. Мной рас сматривается задача классификации выпуклых пятиугольни ков, покрывающих плоскость ребро к ребру.

Пусть X0, X1, X2, X3, X4 последовательные вершины пя тиугольника P, x0, x1, x2, x3, x4 его соответствующие углы, Ci = |Xi1 Xi |, i = 0, 1, 2, 3, 4 длины его сторон.

Теорема. Пятиугольник, покрывающий плоскость ребро к ребру, относится к одному из следующих типов:

1) x0 + x1 = 180, C0 = C2 или C3 = C4 ;

42 О. Г. БАГИНА 2) x0 + x2 = 180, C1 = C3, C0 = C2 ;

3) x0 = x2 = 90, C0 = C1, C2 = C3 ;

4) x2 = 2x0 = 120, C0 = C1, C2 = C3 ;

5) x1 + x3 = 180, x0 = 2x3, C0 = C1 = C2, C3 = C4 ;

6) x0 + 2x3 = 360, x2 + 2x1 = 360, C0 = C1 = C2 = C3 ;

7) x1 + 2x0 = 360, x2 + 2x3 = 360, C0 = C1 = C2 = C3 ;

8) x1 + 2x4 = 360, x2 + 2x3 = 360, C0 = C1 = C2 = C3.

Доказательство теоремы включает в себя полный пере бор, который основывается на следующем. Назовем степенью вершины P число сходящихся в ней пятиугольников. Пусть (0,..., 4 ) набор степеней всех вершин P, упорядоченных по возрастанию.

Предложение. В любой ребро к ребру пятиугольной моза ике найдется хотя бы один пятиугольник, для которого набор степеней вершин может быть одним из следующих: (3,3,3,3,3), (3,3,3,3,4), (3,3,3,3,5), (3,3,3,3,6), (3,3,3,4,4).

Вводится понятие типа пятиугольника (P ), которое про ще всего продемонстрировать на примере, запись (P ) = означает, что C0 = C1 = C3, C2 = C4. Имеется ровно 12 раз личных типов (P ): 12345, 11234, 11232, 12134, 12123, 11213, 11212, 11223, 11123, 11122, 11112, 11111. Тип 11111 рассмот рен в [2]. По первым девяти типам была представлена статья к публикации. По оставшимся типам 11122, 11112 публикация готовится.

Литература 1. Schattschneider D. Tiling the Plane with Congruent Pentagons // Math.

Magazine. – 1978. – V. 51. – P. 29–44.

2. Bagina O. Tiling the Plane with Congruent Equilateral Convex Pentagons // J. Combin. Theory. Ser. A. – 2004. – V. 105. – N. 2. – P. 221–232.

И. Н. БАЛАБА ГРАДУИРОВАННЫЕ ПРОСТЫЕ АРТИНОВЫ КОЛЬЦА И. Н. Балаба Тульский государственный педагогический университет, Tула, Россия e-mail: ibalaba@mail.ru В [1] было доказано, что если R = gG Rg – конечно мерная градуированно простая алгебра над алгебраически за мкнутvм полем, характеристика которого нулевая или не делит порядки любых конечных подгрупп группы G, то R изоморф на матричной алгебре над конечномерным градуированным те лом.

Пусть G произвольная мультипликативная группа, R = = gG Rg gr -простое gr -артиново кольцо, т. е. ассоциатив ное градуированное кольцо, не имеющее нетривиальных граду ированных идеалов и удовлетворяющее условию обрыва убы вающих цепочек правых градуированных идеалов. Градуиров ка на кольце матриц Mn (R) называется хорошей, если Mn (R) изоморфно градуированному кольцу эндоморфизмов некото рого конечно порожденного gr -свободного R -модуля.

Tеорема 1. Пусть R = gG Rg gr -простое gr артиново кольцо. Tогда кольцо R изоморфно кольцу матриц с хорошей градуировкой над некоторым градуированным телом D. При этом если R Mn (D) Mm (E), то n = m и суще = = ствуют G и -изоморфизм колец : D E, для которого (Dg ) = E1 g.

Пусть F градуированное поле и R градуированная алгебра над F. Алгебру R назовем центральной, если все ее центральные однородные элементы содержатся в F.

Tеорема 2. Пусть F градуированное поле и R гра дуированная конечномерная центральная gr -простая алгебра 44 М. А. БАШКИН над F. Тогда существует градуированное тело D, являющее ся конечномерной центральной gr -простой F -алгеброй, такое, что R изоморфна алгебре матриц с хорошей градуировкой над телом D.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 11 01-00571a.

Литература 1. Бахтурин Ю. А., Зайцев М. В., Сегал С. К. Конечномерные простые градуированные алгебры // Матем. сборник. – 2008. – T. 199. – № 7. – С. 21–40.

ОДНОРОДНОСТЬ ОДНОГО СЕМЕЙСТВА СУПЕРМНОГООБРАЗИЙ М. А. Башкин Рыбинская государственная авиационная технологическая академия, Рыбинск, Россия e-mail: m_bashkin@list.ru Как известно, однородные расщепимые супермногообразия над CP1 находятся во взаимно однозначном соответствии с невозрастающими наборами неотрицательных чисел. Обозна 1| чим через CPk+1,k,2,0 (здесь и далее k 2 ) расщепимое суперм ногообразие, определяемое голоморфным векторным расслое нием E CP1 ранга 4, представленное в виде прямой суммы линейных расслоений на прямые E = L(k+1) Lk L2 L0.

Цель исследования заключается в том, чтобы выяснить, су ществуют ли однородные нерасщепимые супермногообразия, связанные с каждым однородным расщепимым супермногооб 1| разием CPk+1,k,2,0. При k = 2 в [1] показано, что такое суперм ногообразие существует и оно единственно. Оказывается, что Е. В. БОРОДИНА при k 2 однородных нерасщепимых супермногообразий не существует.

Проблема классификации однородных нерасщепимых су пермногообразий, связанных с заданным однородным расще пимым супермногообразием, была поставлена А. Л. Онищиком в 90-х годах и подробно описана в [2]. При исследовании су пермногообразий на однородность существенное значение име ют критерии подъема на нерасщепимое супермногообразие с соответствующего ему расщепимого супермногообразия век торных полей и действий групп Ли, связанные с инвариант ностью класса когомологий, определяющего нерасщепимое су пермногообразие, относительно этих действий.

Литература 1. Башкин М. А. Однородное нерасщепимое супермногообразие с ретрак 1| том CP3220 // Современные проблемы математики: тезисы 42-й Все российской молодежной школы-конференции. – Екатеринбург: Инсти тут математики и механики УрО РАН. – 2011. – С. 177–178.

2. Onishchik A. L. A Construction of Non-Split Supermanifolds // Annals of Global Analysis and Geometry. – 1998. – V. 16. – P. 309–333.

НЕЗАВИСИМЫЕ СЛОВА В СИММЕТРИЧЕСКИХ ГРУППАХ Е. В. Бородина Красноярский государственный аграрный университет, Красноярск, Россия e-mail: katysha_borodina@mail.ru Определение. [1] Рассмотрим некоторое множество слов V в алфавите X. Слово v называется независимым относи тельно V в алфавите X, если для любого w V невозможна 46 Е. В. БОРОДИНА ситуация w = pvq, где p и q некоторые слова и одно из них непусто.

При компьютерном моделировании конечных бернсайдо вых группах B(2, 3), B(2, 4), B(3, 3), B0 (2, 5) использование независимых слов в алфавите образующих существенно сокра щало время расчета указанных групп, что было связано с тем обстоятельством, что таблица умножения, состоящая из неза висимых слов, содержала все элементы группы, в то время как само количество независимых слов приблизительно равнялось |G|, где G одна из перечисленных выше групп.

Проведенный анализ по вычислению элементов и соотноше ний перечисленных выше бернсайдовых групп позволил в [2] высказать следующие гипотезы:

Гипотеза 1. Пусть G группа и n количество незави симых слов в алфавите образующих. Тогда n |G|.

Гипотеза 2. Таблица умножения независимых слов группы G содержит все элементы группы.

Указанные гипотезы были проверены для некоторых нераз решимых групп, и в частности для группы S5. Выяснилось, что количество независимых слов зависит от выбора алфави та образующих. В данной работе была решена задача о мини мальном количесвте независимых слов для данной группы и проверки указанных выше гипотез 1 и 2, в зависимости от ал фавита образующих. Гипотеза 1 подтвердила себя для любой системы образующих, а гипотеза 2 только для некоторых.

В настоящем исследовании алфавит образующих состоял из двух элементов X = {a, b}. Получены верхняя и нижняя оценки количества независимых слов для S5 равные 11 и соответсвенно. Образующие при которых получается 11 неза висимых слов можно разделить на 3 вида: произведение эле А. В. ВАСИЛЬЕВ, А. М. СТАРОЛЕТОВ мента порядка 2 на элемент порядка 4–236 пар;

произведение элемента порядка 4 на элемент порядка 3–117 пар. Дальней шие исследования предполагают выяснение условий выполне ния гипотезы 2 для выбранного алфавита.

Литература 1. Кузнецов А. А., Шлепкин А. К., Тарасов С. А. О независимых словах в группах бернсайдового типа // Труды VII Международной конф. “Дис кретные модели в теории управляющих систем”. – 2006. – C. 181–182.

2. Бородина Е. В. Независимые слова в симметрических группах // Тру ды XLIX Международной научной студенческой конференции “Студент и научно-технический прогресс”. – 2011. – C. 10.

О ГРУППАХ, ИЗОСПЕКТРАЛЬНЫХ ПРОСТЫМ ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫМ ГРУППАМ ЛИЕВА ТИПА А. В. Васильев, А. М. Старолетов Институт математики им. С. Л. Соболева, Новосибирск, Россия e-mail: vasand@math.nsc.ru, astaroletov@gmail.com Спектром (G) конечной группы G называется множе ство порядков ее элементов. Две группы называются изоспек тральными, если их спектры совпадают. Говорят, что группа G распознаваема ( по спектру), если любая группа, изоспек тральная G, ей изоморфна.

Поскольку любая конечная группа, обладающая нетриви альной разрешимой нормальной подгруппой, не может быть распознаваемой (см., лемма 1 в [1]), вопрос о распознаваемости G в основном интересен в ситуации, когда G это простая или почти простая группа (группа G называется почти простой, ес ли L G Aut(L) для некоторой неабелевой простой группы L). В “Коуровской тетради” [2] поставлен следующий вопрос:

48 А. В. ВАСИЛЬЕВ, А. М. СТАРОЛЕТОВ 16.24. Спектром конечной группы называется множество порядков ее элементов. Существует ли конечная группа G, спектр которой совпадает со спектром конечной простой ис ключительной группы L лиева типа, но G не изоморфна L?

Учитывая результаты последних лет, можно утверждать, что этот вопрос близок к разрешению, например, в [3] была доказана распознаваемость групп E8 (q), там же можно найти ссылки на работы, посвященные решению этого вопроса.

Данная работа посвящена изучению распознаваемости групп G2 (q). Известно, что эти группы просты при q 2.

В [4] показано, что группа G2 (4) распознаваема, кроме того, в [5] доказана распознаваемость групп G2 (3n ), где n про извольное натуральное число. Авторами установлена почти распознаваемость групп G2 (q) (группа G называется почти распознаваемой, если с точностью до изоморфизма существует лишь конечное число конечных групп, изоспектральных G ), а именно, справедлива Теорема. Пусть L = G2 (q), q 2, а G конечная группа, для которой (G) = (L). Тогда L G Aut(L), в частно сти, существует лишь конечное число конечных групп, изоспек тральных группе L.

Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по гран там Президента РФ (МК-2136.2010.1 и НШ-3669.2010.1), АВЦП Ро собразования Развитие научного потенциала высшей школы (проект 2.1.1.10729), а также Лаврентьевского гранта для коллективов молодых ученых СО РАН, постановление Президиума СО РАН №43 от 04.02.2010.

Литература 1. Мазуров В. Д. Группы с заданным спектром // Матем. механ. – 2005. – № 36. – Вып. 7. – C. 119–138.

В. Л. ВАСИЛЬЕВ 2. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп, 17-е изд. – Ин-т математики СО РАН, Новосибирск. – 2010. – 219 c.

3. Кондратьев А. С. Распознаваемость по спектру групп E8 (q) // Тр.

ИММ УрО РАН. – 2010. – Т. 16. – № 3. – C. 146–149.

4. Мазуров В. Д. Распознавание конечных простых групп S4 (q) по по рядкам их элементов // Алгебра и логика. – 2002. – Т. 41. – № 2. – C. 166–198.


5. Васильев А. В. Распознаваемость групп G2 (3n ) по порядкам их эле ментов // Алгебра и логика. – 2002. – Т. 41. – № 2. – C. 130–142.

(2, 3) -ПОРОЖДЕНИЕ СИМПЛЕКТИЧЕСКИХ ГРУПП БОЛЬШИХ РАЗМЕРНОСТЕЙ НАД КОЛЬЦОМ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ В. Л. Васильев Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова, Санкт-Петербург, Россия e-mail: vadim@pdmi.ras.ru Группа называется (2, 3) -порожденной, если она может быть порождена инволюцией и элементом порядка 3. Бла годаря усилиям целого ряда авторов на сегодняшний день уже известно, что группы GLn (Z) и SLn (Z) являются (2, 3) порожденными в точности при n 5. Случай симплектиче ских групп над Z, которые также относятся к семейству клас сических матричных групп, изучен меньше, и именно ему будет посвящен данный доклад, основанный на совместной работе с М. А. Всемирновым. Здесь, говоря о симплектических группах над кольцом целых чисел, мы имеем ввиду следующие группы:

0 In 0 In g GL2n (Z) : g T Sp2n (Z) := g=, In 0 In 50 В. Л. ВАСИЛЬЕВ где, как обычно, In единичная матрица размера n n, а T транспонирование матрицы.

Главная цель доклада показать, что группы Sp2n (Z) (2,3)–порождены при достаточно большом значении n. Более точно, мы докажем следующее утверждение:

Теорема 1. Группа Sp2n (Z) является (2, 3) -порожденной при n 25.

Данная теорема получается как частный случай более общего утверждения:

Теорема 2. Пусть R коммутативное кольцо с 1, s обратимый элемент из R. Предположим дополнительно, что R аддитивно порождается множеством {s2k | k Z} {2s2k1 | k Z}.

Тогда группа ESp2n (R) (2, 3) -порождена при n 25.

Здесь через ESp2n (R) обозначаем группу, порождаемую все возможными матрицами следующего вида:

I2n + r · ei,n+j + r · ej,n+i, если 1 i=j n, (1) Ei,j (r) := I2n + r · ei,n+i, если 1 i=j n, (2) (1) Ei,j (r) := (Ei,j (r))T, если 1 i, j n, (3) Ei,j (r) := I2n + r · ei,j r · en+j,n+i, если 1 i=j n, где r R, а под ei,j понимается 2n 2n матрица c 1 в i -ом строке и j -ом столбце и 0 в остальных ячейках.

Е. М. ВЕЧТОМОВ, А. С. БЕСТУЖЕВ, И. В. ЛУБЯГИНА ПОЛУКОЛЬЦА С ЦИКЛИЧЕСКИМ УМНОЖЕНИЕМ Е. М. Вечтомов, А. С. Бестужев, И. В. Лубягина Вятский государственный гуманитарный университет, Вятский государственный университет, Киров, Россия e-mail: vecht@mail.ru В широком смысле полукольцом называется алгебраиче ская структура с ассоциативными операциями сложения + и умножения ·, такими, что умножение дистрибутивно относи тельно сложения с обеих сторон. Полутелом называется по лукольцо, являющееся группой по умножению. Полукольцо S c единицей 1 и без нуля назовем циклическим и обозначим (a), если в S существует элемент a = 1, такой, что каждый элемент является его неотрицательной целой степенью. Бес конечные циклические полукольца (a) имеют идемпотентное сложение и оно задается по одному из правил (для любых r, s N0 ): ar + as = ar, ar + as = as, ar + as = amin{r,s}, ar + + as = amax{r,s}. Любое конечное циклическое полукольцо (a) имеет свой тип (k, l), где k и l – наименьшие натуральные числа, для которых ak+l = ak.

Конечные циклические полукольца (a) типа (k, l) с комму тативным сложением имеют тип (k, 1), то есть ak+1 = ak. Для изучения конечных неидемпотентных (то есть 1+1 = 1) цикли ческих полуколец рассматриваются четыре параметра k, n, p N и m N0, такие, что k = m + n + p + 1, am + am+n = = am+n+p, a0,...,k + am+n+1,...,k = am+1,...,k + am+n = ak. Здесь возможны четыре случая: (1) n 1 m, (2) p n 1 m, an+1,...,k, (3) n 1 m, p n 1, 1 + 1 = (4) n 1 p+ an +m, 1+1 = [1]. Для полуколец (1)–(3) получены формулы, описывающие их строение. Для случая (4) найдены структу 52 B. A. ВЕДЕРНИКОВ ры, среди которых следует искать всевозможные полукольца.

Конечные идемпотентные (1 + 1 = 1) циклические полукольца с коммутативным сложением являются упорядоченными полу кольцами со специфическими характеристическими свойства ми.

Пусть теперь S = (a) конечное циклическое полуколь цо типа (k, l) с некоммутативным сложением. Цикл {ak,...

..., ak+l1 } полукольца (a) является циклическим полутелом.

Если (a) идемпотентно, то оно имеет либо левое сложение, ли бо правое сложение, либо сводится к конечному циклическо му полутелу и конечному идемпотентному циклическому по лукольцу с коммутативным сложением. Для неидемпотентных полуколец (a) в случае k l получены формулы для сложе ния. На любой мультипликативной полугруппе типа (k, l), где l 2, может быть задано неидемпотентное некоммутативное сложение, превращающее ее в полукольцо.

Литература 1. Бестужев А. С. О строении конечных циклических полуколец // Тру ды Математического центра имени Н. И. Лобачевского: Материалы Де вятой молодежной научной школы-конференции “Лобачевские чтения– 2010”. – Казань: Казан. матем. об-во. – 2010. – Т. 40. – C. 67–71.

ХОЛЛОВЫ ПОДГРУППЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП B. A. Ведерников Московский городской педагогический университет, Москва, Россия e-mail: vavedernikov@mail.ru Пусть F непустой класс конечных групп, – некоторое множество простых чисел и (F). Обозначим через F B. A. ВЕДЕРНИКОВ класс всех -групп, принадлежащих классу F. S -подгруппу группы G, принадлежащую классу F, будем называть S (F) подгруппой группы G. Следуя [1, 2], определим классы групп:

E (F) класс всех конечных групп G, обладающих S (F) подгруппами;

C (F) класс всех конечных E (F)-групп, в которых любые две S (F)-подгруппы сопряжены;

D (F) класс всех конечных C (F)-групп G, в которых каждая F подгруппа содержится в некоторой S (F)-подгруппе группы G.

Применяя классификацию конечных простых групп и ме тоды исследования конечных E -групп, созданные Е. П. Вдо виным и Д. О. Ревиным в ряде работ (см., например, [3, 4]), получены следующие результаты.

Теорема. Пусть 1 = G0 G1 · · · Gn = G явля ется композиционным рядом группы G и F – {Q, S, Ext} замкнутый класс групп. Тогда выполняются следующие утвер ждения:

(1) Если G E (F), то AutG (Gi /Gi1 ) E (F) для всех i, 1 i n.

(2) Класс E (F) является локальной формацией.

(3) Класс C (F) является локальной формацией.

(4) Класс E (F) C является локальной формацией.

(5) Если G D (F) и N G, то N D (F).

(6) Тогда и только тогда G D (F), когда AutG (H/K) D (F) для каждого композиционного фактора H/K группы G.

Литература 1. Hall P. Theorems like Sylow’s // Proc. London Math. Soc. Ser. 3. – 1956. – V. 6. – N. 22. – P. 286–304.

2. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. – М.: Наука, 1978. – 272 с.

54 Е. М. ВЕЧТОМОВ 3. Revin D. O., Vdovin E. P. On the number of classes of conjugate Hall subgroups in nite simple groups // Preprint. – http://arxiv.org/abs/0912.1922.

4. Revin D. O., Vdovin E. P. Hall subgroups of nite groups // Contemporary Mathematics. – 2006. – V. 402. – P. 229–265.

МУЛЬТИПЛИКАТИВНО ИДЕМПОТЕНТНЫЕ ПОЛУКОЛЬЦА Е. М. Вечтомов Вятский государственный гуманитарный университет, Киров, Россия e-mail: vecht@mail.ru Исследуются полукольца с идемпотентным умножением (МИП ).

Под полукольцом понимается алгебраическая структура S, +, ·, 0, такая, что: S, +, 0 коммутативный моноид, S, · полугруппа, умножение дистрибутивно относитель но сложения с обеих сторон и x S (x · 0 = 0 · x = 0).

Полукольцо с квазитождеством x + y = 0 x = 0 называется антикольцом. Мультипликативно идемпотентные кольца это булевы кольца. Мультипликативно и аддитивно идемпотентное полукольцо назовём дважды идемпотентным. К классу два жды идемпотентных полуколец принадлежат все дистрибутив ные решетки с нулем, а также дубль-полукольца, в которых по определению xy = x + y для любых ненулевых элементов x, y. Полукольцо S называется 0-расширением (1-расширением) полукольца A (с 1 и, возможно, без нуля) при помощи полу кольца B, если [0] A ([1] A) и S/ B для некоторой = = = конгруэнции на S. Множество r(S) всех аддитивно обра тимых элементов полукольца S есть идеал в S, являющийся Е. М. ВЕЧТОМОВ кольцом. Любое полукольцо S является расширением коль ца r(S) посредством антикольца S/r(S) [1]. При этом: если r(S) имеет единицу, то полукольцо S однозначно представимо в виде прямой суммы кольца и антикольца.

Предложение 1. Любое МИП есть расширение булева кольца при помощи мультипликативно идемпотентного анти кольца.

Предложение 2. Всякое конечное МИП разлагается в пря мую сумму однозначно определённых булева кольца и мульти пликативно идемпотентного антикольца.

В МИП выполняется тождество 4x = 2x. Любое МИП изо морфно вкладывается в МИП с единицей, причем, конечное МИП можно вложить в конечное МИП с 1. Как и в дистри бутивных решетках, простые идеалы произвольного коммута тивного МИП разделяют его элементы.

Предложение 3. Всякое дважды идемпотентное по лукольцо с единицей является 1расширением дубль полукольца ( без нуля) с единицей при помощи ограниченной дистрибутивной решетки.

Заметим, что конечнопорожденные коммутативные МИП конечны.

Предложение 4. Свободное дважды идемпотентное полу кольцо, имеющее не менее трех свободных образующих, беско нечно.

Это утверждение опирается на теорему Туэ [2] о существо вании бесквадратного -слова в трехбуквенном алфавите.

Литература 1. Вечтомов Е. М. Две общие структурные теоремы о полумодулях // Абелевы группы и модули. Сб. статей. Томск: Изд-во ТГУ. – 2000. – Вып. 15. – С. 17–23.

56 Б. М. ВЕРЕТЕННИКОВ 2. Саломаа A. Жемчужины теории формальных языков. – М.: Мир, 1986. – 160 с.

О МЕТАБЕЛЕВЫХ 3-ГРУППАХ АЛЬПЕРИНА Б. М. Веретенников Уральский федеральный университет, Екатеринбург, Россия e-mail: boris@veretennikov.ru Дж. Альперин в [1] изучал группы, в которых все 2 порожденные подгруппы имеют циклический коммутант. Мы называем такие группы группами Альперина. В работе [1] бы ло доказано, что при нечетном простом p конечные p-группы Альперина метабелевы, т. е. имеют абелев коммутант.

Однако, конечные 2-группы Альперина могут быть и неме табелевы. Так, в работе [2] был построен пример неметабелевой конечной 2-группы Альперина со вторым коммутантом поряд ка 2, а в статье [3] построены бесконечные серии конечных 2 групп Альперина со вторыми коммутантами порядка 2 и 4.

В работе [1] было отмечено, что если G конечная p группа Альперина и d(G) = n, то при p = 3 d(G) Cn, а 2 при p = 3 d(G) Cn + Cn (d(G) минимальное число порож дающих группы G ). В тезисах [4] рассматривались при p = метабелевы конечные p -группы Альперина G с d(G) = n и с гомоциклическим коммутантом ранга Cn. Там было полу чено описание таких групп в терминах действия сопряжением образующих элементов этих групп на их коммутанты.

В настоящем сообщении предлагается следующий резуль тат:

Теорема. Если G конечная 3-группа Альперина, d(G) = 2 =n 3, d(G ) = Cn + Cn и G гомоциклическая группа, А. Б. ВЕРЕВКИН то G элементарная абелева. Кроме того, группа со всеми вышеперечисленными условиями существует.

Литература 1. Alperin J. L. On a special class of regular groups // Trans. Amer. Math.

Soc. – 1963. – T. 106. – C. 77–99.

2. Веретенников Б. М. Об одной гипотезе Альперина // Сиб. матем.

журн. – 1980. – Т. 21. – C. 200–202.

3. Веретенников Б. М. О конечных 3-порожденных 2-группах Альперина // Сиб. электр. матем. известия. – 2007. – Т. 4. – C. 155–168.

4. Веретенников Б. М. О конечных p -группах Альперина с гомоцикли ческим коммутантом. // Тез. докл. международной научной конфе ренции “Дискретная математика, алгебра и их приложения”. – Минск:

Институт математики НАН Беларуси, 2009. – C. 14.

О НИЛЬПОТЕНТНОМ МАТРИЧНОМ ФИЛЬТРЕ А. Б. Вервкин е Ульяновский государственный университет, Ульяновск, Росися e-mail: abverevkin@gmail.com квадратная матрица от n2 коммути Пусть M = (xij ) рующих переменных X = {xij | i, j = 1... n}. Рассмотрим е е (s) (s) степени M s = fij (X), здесь fij (X) однородные полино мы от X общей степени s. Их явный вид указан Л. М. Шиф нером в работе [1].

В алгебре коммутативных многочленов A = k[X] над полем (s) k определим однородные идеалы F (s) = (fij (X)| i, j = 1...

... n), F (0) = A. Тогда при t s имеется вложение идеалов F (t) F (s). Цепь идеалов... F (s+1) F (s)... F (1) F (0) = A 58 Б. М. ВЕРНИКОВ называется матричным нильпотентным фильтром на алгеб ре A=k[X].

A/F (s) Z-градуированные фактор-алгебры обозначим B (s).

Теорема. В случае матриц второго порядка можно вычис лить ряды Гильберта последовательных факторов нильпотент ного фильтра. Например:

(s) i B (s) (t) = i 0 dim Bi t = = ((1 ts1 )(1 ts ))/(1 t)4 ) + ts1 (1 ts )/(1 t).

Работа поддержана грантом РФФИ 10-01-00209-а.

Литература 1. Шифнер Л. М. О степени матрицы // Математический сборник. – 1935. – Т. 42. – Вып. 3. – C. 385–394.

О МОДУЛЯРНЫХ ЭЛЕМЕНТАХ РЕШЕТКИ МНОГООБРАЗИЙ ПОЛУГРУПП Б. М. Верников Уральский федеральный университет, Екатеринбург, Россия e-mail: bvernikov@gmail.com Элемент x решетки L;

, называется модулярным, ес ли (x y) z = (x z) y для любых y, z L таких, что y z. Мы продолжаем изучение модулярных элементов ре шетки SEM всех многообразий полугрупп, начатое в [1] – [4].

Многообразия полугрупп, являющиеся модулярными элемен тами в SEM, будем называть модулярными. Тождество u = v Б. М. ВЕРНИКОВ называется SEM подстановочным, если u и v зависят от од них и тех же букв и v может быть получено из u переименова нием переменных. Результаты работ [2], [3] сводят задачу опи сания модулярных многообразий к рассмотрению нильмного образий, удовлетворяющих подстановочным тождествам. Важ ным частным случаем подстановочных тождеств являются пе рестановочные тождества, т. е. тождества вида x1 x2 · · · xn = = x1 x2 · · · xn, где – нетривиальная перестановка на мно жестве {1, 2,..., n}. Число n называется длиной этого тожде ства. Модулярные многообразия полугрупп, удовлетворяющие перестановочному тождеству длины 2 (т. е. коммутативные мо дулярные многообразия) описаны в [3].

Теорема. Многообразие полугрупп V, удовлетворяющее перестановочному тождеству длины 3, модулярно тогда и только тогда, когда V = M N, где M – либо тривиальное многообразие, либо многообразие полурешеток, а многообра зие N удовлетворяет одной из следующих систем тождеств:

xyz = yxz, xy 2 = 0;

xyz = zyx, x2 y = 0;

xyz = xzy, x2 y = 0;

xyz = yzx, x2 y = 0.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 10-01-00542) и про граммы Развитие научного потенциала высшей школы Министерства образования и науки Российской Федерации (проект № 2.1.1/13995).

Литература 1. Верников Б. М., Волков М. В. Решетки нильпотентных многообразий полугрупп // Алгебраич. системы и их многообразия. – Свердловск:

Урал. гос. ун-т, 1988. – С. 53–65.

60 С. В. ВЕРШИНА 2. Jeek J., McKenzie R. N. Denability in the lattice of equational theories z of semigroups // Semigroup Forum. – 1993. – V. 46. – N. 2. – P. 199–245.

3. Vernikov B. M. On modular elements of the lattice of semigroup varieties // Comment. Math. Univ. Carol. – 2007. – V 48. – N. 4. – P. 595–606.

4. Shaprynskii V. Yu. Modular and lower-modular elements of lattices of semigroup varieties // Semigroup Forum, submitted.

ПРОЕКТИВНЫЕ И ИНЪЕКТИВНЫЕ ОБЪЕКТЫ В КАТЕГОРИИ КВАЗИГОМОМОРФИЗМОВ ЛОКАЛЬНЫХ CL -ГРУПП С. В. Вершина Московский педагогический государственный университет, Москва, Россия e-mail: svetlanavershina@gmail.com Абелева группа называется p -локальной (обобщенно при марной по Куликову), если qA = A для любого простого числа q = p.

p -локальную группу без кручения назовем cl -группой (circle, line), если ее поле расщепления, подполе p-адических чисел, является конечным алгебраическим расширением поля рациональных чисел, каждое число которого может быть по строено с помощью циркуля и линейки, исходя из заданной единицы.

Теорема 1. Неразложимыми инъективными объектами в категории квазигомоморфизмов p -локальных cl -групп без кручения являются аддитивная группа поля Q и сервантная подгруппа в кольце целых p -адических чисел Zp, порожденная аддитивной группой кольца целых элементов в поле расщепле ния некоторой p -локальной cl -группы без кручения.

А. А. ВИКЕНТЬЕВ, Р. А. ВИКЕНТЬЕВ Теорема 2. Неразложимыми проективными объектами в категории квазигомоморфизмов p -локальных cl -групп без кручения являются аддитивная группа кольца дискретного нормирования Zp и группы, двойственные (по Арнольду) инъ ективным объектам данной категории.

О РАССТОЯНИЯХ МЕЖДУ МНОГОЗНАЧНЫМИ ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ И НЕДОСТОВЕРНОСТИ А. А. Викентьев, Р. А. Викентьев Институт математики им. С. Л. Соболева, Новосибирский государственный университет, Новосибирск e-mail: vikent@math.nsc.ru В настоящее время появляется большой интерес к постро ению решающих функций на основе анализа экспертной ин формации, заданной в виде вероятностных логических выска зываний экспертов, согласованию высказываний [1] – [6]. Здесь будем записывать высказывания экспертов в виде формул n значной логики. На значения истинности таких формул мож но смотреть как на степени их ошибочности. В произволь ном случае с помощью n -теории моделей найдено правиль ное обобщение расстояния между такими формулами и меры информативности (степени недостоверности) формул, доказа ны свойства введенных понятий, аналогичных 2-значному. В частности, значение истинности на модели может служить и мерой достоверности этой части реализации формулы в моде ли языка 1-го порядка. Расстоянием между формулами и, S() S() S(), в множестве моделей P (S()) назовем S() (, ) = n1 n ModS() ModS() k 1 + 1 k n1 n k=1 k= =.

n|S()| 62 А. А. ВИКЕНТЬЕВ, Р. А. ВИКЕНТЬЕВ Теорема. Для любых n и формул, выполняется сле дующее:

A. 0 S() (, ) 1;

S() (, ) = S() (, );

B. S() (, ) = 0 ;

n1 n C. S() (, ) = 1 Mod() Mod() = k l n1 n l=1 k= = P (S()).

D. S() (, ) S() (, ) + S() (, );

E. Если 1 2, то S() (1, ) = S() (2, ).

Результаты используются в анализе знаний и кластеризации. Ра бота выполнена при поддержке гранта РФФИ, проекты 10–01–00113а, 11–07–00346а.

Литература 1. Лбов Г. С., Старцева Н. Г. Логические решающие функции и вопросы статистической устойчивости решений. – Новосибирск: Изд–во ИМ СО РАН, 1999.

2. Кейслер Г., Чэн Ч. Ч. Теория моделей. – М.: Мир, 1977.

3. Викентьев А. А, Лбов Г. С. О метризации булевой алгебры предложе ний и информативности высказ. экспертов // Доклады РАН. – 1998. – Т. 361. – № 2. – С. 174–176.

4. Викентьев А. А., Лбов Г. С. Setting the metric and informativeness on statements of experts // Pattern Recognition and Image Analysis. – 1997. – V. 7. – № 2. – P. 175–183.

5. Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика // С– Петербург, 2004.

6. Викентьев А. А., Коренева Л. Н. К вопросу о расстояниях между фор мулами, описывающими структурированные объекты // Математиче ские методы распознавания образов (ММРО-99), РАН ВЦ. – Москва, 1999. – С. 151–154.

В. К. ВИЛЬДАНОВ ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ СВОЕЙ ГРУППОЙ АВТОМОРФИЗМОВ В. К. Вильданов Уфимский государственный авиационный технический университет, Белорецк, Россия e-mail: kadirovi4@googlemail.com Получен критерий определяемости группы своей группой автоморфизмов в классе вполне разложимых абелевых групп без кручения.

Определение. Будем говорить, что группа A определя ется своей группой автоморфизмов в классе групп X, если из Aut(A) Aut(B), где B X, всякий раз следует, что A B.

= = Обозначим Fcd класс всех вполне разложимых абелевых групп без кручения. (G) множество типов прямых слагае мых ранга 1 группы G Fcd.

Пусть A iI Ai (r(Ai ) = 1) вполне разложимая группа = без кручения. Для всякого типа (A) обозначим через A( ) прямую сумму всех групп Ai типа.

Остальные обозначения стандартны и могут быть найдены в [1, 2].

Теорема 1. Пусть A, B Fcd, 2A = A, 2B = B. Тогда из Aut(A) Aut(B) следует = Aut(A( ) ) Aut(B ( ) ).



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
 

Похожие работы:





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.