авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОУ ВПО МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В. ЛОМОНОСОВА

ГОУ ВПО САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГОУ ВПО САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГОУ ВПО САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГОУ ВПО САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СамДиф—2007

Конференция

«Дифференциальные уравнения

и их приложения»

Самара, 29 января — 2 февраля 2007 г.

ТЕЗИСЫ ДОКЛАДОВ Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ Грант №07-01-06006 Самара Издательство «Универс групп»

2007 УДК 917 ББК В 161.6 С 17 Редакционная коллегия: д.ф-м.н. Астафьев В.И., д.ф-м.н. Пулькина Л.С., к.ф-м.н. Бейлин С.А.

СамДиф-2007 : конференция «Дифференциальные уравнения С 17 и их приложения», г.Самара, 29 января — 2 февраля 2007г.

Тезисы докладов. – Самара : Издательство «Универс групп», 2007. – 156с.

ISBN 978-5-467-00115- c Авторы, ISBN 978-5-467-00115- Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

Содержание Абдрахманов А.М. Краевые задачи с интегральным граничным условием для уравнений нечетного порядка Абдрахманова А.А., Павлов В.П. Метод математическо го моделирования напряженно-деформированного состоя ния стержня при больших деформациях Абрамов В.В. Совместное использование методов Адамса и Эверхарта для решения уравнений движения небесных тел Алешин П.С., Зарубин А.Н. Начально–краевая задача для уравнения фрактальной диффузии с распределенным запаз дыванием Аманов Д.А., Юлдашева А.В. Самосопряженная задача для уравнения четвертого порядка Андреев А.А., Лексина С.В. О граничном управлении системы продольно–крутильных колебаний Андреев А.А., Огородников Е.Н. Задача Коши для диффе ренциального уравнения с матричным аналогом оператора Геллерстедта Арланова Е.Ю. Нелокальные краевые задачи для уравнения влагопереноса в специальных случаях Асташова И.В. О неколеблющихся решениях квазилинейных дифференциальных уравнений высокого порядка Баязитова А.А. Об обратной задаче для уравнения Баренблат та – Желтова – Кочиной на графе Бейлин С.А. Нелокальная задача для уравнения S Бейлина Н.В. Об одной нелокальной задаче для гиперболиче ского уравнения и ее связи с обратной Бурцев М.В. Смешанная задача для неоднородного уравнения СамДиф– дробной диффузии с запаздывающим аргументом по време ни и пространственной координате. Волынская М.Г. Нелокальная смешанная задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения Воропаева Л.В. Задача Дирихле для одной сильно эллиптиче ской системы Воропаева Н.В. Разделение движений в многотемповых дина мических системах со слабой диссипацией Гильмутдинова А.



Ф. Фазовое пространство системы уравне ний Кагиналпа Гриднев А.В. Некоторые нестепенные формальные решения третьего уравнения Пенлеве в окрестности нуля Данилкина О. Ю. Нелокальная задача для уравнения тепло проводности Дмитриев В.Б. Нелокальная задача с линейным интегральным условием для уравнения гиперболического типа с n про странственными переменными Долгий Ю.Ф. Использование вольтерровых конечномерных операторов при описании дифференциальных уравнений с наследственными свойствами Жегалов В.И., Уткина Е.А. Нелокальная краевая задача для уравнения Бианки в R3 Жегалов В. И., Кунгурцев А. А. Три задачи для уравнения Лиувилля Заусаев А.Ф. Моделирование движения больших планет, Луны и Солнца, основанное на новом принципе взаимодействия Заусаев А.Ф., Алтынбаев Ф.Х. Резонансные движения астеро идов группы Аполлона с внутренними планетами Зотеев В.Е., Попова Д.Н. Определение динамических харак теристик линейной диссипативной системы на основе Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

стохастических разностных уравнений для амплитудно– частотной характеристики Ильясов Р.Р., Первушина Н.М. Краевая задача для эллипти ческого уравнения с сингулярным коэффициентом Калиев И.А., Батталова К.Р. Вторая обратная задача для вол нового уравнения Калиев И.А., Подкуйко М.С. Неоднородная начально граничная задача для одномерной системы уравнений вязкого теплопроводного газа в расширяющихся по време ни областях Калиев И.А., Филатова А.Г. Первая обратная задача для вол нового уравнения Каримов Р.Х. Поведение на бесконечности решений квазили нейного эллиптического уравнения в неограниченной обла сти Кечина О.М. Об одной нелокальной задаче для телеграфного уравнения Кожанов А.И. Вырождающиеся уравнения Соболевского типа Кощеева О.А. Один случай построения функции Римана для уравнения Бианки Кукушкина Е.В. Сингулярные числа резольвенты ин финитезимального оператора стационарной системы функционально-разностных уравнений Лашин Д.А. О существовании решения задачи управления для уравнения теплопроводности Лисаченко И.В. О вариационном принципе максимума для оп тимального управления системой Гурса-Дарбу Ляхов Л.Н., Половинкина М.В. Пространства В-потенциалов Рисса и Бесселя и пространства Киприянова дробной В гладкости СамДиф– Маркелов А.В. Об одном обобщении теоремы Ляпунова Наджафов Х.М. Исключительный случай одной нелокальной краевой задачи для линейного уравнения второго порядка смешанного типа с вырождением порядка. Назипов И.Т. Проекционный метод решения уравнения типа свертки на отрезке вещественной оси Нахушева З.А. О задаче А.А. Дезина для уравнения Лаврентьева-Бицадзе Павлов С.П., Жигалов М.В. Анализ чувствительности при оптимизации формы границы раздела термоупругих сред Павлова А.В. Метод факторизации в задачах оценки напряженно-деформированного состояния литосферных плит Попов Н.Н., Коваленко Л.В. Решение пространственной сто хастической краевой задачи ползучести вблизи свободной поверхности Пряхина О.Д., Смирнова А.В. «Вирусы вибропрочности» ди намических задач о колебаниях сред с дефектами Пряхина О.Д., Смирнова А.В. Колебания электроупругих сло истых сред с нарушением сплошности Пулькин И. С. О нахождении систем функций, биортогональ ных к возмущенным системам Пулькина Л.С. Нелокальная задача с интегральным гранич ным условием для гиперболического уравнения. Раджабов Н.Р. Об одном классе комплексных одномерных ин тегральных уравнений вольтеровского типа с граничным фиксированным сингулярным и сверхсингулярным ядром Радченко В.П., Исуткина В.Н., Маргаритов А.Ю. Решение сто хастических краевых задач для толстостенной трубы из микронеоднородного материала в условиях ползучести ме тодом Монте–Карло Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.





Рахманова Л.Х. О первой граничной задаче для уравнения сме шанного параболо–гиперболического типа Репин О.А. О задаче со смещением для уравнения смешанного типа с частной дробной производной Римана-Лиувилля Рузиев М.Х. О задаче Трикоми для уравнения смешанного ти па с сингулярным коэффициентом в неограниченной обла сти Сабитова Ю.К. Нелокальная задача для вырождающегося урав нения смешанного типа Савченко О.В. К теории импульсных волн в структурах со сложной внутренней средой Санина Е.Л. О рядах Шлемельха по нечетным j-функциям Бесселя Сакс Р. С. Явные решения однородной системы Навье-Стокса Саушкин И.Н. Аналоги задачи Трикоми для некоторых диф ференциальных уравнений с инволютивным отклонением аргументов Саушкина Е.С. Построение общего решения для одной вырож дающейся системы гиперболического типа Саушкин М.Н., Афанасьева О.С. К постановке краевых задач для определения полей остаточных напряжений и пласти ческих деформаций Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная задача для уравнения смешанного типа Сафиуллова Р.Р. Обратные задачи для линейных гиперболи ческих уравнений Сидоренко О.Г. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа в прямоугольнике Степанова Л.В., Скопинцев Е.А. Собственные значения в за даче о трещине антиплоского сдвига в материале со сте СамДиф– пенными определяющими уравнениями Скороход А.В. Единственность решения задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа Солдатенков А.О. О двусторонних оценках энергии оптималь ных граничных управлений для уравнения колебаний стру ны Соколовская Е. В. Одна теорема об аппроксимации снизу системы дифференциальных включений с медленными и быстрыми переменными. Стельмашук Н. Т., Шилинец В. А. Решение краевой задачи для одного класса функционально-инвариантных вектор аналитических функций Степанова Л.В. Собственные значения в задаче о трещине нормального отрыва в материале со степенными опреде ляющими уравнениями Сулейманова А.Х. О первой краевой задаче для уравнения сме шанного типа в прямоугольнике Сурков П.Г. Использование преобразования Лапласа при реше нии некорректной задачи продолжения решения дифферен циального уравнения с запаздыванием Сырникова О.В. Вторая краевая задача для уравнения собо левского типа в неограниченной области Трушина Е.В. Принцип максимума Понтрягина для задач с приближенно известными исходными данными Уразаева А.В. Обратная задача для системы Соболева Федина М.Е. Связанные задачи о трещинах. Федоров В.Е., Рузакова О.А. О разрешимости одного класса интегро-дифференциальных уравнений Филатов О.П. Интегральные мультиотображения и крите рий существования пределов максимальных средних Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

Филиппов А.И., Михайлов П.Н. Концепция точного в среднем асимптотического решения на примере задачи о подземном захоронении ядерных отходов Холодова С.Е., Перегудин С.И. Математическое моделирова ние одномерного течения электропроводной жидкости между параллельными стенками Хусаинов И. Г., Ишмухаметова А. А. Методика исследова ния перформрованной скважины с помощью дистанцион ного метода акустического каротажа Чиханов Х.А. Обобщённые функции Глешера Шишкина Э. Л. Ряды Тейлора и Лорана для весового функци онала r СамДиф– КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКА Абдрахманов А.М.

Уфимский государственный авиационный технический университет Рассматриваются следующие краевые задачи:

Краевая задача I: найти функцию u(x, t), являющуюся в цилин дре Q решением уравнения 2m+ Lu Dt u + M u = f (x, t) (1) и такую, что для нее выполняются условия k Dt u|t=0,x = 0, k = 0,..., m, (2) k Dt u|t=T,x = 0, k = 0,..., m 1, (3) u(x, t)|x,t(0,T ) = K1 (x, y, t)u(y, t) dy|x,t(0,T ). (4) Краевая задача II: найти функцию u(x, t), являющуюся в ци линдре Q решением уравнения(1) и такую, что для нее выполня ются условия (2) и (3), а также условие u(x, t)|x,t(0,T ) = K2 (x, y, t, )u(y, )dyd |x,t(0,T ). (5) Q Близкими методами исследуется разрешимость следующих за дач:

Краевая задача III: найти функцию u(x, t), являющуюся в ци линдре Q решением уравнения(1) и такую, что для нее выполня ются условия (2) и (3), а также условие u(x, t) |x,t(0,T ) = K1 (x, y, t)u(y, t)dy|x,t(0,T ). (6) x Краевая задача IV : найти функцию u(x, t), являющуюся в ци линдре Q решением уравнения(1) и такую, что для нее выполня ются условия (2) и (3), а также условие T u(x, t) |x,t(0,T ) = K2 (x, y, t, )u(y, )dyd |x,t(0,T ), (7) x 0 Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

где есть ограниченная область пространства Rn с гладкой грани цей, Q цилиндр (0, T ) (0 T +), S = (0, T ), dk (x, t), aij (x, t), k = 1,..., 2m, i, j = 1,..., n, a(x, t) и f (x, t) - заданные в цилиндре Q функции, M - дифференциальный оператор второго порядка вида aij (x, t)uxj + a(x, t)u.

Mu = xi Для краевых задач I-IV доказываются теоремы существования и един-ственности регулярных решений. Отметим, что как уравнение (1), так и нелокальные условия (4)-(7) являются модельными;

как оператор L, так и условия (4)-(7) можно заменить более общими.

МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СТЕРЖНЯ ПРИ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЯХ Абдрахманова А.А., Павлов В.П.

Уфимский государственный авиационный технический университет Постановка задачи. Традиционные методы сопротивления ма териалов [1] достаточно точны лишь при малых перемещениях и не позволяют рассчитать напряженно-деформированное состояние стержня при больших перемещениях. Это связано с тем, что при больших перемещениях необходимо решать [2] нелинейные относи тельно функций перемещения уравнения. В связи с этим в данной работе предлагается метод математического моделирования дефор мирования стержня, не имеющий ограничений на характер функ ций перемещений. Для демонстрации сути метода рассматривается первоначально прямой стержень длиной l с прямоугольным попе речным сечением b h, с произвольными способами закрепления по концам. Стержень изготовлен из упругого материала с модулем упругости E, и нагружен внешней распределенной нагрузкой, по гонные состав-ляющие которой q и qn, направлены соответственно вдоль и поперек оси стержня.

Построение расчетных дифференциальных уравнений. Коор динатная система задана ортогональными осями X1, X2, X3. Плос СамДиф– кости X1, X3 и X1, X2 совмещены соответственно с горизонталь ной и вертикаль-ной плоскостями симметрии недеформированного стержня. Базовой ли-нией стержня является первоначально пря мая осевая линия стержня, совпадающая для недеформированного стержня с линией пересечения плоскостей X1, X3 и X1, X2. Точки базовой линии идентифицируются ее начальными координатами x1.

Деформация базовой линии описывается функциями перемещений u = u(x1, t), v = v(x1, t), (1) зависящими от начальной пространственной координаты x1 и вре мени t.

Линейная деформация базовой линии определяется выражением (1 + u1 )2 + (v 1 )2 1, 1 = (2) где для выражения (2) и дальнейших соотношений применяются обозна-чения j u j v j j u =, v =, j = 0, 1,..., 5. (3) xj xj 1 Для деформированной базовой линии определяются орты каса тельной и нормали n = 1 e1 + 2 e2, n = n1 e1 + n2 e2, (4) где 1 + u(1) 1 + v (1) 1 =, 2 =, (5) 1 + 1 1 + n1 = 2, n2 = 1.

Дифференцированием (2) и (5) определяются частные производ ные (j) j 1 j 1 j (j) (j) 1 =, 1 =, 2 =, xj xj xj (6) 1 1 j n1 j n (j) (j) n1 =, n2 =, j = 1, 2, 3.

xj xj 1 В рамках гипотезы Бернулли определяется продольная дефор мация 11 волокна стержня с координатой x (0) (1) 2 (1) (1 + u(1) x2 2 + (v (1) x2 11 = 11 = ) ) 1 (7) Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

На основе (7) определяются производные от j (j) 11 =, j = 0, 1, 2. (8) xj При деформации стержня в нем возникают нормальные напря жения 11 = 11 (x1, x2, t), 12 = 12 (x1, x2, t), (9) связанные с деформациями законом Гука 11 = E11. (10) По нормальным напряжениям 11 определяются внутренняя продоль-ная сила N и внутренний изгибающий момент Mx h/2 h/ N = N (0) = b11 dx2 = bE 11 dx2, h/2 h/ (11) h/2 h/ M = M (0) = x3 b11 x2 dx2 = bE 11 x2 dx2.

x h/2 h/ В (11) и дальнейших соотношениях применяются обозначения N (0) N = N, N(1) =, x (12) 2 Mx Mx M (0) = M, (1) (2) x3 Mx3 =, Mx3 =.

x x x1 Уравнения равновесия для стержня включают два уравнения (1) (1) (1) (1) q = 2 1 1 2 Mx3 1 N 1 1 + 2 2 N, (1 + 1 )2 x1 1 + 1 x1 1 + (1) (1) (1) 1 Mx3 1 1 + 2 2 1 Mx (13) qn = + + (1 + 1 )2 x2 (1 + 1 )2 (1 + 1 )3 x (1) (1) 2 1 1 + N.

1 + СамДиф– При обозначениях (1) (1) (1) 2 1 1 2 A (1) M x3 =, AN =, (1 + 1 )2 1 + (1) (1) 1 1 + 2 2 (0) (2) (14) AN =, BM x3 =, (1 + 1 ) 1 + (1) (1) (1) (1) (1) (1) 1 1 + 2 2 1 2 1 1 B (0) M x3 =, BN =.

(1 + 1 )2 (1 + 1 )3 1 + система (13) принимает вид q = A(1) M (1) + A(1) N (1) + A(0) N (0), M x3 x3 N N (15) q = B (2) M (2) + B (1) M (1) + B (0) N.

n M x3 x3 M x3 x3 N Система уравнений (15) является нелинейной, так как все ве личины, входящие в левую часть системы уравнений (15), опреде ляются нелиней-ными выражениями от производных u(j), v (j), j = 1,..., 4.

Метод численного решения. При решении системы (15) деформи-рованное состояние стержня рассчитывается в последова тельные момен-ты времени ti, i = 1, 2,.... В этом случае для каждого отрезка времени [ti, ti+1 ] из предыдущих расчетов определены все компоненты напряжен-но-деформированного состояния в момент времени ti и, следовательно, левые части уравнений из системы (15) известны.

При разложении в ряд Тейлора левых частей уравнений системы (15) для момента времени ti система (15) приводится к виду Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

(1) (1) (1) (0) (j) AM x3 Mx3 + AN N(1) + AN N(0) ui+1 + u(j) i j= (1) (1) (1) (0) (j) AM x3 Mx3 + AN N(1) + AN N(0) + vi+1 = (j) v i j= (1) (1) (1) (0) = q (ti+1 ) AM x3 Mx3 + AN N(1) + AN N(0) + i (1) (1) (1) (0) (j) AM x3 Mx3 + AN N(1) + AN N(0) + ui + (j) u i j= (1) (1) (1) (0) (j) AM x3 Mx3 + AN N(1) + AN N(0) + vi, v (j) i j= (16) (2) (2) (1) (1) (0) (j) BM x3 Mx3 + BM x3 Mx3 + BN N ui+1 + (j) u i j= (2) (2) (1) (1) (0) (j) + BM x3 Mx3 + BM x3 Mx3 + BN N vi+1 = v (j) i j= (2) (2) (1) (1) (0) = qn (ti+1 ) (j) BM x3 Mx3 + BM x3 Mx3 + BN N + u i (2) (2) (1) (1) (0) (j) BM x3 Mx3 + BM x3 Mx3 + BN N ui + + u(j) i j= (2) (2) (1) (1) (0) (j) + BM x3 Mx3 + BM x3 Mx3 + BN N vi (j) v i j= В правой части системы линейных дифференциальных уравне ний (16) находятся величины, известные для момента времени ti.

В левой части системы линейных дифференциальных уравне (j) (j) ний (16) находятся неизвестные производные ui+1, vi+1, j = 1,..., от функций перемещения ui+1 = u(x1, ti+1 ), vi+1 = u(x1, ti+1 ) в момент времени ti+1.

Полученная система линейных дифференциальных уравнений (16) дополняется уравнениями, учитывающими конкретные гра ничные условия, а затем решается численным методом сплайнов пятой степени.

Решение эталонных задач показывает достаточно высокую точ ность.

СамДиф– Литература 1. В.И.Феодосьев Сопротивление материалов. М.,Наука, 2. Е.П. Попов Теория и расчет гибких упругих стержней. М., Наука, СОВМЕСТНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ АДАМСА И ЭВЕРХАРТА ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ Абрамов В.В.

Самарский государственный технический университет В настоящее время для решения задач небесной механики при меняются различные численные методы с высоким порядком ап проксимации. Одним из наиболее точных в данной области счита ется модифицированный метод Эверхарта, который является неяв ным одношаговым методом. Его эффективность на длительных ин тервалах интегрирования была подтверждена путём сопоставления результатов вычислений координат и скоростей небесных тел с ба зой данных DE405, которая в свою очередь согласована с радио локационными наблюдениями. При вычислениях, помимо взаимно го влияния небесных тел, учитывались релятивистские эффекты и несферичность тел [1]. Недостатком метода Эверхарта является невысокая скорость вычислений, несмотря на достаточно большой шаг интегрирования.

При решении данной задачи также широко используются много шаговые методы, наиболее перспективными из которых являются методы Адамса. В работе [2] было показано, что с помощью неявного метода Адамса—Мултона 11-го порядка можно добиться практиче ски такой же точности, что и в методе Эверхарта 27-го порядка. При отсутствии тесных сближений небесных тел друг с другом процесс численного интегрирования происходит в 4–5 раз быстрее. Одна ко при наличии тесных сближений приемлемые результаты не мо гут быть получены даже при достаточно сильном уменьшении шага интегрирования в методе Адамса—Мултона и увеличении порядка аппроксимации.

В данной работе была реализована идея совместного использо вания двух рассмотренных выше методов. Поскольку моменты тес Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

ных сближений являются кратковременными по сравнению с общей продолжительностью вычислительного процесса, то в отсутствии сближений оправданным является применение более быстрого ме тода Адамса—Мултона 11-го порядка. Вычисление осуществляет ся с постоянным шагом 0,2 дня. В моменты сближений численное интегрирование продолжается методом Эверхарта 27-го порядка, также начиная с шага 0,2 дня и далее с переменным шагом. При этом для обеспечения высокой точности не требуется значительное уменьшение шага. По окончании момента сближения вычисление продолжается вновь с помощью метода Адамса—Мултона с предва рительной закладкой таблицы интегрирования методом Эверхарта.

Критерием начала сближения являлось достижение величины модуля ускорения исследуемого тела некоторого значения, кото рое выбирается опытным путём. Правильный выбор этого значения позволяет значительно повысить эффективность алгоритма.

Литература 1. А.Ф. Заусаев, А.А. Заусаев, А.Г. Ольхин Применение метода Эверхарта 31 порядка для решения уравнений движения больших планет // ВАК 2004. Горизонты Вселенной: Тез. докл. на Всерос. астроном. конф. — М.:

МГУ, ГАИШ, 2004.— С. 209.

2. В. В. Абрамов Применение методов Адамса к решению уравнений дви жения больших планет, Луны и Солнца // Математическое моделирова ние и краевые задачи: Тр. Третьей Всерос. научн. конф. — Ч. 3. — Самара:

СамГТУ, 2006. — С. 13–19.

Работа выполнена при финансовой поддержке Федерального агентства по об разованию (проект РНП. 2.1.1.1689).

СамДиф– НАЧАЛЬНО–КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ФРАКТАЛЬНОЙ ДИФФУЗИИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Алешин П.С., Зарубин А.Н.

Орловский Государственный Университет + В области D = Dk, Dk = {(x, y) : 0 x, kh y (k + 1)h} k= (0 h, const) рассматривается уравнение h D0y u(x, t) uxx (x, y) = R()u(x, y )d, 0 1, (1) где D0y – оператор дробного (в смысле Римана–Лиувилля) интегро– дифференцирования, действующий на функцию u(x, y) по перемен ной y, R() — заданная ограниченная функция.

Задача L. Найти в области D решение u(x, y) уравнения (1) из класса D0y u(x, t) C(D), y 1 D0y u(x, t), uxx (x, y) C(D), удовлетво ряющее начально-краевым условиям u(, y) = 0, u(0, y) = 0, 0 y +;

u(x, y) = 0, lim D0y u(x, t) = (x), (x, y) D(1), y0+ где заданная функция (x) C[0;

] C 2 (0;

), причем (0) = ( ) = 0.

Единственное решение задачи L найдено в виде разложения по собственным функциям + u(x, y) = cn n (y) sin n x, n= где 2 n cn = (x) sin n xdx, n =, y n (y) = gn (y) + gn (y )fn ()d, Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

fn (y) = R(y )n ()d, yh gn (y) = y 1 E, (2 y )+ n y + k (ys)(k+1)1 d (ys)1 (ys)k E,(k+1) (2 (ys) ) ds, + k (s) n k!k dy k=1 а k (y) определяется рекуррентно соотношениями y 1 (y) = R(y), k (y) = 1 (s)k1 (y s) ds, (k = 2, 3,...), E, (t)- функция Миттаг-Леффлера.

САМОСОПРЯЖЕННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА Аманов Д.А., Юлдашева А.В.

Институт математики им. В.И. Романовского АН РУз, Национальный университет Узбекистана им. Мирзо Улугбека (Ташкент, Узбекистан) 1. Постановка задачи. В области = {(x, t) : 0 x p, 0 t T } рассмотрим уравнение Lu = f (x, t), (1) где 4 Lu u. (2) x4 t Задача 1. Найти в области решение u(x, t) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям u(x, 0) = 0, ut (x, T ) = 0, 0 x p, (3) ux (0, t) = ux (p, t) = 0, uxxx (0, t) = uxxx (p, t) = 0, 0 t T. (4) 3,1 4, Обозначим через V () = u : u Cx,t Cx,t (), выполня ются (3), (4). На множестве V () определим оператор L, который СамДиф– действует из V () в C() по правилу (2). V () плотно в L2 (). За 4, мыкание V () по норме W2 () обозначим через V (). Через L обо значим замыкание L в L2 (). Регулярная разрешимость задачи эквивалентна разрешимости операторного уравнения Lu = f. (5) Определение 1. Функцию u(x, t) V () назовем регулярным ре шением задачи 1, если она в области удовлетворяет уравнению (1).

Определение 2. Функцию u(x, t) L2 () назовем сильным реше нием задачи 1, если u(x, t) есть предел в L2 () последовательности un (x, t) V (), n = 1, 2,..., и Lun f в L2 ().

Определение 3. Функцию u(x, t) L2 () назовем слабым реше нием задачи 1 при f (x, t) L2 (), если v(x, t) V () имеет место равенство u, Lv L2 () = (f, v)L2 ().

4, Определение 4. Функцию u(x, t) W2 () назовем решением по чти всюду в задачи 1 при f L2 (), если она почти всюду в области удовлетворяет уравнению (1) и условиям (3), (4) в смыс ле L2 ().

2. Априорная оценка. Справедлива следующая Лемма. Пусть u(x, t) — регулярное решение задачи 1 и произ водные utt, uttx, uttxx L2 (). Тогда существует постоянное число C 0, зависящее от размеров области и независящее от функ ции u(x, t) такое, что для любого регулярного решения выполня ется неравенство u W24,2 () C f L2 (). (6) Из оценки (6) в силу замкнутости L следует справедливость сле дующих утверждений:

1) Оператор L нормально разрешим;

2) Ядро оператора L N L = {0};

2) обратный оператор L1 существует и ограничен на R L ;

4) L1 C.

При доказательстве леммы используются неравенства Коши Буняковского и 2|ab| a2 + 1 b2.

3. Разрешимость задачи 1. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. Если f (x, t), f C, f L2 (), fx = fx = (0,t) (p,t) x x 0, то регулярное решение задачи 1 существует, единственно и устойчиво.

Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

Теорема 2. Для любой f L2 () сильное решение задачи 1 су ществует, единственно, устойчиво и удовлетворяет оценке (6).

Теорема 3. Сильное решение задачи 1 является решением по чти всюду в задачи 1.

Теорема 4. Слабое решение задачи 1 существует при любой f L2 () и оно единственно.

О спектре задачи 1. Доказана следующая Теорема 5. Оператор L1 является вполне непрерывным опера тором из L2 () в L2 () и самосопряженным. Его спектр состоит из действительных собственных значений конечной кратности.

Следствие. Задача 1 самосопряженная. Спектр оператора L со стоит только из действительных собственных значений конечной кратности. При этом если µn = 0 является собственным значением оператора L1, то µ1 является собственным значением оператора L.

n Краевые задачи для уравнения (1) изучены в [1], [2].

Литература 1. Салахитдинов М.С., Аманов Д. Разрешимость и спектральные свой ства самосопряженных задач для уравнения четвертого порядка. Труды Межд. конф. "Современные проблемы математической физики и информа ционных технологий". Ташкент, 18-24 апреля 2005 г. Том 1. с.151-155.

2. Салахитдинов М.С., Аманов Д. Разрешимость и спектральные свойства самосопряженной задачи для уравнения четвертого порядка. Узбекский математический журнал. 2005. №3, c.72-77.

О ГРАНИЧНОМ УПРАВЛЕНИИ СИСТЕМЫ ПРОДОЛЬНО–КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Андреев А.А., Лексина С.В.

Самарский государственный университет Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка utt Auxx = 0, (1) u1 (x, t) p где u =,A= - постоянная матрица.

u2 (x, t) q Известно[1], что система (1) описывает продольно-крутильное ко СамДиф– лебание длинной естественно закрученной нити.

Характеристики системы (1) имеют вид x ± i t = C i = 1, 2, где 2, 2 - собственные значения матрицы A, причём 2 2, = 1 2 1 Sp2 A 4detA 0, detA 0, SpA 0.

В данной заметке используются обозначения и определения классов решений из работы [2].

В области QT = {(x, t) : 0 x l, 0 t T } рассмотрим сме шанную задачу I для системы дифференциальных уравнений (1) с начальными условиями при 0 x l 11 (x) 11 (x) u(x, 0) = (x) =, ut (x, 0) = (x) =, (2) 21 (x) 21 (x) граничными условиями при 0 t T µ1 (t), u(l, t) = (t) = 1 (t), u(0, t) = µ(t) = (3) µ2 (t) 2 (t) и для функций µ и выполнены условия согласования µ(0) = (0), (0) = (l).

Если (x) 0, (x) 0, то решение смешанной задачи I для системы l (1) при T [0, max(1,2 ) ] запишется:

t t21 x xl x xl u1 (x, t) = µ1 (t 1 ) + 1 (t + 1 ) t12 µ2 (t 1 ) + 2 (t + 1 ) + |S|(2 p) 2 q 1 t12 t x xl x xl + |S| t21 µ1 (t 2 ) + 1 (t + 2 ) + µ2 (t 2 ) + 2 (t + 2 ), 2 p (4) t t21 x xl x xl u2 (x, t) = µ1 (t 1 ) + 1 (t + 1 ) t12 µ2 (t 1 ) + 2 (t + 1 ) + 2 q |S| t12 t x xl x xl + |S|(2 q) t21 µ1 (t 2 ) + 1 (t + 2 ) + µ2 (t 2 ) + 2 (t + 2 ), 2 p 2 (5) где S -матрица перехода при диагонализации матрицы A.

Рассмотрим в прямоугольнике QT смешанную задачу II для системы дифференциальных уравнений (1) с финальными условиями при 0xl 12 (x) 12 (x) u(x, T ) = 1 (x) =, ut (x, T ) = 1 (x) =, (6) 22 (x) 22 (x) Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

граничными условиями при 0 t T µ1 (t), u(l, t) = (t) = 1 (t), u(0, t) = µ(t) = (7) µ2 (t) 2 (t) и для функций µ и выполнены условия согласования 1 (0) = µ(T ), 1 (l) = (T ).

l Решение смешанной задачи II для системы (1) при T [0, max(1,2 ) ], (x) 0, (x) 0 имеет вид:

t12 t t21 x x x x u1 (x, t) = µ (t + 1 ) t12 µ2 (t + 1 ) + (t 1 ) t12 2 (t 1 ) + 2 q 2 q |S|(2 p) 1 2 t12 t21 t x x x x + |S| t21 µ1 (t + 2 ) + µ (t + 2 ) t21 1 (t 2 ) + (t 2 ), 2 p 2 p 1 (8) t12 t t21 x x x x u2 (x, t) = µ (t + 1 ) t12 µ2 (t + 1 ) + (t 1 ) t12 2 (t 1 ) + 2 q 2 q |S| 2 t12 t21 t x x x x + |S|(2 q) t21 µ1 (t + 2 ) + µ (t + 2 ) t21 1 (t 2 ) + (t 2 ). 2 p 2 p 2 1 (9) В области QT поставим смешанную задачу III для системы диффе ренциальных уравнений (1) с начальными условиями (2) и финаль ными условиями (6).

Теорема 1. Для существования решения задачи III при 0 T l max{1,2 } необходимо выполнение следующих условий:

2 (x), 1 (x) W2 [0;

l], (x), 1 (x) W2 [0;

l];

(10) l для всех 0 t T max(1,2 ) l t12 1 t [ 2 q 12 (x) t12 22 (x)]dx |S| [ 2 q 12 (1 t) t12 22 (1 t)] |S| 2 1 t 1 (t+T ) 1 t12 t |S| [ 2 q 12 (l) t12 22 (l)] + [ 2 q 11 (x) t12 21 (x)]dx+ (11) |S| 2 l1 T 1 t + |S| [ 2 q 11 (1 (t + T )) t12 21 (1 (t + T ))]+ 1 t + |S| [ 2 q 11 (l 1 T ) t12 21 (l 1 T )] = 0, СамДиф– 1 (t+T ) t12 1 t [ 2 q 12 (x) t12 22 (x)]dx |S| [ 2 q 12 (0) t12 22 (0)] |S| 1 |S| [ t2 12 (1 (t + T )) t12 22 (1 (t + T ))]+ 1 (12) 1 T t12 1 t + |S| [ 2 q 11 (x) t12 21 (x)]dx + |S| [ 2 q 11 (1 t) t12 21 (1 t)]+ 2 1 t 1 t + |S| [ 2 q 11 (1 T ) t12 21 (1 T )] = 0, l t21 t 1 [t12 12 (x) + (x)]dx |S| [t21 12 (2 t) ( t)] 2 p 22 2 p 12 |S| 1 2 t 2 (t+T ) t21 t 1 |S| [t21 12 (l) + (l)] + [t21 11 (x) + (x)]dx+ 2 p 22 2 p |S| 1 l2 T t + |S| [t21 11 (2 (t + T )) + 2 p 21 (2 (t + T ))]+ t + |S| [t21 11 (l 2 T ) + 2 p 21 (l 2 T )] = 0, (13) 2 (t+T ) t [t12 12 (x) + (x)]dx 2 p |S| t21 t 1 |S| [t21 12 (2 (t + T )) ( (t + T ))] |S| [t21 12 (0) + (0)]+ 2 p 12 2 2 p 1 2 T t21 t 1 + |S| [t21 11 (x) + (x)]dx + |S| [t21 11 (2 t) + ( t)]+ 2 p 21 2 p 21 1 2 t t + |T | [t21 11 (2 T ) + ( T )] = 0. 2 p 21 (14) Теорема 2. Для существования граничных управлений u(0, t) = µ(t) и u(l, t) = (t), обеспечивающих существование смешанной зада l чи I, при 0 T max{1,2 } и выполнение условий u(x, T ) = 1 (x), ut (x, T ) = 1 (x) при 0 x l необходимо и достаточно выполнение двух условий 2 1) (x), 1 (x) W2 [0;

l], (x), 1 (x) W2 [0;

l] l 2) t [0;

max{1,2 } T ] выполняются соотношеия (11-14).

При этом граничные управления выписываются в явном виде.

Если матрица A -диагональная, то теоремы 1 и 2 совпадают с тео ремами 1 и 2 работы [2].

Литература 1. О.Ф.Горошко, А.А. Чиж К вопросу о продольно-крутильных колебани ях упругой естественно закрученной нити (каната) переменной дли ны с концевым грузом, движущимся по жестким направляющим// В кн.:Стальные канаты, Т.1., Киев:Техника, 1964, С 56-64.

Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

2. В.А. Ильин Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени.// ДУ,1999, Т.35, № 11.С 1517-1534.

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С МАТРИЧНЫМ АНАЛОГОМ ОПЕРАТОРА ГЕЛЛЕРСТЕДТА Андреев А.А., Огородников Е.Н.

Самарский государственный университет, Самарский государственный технический университет Множество постоянных над полем действительных чисел R мат риц порядка n в общем случае с комплексным спектром (G) = {i : i C, i = 1, n} принято обозначать Mn. Известно [1], что для любой матрицы G Mn существует невырожденное преобра зование с матрицей T, приводящее матрицу G к каноническому ви ду — нормальной жордановой форме J(G) = T 1 GT. Канонический вид матрицы G простой структуры будем обозначать G, причем G = diag {1, 2,..., n } = (i ij )i,j=1,n, где ij — символ Кронекера.

Дифференциальный оператор 2 G LG = sgn y|y| ± E 2, (1) x2 y где G, E Mn, E — единичная матрица, а матрица |y|G определяется на спектре (G) матрицы G с помощью интерполяционного много члена Лагранжа-Сильвестра известным образом [1], будем называть матричным аналогом оператора Геллерстедта.

В полуплоскости y 0, действительных переменных x и y рас смотрим порожденную оператором (1) систему дифференциальных уравнений 2u 2u LG (u) y G 2 2 = 0, x y где u(x, y) = (u1, u2,..., un )T — вектор искомых функций.

Система уравнений (2) как матричный аналог уравнения Гел лерстедта является частным случаем системы дифференциальных уравнений 2u 2u u u h(y)H(x, y) 2 2 + A(x, y) + B(x, y) + C(x, y)u = 0, (3) x y x y СамДиф– где h(y) — известная функция, а H, A, B, C — заданные функцио нальные [n n]-матрицы.

Если матрица H(x, y) положительно определена, h(0) = 0 и h(y) 0 при y 0, то система уравнений (3) при y 0 гиперболична и параболически вырождается на линии y = 0.

Как отмечено в монографии А.В. Бицадзе [2], для подобных си стем уравнений задача Коши с начальными условиями на линии параболического вырождения u(x, y) lim u(x, y) = (x), lim = (x), (4) y y+0 y+ где (x) = (1, 2,..., n )T, (x) = (1, 2,..., n )T — заданные векторы, еще далеко не полностью исследована.

Если H(x, y) = E, то при определенных условиях, наложен ных на компоненты матриц A, B, C и функцию h(y), решение си стемы уравнений (3) существует и единственно в классе функций u(x, y) C C 2 (), где — некоторая характеристическая об ласть, ограниченная, например, отрезком [a, b] оси x и двумя ха рактеристиками системы уравнений (3) из разных семейств, выхо дящими соответственно из точек A(a, 0) и B(b, 0). Более того, если h(y) = y m, m 0, то при дополнительном требовании симметрично сти матричных коэффициентов решение задачи Коши может быть найдено методом Римана [2].

Когда H(x, y) — диагональная, но не обязательно единичная мат рица, задача (4) для системы уравнений (3) с h(y) = y m исследована В.П. Диденко [3].

Исследование систем уравнений (3) при более общих предполо жениях относительно вида и структуры матрицы H(x, y), чем ука занные в [2], представляет собой весьма не простую задачу.

Проблема корректности задачи Коши для системы уравнений (2) не сложно решается в случае, когда матрица G является матрицей простой структуры.

Пусть матрица T (det T = 0) такова, что G = T 1 GT. Тогда, отно сительно вектор-функции v = T 1 u система уравнений (2) расщеп ляется на n-независимых уравнений 2v 2v y G = 0, (5) x2 y для каждого из которых задача Коши корректна по Адамару в соот ветствующей характеристической области. Например, если (G) Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

R+ = (0, +), то 2 i +2 i + (i ) = (x, y) : 0 x y 2 x+ y 2 1, 0 x 1.

i + 2 i + Тогда вектор-функция 1 (EB) B t t2 t t u(x, y) = k(B) (z) dt yk(E B) (z) dt, 0 где матрица B = G(G + 2E)1, матрица k(B) = (2B)2 (B), (·) — гамма функция Эйлера, а векторы (z) и (z) следует понимать как векторы, каждая компонента i, i которых вычислены в соответ ствующей точке 2 i + zi = x + y 2 (2t 1), i + является корректным по Адамару решением задачи (2), (4) в области n i, если (x), (x) C[0, 1] C 2 (0, 1).

= i= Аналогично, можно рассмотреть случай (G) R = (, 0]. В частности, при (G) (1, 0) решение задачи (2), (4) в области имеет вид B t t2 (z) dt + k(E + B)(E 2B)(E + 2B)1 y A u(x, y) = k(E + B) 1 B t t2 t t2 (z) dt, (z)(2t 1) dt + yk(E B) 0 где A = (G + 2E), а z, область и матрицы k, B определены выше.

Если (x) C[0, 1] C 3 (0, 1), а (x) C[01, ] C 2 (0, 1), то задача (2), (4) корректна по Адамару.

Объединяя результаты, можно выписать решение задачи Коши для уравнения (2) и для (G) (1, +).

Далее в работе рассматриваются случаи кратных и комплексных собственных значений матрицы G. Полученные результаты сфор мулированы в виде теорем.

СамДиф– Литература 1. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. — М.: Наука, 1967. — 576 с.

2. Бицадзе, А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А.В. Бицадзе. — М.: Наука, 1981. — 448 с.

3. Диденко, В.П. О некоторых системах дифференциальных уравнений сме шанного типа / В.П. Диденко // Докл. АН СССР, 1962. — Т. 144. — С. 709– 712.

НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЛАГОПЕРЕНОСА В СПЕЦИАЛЬНЫХ СЛУЧАЯХ Арланова Е.Ю.

Самарский государственный технический университет В работе рассмотрено уравнение Lu = y 2 uxx uyy + aux = 0, a = ±1, (1) 2 в области D = {(x, y) : 0 x y2 x + y2 1}, являющейся характе ристическим треугольником.

Введем следующие обозначения: 1 (x) — аффикс точки пересе чения характеристики уравнения (1), выходящей из точки (x, 0) J с характеристикой BC: 1 (x) = x+1, 1 x.

I0+, f (x), I1, f (x) — операторы обобщенного дробного,, интегродифференцирования Сайго.

Для уравнения (1) исследованы следующие краевые задачи.

Задача 1. Найти функцию u (x, y) C D C 2 (D), удовлетворя ющую уравнению (1) при a = 1 в области D и краевым условиям a 1, b 1 + 1, c A1 I0+ u (t, 0) (x) + 2 + A2 I0+, a1 b1, c uy (t, 0) (x) = 1 (x) (x J), (2) Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

a, b3, b3 + 1 B1 (1 x)a3 +2b3 + 2 I1 (1 t) 2 u [1 (t)] (x) = 3 a + 1, b3 + 1, a3 b3 = B2 I1 u (t, 0) (x)+ 2 a +1, b3, b3 + B3 I1 uy (t, 0) (x) + 2 (x) (x J), (3) где A1, 2, B1, 2, 3, a1, b1, c1, a3, b3, c4 — ненулевые вещественные кон станты, которые удовлетворяют условиям:

a1, b1, a3, b3 1, (4) 1 (x) и 2 (x) — известные функции, причем 1 (x) H 1 J, 2 (x) H 2 J, (5) a1 1 1 1, a3 + 2 2 1.

Будем искать решение этой задачи в классе таких функций u(x, t), что lim uy (x, y) = (x) H J, 1. (6) y Задача 2. Найти функцию u (x, y) C D C 2 (D), удовлетворя ющую уравнению (1) при a = 1 в области D, краевым условиям (2) и B1 (1 x)a3 +b3 +c3 I1, (1 t)b3 c3 u [1 (t)] (x) = a3 b3, c a + 1, a3 b3 1, a3 c = B2 I1 uy (t, 0) (x) + 2 (x) (x J), (7) 2 где A1, 2, B1, 2, a1, b1, c1, a3, b3, c3 — ненулевые вещественные кон станты, а также справедливы неравенства:

a1, b1 1, (8) 0 a3, b3 1, a3 + b3 + c3 1, 1 (x) и 2 (x) — заданные функции, причем 1 (x) H 1 J, 2 (x) H 2 J, (9) a1 1 1 1, a3 2 1.

Используя методику решения задачи 1, находим решение задачи 2 в том же классе функций.

В работе доказана однозначная разрешимость представленных задач 1 и 2.

СамДиф– О НЕКОЛЕБЛЮЩИХСЯ РЕШЕНИЯХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА Асташова И.В.

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ) Рассматривается дифференциальное уравнение n (n) ai (x) y (i) + p(x) |y|k1 y = 0, y + (1) i= где p(x) и ai (x) — непрерывные функции, n 1, k 1.

Приводятся достаточные условия существования неколеблюще гося решения уравнения (1) и критерий колеблемости всех решений уравнения (1) четного порядка.

Теорема. Пусть в уравнении (1) функции p(x), aj (x), j = 0, 1,..., n 1, удовлетворяют условиям xn1 |p(x)| dx ;

x xnj1 |aj (x)| dx.

x Тогда уравнение (1) имеет неколеблющееся решение, стремящееся к ненулевому пределу при x.

Теорема. Пусть в уравнении (1) функция p(x) 0, функции aj (x), j = 0, 1,..., n 1, удовлетворяют условиям xnj1 |aj (x)| dx.

x Тогда следующие два условия равносильны:

1. xn1 p(x) dx ;

x Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

2. Уравнение (1) имеет определенное в окрестности + поло жительное решение, которое при x + не стремится к 0.

Следствие. В условиях теоремы 2 при четном n равносильны сле дующие два условия:

1.

xn1 p(x) dx ;

x 2. Уравнение (1) имеет определенное в окрестности + неколеб лющееся решение.

Приведенные результаты являются обобщением известного кри терия колеблемости Ф.Аткинсона [1], доказанным для уравнения (1) при ai (x) = 0 и n = 2, обобщенным И.Т.Кигурадзе [2] на случай ai (x) = 0 и n 2.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 06-01-00715) и гранта НШ - 2538.2006.1.

Литература 1. Atkinson F. V. On second order nonlinear oscilations// Pacif.J.Math, V.5, № 1 (1955), p. 643-647.

2. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1990, 432 с.

ОБ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БАРЕНБЛАТТА – ЖЕЛТОВА – КОЧИНОЙ НА ГРАФЕ Баязитова А.А.

Южно-Уральский государственный университет Пусть G = G(V;

E) – конечный связный ориентированный граф, где V = {Vi } – множество вершин, а E = {Ej } – множество дуг длиной lj 0 и толщиной dj 0. На G рассмотрим обратную задачу uj (x, 0) = uj (x, T ) = vj (x) для всех x (0, lj ) (1) СамДиф– с краевыми условиями, рассмотренными в [1] для уравнений Барен блатта – Желтова – Кочиной ujt ujxxt = ujxx + gj (x)fj (t) для всех x (0, lj ), t R. (2) Данная задача инспирирована работой [3]. Заметим, что обрат ные задачи для уравнений соболевского типа впервые рассмотрены в [4]. Изучается однозначная разрешимость задачи (3) – (4) с исполь зованием подхода, изложенного в [1]. Для этого редуцируем задачу (3) – (4) к обратной задаче для линейного неоднородного уравнения соболевского типа методом, изложенным в [2]. Доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть, R\{0}, fj (0) = fj (T ) = 0 и для любых k та k T s ких, что = k выполнено 0 e k f (s)ds = 0. Тогда, если 0 (L), / то для любых v из пространства U существует единственное решение u C (R;

U) задачи (3)-(4). Если же, 0 (L), то для любого v из подпространства U1 = {u U : u, k = f (0) g, k, k = } существует единственное решение u C (R;

U) задачи (3)-(4).

Литература 1. Г.А.Свиридюк Уравнения соболевского типа на графах.// Некласс. уравн.

матем. физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002. С.221-225.

2. Г.А. Свиридюк, В.В. Шеметова Уравнение Баренблатта-Желтова Кочиной на графе// Вестник МаГУ, Математика. Магнитогорск: МаГУ, 2003. Вып.4. С.129-139.

3. N.L. Abasheeva Some inverse problems for parabolic equations with changing time direction// J.Inv. Ill-Posed Problems. 2004. V.12, №4. P.337-348.

4. V.E. Fedorov, A.V. Urazaeva An inverse problem for linear Sobolev type equations// J.Inv.Ill-Posed Problems. 2004. V.12, №5. P.1-9.

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ S Бейлин С.А.

Самарский государственный университет Рассмотрим уравнение p utt = uxx + ux (S) x Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

при p 0 и поставим для него следующую задачу: в прямоугольной области = {(x, t) : 0 x l, 0 t T } найти решение уравнения (S), удовлетворяющее условиям u(x, 0) = (x), ut (x, 0) = (x), (1) l K(x)u(x, t)dx = E(t), 0 t T, (2) а в случае 0 p 1, еще и условию u(0, t) = 0. (3) Исследования показали, что поставленная задача однозначно разре шима для p 0, если ядро интегрального условия (2) можно пред ставить в виде K(x) = xp K0 (x), где K0 (x) ограниченная функция, (x) C[0, l]C 2 [0, l], (x) C[0, l] C 1 [0, l], E(t) C[0, T ] C 2 [0, T ], (l) = (l) = 0.

Для частного случая K0 (x) 1 получено представление решения.

Литература p 1. С.П.Пулькин Некоторые краевые задачи для уравнений uxx ± uyy + x ux = 0.// Ученые записки Куйбышевского государственного педагогического ин ститута, выпуск 21, ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ И ЕЕ СВЯЗИ С ОБРАТНОЙ Бейлина Н.В.

Самарский государственный университет В прямоугольнике D = {(x, t) : 0 x l, 0 t T } рассмотрим следующую задачу: найти решение уравнения utt uxx = 0, удовлетворяющее начальным условиям u(x, 0) = (x), ut (x, 0) = (x), СамДиф– граничному условию u(0, t) = и нелокальному условию:

l u(x, t)dx = S(t).

Введем новую неизвестную функцию, положив x v(x, t) = ud.

Тогда приходим к следующей обратной задаче относительно v(x, t) :

vtt vxx = f (t), x x v(x, 0) = ()d, vt (x, 0) = ()d;

0 v(0, t) = 0, v(l, t) = S(t), vx (0, t) = 0, где f (t) — неизвестная функция, vx (0, t) = 0 — условие переопреде ления.

Литература 1. Л.С.Пулькина Нелокальная задача с интегральными условиями для ги перболического уравнения. // Дифференц.уравн., 2004, том 40, № Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ ДРОБНОЙ ДИФФУЗИИ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ ПО ВРЕМЕНИ И ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КООРДИНАТЕ.

Бурцев М.В.

Орловский государственный университет В области D = {(x, t) : x 0, t 0} рассматривается неоднородное уравнение дробного порядка с запаздыванием по обеим переменным D0t U (x, ) = Uxx (x, t)+H(th)U (x, th)H(x )U (x, t)+F (x, t), (1) где D0t - оператор дробного (в смысле Римана-Лиувилля) интегро дифференцирования, действующий на функцию U (x, t) по перемен ной t, 0 1;

H(f ) - функция Хевисайда;

0 h, const;

F (x, t) - заданная, ограниченная функция.

Задача S. Найти в области D решение U (x, t) уравнения (2) из класса D0t U (x, ) C(D), t1 D0t U (x, ), Uxx (x, t) C(D), удовлетворяющее условиям U (0, t) = 0, t 0;

lim D0t U (x, ) = (x), x 0;

(0) = (+) = 0;

где t0+ заданные функции (x) C[0, +) C 2 (0, +);

F (x, t) = f (x)g(t) 2, C(D) Cx,t (D).

Доказаны теоремы единственности и существования решения задачи S, которое имеет вид U (x, t) = {Ukl (x, t) : k x (k + 1), lh t (l + 1)h, (k, l = 0, 1, 2,... )}, где + t + 2 z ()Gkl (x, t, )d + z f ()Gkl (x, t, )d, Ukl (x, t) = g()d 0 0 а z (x) = {zk (x) : k x (k + 1), (k = 0, 1, 2,... )}, xm k (1)m m H(xm ) (x2 (+m )2 )m1 ()d, zk (x) = (x)H(x)+ m=1 xm k m (x m )2 Gkl (x, t, ) = Wl (x, t, )+ m H(xm ) Wl (, t, )d, m=1 СамДиф– причем m = (m!(m)22m1 )1 ;

+ l (t h)(+1) Wl (x, t, ) = H(t h) sin x sin · !

=0 d (t h) E,(+1) (2 (t h) ) d;

· (t h) dt z f (x) определяется аналогично z (x), если там заменить (x) на f (x);

E, (z) - функция типа Миттаг-Леффлера.

НЕЛОКАЛЬНАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Волынская М.Г.

Самарский государственный университет Рассмотрим уравнение:

p y m uxx uyy uy = 0 (m 0, 0 p 1), (1) y в характеристическом треугольнике D, ограниченном отрезком [0,1] прямой y = 0 и двумя характеристиками.

2 2 В характеристических координатах = x m+2 y m+2, = x + m+2 y m+2 ;

уравнение (1) приводится к виду:

q u (u u ) = 0, (2) 2p+m где q = 2(m+2), а область D перейдёт в область, ограниченную прямыми =, = 0, = 1.

Заметим, что 0 q 1, так как m 0, 0 p 1.

Поставим для уравнения (2) задачу с граничным условием:

u|= = (), (3) и нелокальным интегральным условием:

u(, ))d = (). (4) Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

Удалось показать, что если заданные функции () C 1 ([0, 1]) и () C 1 ([0, 1]), то существует решение u(, ) C 2 () C() задачи (2)-(3)-(4), которое имеет вид:

(r)(r )q ( r)q dr+ u(, ) = (2q) (r)(r )q1 ( r)q1 ( )12q dr, + (q) где:

r (1 q)sin q (s) (r s)q (r) = ds r1q s (1 q)sin q(2q) [s (ts)] q (s)q1 t (1t)q1 F (2q1, 1, q+1, t)dtds r1q q2 (q) s 0 Литература 1. М.М.Смирнов Выраждающиеся гиперболические уравнения. Минск, 2. Г.Бейтмен А.Эрдейи Высшие трансцендентные функции. М., ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОЙ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Воропаева Л.В.

Самарский государственный технический университет Пусть R3 — область, ограниченная гладкой поверхностью S.

Рассмотрим задачу L(x, x) A(x ) + B(x, x)u(x) + C(x)u(x) = F (x), x, (1) u S = f, (2) СамДиф– где ij A(x ) · · +p grad div ·, p 0, (Au)i =, xj j= ui uj ij (u) = 2ij (u) + ij (p 1) ll (u), ij (u) = 0,5 +, xj xi l= (k) B (k) (x) ·, B (k) (x) = bij (x), C(x) = (cij (x));

, B(x ) · = (3) xk k= где F (x) = Fi (x), f = f (x) — известные вектор-функции. Здесь ин дексы i, j, k принимают значения 1, 2, 3.

Ведётся поиск регулярного решения задачи (1)–(2) в области /{},, удовлетворяющего условию:

c |u(x)|, x /{}.

|x | РАЗДЕЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ В МНОГОТЕМПОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ СО СЛАБОЙ ДИССИПАЦИЕЙ Воропаева Н.В.

Самарский государственный университет Рассматриваются динамические системы, отличительной осо бенностью которых является наличие разнотемповых переменных.

Такие системы описываются сингулярно возмущенными системами обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащими один или несколько малых параметров при производных. Рассмотрены случаи, когда не выполнены условия теоремы А.Н. Тихонова об асимптотической устойчивости присоединенной системы. Выделе ны классы систем, для которых, тем не менее, удается построить расщепляющее преобразование, приводящее исходную систему к "блочно-треугольному"виду с независимой медленной подсистемой.

При построении расщепляющего преобразования используется гео метрический подход, предложенный в работах В.А. Соболева, бази рующийся на свойствах интегральных многообразий медленных и быстрых движений рассматривыемых систем. Расщепляющее пре образование строится с любой степенью точности в виде асимпто Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

тического разложения по степеням малых параметров. Алгорит мы асимптотической декомпозиции реализованы в виде программ в среде MAPLE. Использование предлагаемого подхода позволяет по низить порядок рассматриваемых систем и устранить вычислитель ную жесткость, вызванную наличием различных скоростей проте кания процессов.

Предлагаемые алгоритмы декомпозиции используются для ре шения задач динамики и управления роботами–манипуляторами.

ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ КАГИНАЛПА Гильмутдинова А.Ф.

Южно-Уральский государственный университет В работе дается ответ на вопрос, поставленный в [1]. Речь идет о единственности решений начально-краевой задачи (x, 0) + (x, 0) = (x), x ;

(1) + (x, t) = + (x, t) = 0, (x, t) R+ ;

(2) n n для системы уравнений ( + )t =, 3 + + = 0, (3) определенной в цилиндре R+, где Rn – ограниченная область с границей класса C, параметры, R+.

Наш подход состоит в использовании метода фазового простран ства [2]. В частности, этот метод был применен при описании осо бенности типа складки [3]. В нашем случае показано, что фазовое пространство является простым при некоторых значениях парамет ров.

Теорема. Пусть n {2, 3, 4}, R+, (1, +). Тогда фазо вым пространством уравнения (3) служит простое банахово C многообразие, моделируемое образом разрешающей полугруппы.

СамДиф– Литература 1. Плотников П.И., Старовойтов В.Н. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля. // Дифференц.уравн., 1993, № 2. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht-Boston: VSP, 2003.

3. Свиридюк Г.А., Карамова А.Ф. (Гильмутдинова А.Ф.) О складке фазового пространства одного неклассического уравнения. // Дифференц.уравн., 2005, № НЕКОТОРЫЕ НЕСТЕПЕННЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ТРЕТЬЕГО УРАВНЕНИЯ ПЕНЛЕВЕ В ОКРЕСТНОСТИ НУЛЯ Гриднев А.В.

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ) Изучается третье уравнение Пенлеве w2 w aw2 + b d + cw3 +, w= + (1) w t t w где t — комплексная независимая переменная, w(t) — комплексно значная функция, w = dw/dt, комплексные параметры a, b, c и d = 0.

Задача. Для решений уравнения (1) в окрестности точки t = 0 найти сложные разложения вида w = r tr + s t s, r R, s r, s K, (2) s где r, s — ряды по убывающим степеням ln t, K — дискретное множество на вещественной прямой без точек накопления.

Теорема. Уравнение (1) в окрестности нуля имеет два семейства формальных разложений решений вида (2):

b w = t (ln t)2 + c1 ln t + s 2k+1 t2k+1, cs (ln t) + 2 s=0 k= Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

где c1 — произвольная постоянная, остальные cs однозначно определены, 2k+1 — ряды по убывающим степеням ln t;

(ln t)2 + c3 (ln t)3 + s 2k+1 t2k+1, w= cs (ln t) + ta s=4 k= где c3 — произвольная постоянная, остальные cs однозначно определены, 2k+1 — ряды по убывающим степеням ln t.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (грант № 06 01-00715).

Литература 1. А.Д. Брюно Сложные разложения решений обыкновенного дифферен циального уравнения. // Доклады РАН, 2006. Т. 406, № 6, С. 732–736.

2. А.В. Гриднев Степенные и экспоненциальные асимптотики решений третьего уравнения Пенлеве. // Дифференц. уравнен., 2004. Т. 41, № 11, С. 855.

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Данилкина О. Ю.

Самарский государственная академия путей сообщения Рассмотрим в области QT = {(x, t) : x (0, l), t (0, T )} уравнение ut uxx + c(x, t)u = f (x, t). (1) Поставим для него задачу с начальным условием u(x, 0) = (x), (2) граничным условием u(0, t) = 0, (3) и нелокальным условием l u(l, t) = K(x, t)u(x, t) dx. (4) СамДиф– Под решением задачи (1) — (4) будем понимать функцию u(x, t) 2, W2 (QT ), удовлетворяющую п. в. в цилиндре QT уравнению (1) и условиям (2) — (4).

Докажем разрешимость поставленной задачи (1) — (4), используя метод продолжения по параметру. Для этого возьмем произвольное [0, 1] и вместо условия (4) рассмотрим условие l u(l, t) = K(x, t)u(x, t) dx. (5) Обозначим через множество тех, для которых задача (1) — (3) с нелокальным условием (5) имеет решение в пространстве 2, W2 (QT ). Если такое множество непусто, открыто и замкнуто одновременно, то оно совпадет с отрезком [0,1]( [1], c.139-140), а то гда задача (1) — (3), (5) разрешима при любом, в том числе при = 1.

Прежде всего отметим, что = 0 ( [2], c.273-276). Следо вательно, =. Доказательство открытости и замкнутости множе ства проводится с помощью априорной оценки решения задачи (1) —(3), (5).

Для получения этой оценки возьмем произвольное [0, T ]. Ана лизируя равенства (ut uxx + cu)uxx dxdt = f (x, t)uxx dxdt, Q Q (ut uxx + cu)ut dxdt = f (x, t)ut dxdt, Q Q получим, что u M, (6) 2, W где величина M зависит от K(x, t), c(x, t), f (x, t), (x), не зависит от выбранного [0, 1] и M = 0 при f, = 0.

Заметим, что из (6) следует также единственность решения за дачи (1) — (4).

Таким образом, справедливо следующее утверждение:

Теорема. Пусть c(x, t) C 2 [0, l] C 1 [0, T ], f (x, t) L2 (QT ), (x) l l K 2 (x, t) dx K0, Kt2 (x, t) dx K1, 0 t T, где кон W2 (0, l), 0 Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

станты K0, K1 0, K(x, 0) = 0, x [0, l]. Тогда существует един ственное решение задачи (1) — (4).

Литература 1. В.А.Треногин Функциональный анализ. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002.

2. О.А.Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева Линейные и ква зилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛЬНЫМ n УСЛОВИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ Дмитриев В.Б.

Самара Рассмотрим уравнение n n utt aij (x, t)uxj + ai (x, t)uxi + xi i,j=1 i= +b(x, t)ut + a(x, t)u = f (x, t) (1) в цилиндре QT = {(x, ) : x Rn, 0 T }, где - ограниченная область в Rn с гладкой границей, и поставим для него задачу с начальными условиями Коши u(x, 0) = (x), ut (x, 0) = (x) (2) и нелокальным условием n u aij (x, t) cos(n, xi )|ST = K(x, y) u(y, t) dy, (3) xj i,j=1 где (x), (x), K(x, y) заданы, а ST = {(x, t) : x, 0 t T } боковая поверхность цилиндра QT. При этом n aij (x, t)i j µ 2, aij = aji, 0.

i,j= СамДиф– Требуется выполнение следующих условий на функции aij, ai, a, b, K:

aij ai b sup | |, | |, | |, |ai |, |a|, |b| ;

t xi t QT sup |K(x, y) | R(y), x R2 (y) dy.

В работе доказывается, что при выполнении этих условий задача (1)-(3) имеет единственное обобщенное решение из W2 (QT ) для f L2,1 (QT ), W2 () и L2 ().

Доказательство единственности решения базируется на получен ной априорной оценке.

Существование решения доказывается методом Галеркина.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОЛЬТЕРРОВЫХ КОНЕЧНОМЕРНЫХ ОПЕРАТОРОВ ПРИ ОПИСАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С НАСЛЕДСТВЕННЫМИ СВОЙСТВАМИ Долгий Ю.Ф.

Уральский государственный университет Рассматриваются математические модели с наследственными свойствами, эволюционное описание которых обобщает дифферен циальные уравнения с кусочно-постоянными аргументами [1,2,3].

Они задаются, с помощью дифференциального уравнения dx(t) = F (x)(t), t R, (1) dt где x : R Rn, F : C(R, Rn ) Lloc (R, Rn ) — вольтерровый по Ти хонову [4], локально конечномерный оператор. Определим суже ние FK : C(R, Rn ) L(K, Rn ) оператора F на компакт K. Опе ратор F называется локально конечномерным, если область зна чений его сужения FK на произвольный компакт K конечномер на. Для произвольного начального момента t0 R и произвольно го компакта Kt0 (t0, +) сужения решений x(·, t0, ) уравнения Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

(1) на Kt0, порождаемые произвольными начальными функциями C ((, t0 ], Rn ), принадлежат конечномерному пространству.

Указанное свойство используется при качественном исследовании решений уравнения (1).

Работа выполнена при поддержке программы фундаментальных исследований Президиума РАН № 13 "Математические методы в нелинейной динамике"и Российского фонда фундаментальных ис следований (проект 06-01-00399).

Литература 1. K.L.Cooke, J.Wiener Retarded differential equations with piecewise constant delays. //J. Math. Anal. Appl., 1984, V. 2. P.Liu, K.Golpalsamy Global stability and chaos in a population model with piecewise constant arguments. //Appl. Math. and Comput., 1999, V. 3. В.С.Тарасян Периодические системы дифференциальных уравнений с ко нечномерными операторами. //Дифференц. уравн. и процессы управле ния, 2002, № 4. А.Н.Тихонов О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их при менении к некоторым задачам математической физики. //Бюл. МГУ, 1938, № НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БИАНКИ В R Жегалов В.И., Уткина Е.А.

Казанский государственный университет Задачи со смещениями в граничных условиях для плоских обла стей исследовались, начиная с работ [1] – [3] многими авторами. По трехмерным задачам подобного рода до последнего времени имеют ся лишь две публикации – [4]-[5], где предложены весьма частные постановки. Достаточно общая задача рассмотрена совсем недавно [6]. Здесь сообщаются результаты дальнейшего обобщения резуль татов из [6].

В области D = {x, y, z (0, 1)} рассмотрим уравнение 1 1 i i i ai1 i2 i3 (x, y, z) Dx1 Dy2 Dz3 u (x, y, z) = f (x, y, z), (1) i1 =0 i2 =0 i3 = СамДиф– ai1 i2 i3 C i1,i2,i3 D, f C 0,0,0 D, Dt k /tk при k a111 1, k = 1, 2,.., D Задача: Найти функцию u (x, y, z) C 1,1,1 (D) C 0,0,0 D, являю щуюся в D решением уравнения (1) и удовлетворяющую условиям 12 mk (bk ) u (bk ) = 1 (x, y), nk (ck ) u (ck ) = k=1 k= 2 (x, z), sk (dk ) u (dk ) = 3 (y, z),(2) mk, nk, sk C на соот k= ветствующих гранях X, Y, Z.

По сравнению с работой [6], в данной постановке в краевых усло виях добавлены точки b7,...,b12 и удалены (x, x, x), (y, y, y). Здесь предлагается схема вывода условий, обеспечивающих однозначную разрешимость данной задачи при помощи ее редукции к исследо ванной ранее [4] задаче с граничными условиями (Гурса) u|X = 1 (y, z), u|Y = 2 (x, z), u|Z = 3 (x, y). (2) Подставляя в формулу (2.19) из [7, c.28] аргументы точек bi (i = 7, 12) и вписывая получаемые значения в (2), приходим к систе ме нагруженных интегральных уравнений, в которую будут вхо дить функции k (k = 1, 2, 3) не только от аргументов (x, y), но и от совпадающих аргументов, а также и при нулевых значениях одного или обоих аргументов. Освободимся от указанной нагруженности.

Для этого введем векторы (x, y) = colon [ 1 (x, y), 2 (x, y), 3 (x, y) ], (x, y) = colon [ 1 (x, y), 2 (x, y), 3 (x, y) ] и будем использовать усло вия (2), полагая во втором из них z = y, а в третьем y = x, z = y.

Если A1 (x, 0) B1 (x, x) det = 0, (3) A2 (x, 0) B2 (x, x) 1 2 1 A1 = ij, A2 = ij, B1 = ij, B2 = ij, то (x, 0), (x, x) определяются по формулам Крамера из системы уравнений A1 (x, 0) + B1 (x, x) = (x, 0), A2 (x, 0) + B2 (x, x) = (0, x).

Матрицы-компоненты в (3) достаточно объемны, для пояснения укажем элементы первой из них Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

1 11 (x, 0) = m1 (x, 0)+m2 (x, 0)+m12 (x, 0, 0), 12 (x, 0) = m3 (x, 0)+m4 (0, x)+m11 (x Неравенство (3) и есть указанное выше условие, с помощью ко торого однозначно определяются k (x, 0), k (x, x). В силу u C D должны выполняться еще условия согласования на гранях D, кото рые для компонент 1, 2, 3 вектора имеют вид 2 (x, 0) = 3 (x, 0), 1 (y, 0) = 3 (0, y), 1 (0, z) = 2 (0, z).


Таким образом, для определения (x, y) получается векторно – матричное уравнение x C1 (x, y) (x, y) + C2 (y, x) [ C3 (, y) (, y) + y +C5 (y, ) (y, ) + C6 (x, ) (x, ) ] d [ C7 (x, ) (x, ) C4 (, x) (, x) +(5) +C9 (y, ) (y, ) + y y + C14 (, ) (, ) dd = 0 (x, y) 0 где 0 (x, y) - вектор, зависящих только от известных функ ций, Ck = µk k = 1, 14, ij = 1, 3. Чтобы чрезмерно не уве ij личивать статью, выпишем несколько элементов одной из мат риц: c1 = m3 (x, y) + m9 (x, x, y) R (0, x, y) + m11 (y, x, y) R (0, x, y), c1 = 11 m2 (x, y) + m9 (x, x, y) R (x, 0, y) + m12 (x, y, y) R (x, 0, y), c1 = m1 (x, y) + m7 (x, y, x) R (x, y, 0) + m12 (x, y, y) R (x, y, 0).

Отметим, что система (5) содержит не только искомый вектор (x, y), но и (y, x), а также кратные интегралы с совпадающими верхними пределами. Насколько нам известно, подобные системы уравнений до сих пор никем не рассматривались. Обычно инте гральные уравнения изучаются в виде, разрешенном относительно искомой функции. Для этого будем требовать, чтобы det C1 (x, y) = 0. (4) Таким образом, в операторном виде (введя понятное обозначение K), система примет вид K = C1 0. (5) СамДиф– Далее можно показать, что некоторая степень оператора K яв ляется сжимающим отображением (воспользовавшись нормой для матриц [9,c.410] A = max max |aij |).

i D j Известно, [8, с.82], если K- непрерывное отображение полного метрического пространства в себя, такое что некоторая степень яв ляется сжатием, то уравнение K = имеет единственное (нулевое) решение. Но тогда (5) имеет един ственное решение в классе непрерывных векторных функций.

Следовательно, мы доказали существование однозначной редук ции рассматриваемой задачи к задаче Гурса для уравнения (1) с условиями (2), где k есть компоненты вектора, существование и единственность мы доказали. Сама же задача Гурса решается по вышеуказанной формуле (2.19) из [7,с.28]. Поэтому справедлива.

Теорема. Рассматриваемая задача при условиях (3), (4) имеет единственное решение.

Литература 1. Жегалов В.И.//Уч.зап.Казанск.ун-та.1962,т.122, №3.с.3- 2. Бицадзе А.В.,Самарский А.А.// ДАН СССР. 1969,т.185, №4.С.739-740.

3. Нахушев А.М.// Дифференц. уравнения. 1969, т.5,№1.С 44-59.

4. Жегалов В.И.//Неклассич. уравнения и уравнения смешанного типа.

Новосибирск.1990.С.94-98.

5. Жегалов В.И.// Тез.докл.междунар.конф. “Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы матем.биологии, информатики и функцией”. Наль чик,1996.С.37.

6. Жегалов В.И.,Уткина Е.А.// Материалы III междунар.конф. “Нелокаль ные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики” Нальчик, 2006. С.118-120.

7. Жегалов В.И., Миронов А.Н.Дифференциальные уравнения со старшими частными производными// Казанское матем. о-во.-2001.-226с.

8. Колмогоров А.Н., Фомин С.В.Элементы теории функций и функцио нального анализа. – М.:Наука, 1976. – 544 с.

9. Гантмахер Ф.Р.Теория матриц.- М.:Наука, 1967.- 576 с.

Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

ТРИ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ Жегалов В. И., Кунгурцев А. А.

Казанский государственный университет Речь идет об уравнении Uxy = k exp U, k = const 0, (1) заданном в области D = {0 x a, 0 y b}.

Рассматриваются три задачи.

Задача 1 (Гурса): найти функцию U (x, y) C(D) C 1,1 (D), явля ющуюся в D решением для (1) и удовлетворяющую условиям U (x, 0) = µ(x), x [0, a], U (0, y) = (y), y [0, b], µ(0) = (0). (2) При дополнительном условии µ(0) = (0) = 0 (3) авторами ранее было построено [1], решение данной задачи в виде формулы 4exp [µ(x) + (y)] exp U (x, y) =. (4) y x exp ()d} {2 k exp µ()d 0 При этом граничные значения µ, должны удовлетворять неравен ству a b k exp µ()d exp ()d 2, (5) 0 Доказательство формулы (4) было основано на известном [2, с.321] общем представлении решений уравнения (1), впервые выведенном Лиувиллем.

Здесь мы сообщаем о дальнейших своих результатах по исследо ванию уравнения (1). Во-первых, формула (4) несколько обобщена за счет отказа от требования (3): вместо него берется условие µ(0) = (0) = U0, (6) где U0 не обязательно равно нулю.

СамДиф– Теорема. Если на отрезках своего определения µ(x), (y) C и выполнено неравенство a b k exp µ()d exp ()d 2exp U0, (7) 0 то решение задачи (1)-(2), (6) единственно и дается формулой 4exp [µ(x) + (y) + U0 ] exp U (x, y) =. (8) y x exp ()d} {2exp U0 k exp µ()d 0 Очевидно, при U0 = 0 (7) совпадает с (5), а (8) - с (4).

Кроме того рассмотрены две новые задачи.

Задача 2. Найти функцию U 0,1 1,0 1, C(D) C (D P ) C (D Q) C (D), являющуюся в D ре шением уравнения (1) и условиям, получаем из (2) заменой, по крайней мере, одного значения искомой функции значением ее нормальной производной из набора Uy (x, 0) = µ1 (x), x P = [0, a], Ux (0, y) = 1 (y), y Q = [0, b]. (9) Если сопоставим буквенные значения Г и N наличию в задаче 2 условий вида (2) и (9) соответственно, то получим три варианта данной задачи: ГN, NГ, NN.

Теорема. Для разрешимости вариантов ГN и NГ задачи 2 доста точно, чтобы функции µ1 (x), 1 (y) на отрезках своего определе ния принадлежали соответственно классу C 1 с положительны ми производными и при этом подчинялись условиям a 1 (0) = k exp µ(0), [1 (b) 1 (0)] exp µ()d 2 exp µ(0), (10) b µ1 (0) = k exp (0), [µ1 (a) µ1 (0)] exp ()d 2 exp (0).

В варианте NN обе функции µ1 (x), 1 (y) должны быть из указан ного класса, а также подчиняться требованиям µ1 (0) = 1 (0) = Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

и [µ1 (a) µ1 (0)][1 (b) 1 (0)] 2k. Решение во всех вариантах един ственно и дается формулами 41 (y) exp[µ(x) + µ(0)] exp U (x, y) =, x [1 (y)1 (0)] k 2 {2 exp µ(0) exp µ()d} k 4µ1 (x) exp[(y) + (0)] exp U (x, y) =, y [µ1 (x)µ1 (0)] k 2 {2 exp (0) exp ()d} k 4kµ1 (x)1 (y) exp U (x, y) =.

[µ1 (x)µ1 (0)][1 (y)1 (0)] µ1 (0)1 (0){2 } µ1 (0)1 (0) Заметим, что задачи с условиями (9) для линейного уравнения Uxy + aUx + bUy + cU = 0 рассматривались в [3], [4, с. 100-106]. Там характер разрешимости был иной: решение могло не быть един ственным.

Задача 3. Найти в D решение уравнения (1) того же класса, что в задаче 2, удовлетворяющее условиям Uy (x, 0) + h1 (x) exp U (x, 0) = 1 (x), h1 (x) C[0, a], h1 (x) 0, (11) Ux (0, y) + h2 (y) exp U (0, y) = 2 (y), h2 (y) C[0, b], h2 (y) 0.

Эту задачу удалось исследовать при hk = k = const 0 (k = 1, 2).

Если 1, 2 C 1 и не бывают на отрезках своего определе ния, а также выполнены определенные неравенства, связываю щие a, b, k, 1, 2, 1, 2, задача 3 оказывается однозначно разреши мой, причем ее решение можно записать в явном виде.

В заключении отметим, что для более общего, чем (1), уравнения Uxy = f (x, y, U, Ux, Uy ) корректность задачи Гурса доказана методом последовательных приближений в [5, с.205]. Вопрос о построении решения в явном виде при этом не рассматривался.

Литература 1. Жегалов В. И., Кунгурцев А. А. Построение решения задачи Гурса для уравнения Лиувилля // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского Казань, 2006.- Т.34.-с.96-100.

СамДиф– 2. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. // М.: Наука, 1982. 336с.

3. Zhegalov V.I. Relation between the Boundary Values of Goursat Problem and the Normal Derivatives // Conditonally Well-Posed Problems. - Moscov: TVP Sc. Publ. - 1994. - P.346 - 349.

4. Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старши ми частными производными. // Казань: Казанское матем. о-во., - 2001. 226с.

5. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. // М.: ИЛ, 1957. - 443с.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ БОЛЬШИХ ПЛАНЕТ, ЛУНЫ И СОЛНЦА, ОСНОВАННОЕ НА НОВОМ ПРИНЦИПЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ Заусаев А.Ф.

Самарский государственный технический университет Рассмотрен новый принцип взаимодействия материальных тел друг на друга. В отличие от закона всемирного тяготения Ньюто на, лежащего в основе небесной механики, где гравитация рассмат ривается чисто феноменологически, в данной модели проявление гравитации рассматривается как следствие движущейся материи.

Получены новые дифференциальные уравнения движения для n материальных тел, которые имеют следующий вид:

3a0i r0i d2 X Xi X =, dt2 i (3 r0i )+ 3 (3 r0i ) 2 +i 3 i i i i 3a0i r0i d2 Y Yi Y =, dt2 i (3 r0i )+ 3 (3 r0i ) 2 +i 3 i i i i 3a0i r0i d2 Z Zi Z =, dt2 i (3 r0i )+ 3 (3 r0i ) 2 +i 3 i i i i где Xi, Yi, Zi — барицентрические координаты возмущающих тел;

X, Y, Z — барицентрические координаты возмущаемого тела;

2 = i (Xi X)2 + (Yi Y )2 + (Zi Z)2 ;

r0i — эффективный радиус i-го тела;

a0i — соответствующее ускорение для i-го тела на расстоянии r от центра масс.

С целью проверки эффективности различных математических моделей, описывающих движение больших планет, Луны и Солнца Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

проведено исследование эволюции орбит этих объектов на интерва ле времени с 1600 по 2200 гг.

В первом случае решались те же дифференциальные уравнения, что и при создании DE405 — одной из высокоточных численных тео рий движения больших планет, полностью согласованной с оптиче скими и радиолокационными наблюдениями, а Луны — с лазерными наблюдениями. В качестве второй математической модели, описы вающей движение больших планет, Луны и Солнца решалась вы ше приведённая система дифференциальных уравнений. Численное интегрирование уравнений движения в обоих случаях было прове дено модифицированным методом Эверхарта 27 порядка с шагом интегрирования 3 дня.

Результаты вычислений сопоставлены с элементами орбит опре делённых по данным координат и скоростей DE405. Показано, что новая математическая модель движения больших планет, Луны и Солнца, вполне удовлетворительно согласуется с DE405, так как максимальное различие в элементах орбит наблюдаемое в средней аномалии в 1602 г. (4 сентября), для Меркурия составляет 0,001, для Венеры 0,007, для барицентра Земля + Луна — 0,003 и для Марса — 0,001 градуса. Для Луны максимальное расхождение в координатах с DE405 не превышает 4 · 106 а. е. (а. е. — астрономическая единица 149 597 870 км.), хотя, следует отметить, что при решении полу ченных нами уравнений движения не учитывалась несферичность фигур Земли и Луны.

Работа выполнена при финансовой поддержке Федерального агентства по об разованию (проект РНП. 2.1.1.1689).

РЕЗОНАНСНЫЕ ДВИЖЕНИЯ АСТЕРОИДОВ ГРУППЫ АПОЛЛОНА С ВНУТРЕННИМИ ПЛАНЕТАМИ Заусаев А.Ф., Алтынбаев Ф.Х.

Самарский государственный технический университет Астероиды группы Аполлона относятся к небесным объектам, которые в процессе эволюции могут касаться орбиты Земли и в слу чаях тесных сближений с ней представляют определённую угрозу столкновения. Исследование эволюции движения астероидов такого класса на длительных интервалах времени представляет сложную СамДиф– задачу. Особый интерес в этой задаче приобретает изучение ор битальных резонансов, которые при определённых условиях могут служить для астероидов защитным механизмом от тесных сближе ний с планетами.

При исследовании орбитальных резонансов астероидов группы Аполлона за исходные данные был взят банк данные элементов ор бит астероидов DASTCOM (Database of ASTeroids and COMets) американской Лаборатории Реактивного Движения (JPL). В нём по состоянию на 14 июня 2006 года содержалась информация о астероидах группы Аполлона.

Анализ начальных данных показал, что из 2026 астероидов груп пы Аполлона вблизи резонанса по отношению к одной или несколь ким планетам одновременно двигалось 1760 тел. При этом, соиз меримости, близкие к резонансным с Венерой, проявлялись у астероидов, с Землёй — у 1383 и с Марсом — у 834 астероидов. Здесь под понятием близкой соизмеримости понимается удовлетворение критерию резонансного характера движения астероида по отноше нию к отдельно взятой планете:

|k1 · n1 k2 · n2 | = O (1) M, (1) где n1 и n2 — среднесуточные движения астероида и планеты;

M — масса планеты;

k1 и k2 — целые числа, соответствующие точной со измеримости резонансного соотношения.

Авторами исследована устойчивость резонансного движения астероидов группы Аполлона со временем. Интегрирование уравне ний движения астероидов проводилось численным методом Эвер харта в прямом и обратном направлении на 200 лет с переменным шагом. При интегрировании учитывались возмущения 9 больших планет, Луны и Солнца в барицентрической системе координат. Та ким образом, был проведён анализ эволюции орбит на 400 лет в интервале с 5 января 1800 года по 8 января 2200 года.

Накладывая на уравнение (1) условие k1 5 и k2 5, выполнение которого обеспечивает малый период возмущения, для выделенных 1760 астероидов группы Аполлона были получены резонансные по следовательности по отношению к Венере, Земле и Марсу, которые сопоставлялись с точной соизмеримостью.

Сравнение результатов вычислений соизмеримостей (k2 : k1 ) и отклонения от точных соизмеримостей на три различных момен та времени 5 января 1800 года, 14 июня 2006 года и 8 января года, не выявило существенных изменений в значениях резонанс ных соотношений, а отклонение полученных резонансов от точных Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

соизмеримостей было не существенным. В связи с этим стоит от метить, что наличие кратных резонансов значительно снижает сте пень возмущения от больших планет. Энергия астероида находяще гося в резонансе с планетой испытывает только колебания (иногда значительные) не ведущие к прогрессивному изменению размеров орбиты астероида на протяжении всего времени, пока сохраняется резонанс.

Таким образом, резонансы стабилизируют Солнечную систему на большие периоды времени. Наличие кратных резонансов замед ляют прогрессивную эволюцию астероидов, тем самым уменьша ют вероятность столкновения их с большими планетами, продлевая срок их существования.

Работа выполнена при финансовой поддержке Федерального агентства по об разованию (проект РНП. 2.1.1.1689).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕЙНОЙ ДИССИПАТИВНОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ АМПЛИТУДНО–ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ Зотеев В.Е., Попова Д.Н.

Самарский государственный технический университет Достоверная оценка технического состояния механической си стемы на основе обработки результатов измерений, полученных в процессе промышленных или научно–технических испытаний, является одной из важнейших проблем в машиностроении. Тех ническое состояние механической системы неразрывно связано с динамическими характеристиками системы. Современный уровень развития средств вычислений позволяет эффективно использовать статистические методы обработки экспериментальных данных при параметрической идентификации системы. Однако такие задачи ме ханики, как определение демпфирующих характеристик материала или различных механизмов, часто решаются на основе устаревших методов, не использующих преимущества новых информационных технологий в области обработки экспериментальных данных. Изме нить существующее положение в этой области можно только на ос СамДиф– нове новых математических моделей, описывающих процессы дис сипации энергии колебаний механической системы.

Построены линейно параметрические дискретные модели на ос нове амплитудно–частотных характеристик (АЧХ) для линейных диссипативных систем в форме стохастического уравнения, коэф фициенты которых известным образом связаны с диссипативными характеристиками механической системы. Определены динамиче ские характеристики на основе среднеквадратического оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения. Примене ние современных статистических методов параметрической иденти фикации позволяет получать помехозащищенные оценки коэффи циентов стохастического разностного уравнения, на основе которых вычисляются динамические характеристики механической систе мы. Линейно параметрическая модель такого класса построена для систем с линейно вязким трением.

Проведены численно–аналитические исследования по сравне нию данного подхода с существующими методами, использующими амплитудно–частотную характеристику для определения динами ческих характеристик, в частности, метод определения декремента по ширине пика АЧХ. Сравнительный анализ показал эффектив ность метода определения динамических характеристик диссипа тивной линейной системы на основе среднеквадратичного оцени вания коэффициентов стохастического разностного уравнения над существующими методами, использующими в своём подходе АЧХ.

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С СИНГУЛЯРНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ Ильясов Р.Р., Первушина Н.М.

Стерлитамакская государственная педагогическая академия Рассмотрим уравнение p Su + u = Su uxx + uyy + ux + u = 0, (1) x где p — действительное число, 0, в области эллиптичности D+ — единичном квадрате со сторонами OA(y = 0), AB(x = 1), BC(y = 1) и CO(x = 0).

Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

Для уравнения (1) при p 1 в области D+ поставим краевую задачу:

Найти в квадрате D+ функцию u(x, y), ограниченную при x и удовлетворяюшую условиям:

u(x, y) C(D+ ) C 2 (D+ ), (2) Su(x, y) + u = 0, (x, y) D+, (3) u(x, 0) = (x), u(x, 1) = 1 (x), 0 x 1, (4) u(1, y) = (y), 0 y 1, (5) где (x), 1 (x) и (y) — заданные, достаточно гладкие функции, (1) = (0) = 1 (1) = (1) = 0.

Отсутствие краевого условия и требование ограниченности на отрезке сингулярности OC при p 1, задание следа решения на OC при p 1 в постановке задачи обоснованы в [1]. В этой работе были доказаны единственность и существование решения задачи, анало гичной (2)–(5) при = 0, в произвольной области, лежащей в по луплоскости x 0 и ограниченной линией x = 0. Была построена теория потенциала уравнения (1) и получена формула решения че рез функцию Грина. Для полукруга построена функция Грина и в явном виде выписано решение задачи.

В работе [2] для уравнения (1) при 0 p 2, = 0 в четверти круга {(x, y) | x2 + y 2 = 1, x 0, y 0} построено решение крае вой задачи с нелокальным условием на линии y = 0 в виде суммы биортогонального ряда. Решение этой задачи использовалось при построении решения задачи Трикоми.

Для уравнения Su + u = 0 в области гиперболичности построена функция Римана [3]. Методом Римана и Римана–Адамара обосно вана однозначная разрешимость задач Коши, Гурса и Дарбу для уравнения Su + u = 0.

В данной статье используется спектральный метод [4] для реше ния задач (2) – (5) при p = 1. Отметим, что предложенный способ можно использовать при решении задачи и для других значений p.

Теорема. Если существует решение задачи (2)–(5) при p = 1, то оно единственно.

Доказательство. Предположим, что u(x, y) — решение задачи (2)– (5). Положим (y) 0 и рассмотрим систему функций J0 (µn x), (6) n= СамДиф– где µn — положительный вещественный корень бесселевой функции J0 (x).

Обозначим un (y) = 2 u(x, y) J0 (µn x) x dx, n N, (7) J1 (µn ) и покажем, что функция un (y) удовлетворяет обыкновенному диф ференциальному уравнению un (y) µn un (y) + u = 0, 0 y 1. (8) В самом деле, так как при 0 1 uxx J0 (µn x) x dx = ux J0 (µn x) x ux J0 (µn x) µn xJ1 (µn x) dx = 1 = ux J0 (µn x) x u J0 (µn x) µn xJ1 (µn x) µn u 2J1 (µn x) + µn xJ1 (µn x) dx, 1 ux J0 (µn x) dx = u J0 (µn x) + µn u J1 (µn x) dx и J1 (µn x) + µn x J1 (µn x) = µn x J0 (µn x), то 0 lim (Su(x, y) + u(x, y)) J0 (µn x) x dx = un (y) µn un (y) + u.

Положив в формуле (7) y = 0, y = 1, получим краевые условия для функции un (y):

1 1 un (0) = 2 (x) J0 (µn x) x dx, un (1) = 2 1 (x) J0 (µn x) x dx.

J1 (µn ) J1 (µn ) 0 (9) Самара, 29 января – 3 февраля 2007г.

Единственное решение задачи (8), (9) имеет вид sh( µn (1 y)) un (y) = (x) J0 (µn x) x dx + sh µn J1 (µn ) sh( µn y) + 1 (x) J0 (µn x) x dx, (10) sh µn J1 (µn ) где sh( · ) — гиперболический синус.



Pages:   || 2 | 3 |
 

Похожие работы:





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.